◆ わからない問題はここに書いてね ２４７ ◆

>>901 も楽しいyo.

漸化式から特性多項式は
t^5 -2t^4 -4t^3 +4t^2 +2t -1 = (t-1)(t^4 -t^3 -5t^2 -t+1)
　= (t-1){t^2 -((1-√29)/2)t +1}{t^2 -((1+√29)/2)t +1},

t^2 -((1-√29)/2)t +1 = 0　の根を b,1/b とおく。
t^2 -((1+√29)/2)t +1 = 0　の根を c,1/c とおく。

〔補題〕
　a[n] = (1/√29){-b^(n+1) -(1/b)^(n+1) +c^(n+1) +(1/c)^(n+1)},

(略証)
d=1 とおくと、一般項は上記により
　a[n] = B*{b^(n+1) + (1/b)^(n+1)} + C*{c^(n+1) + (1/c)^(n+1)} + D*d^(n+1),
とおける。 B,C,D は 初期条件により決まる定数である。
これを a[-3]=a[-2]=1, a[-1]=0, a[0]=a[1]=1 に代入して
　b + 1/b = (1-√29)/2,
　c + 1/c = (1+√29)/2,
　b^2 + 1/b^2 = (11-√29)/2,
　c^2 + 1/c^2 = (11+√29)/2,
を使えば
　-B = C = 1/√29,　D = 0,