こんな確率求めてみたい その1/5

とりあえず2次元版。虫の起動は半直線ではなく直線とする。
xy平面を考え、巣は X:=[-1,1]×{0} と Y:={0}×[-1,1] ということで考える。

まず、Xを通る軌道のうちYも通る確率 P(X∩Y)/P(X) を求める。
Xを通るとき、Xのどの点を通るかは等確率である。
点A=(x,0)を通る軌道がYを通っている確率は、
θ(x) := ∠BAC (B=(0,1), C=(0,-1)) とおくとθ(x)/π。
θ(x) = 2arctan(1/|x|) なので、
P(X∩Y)/P(X)
= (1/2)∫[-1,1]θ(x)/πdx
= (2/π)∫[0,1]arctan(1/x)dx
= … = 1/2 + (1/π)log2
これをpとおくと、
P(X) = P(Y) = (1/p)P(X∩Y)
P(X∪Y) = P(X)+(Y)-P(X∩Y) = (2-p)/p P(X∩Y)

これより求める確率は、
P(X)/P(X∪Y)
= 1/(2-p)
= 1 / (3/2 - (1/π)log2)
≒ 0.78

あんまり綺麗な答にならなかった。