「L change the WorLd」の数学少年ニアが解いた問題

中心をＯとする円０の円周上に２点Ａ，Ｂがある。
円０の内部に円０と点Ａで接する円１、円０と点Ｂで接する円２を描いたところ円１と円２が接した。
点Ｏから円１と円２の接点における接線へ下ろした垂線の足をＣとする。

ＡＢ＝２６
ＢＣ＝３
ＣＡ＝２５
のとき
ＡＯ：ＯＣを求めよ。

前半部分は私が図から文章に起こしました。
答えは１３：１１でＭＫ→ミッドカインと暗号になっていたわけですが、
自分でチャレンジしてみるとこれまた超難問なんですわ。
出典は数オリかなんかですかね？
スラスラ解いたニアは天才だと思いますが、そもそもはマキちゃんに出された宿題なわけです。
絶対にマキちゃんには無理だと思いますｗ

というわけで、解法わかる方はお願いします。

あと、Ｌとマキとニアがメイド喫茶にいるとき、
ニアが白と黒の角砂糖を並べていたらＬがフィボナッチ数列だとか言いましたが、
あれはどうみたらフィボナッチ数列になるんでしょうか？

その他もろもろ数学少年ニアについて語りましょう。

糞スレ立てんな！

これはありがたいスレ
なんか劇中ではいろんな補助線足されてたよな…
俺には解けそうになかった…

>>1
フィボナッチ数列のやつはたぶん、
色は関係なしに、個数で決まってるんだと思う。
実際のフィボナッチ数列とは初項はちがうけど、2,2,4･･･みたいになってた希ガス

やってみたが全然わからん…
方針も立たん…

レスが伸びません　

需要ないでつ

円1,2の中心を結ぶ
三角形二つにメネラウスの定理

つまらん

ピラニア

アンモナイト

この程度で超難問ってどこの大学生だよｗ

福岡大学

>>12
っFラン

>>7
？？？
解けないけぞ

>>11
解いてから言えよ

そして誰も解けなかった・・・

やはり糞スレだなｗｗｗ

数学板の住人の実力ってこんなもんなの？

>>17
オマイ解けんの？

解けないけど何か？

>>19
数板の住人も解けませんけど、何か？

さすがニアはＬの後継者だけある

kingはチンカスだけどねｗｗｗ

そうだkingの脳にこの問題を送って解いてもらおう

kingが解けるわけねぇーじゃんｗｗｗ　

あいつキモオタニートだぜｗｗｗ

Reply:>>22,>>24 大陸に帰れ。
Reply:>>23 何をしようとしている。

ラングレー系のヒラメキ問題か？

>>25
この問題解けよ

円１の中心：Ｏ１
円２の中心：Ｏ２
円１と円２の接点：Ｔ
ＣＴとＯＯ２の交点：Ｓ
ＡＢ＝ｃ
ＢＣ＝ａ
ＣＡ＝ｂ
ＯＡ＝ＯＢ＝ｘ
ＯＣ＝ｙ
円１の半径＝ｒ１
円２の半径＝ｒ２
∠ＯＡＢ＝θ
∠ＣＡＢ＝α
∠ＡＢＣ＝β
∠ＢＣＡ＝γ
∠ＯＯ１Ｏ２＝φ
∠Ｏ１Ｏ２Ｏ＝ψ

とすると

△ＳＣＯ∽△ＳＴＯ２より
y/r2=((x-r2)-r2/cosψ)/(r2/cosψ)
整理すると
y/x=(r1-r2)/(r1+r2)　　　　　…�@

△ＯＯ１Ｏ２における余弦定理より
(r1+r2)^2=(x-r1)^2+(x-r2)^2-2(x-r1)(x-r2)cos(π-2θ)
cosθ=c/(2x)を用いて整理すると
r1r2+(xc^2/(4x^2-c^2))(r1+r2)-x^2c^2/(4x^2-c^2)=0　　　　　…�A

△ＯＢＣにおける余弦定理より
a^2=x^2+y^2-2xycosψ　　　　　…�B

△ＯＢＣにおける正弦定理より
a/sinψ=y/sin(β-θ)　　　　　…�C

未知数：x,y,r1,r2の４つ
対して
方程式：�@、�A、�B、�Cの４つ（互いに同値ではない）

手計算ではやる気が無くなりました
数式処理システム使える人はお願いします
もしくは手計算でがんばれるつわものはお願いします

円1と円2の接点をＤとして、直線ＡＤと円0のＡ以外の交点をＥ、直線ＢＤと円0のＢ以外の交点をＦとする。
円1の中心をＰ、円2の中心をＱとし、Ｄでの接線と円0の交点をＲとＳとする。
条件より∠ＰＤＡ＝∠ＯＡＤ＝∠ＯＥＡなのでＯＥ//ＰＤが言える。ＰＤ⊥ＲＳなのでＯＥ⊥ＲＳとなる。
したがって3点Ｅ、Ｃ、Ｏは同一直線上で、ＥＲ＝ＥＳであることがわかる。よって∠ＥＳＲ＝∠ＥＡＳからＥＳ^2＝ＥＤ×ＥＡとなる。
対称性から4点ＥＣＯＦが同一直線上だと言え、△ＥＣＳ∽△ＥＳＦよりＥＳ^2＝ＥＣ×ＥＦとなるので、ＥＤ×ＥＡ＝ＥＣ×ＥＦ
よって4点ＣＤＡＦは同一円周上。同様に4点ＣＤＢＥも同一円周上なので、∠ＦＣＡ＝∠ＦＤＡ＝∠ＥＤＢ＝∠ＥＣＢ　すなわち∠ＦＣＡ＝∠ＥＣＢ
したがって直線ＯＣに関してＢと対称な点をＴとすれば、3点ＡＣＴは同一直線上でＯＡ＝ＯＢ＝ＯＴとなり∠ＯＡＣ＝∠ＯＴＣ＝∠ＯＢＣとなる。
∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣであることから4点ＯＡＢＣは同一円周上なので、ＯＡ＝ＯＢ＝x、ＯＣ＝yとすれば、トレミーの定理より
ＢＣ×x＋ＡＢ×y＝ＡＣ×x　となる。
今ＡＢ＝２６、ＡＣ＝２５、ＢＣ＝３なので代入して式を整理すれば11x=13yとなる。
よって以上からＯＡ：ＯＣ＝１３：１１

数値解が求まりました。

x=16.25
y=13.75
r1=14.4444
r2=1.2037

これより厳密解は

x=65/4
y=55/4
r1=130/9
r2=65/54

でしょう

比を求める問題でありながらビシバシ決まるんですね

>>1の問題は序章に過ぎず、
発展させたx,y,r1,r2を求めよの方がこの問題の本質だと思います

ということで次は>>29のように幾何的にx,y,r1,r2を求めることを目標にしましょう

>>30
まったく本質ではないと思いますけどね。

点Ａから直線ＢＣに下ろした垂線の足をＵ、点Ｏから直線ＡＢに下ろした垂線の足をＶ、点Ａ,Ｂから直線ＯＣに下ろした垂線の足をＷ、Ｘとする。
三平方からＡＵ＝２４，ＣＵ＝７となる。直線ＡＵと直線ＯＣの交点Ｙをとすると、ＣＹは∠ＡＣＵの二等分線なので
ＡＹ：ＹＵ＝ＡＣ：ＣＵ＝２５：７
よってＹＵ＝２１／４でありＣＹ：ＹＵ：ＵＣ＝５：３：４
△ＣＹＵ∽△ＡＯＶ∽△ＣＡＷ∽△ＣＢＸからＡＯ＝ＶＡ×５／４＝ＢＡ×５／８＝６５／４
したがってＣＯ＝ＡＯ×１１／１３＝５５／４
ＡＷ＝ＣＡ×３／５＝１５、ＣＷ＝２０、ＥＷ＝ＯＥ＋ＣＷ‐ＯＣ＝４５／２で、ＡＷ//ＤＣよりＤＣ＝ＡＷ×ＥＣ／ＥＷ＝５／３
よってr1＝ＯＡ×(ＡＷ‐ＤＣ)／ＡＷ＝６５／４×８／９＝１３０／９
r2も同様に求まる。

x=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))c
y=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))|b-a|
r1=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))(-a+b+c)/(a+b+c)c
r2=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))(a-b+c)/(a+b+c)c

>>31
垂線の足をＷ、Ｘとするまで読んだ

俺には絶対無理だわ。　

果敢に挑戦するあなた達を尊敬します

図形問題はどんなに複雑なプロセスを経ようとも結果がシンプルならばエレガントな解答がある

エレガントな解答をもとむ

>>1は解答を理解出来ないのなら最初から問題出さないで下さい

平面幾何は数学じゃないだろ
パズルだ

幾何学は数学の一分野の筈ですが、そこの所はどの様にお考えで!?
と聞きながら>>38のほっぺにぶつかるほどマイクを近付けるテスト

点Ａにおける接線、点Ｂにおける接線、円１と円２の接点における接線は１点で交わり、これをＤとする。
また、ＣＡ上にＣＢ＝ＣＥとなる点Ｅをとる。
このとき△ＥＢＣ∽△ＡＢＯ、△ＯＢＣ∽△ＡＢＥとなる。（証明終）

点Ａにおける接線、点Ｂにおける接線、円１と円２の接点における接線は１点で交わり、
これをＤとすると、五角形ＡＤＢＣＯは円に内接する。
また、ＣＡ上にＣＢ＝ＣＥとなる点Ｅをとる。
このとき△ＥＢＣ∽△ＡＢＯ、△ＯＢＣ∽△ＡＢＥとなる。（証明終）

これ答え映画に中にあったのに>>1は理解できなかったのか？
>>40-41がそれだよ

なんで五角形ＡＤＢＣＯは円に内接するの？

>>43
ODが直径になってるでしょ

ttp://www.dailymotion.com/peluchette-en-sucre/video/x6291q_l-change-1

　　 ／￣￣＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　 （ ●）（●）
.　|　　　　 （__人__）　　フィボナッチ数列？
　 |　　　　　｀ ⌒´ﾉ　　　おかしいだろ、常識的に考えて…
.　 |　　　　　　 　 }
.　 ヽ　　　　　 　 }
　　 ヽ　　　　　ノ　　　　　　　　＼
　　　/　　　 く　　＼　　　　　　　 ＼
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この問題のソースってなんだろうね
>>1が言うように数学オリンピックかなんかかな

age

フィボ( ● ´ ー ｀ ● )数列

50

ちょっｗｗｗｗｗｗ
どうしてあのアジアン坊主がニアなんだよｗｗｗｗｗｗ
ニアはもっとヨーロピアンで髪の毛はクリンクリンじゃなきゃ！！！！！

あげ

hosyu