集合論について語るスレ

集合論について語るスレ

(・∀・)２げっと


メコスジ
↓

美味しい物の中にバナナは含まれますか？

「集合論の次に来る物」ってスレ落ちたんだな…

日本で集合論やるならどの先生のところ行けばいいの？

東京理科大学
安部直人？

Ω-logicについて集合論素人の俺に教えることは可能ですか？

カントール集合はアレフいくつになるのか
素人の俺に教えて下さい

その名前を知っているぐらいなら
書いてある本も簡単に見つけられるだろう

オイオイｗ

可算だったら良かったのにね

>>8 3^?0=?

>>12
うん
結局アレフ１ということでおk？
なんか連続体ってことが納得できないのよな

連続体の濃度がいつアレフ1に決定されたんだ？

高校で学ぶ集合論って大学入ってからも役に立ちますか？

連続体濃度はあれふ２だろＪＫ

それもただの一番人気

>>15
役に立つというか、高校でやるお遊びにもならない集合の単元の
内容くらい理解できないやつは大学で数学のすの字も出来ない。

>>14,16
ごめん、素で聞くんだけど
加算濃度がアレフゼロで
連続体濃度がアレフ１じゃ
ないの？

エーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー！！！

>>19
字も違うという突っ込みはともかく

それが成り立つというのが連続体仮説CH。通常の集合論ではCHはゲーデルにより否定が証明できないことが示され、コーエンがCHも証明できないことを示した。実際アレフ1にしたりアレフ2にしたり、その他いろいろ出来る。
ただ、要求したくなるようなある種の仮定を置くとアレフ2になることが多いので、アレフ2にしたがる人は結構いる。アレフ1にすると数学的に貧しくなるのでアレフ1にしたがる人はまずいない。

>>19
そもそもどうやってアレフ数を定義しているの？

対応f:A→B,g:B→Cの合成g・fは
Im(f)⊃Dom(g)∧(Imf≠Domg)の場合も定義可能ですか？

>>19
「連続体濃度はアレフ１か？」
という問題が、連続体仮説と同値
んで、これが正しいか間違っているかは決定できないことが証明されてる

って既に書き込まれてたか
失礼

＞＞２２

indutionで定義することができます。

wiki見たら有限集合と有限が別になってんな。内容的に有限の中身をを有限集合に入れれば良さそう。

>>26
アレフヌルのパワーはアレフ２として、そのinductionを適用して定義してくれるか？

{}
{{}}

{}
{{}}
{{}, {{}}}

「連続体仮説がZFと独立（証明も否定の証明もできない）」という事実は、
第一不完全性定理の具体例と言えるのでしょうか？

そこに気付くとは・・・さすがお前だ

無矛盾であることが証明できれば具体例になるな。
さあ、無矛盾であることを証明する作業に戻るんだ

研究者目指すなら集合論もきちんとやんなきゃだめ？
松坂レベルじゃ足りない？

>>34
そっちに進むんでなきゃいいんじゃない？もちろん必要になる分野はあるけど、必要になってからやれば良いし。最初から必要になりそうとわかっているなら少しずつでもやっておきたいかな。

age

>34
何を勉強すればいいのかを自分で考えれない段階で
研究者は無理。

順序対の書き方は
(a, b) と 〈a, b〉 どっちが好き？

age

741

勇者・戦士・僧侶・魔法使い の4人パーティ

スライムが○匹あらわれた！

（条件、1ターンに複数の敵を攻撃する魔法やハヤブサの剣はなし）

全射 攻撃・・・スライムを全滅させる攻撃
　すなわち、1匹のスライムを2人以上で攻撃してもいいが
　スライムの数が5匹以上だと全滅無理
　とりあえず全滅させられればいい。

単射 攻撃・・・1人1匹攻撃
　とりあえず1人が1匹を攻撃する。
　だからスライムが3匹以下だと無理。
　5匹以上いて全滅させられなくてもOK。

全単射 攻撃・・・上記二つをあわせた攻撃、つまり1人1匹攻撃 してスライム全滅させる攻撃
　勇者パーティの数とスライムの数が同じでないといけない。


なんてことを考えていた

どなたかこれ教えてください。
有理数の集合をQとする。Qが連続でないことを証明せよ。

無理点で切断しろ

>>42
連結じゃなくてか？それとも稠密？

連続です、なんか宿題の問題にあるんだがさっぱりわけわかめ(>_<)

いずれにせよ集合論ではなく解析学か位相空間論の話だからスレ違い棚。

gimmelの定義を教えて下さい。

クスリ

>>21
＞アレフ1にしたがる人はまずいない。
例えばErdösとか。

彼の無限組合せ論の定理には、
連続体仮説が正しいなら〜〜という種類のものが多くて、
なおかつ集合論は集合に関する真理の探究だという
普通の数学者に近いスタンスの人なので。

>>49
ただそれってほとんど連続体仮説と同値になってしまってつまらないんだよね。それが貧しいということ。

集合論の研究が今ほど発展してなかった頃は、エルデシュを始めアレフ１が自然だと思っている人が多かったかもな。
アレフ２が自然だと言う人が現れ始めたのは、集合論の研究が進んで色々なことが分かってきてからだから。
エルデシュも今生きていれば、最近の集合論が得た結果を見て、アレフ２が自然だと言うかもしれない。

Gödelはaleph 2 が自然だと結構前から言ってたよね
|2^ω| = aleph 2ということを言い出したのは彼が最初なんだろうか

130

2^ω
↑これムカツクなｗ

2^ω^3

(^ω^)

>>51
> 集合論の研究が今ほど発展してなかった頃は、エルデシュを始めアレフ１が自然だと思っている人が多かったかもな。

つか2^ωがアレフ2かそれ以上ならアレフ1の集合に関しては具体的な構成法が一つも知られてないって事になるよね。
そうすると集合論の専門家以外にとっては不思議な感じがするよね。存在はすれど具体例は一つとして提示不能という事になるんだから。

アレフ１の話とは別にその手の存在すれども具体的には記述不可能なものってのは選択公理使って初期にはもう知られていたんじゃね？

ふむ

そのまんま「可算な順序数の集合」じゃあかんの？

すみません、基本的な話で申し訳無いのですが、下記表現の基礎の公理
∀ｘ［ ∃ｙ（ｙ∈ｘ）⇒∃ｙ（ｙ∈ｘ∧¬∃ｚ（ｚ∈ｘ∧ｚ∈ｙ））］
がどうして無限降下列を排除できるのか判りません……

どう考えたら　ｚ∈ｙ∈ｘ∈ｚ　とか排除したことになるのか、どなたか解説orヒントを頂けませんか？

上の式の x に {x, y, z} を代入して色々やってみる

弄ってますが上手く行かないです……
¬∃ｚ（ｚ∈ｙ∈｛ｘ、ｙ、ｚ｝∧ｚ∈｛ｘ、ｙ、ｚ｝）
なんて意味無いしなぁ……
｛ｘ、ｙ、ｚ｝∈ｚをどうにかして導くのですかね？

上の式のxとかyと下の式のxとかyは同じじゃないから
a∈c∈b∈aとか別の文字で置き換えた方が良いかも

{a, b, c} は空でないから、
∃y（y∈{a, b, c}∧¬∃z（z∈{a, b, c}∧z∈y
となるけど、このyもzも三通りの可能性しかないことに注意

>64 サンクスです。こんな感じでしょうか？
a∈c∈b∈a を満たす要素の集合{a, b, c}がもし基礎の公理を満たすと仮定すると
∃y（y∈{a, b, c}∧¬∃z（z∈{a, b, c}∧z∈y))∧(a∈c∈b∈a)
ここで
y = a の時 z = bについて
¬∃b(b∈a) ∧ a∈c∈b∈a となり矛盾
(y = b, c の時も同様 z = c, aで矛盾)

ところで、zがa, b, cのいずれとも一致しない場合は考える必要は無いのでしょうか？
y = a, z ≠ a, b, cとして
∃(z∈a)∧(a∈c∈b∈a)
となりそうな気がしますが、どの部分が間違っているのでしょうか？

どうもあまり分かってない感じ

要は{a,b,c}が>>61の任意のxに対して〜が成り立つという
公理の反例になってるということで、¬(b∈a)は出て来ないはず

それから¬(b∈a)と¬∃b(b∈a)（これは¬∃x(x∈a)と同値）
は意味が違うので区別して考えないと駄目
�煤ibは1からnまで）b^2 と
�煤ixは1からnまで）x^2 が一緒なのと同じ理屈

＞zがa, b, cのいずれとも一致しない場合
z∈{a, b, c}なんだからzはこの三つのどれかでしょ

>66 ありがとう。ちょっと判ったような……
確かに量化されているのとされていないのをごっちゃにしては不味いですね。

どうも量化子の理解が足りない感じです。量化子の否定も含めて調べなおしてみます。

それ以前の問題のような…

∈は二項述語だから省略せずに書いて確かめてみたら？

¬∃z（z∈x∧z∈y）
∀z¬（z∈x∧z∈y）
∀z（¬z∈x∨¬z∈y）
∀z（z∈x→¬z∈y）
∀z∈x（¬z∈y）
よって、yよりは下降しない

>70
計算サンキューです。下から2行目の形で形式化している本もありますね。
色々と弄ってみます。

しかし、集合ってあんな簡単な構造なのに色々出来て面白いですね。

first uncountable ordinal
について調べています。

(X,≦')を全順序集合とする時,Xに含まれない元wでX∪{w}に≦を
∀x∈Xに対して,x<w、∀x,y∈Xに対してはx≦yはx≦'yと定義して
≦'を≦に拡張して(X∪{w},≦)も全順序集合に仕立て上げる事ができる。
この時,wをfirst uncountable ordinalと呼ぶ。

と解釈しているのですがこれで大丈夫でしょうか?

全然ダメです、としか言いようがないが……

Xは何でも良いみたいな書き方してるけど
例えば全順序集合X := {0, 1, 2} に w=3 を付け加えて
XをX' = {0, 1, 2, 3}に拡張することができる。
じゃ3はfirst uncountable ordinalになるってこと？
そういうことが書いてあるけど。

あと整列順序と全順序の違いも分かってないみたいだし
たぶん順序数の定義も知らないと思う。

寧ろなんでそれで大丈夫かもしれないとか思ったのか分からない。

> じゃ3はfirst uncountable ordinalになるってこと？
> そういうことが書いてあるけど。

うーん,そういう事になりますね。

> あと整列順序と全順序の違いも分かってないみたいだし

前者は任意の部分集合が最小値を持つ全順序集合のことです。

もしかしてXは整列集合でないといけないんですか?

> たぶん順序数の定義も知らないと思う。

これは自然数全体の集合Nと対等な集合ですね。

> 寧ろなんでそれで大丈夫かもしれないとか思ったのか分からない。

以前,何かの本で見かけたのですが定義は何だったかはっきり覚えてなかったもので。。

このスレにも例の主が出没しているのか……
迷惑なこと限りなしだな

>> たぶん順序数の定義も知らないと思う。
> これは自然数全体の集合Nと対等な集合ですね。


ｳﾋｬｯｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
本当に順序数の定義知らないでやんのｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ


>>74死ね(`Д´#######)

> 76

順序数の定義は整列集合と対等な集合の事でした。

対等な集合じゃなくて順序同型類だろ

>>77
おまえ、順序数と基数の違いを言ってみろ

> 79
> 対等な集合じゃなくて順序同型類だろ

そうでした。対等だけだと単に全単射な関係というだけですね。
順序同型も要りましたね。

> 80
>>>77
> おまえ、順序数と基数の違いを言ってみろ

基数とは対等関係の事です。
たとえば「AとBが対等の時,AとBの基数は等しい」

更に順序同型である時,AとBは同じ順序型であるといい,

{A;Aは整列集合と同じ順序型}という類の事を順序数というのですね。

>81 です。

分かりました。

Xが可算集合でw∈X^cで任意のx∈Xに対し,x<wと定義して順序を拡大して新たな全順序集合が得られる。
この時のwをfirst uncountable ordinalというのですね。

Noです。

>83

えっ? 何が間違ってますか?

そもそも非可算（uncountable）ということの意味分かってない
それに
「このとき新たに付け加える〜〜を最初の非可算順序数という」
という定義の仕方自体が間違い
全順序と整列順序の違いもやっぱり分かってない

>>82は何を調べて書いたの？
マトモな教科書を一冊くらい読んだほうが良いよ

>>84
お前の言っていることでまともにあっていることのほうが少ない。

全ての順序数の集まり。これは「クラス」であって「集合」ではない。

「集合」とみなすと矛盾を生じるってのは分かるんですが、結局「クラス」って何？
何か良い参考書はありませんか？
集合論については、松坂和夫「集合・位相入門」 を読んだ程度です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory

>>87
河合文化教育研究所の公理論的集合論（倉田令二朗著）と
培風館の公理的集合論（田中尚夫）の二つがある
前者の方が説明は短い

田中尚夫の本は、クラスはただの方便なので論理式の略記だと思えば良い、
程度の記述しか無いよ。最初これで勉強して良く分からなかった覚えがある。
倉田・篠田はNBGが有限公理化可能であることの証明がちゃんと載っている。
どちらも図書館で読むしかないけど。

コーヘンの連続体仮説もBGの解説がある、でも出版社があれ。

Doverってことか。でも安いから良いじゃん。
下手に二万五千とかの値段付けられても困る。

うまく言えないんだが、実数の濃度以上の集合上で、極限ってとれるの？？

Banach空間とか。

lim[n→∞]x_n=xは
∀B(Bはxの近傍)∃n∈N∀m∈N (m≧n→x_m∈B)
と書ける
Nを任意の濃度の集合Xに変えてX上の順序≧が
「∀x,y,z∈X(x≧y and y≧z →x≧z)」と「∀x,y∈X∃z∈X(z≧x and z≧y)」を
満たすようにしてやればXの要素を添え字としてもつ列x_a(a∈X)を考えて
∀B(Bはxの近傍)∃a∈X∀b∈X (b≧a→x_b∈B)
が一般の極限x_a→x(a∈B)を与えるようになる

数学凄いぜ！！
そういう極限の一般化みたいな話はどの教科書に載ってるんだろう？？

>>96
位相空間の本に載ってるぞ
とりあえず松坂和夫の集合・位相入門には載ってた

ここやさしい人が多い！
その本勉強します

> 85

再度,first uncountable ordinalの定義に就いての質問です。

アレフ0<アレフ1<アレフ2<…
となっている時,
アレフ1はアレフ0のfirst countable ordinal、
アレフ2はアレフ1のfirst countable ordinal
と習ったのですがこれで正しいでしょうか?

すみません質問します…

ＡがＴでＢがＴなら、Ａ⇒ＢはＴ　　　ってコトなんですが、ＡとＢが因果関係ないのに
Ａ⇒ＢはＴ　　ってやって良いのですか？

実数の範囲で考えて　Ａが「ｘ＾２＞０」　　Ｂが「人間は動物である」　とすると…
「ｘ＾２＞０」　ならば　「人間は動物である」　　　　　　もＴになるんでしょうか？

>>99
おまえ、もう数学やめろ

止める以前に始まってもいないというか

> 101,102

すんません。定義を教えていただけますか?

>>100
そう使うんじゃなくて、
「Aが真」と「A→Bが真」を証明することで「Bが真」であることを示すために使うの。

上極限集合と下極限集合がよく分かりません。定義式を見ましたが、いまいち理解できませんでした。
もし可能ならば、具体例を交えつつ教えていただきたいです。

>>105
実数列の上極限や下極限は分かるの？
もし分かるなら、それがどういう意味であるのかを論理式どおり読めば
上極限集合とかも意味が分かるはずだけど。
数列の場合から言葉を流用してるだけだから、上とか下とか付いてる理由は
考えないほうがいいよ。

>>106
そうなんですか。ありがとうございます。

上極限集合とかのどのへんが集合論なんだろう…

その節はどうもです。遅蒔きながら>61の自己フォローです。
『集合論とはなにか』（竹内外史 著）に詳しい解説ありますね。
その他にも色々と深い話が載っていて、非常に参考になりました。BLUE BACKSとは思えん……

追加で質問なのですが、この本の中に出て来る量子論理についての初心者・初学者向けの本は
ありませんでしょうか？ とても興味深い論理なので少し詳しく調べたいのですが、日本語で
参照できる範囲のWebではあまり話題になっていないようですし……

量子論理はちょっと無いかなあ

そうですか。ありませんか。
美しいと思うんですけど、誰も興味無いのかなぁ……

>>109
量子論理は量子力学での観測が従う「論理」だから、論理としてはどうしてもマイナーになってしまうので
日本語で読める量子論理に関する本は非常に限られてしまうのだけれど、次のものには多少とも解説がある。

（１）前田『束論と量子論理』、槇書店
日本語で読める量子論理の本としては最も本格的で丸々１冊が量子論理と関連する束の話なのだけれど、
残念ながら絶版、というか出版元そのものが消滅したので復刊は絶望的。図書館になければ古書で探すしかない。

（２）竹内『線形代数と量子力学』、裳華房
付録にシーケント計算の形式（だったと思う）の命題量子論理の説明がある。

（３）ギビンズ『量子論理の限界』、産業図書
いわゆる量子力学の観測問題や解釈に関する解説本（非専門家向け）で、量子論理に関して数十ページの解説がある。

（３）は入手も容易だし読みやすいので、この辺から入ってはどうだろうか？


それと、量子論理とは銘打ってなくとも、量子力学の観測問題を扱った本には量子論理の事が断片的にせよ書いてあるものも少なくない。
例えば、

（４）ヤンマー『量子力学の哲学』（上・下）、紀伊国屋書店
これは幸いにも少し前に復刊されたが、その８章（下巻）は量子論理を扱っている。

（５）レッドヘッド『不完全性・非局所性・実在主義』、みすず書房
７章で量子論理を扱っている。

いずれにせよ、量子論理が何故必要か、あるいはそういう変テコな論理を考える意義があるかを理解するには、
量子力学での観測の概念を知り、そこに横たわっている問題（観測問題）を多少とも知っておく必要があると思う。
（少なくとも、それらを直感的にでも知っていれば量子論理を学ぶ動機付けにはなる）

だから量子論理について書いてある本のほとんどは数学書や数理論理学書でなくて物理学書なんだよ。

量子力学の初歩ならメシアの2巻まで読んだけど、なんで量子論理なんて必要なのかねぇ。
いまいちわからん。

>112
ありがとうございます。まずは(3)を探してみます。(2)は神保町で見掛けたかな？今度寄ってみよう。
(1)は二万円前後か……さすがに初学の段階では買えませんね。

まあ、実際には量子力学の方には興味なくて、古典論理で量子論理がエミュレートできないかに
興味があるんですよね。直観論理はなんかエミュレートできそうな感じですので、量子論理にも
なんかそういった切り口があるのかどうかを勉強したいと考えています。

素朴集合論の問題出してる院試ってある？

集合{φ,a,{b,c}}の部分集合って
φ、{φ}、{a}、{b,c}、{φ,a}、{a,{b,c}}、{φ,{b,c}}、{φ,a,{b,c}}
で全てでしょうか？

うん
2^( #{φ,a,{b,c}} ) = 2^3で = 8個

>>117
どうもです。

a=b=cって可能性はないの？

ごめん。{b,c}じゃなくて、{{b,c}}だからいいのか。でもφ=aは考えなくていいのかな。

a={b,c}かどうか、a=Øかどうかで場合分けないといけないね
両方成り立たない場合は2^3、片方成り立つ場合は2^2、
両方成り立つことはあり得ない

292

アレフ０より小さい無限を発見したよ
厳密な証明は�_なので以下骨子

素数の全体集合（P）と、そのベキ集合（P’）を考える
P’の任意の要素（= Pの部分集合） p'nを取り出し、番号として自然数を割り当てる。
割り当てる自然数は　p'n の要素（素数）を全て掛け合せた数とする。
例えば　p'n=( 2,3,5 )ならば 2*3*5=30 ( 7,9 )ならば、7*9=63　等々
するとP'の全ての要素に対し、一意に固有の自然数を割り振ることができる。
すなわちP'の濃度は可算濃度である。
ゆえにPの濃度は可算濃度より小さくなければならない。

以上

Pの有限部分集合は可算濃度だけどね。
無限部分集合の場合は？

素朴集合論習いはじめてよくやる間違いだな
この間違いをやらかすかやらかさないかでセンスの有り無しがはかれる。

マグロウヒルの集合論ってめちゃくちゃわかりやすい。
集合論の考え方を平易且つ必要事項をしっかり書いてるし、
理系学部初年度で集合論と位相をやらないのかな。。。
あれないと、数学の勉強するときに一々無用なところでひっかかるし、
教科書の記述はほとんど集合論的解釈で始まるから、ここ押さえてないとどうしても前にいけないし。
まぁでもそのときは物理数学的な本から学べばいいんだけど、そこでも少し出てくるしね。

数学入門として、現代数学の内部構造をはっきりさせてほしい。
よく代数幾何解析の３本って言われるけど、全然全体と符合しない気がする。
数学基礎論としての集合論がまずは基本になって、その解釈の上に代数や幾何・解析が展開されてる感じと思った。
そういうのがあったら、もっと早く理解できていくのに。

hoge

生靈神社はまだありますか

473

{a} = {a, a} = {a, a, a} = ...
aは無限にあってもいいのか？

その書き方で無限に列挙することはできません

ちんぽ！

>>126　数学勉強始めたばかりのやつによく起こる勘違い。

>> 126
？？　どこが違うの？

まちがえた

>>133
？？　どこが違うの？

正確じゃないってことでしょ。
集合論（ZFC）の以前に述語論理が存在している。
集合論で演繹が成立するのも二階述語論理があるおかげ。
それに最近は集合論が圏論にとって代わられようとしている。
他にもライトの基数オペレータとか、パースの存在グラフがある。
いずれにしろ論理学の推論規則が原型になっている。

なるほど。

線分上の点の集合は可算濃度って証明ありますか？

実数直線上の線分は不可算です

じゃあ不可算の証明は？

値域がその線分の範囲内に入るような実数上の狭義単調増加関数を作ればよろしい

>>140
自然数N と 線分AB に１対１対応 f(n) ∈R が存在するとする。(fの逆関数をgとする)
a[1] = min{ f(1), f(2) }
a[2] = max{ f(1), f(2) }
a[3] = f( min{ n | f(n) ∈ (a(1), a(2)) } )
a[4] = f( min{ n | f(n) ∈ (a(3), a(2)) } )
a[5] = f( min{ n | f(n) ∈ (a(3), a(4)) } )
...
b[2k-1] = min{ g{(a(2k-3), a(2k-2))} }
a[2k-1] = f( b[2k-1] )
b[2k] = min{ g{(a(2k-1), a(2k-2))} }
a[2k] = f( b[2k] )
のように数列 a[n], b[n] を定義すると、
　有界な狭義単調増加列 a[2n-1] (＜a[2k]＜a[2])
　有界な狭義単調減少列 a[2n] (＞a[2k-1]＞a[1])
　発散する(自然数値)狭義単調増加列 b[n] (∵ b[n+1]-b[n] ≧ 1)
が得られる。
実数の連続性により実数値 α=sup(a[2n-1]), β=inf(a[2n]) が存在する。
この時、 a[2k-1] ＜ α ＜ a[2k-2] (k≧3) (狭義単調性により等号は成り立たない)
b[n]の定義より、 g(α) ≧ b[2k]
一方b[n]は発散するので、g(α) ＜ b[2N] となる N が存在する。
矛盾により、１対１対応は存在しない。

論理式によって導かれた実数の定義式を
出てきた順番に並べればよい
よって実数は火山である

実数の連続性ということは、「実数直線上で連続的に並ぶ点は
その集合が連続体濃度であることを含意する」と表現できますか？

630

>>145
誤爆？