加法定理

加法定理を回転行列を使って証明するのは問題があるのかないのかどっち？

循環論法らしいけど違うという人もいる

Reply:>>1 それは座標の存在を前提にして考えている。行列を使っても特に問題はないのだが、座標を考えなくても証明できることに注意。

どの加法定理のことを言っているのか。

高校の範囲ではダメ

Reply:>>1 原始的に理論を構成する場合は、回転行列では証明できない。

Reply:>>1 問題は、三角関数をどう定義しているかだ。

>>2
循環論法と聞いていたんですが調べてみたら大丈夫そ言っている人もいたので聞いてみました

>>3
>それは座標の存在を前提にして考えている
前提にしたら何か問題があるんですか？

>>4
今聞きたいのはcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβとかの証明です

>>5
では大学の範囲なら大丈夫ですか？

微分方程式x''=-xの解で定義するのが楽

でも高校レベルでも
回転行列でいいんじゃないか？

ベキ級数から始めると辛い

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Reply:>>8 座標は前提にしてもいいようだ。
Reply:>>11 複素数x,yに対して、exp(x+y)=exp(x)exp(y)であることを証明すればあとは簡単だ。

>>7
三角関数の定義は単位円とx軸となす角がθの半直線との交点のx座標をcosθ、y座標をsinθとかかな

>>8
cos,sinをそう定義するんですか？はじめて見ました

>>10
別に循環論法になりませんかね？

ではやってみ

周期の存在はどうすんのかな

Reply:>>14 原始的な構成法の場合、図形で証明するしかないだろう。あるいは回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べることも考えられる。

微積の教科書買え阿呆

東大の入試のときは回転行列を使った証明は正解にはならなかったみたいだね

>>17
>図形で証明するしかないだろう
余弦定理とかを使ったよくみる証明のことですか？

>回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べる
たぶんここら辺が循環論法になるとかならないとかだと思うんですけど

kingが賢く見えるが…やっぱり気のせいだった

Reply:>>20 回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べるのは、加法定理を調べるのと似たようなことになるだろう。
Reply:>>21 どういうことか。

Ｒ(θ)をθ回転させる行列とすると
Ｒ(α)Ｒ(β)=Ｒ(α+β)
なんだから加法定理の証明になってるだろ
それともこの等式が成り立つのは加法定理から導かれるもんなのか？

＞23
鶏と卵

>>23
証明になってるだと？
笑わせるなよ文系ｗｗｗｗ

具体的に>>23のどこがいけないの？

>>26
おそらくＲ(θ)がある点をθ回転させるということがわかるのは加法定理を用いることからわかる性質

>>25
最近、数学は文系ではないかとつくづく思う。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

ベクトルを行列使わずに回転させればよろし。

例えば(a,b)をθ回転させるには、
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)と考えれば、
a(cosθ,sinθ)+b(-sinθ,cosθ)となることぐらい分かるだろう

これを用いて(cosα,sinα)をβだけ回転させる

>>30
なんで成り立つの？

　　　　　　　　　　　　　　　このパターンで延々と1000を目指そう..._〆(ﾟ▽ﾟ*)

>>31
何が？

(1.0)を回転させるとどうなるかは分かる。
(0,1)もわかる。
これがわかれば、(cosθ、sinθ)を回転させるのも簡単

age

>>34
(1,0)や(0,1)で言えたことをそのまま(cosθ、sinθ)に流用して
よいことの理由が無い。突き詰めていくと結局、加法定理が必要。

↑
アホ

(cos、0)と(0,sin)を回転させるとどうなるかわかる。
(cos、sin)はそれを足しあわせりゃいいだけ。

(cos.0)と(0,sin)を合わせれば(cos,sin)になる理由がない
とか言わないでくれよ？あまりにもばかばかしいから。

(cosα,sinα)をβだけ回転させる

まず，(cosα,sinα)=cosα(1,0)+sinα(0,1)と分解し，
(1,0),(0,1)をβ回転させると，(cosβ,sinβ),(-sinβ,cosβ)となることから

(cos(α+β),sin(α+β))=cosα(cosβ,sinβ)+sinα(-sinβ,cosβ)
=(cosαcosβ-sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ)

これのどこに加法定理を使っているというのだ？

ｘ方向への単位長さの基本ベクトルを何倍するかという掛け算と
ｙ方向への単位長さの基本ベクトルを何倍するかという掛け算を指定すれば
二次元の平面上の位置ベクトルを指定できたことになる。
ｘｙ二方向への単位長さの基本ベクトルをそれぞれθだけ回転させてから
それぞれに対して同じ掛け算を作用させれば
位置ベクトルをθだけ回転させたことになる
だからθ＋π/２のサインコサインの公式だけでサインコサインの加法定理が導けるわけね

それが回転とわかるのは線形性からきてるんでしょ？
高校生には無理

高校レベルに限定する理由ないだろ。

回転と数学的帰納法との組み合わせで解決するんじゃないの？

すまん
これ、倍角の場合だった

自分のころの教科書では行列で証明されてましたよ

それ以外の方法だと、とても難しくなってしまうのかも

>>41
大げさすぎ
長方形ごと回転させると考えれば誰でもわかる

age

>>39
それじゃだめだｗｗ

>>48
どこが？

>>39 論外。

>>50
だから何処が？
具体的に言ってみ

なんかロピタルの定理のスレの昔の展開と似たようなことになっとるな

cosα　cosβ 　　−　　sinα　sinβ
殺す　殺す　轢かれて　死ね　死ね

age

>>53
えっ？
「コスモス咲いた」とかで覚えなかった？

>>53
ゆとり乙

俺は語呂合わせすら使わなかったが‥

age

cos(A+B)=
cosAcosB-sinAsinB
コスコスマイチンチン

　

回転行列が一次変換であること、が前提にあれば回転行列を使った証明でも構わない気がする。
そんな前提はダメだろうけど

まずは回転とはどういう物なのかを定義するところから

回転操作は群を為す
回転した後も2点の長さは変わらない
回転しても向き付けは変わらない
ここまでは成り立っていて欲しい

あと「角度aの回転＝(1,0)を(cosa,sina)に移す回転」として
そのような回転操作が一意的に決まって欲しい

>>63-64から回転が線形変換であることを示すには10行程度かかる
更に回転を実際に構成するのもめんどう
結局は教科書に載ってるようなやり方に比べると遠回りになるように見えるが
しかし教科書に載ってるようなやり方も厳密ではなさそうだし
どんなやり方でもいちゃもん付ければめんどくさいことになりそうな気がしないでもない
もはや加法定理において短い証明は考えられないと言ってよい

三角関数以外の関数の加法定理の話題もすべきである

>>66
誰も止めはしない、さあ思う存分やりたまえ

うるさい。

389

157

f,g:R→Rが
・f(0)=0、f(π/2)=1、∀x∈[0,π/2] cosx,sinx≧0
・x∈[0,π/2]上でf(x)は単調増加
・∀x∈R (f(x)^2+g(x)^2=1 and f(x+π/2)=g(x) and g(x+π/2)=-f(x))
という基本的な性質を満たしただけじゃf,gはsin,cosにならない
だから
・x,y∈Rに対して(f(x+y),g(x+y))と(f(x),g(x))の距離はxに依らない
という性質も満たすようにするとf,gは一意的に決まるからsin,cosになる筈
ならば↑の性質達だけから加法定理もsinx/x→1(x→0)も導ける筈だが
そんな作業に何の意味があるのかと言われると困るのでsageでメモるだけ

age

・(cos(x+y),sin(x+y))と(cosx,sinx)の距離はxの値によらない
ってのは高校数学だとどうやって証明するんだろう

A=(cos(x+y),sin(x+y)) B=(cosx,sinx)
C=(cosy,siny) D=(cos0,sin0) O=(0,0)とおいたとき
∠AOB=∠CODかつOA=OB=OC=OD=1だから△AOBと△CODは合同
よってAB=CDとなるのでxによらない事が分かる
でいいんだろうか

加法定理の証明は、作図では　少しややこしいけれど、

それを常識と考えれば、応用はたくさんあるっ　!

653

236

>>1
cn,sn,dnとかワイエルシュトラスのペーとかの加法定理は何で無視するんだ？

たまにはageとかないと乾燥しちゃう

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