【はじき】大人のための算数・数学 ２【みはじ】

回数決まってないのに平均取れるか？

age

いわゆるスクラッチクジで、10個中の3つが同じ品目で揃うと当たり（４つ以上削ったら失格）。
品目は仮に10として、どのクジも必ず何かが3つ揃う当たりがある（４つ以上揃うことはない）とする

１：当たる確率（考え方）は？
１削り目に「そのクジのばあいに当たりの品目を出す確率」
２削り目に「そのクジのばあいに当たりの品目を出す確率」
３削り目に「そのクジのばあいに当たりの品目を出す確率」
何か肝心の決め手を思いついてないと思うけどそれが分からない。

２：かなり昔の文系で、数学はハッキリいって高校途中あたりで放棄した関係もあってか、
教わった記憶がないけど、こういうのは今はどこで教わるのかな？

確率は数学A

>>518
ダブらずに6種類揃う確率はそれで合ってる
全6種類揃えるための回数期待値計算は、確率の逆数を取ればいい
(6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1)=14.7回

>>521
前提条件が足りてなさ過ぎるので、計算のしようがない

>>521
10C3=1/120でいいんじゃないの？

「10個のうちの3つが○で残りが×、3回削って全部○なら当たり」ってのと、
確率は変わらないと思うけど。どの品目でも、揃えば当たりなんだよね？

>>522
なるほど。高校、ただし選択によって変わる、とかかな？

>>523
> 前提条件が足りてなさ過ぎるので、計算のしようがない

いや、その辺がキッチリ分かってないから「何か肝心の決め手を思いついてないと思うけどそれが分からない。」
といってるわけで、こういう前提条件を補えば設問として意味を成すようになるとか、サクッと書いてくれない？

>>524
> どの品目でも、揃えば当たりなんだよね？

そうそう！　そうです。「当たりの品目」は、おそらくより安価な品物のほうが多く含まれてるはずで、
自分自身も何となくそれに意味があるように勘違いしていたけど、何が当たるかは、ここでは何も
関係ないんですよね。

> 「10個のうちの3つが○で残りが×、3回削って全部○なら当たり」ってのと、
> 確率は変わらないと思うけど。

そうですね、そういうことになりますね。
何というか、個々のクジで「○」の色が違っていて、残りの「×」も各々色が違っていても、
○なら○、×なら×であるというだけのこと。何色の○が当たるかは、また別の問題。

1枚に当たりが2セット以上あるばあいもあると話が変わるから・・・
>>521
> どのクジも必ず何かが3つ揃う当たりがある（４つ以上揃うことはない）
かつ、3つ揃う当たりは1枚に1セットしかなくて、残りは必ず単独か2つ。
・・・これを補うだけで完璧かな？

小学生のころからずっと疑問に思ってたんだけど
1は3で割り切ることは不可能な訳だからなにか1つのものを
きっちり三等分するってことは絶対にできないの？
感覚的にはできそうな気がするんだが・・・。

1時間を三等分できなかったか？

>>526
「きっちり」というのが 小数点の数で有限の桁で表現ということだったら不可能。
「１は３で割り切れない」というのは、「１は三等分できない」という意味ではなく
「１を三等分したものを有限桁の少数で表現することはできない」という意味なんだよ。

しかし、別の表現をしていいのなら、きっちりと三等分することもできる。
たとえば分数をつかえばひとつあたりは、１/３（さんぶんのいち）という量になる。
他にも、１０進数ではなく３進数を使えば「０．１」と表すことができるなど
きっちり表すにはいろいろ方法はある。

>>523
どうもありがとうございました。

期待値は[（とる値）×（確率）の和]だそうですが、
確率の逆数を取れば答えが得られる理由を教えていただけませんか。

>>529
528ではないが

＞ 期待値は[（とる値）×（確率）の和]だそうですが
そのとおり。 
まさにそれを全部足すとこう↓なる。

＞ (6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1)=14.7回 

この式のそれぞれの項は以下のようになっている。
 (6/6) ⇒ １種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）
 (6/5) ⇒ １種類目を手に入れた後に２種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）
 (6/4) ⇒ ２種類目を手に入れた後に３種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）
 (6/3) ⇒ ３種類目を手に入れた後に４種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）
 (6/2) ⇒ ４種類目を手に入れた後に５種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）
 (6/1) ⇒ ５種類目を手に入れた後に６種類目を手に入れるまでの購入回数の平均値（期待値）

これらを全部足したものが、６種類全部をそろえるまでの購入回数の平均値（期待値）

(6/6) の項は、１種類目は６種中のどれでもいいので 6/6 つまり１回で必ずそろう。
(6/5) の項のその後２種類目がそろうまでの回数の期待値は、ちょっとややこしい。
１回目に既に持ってるやつ以外の６種中５種のどれかが出る確率が 5/6
１回目はかぶって２回目に５種のどれかが出る確率が 1/6×5/6
２回目まではかぶって３回目に５種のどれかが出る確率が (1/6)＾2×5/6
つまりは n-1回かぶってn回目に出る確率は(1/6)＾(n-1)×5/6になる。これがn回目に２種目が出る確率。
それに回数nをかけたものを、n=0から無限大まで足したら 6/5になる。

(6/4) の項も(6/5)と似たような感じで、３種類目が出る回数の期待値を計算するとそうなる。
以下 (6/3)や(6/2)も(6/1)もおなじ。

>>530
理解できました、ありがとうございます。

例）
ある伝染病に1,000人の人間が感染した。放置すると全員が死亡する。
対策案としてA案とB案が提示された。

Question1）
A案による場合、300人が助かる。
B案による場合、70%の確率で全員が死亡する。

Question2）
A案による場合、700人が死亡する。
B案による場合、30%の確率で全員が助かる。

Question1もQuestion2も表現方法が異なるだけで
同じことを言っているらしいです。
しかし、どうしてもそう思えません。
例えばＱ１なら、Ａ案は300人は100％助かりますが、
Ｂ案はそうではないですよね？
どの辺りが同じなのか教えていただけないでしょうか？

A案について
Q1では300人が助かる（つまり残りの700人は助からない)
Q２では700人が死ぬ（つまり残りの300人は死なない）
もし 「助かる」 と「死なない」が等しいならば 両者は同意だが 
「死にはしないが植物人間」とか「死なないが発狂」とかの場合があったりすると
それらはまちがいなく「死にはしない」ではあるがはたして「助かる」なのかは微妙‥
このあたりは言葉の定義の問題。

B案について
Q１では７０％の確率で全員が死亡 （つまり３０％の確率で少なくともひとりが死なない）
Q2では３０％の確率で全員が助かる（つまり７０％の確率で少なくともひとりが助からない）
これらは、たとえ「助かる」と「死なない」が同意であると考えても、異なる可能性がある。
「全員が死ぬ」と「全員が死なない」は互いに余事象ではないからだ。
「１人が死ぬ〜９９９人が死ぬ」のどれも、「全員が死ぬ」と「全員が死なない」のどちらでもない。
B案がQ1とQ2で同意になるには、案Bでは全員が死ぬか全員が死なないか以外の結果は起こらない
という、現実にはかなり考えにくい条件が必要になる。

これを見てください。
http://members.at.infoseek.co.jp/zakozako/bunsuu.htm
中間にある分数の3÷（2/1）の問題です。
これは2/1人で分けましょうと書かれているのもかかわらず

＞（１/２）人に３個のみかんが与えられてるんだから
となっています。
なぜ1/2人で3個のみかんを分けようと言っているのに
突然1/2人が3個のみかんを持っているという事になってしまうのでしょうか？

　　

１．５が正解ではないでしょうか？

ああ、一つの中の割合なのね。

>>534
ちゃんと読めば分かると思うが？
その前に「６個のりんごを２人でわける」ってのがあるでしょ？
6個のりんごを2人でわける→2人が6個のりんごを持ってる
そのまま代入しているだけ
3個のりんごを1/2人でわける→1/2人が3個のりんごを持ってる

>>537
あれから考えてみましたが、やはりおかしいです。
自分の頭の中はこうなっています。
6個を３人で分ける場合：一人2個
6個を2人で分ける場合：一人3個
6個を１人で分ける場合：一人6個
つまり２人の場合３。１人の場合６となっていて
これは２人から１人という半分の人数では２倍の差がありますよね？
これを踏まえた上で、３個の場合で考えると
まず３個を１人で分けると当然３個ですよね？
じゃあ1/2で分けるとなると、２倍なので６個になります。
そして>>534のサイトでは、１人いくつになるか？という事なので
１２個になるのではないですか？
しかしなぜか1/2が３個となっています。
これは当然の事として考えられる３個を１人で分けると３個という部分においても
矛盾しています。
いったいどういう風に考えたらいいのか混乱しています。

すいません。訂正です。
＞１２個になるのではないですか？
　３個になるのではないですか？

なりません

こういう問題がありました。箱の中にりんごが３０個あります。
その内の３つを取り出すと、重さはバラバラでした。
この３つの重さを足して３で割ると３つの重さの平均が出たと。
その平均と３０を掛け合わせると、りんご全体の重さが分かるというものでした。
しかし何だか変です。
３つの重さの平均が出ただけで、３０個の重さの平均ではないですよね？
それなのにどうして３０個全体の重さが分かるのでしょうか？

どこにあった問題だ？

図書館の算数の本です。１２３年単位と、４５６年単位の
それの４５６年単位のやつです。

平均寿命とか視聴率とかそんな感じ

しかし３０個中３つの平均なので、３０個全部の重さの場合
平均自体が違ってきませんか？

視聴率調査に使用するサンプルは、関東地区内だと600世帯です。
関東地方には、約1600万世帯が存在しており、その中から選ばれているのはたったの600世帯です。

つまりだいたいという結果でいいという考えかたから、全体の重さも
だいたいという答えという事ですか？

図書館の算数の本ぐらいの認識しかないんなら
どうだっていいだろ

分数の同士の掛け算です。
2/3×4/5＝8/15だそうです。
しかし分母を共通にして計算すると10/15×12/15になります。
よくピザの例をとって、1/3×2というのは
1/3が二つあるわけだから、2/3になるんだよと書いてあります。
つまりピザの分け方については変わらないと。
なるほどと思い、先程の10/15×12/15を計算すると120/15になります。
答えは８です。
8/15と８で全然違う答えになってしまいました。
なぜ違ってしまうのか教えてください。

10/15×12/15＝120/225＝8/15　です。同じです。

>>541
該当部分を一字一句そのまま書き写してくれ
どうも君の言い分にはバイアスがかかり過ぎてる気がしてならない

>>550
それで8/15になっても理屈として理解できます。
どうせ約分するからです。
であるなら、どうしてピザの理屈で分母をそのまますると
うまく答えにならないのですか？

>>552
キミは何か勘違いしている。

>>553
分数×整数の場合、ピザの例が書かれていました。

10/15×12/15 は 分数×整数ではないわけだが

>>555
分数×分数の場合、面積の例が書かれていまして
分母同士の縦横、分子同士の縦横という事で書かれていました。
これを見ると簡単に納得できます。
ところが、ピザの例でいうと矛盾しているんです。
足し算の場合、分母を同じにしますが
これは分母を最小公倍数で同じにする事で（分子にも同じ数掛ける）
両方の分子の一つ分の大きさを同じにできて
だから分子同士を足すと、それはその分母に対しての分子の大きさになるからです。
掛け算でも2/3×4/5の場合、分母を同じにしていれば
両方の分子の一つ分は同じ大きさになります。
じゃあ10/15×12/15は、10/15が１２個存在している事になり
答えは８になります。

http://sapporo.cool.ne.jp/jt/diary/07/september.htm

これの9月9日を読め

つまり 10/15×12/15 = 10/15×12 ということか

ともに底面の半径ｒで、高さａと高さｂの円錐Ａと円錐Ｂがあるとするよな？
当然、円錐Ａと円錐Ｂの体積の合計は (1/3)ａπｒ^2＋(1/3)ｂπｒ^2なんだけど、
分配法則を使えば、(1/3)πｒ^2(ａ＋ｂ) とまとめられるんだぜ？ 知ってた？

つまり

△＋△＝△＝　Λ
　　　　　　△ 　/＿＼

何この糞ＡＡｗｗ
感覚だよｗ感覚ｗｗｗｗｗｗｗ

>>558
明日市役所の算数の先生に聞くと事にします。
続いての問題ですが。
花子さんは家から公園までを往復します。行きは分速９６ｍ
帰りは分速８４ｍの速さ歩いたところ往復するのにかかった時間は１５分でした。
家から公園までの距離は何ｍですか？
こういう問題でした。
自分の解答を見てください。
９６＋８４÷２＝分速９０ｍ（２人の分速の平均）
往復するのにかかった時間は１５分なので、９０×１５＝１３５０ｍ
家から公園までなので、片道だから１３５０÷２＝答え【６７５ｍ】です。
ところが実際の答えは６７２ｍだったのです。
その後この答えに導く為の過程も記されていたので理解しましたけど
なぜ自分の解答ではダメだったんですか？

訂正：＞（２人の分速の平均）
　　　往復の分速の平均

>>560

　行きにかかった時間　: 帰りにかかった時間 = 7 : 8
7 ×　96 = 8 × 84 = 672m

違う速さで、同じ時間あるくなら
(96 ＋ 84) ÷ 2 = 90 になるが
この問題の場合平均分速は
(7 × 96 ＋ 8 × 84) ÷　15 = 89.6m

　

7 : 8 なんて数字どっから出て来たんだ？

分速96m：分速84m＝8：7
往復の距離は同じなので、移動にかかった時間の比は
往路7：復路8　往復で15分かかったので計算が楽
往路7分：復路8分

ですがなにかあああああああああ？？

合成抵抗みたいに逆数使って
(96 x 84 x 2) / (96 + 84) = 89.6

>>556
＞ じゃあ10/15×12/15は、10/15が１２個存在している事になり 
＞ 答えは８になります。 

ならない。
10/15×12/15は、10/15が12/15個存在している事になり
答えは120/225。
 

>>560
＞ ９６＋８４÷２＝分速９０ｍ（２人の分速の平均） 

ここが間違い。

速度Aと速度Bの平均速度は 
( 速度Aで進んだ距離＋速度Bで進んだ距離 ) / ( 速度Aで進んだ時間＋速度Bで進んだ時間 )
で計算する。

>>560は、

＞平均60km/hで走れば1時間で家から学校まで行って帰ってこられますが、
＞道路が混雑していたため、往路の平均時速は30km/hでした。
＞復路は平均何km/hで走れば予定どおり1時間で往復できるでしょうか？

という問題にまんまと引っかかるパターンだなｗ