◆ わからない問題はここに書いてね ２４２ ◆

十五日。

シュワルツ不等式にて
(a1b1...+anbn)^2≦(a1^2...+an^2)(b1^2+...+bn^2)
を証明せよ

右辺ー左辺≧０で解きたいのですが解りません。
教えてください、どうかよろしくお願いします

>>953
>> 右辺ー左辺≧０で解きたいのですが解りません。

シュワルツ不等式の証明には以下のお決まりの方法があるんだけどw
a=(a1,…,an)、b=(b1,…,bn)で定義して積*をその内積とすれば
変数λに対して

(λa-b)*(λa-b)=(λa-b)^2≧0
a*aλ^2-2a*bλ+b*b≧0

であるためにはλが実根を持たないか持っても重根で
なければならない。判定式は

(a*b)^2-a*a b*b≦0 つまり
(a*b)^2≦a*a b*b

等号はλa＝b の時、つまりa、bが平行の時に限る。

>>953
右辺＝Σ[p,q=1→n](ap)^2(bq)^2
左辺＝Σ[p=1→n](ap)^2(bp)^2+2Σ[p,q=1→n;p≠q](ap)(bp)(aq)(bq)

右辺の項をp＝qとp≠qに分類して、
p＝qの項は左辺の(ap)^2(bp)^2との差
p≠qの項は左辺の2(ap)(bp)(aq)(bq)との差
を考える

ちょっと表現が不正確だった

右辺＝Σ[p,q=1→n](ap)^2(bq)^2
＝Σ[p,q=1→n;p=q](ap)^2(bq)^2+Σ[p,q=1→n;p＜q](ap)^2(bq)^2+Σ[p,q=1→n;p＞q](ap)^2(bq)^2
＝Σ[p,q=1→n;p=q](ap)^2(bq)^2+Σ[p,q=1→n;p＜q](ap)^2(bq)^2+Σ[p,q=1→n;p＜q](aq)^2(bp)^2
　（最後のΣのpとqを入れ替えた）
＝Σ[p,q=1→n;p=q](ap)^2(bq)^2+Σ[p,q=1→n;p＜q]((ap)^2(bq)^2+(aq)^2(bp)^2)

左辺＝Σ[p=1→n](ap)^2(bp)^2+2Σ[p,q=1→n;p＜q](ap)(bp)(aq)(bq)

こう整理してから引き算すればOK

Σ(ai)^2 * Σ(bi)^2 - (Σ(ai*bi))^2
= Σ[i,j] (ai)^2*(bj)^2 - Σ[i,j]ai*bi*aj*bj
= Σ[i≠j] (ai)^2*(bj)^2 - Σ[i≠j]ai*bi*aj*bj
= Σ[i<j] {(ai)^2*(bj)^2+(aj)^2*(bi)^2} - 2Σ[i<j]ai*bi*aj*bj
= Σ[i<j] (ai*bj-aj*bi)^2

1/X+1/Y=1/2を満たす整数解を求める

途中の式はどう書けばいいのですか？？

(X-2)(Y-2)=4

ごめんなさい
どういうことですか？？

2x+2y=xy
xy-2x-2y=0
xy-2x-2y+4=4
(x-2)(y-2)=4

理解しました
ありがとうございます！

ε論法を最近学び始めました。よろしくお願いします。

アルキメデスの公理（任意の実数h,M>0に対して、M<nhとなる自然数nが存在する）は、
lim[n→∞]1/n=0と同値であることを示せというものなのですが、手も足も出ません。

よろしくお願いします。

まず

lim[n→∞]1/n=0

の意味というか定義をε-δ論法で書いてみようか。

>>964

重積分の問題なんですけど…
D={(x,y):y≧x, x≧0, y≦2}に対して、二重積分
I=∬[D] (y^2)(e^y^-4)dxdy を考える

�@累次積分で表せ
�AIの値を求めよ

�@は∫[0→2]dy∫[0→y](y^2)(e^y^-4)dx
と自分なりに累次積分にしてみたんですが（あってますか？）ココからがIを求めようと
∫[0→2]dy∫[0→y](y^2)(e^y^-4)dx
=∫[0→2](y^3)(e^y^-4)dy

となりこの積分が自力で解けず、詰まってしまい求められなくなっています。
極座標変換みたいに(x,y)を何らかで変数変換すればいいんでしょうか？

ご指導お願いいたします。

>>964
すみません、>>965はミスです。

∀ε>0に対し、
n>N⇒｜1/n｜<ε
となる自然数Nが存在する。

であってますか？

グラフ理論についての質問です。
n次元の立体（ポリゴン状のもの）をつぶしたものがグラフであると定義したとき、
グラフの辺に元の長さの情報があれば、（完全に可能かは別として）n次元の立体を再構築できますよね？
言い換えるなら、グラフ＋重み、として近似できる物理的ネットワークはn次元の立体と等価かで
あるように解釈できるはずです。

こんなふうにしてインターネットや脳を解釈したりすることはできませんか？
そういう理論は無いのでしょうか？

>>967の記述法だと、

自然数Nがすべてのεに対して存在する

のか、

すべてのεに対して自然数Nが存在する

のかが曖昧。まず上の二つの意味が違うということを理解することが
εーδ論法（この場合はε-N論法だけど）では大事になる。

で、今の場合はどっちかなんだけど、この条件がアルキメデスの公理と
同値な条件であることを示せばいいんでないかい

>>968
ニューラルネットワークとかの話？
情報系の先生に聞いた方が委員でないの。

>>969
すみません、僕には、
『自然数Nがすべてのεに対して存在する』 も、
『すべてのεに対して自然数Nが存在する』も、同じ意味のように感じられるのですが・・・。
すみません。

>>966
t=y^4

>>971
日本語が似てるが全然違う。
ご飯を食べてから、宿題をする
と
宿題をしてから、ご飯を食べる
くらい違う

>>973
感動した。今度その喩え使わせてもらうよ。

>>954>>956-957
詳しい説明ありがとうございました。
よく読み直して再考いたします。

「x^n+ax+bは(x-1)^2で割り切ることができる。このとき、a,bを求めよ。ただしｎは２以上の自然数とする」

ｎ＝２を代入してa=-2,b=1

これであってますか？

(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2
n=3を代入すると、a=-3,b=2になりましたね。
さて、n=4のときは？5のときは？どうする？

>>971
εδでつまずくのは、まずここだからなぁ。

すべてのεに対して、（それに対応した）Nが決まって、
n>N ならば …

と

あるNが存在して、すべてのεに対して（つまり、どんなεに対しても）
ｎ>N ならば …

というように、意味が変わる。
上の方は、εを変えると、それに応じてNを変えてよい。
下の方は、どんなεに対しても、同じNでなければならない。


今の場合はどっちだろうか。


ここわからないと、一様収束を理解できない。

>>976
そもそも問題を誤解している。
自然数nが与えられた時に、それに応じたa,bを求めよ。
つまりa,bをnの式で表せ。という問題だ。

うわ、名前欄にゴミが残ってた

幅が一定な帯状の紙をきっちりと結んだとき、結び目が正五角形になることを証明せよ。

実際にやってみたところ正五角形らしきものができましたが、証明の仕方がさっぱりです。
よろしくお願いします。

>>978
僕は上の、あるεに対して、あるNが存在して・・・というのしか聞いたことがありません。

すみません。
もう少しヒントをもらえませんか？

黙れもっと自分で考えろ！
ヒントも何も、俺らがヒント(982が何を言おうとしてるのか不明)を与えてほしいんだっつーのｗ

>>983
考えても全くわからなくて、手も足も出ないので質問させていただきました。
僕が今悩んでる問題は、アルキメデスの公理（任意の実数h,M>0に対して、M<nhとなる自然数nが存在する）は、
lim[n→∞]1/n=0と同値であることを示せというものなのですが、それの前段階として、
きちんと僕は意味・定義を理解できていないようなのですが、僕はどうしたらいいんでしょうか。

そこが運命の分かれ道で、わかるまで足掻くか、わからないままでやり過ごすか。
今理解できなければ一生理解できないと思っていいだろう。

図書館に行ってε-δについて解説している本を探してもいいし、最近じゃネットにも
ゴロゴロころがっているけど、一番いいのは先生を捕まえて理解するまで質問する
ってことだな。安くない金払ってんだから。

記号で書くと
1/n→0ってのは
∀ε、∃N　st 　∀n>N→|1/n|<ε
(めんどくさいから、ε>0とか細かいのは略)
|1/n|=1/nで、1/n<εってのは1<εn

アルキメデスの公理は
∀ε、a　∃N　st ∀n>N→ε*n>a
1/nの極限ってのは
a=1の場合ですね

どうみても同じだろ？何がわからん

>>985>>986
なんだかわかったような気がします。ありがとうございました。

集合X上の実数値関数からなる集合をF={f_λ}_λ∈Λとする。
Xに、Fに属するすべての関数が連続になるような、一番弱い位相O_ω(F)がただ一つ入る。
その基本近傍系を記述せよ。

問題文の意味からして分かりません。
近傍系ってのは点に対応するものだと思うんですけど、点なんて与えられてないし……

Reply:>>988 実数空間の開基として、開区間全体の集合がある。

Reply:>>988 各点の基本近傍系を記述するか。

69×61の長方形を9個の正方形に分けなさい

>>991
61*61
1*1

>>988
教科書嫁
とりあえず、近傍系とは何か？位相とは何か？答えてみ。

>>988
例えば点a∈Ｘにたいして
実数値関数として
f(x)=1（x=a）,O（それ以外）
を考える
これが連続であるためには
一点集合{a}がＸの開集合でなくてはならない
つまり一番弱い位相というのは
すべての点が開集合となる離散位相のこと

どうして
Reply:>>とつけるのですか？
普通に
>>1
とかでいいじゃん。

俺は他人と違う！
他人と違うかきかたをしないと気がすまない人なのですか？

新参者か・・・

Reply:>>254 則■が登場

>>996
自演乙

>>990
死ねよ、雑魚

十六日十時間。

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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。