数学基礎論の質問スレッドその4

1 ：１３２人目の素数さん：2008/04/11(金) 16:45:38

前スレ
数学基礎論の質問スレッド　その３
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/

2 ：１３２人目の素数さん：2008/04/11(金) 16:47:20

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

3 ：１３２人目の素数さん：2008/04/11(金) 17:05:52

>>1 ☡

4 ：１３２人目の素数さん：2008/04/11(金) 17:18:46

危険な曲がり角ｗ

5 ：１３２人目の素数さん：2008/04/12(土) 03:34:18

関連スレ（枚挙不能？）

非古典論理について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/

超準解析（NonstandardAnalysis）
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167291485/

6 ：１３２人目の素数さん：2008/04/12(土) 03:36:20

最近の証明論の流れについて
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1124292993/

忘れてた。

7 ：１３２人目の素数さん：2008/04/12(土) 09:33:18

age

8 ：１３２人目の素数さん：2008/04/12(土) 11:50:32

理論計算機科学スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1102118040/

9 ：１３２人目の素数さん：2008/04/13(日) 00:23:08

すいません、「ならば」の記号に
|= とか ∴ とか ⊆ とかを使ってるのを見たこと或る人居ますか？

10 ：１３２人目の素数さん：2008/04/13(日) 20:37:05

一応、一階述語論理なら
A|=B と A|-B と |- A→B
は同値になるが、「ならば」の記号をわざわざそれにすることはあんまり無いと思う

11 ：１３２人目の素数さん：2008/04/13(日) 21:03:29

直観主義の「ならば」は ⊃ を使う習慣があるみたい

12 ：１３２人目の素数さん：2008/04/13(日) 21:09:29

Gentzenあたりが由来かと思ったら。
PeanoとかBurali-Fortiの論文はCをひっくり返して「ならば」に使ってた。
似てるといえば似てる。
Russellが型の理論の論文で⊃を使ってる。以外と古いな。

13 ：１３２人目の素数さん：2008/04/15(火) 16:09:05

前スレで少し話題に出てた「限定算術」の本、注文したままで忘れかけてた頃に
ようやくやって来た。さて、読むべし、読むべし

http://up2.viploader.net/upphp/src/vlphp183911.jpg

14 ：１３２人目の素数さん：2008/04/18(金) 16:24:18

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90の
デデキント無限の段落にある弱い形の選択公理って何ですか？
加算選択公理のことですか？

15 ：１３２人目の素数さん：2008/04/18(金) 17:03:08

そう。可算ね

16 ：１３２人目の素数さん：2008/04/18(金) 18:37:01

誤変換失礼しました。
ありがとうございます。
逆にデデキント無限と無限が等しいことから可算選択公理は言えますか？

17 ：１３２人目の素数さん：2008/04/19(土) 00:30:37

age

18 ：１３２人目の素数さん：2008/04/19(土) 04:00:56

突然の書き込みお許し下さいm(__)m
教えて欲しいのですが
RPGでAとBの敵がいて
どちらも1/2の確率で出会うのですが、Bは倒した時に捕獲ができ
その確率も1/2です。
一から始めた時、Bを捕獲できる確率を教えて下さいm(__)m

19 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2008/04/19(土) 06:00:07

Reply:>>18 日本語でもアメリカ合衆国の公用語でもいいから、数学の記述をしろ。

20 ：１３２人目の素数さん：2008/04/28(月) 04:06:47

>>16
ダメ。

21 ：１３２人目の素数さん：2008/04/28(月) 05:05:04

「＝」「≡」「≒」
はどう違うのか説明してもらえないでしょうか。
それと幾何になのですが、相似と合同もお願いします。
図を使わないで条件式（例えば三角形）でお願いします。

22 ：１３２人目の素数さん：2008/04/28(月) 05:08:18

スレ違いでした

23 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 11:39:47

論理学を扱うスレとか板ってここだけですか？

24 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 11:55:56

哲学にもあるんじゃないかな

25 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 12:43:28

内容によっては
http://science6.2ch.net/informatics/

26 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 12:51:16

哲学板ではちゃんと論理学を扱ってるのか？
なんか変質者に取り付かれそうなんだけど。

27 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 15:07:15

少し見てきたました。
有理数とか無理数が分かってないみたいでスレが伸びてたんですけど、
このあたりは数学としてはどうなんでしょうか？

76 名前：考える名無しさん [sage] 投稿日： 2008/04/29(火) 10:50:12 0
知らないんでしょうけど、(√9)も3/1も無理数ですよ。
x^2=9 の解ですし。

28 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 15:15:01

相手にしちゃいけない釣り師か
相手にしちゃいけない真性の馬鹿かだから
相手にしちゃいけない

29 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 15:21:55

試しに哲学板の論理学スレを覗いてみた

すばらしい電波の集合だなｗ
間違いのないレスをさがす方が困難だｗ

30 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 17:17:55

答えられなくてはぐらかしてるみたいです。
結局はこれでもめてるみたいなんですけど数学基礎論としてはどう説明してるんですか。

97 名前：考える名無しさん [sage] 投稿日： 2008/04/29(火) 15:34:40 0
で、→と⇒は何が違うの？

31 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 17:28:47

ざっぱに言うとsymbolとsemanticの違い

32 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 18:40:37

ざっぱｗ

33 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 19:14:25

哲オタをここに誘導する愚挙だけはしないでね。

34 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 19:22:58

>>31は哲学板から来たんじゃないの？

35 ：１３２人目の素数さん：2008/04/29(火) 21:10:12

>>31
ん？どういうこと

36 ：１３２人目の素数さん：2008/04/30(水) 17:13:06

ところで「ざっぱ」てなに？

37 ：１３２人目の素数さん：2008/04/30(水) 19:14:02

雑把

38 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 05:53:09

age

39 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 08:51:09

おおざっぱより少しはましということか？

40 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 20:14:14

＞で、→と⇒は何が違うの？
＞ざっぱに言うとsymbolとsemanticの違い

もう少し詳しくお願いします！

41 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 22:05:28

いくら質問スレッドとはいえ馬鹿の相手はウザい

42 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 22:17:18

大雑把でいいから

43 ：１３２人目の素数さん：2008/05/03(土) 22:57:35

実は分かってないんだって。適当に言ってみただけっしょｗ

44 ：１３２人目の素数さん：2008/05/05(月) 14:36:09

文字と意味

45 ：１３２人目の素数さん：2008/05/10(土) 03:47:00

数学的には繋がっているということを表す概念は連結性であって、連続性とは厳密には異なる

46 ：１３２人目の素数さん：2008/05/10(土) 03:55:25

実数全体の集合（あるいは区間）が完備であることを、
歴史的経緯から「実数の連続性」と呼ぶことがあるが、
これもここで言う連続とは別の概念である。

47 ：１３２人目の素数さん：2008/05/10(土) 03:56:27

手描きで文字や絵を描いている時の、
「実数的」とでもいうべき連続的な制御の
美意識が、離散的な情報空間に制約
されてしまうことに対する抵抗を感じる

48 ：１３２人目の素数さん：2008/05/10(土) 11:07:10

「実数の連続性」って用語は混乱の元だから止めたほうが良いと思う。
「完備性」の方がまだ良い。
「完備」ってのは完全性定理の「完全」と同じ原語。
完全性定理は証明可能な論理式の全体が、
恒真な論理式の集合たちのなかで包含関係に関して極大になる、という定理。
（ちなみに第一不完全性定理は、これがある弱い条件を満たすと
無矛盾な式集合のなかで決して極大にならないという定理。）

Hilbertはモデルが（Archimedes性が成り立つモデルの中で）
極大なことをその用語を使って表したかったみたいだけど、
歴史的経緯から完備とか言う数学以外ではほとんど使われない訳語が充てられてるね。
森毅によると、集合論のperfect setと訳語が被るからだそうだ。

49 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 04:09:34

マジックカードをコンプリートしたぜ！という感じで、
なじんできているので、完備＝足りないものを全て集めたと解ってもらえると思う。

50 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 06:44:53

冷暖房完備

51 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 15:13:12

>>48
＞完全性定理は証明可能な論理式の全体が、
＞恒真な論理式の集合たちのなかで包含関係に関して極大になる、という定理。
すると、どの恒真な論理式の集合よりも証明可能な論理式の全体が大きくなるの？
それじゃあ、ある恒真な論理式の集合よりも証明可能な論理式の全体が真に大きくなったりするの？

52 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 16:33:36

>>48は或る一階述語論理上の公理系 T を固定した話。
T で証明可能な式 Th(T) は T で恒真な式の集合{ S_i }たちの中で最大となるね。
極大なだけじゃなくて。不完全性定理の方は極大でないといけないが。

T で恒真な式からなるどんな集合 S をとっても S ⊆ Th(T)。
まあ完全性定理を変な言い換えしただけだけどね。

53 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 22:39:48

じゃあ、やっぱり恒真じゃないのに証明可能な論理式って存在するんだ。

54 ：１３２人目の素数さん：2008/05/11(日) 23:13:36

φ1 と φ2 が T で恒真なら
{φ1, φ2} も {φ1} も {φ2} も Ø も
恒真な式からなる集合だけど。

偶数の集合が整数からなる集合であるのと同じで。

55 ：１３２人目の素数さん：2008/05/12(月) 22:01:31

age

56 ：１３２人目の素数さん：2008/05/13(火) 01:21:14

>>53
そういうふうな健全性が成立しない体系はまあ使わないけど。

57 ：１３２人目の素数さん：2008/05/13(火) 13:27:02

基礎論入門的な某訳書でゲーデルの不完備性定理というのを見たのは中学の時だった

58 ：１３２人目の素数さん：2008/05/13(火) 16:17:03

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

59 ：１３２人目の素数さん：2008/05/13(火) 16:40:47

∀･)┌┛)`д) ;∴

60 ：１３２人目の素数さん：2008/05/13(火) 20:01:48

http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/e0012.html#e20010730214054
＞「基礎の公理」がかかわってくる話の一つに、
＞「すべてのベクトル空間に基底が存在する」ことと「選択公理」が
＞同値になるという定理があります。現在知られている証明には
＞「基礎の公理」が本質的な部分で用いられているため、
＞普通の数学者には容認し難い部分があるのではないか

「任意の線型空間に基底が存在する」ことを示すのに
基礎の公理を使わない証明は現在のところ知られていない、
と書いた文章をネットで見たのですが、
証明にこの公理が本当に必要でしょうか。

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/xx_support/gijishisuu/node1.html
上のページに R が Q 上線型空間として基底を持つ事の
証明がありますが、 R がwell-foundedであることは使っていないと思います。
任意の線型空間のときも R や Q の記号を置き換えるだけで
全く同様に証明できるはずだと思うのですが…

Kunenの第三章「整礎集合」に
補題2.14. (AC)
　(a)　どんな群<G, ・>もwell-foundedな集合である群と同型になる
　(b)　どんな位相空間<X, O>もwell-foundedな位相空間と同型になる
の証明（Gの濃度αを取ってα上に移すだけ）がありますが、
やはり同じ方法で線型空間もwell-foundedであるようなものへの同型が取れると思います。

61 ：１３２人目の素数さん：2008/05/14(水) 01:52:16

> 「任意の線型空間に基底が存在する」ことを示すのに
> 基礎の公理を使わない証明は現在のところ知られていない、

引用した文章を読み違えてます。問題なのは「同値」の逆向きの方。

62 ：60：2008/05/16(金) 23:00:53

すいません、勘違いしてました。
それっぽい本を立ち読みしたところ、
どうも「任意の線型空間に基底が存在する」から、
「 { X_i }_{ i∈I }、X_i ≠ Ø が与えられたときに
各 i に対して有限部分集合 F_i ⊆ X_i を取れる」という
AMC(Axiom of Multiple Choice)までは基礎の公理無しに示せるようで、
それ以降の議論は眺めただけなのですが、どうも有限個から
一つに絞るために基礎の公理が必要になってくるみたいですね。

その本では AMC から「整列可能な任意の集合の冪集合は整列可能」
などを経て AC を導いていたので、
ここらへんで基礎の公理が無いと苦しいことになりそうですね。

63 ：１３２人目の素数さん：2008/05/28(水) 15:37:32

数理論理を勉強したいなら東大京大に行ってもダメだって言おうとして
京大数理の名簿みたらいつの間にか照井一成が京大の准教授になってた。

ということは今のところ論理学でも京大＞東大ってことになるなあ。
まあ京大は以前から計算機科学の人は多かったが。

64 ：１３２人目の素数さん：2008/05/28(水) 21:44:45

age

65 ：１３２人目の素数さん：2008/05/28(水) 22:49:30

～～は有限公理化不可能である、という定理は良く見るけど、
不完全性定理って良く考えたら、
（加法と乗法を持つ）自然数の理論は再帰的公理化不可能であるって定理だね。

66 ：１３２人目の素数さん：2008/05/31(土) 04:12:34

京大の林先生のHPの某文章読んだんだけど、
よほどBBSの読者（の一部？）が嫌いだったんだなあ……

まあ基礎論には何か変な人がいるから分からんでもないが。

67 ：１３２人目の素数さん：2008/05/31(土) 10:54:23

どこどこ！どこにあんの！

68 ：１３２人目の素数さん：2008/06/01(日) 09:34:21

>>66
読んでみた。結構わろた。
結論としては、一緒の種類の本と考えてはいけないってことね

69 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 13:37:09

教えてください
（例えば一階述語論理の）完備な公理系で、誤って公理系の定理を一つ公理として加えたら、それは公理系で独立でない式ということになるけど
大雑把にこれらの式を公理としておけば完備である、ただ、どれが独立かはわからんというような公理系をつくることがないのはただ単純にエレガントでないという理由だけのことからですか？
それとも、公理系で公理としておかれる式は独立でなければならないというのは他の理由があるからですか？

70 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 16:27:32

独立でない式を公理として加える事は、今では結構あります。
特に公理を一部外したり付け加えたりすることが多い場合には
そっちのほうが便利です。

例えば集合論で（空）集合の存在を公理に立てるとか。
（無限公理と分出公理から導ける）
分出公理は置換公理から導けますが、これも公理に立てることが多いですね。

昔はHilbertが、公理は互いに独立である必要がある、
などと主張してましたが、彼にはBourbaki的な抽象構造は見えていなかった。
自然数論とか実数論とか解析とか集合論とか、あくまで
理論の対象は範疇的であるという前提が心中にあったんじゃないかという話です。
（尤も彼の幾何学基礎論とか見ると必ずそうと言えるか微妙なんじゃないかとも思いますが）

完備っていうのはcompleteの意味かな。
どういう意味の「完全」だろう。文脈から言うと不完全性定理の「完全」かな。

＞大雑把にこれらの式を公理としておけば完備である、ただ、どれが独立かはわからんというような公理系
どういう公理系のことを言ってるんでしょうか。良く分かりません。
自然数 N の上で真な算術の式の全体 Th(N) とかかな。

71 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 18:50:59

すみません質問です。
集合論で0や1などの唯一性を証明するとき、例えば0の場合は他の零元を0'と置いて 0 = 0' に持ち込む方法が
どの本でも紹介がありますが、これだけで唯一性って証明完了になるんですか？
頭では判っていても、何となく腑に落ちない。唯一性の定義みたいなものってないのかしら。。。

72 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 19:58:41

基礎論と関係ない気がするけど、
それで唯一性は証明出来てますよ。
良く考えればそれで良いことが納得できるはずだと思うけど……

73 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 19:59:36

>>71
それ、集合論でやるのか？

74 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:23:50

>>71
「集合Aに含まれる要素の数は1個である。」
これを論理式で書いてみるといいかもしれない。

75 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:34:49

>>71です。ご回答ありがとうございましたm(_ _)m

76 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:36:36

>>71の最後の行の質問内容にストレートに
答えたレスは見当たらない。にもかかわらず
>>75のような対応をするというのは何故か。
釣りだったという事か？

77 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:39:16

まあ集合論でも 0 を空集合という意味で使ってるなら
その一意性 0 = 0' の証明は出てくるけど。
1 = { 0 } の一意性もやはり同じ方針で証明できるけど、
普通は代数学だよなあ。。

たぶん集合論ってのは代数学の間違いだろうね。

78 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:40:21

>>76
唯一性の定義は～～だ、とか言っても、
これが定義だから無理に頭で納得しようとせず覚えろ、
みたいなあまり良くないアドバイスになってしまうと思う。

79 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:47:48

>>78
回答者の話はしてない、質問者の応対の奇妙さについて言ってる。

80 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:08:03

何度もすみません。>>71です
取り敢えず反応が頂けたので、お礼した次第でした。簡略過ぎたので誤解を与えてしまって申し訳ありません。
頭では理解できても、何だかもやもやが残るのは今も正直あります。
ただそうなると、存在、唯一、イコールの定義（あるいは公理？）まで踏み込まなくては自分のモヤモヤは
解消されそうにないので、そうなるとスレ違い（あるいは板違い）になりそうですね。本当にお邪魔しましたm(_ _)m

81 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:09:55

80「どうしても納得したくないので話を早くたたみたい」

まで読んだ。

82 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:22:57

感覚として納得できないうちに
等号の公理とか勉強するともっと訳わかんなくなる予感ｗ
要は慣れだと思う。

83 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:26:46

つか、感覚や気分の問題だと自覚していながら
感覚や気分について質問掲示板で質問したって無駄だと
わからないというのがなんとも。

84 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:31:42

いや、天下り式にこういうもんだと思え！と言われて背中を押されたかっただけなのかもしれん

85 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:45:52

お騒がせの>>71です。
>>77さんのレスが自分的には的確ですね。ありがとうございました

86 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:47:09

代数学の間違いだったのなら、そういえよ。
スッキリしない奴だな。

87 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:49:53

>>77は集合論としての質問ならこうか、
それとも代数学っぽいけどそういうことか
という質問者への問いかけ。
質問者はこれを明らかにするレスを入れるべきで、
>>85のようにいうものではない。

やはりなにかがおかしい。

88 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 22:03:40

岩波文庫の「不完全性定理」の80ページあたりで
「Hilbertのテーゼ」という用語に関して、
林晋先生や八杉満利子先生（特に林先生かな）は
まるで自分がこの論点に最初に気付いた、みたいな書きかたをしているし
ホームページでもそういう風に書いている。
しかし、これは既にMartin Davisが何十年も前にほぼ同じことを
Hilbert's Thesisとして名付けていて、
私は英語の不完全性定理本をさほど知らないが、
それでもこれはBoolosの"Computability and Logic"とか
Barwiseの"Handbook of Mathematical Logic"の
Smorynskiの書いた章などに載っている。
"Hilbert's thesis"でぐぐると150件以上hitするが、その半分以上は
Hilbertの学位取得論文のことじゃなくて形式化の理想性に関する
想定のほうを指していると考えてよいだろう。
ということは下手すると米国で数理論理学やっている人の
1/2～1/3くらいはこの用語を知っていてもおかしくないわけで、
それをまるで自分が先取権があるように書くのは
恥ずかしいことだと思うが、どうなんだろう。
この本が出た辺りからずっと気になってたんだが。

89 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 22:05:59

>>71です
基本的には代数学で扱うべき内容でしょうけれど、集合論、というか、ペアノの公理系や実数論を目指す
手許の書物を使って勉強しており、それをもとに質問させて頂いた次第でした。

90 ：１３２人目の素数さん：2008/06/09(月) 12:11:48

「これこれの性質を満たすものが一意」ってのは、
「x, x' がともにこれこれの性質を満たすなら x=x'」の意味で使われるけど、
それが腑に落ちないってことだったのかな？

91 ：１３２人目の素数さん：2008/06/09(月) 23:41:38

>>90さん
はい。「x, x' がともにこれこれの性質を満たすなら x=x'」のが一意性だということを知らず、独学で
学んでいるうちにこの壁に突き当たったのです。
最終的には解析学に辿り着けば私のレベルでは全く十分なのですが、判らないことを掘り下げている
うちに道に迷ったのです。
私は工学部の人間なので深入りをする必要はないのですが、実数論や自然数論が公理だけから
導かれるのであれば、一意性にも何か意味づけがあるのではと思っていたのです。

92 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 00:12:25

独学だと具体例なしに抽象的な話をやりたがる人が多いが
木を見て森を見ずということになりがち

まあできそうに見えるんだろうけど
なんでそんな議論が必要になったかという話すらすっ飛ばしちゃうとね・・・

93 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 03:57:43

たとえばゼロ元の一意性なら 0' と 0'' じゃなくて
0 と x とでも書いてみると意味が分かりやすいかな。
まあ後は自分で良く考えてください、としか。
どうしても納得できない場合は疑問点をはっきりした言葉にしてから、
数学に詳しい友達とか、数学の先生とかに聞いてみても良いかもしれない。
尤も、何が疑問なのか突き詰める作業をするうちに
疑問は解消してしまうことが多いかもしれない。

94 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 21:01:17

0'の代わりにzと置くと、0が見事にzに収斂してくれました。
>>93さんありがとうございました。

今回の問題は、冒頭ではなく全体像を見るべきでしたね。
そうすれば、0や1が複数あると困ることにすぐに気づきますからね。

0や1が複数個、例えば２個少なくともあったとすると、演繹的に0や1は
無限個存在になってしまい、ZFもへったくれもなくなってしまいますよね。

これでようやく納得しました。今度ダメ押しで微分幾何やってる友人か
教授に改めて尋ねてみます。

95 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 22:13:22

＞0が見事にzに収斂してくれました。
＞冒頭ではなく全体像を
何言ってるのか分からんが、まあ納得できたなら良かった良かった。

96 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 22:25:06

わかったようには思えないんだけど。まあ、納得したならいっか。

97 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 23:53:48

全く間違った理解としかみえないが
納得したならいいか

98 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 23:55:09

いいんじゃね？
本人がそれでいいと思ってんなら

99 ：１３２人目の素数さん：2008/06/20(金) 00:19:51

論理学とともに数学基礎論を研究して哲学と結び付けたいです。

100 ：１３２人目の素数さん：2008/06/20(金) 10:23:55

哲学とかかわりあいたいんなら、数学のほうから呼ばれるまで、もう来ないでくれ。
強くお願いする。

101 ：１３２人目の素数さん：2008/06/20(金) 18:13:58

age

102 ：１３２人目の素数さん：2008/06/21(土) 13:05:22

>>100
なんで？

103 ：１３２人目の素数さん：2008/06/21(土) 13:25:26

ZFC の証明論的順序数とかについて研究してる人って居ないんですかねー。
新井先生がKPとかより強い集合論についてその証明論的順序数の研究を
してるらしい、というのは知っているのですが。

104 ：処刑ライダー ◆.EDMOUBKE2 ：2008/06/21(土) 19:33:55

向こうで遊んでくれと言われたから来てやったぞ。

105 ：処刑ライダー ◆.EDMOUBKE2 ：2008/06/21(土) 19:45:04

～数学界にも最後の審判のお知らせ～

106 ：処刑ライダー ◆.EDMOUBKE2 ：2008/06/21(土) 23:11:44

小学校の算数で習った数直線から卒業出来ない奴、点呼おおお！

107 ：１３２人目の素数さん：2008/06/21(土) 23:55:45

あのー。新米なんですけど、こういう人が来ちゃったときはどうすればいいんでしょうか？

108 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 00:21:18

あぼんすればよい

109 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 00:32:29

なるほど！

110 ：処刑ライダー ◆.EDMOUBKE2 ：2008/06/22(日) 07:39:02

数論に時間概念を持ち込むなよ。

111 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 14:36:13

ZFC で任意有限個の公理を∧で結んだ T = φ1 ∧ φ2 ∧ …… ∧ φn に対して
ZFC から CON(T) が証明できる、という結果がありますけど、
これは ZFC と超数学から ZFC の無矛盾性が証明できたことにはならないんですか？
いや、あくまで任意の T に対して ZFC├ CON(T) ってだけで
ZFC ├ "任意の T に対して CON(T)" じゃないよ、ってのは分かってるんですが、
それでもメタレベルで CON(ZFC) が真であることは言えてしまってるような気がするのですが。。

112 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 18:09:20

>>111
なりません。
ていうのも、仮にZFCが矛盾していたとしても
CON(T)が証明できてしまうわけで。

そういう論法から証明できるのは相対無矛盾性、つまり
「ZFCが無矛盾ならばTも無矛盾である」
という超数学的な命題です。
この命題自体は、前提条件の「ZFCが無矛盾」は
まったくさっぱり全然保障しませんし必要ともしません。

113 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 18:57:35

矛盾している（超数学のcodingが出来るくらい表現力の強い）理論は
自分の「無矛盾性」を証明してしまう、というのは分かります。

でもそうすると仮にZFCから
CON(T_1)→CON(T_2)
を証明できたとしても、CON(T_1)とかが T_1 の無矛盾性を
「きちんと」表していると前提することは出来ない訳で、
相対無矛盾性の証明のためには全く別の議論が必要、ということにはなりませんか？

114 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 19:25:25

なりません。

115 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 19:29:59

「 ZFC から CON(T) が証明できたとしても T が無矛盾であるとは限らない」
のならば
「 ZFC から CON(T_1) → CON(T_2) が証明できたとしても
T_1 が無矛盾でならば T_2 が無矛盾であるとは限らない」
に自然になるような気がしますが。。

116 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 20:03:09

>>115
↓日本語が読める?

> 「ZFCが無矛盾ならばTも無矛盾である」

117 ：111：2008/06/22(日) 20:33:56

>>115
115=113=111だよね？そういう前提で。
とりあえず>>111の質問については「無矛盾性証明にはなっていない」ということでOKね？

>>115については別の問題。言いたいことはなんとなく分かる。
以下は俺の意見なんで、正解かどうかは知らん。

・「 ZFC から CON(T_1) → CON(T_2) が証明できたとしても
T_1 が無矛盾でならば T_2 が無矛盾であるとは限らない」はすごーく厳密に考えれば多分その通り。
厳密に言えば「ZFCが無矛盾で、T_1も無矛盾だったら、T_2も無矛盾だよ」みたいな持って回った言い方になる。
・一方で、数学の「定理」といったら、普通は「ZFCからの定理」のこと。というわけで
ZFCから証明できたならそれでいいじゃん、ともいえる。
・また、「CON(T_1) → CON(T_2)」のような命題はすごく弱い数論から（原理的に）証明可能で
あることが殆ど。この弱い数論の無矛盾性を疑うのはもはや人間理性を疑うレベル。
これをもって「相対無矛盾性が証明できた」というほかない。
・さらに、「CON(T_1) → CON(T_2)」のような相対無矛盾性証明は、メタな立場で行われることも多い。
例えば、CH（連続体仮説）の無矛盾性の証明は、「もし仮にZFC＋CHから矛盾が証明できたら、
それを変形してZFCから矛盾にいたる証明が書き下せる」ような（メタな）アルゴリズムの存在を
与えることで行われる。
さらに、そのアルゴリズムを翻訳することで、先の弱い数論の定理と見ることもできる（原理的には、ですが）。

突き詰めると「メタレベルの論理ってナンデスカ？」とか「有限の立場って結局何よ？」っていう、
重要だけどよくわからない問題に行き着きそうなんで、ここら辺はあんま考えたくないなあ。

118 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 20:35:54

>>１１７書いたのは111じゃなくて112です。間違えた。

119 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 20:36:58

ああすいません、見落としてました。
ただ、例えば
T := PA + ￢CON(PA) は無矛盾な体系ですが、
T ├ ￢CON(ZFC) だからって ZFC が矛盾することにはなりませんよね。
つまりこの体系の CON という述語は無矛盾性を「きちんと」表していません。

同じことで、「無矛盾ならば」というのは仮定として弱すぎると思いますが。

120 ：119=115=113=111：2008/06/22(日) 20:40:16

レス書いた後更新せずに投稿したので>>117さんの投稿を
見る前に送信してしまいました。

>>119は>>116宛てのレスです。
>>117さんの投稿の一部にも関係しますが。

121 ：112：2008/06/22(日) 20:53:23

>>120
ああ、だとすると>>117のレスはちと的外れでした。
「言いたいことはなんとなく分かる」とか言っていた俺赤っ恥。

公理系の、『メタな意味での無矛盾性』と『コード化された無矛盾性』の間の
ギャップは実際にあります。
例えば第二不完全性定理に対するクライゼルの注意など。
（日本語版wikipediaの不完全性定理のとこにちょこっと載ってます）
それをどう考えるべきか、ってのは俺もよく知らん。
林晋氏がそこらへんのことをどっかで書いていた記憶があるけど、
どこで書いていたのか忘れた。

122 ：119：2008/06/22(日) 21:02:28

あ、PAを解釈できる無矛盾な理論で CON(T) のような
Π01命題が証明出来た場合、有名な∑01完全性から
PA で￢CON(T) は証明不可能 ⇒ PA で￢CON(T) は偽
⇒ CON(T) は N で真
は問題なく言えそうですね。だから無矛盾性だけの仮定で良いのかな？

第二不完全性定理については、第二不完全性定理を証明出来る為に
必要な Bew の条件は既にかなり研究されてますけど
CON のような述語が本当に無矛盾性を表しているか？というのは別の問題ですね。
私もそういえば林晋さんが形式化の問題について書いてたな、と念頭には在りました。

123 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 21:04:14

訂正
誤： PA で￢CON(T) は偽
正： N で￢CON(T) は偽

124 ：112：2008/06/22(日) 21:30:57

>>122
自己完結したようでなにより。何の役にも立てなかったっぽいですが。

ところで読解力皆無の俺に教えて欲しいのですが、
結局質問ってのは、
「CON（T)が（例えば）PAから証明可能だったらTは無矛盾であると結論してOK？」
ということで、結論は
「Σ１完全性よりOK」
ということでOK?

125 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 21:41:07

ある大企業は５つの工場を操業管理している。
各工場のインプットとアウトプットの水準は
（インプットは負の数、アウトプットは正の数を表わす）次の行列の列で表される。

工場 a b c d e
財1 1 -2 0 1 1
財2 0 3 -1/2 1 -2
財3 -1/2 1 2 -2 -1

3つの財の価格がベクトルｐ=t(3,4,6)（←tは左上に小さく書いてあります。）
で与えられたとすると、この企業の利潤はいくらか？
この計算をする行列とベクトルによる演算式をたててから求めよ。

126 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 21:47:21

>>125
それが基礎論と何の関係があるんだ？
コピペ荒らしするな。

127 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 22:12:19

そう目くじら立てんなよ。どうせおまえじゃ答えられないんだろｗ

128 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 22:36:37

>>124
質問は元々の質問が
Q.「 ZFC + メタ数学から「ZFCは無矛盾」が言えているか？」
A.「NO」
です。付随して
Q.「ZFC から CON(T) が証明できたならば T は無矛盾であるか？」
A.「 CON(T) はΠ01命題だから∑01完全性よりYES」
ですね。仰るとおりです。

Q.「 ZFC から CON(T_1) → CON(T_2) が証明できたならば、
T_1 が無矛盾ならば T_2 が無矛盾であると言えるか？」
だと、 CON(T_1) → CON(T_2) がΠ01 じゃなさそうなので
ちょっとイマイチ良く分かりません。Δ02にはなりそうですが……
ZFC + CON(T_1)が無矛盾という仮定を付け加えれば
CON(T_2) は確かに N で真となるので、残りは
ZFC├ ￢CON(T_1) かつ T_1 が無矛盾である場合、
というかなりアレな場合しか無いですから、ZFCが偽な∑01命題を証明しない、
と前提してこういう場合は考えないことにしても良いんですが。
ただ、こういうことがあっても人間に検知出来ないだけ、
という可能性があるのが怖いですけどね。

因みに自然数の構造 N 及び、 N で CON(T) が真ならば
実際に T は無矛盾というのは話の最小限の前提として仮定しています。
（メタ数学でも普通の数学でも、何の前提も無いところからは何の証明も出来ませんから）

129 ：１３２人目の素数さん：2008/06/22(日) 22:41:56

あ、失礼。
付随したほうは

Q.「ZFC (resp. PA) から CON(T) が証明できたならば
ZFC （resp. PA）が構文論的に無矛盾でありさえすれば、
形式化や体系の信頼性などに関わらず、 T は無矛盾であると言えるかか？」
A.「 CON(T) はΠ01命題だから∑01完全性よりYES」

です。重要っぽいところ抜かしてました。

130 ：112：2008/06/23(月) 00:15:31

とりあえずこれで最後のレスにしときます。

>>128
回答ﾄﾝ。
最初は初心者からよく出る質問かと思いきや、
実はずっと深い質問だったんですな。

三番目のQに対しては、もはや自分には答えられません。
「ZFCが偽な∑01命題を証明しない」というのは、
多分、（無矛盾性を仮定した上で）
ZFCのモデルで「その中で自然数全体を考えるとそれはNと同型になっている」
ようなモデルの存在を認めちゃうことと同義になると思います。
そいつは「メタ数学で集合論（あるいは集合論的意味論）をドコまで認めるか」と
いう問題になると思います。多分。

ああ、もうワケわかんね。

んで、これに関連ありそうなというか、答えのヒントに
なるかもしれない、あるいはもっと混乱させるかもしれない
話題を思い出しました。
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20060414
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20071230
すでにご存知かも知れませんけど、参考までに。

131 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 08:30:39

便乗して質問させてください
前Σ１完全性のところを『数学基礎論講義』で読んで理解できなかったんですけど、
Σ１式の定義は
Σ１式は式から限定していない∀の表現を除いたもの、Σ１式の量化の表現は限定量化の∀か限定量化の∃か限定量化していない∃
という理解では間違っていますでしょうか

132 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 21:52:13

多分「数学基礎論講義」に載ってるんじゃないかと思うけど
命題論理で選言標準形、連言標準形ってのがありましたが
それと一緒で一般に述語論理の論理式は
　∀x∀y∃z∀w∃a∃b∀cP(x, y, z, w, a, b, c),
　（ここでP(x, y, z, w, a, b, c)は原子論理式を∧、￢などの
　命題結合記号で結んだもの、つまり量化記号無しの論理式）
みたいな感じで先頭のみに量化記号が付いた形に
（論理の法則だけで）直すことが出来る。
これを冠頭標準形 prenex normal form と言う。

それで、∑0論理式ってのは、標準形の形をした論理式のうち
限定量化記号以外の量化記号を持たない論理式の先頭に
存在量化記号がいくつか付いたもののこと。
たぶん自然数論の場合は「いくつか」は「一つ」でも良いんじゃないかと思うけど。

だから
＞Σ１式の量化の表現は限定量化の∀か限定量化の∃か限定量化していない∃
は正しい。
＞Σ１式は式から限定していない∀の表現を除いたもの、
は「除く」の意味がよく分からないけど
一般の論理式の全称量化 ∀x を限定全称量化 ∀x＜t に変えたもの、
とかそういう意味だとしたら多分間違いじゃないかなと思う。
限定量化と普通の量化は順序交換は一般に出来ないんじゃないかな。
もっとしっかり勉強してたら即答出来るんだろうけど不勉強ですいません。

133 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 11:00:20

助かります
ありがとうございました

134 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 18:03:58

誰かこれ教えてください。f：X→Y、g：Y→Zについて次を証明せよ。
1 fもgも単射ならばgоfが単射である。
2 fもgも全射ならばgоfが全射である。

135 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 18:47:38

>>134
マルチ

136 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 22:56:06

>>134
>>2

137 ：１３２人目の素数さん：2008/07/04(金) 01:36:49

今年ってサマースクール無いんですか？(´；ω；`)

138 ：１３２人目の素数さん：2008/07/04(金) 02:47:29

>>137
Asian Logic Conference っつー大きめの国際学会が
夏に開催される関係で、今年は無いそーです。

139 ：１３２人目の素数さん：2008/07/04(金) 02:53:32

おお、ありがとうございます
そっか無いのかー

140 ：１３２人目の素数さん：2008/07/04(金) 08:46:01

還元公理とは何ぞや？つーのがわからんのですが
どっかに説明してるページない？
または誰か説明してくれたら幸せを祈ってあ・げ・る

141 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 04:51:30

axiom of reducibilityというのは確か
個体に関する任意の（特にタイプやオーダーが 2 以上の）命題関数に関して、
それと同値な一階の述語がとれる、とかそういうもので、
要するにクラスに関して外延性を保証するもの、とかそんな感じ。

命題関数ってのは自由変数を持つ論理式と大体同じだと思う。
というか違いを良く知らない。

還元公理に関してはそれほど詳細に説明した本は私は知らないなあ。
ラッセルの業績とか論理主義とかを説明した本に大体どんなもんか数ページずつ出て来るくらい。
例えば岩波新書の「ラッセルのパラドクス」とか「哲学の歴史」の11巻とか「確かさを求めて」とかetc.,etc.,
「数理論理学とタイプ理論」とかにもしかしたらきちんと載ってるかも。

結局はプリンキピア・マテマティカを読むしかないんじゃないかな。
web上でも読めたと思うし、*56までの短縮版なら今でも安価で手に入る。

142 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 07:38:36

任意の半順序集合<X, ＜_X>に対して
全順序集合<Y, ＜_Y>と写像φ : X → Y が存在して
a, b ∈ X, a ＜ b ならばφ(a) ＜ φ(b)

ということを示したいのですがどうやったら示せるでしょうか。
このスレの話題か分からないのですが、他に適当そうなスレも無かったので。。

143 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 01:03:38

>>142
見た感じ Zorn の補題っぽいね

144 ：１３２人目の素数さん：2008/07/08(火) 03:32:42

>>140-141
「数理論理学とタイプ理論」も竹内 Proof theoryも
「還元の公理」はあまり載っていなかったような。

145 ：１３２人目の素数さん：2008/07/10(木) 21:28:01

>>142
x に { yεX | y < x } を対応させると、 X は X の部分集合全体 P(X)

に包含関係の順序をいれた順序集合に埋め込まれる。X を整列すれば、

2^X に全順序が入るが、P(X) と 2^X の自然な全単射は順序を保存している。

146 ：142：2008/07/11(金) 01:38:42

どうもありがとうございます。

集合代数の中に半順序集合を埋め込むというテクニックは
どこかで見たことがあったんですが、
その後で X を任意に整列させればよかったのですね。
となると AC に依存しますね。

2^X の整列というのは多分、S ⊆ 2^X の元を並べて辞書式順序の逆で良いのかな。

x~ := { y∈X | y < x } ∈ P(X) とおくと
a, b ∈ X, a ＜ b ならば a~ ⊆ b~ で、
さらに a~ ⊆ b~ ならば X の整列順序から誘導された
辞書式順序の逆順序で a~ ＜ b~ だからうまくいきますね。

自然な順序の逆を取っている辺り本当に145さんの意図を
理解出来てるか心許ないのですがなんとか元の疑問は解決できそうです。
ありがとうございました。

147 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 02:51:50

すいません、マルチなんですけど、質問よろしいでしょうか？？

X=[0,3]とし、直積集合X×Xの部分集合Aを
A={(x,x+1)|0≦x≦1}
によって与えられる。X上の二項関係で、次の条件を満足し、そのグラフがAを包むものの中で最小のものを図示せよ

対称律と推移律を満足するもの.

---------------------

答え見ると、

http://f.hatena.ne.jp/mushitoriseinen/20080711010125

って出てる。

なんで真ん中の直線
{(x,x)|0≦x≦2}
も必要なんでしょうか？？？
誰か分かる人いたら教えてください。。。

148 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 03:10:06

>>147
マルチはしないで、
或るスレで質問する→答えてもらえなかったら取り下げる
→別のスレで再度聞く、
とかそんな感じにしてください。
そのほうが答えが得られやすいかと。

{(x, x +1) : 0≦x≦1}と{(x, x - 1) : 1≦x≦2}
が求める関係 G に含まれるのは良いですよね。その合成です。
0.3 G 1.3 かつ1.3 G 0.3 だから0.3 G 0.3 とかそんな感じ。

149 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 03:10:51

うは、誤爆した。
分からないスレで答えるつもりだったのに。

>>147
>>2

150 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 06:16:47

>>146
意図は理解されたようで、それでよいと思います。ただ、145 に書いたこと
が不正確なので直します。

x に { yεX | y ≦ x } を対応させると、 X は X の部分集合全体 P(X)
に包含関係の順序をいれた順序集合に埋め込まれる。( ≦ でないと単射
でない。)

X を整列すれば、2^X に 0 < 1 で 2 = {0,1} に順序をいれると 2^X には辞
書式順序で全順序がはいる。

P(X) と 2^X の全単射は SεP(X) に対して 1_S (x) = 1 を xεS
1_S (x) = 0 を xεSでないとして定義すれば包含関係は、辞書式順序に保
たれる。

151 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 00:35:57

全国大学図書館
ttp://www.jla.or.jp/link/univ.html

他大学生ではなく一般人として行った方が利用しやすい場合アリ

152 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 10:58:36

ところで>>145の証明は整列可能定理を使ってる。
俺が思いついた証明もZorｎの補題使っちゃったが、
>>142の命題って選択公理使わないと証明できないのかね？

153 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 14:40:16

この命題から任意の集合に全順序が入ることがわかり、
有限集合からなる集合族に対する選択公理が証明できる。

154 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 10:39:38

n個の3次元の座標データがあって
その座標の平均の値を(x,y,z)
各座標の標準偏差を(σx,σy,σz)ととったときに
σ=√(σx^2+σy^2+σz^2)
っていうのは
何を表現するのでしょうか

そもそもこんな表現をすることがあるかどうかはわかりませんが…

155 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 13:22:09

>>154
>>2

156 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 21:02:28

>>153
レス、トン。
なるほど、やはり何がしかの選択公理は必要なのか。

157 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:18:00

ACって何か超越的な感じがするけど
∀i∈I, A_i ≠ Ø ならば Π_{i∈I}A_i ≠ Ø （乗法公理）とか
∀A,∀B, （単射 f : A → B が存在する）or（単射 f : B → A が存在する）
とかそういう「明らか」な命題とも同値なんだよね。

昔の仏国の半直観主義者とかの影響か、
基礎論以外の人の中にはやたらとACを疑ってかかる人が未だに居るが、
そういう人が必ずしも上のような命題を疑問視しているかというとそうでもない。
平気で任意の集合にACを使わずに基数が定義できると思ってる人も居る。
大抵は順序数や基数を順序同型な集合の同値類や
等濃な集合の同値類のこととしか認識してないし、
その同値類が類であるともほとんど認識してない。

ACと整列可能性定理とかZornの補題とかTychonoffの定理とか
正直なところ素朴集合論の本で証明しても意味が薄いと思うんだけどな。
そもそも証明に使ってよい前提がはっきりしない。
上のような明らかそうな命題を証明のどこかで使ってるかも分からん。
同値性というのも正確には ZF の上での同値だし。乗法公理は見るからに同値だけどね。

因みに下向きLS定理や上向きLS(T)定理とも同値なんだけど、
さすがにこれは基礎論以外の本では書かないねｗ

158 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 17:58:51

完全グラフKnの辺の数を様々な方法で求めよ。
（答えは、n(n-1)/2）

そんなに沢山ありますかね？

159 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 18:19:31

>>158
>>2

ある。宿題だったら「完全グラフ」でググって適当なサイトを丸写ししろ

160 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:37:55

選択公理って明らかじゃないですか？

こういうのも公理にしなきゃならないのはなぜですか？

また、我々が無意識に使っている論法で本当は選択公理
のように公理としなければならないようなものが他にあるかも
知れないんじゃないですか？

公理としてexplicitに挙げなければならない条件は何ですか？
数学ではなく哲学の話？時とともに変わる？

161 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:42:18

>>160
>選択公理って明らかじゃないですか？

それだと証明すればいいんじゃない？
ＺＦ集合論では証明不可能な事が証明されているけど。

後半に関してはその通り。
もっとも、無意識に使う様な部類では無いだろうけど、
テクニカルな操作では、実はＺＦＣ集合論では証明不可能なものもある可能性はない事はない。

162 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:49:02

>>160
平行線の公理のことを考えてみればいい

163 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:55:22

証明の定義がないと証明できないから証明の定義があるんですね。

164 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:56:57

そもそも、明らかだから公理にする、しないという問題じゃないよ
ないとその先に進めないからだ

165 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 20:59:32

普通の本だと選択公理を使っていることを明示しないですけど、
なんでなんですか？

Zornの補題とかだと仕方がなく選択公理を出しているという感じ。

166 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 21:15:59

気づいてない可能性もなくはない

167 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 21:17:25

こだわっても初学者を混乱させるばかりだという理由が大半だろう

168 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 21:29:05

今回は教えてくれる人がいてよかったね。
とっとと、記号論理の初歩とモデル理論の初歩でもやりな！

169 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 23:11:22

>>165
選択公理と同等の次の定理

空集合でない集合族 {X_λ |(λ∈Λ)}に対して
Π_{λ∈Λ}X_λは空集合ではない

なんて、触れてる教科書なんて見た事ないしね。
>167が言ってる様に混乱回避の為だけど

170 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 03:00:08

なんか分出公理に制限を加えた形で構成した公理系ってなかったっけ？
あれなら取り立てて選択公理を公理化する必要はないんじゃないの？
よく知らんけど。

171 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 03:19:14

＞なんか分出公理に制限を加えた形で構成した公理系
何？なんか量化の複雑さに関する制限かな？

証明論とかに良く出てくるKripke-Platekってのがあってそれは確かに
Axiom of Σ0-separationとAxiom of Σ0-collectionを公理にして、
選択公理要らないけど、これ冪集合公理と無限公理（Inf）も無いんだよね。
そうすると CON(ZFC-Inf) ⇔ CON(PA) だから
無矛盾性の強さ的には PA と変わんない（かそれより弱い）んだよなあ。。

まあ Pour-El=Kripke の定理があるから、或る意味で
PA も ZFC もそれより強い理論も複雑さは変わらんとも言えるがｗ

172 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 09:06:12

「証明論とかに良く出てくる」というのは時代を感じるコメントだね。

173 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 15:34:54

そういえば完全性定理の証明にACって不可欠でしたっけ？
tableauとか使って構文論的に反例のモデル構成できた気もしますが。

>>172
今では証明論以外にも結構良く出て来るんですか？

174 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 15:38:01

あ、そうか。
限定的な場合にcompact性を含まない形なら要らない。
一般的には要る、だったかな。
哲学板で以前聞いたな、そういえば。

175 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 15:46:09

AC 関連のことならば、まず次を参照してみるといい。
ttp://consequences.emich.edu/

176 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 20:02:14

教えてください
自然数項の集合に定項aを加えた集合は可算無限でしょうか？

177 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 20:20:04

yes
0, 1, 2, 3, .........と
　 1, 2, 3, .........がどちらも可算無限なのと一緒。

178 ：sage：2008/07/20(日) 20:53:18

ありがとうございました
0と1を対応させて1と2を対応させて・・・、すべて一対一で対応できるというのと
他方で、1と1を対応させて2と2を対応させて、・・・やはり0が残るじゃないか、というのが不思議に思えたのですが、そこらあたりは特に基礎論的に議題にされるようなことでもないのでしょうか？

179 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 20:57:40

写像の定義に既に、選択公理が使われていると

『選択公理論』という本に書いてありました。どういうことでしょうか？

180 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 21:02:39

＞そこらあたりは特に基礎論的に議題にされるようなことでもないのでしょうか？
Cantorの時代の数学者とかでなければ別に何も問題になることは無いはず。
数学の苦手な一部の哲学者は今でも問題にするかもしれないが
基礎論で問題になることは無いと思う。
（哲学者にも数学が得意な人と苦手な人が居ます）

「或る集合とその真部分集合の間に全単射がある」ということは
全然おかしくないし、一般に無限集合の場合はそういう全単射が存在する。
だからこれは無限集合の一つの定義だと思うことも出来る。（Dedekindの定義）

濃度が等しいということの定義は、 A と B に何か少なくとも一つ
全単射が存在することであって、他の写像を取ったときにそうならなくても何の問題もない。

181 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 21:03:15

>>178
残るように一対一対応させれば、もちろん残る。
多い少ないを考えているわけではないってこと。

>>179
前後の部分を

182 ：１３２人目の素数さん：2008/07/20(日) 21:05:48

>>179
それどっちかというと素朴集合論の本だと思う。
基礎論と関係は薄いと思うよ。

具体的な或る写像の定義に選択公理を使うことは良くある。
たぶんそういう意味でしょ。
例えば「無限集合 I には可算無限集合が含まれる」ということを証明するとき、
自然数の集合 N から I への単射 f を構成するけど、 f の定義には選択公理が要る。
写像という一般的な用語の定義には要らない。

183 ：１３２人目の素数さん：2008/07/21(月) 18:14:26

Pohlersの証明論が今度Universitext化されるみたいですね。

184 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 00:00:08

質問です。
ゲームのブラックジャックなどで～になる確率は何パーセントとか書いてある本とかHPをよく見ますが、この確率はどのようにして求めているのでしょうか？
確率の求め方を詳しく説明しているHPや書籍はないでしょうか？英文でも構いません。

お手数ですが、よろしくお願いします。

185 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 00:00:23

186 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 00:07:46

>>184
ブラックジャックなら2枚だから
1/52×1/51×パターン数で計算してんじゃないの？
何が聞きたいのかいまいちよくわからん

187 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 01:08:40

英文を読む気はあるのに>>1 >>2は読まないのだな

188 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 01:30:16

ヴァカな質問をする奴がテンプレを読む気をまわすことなどなかろうもん

189 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 01:36:57

ブラックジャックはカジノによって使うトランプの組数が違う気がしたが

190 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 02:06:35

数学板で聞くのならせめて確率のスレで聞いてね。

191 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 02:17:02

Chiswell & Hodgesの教科書は、
命題論理の章と一階述語論理の章の間に
量化無し一階述語論理の章を設けているけど、これは賢いと思う。

命題論理の章で初めて勉強することが多いような初学者には
述語論理の細部はちょっと難しすぎるので。
それにprimitive recursive arithmeticなどに
ごく自然に繋げられるというメリットもある。
というか専門的にはそっちのメリットの方が大きいかもしれない。

192 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 12:09:27

>>13
もう遅いかも知れないけど、
その本Bussのサイトで無料公開されてたよ。

193 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 09:55:33

Kunenの本では S がsentenceの集合のときに
M |= S を、
　現在用いている公理系から φ^M を証明することができる
　というメタ理論の言明を表現しているのです、
とか書いてるけど、これを文字通り読むと φ^M と (￢φ)^M の
いずれかが証明できるとは限らないのだから M |= {φ} と M |= {￢φ} の
いずれかが成り立つとは限らないことになるような気がするんですがどうなんでしょうか。

194 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 21:30:46

P=NPかどうかとEXP=NEXPかどうかは関係がありますか？

195 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 20:32:19

388

196 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 17:23:50

>>193
φ^M と (￢φ)^M のいずれかが証明できるとは限らないのはその通りです。
一方で、φ^M or (￢φ)^M は証明できる。
「M |= {φ} と M |= {￢φ} のいずれかが成り立つ」をどちらの意味で使っているか
考えてみてください。

197 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 21:28:30

M |= {φ} は本来「 φ^M が証明できる」という意味ではなく、
φ^M が真である、つまり特定のモデル M で φ が真（≠恒真）である、
という意味なので M |= {φ} と M |= {￢φ} のいずれかは成り立つと思います。

定義中の文言ではなく、その下にある定義の意味を説明した部分の文言ですが、
それでも「証明できる」という言葉を用いるのは微妙に問題が在るのでは無いでしょうか。
φ^M を ZFC の論理式に翻訳しようとしても M というパラメータが入って来て
（ M を変数記号だと思わない限り）集合論の言語 L_∈ で書かれた論理式とは見做せないので、
φ^M が証明できる/出来ない、という言い方自体おかしい気がします。
集合論の本ではこういう言い方を良く見るようにも思うので僕の理解が足りていないのかとも思うのですが……

198 ：１３２人目の素数さん：2008/08/22(金) 18:00:07

>>197
本をみていないのでよくわかりませんが、

Theorem M |= {φ}

と書いてあれば、ZFC で M |= {φ} が証明できるということだ

と書いてあるのではないですか？　

199 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 03:28:34

いや、そのような記述は無かったと思いますが……

M |= {φ}（より正確には「 φ が M において真」）は
「φ^M 」という意味だと書いてたと思います。

そもそも集合論の公理にも推論規則にも M という文字は出て来ないのに
どうやって φ^M を公理から「証明」するんでしょうか。
空集合 Ø だとか P(ω) だとかの定義可能な集合の場合は
定数記号とか項だと思って良いでしょうけど。

200 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 03:31:00

>>194
2chには他にもこういうスレがあるみたいですよ。

Complexity Classについて語れ（情報学板のスレ）
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/informatics/1156655087/l50
理論計算機科学スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1102118040/l50

201 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 10:02:15

>>199
M がクラスのとき、φ^M を定義しているのではないですか。
M |= {φ} は φ^M の定義を形式化したものという記述があったはずですが。

202 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 11:58:19

ああそうか、ここで言うクラスというのは、
論理式で定義可能なものが想定されているんですね。
クラスというものを考えるときは集合に関する論理式の略記と考える、
という記述は良く目にします。

ただそうすると今度は
「任意の集合はクラスである」というのが分からなくなってくるんですが……
論理式で定義不可能なZFCのモデルというのは存在し得ますよね。
M にはそのような集合が入る可能性は考慮されていないんでしょうか。

203 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 15:58:05

class には proper class と set がある

204 ：１３２人目の素数さん：2008/09/08(月) 02:37:26

すいません他の板で数学板行けと言われたので質問させてください。50個中10個の当たりを引いた後さらにその10個中の半分の当たりを引いてさらにその5個中の半分の本当の当たりと言う抽選を2回引いて当たる確率はどのくらいですか？わかりずらくてすいません

205 ：１３２人目の素数さん：2008/09/08(月) 03:12:12

>>204
>>2

206 ：１３２人目の素数さん：2008/09/11(木) 10:41:20

おはようございます
ダンボールなどの直方体ですが、同じ１００サイズでも
３０ｃｍ×３０ｃｍ×４０ｃｍ
と
１０ｃｍ×１０ｃｍ×８０ｃｍ
では容積が違うように思うのですが俺の勘違いでしょうか？
30*30*40のがいっぱい詰め込めますか？
もしよかったら、一番最高に詰め込めるサイズも教えて下さいm(__)m

207 ：１３２人目の素数さん：2008/09/11(木) 11:36:58

いいか、糞は放置な。放置だぞ。だれもさわんな。

208 ：１３２人目の素数さん：2008/09/11(木) 11:44:00

そう言われるとレスしたくなるのが人の性

209 ：１３２人目の素数さん：2008/09/11(木) 20:51:34

>>206
一辺が長いほうがいい。
極端な話、30x30x40では、長さ50cmの棒を入れることができないのでゼロと同じ。
だから10x10x80のほうが有利。

210 ：ネタにマジレス：2008/09/11(木) 20:59:28

>>209
棒の太さによるが対角線上に入れれば50cmの棒でも楽々入るなｗ

211 ：１３２人目の素数さん：2008/09/11(木) 22:51:54

じゃあ60cmの棒ならどうだ！

212 ：１３２人目の素数さん：2008/09/12(金) 02:06:29

>>2あたりを参照。

213 ：１３２人目の素数さん：2008/09/13(土) 22:10:56

高校数学の数学ⅠAでやった整数をもうちょっと深く学びたい場合は
何を読んだらいいんでしょうか？
何かおすすめはありますか？

214 ：213：2008/09/15(月) 17:18:45

数学の本スレという適切なスレがあったのでそちらに移らせていただきます。
場違いな質問申し訳ありませんでした。

215 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 13:16:37

age

216 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 17:28:50

すいません、初歩的なことを聞きますが
そもそも円周率ってなんですか？なぜ円周率は3.14・・・なのですか？

私は塾講師のバイトをやっているのですが、先日中学生に問われました。
情けないことに答えられませんでしたorz
誰か教えてくださいお願いします

217 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 18:36:04

質問の前にまずはそそっかしいクセを直すことが先決だな

でもまー、こんなのが塾講師やってるとはねぇ、ゆとりの拡大再生産か

218 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 19:04:40

イタズラですな
このレスには見覚えがある

219 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 21:08:35

ベクトル関数とベクトル値関数の違いは何ですか？

220 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 22:08:59

>>2あたりを参照

221 ：１３２人目の素数さん：2008/09/20(土) 20:32:20

日本語で読める基礎論の文献でお勧めなんかある？？
良書に限って洋書が多い件について

222 ：１３２人目の素数さん：2008/09/20(土) 21:11:32

前原昭二
数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)
朝倉書店

223 ：１３２人目の素数さん：2008/09/20(土) 23:11:46

「ゲーデル不完全性定理」
林晋・八杉満利子
岩波文庫

まー基礎論に焦点を絞ってるわけではないが

224 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 12:09:11

河合文化教育研究所のシリーズ
ゲーデルと20世紀の論理学全四巻
確かさを求めて
ゲーデルの世界（一昔前の入門書）

まあこんなもんかなあ、
あとは図書館に行くと、前原昭二「数理論理学序説」とか
竹内外史とかが書いた「数学基礎論の世界」とかそういう本もあるので
参考にしてみると良いかも。別にお薦めということではないけど。

225 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 13:33:23

ブルーバックスの現代数学事典の１章

226 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 14:48:53

ブルーバックスの現代数学小事典の奴は、
基礎論の歴史をパラドックスの観点からのみ語るのもので、
現代的でない（1930年代くらいまでの観点から脱しきれてない）。

技術的には、再帰函数論の解説のところで
effectively-definedの意味で「well-defined」という用語を使ってしまっている
（したがって一般的にはwell-definedであるとみなされる函数で、
この項目のwell-definedの定義の条件を満たさないものがある）
というような難点があるっぽい。
再帰函数論ではこういう区別はかなり本質的なのでこれはまずいだろう。

吉永良正のブルーバックスも良くないらしいけど。

227 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 21:39:18

『リーディングス数学の哲学ゲーデル以降』　飯田隆編　勁草書房

228 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 21:40:52

以降→以後でした

229 ：１３２人目の素数さん：2008/09/24(水) 19:35:13

大藪先生、今回は代数でお出ましですね。　まあ欠席だったろうけど。
----------------------------------
代数学分科会
9 月24 日(水) 第I 会場
9:30 ∼ 12:00
1 大藪　卓R-Rp-Spec(R)，他4 件
----------------------------------

230 ：１３２人目の素数さん：2008/09/24(水) 20:39:53

だれそれ

231 ：１３２人目の素数さん：2008/09/30(火) 02:16:06

Ωロジックってど素人にも分かるように説明できますか？

232 ：１３２人目の素数さん：2008/10/01(水) 00:35:43

age

233 ：１３２人目の素数さん：2008/10/03(金) 19:34:45

頭のいいおまいらラッセルのパラドックスを身近な例で説明してください。

234 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 04:44:16

「数学基礎論入門」を読んでいます。
命題論理の公理について疑問がありますので質問させて下さい。
この本の命題論理の公理は、次の3つです。
　1. A→(B→A)
　2. [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)]
　3. (￢B→￢A)→(A→B)

この公理の1番の具体例を考えています。

Aを「桶屋が儲かる」、Bを「雨が降る」とすると、1.は
　「桶屋が儲かる」→(「雨が降る」→「桶屋が儲かる」) …　(*)
になります。
ところが、今時雨が降っても桶屋が儲からないことは普通にありますので、
(*)は偽になります。

この例で(*)の誤りは、右側の「→」なのでしょうか。
「真ならば真」になるような、正しい「→」を選ばなかったから、
(*)が偽になったと考えてよいのでしょうか。

もしくは命題論理の公理の具体例として、
このようなものを考えるのがおかしいのでしょうか。

235 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 05:11:55

>>234
例えで言うなら１番目の公理は
「条件無しで成り立つ命題はどんな条件を付けても成り立つ」くらいにとらえればいいんだけど
その例で言うと
「『桶屋が儲かる』んだったら『雨が降っても桶屋は儲かる』」ってなところ

ただ実際のところ記号論理やるなら
>もしくは命題論理の公理の具体例として、
>このようなものを考えるのがおかしいのでしょうか。
これが正解で天下り式にこういうもんだと、とらえるのがいいのかも、考慮対象は意味を考えない世界だし。

理解が深まった頃に「あ、これってこういうもんなんだ」って感じるようになるよ。

236 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 06:56:40

>>235後半に同意。
まず大学以上の数学における複雑な論理的操作と
記号論理の記号変形の両方に慣れた方が良い。

で、答え言うと、
＞ところが、今時雨が降っても桶屋が儲からないことは普通にありますので、
＞(*)は偽になります。
これが間違い。「雨が降る」→「桶屋が儲かる」が偽（かもしれないこと）の
説明にはなってるけど(*)の説明にはなってない。
あと上の「かもしれない」は非常に重要なので、恒真でない（偽かもしれない）ことと、
偽であることの違いはいずれしっかりと理解して下さい。まだ理解していないように見えます。

因みに、まだ「かつ」は導入してないだろうけど
インフォーマルに言っちゃうと「 A → (B → C) 」ってのは
「( A かつ B) ならば C 」と一緒ね。

237 ：234：2008/10/05(日) 06:57:39

>>235
ご回答をいたただきまして、ありがとうございます。
すごく参考になりました。
この本を読み進めていくことにします。

238 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 06:57:48

で、ここから先は論理学ではあってもあまり純粋数学とは関連無さそうで、
しかも多少とも記号論理に慣れた人の為の話題。ほとんどの教科書に書いてない。

A → ( B → A) が無条件に正しいというのは水増し規則と言われていて、
矛盾からは何でも導けるとする矛盾律 ( A ∧ ￢A ) → B や
A が偽のとき、 A → B は無条件に真となるという規則の
直観的不自然さ（初めて学習したときの戸惑い）と密接な関連がある。
実際、水増し規則と、後は論理記号の定義として
普通に受け入れられるような規則から「( P ∧ ￢P ) → Q」を導出でき、
またこれの導出には水増し規則が本質的に必要。

さらに何でこういうのが不自然となるのか、その理由に対しては
Griceという人が良さそうな説明をしている。日常言語には
「特別な理由が無い限り、より論理的に強い言明をなすことが出来るときに、
より弱い言明をなすべきではない」という語用論的な原則がある。
「 p ならば q 」という言明が為されたとき、聞き手は原則に従って
「話し手は単にqとかpと言うための根拠を持たないのだ」という風に推論するのだ、という説明。
A →(B→A) にしろ「偽 → X は無条件に真」にしろそれを破っているから
奇妙に聞こえるのだ、ということ。

特に非古典論理とか哲学系の論理学に関しては、
初めて学習したときの違和感というのは結構重要なので、どういう違和感だったのか
憶えておいた方が後々役に立つと思います。
不完全性定理とかの数学を勉強するときには要らないですが。

239 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 07:25:13

ま、件の質問で一番の間違いは
×　→　「雨が降ったら桶屋が儲かる」
○　→　「風が吹いたら桶屋が儲かる」
だと無粋なことをいうテスト

240 ：１３２人目の素数さん：2008/10/05(日) 07:59:59

ｗｗｗ

241 ：234：2008/10/05(日) 11:45:45

>>236,238
ご回答をいただきまして、ありがとうございます。
割り込んでしまったのが申し訳ないです。
本を読み進めながら、記号の扱い方にも慣れていきたいと思います。

236と238を読んでA→(B→A)の真理値表を書いてみました。
当然ですが恒真になります。
違和感の原因は、(B→A)の部分でBが偽の場合にあることに
気づきましたが、違和感を説明するのに238の説明が役に立ちました。

>>239
雨ではなくて風ですね。お恥ずかしいです。

242 ：１３２人目の素数さん：2008/10/06(月) 00:42:47

>>238
＞「特別な理由が無い限り、より論理的に強い言明をなすことが出来るときに、
＞より弱い言明をなすべきではない」という語用論的な原則がある。
＞「 p ならば q 」という言明が為されたとき、聞き手は原則に従って
＞「話し手は単にqとかpと言うための根拠を持たないのだ」という風に推論するのだ、という説明。
もっと詳しく教えてくれませんか。

うーーむ。この手の話は嫌いなはずなんだが、久しぶりに聞いてみたくなった。

243 ：１３２人目の素数さん：2008/10/06(月) 07:59:46

>>193
やはり、Kunen の本にそのような変なことは書いていない。
p.112 2.2 Definition だが　Kunen はわざわざ

(1) M |= φ
(2) M |= {φ}

と違う意味で使うことを説明している。(1)は φ^M という論理式だと書いて
いる。(2) は M |= φが証明できることを表すと書いている。とくに、S が無
限集合なら、∀φ∈S ( φ^M ) を論理式とするならば、S は論理式のコード
の集合ということになるし、 φ^M はおかしくなる。といって、論理式を無限
個ならべたものとして M |= S と書くのは意味がない。たとえば、置換公理の
すべてを S として V |= S は、置換公理の各々の閉論理式が ZFC で証明可能
ということで、それは公理にあるからである。それで Kunen はそのような使
い方をすると書いてある。正確に読むことが必要。

244 ：１３２人目の素数さん：2008/10/07(火) 01:30:15

>>242
私は哲学的論理学の専門家じゃないので、
専門家の解説をどうぞ。

http://plato.stanford.edu/entries/conditionals/#GriPraDefTru

Conditionalsの項目の2.4 Grice's Pragmatic Defence of Truth-Functionality です。

参考文献付きで、学者が書いたきちんとした記事です。
（この百科事典はset theoryの項目をJechが、高階論理の項目をEndertonが、
logic and gamesの項目をW. Hodgesが、fuzzy論理をHajekがと言った感じの人が
執筆してるサイトで、ロジックを勉強するとき結構為になります。）

245 ：１３２人目の素数さん：2008/10/08(水) 18:51:56

197, 199, 202 の人、>>243 参照！

246 ：１３２人目の素数さん：2008/10/08(水) 19:34:54

>>242
とおりすがりだが

＞「 p ならば q 」という言明が為されたとき、聞き手は原則に従って
＞「話し手は単にqとかpと言うための根拠を持たないのだ」という風に推論するのだ、という説明。

これはたぶん、
「話し手は単にqとかpと言うための根拠を持たないのだ」
ではなく
「話し手は単にqとか非pと言うための根拠を持たないのだ」
の間違いだろうね。

あと、
＞「特別な理由が無い限り、より論理的に強い言明をなすことが出来るときに、
＞より弱い言明をなすべきではない」という語用論的な原則がある。
のところは、

「特別な理由が無い限り、より単純な表現でより論理的に強い言明をなすことが出来るときに、
より複雑な表現でより弱い言明をなすべきではない」という語用論的な原則がある。

というのが、本質。「ｑかつｐである」ということを知っていても
「ｑである」と主張すべきではないってことにはならないから。

この辺は、表現する側からの原則を、読解する側から考えるなら、
文脈読解力の話になるんだろうね。余談になるが、数学畑の人は
論理的な正しさに敏感なあまり、文脈的な適切さは気にしないことが
たまにあり、会話が食い違ってるのをよく見かける。自分も気をつけねば。

247 ：１３２人目の素数さん：2008/10/08(水) 21:27:24

n　　>>246
242 ではないが、、、
「話し手は単にqとかpと言うための根拠を持たないのだ」でよい。
pと言うための根拠があれば、「 p ならば q 」という言明の代わりに
q というだろう、あなたがその後に書いた原則にしたがって。

関心事は q なのだから非p は関係ない。

248 ：１３２人目の素数さん：2008/10/08(水) 21:45:20

>>247
ああ、そういうことね。了解しました。
論理的な正しさと文脈の適切さがどうのとかほざいていながら、
頭の中で勝手に「ｐならばｑ」を「非ｐまたはｑ」に変換してました。
スミマセン。

249 ：１３２人目の素数さん：2008/10/09(木) 00:11:40

表現が複雑になっちゃう、ってのは
この場合の「特別な理由」の一つだと思う。
まあどうでも良いといえばどうでも良い。

250 ：１３２人目の素数さん：2008/10/17(金) 11:36:52

プログラミングが実は定理の証明とみなせるといわれるのはいかなる意味においてなのでしょうか？
知ってる人がいたら是非教えてください。

251 ：１３２人目の素数さん：2008/10/17(金) 16:39:38

カリーハワードの対応。

252 ：１３２人目の素数さん：2008/10/21(火) 09:11:01

>>251
どうも有難うございました。

253 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 00:37:27

質問があります。
A(a)を論理式とする。
aはA(X)に現れない自由変数とする。
このときA(a)→∀xA(x)はHilbert流の述語論理体系でしめせるでしょうか？

演繹定理を証明するのに上の事実使うみたいなので演繹定理なしの証明をできればお願いします

254 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 03:53:43

自然数論のcanonicityを認めてしまえば、
そこから数学のcanonicityまではほとんど一足だと思う。
集合論は知らないけど。

>>253
そこらへんの細かい部分は良く知らないんですが、
確かHilbert流の述語論理の体系って結構variationがあって、
その細かい違いで、全称閉苞との同値が示せるかとか
正にそのあたりが違ってきたりするっていう話だったような。
出来たら述語論理の部分の公理を一通り書いて呉れた方が。

255 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 04:48:55

夜遅くに返答ありがとうございます。

述語論理の部分の公理（Hilbert流）

ｔを項、Ａ(t)を論理式とするとき
∀xA(x)→A(t)　　　
推論規則はＭＰとＡ→Ｂ(a)からＡ→∀xＢ(x) (自由変数aはＡにもＢ(x)にも含まれない)が導かれるってやつです。

256 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 11:17:51

そんなら
>>253
＞このときA(a)→∀xA(x)はHilbert流の述語論理体系でしめせるでしょうか？
しめせないと思う。

＞演繹定理を証明するのに上の事実使うみたい
使ってないと思う。っつーか、Hilbert流の演繹定理だと、仮定の中にある”閉”論理式Aのみを
A→BのAにするよね。まあ、そのあといろいろ工夫して拡張はするけど。

257 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 11:19:35

ついでに．．．

>>253
＞このときA(a)→∀xA(x)はHilbert流の述語論理体系でしめせるでしょうか？
そんなの示せる論理体系は、普通の論理体系とは全然違うものになっちゃうんじゃない？

258 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 16:36:54

Hilbert流の体系だと演繹定理の閉論理式って部分外せないんでしょうか？

外せたらＡ(a)から∀xA(x)導くことできるので（aはA(x)に現れない）
A(a)→∀xA(x)示せてしまいますよね？
でも閉論理式って部分外せないとＬＫと同値にならないですよね？
Hilbertr流とＬＫは同値にならないというのが正しいのでしょうか？

259 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 20:00:42

例えば、確か
　∀xA(x)→∃xA(x)
はLKで証明できたけど、
>>255の体系では証明できないと思うけど。

260 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 21:45:28

一般の閉でない論理式に対しては演繹定理なりたたないけど、
>>256 のいうように、工夫すれば同値性を示せるぐらいまでは
一般化できるんじゃなかったっけ

261 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 23:30:51

∀xA(x)→∃xA(x)

は２５５でも証明できると思いますが。
項ｔに対してＡ（ｔ）→∃ｘＡ（ｘ）示せるので明らかと思いますが。

確認したいんですが体系ＴとＴ´が同値っていうのは
「任意の論理式Ａに対してＡがＴで証明可能であることとＡがＴ´で証明可能であることが同値」ですか？

それとも、もしかして上の論理式Ａって部分を閉論理式Ａに変えたやつでしょうか？
後者だとすれば僕の同値性の定義の勘違いってことになります。

262 ：１３２人目の素数さん：2008/11/17(月) 23:42:57

ああそうか、対象領域が空だと ∀xA(x) → A(t) が成り立たないか。失礼。

閉でない論理式に対して演繹定理が成り立たないとかそういうのは
意味論的な解釈は出来ないんだっけ。

263 ：１３２人目の素数さん：2008/11/18(火) 00:31:55

すいません　２６１の文章でおかしいですね・・

述語計算ＡとＢに対して記号が同じ体系ＴＡおよびＴＢに対して上の意味でＴＡとＴＢが同値のとき
述語計算ＡとＢは同値かどうかっていう意味です

264 ：１３２人目の素数さん：2008/11/18(火) 11:59:14

>>258
＞Hilbertr流とＬＫは同値にならないというのが正しいのでしょうか？
ある意味で同値ではないし、ある意味で同値になるのだと思う。
以下は、どこかの詳しい人から教えてもらったんじゃなくて、自己解決した（と私が思い
込んでいる）内容だから、参考にだけしてください。（何せ独学なもんで。）

まず、Hilbert流とLKでは明らかな違いがあります。それは具体的な理論を作ろうとする
ときです。例えばLKを用いて形式的理論を展開しようとするとき、公理はすべて
閉論理式にしますが、無理やり閉じてない論理式を公理にすることもできないことはあり
ません。しかしHilbert流では、閉じてない論理式、例えばx=xを公理にしても、
そこからすぐ∀x(x=x)が証明できてしまうので、結局は閉じた論理式を公理にすることと
同じになります。というより、LKの立場から見て、Hilbert流では閉じてない論理式を
公理にすることができません。
　ですから、LKで、必ず閉じた論理式を公理にして形式的理論を展開するという風に
決めれば、そこでHilbert流と同値になります。
　ただ、LKにおいても、閉じてない論理式A(x)を公理にした場合、おそらく∀xA(x)
が証明できなくなってしまうので、それじゃあA(x)のxは本質的にconstantなんじゃないか
という気もしてくるので、閉じてない論理式を理論的公理として採用するということに
どれだけ意味があるのかは、私もわかりません。

>>258
＞Hilbert流の体系だと演繹定理の閉論理式って部分外せないんでしょうか？
体系に新しいconstantを導入するとか言う方法を使って何とかするんじゃなかったかなあ。

265 ：１３２人目の素数さん：2008/11/18(火) 12:31:31

スレチかも知れんが教えてほしい
某板の某スレで
>excelで「フィボナッチ数列の隣りあう項の比は黄金比に収束する」を表したいのですが
>式はどうしたらできますか？
という質問が出て
>フィボナッチ数列: F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}
>これを F_{n+1} で割って F_{n+2} / F_{n+1} = 1 + 1/(F_{n+1}/F_{n})
>したがって、R_{n} := F_{n+1}/F_{n} とすれば R_{n+1} = 1+1/R_{n}
という漸化式を
>A1 に 1
>B1 に 1
>A2 に =A1+1
>B2 に =1+1/B2
>と入れて、A2:B2 を下に好きなだけコピー
>散布図を x = A1:An, y = B1:Bn で描けばおk
って答えた香具師がいたんだが
漸化式と数式の作り方は合ってるのか？
数学弱いからよく分からないんだがｗ
>B2 に =1+1/B2
は
B2 に =1+1/A2と読替えてもいいのかも知れんがどうにも腑に落ちないんだ

266 ：１３２人目の素数さん：2008/11/18(火) 13:09:53

実は「数学基礎論」という分野があってだな、、、、それはどうでもいいが

合ってるけど、ここで聞いたからって信用していいのか？
腑に落ちるまで説明するのは↓に任せる

◆ わからない問題はここに書いてね２５０ ◆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1224990000/

267 ：265：2008/11/18(火) 13:21:30

数学質問でスレタイ検索したのが間違いだったな
「数学基礎論」ってwikiに載ってたんだな・・・
>>266
誘導アリ

B2 に =1+1/B1
ならしっくり来た気がしたのでそっちには書かないことにする

268 ：１３２人目の素数さん：2008/11/18(火) 14:17:19

>>258
LK で論理式 A を公理とするとは、「始式として -> A を追加する」というのが自然。

269 ：１３２人目の素数さん：2008/11/19(水) 01:14:36

>>264
丁寧な説明いろいろとありがとうございます。
しばらくいろいろ考えてみようと思います。

270 ：１３２人目の素数さん：2008/11/26(水) 02:11:10

>>268
そうかな、そのAを展開してB->Cの形にしたり、
上下に式を持ってきて推論形式を追加したりとかは？

271 ：１３２人目の素数さん：2008/11/26(水) 23:40:37

うるさい。

272 ：１３２人目の素数さん：2008/11/27(木) 00:22:29

鼻糞があわられた！

273 ：１３２人目の素数さん：2008/11/27(木) 09:15:37

>>270
そういう小細工で状況が改善する A は数えるほどしか知られていない。

274 ：１３２人目の素数さん：2008/11/27(木) 22:58:57

>>258
LK でも　Hilbert 流でも完全性定理が成り立つというところで同値といって
いるだけ。そもそも　∀xA(x) が LK の論理式なら A(x) は論理式ではない。
LK では自由変数記号と束縛変数記号がことなっているから。形式体系が同値
であるというのはどういうことか定義しなければ、そのようなことをいうこと
自体意味がない。
268　のようなとり扱いなら、A(a) を公理とするのも、∀xA(x) を公理とする
のも同じこと。A(a) を公理とするというのは、終式の左辺に A(a) があっても
よいとする方が普通だと思う。

275 ：１３２人目の素数さん：2008/12/04(木) 22:09:53

質問です。
先日会社関係でとあるセミナーを受けて、最後に自己分析みたいなのを質問に答える形式でペーパーで
やったんです。その時、ポイントを計算していく上で数学的にどうかな？と思う部分があったのでこちらに
書き込ませていただきます。

まずAに該当する部分がいくつあったか、を合計します。
次いでA'に該当する部分、Bに該当する部分、B'・・・と続けていき、A－A'、B-B'、・・・を出します。
これをA''、B''、・・・とします。
たとえばこうです。
A＝５　A'＝３ならA''＝＋２、B=１　B'＝４ならB''＝－３、C=２　C'＝６ならばC''＝－４、とします。
このとき「差の合計値」を「絶対値」で表すのはいくつになりますか？つまりA''B''C''という差を合計して、その
絶対値を出すということでしょう。
私の場合、上の例で言うと＋２＋（－３）＋（－４）＝－５の絶対値は「５」と解釈していましたが、講師に質問
したところ２＋３＋４＝９　が正しいらしく、私が「それは（A''B''C''の）絶対値の合計」ではないんですか？と聞いても
（時間的なこともありまして）「それでいいんですよ」と言われました。

件の数値記入欄に「差の合計（絶対値）」とテキストに書いてあります。
ここでお聞きしたいのは
１．差とはすべて正値なのか？
２．１．が正解なら、わざわざ「絶対値」という表現を使う必要があるのか？
３．私の見解が間違えているのか？
です。講師も「統計学に基づき行っている」旨説明していましたから、無論基本的な数学は理解しているものと
思いますが、いまいち腑に落ちない数学素人の私の愚問に対してよろしくお願いいたします。

また、結論を説明する参考となるようなサイトなどあればあわせてご紹介お願いいたします。

276 ：１３２人目の素数さん：2008/12/04(木) 22:30:58

>>275
1. NO
「差」という語の定義に依存する

2. NO
その表現を使わなくても符号に関して等価な表現はできる

3. 条件不足のため解不定
定義次第でYESにもNOにもなる

4. スレ違いだ>>2嫁

277 ：275：2008/12/04(木) 22:48:07

>>276
４．に関して
申し訳ありません。スレタイの「基礎」の文字で誤ってしまったようです。というかこのような質問をするため
のスレをご誘導ください。素人としては>>2を読んでもわからんのですｗ
門外漢としては数学の基礎だから素人の素朴な疑問も範疇だろう？ぐらいにしか理解できなくてすいません。

スレ違い承知でさらにお聞きしますが、>>276の回答を、もう少しわかりやすくご説明いただけますか？
私の見解についても条件不足な部分はできる限りお答えいたします。

278 ：１３２人目の素数さん：2008/12/04(木) 22:57:22

だから、
1. 差とはすべて正の値だとする定義もあれば、差は負にもなりうるという定義もできる。
2. 「絶対値」という表現を使う必要はないけど、講師が気分的に使いたかったから使ったんでしょう。
3. 何が正しくて何が間違っているのかはどういう基準で決めるかによる。講師の基準によればあなたが間違ってたんでしょう。

279 ：275：2008/12/04(木) 23:20:53

>>278
ありがとうございます。
勝手に解釈させていただくと、今回のセミナーのこの件に関しては
１．の定義もはっきりさせずに、さも一般的であるかのように話をすすめ
２．の絶対値という用語を使いたいために参加者に無用な誤解を生み
３．の私のような正誤の判断もできない者を混乱させた
と理解してもよろしいでしょうか？

主催者が意図するかどうかは別として、少なくとも私には不愉快に思われます。
この辺はちょっと文句言ってやろうと思いますｗ

280 ：１３２人目の素数さん：2008/12/05(金) 00:09:31

> １．の定義もはっきりさせずに

定義をはっきりさせなかったかどうかは十分な判断材料がないので不明。
「差は正の数です」ぐらい言ったんではないの。

> さも一般的であるかのように話をすすめ

「自分で定義をする」というのと、「その定義が一般的であると主張する」というのとは別の話。
「ここではそうしておいてください」ぐらい言ったんではないの。

> ２．の絶対値という用語を使いたいために参加者に無用な誤解を生み

「参加者」でなく「あなた」。
他の参加者が無用の誤解をしたかどうかについては十分な判断材料がないので不明。

> ３．の私のような正誤の判断もできない者を混乱させた

「のような」が曖昧で、どういう人が「あなたのような人」に含まれるのか十分な判断材料がないので不明。
少なくともあなたは混乱したようなので、その部分は正しいでしょう。

もう寝るのでもし続くようならこっちで明日↓
もの凄い勢いで誰かが質問に答えるスレ@理系板@39
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1224806465/

281 ：１３２人目の素数さん：2008/12/05(金) 01:21:55

>>279
お前の存在が不愉快だよ

282 ：１３２人目の素数さん：2008/12/05(金) 01:42:55

新スレタイトル案募集

283 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 17:08:40

>数学の基礎だから素人の素朴な疑問も範疇だろう？
基礎という意味を勘違いしないように。
数学基礎論という分野は

×　初歩的な数学
○　「数学」という理論を基礎付けるための学問

まあ、現代的には必ずしもこれに含まれない分野も数学基礎論に含まれるが。

284 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 17:11:18

スレタイを数学基礎論じゃなくて数理論理学に変えた方がいいという案は昔からあった気がする

285 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 20:27:04

以前は「数理論理学」と題名に入ってるスレも幾つか在って、
それ以外に集合論なぜなにスレッドなんていうのも在ったよね、たしか。

286 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 21:02:24

wikipediaの反対称関係の定義が
∀a, b ∈X, aRb∧bRa→a=bとなるような関係、
となってるんだけど、
この定義に拠れば順序集合の大小関係＜は
論理的には反対象関係になるよね。前件が成り立つことが無いのだから。

何か
＞しかし等号の付かない不等号（<）は反対称関係ではない。
＞不等号の成り立つ場合にはa = b とはなりえないからである。
とか訳のわからん事が書いてあるみたいなんだが。
irreflexivityと混同したんだろうか。

287 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 22:27:45

背伸びしたい餓鬼の遊び場のWikipediaなんか放っておけよ

288 ：１３２人目の素数さん：2008/12/06(土) 22:53:03

>>286
> ∀a, b ∈X, aRb∧bRa→a=bとなるような関係、
> となってるんだけど、
> この定義に拠れば順序集合の大小関係＜は
> 論理的には反対象関係になるよね。前件が成り立つことが無いのだから。

反対称の定義はこれでいいんだよ。
例えばDavey&PriestleyのIntroduction to Lattices and Orderでも
これでantisymmetryを定義している。
問題は順序集合の大小関係＜の定義の仕方。

289 ：１３２人目の素数さん：2008/12/07(日) 16:46:51

カギ括弧で囲んで「数学基礎論」とすれば･･･それでも間違える奴は間違えるか。

290 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 12:50:08

ゲーム理論において将棋などは
「二人零和有限確定完全情報ゲーム」と表現されるそうですが、
対戦格闘ゲームの場合はどう表現されますか？

291 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 14:45:09

基礎論の研究室が、代数系解析系・・・と分類されているときに応用数理系などになっていたり
情報系の研究科にあったりするのですが、「基礎論」なのに応用分野なのですか？

292 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 14:50:04

>>291
おまえは直近の１０レスすら読めないのか？

293 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 14:54:58

>>292
基礎論の意味は分かっています
数学の枠組みを研究する分野ですよね
その上で、なぜ基礎論の研究室が応用系として分類されているのかが分からないのです

294 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 15:34:21

日本語の字面だけにこだわらず、少しくらいは中身を把握してから書け。
数学の基礎付けをする学問が他の分野に応用されててもちっとも不思議はあるまい。

295 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 15:59:14

では基礎論は応用数学であり、>>2に純粋数学として発展と書いてあるのは間違いなのですね

296 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 16:15:04

純粋数学として発展してたら応用される筈などない、
というその至極単純かつ稚拙な思考回路はどこからくるんだ？

297 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 16:21:18

数理論理は情報科学とかと関連が深いから
応用数学に分類されたりとか、あと工学部に研究者が在籍してたりするんだよ。
あと代数・幾何・解析の三区分の分類に当てはまらない研究分野だから
その他ということで一緒になってるというような場合もある。

まあ大して深い意味は無いよ。
ただ基礎論でも分野によって、あまり数学外とか他分野と関連が無い分野もある。

298 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 18:38:02

Gentzen の算術の無矛盾性証明って、
どっかに解説とかありますか？

299 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 19:48:31

そりゃどっかにはあるだろうよ

300 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 19:49:49

>>297
ありがとうございます

301 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 20:39:17

>>298
竹内・八杉の証明論入門にあったよ。

302 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 20:39:31

>>299
どこ？

303 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 22:10:10

>>301
ありがとう。

304 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 22:43:59

>>290
ゲーム

305 ：１３２人目の素数さん：2008/12/10(水) 23:54:22

ゆとりと居丈高と親切な振りしたお節介がいるスレだな

306 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 00:16:05

つまり一般的な２ちゃんのスレということではないのか

307 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 00:22:11

> ゆとりと居丈高と親切な振りしたお節介

何をしたいのかわからない>>305よりはいずれも人として理解できる

308 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 01:44:39

人として理解できるから何だというんだ？

309 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 02:03:31

理解できる俺はエライ、あなたとは違うんです、フフフン

310 ：290：2008/12/11(木) 06:39:21

>>304
特に命名はされてないんでしょうかね

将棋なんかより両者がリアルタイムに自由に行動できるほうが
現実との乖離の少ないゲームって事にならないでしょうか。

311 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 07:02:08

>>310
釣りじゃないならこっちで
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1224806465/

ちなみに一般的な格闘ゲームはリアルタイムではないし（1/60秒単位でしか行動できない）
自由に行動できるわけでもない（当然ながらプログラムに沿った動きしかできない）

現実との乖離が少ないかどうかは「現実との乖離」の量をどう数学的に定義するか次第なのでなんともいえない

312 ：290：2008/12/11(木) 07:13:20

>>311
ありがとう。

313 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 10:07:54

Excel　VBAでのガウシアンフィッティングの仕方について教えて下さい｡

A1・・・A1001にx軸の値が
B1・・・B1001にy軸の値が入っているとします。
このデータをグラフ化したのちに、ガウシアン関数y=a+b*exp(-(x-c)^2/d^2)に対してフィッティングを行い、それぞれの定数を算出及び、その算出されたグラフを上に乗せるということをしたいのですが、
Excel VBAを使ってどのようにすれば良いのでしょうか？

また、ピークが１本ではなく2本ある場合Multipeak Gaussian fittingというものでそれぞれのピークに対してフィッティングすることもできるそうなのですが、できればその方法についても教えて頂けないでしょうか？

自分でひな形くらい作って質問したいところですが、全くどうやって作れば良いのか検討もつかないのでどなたかよろしくお願い致します。

314 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 11:58:02

>>2あたりを参照

あと統計学なんでもスレッドってのがあるよ。

315 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 12:57:29

スレタイは基礎論のままにしとくとしても
次スレからは>>2と>>1を入れかえたほうがいいんでないの

316 ：313：2008/12/11(木) 15:28:16

ありがとうございます。
そちらで聞いてみます。

317 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 20:05:07

【>>1】数学基礎論の質問スレッドその５【嫁】

とか

318 ：>>1と>>2分ける意味あんの？：2008/12/11(木) 23:04:32

319 ：１３２人目の素数さん：2008/12/11(木) 23:27:07

正直>>2だろうが>>1だろうが読まない奴は読まないよ。

320 ：320：2008/12/13(土) 10:33:46

こちらで良いのか分からないのですが、質問させて下さい。
学術系雑誌などで目にするフラクタル図形をWindowsXP上で描写する
ソフトウェアというのはありますでしょうか？

321 ：１３２人目の素数さん：2008/12/13(土) 11:07:55

>>234
＞　1. A→(B→A)
＞　2. [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)]
＞　3. (￢B→￢A)→(A→B)

2.の代わりに

2'.　(B→C)→[(A→B)→(A→C)]
2''．[A→(B→C)]→[B→(A→C)]

を公理として設定しても同じとなるか？

322 ：１３２人目の素数さん：2008/12/13(土) 17:10:44

4.(￢A→A)→A
5.[A→(A→B)]→(A→B)
6.((A→B)→A)→A
のうち、どれかが示せれば同値が言えたけど、降参。
教えてチョーーーーダイ。
（つまりは、5.のWがK、B、Cから出せるかがポイントだったんだけど．．．）

323 ：１３２人目の素数さん：2008/12/13(土) 20:19:23

>>322
実はね・・・同値ではないんだ。

Wって、仮定にある複数個のAを減らす役割を果たすんだけど
実はB,C,Kではそれができないんだな。

厳密な証明は知らんけど。

324 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 20:44:35

基礎論に解析の知識はどれくらい必要ですか？

325 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 22:28:38

原則として不要

326 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 22:31:14

>>324
まったく必要ない。

327 ：324：2008/12/15(月) 22:32:47

ありがとうございます
院試乗り切れる程度にやったら解析の本は後輩に譲ることにします

328 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 22:38:58

基礎論やったことないのに院から基礎論を専攻しようというのはあまりオススメできないな。
修論書けないぞ。

329 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 22:45:35

修士課程でも必要単位はとらないといけないんだから
院試以降まったく解析をやらずに修了するなんてのは
専攻如何にかかわらずほぼ無理だと思うけど。

330 ：324：2008/12/15(月) 22:52:20

>>328
一目惚れです

>>329
単位のこと忘れていました
解析概論は手元に残しておくことにします

331 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:11:25

解析の本って、解析概論一冊だけのはなしだったのか……

332 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:16:56

いやいや流石にそれ一冊で大学卒業は出来ないだろ
通常の大学のカリキュラムから考えて複素解析、ルベーグ積分論、統計の教科書くらいはもってるんじゃないかな

333 ：324：2008/12/15(月) 23:23:17

他にも大学の講義で指定された本が微積，複素解析それぞれ1冊ずつありますが概論1冊で事足りるので
単位のためだけならこれ1冊残しておけば十分かなと

ルベーグ積分はうちの大学のカリキュラムにはないのです…

334 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:23:49

>>332
いや、普通はそうだと思うけど、そうだったら普通はそっちを残すんで、
解析概論一冊だけ残すってこたねぇわな。ま、統計は無いと思うけど。

335 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:25:17

懐石概論で足りる複素解析って……どんだけダメな学校だよｗｗ

336 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:25:52

> ルベーグ積分はうちの大学のカリキュラムにはないのです…

いまどきそんな大学無いよ

337 ：324：2008/12/15(月) 23:29:24

どことは言えませんが恐らく国立の数学科最底辺かと…

>>336
うちの学部生は卒ゼミでやらなければ定義も知らずに卒業するかもです…

338 ：１３２人目の素数さん：2008/12/15(月) 23:39:42

釣りだよね？

339 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 01:57:49

モデル理論やるのに、どのくらい他の数学基礎論の知識が必要ですか？
集合の濃度や順序数のことがわかっていれば十分ですか？

340 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 03:43:04

最低でも、
述語論理の完全性定理まわり（エルブラン、スコーレム、ゲーデル）
できればカット消去定理も、
帰納関数論初歩（不完全性定理含む）、
集合論は強制法までは当然に。

341 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 03:50:45

>>340
ずいぶん、多いですねー。
基礎論家たち同士って、結構みんなバラバラに違うことを
やっているイメージがあったのですが。
一般に基礎論専攻者は、どんな順序でどんな本を読んでいく
ものでしょうか？

342 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 06:53:36

>>336
ルベーグ積分論という講義名があっても
測度論だけで終わってしまって、積分の定義まで行かない大学はあるかもｗ

343 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 07:04:09

http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lnilifolder/lnili.html

344 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 09:24:46

>>340
そりゃ知っといたほうが良い定理であって
知らないと済まないというような定理じゃないと思うけど。
まあ基礎論専攻してる人は普通そのくらいはマスターしてますけどね。

カット除去とかモデル理論で普通に使う定理じゃないような感じがしますが……

345 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 18:52:36

cut除去も証明方法により、目で見るモデル作成になるからな。

346 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 19:20:04

僕は馬鹿なので以下の問題が全然分かりません。どなたか教えて戴ければ嬉しいです

質量ｍ　のスポーツカー　が　加速度α　で走っている。

さて、この状況に運動方程式をあてはめた場合

　　　Ｆ＝ｍα　（Ｆ：力　　ｍ：質量　　α：加速度）

の力：F　とは何か？

347 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 19:20:55

ニュートン

348 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 20:46:08

やっぱ難しいのかな～？

349 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 21:21:19

>>339
340 に書いてあることはほぼ必要ない。
非可算濃度に関する知識は多少あったほうがよいが、
群論、代数幾何などに強ければ、その方が強力。

350 ：１３２人目の素数さん：2008/12/16(火) 21:55:52

>>349
ありがとう。そのほうが私の考えていたイメージに近い

351 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 04:18:45

俺も349に同意する

ただ>>340の
> 述語論理の完全性定理まわり（エルブラン、スコーレム、ゲーデル）
を好意的に解釈すれば
コンパクト性やレーベンハイム・スコーレムの定理は確かに必須

352 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 05:51:06

351 え。コンパクト性定理やＬＳ定理は、もうモデル理論（の古典ないし入門）と考えて良いですよね。
モデル論家にとって必要なモデル論以外の分野の知識を問題にしてるので

353 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 05:57:40

日本語なり英語なりをちゃんと書ける能力は必要です。以上。

354 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 07:28:20

ラテン語じゃだめですか

355 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 07:30:07

>>354
ラテン語のモデル理論の本あるいは論文はない！

356 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 07:52:54

だからこそ「書く」能力に意味があるのだ！
ラテンダンサーに基礎論を広めてやるぜ

357 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 09:43:16

解答お願いします。
仕事で時間の計算を素早くしなくちゃいけないんですが
例えば15:32～19:17=3時間45分なのですが
これを早く計算するのに1917-1532=385
真ん中の数字が６以上の場合-40=345
3時間45分となるのです。
他のﾊﾟﾀｰﾝでも６以上は-40でその時間が出ました。
なぜ-40なのか分かる人教えて欲しいです。
またこの計算で大丈夫でしょうか？
この板には無縁な者なのでｽﾚﾁでしたら、すみません。

358 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 09:44:54

ｽﾚﾁですのですみませんがお引取り願います。

359 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 09:54:24

やはりｽﾚﾁでしたか；
すみませんでした…

360 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 10:36:27

超準解析って今どうなんですか？
もうあまりはやっていないんでしょうか？

361 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 12:30:54

>>345
>cut除去も証明方法により、目で見るモデル作成になるからな。

なんか見当違いなこといってないか？
cut除去にモデル理論を用いた人がいたが、この場合、順序が逆。

362 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 12:32:06

日本で基礎論はマイナーですか？

363 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 12:33:55

>>352
＞モデル論家にとって必要なモデル論以外の分野の知識を問題にしてるので

モデル化する理論についての知識。

こんなことはいわずもがなで、わざわざ尋ねるのは
よほど勉強嫌いに違いないから数学はやめたほうがいい。

364 ：１３２人目の素数さん：2008/12/17(水) 17:39:17

>>361
たぶんタブローを用いてφが偽となるモデルを構成するとか
そっち系の話のことを言ってるんじゃなかろうか。
ただモデル論の話かと言われるとちょっと違う気がするけどね。

365 ：１３２人目の素数さん：2008/12/18(木) 00:40:17

>>341
そのくらいなら一冊に全部載ってないか？

366 ：１３２人目の素数さん：2008/12/18(木) 01:05:00

>>365
全部載ってる本はあるね。あまりおすすめはしたくない本だったけど。

367 ：１３２人目の素数さん：2008/12/18(木) 01:54:12

カット除去と強制法が一緒に載ってるってのが
結構きつい条件だと思う。

368 ：１３２人目の素数さん：2008/12/18(木) 02:22:54

Bounded アリスメティクという分野があると聞きましたが、盛んに進展あるのでしょうか？
基礎論ではどの分野に属するのですか？

369 ：１３２人目の素数さん：2008/12/18(木) 04:23:20

強制法だけ別に一冊読めばおｋかな

370 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 16:00:33

((x,y),z)と(x,y,z)は同じですか

371 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 17:10:14

自然に同一視できる。

ZFCなどの集合論の上での数学の理論を考える場合に
本当に同一の対象となるかどうかは定式化の仕方による。

372 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 21:11:18

>>368
Bounded Arithmeticはちまちま研究されているけど、最近は大きな進展は無いかな
Bounded Arithmetic自体が分野みたいなものなので、どの分野に属すと言えるかは難しいが、しいていえば証明論か？

373 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 22:16:16

便乗質問なんですけど
Bussの"Bounded Arithmetic"と
Krajicekの"Bounded Arithmetic, Propositional Logic, and Complexity Theory"
って読むのにそれぞれどのくらいの予備知識が必要でしょうか。
今の知識でだいたい読めそうだったら読み始めてみようかなと考えているのですが。

374 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 23:46:35

「自分の今持ってる知識」とやらを先に披露してから質問しろよ。
全羅列よりも足りない部分を補う方が回答としては楽なんだから

375 ：１３２人目の素数さん：2008/12/20(土) 04:46:44

>>374
３７３じゃないけど、私の場合は、基礎論は、完全性定理まで。
あとは素朴集合論と、理論計算機科学
（チューリング機械の定義や、P=NP問題の定式化。オートマトンの基本的性質。
SATがNP完全であることの証明）ぐらいです。

>>372
では、普通の証明論の知識・技術を必要とするわけでは無いのですね。

376 ：１３２人目の素数さん：2008/12/20(土) 14:44:18

>>375
ペアノ算術とかの算術の知識は少しあったほうがいいかも

377 ：１３２人目の素数さん：2008/12/20(土) 18:39:33

376 どの本が良いですか？

378 ：373：2008/12/21(日) 09:10:43

すいません
だいたいEndertonくらいの知識だと思います。
算術についてそれほど詳しいわけでもないんですが
やはりKayeとか数学基礎論講義とか読んでからやったほうが良いんでしょうかね。

379 ：１３２人目の素数さん：2008/12/21(日) 22:18:30

>>378
本当に研究したいのなら基礎知識にこだわらないほうが有利．
必要に応じて勉強すればよい．

380 ：１３２人目の素数さん：2009/01/02(金) 04:12:31

ここでいいのかわかりませんが、教えてください。
「(3^2)+4を～+4という形に変形せよ」という問題で、
普通,3^3=9*3。3*3=9。推移律より3^2=9。代入原理より、3^2+4=9+4。としますが、
これを、3^2=3*3。3*3=9。それぞれに代入原理より、3^2+4=3*3+4…P。3*3+4=9+4…Q
P,Qに対して、推移律より、3^2+4=9+4。というように、変形途中の全ての
等式を「～+4」という形にして、それから推移律より結論を得る論法は,
前者の考え方に比べて、余計なことをしているだけですか？

381 ：１３２人目の素数さん：2009/01/02(金) 15:45:00

門外漢で確率微分方程式を学びたいんだけど、
集合→位相→測度→ルベーグ積分→確率過程→確率微分方程式
の順に勉強すればおｋ？

382 ：１３２人目の素数さん：2009/01/03(土) 14:04:59

どのくらいまで学びたいかに依る

383 ：１３２人目の素数さん：2009/01/04(日) 12:36:36

>>381
女子高生のイラストが表紙の「萌える確率微分方程式」でおk。

384 ：１３２人目の素数さん：2009/01/04(日) 12:45:19

萌える順序数解析とか出ないかな。出ないだろうな。

385 ：１３２人目の素数さん：2009/01/04(日) 12:52:02

>>384
まあでも、posetないがしろにしすぎていた反省で、
B.A.D., H.A.P.のIntro. to Lattices and Orderで勉強し始めたｵﾚｶﾞｲﾙ。
ストーンの表現定理あたりを脊髄反射で分かるようにしなければ・・・

386 ：１３２人目の素数さん：2009/01/06(火) 10:57:29

>>367 では、完全性定理ＡＮＤ不完全性定理ＡＮＤ（かっと除去ＯＲ強制法）という条件
ではどの本がお薦めですか？

387 ：386：2009/01/06(火) 12:37:30

ちょっと見たかぎりだと、完全性定理と不完全性定理の両方が載ってる洋書・和書もあまりないみたいですね
不完全性定理勉強するならどの本が良いでしょうか？

388 ：１３２人目の素数さん：2009/01/10(土) 15:17:17

KleeneやSchoenfieldって良くないんですか？
小平先生ですら、この本で強制法が理解できなかったらしいのですが。不完全性定理はわかった気がした程度らしいです
今だったら、何の本がいいのでしょうか

389 ：１３２人目の素数さん：2009/01/10(土) 15:48:06

できる人の「理解できない」は、われわれとは違うと思うよ。

390 ：１３２人目の素数さん：2009/01/10(土) 20:15:50

小平先生が読んだのってKleeneとかShoenfieldなの？
個人的にはCohenの本とかじゃないのかと思ってたけど。
モデル理論とか再帰理論とかまで気合入れて勉強したのでは無いと思うけどなｗ。

Kleeneは古いので歴史的なことに興味が無いのなら
別に読む必要ないと思う。ShoenfieldのMathematical Logicは良い本ですよ。

Mathematical Logicで強制法（最後の章に載ってる）を理解するのは割と大変。
というのも小平先生が基礎論を勉強した時期は東大紛争の頃で、
68年あたりなんだけど、当時のforcingはramified forcingと呼ばれるもので、
現行の比較的理解しやすいunramified forcingが開発されたのは
71年のShoenfield（同じ人です）の論文なので。
もちろん当時は時代の最先端の論文だった。
Mathematical Logicはそれよりも前に出版された本。

それから、不完全性定理は実際（小平先生が言うような意味では）
分かってない人が今でもたくさん要ると思う。ロジックを専門にしてる人でもね。
あの定理は論理的に正しいことは、証明をフォローすれば分かるんだけど、
勉強の過程でどうしても
「そもそも或る理論で自分自身の無矛盾性を証明しても
それって循環論法じゃないの？Hilbertは何がやりたいの？」
というような疑問が無数に発生する（というかPoincareとかが実際批判してた）。
Hilbertがこれに対してどう思ってたのか、となると
もう専門家で割と詳しい人でないと答えられないんじゃないかな。

391 ：１３２人目の素数さん：2009/01/10(土) 20:20:42

>>387 >>388
EndertonかBoolosかMendelsonあたりがお薦めかと
Shoenfieldでも良いけどちょっとレベルが高め。

強制法は良く知らん。普通はKunenかJechみたいだけどね。
Jechは二版の方が初学者には読みやすい気がする。

392 ：１３２人目の素数さん：2009/01/10(土) 21:58:02

>>390 くわしくありがとう
岩波口座の数学の学び方という８０年代にでた小平先生編集の刷子のなかのエッセイで
数学に王道なしというのがあって
そのなかで、Ｋｌ，Ｓｈなどを読んだとあった
>>391 ありがとう

393 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 08:56:49

>>390
Shoenfield の本と、Feynman の本の比較のことは小平先生の本に書いてあった。
Shoenfield の本は ramified forcing が書いてあるわけではない。ただブール
代数値モデルのことは書いていないから、小平先生はわかる気がしなかったのだ
と思う。その感想の書き方からすると、「ゲーデルの不完全性定理」はよくある
誤解の中にあると思う。小平先生の強調される理解の仕方は、具体的なものをじ
っと見つめるということが大事だとしているから、形式的なものを、対象とする
ことはしていない。だから誤解しているはずだ。

394 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 14:27:30

Shoenfieldの本って非分岐なんですか？
非分岐強制法はShoenfieldが論文で発表したのが最初だったとか
どこかで読んだことがあるんだけど、本より前でしたっけ。

やっぱり論理的な厳密さに過度に拘る傾向のある人が
基礎論に行きやすいのは、適性の問題も大きいんでしょうね。
論理性を重視しないいわゆる"数学者肌"の人は、往々にして
言葉が意味を持つのは当たり前だと考えるから。

395 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 19:51:36

統計学の問題なのですが、何をすればいいのか全くわかりません。どなたか教えてください。

問題１
M君は高校時代の同窓会の幹事をすることになりました。
同窓生120名に対して出欠の調査をしたところ、なんと「全員出席」との回答が返ってきました。
しかし、同窓生の中には調子の良い人が多くいて、
M君は過去の経験から誰もが平均的に確率1/6で当日欠席するであろうと予測しています。
そこで同窓会の会場は110名分予約した時、席に余りが出る確率を求めなさい。
ただし、出欠は120人全員が独立に決めるものとします。

問題2
あるサークルでは、学園祭で「おでん屋」を開くことになりました。
しかし学園祭1日目はこの時期としては記録的な暑さになり、
「おでんを食べたい」という人はほとんどいませんでした。
実際には、店の前を1500人の来場者が通り、その中でおでんを購入した人は12人でした。
さて、学園祭2日目も気象条件など1日目と条件に変化がない（おでんを購入する確率に変化がない）
とすれば、学園祭2日目のある1時間に300人の来場者が「おでん屋」の前を通り、
そして、おでんを6人以上の人が購入する確率を求めなさい。

以上2つです。よろしくお願い致します。

396 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 20:00:28

それが基礎論と何の関係があるんだ？

397 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 20:02:05

そこを考えるのが基礎論屋さんの仕事なのさ

398 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 20:35:41

>>395
それよそのスレでも同じ質問見たんだが。

というかここは論理学関係のスレなので。

399 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 21:28:29

今度こそスレタイ変えようぜ

400 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 22:25:49

とはいえ、このスレが埋まるのってあと一年くらい先の話じゃね？

その時まで覚えてるとは思えないが。

401 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:03:06

｢この命題は真偽決定不能である。｣

ってのは、バラドックスなの？単なる偽なの？

402 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:07:44

論理体系によって違ってくるに決まってるだろ

403 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:11:19

>>402

ん？

普通の論理で｢｣の中の話だが？

404 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:33:40

いわゆる普通の論理（命題論理）では、そういう命題はそもそも定義不能。
自然数を含んだ論理体系では真になる場合がある。
ラッセルが考えたような無限集合を含むような体系では真。

405 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:46:45

>>404

真なら、決定不能だから真でないから矛盾しない？

406 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:53:40

決定可能かどうかと真偽とは、一般的には関係がない。

407 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:55:48

つまり、>>401の命題は、真ではあるが、真とは証明できない場合があるいうこと。

408 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 23:59:52

｢かっこ内のこの命題は真偽決定不能である｣

ならわかりやすいか？
論点がずれてるので。

これなら、真偽と決定不能が分離しない。

409 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 00:08:43

真かつ決定不能。
つまり、その命題は実際には真偽決定不能であるが、真偽決定不能であるという「証明はできない」、ということ。

410 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 00:14:25

>>409

証明は関係ないよ。
真かつ、決定不能なら、真として決定可能で矛盾する。わかった？

411 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:19:17

なんだゲーデル命題の話をしてるんじゃないのか。
なら最初からそんな紛らわしい命題出すな

412 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:23:28

>>411

だからゲーデル命題なんてわかりやすい話は最初からしていないよ。

413 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:25:48

偉そうに言うなら最初から厳密に書け

414 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:28:11

書きぶりからは電波や哲学の人と区別がつかんから真面目に考えなかったよ

415 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:33:28

｢数学はこの命題の真偽は決定できない｣ゲーデル命題

｢この命題の真偽は決定できない｣

全く違うものだろう、最初から。

416 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:46:25

数学の話じゃないならよその板行けよ…

417 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 01:52:33

>>390
>「そもそも或る理論で自分自身の無矛盾性を証明しても
>それって循環論法じゃないの？Hilbertは何がやりたいの？」
>というような疑問が無数に発生する（というかPoincareとかが実際批判してた）。

自分自身の無矛盾性というのは、単なる一例で、
モデルをとれば真偽が決まりステートメントとしてもきちっと書ける
のに、証明ができないような、ステートメントの例を具体的に
あげた
というところに意味があるんじゃないの？
>>393
＞Shoenfield の本と、Feynman の本
どこに書いていました？

418 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 02:00:22

>>416

論理学の話も駄目かよ。最低、、、。

419 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 02:13:10

真命題の否定も真であることはありえますか？
また、偽命題の否定も偽であることはありえますか？

420 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 04:39:25

>>419
両方ない

421 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 09:32:01

矛盾を含む公理系ならどっちもあり得るでしょ

422 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 10:05:13

>>417
たしか「怠け数学者の記」だと思う．

423 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 12:01:01

>>422 本当？それ読んだけど記憶に無いなぁ

424 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 13:18:24

>>408
Gödel文だとかRosser文だとかHenkin文だとかの
いわゆる述語論理上の自己言及命題というのは
φ という命題自体はφに言及はしていないんだけど
φ⇔￢Prov(φ)
が自然数論から証明できてしまうようなもの。

408のような文章がパラドクシカルな状況に陥るのは
そもそも「この命題」などという記号論理において
通常許されない演算子を使っているからだ、で話が終わっちゃうので。
もちろん哲学者に言わせれば、いろいろあるんだろうけど。

425 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 13:21:22

>>417
いやGo¨delの話じゃなくて、第一不完全性定理に
どういう意義があるか、そのバックグラウンドの話なので。
どちらかというとHilbertよりの話。

＞モデルをとれば真偽が決まりステートメントとしてもきちっと書ける
＞のに、証明ができないような、ステートメントの例
そんなの例えば群論の公理系を作って、
群は可換である、ということを主張するステートメントを作ったら
それが例になってるよ。それだけじゃほとんど意味がない。

>>422
怠け数学者の記にはShoenfieldの名前は出てこなかったと思う。

426 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 15:35:26

>>424

なるほどね。さんきゅ。

427 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 16:48:41

>>423 >>425
本は記憶違いのようですが、内容をいうと、

「Feynman の本は論理的には飛躍しているが、いいたいことがよくわかり、
頭にしみいるように入ってくる。そこにいくと、Shoenfiled の本はいちいち
もっともなことが書いてあるが、何をいいたいのかさっぱりわからない。」

といったことだったと思う。

428 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 17:22:26

>>425
群の公理系みたいに弱い体系ならそうだけで
ＺＦＣとかでも簡単に例はつくれますか？
あるいは任意にあたえられた公理系にたいして、簡単につくれますか？

429 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 17:41:52

>>428 っていうか、ペアノの公理系でそういった例があるかが大問題で
７０年代ぐらいにようやくラムゼー理論で示したんじゃなかった？

430 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 19:11:04

>>428
いや、第一不完全性定理が重要じゃないとか言ってるわけじゃなくて
「具体的に」だけじゃダメなんじゃないのと言いたかっただけで。
方法としての汎用性も重要だってことで良いんじゃないでしょうか。
今考えてみると417は第二よりも第一のほうが重要だっていうレスだったのかな。

あと、特に無矛盾性が示せないことを証明したというのはどうでも良い事です、
第二は第一のオマケみたいなものです、という説明をする人が居るけど、
そういう説明はちょっと違うと思うんだけどなあ。
Gödel以前の論理学者が無矛盾性に特に焦点を当てていたのは確かで、
じゃあ彼らはピントがボケたどうでも良い研究をやっていたの？ということになる。
そうじゃなくて無矛盾性が弱い算術から示せるのなら、それを示そうとするのは
ごく自然なことなんだけど、実際はそれがほぼ不可能だということが分かって
以後数理論理研究の方向性が大きく変わる。
その流れを決定的に変えたのが第二不完全性定理なので。

Gödel数化が可能だなんていうのは計算機が全ての情報を0と1の有限列として
扱っていることを考えればほぼ自明です、そんなことにも気付かなかった
昔の人はアホだったんですね、とか言うのもそうなんだけど。どっちも後知恵という奴で。

>>429
Paris-Harringtonとかのことを言ってるんだろうけど
超数学的でない数学的命題で、ということでなければPA + ￢Con(PA)で良いと思う。
「具体的」というのはここでは実際に論理式を構成できる、という意味だろうから。

431 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 01:52:12

学部2年です
東北大院の基礎論系の研究室に行きたいのですが外部（しかもかなり格下）からでも入れますか？

432 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 12:24:35

試験でよっぽどお粗末な結果でない限り入れるよ
ただし、その後が大変になるのでオススメはしない

433 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 15:00:45

質問です

ゲーデルの不完全性定理
「自然数論を含む帰納的記述可能でω無矛盾な公理系には、証明も反証もできない命題が存在する」
は「無数に存在する」に拡張する事は出来ますか？

434 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 15:18:55

すいません、数学Ⅰと数学Ａってセットなんですか？
それとも、別々に教科書が分かれているんでしょうか？

435 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 15:41:09

>>433
可能

436 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 15:47:24

>>434
基礎論と何の関係が？

437 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 16:00:36

>>435
ありがとうございます
具体的にはどのように示すのか教えて下さい

438 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 16:28:07

>>432
ありがとうございます
東北大でも基礎論は不人気なのですか

439 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 17:13:57

>>437
無数も何も、
元の理論 T に N 個の命題を付け加えた理論 T' も
定理の前提条件満たすんだから当たり前でしょ。

そういうのは拡張とは言わない。

440 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 18:28:29

>>439
公理系と命題の組を無限個と言ってるんじゃなくて、任意に公理系ひとつ固定して、
それに対して命題を無限個みつけたいんでしょ？

441 ：433：2009/01/14(水) 18:46:15

>>439
>>440の通りです
説明が足りなくてすみません

T'で証明も反証もできない命題は、Tでも証明も反証もできませんよね？
ということは、加えるN個の命題の集合は無限集合に置き換えると、
仮定を満たす理論にならないのでしょうか？
その理由がいまいち分かりません

442 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 18:51:35

A
A∧A
A∧A∧A
A∧A∧A∧A
……

443 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 18:53:30

>>440
だからそれは公理系を固定しようがすまいが、一つ存在すれば無数に存在することが示せるでしょ
そもそも証明を理解してるなら>>433みたいな馬鹿な疑問をもつことはないわな

444 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 19:38:48

>>443
証明を少しマイナー修正することによって示せるのと
証明使わずに系として、定理の言明だけから簡単にみちびけるのとでは違うでしょ
そこがあいまいだった。
明快に答えられなければ理解できているとは言えない

445 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 19:43:09

>>443 人様にたいして無礼な奴だな。他人の証明をひとつ知ってるだけで、なんでそんなに高飛車なんだ？

446 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 19:59:06

普通ある対象に対して興味を持ち疑問を抱くなら、少しは自分で調べてから質問するだろ。
定理に対して思うところがあるならまず証明を調べるわな。基本中の基本だ。

ところが>>433みたいな質問をする時点で証明を理解せずに安易に質問してることは明白だし、
得られた回答に対して更に上積みで質問してる。だが、その前にやることあるだろ。

上に載っける為には下支えが必要なのよ。

要するに
「ちっとは自分の頭で調べるなり考えてからきけや、ゆとりクン」ってこった。

447 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 20:31:44

具体的にはたとえば
T_i のGödel文をφ_i 、T_i + φ_i を T_(i+1) とかおいて
順々につくっていけば良いと思うんだけど。

>>441
たぶん「帰納的記述可能で」
というのをあまり理解してないと思うんだけど、
これは公理であればyes、公理でなければnoと答えてくれる
アルゴリズム（プログラム）が存在する(*)、というのと同値。
無限集合でもこの条件が満たされていれば良い。

逆に言うと、それが満たされないような無限集合
（例えば算術に関する真なる命題全ての集合、とか）
だと成り立たないことがある。
(*)は実際には、
公理であればyesと答え、公理でなければyesと答えない
（つまりnoと答えるかいつまでの停止しないか）アルゴリズム、
という風に拡張できる。ただやたら気持ちが悪い証明だけど。

448 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 22:05:53

たとえて言うなら、
「任意の自然数Ｎに対してそれより大きい自然数が存在する。」
が示せたとして、
「任意の自然数Ｎに対してそれより大きい自然数が無数に存在する。」
は系として直ちに導けるよね？
わかる？

449 ：１３２人目の素数さん：2009/01/14(水) 22:38:52

まー>>433は
２ちゃんに質問すると>>446みたいなバカが釣れて不快になる
という経験をまたひとつ重ねたわけだな

450 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 01:50:52

>>446
基本ではない、単なるあなたの主義にすぎない。すべての一流の数学者がその主義にしたがっているわけじゃない
君はまだ視野が狭いうえに無礼だ

451 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 01:53:04

質問があります。
映画「CUBE」で
「座標上を動く点は順列で決まる」といってました。
なぜですか？順列は全く関係ないような気がするのですが。
しかも順列を求めるには引き算って台詞もありました。
なんで？？

452 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 02:07:51

あなた映画で言ってることと
私がここで言ってることとどっちを信じるつもりですか

453 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 02:09:34

>>451
引用はきちんと前後を含め文脈の分る形で行ってください、判断できません。

454 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 02:20:25

>>451-453

それ、数学基礎論と何の関係があんの？

455 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 22:41:02

>>446
別に指名されて期限切られて質問を強要されているわけじゃないのに
なんでこんな物言いをするのか、理解しかねる。

　身近にいる人やネットでいろいろ聞くことは広く知る上で役に立つので
良い。（もちろん万人にすべての状況でよいわけではない。）
４４６の主義は一見、立派にみえるし、その方法で成功する
数学者もいるが、その主義ゆえに失敗することもある。きっと、４４６は
基礎論以外の数学をほとんど知らず、限定的なトピックスの蛸壺的
研究・勉強しているだけで、自分の専門から遠く離れた分野との
意外な遭遇なんて経験したこと無いんだね。

　そういえば、コーエンだって、もともと解析学者で、基礎論の本なんて
一冊も読んだことなくて、クーネンの本も紹介されたけれど読まず、
いろんな論理学者に昼食時などで聴きまくって、
耳学問だけで自分のなかに問題意識をためて、
いざとなったら、ゲーデルの論文をいくつか読んだだけで、短期間で
強制法をつくちゃった。

456 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 22:49:29

＞クーネンの本も紹介されたけれど読まず、
デタラメでっちあげんな
帰れ

457 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 22:52:36

キューネンの訳書が最近出てるね

458 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 22:58:48

>>455
>>446程度の煽りで

>基礎論以外の数学をほとんど知らず、限定的なトピックスの蛸壺的
>研究・勉強しているだけで、自分の専門から遠く離れた分野との
>意外な遭遇なんて経験したこと無い

なんて想像が出来るのは正直凄いと思うｗ
でもあえて言おう
ぶっ飛びすぎだｗ

459 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 23:00:46

>>456
クーネンじゃなくて、クリーネ。これでいいか。
４５６はかえっていいよ。

460 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 23:03:25

>>456
いや、そういった想像力がなくて、ひとつの状況しか頭に無いから
自分の主義が常に正しいと傲慢な態度になるんだろう。死ぬの？

461 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 23:04:32

スルーすればいいのに
耐性無さ過ぎだろ

ここは2chであって
レスの全てが万人の気に入るように礼儀正しく書かれているなんて保証はどこにもない

462 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 23:34:16

ゴミの山か宝の山か二つに一つということにして安心したいんだな

463 ：１３２人目の素数さん：2009/01/15(木) 23:53:19

>>459
そんな開き直られてもｗ

GrothendieckはHartshorneを読んで代数幾何を勉強したとか
そのレベルのたわ言じゃんか。こんなこと口走ったら次から
マトモに口聞いてくれないような数学者も多いんじゃないか？
特に日本でのメジャーな研究分野だと。

Cohenの話も他分野との交流の話も何も関係無いのに
何で話がそういうところに飛ぶのか分からない。
たぶんCohenは、定理からちょっと考えれば当然分かるようなことを
何でもかんでも聞いたりはしなかったと思うよ。

別に>>446みたいな返答の仕方が良いとは言わないけどね。
因みに俺は>>439=>>447≠>>443で割とマジレスしてるつもり。

464 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 00:40:56

>>463

>たぶんCohenは、定理からちょっと考えれば当然分かるようなことを
>何でもかんでも聞いたりはしなかったと思うよ。

いや、彼の性格からしても、インタビューから見ても、私の経験からしても
まず、かなりアホな質問もかなりしてたと思う。
なにせ、基礎論の論文・本は読んだことのない風聞だけで仕入れていた解析学者だから、基礎論の研究者からみたら、アホな質問でも不思議じゃない
（だから、コーエンの意見は何度も否定された挙句、クリーネの本も薦められているし
（でも読んでない）、その後もいろいろ否定するが、結局資料はほとんど読んでない。）
もともと、コーエンにとって、基礎論なんて枝葉の問題と感じていて、
それほど真剣な動機付けなんてなかったんだから、あたりまえ。
それでも、絶えず、論理学者に議論をしかけてた。
（それから、かなり真剣に基礎論に取り組むようになってからでも、コーエンはゲーデルの論文を知っていても読まず、選択公理の独立性を自力で見つけようとしたりした。で、専門家に聞くわけだら、ここのスレの住人だったら“聞かずに論文読めよ”ってことかもしれん。）
（上で、私の経験から、と書いたのは：偉い学者や自分に自信のある数学者ほど、分野を超えて、素人丸出しのアホな質問をよくすることが多い。私はこれを好意的に考えている、から。）

465 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 00:47:28

　それと、分野が離れると、”あたりまえ”の感覚はだいぶ違ってくる。
分野が離れれば、すぐにわかることでも、そうでは無い。
（小平先生だって、四色定理の間違った証明の誤りを見つけられなかった）

　だいたい、自分は非専門家だからわからないが、専門家にとっては
自明だろう、と思うから、聴いているんであって、もし、本当に
自明じゃなくて、専門家でも何日も唸るような質問をしたとして、
ほんとうに、貴方を含め、このスレの住人は答えるのかい？

　私なら、私の専門分野について、非専門家から聞かれたとき、
私がすぐに答えられるようなことなら快く答える。質問者は
その定理のステートメントの意味すらはっきりわかっていない
（コーエンもこんなかんじ）からこそ、聴いているのであって、

もしも、ステートメントの意味もちゃんとわかっていて、
証明もきちんとフォローできていて、そして何時間も考えて
それでわからないような命題がでてきたんだったら、
むしろそんな質問をこんな掲示板で書くのは危険だよね。
そんな場合は、きちんと＊共同研究の申し入れ＊の可能性も
含めて、信頼ある人に聞くべきなんで。

466 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 00:53:09

>>464

>もともと、コーエンにとって、基礎論なんて枝葉の問題と感じていて、
>それほど真剣な動機付けなんてなかったんだから、あたりまえ。

あたりまえだけど、これは連続体仮説を解こうとする前の話。

あと、これは余談だけど、コーエンが選択公理の独立性を証明しようと
したって、書いたけど、これに２，３ヶ月かけてるんだよね。
普通は、論文読むよね。結局、その後、読んで、同じ証明だった
ことを確認している。

　つまり、勉強方法・研究方法って、人それぞれ。
資料の読み方も、人に質問することに関しても。

467 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 00:57:55

だったら回答も人それぞれだと思うけどね

独善が鼻につくだけだ

468 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 01:02:12

>>467
だから、
>>446　は、自分の主義・スタイルがあるんなら、やさしく提案して
あげるまでなら、まだ親切なんだ。質問者の選択は自由。
自分のスタイルと違うからといって、罵倒はないだろ４４６よ。ってこと

469 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 01:07:23

あの程度で罵倒って、2chならごくありふれてると思うけどな
君は純粋培養で育ったんだねぇ

470 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 01:25:09

アホの独善的演説はスレチ

471 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 02:55:26

Cohenは、彼が書いた連続体仮説の本見れば分かるけど、
不完全性定理とか再帰関数論について、当時の最先端に近い
知識をちゃんと身に付けているよ。ただの耳学問じゃない。
（というか当時は再帰関数論の教科書などほとんど無かった）。
Kleeneの本を読んでないにしろ、Kleeneの本に書いてあるようなことで
重要なことはだいたいきちんと理解して自分のものにしている。
そうじゃなきゃ強制法なんて開発できないしね。

>>466
人に質問するのが人それぞれなら答えるのも人それぞれだろう。
答えるほうは常に親切に良い顔して答えないといけないということは無い。
それに2chに書くのと、面と向き合って話をするのとでもまた違うし。

あと
＞（小平先生だって、四色定理の間違った証明の誤りを見つけられなかった）
これは分野外がどうのというような話じゃないだろうと思うけどね。

472 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 03:49:53

>>471
たぶん君はまだ研究の経験が無いんだと思うからやさしく答えてあげるけれど、
（でも、記事をちゃんと読み返すとわかるんだけどね。）
＞当時の最先端に近い
＞知識をちゃんと身に付けているよ。ただの耳学問じゃない。
そんなことはあたりまえです！
その本は真剣に研究しだして、結果を出した後に発表したものだからね。

　でも、当初は、コーエンにとって、専門は解析学で、
ロジックにはそれほど興味は無かった。連続体仮説の独立性を
証明できるともやってみようとも思っていなかったわけ。
そんな段階で、趣味の話題のために、論文なんか精読しないの、普通は。
コーエンだってそう。でも、つねにアンテナを立てて、折に触れ
異なる専門分野の人と異文化コミュニケーションしているの、耳学問で
情報を仕入れているの。

　で、そうやって耳学問のなかで、時を待って、強い動機を得た後で、
真剣に研究を開始して、結果を出すものなの。
特にコーエンはプロブレムソルバー型だから、時間をかけて厚い本を
１ページ目から丁寧に精読なんて、具体的な目的があるとき以外やらない。
解ける問題をみつけて、解けると閃いたら、それに必要な資料を調べる。

これから現代の話。
　自分の論文にいざ書ける見込みが着き始めているネタだったら、真剣に
文献（あるいは信頼できる人）にあたって調べるだろうが、
決してネット掲示板なんかで聞かないよ。

　ネット掲示板で聴くのは、論文にかける予見なんかまだまったく着いて
いないし、真剣に労力かけて自力で調べるほど必要性を感じていないよう
なもの。

473 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 04:03:58

>>>466
>人に質問するのが人それぞれなら答えるのも人それぞれだろう。
>答えるほうは常に親切に良い顔して答えないといけないということは無い。

おいおい、>>446　は、”質問するな”といってんだぞ。
それは質問者を排除することになる。それまで自由だというのは詭弁だ、
なら、私は４４６を排除しよう。（”質問するな”って、答える
余裕が無いなら答えなくても、誰も攻めないよ。）

＞＞（小平先生だって、四色定理の間違った証明の誤りを見つけられなかった）
＞これは分野外がどうのというような話じゃないだろうと思うけどね。
　ある分野の天才でも、別の分野では初めての分野なら直感がはたらかない
ことは良くあるということ。言われれば自明なことでも。
　それともうひとつ。実績を残している人ほど、こういった失敗談を
気にしない。だから、大きく離れた分野にも簡単に乗り込んで言って
初等的過ぎるアホな質問をする。でも、そうしているうちにどんどん
吸収するんです。それを、いろんな分野・問題でやっている。で、
一個でも、ヒットしそうなところがみつかれば、本格的に乗り込んでいって
結果を出す。

　基礎論プロパーの人には、こういう人は少ないと思う。モデル論と計算機関係以外は。

474 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 04:22:59

コーエンは、リーマン予想もトライしたし、代数的数の近似予想もトライした。
前者は結果がでなかったので発表していないし、
後者はロスに先こされた（この結果でフィールズ賞）。
たぶん、実際にはもっといろんな分野のいろんな問題を常時頭に
乗せていたと思う。それらのうちどれが真剣に労力と時間をかける価値が
あるか、情報を集めつつ。

475 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 05:10:25

素人を罵倒しようとした>>446が
逆にいろんな人達にたしなめられて
「2chはこんなものだ」とか必死で自己正当化してるスレがあると聞いて
やってきました

476 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 12:48:44

「居丈高に答えるな！」と威圧的声高に叫ぶ矛盾

つーかここまで来ると>>446より長文で書き込みしてる人の方がよっぽどウザイ
いい加減にしろよ

477 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 14:04:25

長文かどうかで判断するのは低脳の証。
2～3行の文章に詰め込める情報量なんぞ高が知れてる。

478 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 15:37:55

情報量のある長文を書いてから言え

479 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 16:22:12

長文か短文か。そこがジレンマなんだな。

ある人物Ａが何か誤解していたとする。
で、それが誤解であることを示してやろうとする。
問題は、その証明を、どうＡに示すかだ。

・普通に全てのステップを説明して書くとその証明は５０行かかるとする。

が、Ａがかなり頭よさそうなら

・証明の方針だけをざっと１０行くらいで説明する。

あとはＡが少し頭を使ってくれれば、納得できる。
でも、もともとそんなにＡが頭良かったら、そんな誤解する分けない

・だから、普通は５０行だが、少し冗長性も持たせて丁寧に説明して
親切に、８０行ぐらいかけて書いてあげる。

しかし、もともと慎重に長文を読む習慣が無いＡは、

”長くてよめねーよ”

となる。
学力低下って、こういうことなんだよね。手ごわいね。

480 ：１３２人目の素数さん：2009/01/16(金) 16:32:16

479みたいな駄文は要らないから。

481 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 17:41:30

http://ja.wikipedia.org/wiki/命題論理

このページの公理系2を使って、

φ → ￢￢φ

を証明するにはどういう手順になるのか
教えていただきたく候

482 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 18:02:12

>>481
φ → ￢￢φ ≡
￢φ ∨ ￢￢φ ≡
(￢φ) ∨ ￢(￢φ ) ≡
￢(￢(￢φ) ∧ ￢(￢(￢φ ))) ≡
￢(False) ≡ (∵排中律)
True
じゃ駄目なのかい？

483 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 18:07:42

>>482
まだ理解できてないんで考えてみる
どうもありがと

484 ：481：2009/01/18(日) 18:16:58

分からなかった・・・

1. φ → ￢￢φ ≡
2. ￢φ ∨ ￢￢φ

は、2行目の∨を略さなければ

1. φ → ￢￢φ ≡
2. ￢￢φ → ￢￢φ

だと思うんですが、
1行目から2行目に変形する過程をもう少し詳しくｐｌｚ

「公理」なんて言葉も習ってない低学歴なんで多めに見てｸﾚｨ

485 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 18:25:52

> 「公理」なんて言葉も習

うほうが低脳だと思う我

486 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 19:27:10

煽るとまたグダグダ言う奴が来るぞ

487 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 19:38:32

なんつーか、Hilbertなスタイルの論理式の変形に習熟しても
パズルみたいなもので、あまり良い事無いと思うんだけど。

488 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 20:00:21

それのみに特化して精通するのは感心しないが
一通りやっておく必要はあると思うけどね

489 ：481：2009/01/18(日) 20:00:22

>>487
数学の証明を模したパズルゲームを作ってるんだ。

490 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 20:42:29

>>482
何故それで駄目じゃないと思ったのかが不思議で仕方ない

491 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 21:06:03

>>490
やっとまともに突っ込んでくれる御仁あわれるｗｗｗｗ

492 ：481：2009/01/18(日) 21:11:45

結局あれじゃだめなのか

493 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 21:15:23

>>492
てか公理系２で記述してないからな

494 ：481：2009/01/18(日) 21:19:55

どなたか教えていただけないか。
もし公理系2が面倒ならほかでもかまわんでござる。

495 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 22:00:26

やってみたけど、長いなあ。まず演繹定理示さなきゃならないし。それに
先に￢￢φ → φが示されちまった。

496 ：481：2009/01/18(日) 22:24:25

>>495
￢￢φ → φ
まででも教ええもらえると助かる

497 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 22:46:20

これ「数学基礎論講義」に載ってた体系と一緒じゃないかな。
昔自分でやったんだけどもう忘れたな。
たしかヒントを見ずに30分で解ければ有段者、
ロジック既習者はヒント無しで解いてみよう、とか書いてたようなな。

>>494
めんどいんでここで調べて。
http://us.metamath.org/mpegif/notnot1.html

498 ：１３２人目の素数さん：2009/01/18(日) 23:37:40

10数年前にはわりとあっさり解けたんだがなあ
ちょっとショックだ

499 ：481：2009/01/18(日) 23:45:17

>>497
ありがとう。
今やっと理解できた。

500 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 13:30:51

ω規則って何ですか？

501 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 14:44:50

キンタマを蹴ってはならないという規則です

502 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 17:32:56

嘘付くな

503 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 17:44:25

キンタマを蹴れという規則です

504 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 18:12:58

嘘付くな

505 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 18:16:56

キンタマが１つ増えてもキンタマの総数は変わらないという規則です

506 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 18:41:44

>>500
ぐぐれ
それっぽい英単語でぐぐれば出てくるはずだから

507 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 19:37:00

>>506
その単語を使ってるところは出てくるけどその単語の解説は出て来ない・・・？

508 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 19:51:11

出て来ない・・・？

509 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 20:02:32

ω規則でググってみて噴いた

510 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 21:50:38

ω規則というのは、自然数論で
任意のnumeral [n]についてP([n])が定理であるとき、
∀x P(x)を導いて良いという推論規則。
ただあまり詳しくないんで知りたい場合はそっち系の証明論の本を
いろいろ読むと良いと思う。

ω無矛盾との関係がちょっと微妙なので注意。
T がω無矛盾
⇔T から述語論理の規則及び、「一回までの」ω規則の適用によって矛盾が導出されない
です。「」内が大事。

511 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 23:13:05

>>510
ありがとうございますー、なんとなくわかった気がしますー
＞「一回までの」
一回だけ許可と二回以上とそんなに違うんですか・・・
二回まで適用を許したらω2無矛盾（それともω^2無矛盾？）とか言ったりするんですか？

512 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 23:13:06

>>500
バスケットボールの世界では、Jordan rule というのが以前知られていた。
ω規則というのはそれを普遍化したもの。
「オメーが規則」と読むのが正確な読み方。極めて多くのの矛盾を導く
ので有名な規則。

513 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 23:22:15

2回適用を許したら単なる無矛盾になるんでは

514 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 23:27:44

ω規則を二回使わないと証明できない定理とかがあって
（あまり詳しくないから具体例は挙げられないけど）
ω規則を何回でも使って良いということにすると、
true arithmeticの定理が全部証明出来てしまう。

515 ：１３２人目の素数さん：2009/01/20(火) 23:28:12

ω←キンタマ

516 ：１３２人目の素数さん：2009/01/21(水) 04:43:18

true arithmeticって何ですか？

517 ：１３２人目の素数さん：2009/01/21(水) 14:47:57

>>516
ω規則が正しくなる(自然数論の言語に対する)構造で true となる閉論理式全体からなる理論。

518 ：１３２人目の素数さん：2009/01/21(水) 16:26:24

true arithmeticの定理が全部証明出来てしまうと何か問題なんですか？

519 ：１３２人目の素数さん：2009/01/21(水) 17:09:06

いやいや、true arithmeticってのは単に
真の算術の文の全体のことだから。
ω規則を何回でも使って良いということにすると
独立な命題がなくなっちゃうってこと。

520 ：１３２人目の素数さん：2009/01/21(水) 23:12:16

ありがとうございます
「出来てしまう」の意味をちょっと取り違えたみたいです
ところでω規則を使って得られた文が真なのは分かるんですが
真な文はすべてω規則を使えば得られるんですか？

521 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 07:26:40

>>520
ω規則があると、任意の閉論理式 A に対し、A か￢A のどちらかが証明できることが、A の構成に関する帰納法で示せます。

522 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 16:31:36

自然数論の言語以外では同じことは言えますか？

523 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 16:35:18

小出しに質問してないで本でも読みなさいよ

524 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 18:56:43

だって今の説明自然数の性質使ってないでしょ。
ただ自然数論以外だと、まず初めに対象領域の全ての要素が
項として表わされてないといけないけど。

本を読むにしてもどういう本に載っているか良く分かんないよね。

525 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 19:01:26

うは、香ばしすぎる
過ぎた甘やかしはこういう開き直り馬鹿を生む

526 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 19:38:42

>>522≠>>514=>>524だけど？

527 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 22:45:58

>>524
>だって今の説明自然数の性質使ってないでしょ。

使ってますよ。使っていないように見えたなら、それは方針の書いてある証明の細部を追っていないからでしょう。

528 ：１３２人目の素数さん：2009/01/22(木) 23:20:09

A(1) …… A(n) …… |- ∀xA(x)
という推論規則の中で、左辺に全ての数項が
現れているという性質くらいしか使ってないような。
似たような言語（定項と対象領域がほぼ一対一に対応しているような理論）
なら、似たような規則を作れば同じことが言えると思うんだけど。
そりゃ性質を何も使ってないわけじゃないけどさ。

529 ：１３２人目の素数さん：2009/01/23(金) 19:25:30

まず自分で手を動かして実際に証明してみること

530 ：１３２人目の素数さん：2009/01/23(金) 20:40:01

だからΣ1完全性くらいしか使ってないって。
それを自然数論の性質というのなら使ってるには使ってるけど
これが成り立たないような体系に対して>>522のいう
「同じこと」はそもそも定義できないでしょ。

「同じこと」が何を意味するのかがそもそも不透明だけど。

531 ：１３２人目の素数さん：2009/01/23(金) 22:00:43

>>527
たとえばZFC集合論の場合どうだと思っているわけ？
ここなんだよ、問題は、むしろ。

532 ：１３２人目の素数さん：2009/01/24(土) 01:02:09

だれかForcingを３行で説明してくれ

533 ：１３２人目の素数さん：2009/01/24(土) 01:24:25

>>532

強
制
法

534 ：１３２人目の素数さん：2009/01/24(土) 01:54:26

主として集合論で用いられる
論理を支える代数（ブール代数など）により
真偽以外の真偽値を与えて構成するモデルの技法

535 ：１３２人目の素数さん：2009/01/25(日) 14:34:16

だれかIterated Forcingを３行で説明してくれ

536 ：１３２人目の素数さん：2009/01/25(日) 17:55:16

数学基礎論講義が絶版で手に入らないのですが
これに対応する洋書って何ですか？

537 ：１３２人目の素数さん：2009/01/25(日) 18:08:32

対応するって英訳や独訳ってこと？

538 ：１３２人目の素数さん：2009/01/25(日) 22:12:58

>>527-531
どっちなんですか・・・？

539 ：１３２人目の素数さん：2009/01/25(日) 23:47:17

「同じこと」というのをまずあなたがきちんと
数学的なステートメントの形で書いてみたら確定するんじゃないの。

540 ：１３２人目の素数さん：2009/01/26(月) 04:20:42

>>537 訳書があるならそれ、なければ内容的に近いもののことです

541 ：１３２人目の素数さん：2009/02/01(日) 22:35:08

基礎論は工学系院にもポストがあるように見えるけど、やっぱりドクターがアカポスに就くのは厳しいの？

542 ：１３２人目の素数さん：2009/02/02(月) 05:12:56

9×1=9
9×2=18 1+8=9
9×3=27 2+7=9
9×4=36 3+6=9
9×5=45 4+5=9
9×6=54 5+4=9
9×7=63 6+3=9
9×8=72 7+2=9
9×9=81 8+1=9
この結果について、どういう解釈ができるのでしょうか。

543 ：１３２人目の素数さん：2009/02/02(月) 07:55:38

>>542
基礎論と何か関係が？

544 ：１３２人目の素数さん：2009/02/02(月) 08:23:48

糞スレからネタを拾ってくんな

545 ：１３２人目の素数さん：2009/02/02(月) 16:58:14

>>542
君が間抜けな奴だという解釈。

546 ：１３２人目の素数さん：2009/02/07(土) 14:42:53

「Shoenfield」の読み方を教えてください

547 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 10:42:08

集合の濃度の話を知らなくてもわかる基礎論の本ってありますか？
もちろん公理的集合論はあきらめてます

548 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 13:32:21

>>547
証明論なら集合の濃度はでてこない。

549 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 14:03:25

分野によっては順序数は普通に出てくるけどね

550 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 16:58:18

というか集合の濃度程度でつまづいているなら
基礎論はあきらめたほうがいい

551 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:02:48

計算機系の学生が必要に迫られて読む程度なら構わないような

552 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:15:09

計算機なめんなよ

553 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:30:08

数学は初めは計りごとから始まった。物の交換や価値の基準を
普遍的にしないと争い事やトラブルが伴うからだ。
しかし時代が降るにつれ、ゲーム的な要素が増えてきた。
チェスや将棋の対決を思い頂けたらいい。数学者達は問題を出し合い、その解を競い合った。
また、これまでの数学理論にそぐわない限り、0、√、虚数の概念が生まれた。
これはゲームルールに新しい決まりごとを加えるのに似ている。
これらの概念は人間が勝手に作り出したものであり、自然界にはない。
しかし、根源的な数学の起源に計りごとの要素が含まれているから
運良く、複雑な物理現象の法則を万人に普遍的に分かるように見つけだすこともできる
量子学の波動係数などの小さな粒子の振る舞いを知るためには
人間が作った虚数の概念がなかったら、いくら天才的な物理学者でも知り得なかったのであり
今日のパソコンや携帯電話もなかったのである。

554 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:39:39

↑今にも馬鹿な哲学専攻者みたいな意見だな。

555 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:43:10

数学には潜在的に哲学要素があるだろ？

556 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:45:59

馬鹿哲どもは自分の分野で意味なしの文章作って自己満してりゃいいのに
学部未満の知識で他の分野にまで口だすから馬鹿にされるんだぞ。
ファインマンしかりオイラーしかり天才物理・数学者はみんなその手の哲学者を馬鹿にしています。

557 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 17:58:16

>>551
計算機系の話だったの？

558 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:00:14

恥を忍んで言うが
数学は継ぎ足していくゲーム、壮大な芸術みたいな物だろ。もっとも大事なのは新しい発想、概念などで
上にも書いたとおり、虚数の概念が発明されていなかったら、量子学の発展はなかったことに異論はないよな？
逆にそれで虚数が重要な概念ということが世間的に認知されたんじゃないのか？
いろいろなあまり認知されていない埋もれた数学の概念や記号があると思う
それは、物理学の方程式にその記号が使われたりして
パソコンや携帯電話が作られたり、社会に貢献できて初めて認知されると思う。

559 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:05:42

虚数なくても代替はきくよ

560 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:16:53

すまん、ちと数学的なことが好きな馬鹿者の戯言として流してくれ

561 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:18:05

>>558
どんなに忍んでも、後に残るのは赤っ恥だけだな。

562 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:21:26

下手の横好き

563 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:31:08

別にいいさ
ネットなら顔も分からないからいくらでも聞けるし、恥とも思わない。

564 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:38:54

世の中で一番性質の悪いものは羞恥心のない人間である
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　バートランド・ラッセル

565 ：１３２人目の素数さん：2009/02/08(日) 18:47:41

馬鹿晒した後はsageてるのは恥じてるからじゃないのか？

566 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:25:18

>>550
けっこうバラバラな面子で自主ゼミをやることになった。
（数学専攻とは限らない。まして基礎論専門のプロをめざしているわけ
ではない。）
予備知識がなるべく要らない分野が良いというので、
基礎論をテーマにしようとしているのです。
私は濃度までやったんだけど、自主ゼミをいっしょにやろうと
しているメンバーに濃度をやっていない人がいて、
濃度を使わない基礎論がよいと思っているのです。
証明論ですかね。

567 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:27:54

基礎論は予備知識相当必要な分野の代表格だろ…

568 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:29:30

予備知識がいらない分野ならゲーム理論なんかがいいんじゃね
数学専攻の人でなくてもあれならイメージがつかみやすいし

証明論なんて興味ない人に紹介したってチンプンカンプンだぞ

569 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:37:09

>>568
もちろん、基礎論自体に興味がわいたら、もっと
面子を絞って深い内容までやりたいのですが。
モデル理論とか予備知識が必要なものまで。
ですが、まず手始めに、予備知識のなるべくいらない範囲内で
みんなで基礎論を試してみたいのですが。

570 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:37:35

異分野の人もごっちゃで集まる概論的な自主ゼミなら濃度の概念を予備知識として
特別視して忌避する理由がまるでわからない。

選んだ項目で濃度を紹介する必要があるのならそれをすればいいだけだろ。さして難しくもないんだし。

571 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:40:57

おいおい待てよ。
内容も知らない初学者集団だけの自主ゼミで、深い内容までやれるのか？

予備知識がいらなそうだから基礎論だとか、このスレの住人に喧嘩売ってるとしか思えない。

572 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:44:20

>>570
いやいや、濃度や順序数の議論ってなんだかんだで結構面倒ですよ。
超限帰納法も必要だし。
すくなくとも数十ページはかかると思います。
あとロジカルにというより心理的に受け付けない人もいると思う。
たぶん、選択公理とZornの補題の同値性の証明まで
まじめに講義でやっているところなんて無いんじゃないでしょうか。

573 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:44:34

予備知識なしでやるなら初等整数論かな

574 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:47:47

>>571
深さの程度の問題ですが、
たとえば、ゲーデルの完全性定理と不完全性定理ぐらいなら
初心者たちだけでもなんとかなると思っているのですが、
どうですか？

575 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:48:29

基礎論なんてのは応用数学に過ぎんのよ。

576 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:48:38

>>572
それを面倒と思うレベルなら数学の自主ゼミはやらない方がいいだろ・・・
銃の扱いも知らずにナイフ一本で戦場に飛び込む馬鹿はおらん

577 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:48:59

なるわけねーだろばーか

578 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:50:10

>>575
基礎論が応用数学ならその基礎理論は何？

579 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:51:47

>>574
それだけ学んでどうすんの？
不完全性定理勉強してその先の連続体仮説とかは忌避するつもり？

アホか・・・

580 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:54:05

>>574
初学者だけで？
絶対に無理、嗤わせるなよ。

581 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:56:03

>>576
面倒というか時間がかかるのは事実でしょう。
（だから講義でも省いているわけだ。）
一部の人たちのために他の人が待っていられないので、
濃度・順序数の深い理解が必要なところは後回しにして、
すすめていこうと思っているのです。
（実際、濃度や順序数の深い理解は、基礎論の特定の分野以外の
通常の数学の分野ではあまりいらないでしょ。）

582 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:56:25

>>578
おまえ基礎論の基礎が基礎数学の基礎だと思ってたのかｗ

ゆとりにも程があるぞ
勉強しようと言うのなら対象についての最低限の知識くらいは身につけてからにしろよ

583 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:58:26

ナイフどころか全裸で飛び出していたみたいだな。

584 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 00:59:52

>>579
線形代数や位相空間論は学部数学科では誰でもやるべき分野ですが、
基礎論は基礎論のプロになる人以外やる必要はないというわけですか？
連続体仮説の証明までフォローしている数学者なんて基礎論屋以外
ほとんどいないでしょう？

585 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:00:01

>>581
>（実際、濃度や順序数の深い理解は、基礎論の特定の分野以外の
>通常の数学の分野ではあまりいらないでしょ。）

基礎論に限らず、むしろ、これらを使わない数学の分野をさがす方が困難だ
だから素朴集合論でもいの一番に教えるんだよ

無知にも程がある

586 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:00:20

ゲーデルとか基礎論とかインチキ野郎が書いた
インチキ本で名前だけしっちゃったんだろうな。
哀れな馬鹿

587 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:00:48

>>582
何言ってんの？
応用分野ならその基礎理論があるはずだろ
統計なら主に解析学、暗号なら整数論などのように
で、基礎論の基礎理論は何？

588 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:01:57

>>584
ルベーグ積分を勉強してそれが何に応用されてるか考えない馬鹿はいないな
それとおなじことだ

589 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:03:51

>>587
基礎論の基礎ってのは数学という対象をメタの視点で基礎付けるってところから来てるの。
基礎数学の基礎じゃない。
ラッセルの動機くらいは知っててほしいものだ。

590 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:03:59

基礎論のセミナー（笑）に飽きたら
次はポアンカレ予想についてでもやるんでしょうかね（笑）

591 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:06:26

>>585
集合の濃度や順序数の重要性は現代数学ではほとんど薄れている。
可算と非可算の区別がついて、選択公理やZornの補題のステートメントと
使い方と同値性であるということを知っていれば、（同値性の証明はいらない）
あとはどの分野でもたいてい事足りる。

　濃度・順序数の深い理解が必要な、数学の主要な分野って、
数学の分野で素朴集合論や基礎論以外の分野では、たとえばどこ？

592 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:06:47

>>589
だからそんなことは分かってる
>>575が応用分野だと言うから何を応用しているのかを問うている
力学なら解析や線型代数を応用している、量子なら微分方程式を応用しているなどのように

593 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:08:05

>>581
濃度の概念や初定理の証明に時間がかかる？
ゲーデルの不完全性定理の証明の方がよっぽど時間がかかるぞｗ

594 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:11:07

>>593
あたりまえ。だから、なるべく早く本筋に入りたいってだけです。

595 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:12:20

>>592
おまえ日本語は正しく使えよ
応用○○っていうのは何を応用してるのかじゃなくて何がしか応用されてるからそう呼ばれるんだろ

力学に解析や線形代数が応用されてるんだよ
基礎論は計算機理論に応用されてる

596 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:15:19

>>595
なら解析や線型代数も応用数学か？
純粋数学の代表格である整数論も暗号理論に応用されてるから応用数学か？

597 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:15:44

>>591
は？代数で極大イデアルの存在とかやるだろ
測度論や位相空間論でも調限帰納法をつかったりする、それも頻繁に

お前本当に数学専攻か？

598 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:16:32

>>596
絡みたいだけならよそにいけよ。

599 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:20:11

>>594
なら勝手にやってりゃいいやん
わざわざここでお伺いをたてることもない

600 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:20:15

>>597
極大イデアルの存在に、超限帰納法は使わないでしょ。Zornの補題
くらい。
それから、学部程度では、
位相空間論では超限帰納法は一度くらいしか使わない。
測度論でもほとんどはZornの補題などに落とせて、超限帰納法をバリバリ
と使うというほどでもないでしょ。まず、学部レベルでは使わない。

601 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:22:02

>>600
>位相空間論では超限帰納法は一度くらいしか使わない。
というか、たいていの本では一度も使わない。

602 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:23:10

>>591
>集合の濃度や順序数の重要性は現代数学ではほとんど薄れている。
ゆとりの主観で勝手に薄れさせるなよ

603 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:24:54

>>602
現代数学概説Iの序文にそう書いてあるよ。

604 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:26:09

>>600
>超限帰納法は使わないでしょ。Zornの補題
お前その二つが本質的に同値であることすら知らないのか？
もう話にならない・・・

>学部程度では、位相空間論では超限帰納法は一度くらいしか使わない。
レベル低いなー、全ての大学がお前の大学と一緒だと思われちゃ困るんだが。

605 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:30:32

>>604
へえ、どこの大学の学部が使うの？
東大とか京大とか2，3校しか出てこないなら学部では使わないで概ね正しいが

606 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:32:42

>>604
だから。。
数学的には、選択公理とZornの補題の同値性を証明するときに
超限帰納法をつかうわけ。
だけど、実用上は、同値であることを認めてしまえば、
あとは、Zornの補題の使い方だけですむといっているの。
（知っていれば得をすることもあるだろうけれど、知らなくても
たいていは困らない。だから、困ってからやっても遅くは無い。）

＞レベル低いなー、全ての大学がお前の大学と一緒だと思われちゃ困るんだが
じゃ、具体的に、どの定理？君の大学で超限帰納法を使ってやったのは。
（よっぽど珍しい先生だと思うよ。今の本はたいてい、超限帰納法は
避けてできるようにしてあるから。いや、もちろん超限帰納法が役立つ
場面もあるにはあるんだけどね。）

607 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:34:38

>>606
補足
知っていれば
＝＞（調弦帰納法や濃度・順序数の深い理論を）知っていれば

608 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:40:54

いったい何しに来てるんだこいつは
質問しに来たのかそれともケンカふっかけに来たのか

609 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:45:00

基礎論で、計算機科学へ応用できている部分では、
集合の濃度や順序数や超限帰納法は
ほとんど使っていないでしょう？

610 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:46:24

>>609
はいはい使ってないよ
安心して、初学者の自主ゼミで勉強してたもれ

611 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:48:18

急に伸びてるから覗いてみただけだけどやっぱりこのスレって恐いね
住人がキチガイじみてる
基礎論なんてやるもんじゃねえ

612 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 01:49:13

濃度の概念を学部の数学で使わないといいはるんなら
基礎論に固執する理由なんてなおのことないだろ

ホントになにしに来てるんだこいつ？

613 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 02:59:40

>>609
スコットの領域理論

可算と非可算の違いを教えるだけでも意外に難しいんだぞｗ

614 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 03:46:44

ゲーデルとかやるんならさすがに専門家つけないと素人だけの自主ゼミじゃ無理だろ……
むしろ、濃度とか順序数とかで遊ぶほうを目的にすべきかと。

615 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 03:53:59

いや、みんなそういってるんだが
納得しない奴が一人いるみたいだ

616 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 08:37:32

基礎論で学部生の自主ゼミに最適な範囲ってどこ？

617 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 09:19:56

ここは基礎「論」スレです。
従ってこのスレでは、濃度や順序数や超限帰納法のような
基礎的な数学の議論はスレ違いとなります。
他のスレで議論なさるようにお願いします。

618 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 09:41:31

基礎論の基礎だろが

619 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 13:13:22

素朴集合論の範囲で議論できるようなものは基礎論には入らないと思うけど

620 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 14:23:10

>>616
モデル理論でも公理的集合論でもやりたいことをやればいいと思うけど

621 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 16:53:00

暴れてるのは>>611
前にイジメられた奴の私怨だろ
素直に勉強すりゃ怖いことなんか何もないのにな

622 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 17:23:57

naruhodo, >>621が暴れてるんですね

623 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 19:20:32

>>609
超限帰納法そのものは、計算機方面では当然のように使っているぞ。
文書もプログラムも型もみんな木構造だからね。
ほとんどの人はそれを超限帰納法だと意識していないがw

624 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 19:48:48

確かに正則基数が云々とかそういう話は要らんが、
濃度の定義ってそんな「深い理解」要らんだろ。
そりゃZFCの公理を列挙して順序数から真面目に
定義していったりするとかなり時間掛かるけどさｗ

少なくともNとN^2の間に計算可能な一対一対応があるとか
そういうのは知っといたほうが良いんだがなあ。

ちょっと古いけど前原昭二の「数学基礎論入門」とかは一応可能かな。
英語の本で良ければEndertonは一応濃度とかは知らなくても良いよと
著者が前書きで書いてたと思う。あとBoolos&JeffreyとかEbbinghaus(UTM)とか
van Dalenとかはもしかしたら大丈夫かも。
Mendelsonはやめといたほうが良い気がする。何となくだけど。

まあ仮に途中で出て来ても知らんけどね。

>>574
完全性定理とcompact性定理はぎりぎり大丈夫ではあるけど、
完全性定理の証明は選択公理を割と本質的に使って反例になるモデルを
集合として構成するというやり方で証明するのが普通なので、
「濃度とかは集合論の話だから分からない」って人が勉強するのは何だかなあ、と。

>>609
強制法とか普通に計算機科学への応用があった気がするけど。
（理論）計算機科学者って数学の他の分野はともかく基礎論には詳しい人が多いよ。
公理的集合論とかも含めて。

625 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 19:52:11

Forcingに最適な一冊を教えてくれ！！！

626 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 21:00:28

前原の本だと完全性定理が…

627 ：１３２人目の素数さん：2009/02/09(月) 21:05:11

どうも前原圭一です

628 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 04:44:34

>>625
現代の強制法じゃないけど、JechとKunen（翻訳あり)の集合論の教科書。

629 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 12:31:46

>>628 では現代の強制法ではどの本・論文？

630 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 21:36:09

こんな話もあるらしい

Paul CohenがFields　Prizeをもらった記念講演で
「一般のworking mathematicians にlogic の話をするとき、みんながいちばんわからないところは、
　logic でいちばん簡単で basicなところ、languege であった」
といっていた。

631 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 21:39:17

そのジョークの一番の笑いどころは　languege　かい？

632 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 22:10:14

nonstandard analysisやる上で一番気持悪いところも
languageだよね

633 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 22:22:16

確かにランジェリーが一番難しいね

634 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 22:24:30

コピペですいません　綴り

635 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 22:41:51

>>623
超限帰納法そのものだけだったら、ステートメントも証明も難しいことは
ない。すぐに終わる簡単でわかりやすいものだ。
特に可算集合に対しての適用は、超限帰納法と意識するほどのものではない。
このスレで、難しいと言われているのは、非可算の濃度・順序数に
対して応用するときのこと。つまり、難しいのは超限帰納法というより
順序数などのこと。（整列集合の議論を経由して定義するやつ）

636 ：１３２人目の素数さん：2009/02/10(火) 23:09:09

＞特に可算集合に対しての適用は、超限帰納法と意識するほどのものではない。
「ωへの適用は」だったら問題無いけど
可算順序数αに関する超限帰納法 TI[α] は
簡単で分かりやすいなどとは到底言えないと思うけど。
というか超限帰納法がロジックで活躍するのは、
多くの場合可算順序数に対してだと思う。ε0とかΓ0とかね。

637 ：１３２人目の素数さん：2009/02/11(水) 13:11:21

記憶力が致命的に弱い俺でも基礎論できますか？

638 ：１３２人目の素数さん：2009/02/11(水) 17:13:11

致命的なら無理ってことだろ。自分でもわかってるじゃん。

639 ：１３２人目の素数さん：2009/02/13(金) 10:58:03

?http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ashino/topics/wavehist.html?

このページの真ん中当たりにコッホ曲線のウェーブレット変換が書かれてあるのですが、
この上側の図に書かれてあるコッホ曲線はよく見かける三角形をたくさん合わせたものと全く違いますが、何を表しているのでしょうか？
下の図は3次元的な図になっていますが、それぞれ横、縦、手前の軸は何を表しているのでしょうか？

640 ：１３２人目の素数さん：2009/02/13(金) 21:50:59

>>639
ここに似たようなものがあったが……
http://dl.cybernet.co.jp/matlab/support/manual/r14/toolbox/wavelet/ch03_ap6.shtml#834276
vonkoch.matも探したら見つかるから読んだらわかるかと思ったが読めん
MATLABスレで改めて聞いてみては、たぶんマルチとは言われないと思う
MATLABプログラミング　質問箱　その2
http://pc11.2ch.net/test/read.cgi/tech/1163125702/-100

641 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 09:21:54

数学基礎論で二階述語論理は証明論が成立しないので、
論理でないという話を聞いたのですが、
二階述語論理で扱われる数学の証明は正しいとは限らないのでしょうか？

642 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 10:05:23

＞数学基礎論で二階述語論理は証明論が成立しないので、
＞論理でないという話を聞いたのですが、
コンパクト性定理とか完全性定理が成立しないとかじゃなくて
「証明論」が成立しないって言ったの？
その人は基礎論に詳しい人ですか？

＞二階述語論理で扱われる数学の証明は正しいとは限らないのでしょうか？
「正しい」の意味にもよるけど、普通はそれが正しくなるような
意味論を与えるものだと思うけどね。
正しいけど証明できない、ということは普通にあるけど
間違ったことが証明できてしまう、ということは無いし、
いくら「正しいけど証明できない」とは言っても一階の論理よりは証明能力は強いです。
（一階述語論理にいくつか推論規則を付け加えたものなので。）

643 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 13:29:33

>>642
＞「証明論」が成立しないって言ったの？
＞その人は基礎論に詳しい人ですか？
基礎論に詳しいかは分からないのですが、哲学専攻の人です。
二階以上の述語論理では証明論がないので、クワインという人が二階以上は論理じゃないと
言ったそうです。

現代思想のゲーデル特集で読んだのですが、
現在の数学の99.9％が一階述語論理の中で議論可能だということです。
私は日常の論理や数学の論理はすべて一階述語論理に含まれていて、
それよりも高い述語論理は現在の人間の理性を超えた存在なのだと考えています。
やがて人間が一階述語論理を完成させたとき、
二階の世界へ、その完成とともに三階の世界へとステップアップしていくような気がしますね。
そしてｎ階に達したときに人間の知が完成するのだと考えています。

644 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 15:10:01

哲学専攻と言ってもどういう哲学を専攻してるか
（分析哲学の中でも数学・論理学の哲学なのか、分析哲学一般なのか、
大陸哲学なのかとか）で全然数理論理のバックグラウンドは違うんだけどね。

Quineが、二階論理は化けの皮を被った集合論のようなもので、
論理ではないと言ったとかいうような話は知ってるけど、
「二階以上の述語論理では証明論がない」ってのは単純に間違いだと思うけど。
たぶんQuineもそんなこと言ってないと思う。

＞二階述語論理は証明論が成立しないので
も何も、実際、高階論理の証明論はカット除去とか
二階論理上の自然数論とかかなり研究されてるし。
但し、二階述語論理は「集合論のような超越的な仮定無しには」
証明論が成立しない、だったら同意しますけどね。

（もっときちんと知りたいなら）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
（英語だけど、きちんとした論理学の専門家が書いた一般人向けの解説）
http://plato.stanford.edu/entries/logic-higher-order/

645 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 15:10:49

＞現在の数学の99.9％が一階述語論理の中で議論可能だということです。
それは、一階述語論理の上でZFCという集合論を展開して、
さらにその上で議論可能だという意味です。
一方二階論理を使うときは、集合論を使わないで
直接自然数論だとか実数論だとかをやるのが普通なので、単純比較は出来ません。
寧ろ、高階論理は（一階述語論理上の）集合論を用いた議論を弱めたものだというほうが正確。

＞私は日常の論理や数学の論理はすべて一階述語論理に含まれていて、
＞それよりも高い述語論理は現在の人間の理性を超えた存在なのだと考えています。
人間がどうのとかじゃなくて論理的に無理っていう話なので。
例えば、人間が時速100kmで走れないのは人間の体の限界だけど、
人間が光速を超えて走れないのは物理的に無理なのであって、
これを人間の体の限界とは言いませんね。
ゲーデル関係とか二階の論理で嫌なところとかは、人間の性質とかに関係なく
論理的にダメなことが証明できる、という話なので後者の話ですよ。

＞やがて人間が一階述語論理を完成させたとき、（以下略）
一階述語論理は大昔にほぼ完成してると思うんだけど。
そういうことは実際に数理論理でどういうことが研究されてるか、
知ってから考えるように方が良いんじゃないかなあ。

646 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 19:02:06

>>645
＞寧ろ、高階論理は（一階述語論理上の）集合論を用いた議論を弱めたものだというほうが正確。
知らんかったけど弱いんだ？

647 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 19:20:58

general model による完全性は高階論理が意図している完全性ではないという the 二階論理の人じゃないのかなあ?

648 ：１３２人目の素数さん：2009/02/16(月) 02:54:40

詳しく知らんが、高階論理って、単に、論理が一階上がる毎に冪集合のランクが一つ上がるだけだから、
高階の自然数論や実数論なんてのは、一階論理上の集合論よりは遥かに弱そうだわな

649 ：１３２人目の素数さん：2009/02/16(月) 13:30:45

質問です

lim An=α

のときに

lim （1/nΣAn）=α
を証明せよがさっぱりわかりません

650 ：１３２人目の素数さん：2009/02/16(月) 13:31:11

スレ間違えました

651 ：１３２人目の素数さん：2009/02/16(月) 14:44:50

ドンマイ！

652 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 11:50:49

正則って何ですか？

653 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 12:19:28

レギュラーです
正則ガソリンとはレギュラーガソリンのことを指します

654 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 13:12:30

>>653
しね糞文系

655 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 15:22:12

正則はregularの訳語で、カタカナで言うなら確かに
「レギュラー」だけど、それが具体的に何を意味するのかは
分野によって違うので、教科書調べてください、としか。

656 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 16:05:36

>>655
ここが何の板かわかって言ってるなら、お前も相当アホだな。

657 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 16:08:34

煽り目的の質問は他所でやってくだしあ＞＜

658 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 16:15:40

糞文系はしんでくだしあ＞＜

659 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 19:54:16

>>656
数学内で、例えば正則関数の正則なのか、
正則開集合の正則なのか、正則基数の正則なのか、
正則素数の正則なのかとかで「正則」の意味が違うって言ってるんだが。

ここがガソリン板だったら>>656も妥当かも知らんが。

660 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 20:00:29

ロジックのスレで正則と言ったら・・・
まあここじゃスレ違いの質問もザラだし
そもそも人に訊くほどの

661 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 20:10:38

集合論で少なくとも>>659のregularly open setとregular cardinalがあるよね。
この二つの「正則」はあまり関係無いと思う。
ほかにロジックで「正則」ってどういう場合に使うかな。ちょっと良く分からん。
モデルの等号の解釈に関するnormalは「正規」と訳すことが普通だし。

662 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 20:33:46

どう見ても正則です
本当にありがとうございました

663 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 20:36:25

>>656は板とスレが区別できないアホではないかと予想

664 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 20:41:04

正則元は？

665 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 21:20:26

結局何なの？

666 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 21:47:43

論理学って全て幾何学とか代数学に帰着できないんですか？
ハッセ図なんかを見ているとそう思うのですが。
それから、解析学や幾何学が全て数論で記述することが可能だと
クリプキが証明したそうですが、どうなのでしょうか？

667 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 21:51:16

Pour-El Kripkeの定理のこと？

この定理を証明したのは主にPour-Elだとかそういうことはおいといても
あの定理を「解析学や幾何学が全て数論で記述することが可能だ」
なんて風に言うとものすごい不正確だと思うけど。

668 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 22:05:48

>>667
詳しくはわからないのですが、以前に哲学板で目にしたので
検索しいたんですが見つからなかったのです。
柄谷行人なんかも引用しているそうです。

669 ：１３２人目の素数さん：2009/02/17(火) 22:13:54

誰じゃそいつ？

670 ：１３２人目の素数さん：2009/02/19(木) 06:36:33

以前、坪井・モデル理論が難しいと書いている人いましたが
Hodge Shorterはどうですか？

671 ：１３２人目の素数さん：2009/02/19(木) 07:13:15

http://changi.2ch.net/test/read.cgi/anime/1234554659/l50

948 ：風の谷の名無しさん＠実況は実況板で：2009/02/19(木) 07:02:30 ID:JFMlun4U
なんかまた変なのに捕まったなあｗ
普通に勉強しなおして来いとしか言えないんだがこれしかしねえ
まあ軽くだけ説明するよ

速度は量に直すことができるか？

時間はＡ　一時間　Ｂ　二時間　Ｃ　三時間。
距離はＡ　１ｋｍ　Ｂ　２ｋｍ　Ｃ　３ｋｍ
速度はＡ　時速１ｋｍ　Ｂ　時速　２ｋｍ　Ｃ　時速３ｋｍ

ＡＢＣを観測した際に「Ｃの○○は莫大である」と表記するのは時間と距離だけ
速度の場合は「Ｃは速い」と直される

つまり「莫大」という観測表記が誤りなのよ。おｋ？

672 ：１３２人目の素数さん：2009/02/21(土) 13:25:57

誰か呼んだ？
僕まさのりです。

673 ：１３２人目の素数さん：2009/02/21(土) 14:50:01

>>672
夕飯はないが良いかしら？まさのり

674 ：１３２人目の素数さん：2009/03/14(土) 23:22:22

剪断応力について調べてたら
物体が連続体とみなして連続体仮説でものごとを考える、という前提のことを
連続体仮説とか読んでるページが結構あってﾜﾛﾀ

675 ：１３２人目の素数さん：2009/03/14(土) 23:32:49

×連続体仮説でものごとを考える
○連続体力学でものごとを考える

格好悪いことになってしまった

676 ：１３２人目の素数さん：2009/03/18(水) 00:15:05

分散ってどうやって求めるんですか？

677 ：１３２人目の素数さん：2009/03/22(日) 02:16:58

数学ってなんですか？

678 ：１３２人目の素数さん：2009/03/23(月) 02:50:35

人生です

679 ：１３２人目の素数さん：2009/03/23(月) 03:22:14

数学とは何かを数学で定義してください。

680 ：１３２人目の素数さん：2009/03/23(月) 08:30:02

再帰理論って基礎論の中で一番realな対象を扱ってて
いかにも重要そうな研究なのに、なんで専攻する人が少ないんだろ。

いやまあ泥臭い感じがするのは分かるけどね。

681 ：１３２人目の素数さん：2009/04/01(水) 06:21:58

>>680
再帰理論なんて基礎論のなかにはない。
帰納関数論といわれた時代が研究のあった時代で、「再帰」という言葉は
つい最近、recursive の訳として導入されているようだが、ともかく、
研究対象ではなく、既に、色々な理論に組み入れられてしまっている。

682 ：１３２人目の素数さん：2009/04/01(水) 15:21:06

与えられた公理系から証明も反証もできない命題を導く手続きってあるんですか？

683 ：１３２人目の素数さん：2009/04/01(水) 22:27:06

集合論と証明論ならどちらの方が将来性ある？
どちらにもないというのはなしで

684 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 07:30:10

ラッセルパラドクスで自分自身を要素として持つ集合
の例で X = { 白くないもの | 赤い＊、黄色い＋、...、X }
としてるがこれ詭弁でそ
集合の集合に白いも白くないもないもん
よって対概念のない自分自身を要素として持たない集合を考えて矛盾するといわれても
知るかあほ論理遊びで終わりです

685 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 08:01:05

対概念って何だよ
知るかあほ言葉遊びで終わりです

「白くないものの集合」というのはただ説明の便宜上持ち出しただけの例だろ。
同様に「性質 P を満たさない集合すべてのclass」みたいなのを
考えると多くの場合これはproper classになる。
あと { ～ | ～～～ } の記法が間違ってるから
真面目に勉強してね。

686 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 08:58:57

私は勉強しませんちとかじっただけです
”集合”に白いも白くないもないと単純に思うの。
他に X = { このページにある文字の集合 } = { 私、私は、勉強、... 、X }
としてるが詭弁だろ
φと{φ}は区別するらしいから
私、私は、勉強、...の文字列と
それらの集合は当然別、ゆえにこの集合がページにあるとはいえないんですよ
つまり土台がナンセンスです

687 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 09:09:01

>>686
いろんなものがごっちゃになってるだけです
あなたの頭の中で
なので頭を取り替えてきて下さい

688 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 09:11:56

単に同意して欲しいだけで話を聞く気がない奴は一目でわかるよな

689 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 09:39:27

素人向けの例えだからな
自分自身を要素にもつ集合は必ずしも別になくてもいいんだよ

690 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 09:39:45

島内剛一「数学の基礎」借りてきた、結構面白い。
でもコレは数学基礎論の本じゃあないのですよね？

691 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 18:14:36

でも、公理的集合論でどうして個体*1を考えなくて良いのか、
というのは、結構初学者が（数学の他の分野では相当に優秀な人でも）
勘違いしがちなポイントだったりするのは確か。*2
個人的には基礎の公理を仮定して良いのも { {a} , {a,b} } なんかに
順序対の役割を果たさせるのも、集合論では定義によって定めた対象が、
良く持たなくても良い不必要な性質をもってしまうのも、同じ理由に基づくものだと思う。
まあ某躯体論の人とかは論外としか言いようが無いが。

現代の集合論が何を研究しているのか、というのもまた微妙。

まあ厳格有限主義がどうのとか言い出したらいわゆる「数学」じゃなくなっちゃうけどね。
HilbertとかGo¨del自身はそういうことに結構注意を払う人だったけど。

*1 「対象」ではなくてatomとかurelement。
ただurelementはÖを含んだような気もするが細かいことは言いっこ無し

*2 というかJon BarwiseのAdmissible sets and structuresとかは
その点に拘ってわざわざatomを認める集合論を採用してたりする。
読んでないからBarwiseがなんでそこに拘るかは知らないけど。

692 ：１３２人目の素数さん：2009/04/10(金) 18:39:10

訂正

良く→しばしば
Ö→Ø
Go¨del→Gödel

>>690
どちらかというと斉藤正彦の「数学の基礎」とかと
似たような本じゃなかったっけ。確かにまあ「こういうのが基礎論です」
とか言って紹介してほしくはない本ではあるよね。いわゆる「ロジック」じゃないかも。

ただ、似たようでも、
二階算術 Z2 の上に数学のかなりの部分を構築したとか（いわゆる逆数学）、
二階（以上）の型理論＋Humeの原理の上に自然数論（Frege算術）を展開しました、とか
排中律を使わずに解析学を展開した、とかだとかなり基礎論っぽいし「ロジック」っぽい。
（という感覚が、少なくともロジックを知ってる人にはあると思います）。
逆数学現象だとか、数学の定理を超越性の強さで層別するとか、
論理主義や直観主義の復権とか、いろいろな狙いがあるんだけど。

だから、その種の理論のprototype（archaeotype？）として、
18C～19Cにドイツあたりで考え出されたような数学の基礎付け理論で、
たまたま素朴集合論＋古典論理の上に数学を展開しただけ、
という風に考えると基礎論の一部と言っても良いんじゃないかな。
Bourbakiの集合論を土台の理論としてその上に
全数学を基礎付けるというのだってその発展継承だし、
どこまでが「基礎論」かは結構あいまいだとは思う。

693 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 00:35:24

>>692
島内剛一「数学の基礎」の前書きにもこれは基礎論の本じゃないと書いてある。
斉藤正彦の「数学の基礎」のほうが公理的集合論へのいざないぽい。

694 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:07:16

数学者って頭いいの悪いの？

695 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:16:39

頭の良さを定義してくれ

696 ：694：2009/04/11(土) 01:19:14

>>695
そういうところだよ

697 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:27:16

何が言いたい

698 ：694：2009/04/11(土) 01:28:49

いや聞きたいんだ

699 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:36:21

だから頭の良さが定義されなければ答えようがないと

700 ：694：2009/04/11(土) 01:37:08

もういい
関わってくれてありがとう。

701 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:40:17

じゃあの

702 ：694：2009/04/11(土) 01:53:29

ここで終わっちゃうと貧しいとおもいませんか？
数学は美しいか醜いかといわれれば美しいでしょう。
では数学は豊かか貧しいかといわれればどう答えますか？

703 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 01:59:02

じゃあ何をもって「豊か」「貧しい」とするか定義してくれ

704 ：694：2009/04/11(土) 01:59:42

もういい
関わってくれてありがとう。

705 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:00:01

じゃあの

706 ：694：2009/04/11(土) 02:04:53

ここで終わっちゃうと不完全だと思いませんか？
数学者としてそれじゃぁ問題でしょう。

定義出来ないと問題を解決できないの？
定義できなくても問題を解決する方法はないの？

707 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:07:11

公理と定義があって初めて数学的な議論が行えるのです
あなたの言うような曖昧な議論をしたいのなら文学系の板でやってください

708 ：694：2009/04/11(土) 02:09:08

一般的な感覚としての「頭の良い」という「感じ」を
数学でどうやって定義したら言いの？

709 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:09:53

できないから文学系の板へ行ってください

710 ：694：2009/04/11(土) 02:11:29

出来ない！？
今出来ないって言った！？？

それじゃダメだよ。学者失格自然科学者失格。

711 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:15:04

失格でも構わないのでもう来ないでください

712 ：694：2009/04/11(土) 02:15:42

解決できない問題は排除するんですね

713 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:20:07

知的障害

714 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:20:54

学問は問題解決のための道具です
それぞれの問題には適した道具があり、
あなたの提起した問題を数学で解決しようというのは
爪切りで耳掃除をしようというようなものです
ですから、適した道具のある板に行ってください

715 ：694：2009/04/11(土) 02:25:50

今はまだ定義できたりしないだけで、
数学での定義が不可能なわけでは
ないのではないのでしょうか？

「今はまだ無理」、とか「これから探求されるべき事象」なら分かりますが
「無理」、「よそにいけ」では学問の発展はないのではないでしょうか

716 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:26:23

ちてきしょうがいががくもん（わら）

717 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:33:12

探求したいのなら関係の深い分野から徐々に数学に近づけてください

718 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 02:35:40

雑談スレでやれ馬鹿共

719 ：694：2009/04/11(土) 02:38:55

馬鹿を定義してください。
すみません、お邪魔しました。。

720 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 15:53:01

>>694
数学者だって、面白そうだと思えば定義のない世界に飛び込んでいって、何をどう定義すれば何ができるかを
一生懸命考えて楽しむよ。ただ、君の問題提起があまりにも陳腐でくだらなすぎただけ。

721 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 18:13:16

>>706
>定義出来ないと問題を解決できないの？
>定義できなくても問題を解決する方法はないの？

問題を解決するために、定義や公理を定める訳だが。
問題となるべきことをしっかりと取り決めて、それから問題を解決する。

一体、どこに問題点がある？

722 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 18:14:19

お前ら小学生をマジでいじめるなよｗ

723 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 20:28:17

いいかげん次はスレタイ変えようぜ

724 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 20:45:42

『数理論理学あるいは集合論の質問スレ』

725 ：１３２人目の素数さん：2009/04/11(土) 21:53:13

個人的には変な質問が来たら、>>2読めとでも書いといて
それで「へえ、数学基礎論ってこういう分野なんだ」と思って
帰っていく人が増えるならそれでも良いと思う

まあ「キソロン」ってのは語感やイメージその他がいろいろアレだけどね。
かといって「ロジック」というと過度にテクニカルな感じがするけど。

726 ：１３２人目の素数さん：2009/04/12(日) 02:39:59

数学辞典の改訂のときに「数学基礎論」という名前を残したのは何でだろう。

727 ：１３２人目の素数さん：2009/04/12(日) 07:30:55

数学っていう言葉がそのままであること、function をソロバンだと思って
「函数」と訳され、「関数」となったことを思えば、歴史の流れは大事に
されている思う。途中で変えない方が普通だろう。

728 ：１３２人目の素数さん：2009/04/15(水) 23:10:50

日本語で論理学てと言うとなんか哲学みたいだよね

729 ：１３２人目の素数さん：2009/04/15(水) 23:28:35

基礎論をやりたければ哲学科へ進むのが今の日本。

730 ：１３２人目の素数さん：2009/04/15(水) 23:52:23

論理学を専門にできる哲学科なんて日本にはほとんど無いけどな。

731 ：１３２人目の素数さん：2009/04/16(木) 02:52:42

ヘーゲルの「大論理学」さっぱり分からん。

732 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 09:53:09

関数より函数の方がよかったのに。
数を入出力するという感じが出てると思う。

733 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 14:06:07

数と数の関係を表してんだから関数でいいんだよ
函数はfunctionの当て字でしかない　　って佐藤幹夫が言ってたお

734 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 14:25:31

関係を表していると見るなら関数とした方がしっくり来る
そこに値を放り込めば何らかの操作が行われてある値が出力されるブラックボックスと見るなら函数の方がしっくり来る

735 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 15:40:31

そもそも「関係」の語源って何なんだろうね。
とか言い出すと言語学とかの話になって基礎論はおろか数学と関係なくなるが

736 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 19:56:42

おまいら、、、関数は関係の部分集合ですよ・・・

737 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 20:18:34

基礎論的にはそうだが、functionという概念は基礎論が確立されるより遥か昔からあった

738 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 21:59:35

>>735
function → 函（ファン）数（中国語）→ 函数（字で輸入）

geometry → 幾何（チーホー）学と同じパターン

戦後の漢字改革で「函」が使えなくなり「関」の字を当てた。
しかしうるさくいうと「函数」はkwan-suuで「関数」はkan-suuなので音が変わってしまった

739 ：１３２人目の素数さん：2009/04/18(土) 22:02:19

揉めてるなー
http://ja.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%E4%BA%95%E6%88%B8%E7%AB%AF/subj/%E3%80%8C%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%80%8D%E3%81%8B%E3%80%8C%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%80%8D%E3%81%8B

740 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 03:06:31

「かん」とか「くわん」とかいう区別と
中国語としての発音上の区別って別じゃないの？

741 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 14:38:29

>>740
だから「函数」にこだわるやつは、日本人がたまたま最初に採用した字および発音に
（あるいは自分が最初にそれで慣れたことに）こだわってるだけ。
もともと深い意味などないし、意味くらいいくらでもこじつけられる。

>>738の発音は逆で、「函」がkanで「関」がkwan。なので当用漢字を当てるとき
同じkanである「干」を主張した数学者が実際にいたらしい（一松信の本による）。
　数の干物を連想するのでボツになったが、
「干」であっても「干渉」のように関係の意味があるとこじつけられる。

742 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 14:42:04

正直どうでもいい

743 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 18:33:05

742に++

744 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 21:36:47

∧∨￢→などの論理記号を1個だけしか使わない論理があると聞いたのですが
なんて名前かわかるかたいたら教えてもらえませんか？

745 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 23:10:10

Sheffer stroke

746 ：１３２人目の素数さん：2009/04/19(日) 23:26:03

ありがと！ありがとう！

747 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 04:18:11

∧∨￢→などの論理記号を1個だけしか使わない「論理」があるとは言わないと思う。
どっちも古典命題論理であるのは同じなので。
論理の体系があるとか、～しか使わない論理の形式化があるとは言うかもしれないけど。

748 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 09:38:26

なるほど。
あと、公理も1個しかない体系ってあったりしますか？
結合子論理の世界では
ルカシェビッツの公理系の1と2を導ける結合子が既知なので
少なくとも公理2個には出来ると思っているのですが

749 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 11:29:50

シェファー関数の話といい
なんか混乱したまま用語ばっかり聞きかじってるような

750 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 17:13:11

推論規則が幾つあっても良いならいくらでも作れるよ。

751 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 19:50:51

推論規則はModusPonensのみです
では聞きかじりなりに説明してみます
次の式
※λa.a (λbcd.b d (c d)) (λefg.e))
これを自身に代入(Modus Ponens)すれば
λab.a、つまり(A -> (B -> A))
この式を自身に代入すれば
λabc.a c(b c)、つまり(A -> B -> C) -> (A -> C) -> (B -> C)を得ます

すると、こんな体系が出来そうです(※の式の表現、つまり以下の公理1は自身なし)
　公理1:A -> A -> ((B -> C -> D) -> (B -> D) -> (C -> D)) -> ((E -> F -> G) -> E)
　公理2:(P⊃Q)⊃(～Q⊃～P)
　推論規則：MP

ここで>>745で教えて貰った|を使って
->と￢を展開すれば公理2個、推論規則1個、論理記号1個の体系のできあがり
とはいきませんか？

752 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 20:59:19

>>751
λabc.a c (b c) は (A -> B -> C) -> (A -> B) -> (A -> C) だよ

753 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 21:09:28

ついでに

> λa.a (λbcd.b d (c d)) (λefg.e))

これは

(((A -> B -> C) -> (A -> B) -> A -> C) -> (D -> E -> F -> D) -> G) -> G

754 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 22:39:34

＞推論規則はModusPonensのみです
それを先に言わないと。
命題論理の範囲ならMeredith's axiomで公理一つ＋推論規則一つに出来る。

因みにWittgensteinによると、ξたちはみな成り立たない、を意味する
N(ξ)という演算子を使うと、述語論理のときもSheffer's strokeのときと同様に
演算子一つで済むそうだ。

正直頭おかしいんじゃないかと思う。

755 ：１３２人目の素数さん：2009/04/20(月) 23:30:38

>>752-754氏
ありがとう！！
素晴らしいっすね論理学
N(ξ)については非常に興味があるのですが
何の本を読めば載っていますか？

>>752-753氏は
この型の計算は頭の中でやってるのですか？
私はツールなどがないとちゃんと出来る気がしません

教えて頂いた式を勉強中のCoqで証明してみました
Lemma A1 : forall A B C D E F G : Prop,(((A -> B -> C) -> (A -> B) -> A -> C) -> (D -> E -> F -> D) -> G) -> G.
apply H.
intros.
apply H0.
exact H2.
apply H1.
exact H2.
intros.
exact H0.
Qed.

756 ：１３２人目の素数さん：2009/04/21(火) 00:15:50

meredithでググってたらこんなのが出てきた
EEEpqrEqErp
EpEEqEprErq
EEpEqrErEpq
EEpqErEEqrp
EEpqErEErqp
EEEpEqrrEqp
EEEpEqrqErp.
これは暗号だわ

757 ：１３２人目の素数さん：2009/04/22(水) 20:01:47

> この型の計算は頭の中でやってるのですか？

暗算でもできなくはないかな。
間違えそうだから OCaml インタプリタに型検査させたけど。

ところで、なんか変だと思ったら

> ※λa.a (λbcd.b d (c d)) (λefg.e))
> これを自身に代入(Modus Ponens)すれば
> λab.a、つまり(A -> (B -> A))

これは、公理1から A -> B -> A が出ることを意味しないんじゃないの？
簡約後に型が付くからといって簡約前にも型が付くとは限らないから。

758 ：１３２人目の素数さん：2009/04/22(水) 22:09:21

なるほど。暗算とかやばいですね
高階関数を引数に取る関数はエラーになると思ってたけど
OCamlのインタプリタは賢い

OCamlの型システムでは、
　・簡約は必ず停止
　・チャーチロッサー性を持つ
　・簡約しても全体の型は不変
で、OCamlインタプリタで計算出来るってことは
再帰型が不要な範囲で計算出来ているわけなので
上記性質(特に3個目)は保たれてたりしないですかね

>簡約後に型が付くからといって簡約前にも型が付くとは限らないから
(多分)完全性を持たないケースの話ですよね
2階述語論理以上の表現力を持つシステムって、
完全性は捨てても健全性は残すことが多いので
公理1からこの式が導けたなら大丈夫なんじゃないでしょうか
A -> B -> Aから後ろ向きに推論して公理1を求めた場合はダメかもしれませんが
と自身たっぷりに答えてみましたが
専門ではないので全く自身はありません

759 ：757：2009/04/23(木) 00:11:08

>>758
なんかよくわからなくなった。

確認だけど、
(((A -> B -> C) -> (A -> B) -> A -> C) -> (D -> E -> F -> D) -> G) -> G
から
A -> B -> A
が出ると主張してる？

760 ：１３２人目の素数さん：2009/04/23(木) 22:43:17

そうです、が、実際に確かめたら、「再帰型」は必要でした
以下、-rectypesを付けたOCamlで確認

let s a b c = a c (b c);;
let ckk a b c = a;;
let x a = a s ckk;;
　→((('a -> 'b -> 'c) -> ('a -> 'b) -> 'a -> 'c) -> ('d -> 'e -> 'f -> 'd) -> 'g) -> 'g = <fun>
x x;;
　→'_a -> '_b -> '_a = <fun>
x (x x);;
　→('_a -> '_b -> '_c) -> ('_a -> '_b) -> '_a -> '_c = <fun>

これでおｋ、と言えるのかは
等価再帰型(-rectypes)の理論について詳しく無いのでわかりません
(自分が知ってる範囲ではCoqにはこんな型推論システムはないので
OCamlはすごいです)
それから、型なしλ計算でもxが計算できることは確かめられます
Meredithの公理もやってみたいですが
「否定」を表す型ってのがないのでちょっと難しいっす

761 ：757：2009/04/24(金) 00:23:10

命題論理の証明になるようなものなら、再帰型なしで型が付くんじゃないのかな。
Curry-Howard 同型ってそういうことだと思うのだけど。
あと、何度か出てる「計算できる」ってどういう意味かよくわからなかった。

762 ：１３２人目の素数さん：2009/04/24(金) 01:35:41

※命題論理の証明⇒再帰型なしで型がつく
については不明ですが、当初の疑問は解決しました
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Curry-Howard
　真ん中少し上のCorrespondence between Hilbert-style deduction systems and combinatory logicより
　which is the principal type of X, is an adequate replacement to the combination of the axiom schemes

※が実際どうなのかは興味ありますが、文献などあります？
あと、計算出来るは「停止する」ぐらいの意味で深い意味はないです
(Schemeで上の関数を定義したら無限ループしたりはせず、ちゃんと動きます)

763 ：１３２人目の素数さん：2009/04/24(金) 12:04:46

CoqのInductive命令で、生成される定数（例えばand_indなど）が、なぜそうなるか理論的なところがわからないんですが
何かわかりやすい文献等あったら教えていただけないでしょうか。λ-cube知った位じゃわからないんですよねえ。

764 ：757：2009/04/24(金) 21:31:55

>>762
> ※が実際どうなのかは興味ありますが、文献などあります？

「命題論理の証明になる ⇔ 単純型付きラムダ計算で型がつく」
が Curry-Howard 同型の主張でしょ。で、単純型付きラムダ計算には再帰型がない。
これだけのことだと思ってるんだけど、不十分？

> あと、計算出来るは「停止する」ぐらいの意味で深い意味はないです

だとすると、「計算できる」かどうかは型とは関係ないんじゃないだろうか。

>>763
Coq はよく覚えてないけど、second-order encoding みたいなもんかなあって
思ったような気がする。

765 ：763：2009/04/25(土) 11:39:26

>>764
情報提供ありがとうございます。早速あたってみます。

他の方でも何か情報ありましたらよろしくお願いします。

766 ：１３２人目の素数さん：2009/04/25(土) 19:39:16

皆さん、お休みのところすみませんが、

∃ｘ∀ｙA（ｘ，ｙ）⇒∀ｙ∃ｘA（ｘ，ｙ）

この証明はどのようにやるのですか？

767 ：１３２人目の素数さん：2009/04/25(土) 19:47:03

　　　　　　　　　 ...,､ -　､
　　　　　　,､ '　ヾ　、　　丶,､ -､
　　　　／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／教科書読みましょう。
　 l l　l.ヾlヽゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　イ　　　　　　　　　｜無いんですか？
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ､　　　　　　　＼それなら学校辞めましょうよ。
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　／ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

768 ：１３２人目の素数さん：2009/04/25(土) 22:17:17

>>765
(Set,Prop,Type)に関する構造帰納法&普通の数学帰納法じゃない？
reference manualの1.3.3にもうちょっと真面目に書いてあるっぽい

769 ：１３２人目の素数さん：2009/04/25(土) 23:19:06

>>766
そういうのは自然演繹とかsequent計算とか、
或いはHilbert-styleの証明論とか、体系によります。

770 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 10:25:23

こんにちは
Shoenfieldの教科書「Mathematical Logic」33ページにある「Theorem on Constans」の証明に
疑問があります。
理論Tに定数e1...enを追加して理論を拡張（T'とする）したとき、もし公理の追加がなければ、
Tの任意の論理式Aに対して、|-(T) A と |-(T') A[e1, ..., en] が同値である、というものです。
（記号|-(T)は、理論Tで証明可能であることを意味する）

教科書の中では、T'におけるA[e1, ..., en]の証明の中でe1, ..., enを各々新変数y1,...,ynに置換しても
成り立つことを利用して証明しようとしているのですが、Tのnonlogical axiomを使っているところで
そんなことをしたらダメなんじゃないかと思います。
だれかこの疑問に答えてくれませんか？

771 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 11:15:11

>>770
具体的にどうだめになるの？

772 ：770：2009/04/26(日) 11:48:44

>>771
公理って特定の論理式じゃなくて論理式のパターンに当てはめるものであって、
そのパターンの表し方やパターンに当てはまるかどうかの基準は任意に決められますよね。

46ページあたりでHenkin theoryを構成するときのspecial constsntやspecial axiomの導入の
仕方を見て、「そんなのありかよ」って感じましたが、同時に、人が認知できる言語上の
パターンは何でも（ある論理式が公理に当てはまるかどうかの基準として）使っていいのかと
思いました。

そんなわけで定数e1,...,enを変数y1,...,ynに置換する操作が元の理論Tのnonlogical axiom
の使用の是非に影響を与えないとは断言できないのじゃないかと感じました。

773 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 12:09:18

公理（axiom）は特定の論理式。
論理式のパターンを表すような奴はaxiom schemeと言う。

＞そのパターンの表し方やパターンに当てはまるかどうかの基準は任意に決められますよね。
いやいやそんなこと無いでしょ。

実際に計算機や人が扱えるというのは
言語 L が有限でかつ理論が帰納的に公理化可能とか、
そういう風に数学的な表現で言い表せる。
人間の認知能力がどうのとかそういう非数学的な考察をするなとまでは言わないけど、
そういうのは純粋に数学的な定理の証明なんかとは切り離して考えないと。

774 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 12:09:33

漠然とした疑いをそのままにしてたら何もできなくなるよ。「Theorem on Constans」の証明がうまくいくような
nonlogical axiomにはどんなものがあるのか、うまくいかないようなnonlogical axiomにはどんなものがあるのか、
Henkin theoryを構成するときのspecial axiomはどうなのか、とかまず具体的に考えてみれば？

775 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 12:13:49

>>772
意味を考えたりするとそういう疑問も起きるかもね。
定数記号というのは、証明中で eigen-variable として用いられることがなかった自由変数だと言っていた先生がいたけど、theorem of constant というのはそういうこと。

776 ：770：2009/04/26(日) 12:31:46

>>773
> 公理（axiom）は特定の論理式。

propositional axiom （~A ∨ A）とかが既に論理式のパターンを指示してるのではないでしょうか？

777 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 14:14:32

￢( p1 → (p2 ∨ p3))∨( p1 → (p2 ∨ p3)) とか
そういう個々の論理式がaxiomで、
「任意の論理式 A に対して (￢A ∨ A)」
とかいうような論理式の集まりは
axiom schemeって言うほうが普通じゃないのかな。
Shoenfieldでなんと呼んでるのか分かんないけどね。

何と呼んでも通じれば良いけど、とにかく公理っぽいものには
個々の式と、或るパターンの式全体、という二つのものがあって、
或る式がその「パターン」に当てはまるかどうか、というのは
（俺は有限主義者だとか直観主義者だとか面倒くさいことを言い出さない限り）
純粋に数学的に定まるものであって、恣意的なものじゃないよ。

778 ：766：2009/04/26(日) 15:14:23

>>767
やはり辞めるしかないですか。

>>769
NKにヒルベルトのεと⇔を導入した体系だそうです。

∃ｘ∀ｙA（ｘ，ｙ）は∃ｘ[∀ｙA（ｘ，ｙ）]のことで
∀ｙA（ｘ，ｙ）はｘについての命題と考えて、
ｘについている存在記号の消去（εの導入）ののち
任意のｙで成り立つ
A（εｘ[∀ｙA（ｘ，ｙ）],y）
の命題についてｘの存在記号を導入すればいい,

ってわけにはいきませんよねえ。

779 ：763：2009/04/26(日) 15:23:37

>>768
reference manualかぁ。基本的なところを押さえてませんでしたね。失礼しました。

＞(Set,Prop,Type)に関する構造帰納法&普通の数学帰納法じゃない？
この言い方から察するに、入門程度の文献で普通に載ってるっぽいことだとは思うのですが、
私自身は、自然数に関する数学的帰納法に毛が生えた程度しか知識がなく、帰納法に伴って
定数が生成されるといったことは皆目わかりません。そこで、Coqに限らず、そういったこと
を解説してくれている入門的な文献等ご紹介いただけないでしょうか。

780 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 16:26:53

>>778
ε記号を導入したって事は、述語論理の部分は
普通のNKじゃなくて、
NK（命題論理部分）＋ε記号に関する規則＋⇔記号
ってことかな？

だとしたら私はよく知らない。

781 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 16:31:33

ごめん、入門書とかはさっぱり読んでないのでわからない
俺はリファレンスマニュアルを適当につまみぐいしただけだが
帰納法に伴って定数が生成されるのは純粋に、Coqの都合だと思う
これは例えばelimとかのtacticで勝手に使われるので必要らしい

Check nat_indとかやるとこんなのが出るけど
forall P : nat -> Prop,
P 0 -> (forall n : nat, P n -> P (S n)) -> forall n : nat, P n

P(O)
P(N)ならばP(N+1)
から
どんなnについてもP(N)が成り立つって言ってる。まんま数学的帰納法
そんで、ind以外のやつはPropのところがSetやTypeに変わっただけで後は全く一緒(構造帰納法)
構造帰納法はググったらわかるよ

782 ：770：2009/04/26(日) 21:27:42

>>777
どうもありがとう。
> 或る式がその「パターン」に当てはまるかどうか、というのは
> （俺は有限主義者だとか直観主義者だとか面倒くさいことを言い出さない限り）
> 純粋に数学的に定まるものであって、恣意的なものじゃないよ。

パターンに当てはまるかどうかの判断て、なんらかの規約で表せればいいんですよね。
special constantの導入のしかたも、論理式 ∃xA に対して文字 c と∃xAを組み合わせたシンボルを作り出して、なんか「記号の力」に乗っかっちゃってるようで。
上記の「なんらかの規約」も、数学的なものじゃなくて記号列のパターンとしての特徴に言及
したっていいわけで・・・

・・・って書いた時点で自分の疑問が氷解しました。>>774

783 ：１３２人目の素数さん：2009/04/26(日) 23:20:44

772> 定数記号というのは、証明中で eigen-variable として用いられることがなかった自由変数だと言っていた先生がいたけど、

電気屋であるワタシはなるほどと感心してしまったお

784 ：１３２人目の素数さん：2009/04/27(月) 08:54:01

>>770
Semantics として明らかであることは、つぎのようにわかる。
定数記号が公理のなかに現れなければその解釈はどの要素になされてもよいので、
公理に現れない自由変数と同じ役割である。

785 ：１３２人目の素数さん：2009/04/27(月) 19:03:06

帰納的関数に関しての質問です。
原始帰納的関数、帰納的関数、帰納的可算集合などのクラスは普通、PAでなく標準モデルに対しての物でしょうか？
参考書で明確に言及してないので、今一整理がつきません。

786 ：１３２人目の素数さん：2009/04/27(月) 19:59:26

PAに対しての帰納的関数って何？
意味が良く分からん

787 ：１３２人目の素数さん：2009/04/27(月) 20:46:31

>>785
recursive function と provably recursive function との違いに関する質問?

788 ：770：2009/04/27(月) 22:05:22

>>784
レスどうも。

>>782で気づいた事は、
「理論を拡張するとき、axiom schemeまで引き継いではいけない」
ってことです。

789 ：785：2009/04/27(月) 22:26:53

>>786-787
説明不足で失礼しました。(自分でもあやふやなので、説明以前に根本的に勘違いしてるのかもしれませんが。)
「ゲーデルと20世紀の論理学」や「論理と計算のしくみ」という書籍を利用していて、帰納的関数論と不完全性定理の部分を少し読んでみた程度なんですが、
どうやら標準モデル(自然数論？)上で真なることと、ペアノ算術で証明可能なことの区別をしないといけないみたいだ、と思ったので、もう一度注意しながら読んでいる所です。
そこで「原始帰納的」や「計算可能」、「帰納的可算」等は、自然数論とペアノ算術、どちらの上でのクラスを定義しているのか、と言うのが質問の内容です。

790 ：１３２人目の素数さん：2009/04/27(月) 23:44:56

持ってる本に、syntaxとsemanticsは区別しましょうとか、
そういうことは書いてないかな。書いてないのかもね。
（まあこういう話は中途半端にすると逆に
完全性定理のHenkinの証明あたりで混乱することにもなるんだけど）

syntaxは論理式とか変数記号とかの（形式的な）ことばや記号列に関する話のことで、
semanticsというのはそのことばが指し示す実際の対象（もの）のこと、とでも思っとけば良い。

標準モデルというのはsemanticsの話で、
ペアノ算術はどっちかというとsyntaxの話。
自然数論ってのは自然数に関する（たとえばペアノ算術とかの）理論のこと。

普通は（そうじゃない分野もあるけどそれはさておき）
原始帰納的とか計算可能とかそういうのは、
あまり形式的なことは考えないで、実際に確かに存在する
自然数という対象に関する概念だと思うことが多い。
要するに（標準的）自然数の関数やその集まりであって、
PAみたいに或る形式的な理論を決めてそれに応じて
規定される概念だとは考えていないことになる。

791 ：１３２人目の素数さん：2009/04/28(火) 00:25:04

>>780
早速のレス有り難うございます。「自然数論」の用法を間違えていたようで、失礼致しました。
シンタクスとセマンティクスですが、一応の区別はついているかなと思います。
(シンタクスはシーケント計算・自然演繹・ヒルベルト流、セマンティクスは古典述語論理やクリプキ意味論をやってシーケント計算の完全・健全性や決定可能性(不可能性)まではやりました)
ただ今まで証明論/意味論の二つの区別で話を進めてきた所に、計算可能性という新しい(？)概念が出て来たので、分類しかねて戸惑っているといった状況です。
レスを読むにセマンティクス側で定義されている様ですね。表現定理なんかを読むと「計算可能性」がセマンティクス側で定義されてると見れば自然に理解出来そうですね。

792 ：１３２人目の素数さん：2009/04/28(火) 00:29:07

recursion theoryって微妙なんだよねー
そういう分類にそぐわない分野だと思う

793 ：785=791：2009/04/28(火) 00:29:46

>>790さんでした。失礼しました。

794 ：１３２人目の素数さん：2009/04/28(火) 21:59:11

　>>788
はっきりいって、正確な理解に達していないと思います。Axiom も
Axiom scheme も本質的な違いはありません。色々な流儀はありますが、
Axiom, Axiom scheme は閉論理式，閉論理式の集まりととらえるのが
簡明です。自由変数を含むものは、それを束縛変数にして全称にして
閉論理式にしておくのが明解です。
定数記号は、変数記号とは別になっているのですから、同じ役割であ
るというのは semantics におけることで、Axiom scheme と Axiom に
区別をつけるところに関係するようなことではないと思います。

795 ：770：2009/04/28(火) 22:38:20

>>794
いや、理論Tを理論T'に拡張するとき、「シンボルだけ追加する。公理は追加しない。」と決めた場合でも、
もしAxiom scheme を引き継いでしまうと、新しく追加されたシンボルを使ったT'の論理式にそのscheme
を適用してしまえば公理を追加してしまったのと同じことになるということです。

もとの質問で言うと、理論Tが
「文字eで始まる定数についてなんちゃら～」というパターンのAxiom schemeを持っていたら、
どうなるだろう、というのが疑問の元でした。

この「scheme」の適用を理論T'で追加された論理式にあてはめるのは「Theorem on Constans」
の条件である「公理は追加しない」に抵触する（=スコープを破壊してる）と気づいた、ということです。

semanticsのことは、証明の過程において何の役割も果たしていない定数は変数に置き換え可能
って感じで納得していて疑問は持っていませんでした。

796 ：１３２人目の素数さん：2009/04/29(水) 09:42:37

＞「文字eで始まる定数についてなんちゃら～」というパターンのAxiom schemeを持っていたら
そういうのは一般的なaxiom schemeではないので
（普通の数学でそういう公理とか定義は聞いたこと無いですよね？ありますか？）
単純に公理の無限集合、という風に言うべきかと。
通常、axiom schemeというのはもっと特殊で、
「任意のformulaφiやtermτjの組に対して以下が成り立つ」
みたいな形をしてるのが普通だと思う。

述語論理じゃなくてもっと一般的な記号変形システムなら
普通にそういうのも考えて良いでしょうけど。

Shoenfieldちゃんと見てないけど、たぶん言えるのは、
定理の前提に抵触して証明がそのままでは成立しなくなる（かもしれない）というだけで、
定理の結論自体はほぼそのままの形で成立すると思いますよ。

あと「定数」はconstan"t"sね。typoだと思ってスルーしてたが覚え間違いしてるかもしれないなので。

797 ：770：2009/04/29(水) 11:14:08

>>796
> constan"t"s
おっと、最初の書き込みから間違えてたｗ

普通の数学にそんな公理はない、ってのはそうでしょうね。
> 「任意のformulaφiやtermτjの組に対して以下が成り立つ」
↑この添字iの集合が理論を拡張する際に拡大されていたら、公理は追加しないという条件の解釈は
普通どうなるんでしょうか？

ちなみにShoenfieldでHenkin theoryを構成するときの導入の仕方は酷くて、任意の論理式 ∃xA を
文字 c の「添字」としてくっつけて新しい定数(special constsnt)を無限個作り出すんですよ。
その上で"すべての" ∃xA → Ax[r]　（rは上記のspecial constsnt）というパターンの式を
「special axiom for r」として追加する・・・。

そんな記号の作り方なんてそれまで言及されてないし、無限個の論理式に対して新たな定数を1対1に
対応させられるなんて力の源泉が曖昧じゃないですか。
「実際記号を作ることはできるんだし、special axiomの導入も明確にできるでしょ」と言われればその通りなん
だけど、公理のパターンとして何が認められるのか釈然としない。

そんなこんなで、「Theorem on Constants」の証明のところで引っかかったという次第です。

798 ：１３２人目の素数さん：2009/04/29(水) 11:41:35

>>795
>「文字eで始まる定数についてなんちゃら～」というパターンの
> Axiom schemeを持っていた

として、もともと矛盾している場合以外に何か具合の悪いことは
起こるのでしょうか？
定数記号に関するほとんどの誤解は、たとえば　π　という記号
で円周率の性質を使えば、πについての公理を使っていることに
気がつかないという誤解があります。本質的にこれ以外の間違い
というのは想定し難いのですが、、、。
796 に書いてあることにしても、以前ある term の解釈にすれば
よいだけで、何の問題もないと思います。自分で勝手に具合が悪い
と想像しているだけだと思います。

799 ：770：2009/04/29(水) 12:28:53

>>796
> 何か具合の悪いことは起こるのでしょうか？
それはA[e1, ..., en]を証明する過程の途中で定数eiを変数yiに交換することが
できなくなるから「具合の悪い」と誤解していた訳です。
理論を拡張する際のaxiom schemeの適用に間違った理解をしてました。

ところでπはここでいう「定数」にはあてはまりませんよ。
（特定の実数に対する命名に過ぎないし、使う記号も何だって構わない。）

> 796 に書いてあることにしても、以前ある term の解釈にすればよいだけで
「以前ある term の解釈」の意味がわかりません。再度解説してくれませんか。

800 ：770：2009/04/29(水) 12:29:38

アンカー間違い

× >>796
○ >>798

801 ：１３２人目の素数さん：2009/04/29(水) 13:12:05

>>799
Axiom Scheme を含む体系 T に新しい定数記号を付け加えるわけで、T に
ある term を以前ある term と表現しました。

πは定数記号として導入すると解釈するのは極めて普通。特定の実数とは
その存在と唯一性の証明されている実数のことをいうと思うが、それに
定数記号を対応させ、定義式を公理として付け加えるというのは、とても
普通の考え方。

802 ：770：2009/04/29(水) 23:28:45

>>801
> πは定数記号として導入すると解釈するのは極めて普通
> 定義式を公理として付け加えるえるというのは、とても普通の考え方。

もともとの Theorem on Constants の話でいうと、新たな公理を何も足さない場合の主張なので、
>>799での「πはここでいう「定数」にはあてはまりませんよ。」に戻ってしまいます。

803 ：１３２人目の素数さん：2009/05/02(土) 21:54:03

>>802
あなたが心配したことはなんだったんでしょうか？
ご自分で述べていないようですから、仕方ないので述べてみましょう。

ある無矛盾な体系 T の Axiom Scheme として「この体系に現れない
定数記号 c について　c ≠ c が成立する」という Axiom Scheme
があったとしましょう。すると、equality axiom があれば、T にない
定数記号がつけ加わった途端に矛盾します。

このような例を述べないで、証明ができないから、どうのこうのという
のは、よくわかっているとは言いがたいと感じたのです。この　Axiom
Scheme は変なところがあります。しかし、それをあなたが的確に指摘
できたら、、、きっと、あなたはこんなところで、質問しないので
しょう。もし、ちゃんと答えられたら、ちゃんとわかっているという
ことでしょう。だから 794 に正確な理解に達していないはずだと書いた
のです。

804 ：770：2009/05/02(土) 23:53:37

>>803
> このような例を述べないで、証明ができないから

>>795で書いた
> 「文字eで始まる定数についてなんちゃら～」というパターンのAxiom schemeを持っていたら、・・・
というのが自分なりの「例」だったんですが、きちんと結論まで述べてませんでしたね。
もともと私が心配していたのは、う～ん。。たとえば以下のような状況です。

述語pと関数f を持つある体系 T に
「文字eで始まる定数e*について　p(e*, f(e*)) が成立する」という Axiom Scheme があったとする。
　・述語pと関数f はTのもの
　・文字eで始まる定数はTに存在しない
　・拡張した理論T'に定数e1, ... , enが導入された
　・拡張した理論T'に公理の追加はない

以上の条件の下に、
理論T'で p(e1, f(e1)) ∧ ・・・ ∧ p(en, f(en))が成立するとしたら、Theorem of constantsを適用して
理論Tで変数 y1, ..., yn について p(y1, f(y1)) ∧ ・・・ ∧ p(yn, f(yn)) が成立することになるが、
これは言えないはず。
<例ここまで>

> この　Axiom Scheme は変なところがあります。しかし、それをあなたが的確に指摘できたら、、、
いただいた例について今の自分の理解で述べると、
　・この Axiom Scheme に変なところはない
　・Tにおける公理はTのスコープ内で確定している。この Axiom Scheme によって生成される公理はゼロ個。
　・T にない定数記号がつけ加わった途端に・・・
　　公理を追加しない、という条件であれば矛盾なし。
　　Axiom Scheme を適用して公理を再生成していい、という条件であれば矛盾発生

再び今の自分の理解で言うと、Theorem of constants の条件である「公理を追加しない」ってのは
Axiom Scheme を再展開して公理を生成するのはダメってことであり、それが >>788で書いたことです。

805 ：１３２人目の素数さん：2009/05/05(火) 01:49:39

この連休で強制法勉強しようと思ってたけど
ほかの勉強で全然暇無いなあ、

昨年の夏からずっと強制法勉強したいと思ってるのに、、はあ

806 ：１３２人目の素数さん：2009/05/05(火) 14:41:58

>>805
他の勉強を全部捨てるんだ！

807 ：１３２人目の素数さん：2009/05/05(火) 21:38:42

>>804
この後は、何も返答いたしません。やりとりはこれで終わりです。

> 述語pと関数f を持つある体系 T に
> 「文字eで始まる定数e*について　p(e*, f(e*)) が成立する」という
> Axiom Scheme があったとする。
> ・述語pと関数f はTのもの
> ・文字eで始まる定数はTに存在しない

体系 T にこのような Axiom Scheme があれば、e という文字が T に現れてい
ます。ですから、文字 e は体系 T ではなんなのでしょう?

803 でそれを Axiom Scheme とはいわないだろうというのは、体系 T に現れ
ないものについて、、、といった途端に、その Axiom Scheme はないものと同
じであると解釈されるべきでしょう。これが、Axiom, Axiom Scheme といった
ときの「普通」の理解です。これらについて形式的定義があるわけではないの
ですから、あなたの理解だって一向構わないのかもしれません。ただ、通用し
ないですね。

808 ：１３２人目の素数さん：2009/05/05(火) 22:18:21

おまえら二人して同じ事言ってるがどっちも日本語ダメダメね。
わかりやすく伝えるよろし。

809 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 08:43:24

自然言語は曖昧だから記号化、形式化したはずなんだけどそんな甘くないというか

810 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 09:59:35

言語能力の低い人は何をやっても駄目だという証明になってる。

811 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 19:24:39

いやどうしても形式化から溢れる余剰があるということなんじゃない

812 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 19:54:57

高崎金久先生の数理論理学入門、
「X. エルブランの定理と決定手続き」が書かれず終わってます。
情報系の本などでは節形式の充足可能性として論じるものが多いので、
高崎先生がどう説明されるか期待してたのですが・・・

どなたか続きを書きませんか？

813 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 22:52:09

「前なんとか」って名前の人の数学基礎論の本ってどんな？
地方駅弁学部で習う数学がわかってれば読める？

814 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 22:53:36

まずは日本語の読み書きが覚束ないのでは読んでも話にならないだろう

815 ：１３２人目の素数さん：2009/05/11(月) 23:41:45

何かの本を自分が読めるかどうか聞く人は
たいてい読めない

816 ：１３２人目の素数さん：2009/05/12(火) 00:49:18

前原先生の例のはまだ筑波で手に入るのかな

817 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 02:03:03

質問です。
排中律、対偶則、二重否定除去、パースの法則等の同値性より「(命題)直感主義論理上で成り立たず古典論理上で成り立つ命題を、一つでも直感主義論理の公理に組み込めば古典論理になる」
という事が言えそうだと思ったのですが、これは正しいのでしょうか？また正しければ定理の名前等を教えてください。

818 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 02:56:43

>>817
正しくありません。
命題論理の範囲では、直観主義論理に追加すると古典論理になるような論理式の特徴付けが Jankov や Hanazawa により得られています。

819 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 09:23:00

>>818
有り難うございます！
jankov等で検索した結果、直感主義と古典論理の間には無数の中間論理があるということが分りました。

820 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 10:06:26

直感じゃなくて直観な

821 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 18:41:46

もうテンプレに入れとけよ

Q. 直感主義って？
A. 直観主義です

822 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 19:01:10

ZFCでは有理数の全体や実数の全体を整列順序づけすることが可能ですが
具体的にどのような順序を定めれば有理数全体や実数全体が整列集合になるのですか？

823 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 19:20:20

>>822
その質問を聞いただけで整列性や可算性を理解していないことが分かる。
こんな所で聞いてないで、集合論の教科書
ちゃんと嫁。

824 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 19:43:26

質問スレというのは理解してない人のためにあるのであって

825 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 19:46:09

>>824
おしえてあげてください。

826 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 19:53:29

では
コホン

>>822
有理数は分母・分子の２つの整数の組で表せる。
２つの整数の組なら、小さい数の組から順に番号をふればＯＫ。
あと実数は順序付け不可能って書いてなかった？

827 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 20:04:04

先生！変なのが来ました！

828 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 20:53:10

竹内外史の本でも読んで釣りでも思いついたんだろ

829 ：１３２人目の素数さん：2009/05/13(水) 21:18:19

有理数は頑張れば実際に整列順序入れられるよ
実数は選択公理が無いと無理なので、「具体的」なのは作れない

830 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 00:49:00

>>826
>>829
ありがとう

831 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 01:12:37

実数は、選択公理があっても、｢具体的な｣整列順序を定めることは不可能。

ただ、整列順序の存在を示せるだけ。

832 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 01:44:50

その不可能って言うのは証明されてる？

833 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 01:52:50

>>832
もちろん。

834 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 16:02:38

集合全体の集合が存在するような公理系ってあるんですか？

835 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 16:55:23

作ればあります。

836 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 17:12:54

ベルナイス•ゲーデルの集合論 BG

837 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 17:52:00

>>835
既存のものでないでしょうか？
>>836
クラスとに分けて解決するのではなくて
扱う対象全体の対象みたいなものがある公理系はないでしょうか？

838 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 18:26:18

>>833
話としては聞いてるけど、どうやって証明されてるの？

839 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 18:33:50

選択公理は独立だから偽でもいいはずなのに具体的に構成できちゃったら偽にできないでしょ

840 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 18:59:22

>>839
全ての集合がならわかる。実数限定なのにそうなる理由は？

841 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 19:36:46

選択公理が実数全体の集合が整列順序づけされることの必要条件ってこと？
つまり、任意の集合が整列可能ということと実数全体が整列可能ということが同値？

842 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 19:51:29

>>841
「必要条件」じゃなくて「充分条件」。
まずこの二語の使い分けを勉強してからまた来たらいいと思う。

843 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 19:52:43

どうしてわからないんだろう・・・

844 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 20:05:26

どうして分かるか説明したら分かるようになるでしょ。

845 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 20:07:09

必要条件とかそのあたりからですか？
いやです

846 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 20:09:38

>>843って>>842だけに対してなのか。ならそっちはいいや。

847 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 20:24:05

>>842
いやいや使い方は分かってますよ
選択公理を認めれば実数全体が整列順序づけできるから十分条件
>>839が言うには選択公理がなければ実数全体を整列順序づけすることができないから必要条件

848 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 21:08:23

で、証明はどうなのよ？

849 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 21:43:53

あくまでも正しいのは
選択公理が正しい→Rの整列順序付けが存在する、
であって
Rの整列順序付けが存在する→選択公理が成立する、
ではないし
選択公理が一般に成り立たない→Rの整列順序付けが存在しない、
でもない。勘違いしないように。

「ZF＋いくつかの相対無矛盾な追加公理」で
Rの上に整列順序が存在しない（当然Rの基数も存在しない）モデルが作れる。
これは有名な事実なのでJechでも読めばたぶん証明が載っている。
だからZFの中で表現できるような操作じゃ作れないことは分かる。
一般的に日常の数学でやるような「具体的」な操作と言うのは全部ZFの中で
表現できることが実際に一つ一つ確かめられるから、「具体的」な整列順序は無いことになる。

Cohenは「連続体仮説もその否定も証明できないこと」を証明した、
というのも似たような話で、われわれが持っている集合に関する事実の証明手段は
ZFC（のサブセット）に収まる、というのが暗黙の前提になっている。

その前提が間違っているかもしれないじゃないか、という人が居たら
その人が「具体的」だけどZFじゃできないような操作とか、
そういうのを実際に提示すればいい、という話。

850 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 21:46:04

>>839はデタラメでおけ？

851 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 21:49:58

デタラメだと断言は出来ないけどきちんとした書き方ではないよね
でも実数の整列順序付けが出来ないことの説明の大まかな流れは理解してそう

852 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 21:54:53

理解しててあの書き方なら致命的に表現力が無いのだろう

853 ：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 23:39:52

>839 が見落していることは、ある概念を定義する論理式を与えるだけでなく、それが必要な条件を満たしていることの証明が必要だということ。

たとえば、実数全体を整列する順序の候補はあるのだが、それが実際に順序となることの証明に選択公理が必要というような場合を考えていないような気がする。

854 ：１３２人目の素数さん：2009/05/15(金) 06:45:25

すみません、どなたか>>837お願いします

855 ：１３２人目の素数さん：2009/05/15(金) 13:55:42

1. 順序集合を与えると ZFC のモデルが作れる。
2. ある順序集合の自己同型は、1 の ZFC のモデルの自己同型を引き起こし、
その R への制限は R の自明でない自己同型となる。
3. ZFC で順序数を用いて定義可能な集合は、自己同型で不変。
4. R と順序数の間の全単射 f が定義可能とする。
2 より σ(x)≠x となる自己同型 σ と x∈R がある。
3 より σ(f)=f, σ(α)=α.
f(x)=α より f(σ(x))=α これは f が単射であることに矛盾する。

856 ：１３２人目の素数さん：2009/05/15(金) 21:30:23

>>837
まずラッセルのパラドックスの証明に何が使われているかを
考える。例えば、分出公理か、外延公理、、、、というふうに。
つまり他の公理を付け加えなければ、集合の全体を集合としても、
矛盾ができなくすることは可能。

857 ：１３２人目の素数さん：2009/05/15(金) 23:08:29

>>856
その分出公理や外延公理に制限を加えたりした公理系があるって聞いたんですがご存知ないでしょうか？

858 ：１３２人目の素数さん：2009/05/16(土) 09:00:49

>>857
数学的に面白い話は聴いたことはありません。
哲学関係、および、形式のみの研究関係ではあるようです。

859 ：１３２人目の素数さん：2009/05/16(土) 14:17:44

整列集合の比較定理の証明ですが、一般向けの集合と位相の本では1ページ以上割いて長々と証明がなされているのですが
キューネンの集合論（邦訳p.20）だと一つ関数を定めるだけの短いものになっており、省かれている部分を埋めてもかなり短いです
前者がこのような短い証明方法を採用しないのはなぜですか？それとも後者の証明方法は不完全なのでしょうか？

860 ：１３２人目の素数さん：2009/05/16(土) 14:40:15

>>859
Kunen の本のその証明は省略されている部分を読者が補って読む必要がある。
(省略されていることがわかって、それが容易に補える読者を想定した本だということ)

f の定義域と値域が始切片となること。
f が写像となること。
f が順序を保つこと。
f の定義域と値域がともに真の始切片となることは起きないこと。

どれも証明していない。

861 ：１３２人目の素数さん：2009/05/16(土) 14:52:10

>>860
失礼しました

よく考えたら同じことでした

862 ：１３２人目の素数さん：2009/05/17(日) 12:48:22

質問です。
(1)ω無矛盾性の正しい解釈がわからずに困っています。ω無矛盾性がペアノ算術PAで成立しないのは、
ペアノ算術の範囲内ではタームが数項の列{1,2,3……}から外れたものはない、と言う事が証明できないから、と言う解釈も出来るでしょうか？
(超限数ωがタームに入っていないことが証明できない、とか。)
(2)自然数をコード化する際に、中国剰余定理を使ってコード化した自然数の存在性を言っている文献が多いですが、
自然数列{n1,n2,n3……ni}から、対関数pair(x,y)を使って、コード化した数eを
e＝pair(n1,pair(n2,……pair(ni-1,ni)…))としている本がありました(萩谷著「論理と計算のしくみ」)。
これでも正確にコード化した数の存在性が言えるのでしょうか？

863 ：862：2009/05/17(日) 16:12:49

すみません。ωは超限順序数でしたm(_ _)m

864 ：１３２人目の素数さん：2009/05/17(日) 18:19:12

>>862
(2) i が可変である必要があるなら、この方法はうまくいかない。

865 ：１３２人目の素数さん：2009/05/17(日) 20:14:48

便乗ですがω矛盾な研究されている公理系ってあるんですか？

866 ：１３２人目の素数さん：2009/05/17(日) 20:19:00

ω矛盾なは公理系にかかります

867 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 06:14:27

ZFCの9個の公理系が一番少ない公理系だと聞きました。
これらから他の全ての公理(例えばユークリッド幾何学での5つの公理とか)も証明できるのでしょうか?

できないのなら,この9個の公理だけでは不足という事ですよね。
その場合は最低何個の公理を継ぎ足せば数学を語れるのでしょうか?

868 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 07:07:31

ZFCの公理は有限個じゃないよ。
有限個なら「 φ1 ∧ φ2 ∧ ......... ∧ φ1 が成り立つ」
みたいな感じで一つの言明にまとめられるし、∧が嫌なら￢と⇒とかを使っても良い。
でも ZFC は、「任意の x に関する性質 φ に対して ......... 」みたいな
無限個の言明を束ねた公理図式（スキームという用語を図式と訳すのは違和感あるけど）が
あって、決して有限個には纏められない。有限「種類」ではある。
それから反映原理とかを使うと公理の種類はもうちょっと少なく出来る。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　まあBGにすりゃ有限個（従って 1 個）で済むんだけどね。

＞証明できるのでしょうか?
「直線」とはどういう集合のことを言うのか、とか
二つの直線が平行であるとはどういう状態のことをいうのか、
とかの定義が入ってればね。
まあ、その定義と言うのは論理学的には LINE(l)⇔l∈R^2かつ......みたいな
公理を加えることでなされるわけだけども。

869 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 08:22:23

選択公理キモイ

870 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 09:51:19

ありがとうございます。

> 868
> ZFCの公理は有限個じゃないよ。
> 有限個なら「 φ1 ∧ φ2 ∧ ......... ∧ φ1 が成り立つ」
> みたいな感じで一つの言明にまとめられるし、∧が嫌なら￢と⇒とかを使っても良い。
> でも ZFC は、「任意の x に関する性質 φ に対して ......... 」みたいな
> 無限個の言明を束ねた公理図式（スキームという用語を図式と訳すのは違和感あるけど）が
> あって、決して有限個には纏められない。有限「種類」ではある。

ZFC公理は有限個ではないが有限種類とはどう解釈すればいいのでしょうか?
外延性公理,
空集合の公理,
対の公理,
合併集合の公理,
無限集合の公理,
べき集合の公理,
置換公理,
正則性の公理,
選択公理

以外に何があるのでしょうか?
それとも
これら9種類の公理があって夫々が更に無限個の小公理を持つという意味でしょうか?

> とかの定義が入ってればね。

有難うございます。これは参考になります。

871 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 10:05:28

置換公理は、正確には置換公理図式でしょ。つまり無限個。

872 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 12:01:20

ありがとうございます。

> 871

うーむ。そうするとZFC公理は一番少ない種類の公理を持つ公理系という訳ですか。
ユークリッド幾何学での公理とかも無限個なのですね。種類が5個という言う訳ですね。
(ZFC公理が一番少ない種類を持つ公理系なので当然ユークリッド幾何学の5種類の公理系はZFCに比べて語れない分野があるですね)

873 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 12:12:34

質問です。有理数は、数直線（実数）上、均一に分布するのでしょうか？

874 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 13:04:45

均一って何？

875 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 13:17:50

>>858
すみません、調べてみたところNew Foundations（http://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations）というのがそれっぽいのですが
どんな感じの物なのかどなたか教えていただけないでしょうか

876 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 15:00:04

>>870
選択公理も図式でなかったっけ。

877 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 15:32:16

>>874
>均一って何？
分布密度のようなものかな？
単位長さ当たりの個数

878 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 16:48:54

>>877
密度はどこでも０です
単位長さ当たりの個数はどこでも可算個です

879 ：868：2009/05/21(木) 16:55:58

>>870
少なくともZFCの普通の選択公理は
「集合fがAからBへの函数で～～ならば～～」という一つの論理式。
BGの強選択公理にあたるものを定式化したいとか思えば公理図式になっちゃうけど。

>>875
そこに書いてあるじゃん。NFなんて相当マイナーだし
そのwikipediaの記事とか、その記事のreferencesにリンクしてあるpdfファイルとか
external linksのリンク先サイトとか以上に詳しくて懇切丁寧な解説なんて
俺は聞いたこと無いぞｗ NFの研究者リストみたいなのまであるしｗ

（Quine自身も、ZFと本質的に両立しないような、例えばこんな感じの定式化によって
Russelのantinomyを避けることも出来ない訳ではない、だから必ずしもZFが
唯一の集合論の定式化とは言い切れないし、ZFが採用されたのはもしかしたら
歴史的偶然かもしれない、くらいの意味で発表しただけ。
Boolosとかはそれに反対してZFが採用されたのはZFにそれなりの自然さがあるからだ、
と思ってるみたいだけどね。）

非常に大雑把かつ適当に言うと、個体、個体の集合、集合の集合（集合族）、
集合の集合の集合（集合族族？）、……というような整然とした
階層構造を壊してしまうような式は、ルール違反ということにして、
{ x : φ(x) } という集合を作るときのφには入れちゃ駄目だ、という制限を加えただけ。
だからタイプ理論に似てて、ZFCでは集合として扱える
{ x ∈ 2^ω : ∀y∀z, z ∈ y ∈ x → z∈x} みたいな集合は扱えなくなるけど、
その代わりに { x : x = x } を集合として扱えるようになる。

880 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 16:56:58

ラムダ計算でn^m = (λab.ba)nm ってあるんですが
n^0 = (λab.ba)n(λfx.x) = (λfx.x)n = λx.x ≠ λfx.fx = 1 になっちゃいませんか？

881 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 21:53:31

>>880
確かそうなったと思うよ。m>0 でないと冪にならない。

882 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 23:17:42

>>878
>密度はどこでも０です
>単位長さ当たりの個数はどこでも可算個です
そなことは、分かってます。その相対的な濃度差が知りたいの。

883 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 23:26:37

何じゃその相対的な濃度差て
自分用語作んなよ
数学で言う濃度が何か分かってて言ってるんだよな？

884 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 23:36:33

>>881
マジですか・・・それはちょっと微妙ですね

885 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 23:40:34

>>883
>数学で言う濃度が何か分かってて言ってるんだよな？
密度ですよね？

886 ：１３２人目の素数さん：2009/05/21(木) 23:49:01

違います

887 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 00:59:39

知りたいのは有理数の密度らしいぞ。

888 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 01:04:49

ルベック測度なら0だがw

889 ：猫でつ ◆ghclfYsc82 ：2009/05/22(金) 01:20:36

ルベーグ測度がゼロでないヤツは手が届かないモノばっかしですなぁｗ

890 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 01:43:25

ここは増田ごときが来ていいスレじゃない

891 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 02:40:50

もし有理数の密度にばらつきがあるなら、有理数を完備化して得られる
実数の測度は平坦ではないですよね？

892 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 02:50:08

【－∞～＋∞】∫sinx／xの積分なんですがどなたか解き方教えてくれませんか？？

留数だと思うのですがなかなか解けません。

893 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 02:59:10

>>891
だから密度はどこでも０だってば

894 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 03:02:15

>>891
その「密度」ってどうやったら求まるものなの？
きちんと定義された用語を使って話をしないと。
その用語が>>891の思ってる「密度」「濃度」とかを
きちんと表しているかかどうか、という問題とは分けて考える。

合成数は素数よりも"多い"のでしょうか？
→両者とも aleph 0 の濃度なので個数は同じです
→ n までの素数は全体の 1/log n くらいの割合しかないので
　　n がでかけりゃ圧倒的に合成数のほうが多いです。
が両方とも間違ってないのと一緒。
"多い"がどういう意味なのか、その"多さ"は数学的に言い表したら
どういう定義になるのかというのは質問する人が自分で考えないとどうしようもない。

それと同じ。

>>892
>>2参照

895 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 03:12:06

>>894
>その「密度」ってどうやったら求まるものなの？
どこかに、よい参考書はないでしょうか？

896 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 03:13:59

>>893
>だから密度はどこでも０だってば
本当に知りたいのは、実数の測度が均一なのかどうか？

897 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 03:52:17

>>895
そこで参考書が出てくるのはおかしい。
お前が使っている「密度」の定義が問題にされているわけであって、
それに答えられるのはお前自身しかいない。

それとも、お前は自分が使っている言葉の意味も考えずに
質問を繰り返していたのか？

だとしたら、それは数学以前に国語の問題。

898 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 07:59:06

>>873の質問からすると「均一」かどうか知りたがっているようにしか見えないし
おそらく漠然とした直観的なイメージしかないのだろうが
どうしてそんなことを思いついたんだか興味がある

899 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 11:22:53

実数はでこぼこだらけってことだろ。

900 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 11:59:13

でこぼこって何？

901 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 12:02:56

凸凹　でこぼこ
凹凸　おうとつ

902 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 12:16:20

実数の原子の大きさはまちまちってことじゃネエの？

903 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 12:23:19

実数の原子って何？

904 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 12:25:37

数直線と言う連続体の分解不能構成要素ってことだろw

905 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 12:34:44

線素のことかな？

906 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 14:00:06

必死に意図を読み取ろうとするスレ住人のあたたかさに泣いた

907 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 14:11:02

何をどうあがいても、可算無限同士の大小比較をしようっていう
不毛な試みから逃れられない気がするがなあ。
こういう輩は「アキレスの亀」スレででもたむろってればいいのに。

908 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 14:18:54

あふぉは逝ってよし。

909 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 15:30:47

>>907の「こういう輩」は>>873のことね。念のため。

910 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 16:11:41

必死のアホ来たる。

911 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 19:48:14

（誘導されましたんで、こちらで。）

型理論のinductive definitionが、さぱーりわからん。例えばCoqで
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat.
とするだけで、なんで、数学的帰納法が生成されてしまうんだろう？もちろん意味を考えれば
明らかだが、数学的帰納法を生成する原理がわからん。
だれか偉い人、そこら辺をわかりやすく解説している文献教えてくれまいか。

912 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 20:26:47

どっちかというと
意図を読み取ろうとするというよりも、
言葉遊びのようなことばっかり言ってる学生を
戒める指導教官みたいな感じかもｗ

913 ：１３２人目の素数さん：2009/05/22(金) 20:38:51

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic10.htm
こことかはもしかしたら参考になったりしない？
自然数というものの圏論的な定義っぽいけど。

とか適当なことをいってみるテスト

914 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 01:44:26

なんだかλ式だけで十分な気がして北

915 ：911：2009/05/23(土) 10:49:18

>>913
それは私へのレスでしょうか。だとしたら、残念ですが参考にはなりませんでした。
そのサイトでは数学的帰納法についての解説はしていますが、
「自然数の定義からどのようにして帰納法をつくればいいか」
については何も書いていませんでした。Coqではどういう考え方に基づいているのか
それを知りたいのです。他の例で言えば
Inductive Z_btree : Set :=
Z_leaf : Z_btree | Z_bnode : Z -> Z_btree -> Z_btree -> Z_btree.
なる定義に対しては
Z_btree_ind
: forall P : Z_btree -> Prop,
P Z_leaf ->
(forall (z : Z) (z0 : Z_btree),
P z0 -> forall z1 : Z_btree, P z1 -> P (Z_bnode z z0 z1)) ->
forall z : Z_btree, P z
なる帰納法を生成しています。私が知りたいのは、この「帰納法を生成する原理」
なのです。

どなたか、わかりやすい文献ありましたらご紹介お願いします。

916 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 11:17:01

原理って何？

917 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 12:14:10

実数のモナドの大きさはどの程度でしょうか？

918 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 13:19:23

自分独自の概念・用語を持ち込んで
勝手に悩むのは数学苦手児童の典型

919 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 13:29:43

>>918
整合性を保って独自の体系を作り上げたら大したもの。

920 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 13:38:44

できてから来てください

921 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 13:45:57

>>920
皆さんと一緒に作り上げたいようですw

922 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 14:02:22

以下このスレは

　整合性を保って独自の体系を作り上げるスレ

となります

923 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 16:32:05

>>913
電波数学界の雄、Dr,Gの宿命のライバル、Stromdorfさん健在だったんですね(wa

924 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 23:34:12

結局、このスレの住人は、自分で数学を想像する才能はないのかな？

925 ：１３２人目の素数さん：2009/05/23(土) 23:44:35

ネタスレに何を期待しているのか？

926 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 00:20:13

言葉遊びは数学ではなく、その、なんだ
困る

927 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 00:55:00

無邪気さが誉められるのは三歳まで

928 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 01:01:47

三つ子（=三歳児）の魂百までと言いまして

929 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 08:13:33

素人や狂人の思いつきが先人の蓄積を上回るなどと想像できるのは
やっぱり素人や狂人だからだろうねえ

930 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 08:18:32

929人目の凡人さん、お早うご才ます。

931 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 09:56:42

>876,879

図式というのを調べてみたのですが

例えば,
置換公理とは
「任意の集合Aに対して命題P(A,B)が真となるような集合Bが唯一つ存在する
⇒任意の集合Cに対し,D={v;∃u∈C such that P(u,v)}となるような集合Dが存在する。」

ですよね。

これ命題Pは無限個あるから置換公理図式は無限個あると言う解釈なのでしょうか?

でもその場合は図式は無限個ですが公理は1個ですよね。
勘違いしてますか?

932 ：911：2009/05/24(日) 10:24:39

また埋もれそうなんで。
>>911,915
おながいします。それから訂正。
>>915の最後のあたりの「帰納法を生成する原理」は「帰納法を生成する考え方」に読み替えてくださいまし。
原理って言っちゃうとなんか変ですね。

933 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 11:01:13

>>931
逆じゃね？

934 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 11:25:21

考え方って何？

935 ：911：2009/05/24(日) 11:49:00

ううう。じゃあ言い方を変えます。Inductive Typeの基礎をわかりやすく説明している文献をいくつか
ご紹介いただけないでしょうか。

936 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 12:35:21

> 933
>>>931
> 逆じゃね？

「Pを命題とする。任意の集合Cに対し,D={v;∃u∈C such that P(u,v)}となるような集合Dが存在する
⇒任意の集合Aに対してP(A,B)が真となるような集合Bが唯一つ存在する」

でしょうか??

937 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 13:47:23

>>936
逆なのは
>でもその場合は図式は無限個ですが公理は1個ですよね。

図式は1個だが公理は無限個

938 ：933：2009/05/24(日) 14:02:39

>>936
バカじゃね？

939 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 19:38:51

>>915
適当な関手の始代数として理解するのが一番簡単だと思う。

nat は F(X) = 1 + X という関手の始代数。
Z_btree は F(X) = 1 + Z * X * X の始代数。

940 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 20:05:44

公理的集合論は何の役に立つのですか？

941 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 20:12:23

>>940
何か役に立たないといけないですか？

数学の危機辺りの歴史を見直せば、公理的集合論のモチベーションがわかりますよ

942 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 20:38:16

ロジシャン以外は素朴集合論と俗流直観主義で十分じゃね

943 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 20:57:27

>>940
>公理的集合論は何の役に立つのですか？
飯の種になる。

944 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 21:07:56

>>943
本当に飯の種になってるか？
公理的集合論で食えているのか？
というか、数学で飯を食えるのか？

945 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 21:21:40

話の種になる。

946 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 21:36:30

合コンで話の種にしてみました
責任とれ>>945

947 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 21:43:43

種付け失敗かよ？

948 ：911：2009/05/24(日) 22:12:52

>>939
情報提供ありがとうございます。
＞適当な関手の始代数として理解するのが一番簡単だと思う。
とのことですが、２つだけ質問させてください。

＞Z_btree は F(X) = 1 + Z * X * X の始代数。
と理解する場合、>>915のZ_btree_indは、圏論では何になるのでしょうか。

＞適当な関手の始代数として理解する
のにわかりやすい文献を何か教えていただけないでしょうか。ちなみに圏論は基礎くらいしか理解していません。
昔、へびの補題を一般的なアーベル圏で自分なりに証明するためにいくつかの本を読んだくらいです。
とは言いながら、必要な圏論の知識は自分で何とかします。

もし答えていただけるならお願いいたします。

949 ：１３２人目の素数さん：2009/05/24(日) 23:03:32

>>940
数学の他の分野との関係で言えば、
他の分野に対してその理論のモデルを提供するとか、
その無矛盾性をある程度保障するという役割がある。

ただここ三十年とかは（公理的）集合論自体が
（「ロジック」と言うよりも寧ろ）数学の一分野として
発展している、という意味合いのほうが大きいっぽい。

研究してる人たちは、単純にそれ自身が面白いからやってるだけ。

函数解析学は何の役に立つのですか？とか
代数幾何学はなんの役に立つのですか？というのと同じ。
別にこういう分野の研究者は何かに応用したいから研究してるわけじゃないよね。

>>942
直観主義みたいなことを真面目にやりたいなら
形式主義的にやるかやらないかに関わらず、
素朴集合論じゃ通用しないと思う

950 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 00:24:28

>>947
あるよ。
以上。
はい、次。

951 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 00:25:45

えっ

952 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 02:00:21

> 937
>>>936
> 逆なのは
>>でもその場合は図式は無限個ですが公理は1個ですよね。
> 図式は1個だが公理は無限個

でもZFCは一番少ない公理系と聞きましたが、、
無限個の公理系なら少ないもへったくれもないのではないでしょうか?

953 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 02:03:27

馬鹿なのにしつこいなー

954 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 02:08:24

馬鹿は放って置いて、そろそろ次スレの季節だし>>284や>>315で出てたスレタイやテンプレをどうするか決めとかないと

955 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 03:05:53

>>315に賛成

>>1に>>2のテンプレ入れて、
>>2に前スレとかのリンクで

956 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 05:41:19

>>911
X を集合、P(X) を X の冪集合とする。
Γ : P(X) -> P(X) が A⊆B ならば Γ(A)⊆Γ(B) を満たすとする。
このとき、Γ には最小不動点が存在する。

最小不動点を Γ_∞ とすれば、任意の集合 Y に対し、
Γ(Γ_∞∩Y)⊆Y ならば Γ_∞⊆Y となる。

特に、Γ が f_i:X^{n_i} -> X (i∈ I) を用いて、
Γ(A)=A∪ {f_i(A^{n_i}) | i∈ I} と表わすことができる場合を考えれば...

957 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 20:52:26

標準モデルって何？わかり易く厳密におすえて。

958 ：１３２人目の素数さん：2009/05/25(月) 20:53:37

1階の理論のモデルでいいから。

959 ：911：2009/05/25(月) 22:35:19

>>956
ありがとうございます。ところで、>>956のあと、どのようにInductive typeから生成される定数（例えば
>>915のZ_btree_ind）の生成の仕方につながるのでしょうか。概略だけでもどうかお教えください。

960 ：939：2009/05/25(月) 23:24:04

>>948
induction principle を圏の内部で表現するのはかなり大変なんじゃないかと思う。
やればできるんだろうけど、それが理解に繋がるかというと疑問。
inductive definition を数学的に扱う一つの見方として始代数を使う方法があって、
ある程度数学的なバックグラウンドを持ってる人ならそれがわかりやすいかな、
ぐらいのつもりだったので。

文献については自分がどうやって理解したかよく覚えてないし、
少し検索してみたけど残念ながらそれらしいものが見つからなかった。
興味があればこのあたりから探してみると出てくるかも。
http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_algebra

961 ：939：2009/05/25(月) 23:31:07

読み返してみると本当に聞きたいことが何なのか、いまいちよくわからないんだな。
帰納法の生成の仕方はまさに「意味を考えれば明らか」だと思うのだけど。

962 ：１３２人目の素数さん：2009/05/28(木) 00:54:09

>>952
ＢＧなら一個だからそっちの方が少ないって言われてるでしょ

963 ：１３２人目の素数さん：2009/05/28(木) 08:56:18

>>946
EDである。
Q.E.D.

964 ：１３２人目の素数さん：2009/06/05(金) 02:19:46

｛ x | … ｝と｛ x : … ｝　どっち好き？

965 ：１３２人目の素数さん：2009/06/05(金) 04:03:18

>>964
どっちも嫌い。

966 ：１３２人目の素数さん：2009/06/05(金) 23:39:43

自分で公理系作ってみたんですけど
これが証明できれば数学としてある程度の証明能力はありますよというような定理ってありますか？
できればステップ数の少ない物で