ルベーグ積分に関する問題を作り、解け

ルベーグ積分に関する問題を作り、解け

>>1

ルベーグ積分がわからないです。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/

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|　　 /　∨こﾌイj:/ｲ:.!:j;.ｲ:::l:::|./ｨ',ｨ爪 ） 　 　 　 ´ -- 、　|:::::::::.l　　　
|　　,.ｒ＜¨`く.＼ ′ ゝ｛. !:::ﾊ:jﾍ ! ゞ少′　　 　 ,ｨ爪 ) ',. ﾉ:::/::::.|
|`＜_j､__}__,ノ. . .＼　　　l::ﾊ_ﾄ!　　 　 　 　 　 　 ゞ少′jｲ／:::::: |
|ー┘ . . . . . . . . . . ',　　l:i::从　　　　　　　'　　　　 　 彡' ｝:::::::: ′
|. . . . . . . . . . . . . . . } 　 lﾊ::::::＼　 　 　- ， 　　　　　 /イ:::ｉ::::./
| . . . . / . . . . . . . . / 　 　 ヽ{＼i＼　　 　 　 　 　 _,..ｲ:/:i::/!::/　　＜　どっちかなぁ？
| . . . / . . . . . . . . /　　　＿, ____ 丿｀ ー-,--‐ｧ7升イ´j／ jｲ
| . . / . . . . . . . . /　 くて_　ﾉ＜´　　　　　＼____´´
| . / . . . . . . . . /　 ／廴,.ｲ 　 入　　　　　　｀ア＼

ウルトラセブン

問題:
ルベーグ測度を λ とする。任意の区間 I ⊂ R に対して
λ(I∩A)/λ(I) = 1/2 を満たす集合 A ⊂ R を構成せよ。

>>1 は、今週ルベーグの試験をする予定の某大学の教授

>>8
そのようなAは無い

題意を満たすAが存在したとする。x＞0に対してf(x)＝λ(A∩[0,x])＝∫[0,x]1_A(t)dt と
おく。ここで、1_A(t)はAの定義関数である。Aの定義から、f(x)＝(1/2)λ([0,x])＝x/2となる。
これとfが a.e. で微分可能なことから、1_A(x)＝1/2 がa.e. xで成り立つ。ところが
1_A(x)＝0 or 1であるから、矛盾。

自作問題。

[1]次の2つの条件をともに満たす関数f：[0,1]→[0,＋∞)は作れるか？
・fはルベーグ可測関数である。
・0≦a＜b≦1を満たす任意のaとbに対して、∫[a,b]f(x)dx＝＋∞である。
(注意：fの値域は[0,＋∞)にしてあるので、f(x)＝＋∞ (0≦x≦1)のような関数はダメ。)

[2]次の2つの条件をともに満たす関数f：(0,1)→Rは作れるか？
・fは任意の点x∈(0,1)で微分可能である。
・0＜a＜b＜1を満たす任意のaとbについて、fは[a,b]上で有界変動でない。

[2]の方は、作れるのか作れないのか分からない。誰か解いてくだしあ。
もし作れるならば、f ' は任意の0＜a＜b＜1について[a,b]上でルベーグ
可積分でない(すなわち、f '_(＋)の積分もf '_(−)の積分も発散する)。
これに関連して[1]を作った。[1]の方は何とか作れた。

>>11
サンクスです！これで疑問が解決しました。

>>11
すみません、a.e.ってなんですか？

a.e.が分からない人間にこのスレは必要ないだろう

p.p.ならわかるんですけどねえ。

X^2＋Y^2＝9　で定義される円Ｃの内側を、半径１の円Ｄが滑らずに転がるとする。
時刻Tにおいて、Ｄは点（3cosT，3sinT）でＣに接している時、
範囲　０≦Ｔ≦2/3*π（にぶんのさんぱい）において、点Ｐの描く曲線の長さを求めよ

>>17
エピサイクロイドっていうのはわかるんだが

age

>>16

なんだ，からかってただけか…

昔聞いた話だが，るベ積の講義が終了して，試験の時には，
すべてわからなくなっていて，次の問題もできなくなって
いた人がいたという．

ルベーグ積分 ∫_[0,1] x^2 d x を求めよ．

ルベーグの収束定理を証明しなさい。

ディリクレの関数をルベーグ積分で、積分しなさい。
その計算過程も書きなさい。

任意のベール関数をルベール積分で積分しなさい。
また、その計算過程も書きなさい。

ｆ（ｘ）＝３をルベーグ積分で、積分しなさい。

>>21
そうなるのも、なんとなく分かるwwww

そのネタ高木貞治に聞いたってうちの教授が

ディリクレの関数をショケ積分で、積分しなさい。

結局、応用する立場からすれば、
るべーぐ積分を認めてしまえば
0集合上の積分は0
収束定理、フビニの定理が成立する
ってことだけでいいのかな？
実際、黒田の関数解析の付録にはルベーグ積分を如何に定義するかはすっとばして、
ルベーグ積分ではXXの事実が成立するってことだけ紹介して、本書の関数解析はこれで必要十分
って書いてるんだけど

リーマン積分の範囲だと関数空間とみなせない、というところがわからないです。

完備の話があると思うのですが、このあたりの理解も微妙です。
僕の理解だと、「積分を集合論的裏づけのある形で定義できる」ということなのですが、良いですかね？

ストーリーとしてはこういうことです。集合論では、濃度みたいなことを中心に議論をしているわけですよね。
それに対して、位相論の場所では、「距離」みたいなものが問題になってくる。
この中で、二次元だとデカルトの座標の世界だと、すごく直感的に明らかな「距離」なるものが定義できる。
でも、４次元やｎ次元などですと、まるで意味が分からない世界の中に「距離」を定義しないといけないわけですよね。
そういった距離を定義する中で、ベクトル的な議論で距離を定義するとすごく合理的だと。そして、これをベクトル空間（内積空間）と名づけるわけです。

この議論の中で、n→∞とし、「完備性」をいれてやれば、ヒルベルト空間の完成です。
完備性とは、内積空間にコーシー列、つまり、「連続性」を加味してやったものですから、
ヒルベルト空間とは、非常に直感的に明らかな空間なわけです。次元が無限で、その中で普通の演算（掛けたり微分したり）ができる

こういった空間の中で、リーマン積分だと問題が起きるってのがわからないです。
ヒルベルト空間における次元の無限性に何かが引っかかるのですかね？

「会社員」が来てるのか

延々とストーリーを語るうちに自信たっぷりになってきて
壮大なフィナーレかと思いきやいきなり墜落するところにﾜﾗﾀ

勉強しないでワカランと言ってるようにしか見えん

>>32
ただ自己紹介してるだけなんだからそっとしといてやろうぜ

>>14
ほとんどすべて

みゃ、みゃーー

あげ

king

s>0とする．
∫_[0,∞) {(sin x)/x}dx
を求めよ．

ルベーグ積分とジョルダン細胞にはある関係をもつ。また、ζ(3)を
ジョルダン細胞との関係も述べよ。
↑おいらが発見した
価値は皆無だが

>>12
ﾊｧﾊｧ…ちょっと待ってろ

A0:{0,1}→{0,1}
A1:{0,1,2,3}→{0,2,1,3}
A2:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}→{0,4,2,6,4,5,3,7,5,9}
A3:{0〜27}→{0,8,4,12,8,10,6,14,10,18, 14,16,12,14,13,15,11,13,9, 17,13,21,17,19,15,23,19,27}
...
みたいにAiを構成して
fi:(0,1)→Rをfi(n/3^i)=Ai(n)/3^i (n=1,2,...,-1+3^i)となるようなC^∞関数にすれば
関数f1,f2,f3,...の各点収束先の関数fが>>12の[2]を満たさんかね

>>41
その文面では、Aiがどのように作られているのか全然分からないｗあと、
＞関数f1,f2,f3,...の各点収束先の関数fが>>12の[2]を満たさんかね
これはもっと分からない。微分可能な関数列fnの各点収束関数fが再び
微分可能であるとは限らない。各xに対してlim[h→0]{f(x＋h)−f(x)}/h
が存在することを、fiの定義に従って地味に計算するのかな？その場合、
fiがC^∞級であることがどのように効いて来るのか。

>>42
>微分可能であるとは限らない。
限らないのは分かるがなんとなく微分可能な関数になりそうな気がしたんだが
その後確かめてみたら微分不可能な点だらけだったので考え直す

正解じゃないからどういう関数を作るつもりだったのかはまた今度で

リーマン予想を一般化し、解け

>>44
ルベーグ積分に関する問題？

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

949

ここのガウスとかゼウス＝昔大学受験版にいたゼウス。
ちなみに私文。

973

543

うるさい。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。
測度Cauchy列の定義は
「E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]∃K∈N;K<m,n∈N⇒lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0」

殆ど一様収束の定義は
「0<∀ε∈R,E⊃∃Z∈Σ such that μ(Z)=0 且つ f_nはfにE＼Z上で一様収束する」

だと思います。

{f_n}が測度Cauchy列⇒その部分列はあるfに殆ど一様収束する。

を示したく思っています。

[証]
仮定より
E∈Σ,0<∀ε,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0
で「{f_n}が測度Cauchy列なら{f_n}はあるfに測度収束する」という命題があったかと思います。
それから、{f_k}の部分列を{f_(i_k)}とすると、、、、
それからどのようにして証明できますでしょうか?

>>52

＞「{f_n}が測度Cauchy列なら{f_n}はあるfに測度収束する」という命題があったかと思います。

ならコーシー列うんぬんはもう考えなくてもよくて、要するに
f_n→f (測度収束) ⇒ {f_n}のある部分列がfにほとんど一様収束
を示せばいい。

その証明はけっこう骨があるよ。技術的には
f_n→f (測度収束) ⇒ {f_n}のある部分列がfにa.e.収束
の証明とエゴロフの定理の証明を合わせたような証明をする必要がある。

だから最低でもこれら２つの定理の証明は理解している必要があるけど、それは
大丈夫？
（大丈夫だったとしても、>>52のような丁寧さで一から書いていくと本の1ページ分
くらいにはなるから、ここに書く気はしないがｗ。せいぜいヒントくらい。）

>53

> （大丈夫だったとしても、>>52のような丁寧さで一から書いていくと本の1ページ分
> くらいにはなるから、ここに書く気はしないがｗ。せいぜいヒントくらい。）

そんな大変なんですか! 知りませんでした。

>>54
主張を見れば、エゴロフの定理や、測度収束とa.e.収束の関係定理の類似だってことくらい
わかるだろ。そんでそれらの証明はどの教科書にも載ってるんだから、それ見りゃ大体どんな
証明になるかくらいの見当はつくだろ。

そんな基本的な定理も知らずに、調べもせずに、こんな問題解きたがるのはなんでだ？
上の定理を示した章の章末問題とかのはずだぞ？
大学のレポートなら自分でやれ。

質問スレでも、重積分すら知らないレベルでガウス積分の求め方とか聞いてたヤシが
いたが、それと同類だな。

522

207

age

なんか変な問題ｷｳﾞｫﾇ

別に変じゃないけどちょっと答えに驚いた問題
lim[k→∞]∫[0,k]x^n(1-x/k)^kdxを計算せよ

505

>>60
∫[0,∞] x^n exp(-x) dx との差を評価して…できるかな？

というか
どう計算してもルベーグ積分使わない？

age

ルベーグ使えばdominated convergenxe thmですぐ証明できる。
ルベーグ使わなくても幽界閉区間でe^（-z）に一様収束することと
講義積分の定義から直接証明できる。行数は多くなるが。

485

935

とりえずはっとく
ttp://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/inmon.htm

積分記号下微分とルベーグ収束定理を組合わせて、なんかおもしれー問題

ね　え　　　　か　　　　　な　　　？

595

194

532

解析問題ゼミに色々載ってるよ！

age

∫_[0,1] x^2 d x
limΣ2(1-(i/n)^.5)(1/n)
lim2-2(1/n)^1.5Σ(i)^.5
lim2-2(1/n)(2/3)(n)^1.5
2-2(2/3)1
2/3

また無駄な計算をしてしまった。

123

ルベーグ可測な集合Xは
開集合Oと零集合A,BがあってX=(O-A)∪Bと表される
って性質を使うと色々な問題を解くのに役に立つが
教授にいい顔をされない

Gδじゃなくて？

問題ｷｳﾞｫﾇﾙﾌﾞ

>>76
Oは開集合ではなくて、G_δ集合ではなくて？

等測核か？

オォルモスト、エヴィリウェアアゼロォ！