【log】高校生のための数学の質問ｽﾚPART191【log】

√(3)って実数ですか？

はい。

ここで解答してる人カッコヨス。

>>202
よかったな
ほめられてるぞ

c/(a+b)=a/(b+c)=b/(c+a)=k　であるときｋの値を求めよ。

お願いします。

a half

>>205 =kまで親切に書いてあるじゃん。

c=ak+bk
a=bk+ck
b=ck+ak
辺々足してa+b+c = 2k(a+b+c)
ここでk=0だとするとゴニョゴニョだから…（中略）で、
なぜか英語の>>206に。

ちょっと格好つけてみたかったんだ
夏だからね

俺の住んでる国は真冬です

f(x)=x^2(x＞0)の最小値を教えて

ありません

でも下にトツのグラフですよ？本当にありませんか？

>>212
x=0 のとき最小値をとりそうだけど
x=0 が定義域内にないのでありません

>>205

a、b、cが実数かどうかは書かれていないから
c=ak+bk
a=bk+ck
b=ck+ak
から
a、b、cを消去してkの3次方程式を求めそれを解くのが正しい。
貴方が複素数を習ったかどうかは知らないが。

バネ定数って何ですか？？？

x+y=√10,xy=√2のとき、y/x^2+x/y^2の値はいくらか

という問題で

対称式として解くわけですが、対称式に気付かずx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
を使って解いたら、間違えてしまいました。
対称式の公式でしか解けない問題の見極めが分かりません。

どうしたら良いでしょうか？

アホばっかでﾜﾛﾀ
k=-1もあるじゃん

>>215

物理板へ。
フックの法則と関係がある。

バネ定数ってなに？

全ての実数cに対してac=bcならばa=b　ただしa,bは実数
この命題は真ですか？

>>220
偽
判例は　c=0

>>220
偽

結婚しろ

>>217 正解。

>>207 検討しなきゃいけなかったのはｋじゃなくて、a+b+c=0って解が
ありうるかどうか、だったよ。

>>216
そのやり方も対称式での解き方なんじゃないか？

どういう風に解いても答えは同じ。

でもac=bcが成立するようなa,b(例えばa=1,b=2,c=0)は、
他のcに対して成立しないので不適ではないですか？
「全ての実数cに対してac=bc」なのでa=b=0に限られるのではないでしょうか？

a=bに限られるのではないでしょうか？

>>224

そうだったな。
脳ミソの中だけで考えたから間違えてしまった。

>>220

c≠0として考えればそれで良い。

>>229
全ての実数cに対してって書いてあるのに
>c≠0として考えれば‥
って何考えてんねん

>>230
一つ反例をあげれば命題は偽になる、ってことだろ
そのくらい察せよ

>>230

単なる冗談だ。

>>231

単なる冗談だ。

あほ回答者は黙れ

>>229 もなんか変だな。元の命題で直接的に「反例」ってのは変だし、
　偽であることを言いたいわけでもない。
・対偶「 a≠b ならばある実数cにおいてac≠bc」を考える、
　任意のc≠0に対してａ≠bの両辺をｃ倍すればａｃ≠bc よりこの命題は真、
　したがって対偶の元命題も真

・与えられた命題
　⇔すべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立する
ここで(a-b)c=0 ⇔ a=b または c=0
ｃ≠0の時を含めて成立するためには a=b

のどっちかで、ちゃんと厳密に言えてると思う。やや大げさではあるにせよ。

>>220

>>229なんだけどさ、よく考えたらa、bが実数であるとき
すべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立する⇒a=b
は真であることがが示せちゃうね。
確かにすべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立すると仮定して良い。
この命題が偽であったら即ちa≠bであったらa-b≠0だからc≠0であるとき(a-b)c≠0。
よって或るｃについて(a-b)c=0 が成立しないことになり仮定に反し矛盾が生じる。
従って与えられた命題は真である。

全ての実数cに対して、ac=bcならばa=b
全ての実数cに対してac=bcならば、a=b

の二通りに解釈できるってことでFA？

>>237

そう解釈出来る。
前者の場合はa=1、b=2、c=0のときが反例になる。
後者は直接証明可能。
だから問題文がやはり曖昧に表現されている。

関数 y=1+cos(θ)+sin^2(θ) の最大値と最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。ただし、0≦θ＜2πとする。

お願いします。

考えたこと
y=1+cos(θ)+sin^2(θ)
y=1+cos(θ)+1-cos^2(θ)
y=-cos^2(θ)+cos(θ)+2

>>239
y = 2 + cosθ - cos^2 θ と変形し x = cos θ とした
f(x) = 2 + x - x^2 の最大・最小を -1≦ x ≦ 1 で考える。

>>239
あとは平方完成するだけ。
-1≦cosθ≦1な

できました！
>>240さん、>>241さん
どうもありがとうございました。

0≦θ＜2πのとき -1≦cosθ≦1 となるのはなぜですか？
-1＜cosθ≦1 ではないのですか？

単位円を考えると、θは一周するだろ。
θ=πのときはcosθ=-1だ

0≦θ＜πならば-1＜cosθ≦1

>>244-245
そうですね。
なんか勘違いしてました。
どうもすみません。

>>216です

>>225
しかし、分子だけを計算して→
x+y=√10、xy=√2

y^3+x^3
→(x+y)(x^2-xy+y^2)
→√10{(x+y)^2-xy}
→√10(10-√2)
→10√10-√20
ここで分母の(xy)^2を２にして

5√10-√5
となりました。

しかし答えは5√10-3√5で、どうにも分かりません。

どなたか解説お願いします。

> →(x+y)(x^2-xy+y^2)
> →√10{(x+y)^2-xy}
ここが

165です、たびたびすいません。また積分の問題です。

1/2　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　<π/4 であることを証明せよ、ただし0≦x≦1　とする。
という証明問題ですが、答えを見ると定積分の大小関係を用いよ、と書いています。
ということはまず
∫〔0,1〕1/2dx　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　<∫〔0,1〕π/4dx
に直して区間〔0,1〕での 1/2,1/(1+√x),π/4　の大小関係を見るのだと思いますが
〔0,1〕では常に　1/2≦1/(1+√x)　が成り立つので∫〔0,1〕1/2dx　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　が成り立ちますが、
1/(1+√x)≦π/4　は常に成り立たないのでわからないと思います。

何を言っているのかわからないかもしれませんがお願いします。

>>249
1/2 < 1/(1+√x) < 1/(1+x^2)
を0から1まで積分

>>248

すいません、本当に分からなくて、どう正せば良いのか教えていただけませんか？

>>216
x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy
つーか、この因数分解の公式を先に覚えるのがちとマズイ
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)から導いていれば上のようなミスはしないはず
(その意味で単なるケアレスミスではない)

x, yを入れ替えても元と同じ式なら対称式。(2文字についての)対称式なら和と積の
四則で求まる
「対称式の公式でしか解けない」わけではない(連立方程式を解く手もあるで)

f(x)=x+(1/x)ってどんな形のグラフになりますか？
増減表かくのめんどくさいので・・

ベクトルと行列って仲良しなんですか？

>>253
漸近線がy軸とy=xの双曲線みたいな感じ。
もちろん双曲線ではないけどな

>>255
もっと詳しくｐｌｚ

素数か否かを一瞬で判別できる簡単な方法って無いですか？

>>254
街で手を繋いで歩いているところを見ました。

>>257
そんな君が見つければ、拍手喝采間違いなしだぜ！

まず一瞬がどれくらいか定義しようか

パッと見ただけで素数か否かを判別したいのですが

もし1+1=0なら地球は滅びますか？

>>260
頑張って見つけてください。

>>261
いえ。

>>250
ありがとうございます、何とか証明できました。
これの一個前で1/2 < 1/(1+√x) < 1/(1+x^2) の証明問題があったのは
これと繋がってたからなんですね。すいませんでした。

>>262
じゃあやっぱり、三十秒くらいで良いっす。

三角関数の方程式や不等式はsinｘ=ｙ　とか　cosX>ｙとかの形に直してから、
単位円を考えて解くんですよね？

>>264
10桁ぐらいまでの素数覚え解きゃ大抵は何とかなるんじゃねーの

>>253
グラフ書いてくれるフリーソフトぐらいあるよ、検索してみ

横レスだがGRAPESならアホでも使える

>>265
x^2+y^2=1とsin x=kならy=kと書き換えて交点考えればいい
わかんなかったら三角比の拡張から復習

f(x)=|x^2-6x+5|について、t≦x≦t+2のとき最大値が4となるようなtの値の範囲を求めよ。
（f(x)=4となるのはx=3、3±2√2のときです。）

自分は「t≦3≦t+2、t≦3+2√2≦t+2、t≦3-2√2≦t+2」となるようなｔの範囲を3つ求めたのですが、
解答では「区間t≦x≦t+2が区間3-2√2≦x≦3+2√2に含まれることが必要である」となっていて答えも全く違っていました。
自分の考え方ではどうしてダメなんでしょうか？

>>269
例えば、t+2=3-2√2だと最大値は4にならないです
グラフをよく見ると

>>269
グラフ描けば一目瞭然。2次関数がx軸から下にもぐる部分を
折り返した形になる。大雑把に言えばW型で、
真ん中の山のピークのｙ座標が4.（このときx=3）、
ここから水平に両脇を見て、同じ高さになるのがx=3±2√2のとき。

ということは、これよりちょっとでも外側を含んでしまうと、
伸ばした側の範囲の端が最大値を与えるｘになってしまう。

たとえば2√2≒2.8… だから3-2√2＞0だけど、
x=0で元の関数の値は5、これは4を超えてるよね。したがって、
定義域の最小値は3-2√2未満になれない。最大値側も同様。
これはすでに気づいている通り。

そして、3-2√2≦ｘ≦3+2√2の間に幅2の定義域を取るとき、
たとえば1/2≦x≦5/2 という範囲を取ると、関数の値が4になるはずの
3つのｘの値すべてが範囲に入らない、ということもあるので、これも
排除しなければならない。

ということで
x=3-2√2を定義域の最小値として含みうる t=3-2√2、
x=3+2√2を定義域の最大値として含みうる t=1+2√2、
x=3を幅2の範囲の中に含みうる 1≦t≦3
が求める範囲ってことになるわけで。

>>269 こうした、定義域そのものが動いて、その中での
最大値や最小値を考えるときは、一度簡単な工作をしてもらうと
分かりやすいと思う。

まず、1枚の紙にグラフを書く。
別の紙を用意して、細長い長方形の窓を切り抜く。幅は、
問題で与えられた定義域の幅、ここでは2になるようにする。

この窓を開けた紙をグラフを書いた紙に重ねる。もちろん、
細長い長方形の窓の長辺がｙ軸と平衡になるように置く。
そしてこのまどを平行にずらしてみる。

見えている範囲がグラフの定義域ってこと。このとき、見えている
範囲内でのグラフの最大値が4になるためには、窓の左端（ｘ座標ｔ）が
どの位置にあればいいか、という問題として、最初の問題を捉える
ことができる。一度実際に試しておくと、次からは思考実験として
処理できるようになって、分かりやすくなると思うよ。

どーでもいいが、3-2√2=√9-√8>0だな。2√2≒2.8という計算だと応用が効かん

>>270-273
レスありがとうございます。おかげでスッキリできました。

>>271
f(x)=4を取る値をt≦3≦t+2で挟むだけじゃダメなんですね。
グラフは書いてみたんですが、いまいちよくわかってなかったみたいです。

>>272
早速グラフをかいて工作してみたいと思います。

f(1/x)=sin3x*cos2x+cosx+e^(3x)-2
(1/x)=tと置き換えると
(1)f(t)=sin3t*cos2t+cost+e^(3t)-2
(2)f(t)={sin(3/t)}*cos(2/t)+cos(1/t)+e^(3/t)-2
(1)と(2)のどちらになるのでしょうか？

nを整数とし、y=n-x^2とx軸で囲まれる領域を考える。
この領域の内部および周に含まれ、x,y座標がともに整数である点の個数をa(n)とする。
√nを超えない最大の整数をkとする。
(1)a(n)を求めよ
(2)lim_[n→∞]a(n)/√n^3

この問題の(1)が進みません。
nに具体的な数字を入れた結果次のようになりました。
a(1)=4 a(2)=7 a(3)=10 (3ずつ増加)
a(4)=15 a(5)=20 a(6)=25 a(7)=30 a(8)=35 (5ずつ増加)
a(9)=42 a(10)=49・・・ (7ずつ増加)
範囲をとって場合分けをすると無限通りになってしまうし、かといって一つの式で表すのも苦しい状況です。
ガウス記号もこの問題においては使い方を見つけることができません。教えて下さい。

-k≦m≦kとなる整数mを考えてx=m上の格子点を数えて和をとる
> x,y座標がともに整数である点の個数

>276
y=n-x^2にy=1という補助線を引くと、
a(n-1)とa(n)の関係の漸化式が得られる
a(n)=a(n-1)+b(n)
ただし、b(n)は(-√n≦m≦√n)を満たす整数mの個数
で、これから
a(n)=a(1)+Σb(k)
だな。

あとは、b(n)がどの様にかけるのかを考えてみるといいと思う。

２次関数 y=ax^2+bx+cのグラフは原点を通る。
このグラフをy軸方向に-8だけ平行移動すると、点（4,-8)を通りx軸と接する。
このときa,b,cの値を求めよ

どなたかお願いします

>>279
情報を移動前、移動後どっちかに集約する。移動後のほうがやさしそう。

移動後は点（4、-8）を通りｘ軸と接し、かつy=ax^2+bx+c と同型だから
y=a(x-p)^2 の形で、x=4,y=-8 がこの式を満たす。

さらに、移動前に原点(0,0)を通っていたのだから、移動後には(0,-8)を通るので、
x=0,y=-8 も y=a(x-p)^2 を満たす。

これらからa,p が求められ、元のグラフはこれをｙ軸方向に+8平行移動したもの。

>>277->>278
ヒントありがとうございます、これから参考にして進めてみます。

>>280
ありがとうございました

>>275をどなたかお願いします

>>279の計算はどのようにすればよいでしょうか

>>284
原点代入。
平方完成。
移動。
代入。

>>275
(2)

>>284 >>280から
>y=a(x-p)^2 の形で、x=4,y=-8 がこの式を満たす。 
ここから-8=a(4-p)^2
>>284 >>280から
>x=0,y=-8 も y=a(x-p)^2 を満たす。 
ここから-8=a(0-p)^2=ap^2
　　……もしここまでで引っかかるならこれ以前の問題を徹底復習。
　　できてたのなら、「質問者はできたところまでは示す」こと。

ってことは
a(4-p)^2=ap^2 (どっちも-8に等しい）　
 a≠0だから（0だと2次関数にならない）
(4-p)^2=p^2 →16-8p=0 → p=2 
-8=a(4-2)^2 = 4a a=-2

y=-2(x-2)^2 をｙ軸方向に+8平行移動すれば元のグラフに戻る。

>>260
素数を全部覚えて、
見た数字が素数かどうか判定すれば一瞬で判定できるぜ！

素数は無限にあるのにどうやって全部覚えるんだよ
脳の記憶領域は有限だろう

f(x)＝f(y)を満たす、相異なる実数x、yが存在しない条件を教えて下さい

受験に出てくる素数は有限だ！

全部は無理だが、あらかたの素数を判別する方法ならあるぞ。
ただし、ラマヌジャン程度の数学力を前提とするが。

>>290
fが単射

>>293


単射はどういう意味ですか??

>>285
>>287
丁寧な説明ありがとうございました

>>294
>単射はどういう意味ですか??

f(x)＝f(y)を満たす、相異なる実数x、yが存在しない
っていう意味

その問題文だけではこれ以上の言い方が無いっていう事。

lim_[n→∞](5+b_n)=5がよくわかりません。詳しく教えて下さい。

>>296

f(t)＝t^5−at^4＋t^3

の場合はどうでしょうか??

三乗根√512
↑これが4三乗根√4になるようなのですが…
どなたか説明して頂けないでしょうか？

>>299
なりません