代数的整数論 009

あぼーん

あぼーん

捨て置け捨て置け。
ｸﾏｰはﾄﾘつけてるんだから抽出するか、
あぼーんすりゃいいんだよ。

定義
X を集合とする。
X の部分集合の集合 Γ の任意の有限個の共通部分が空でないとき
Γ は有限交差性を持つと言う。

命題
X を集合とする。
X の部分集合の集合 Γ を含むフィルター(過去スレ006の75)が存在する
ためには Γ が有限交差性(>>395)を持つことが必要十分である。

証明
必要性は明らか。

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。
このフィルター基底から生成されたフィルター(過去スレ006の78)は
Γ を含む。
証明終

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の閉集合からなる
集合 Γ が有限交差性(>>395)をもてば Γ に属す全ての集合の
共通部分が空でないことが必要十分である。

証明
{ X - F | F ∈ Γ } が X の被覆であるためには
∩{ F | F ∈ Γ } が空集合であることが必要十分であることに
注意すればよい。
証明終

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の任意の
フィルター(過去スレ006の75)が接触点(過去スレ006の132)を持つことが
必要十分である。

証明
必要性：
X が準コンパクトであるとし、Ψ を X のフィルターとする。
{ M~ | M ∈ Ψ } は有限交差性(>>395)をもつから >>397 より
Ψ は接触点を持つ。

十分性：
X の任意のフィルターが接触点を持つとする。
X の閉集合からなる集合 Γ が有限交差性を持つとする。
>>396 より Γ を含むフィルター Ψ が存在する。
Ψ は接触点を持つから Γ に属す全ての集合の共通部分は空でない。
>>397 より X は準コンパクトである。
証明終

>>398

{ M~ | M ∈ Ψ } における M~ は M の閉包を表す。

命題
X を集合とする。
X のフィルター(過去スレ006の75) Ψ が極大フィルター(過去スレ006の305)
であるためには次の条件が必要十分である。

N を X の部分集合とする。
全ての M ∈ Ψ に対して M ∩ N ≠ φ であれば N ∈ Ψ

証明
Ψ が極大フィルターとし、全ての M ∈ Ψ に対して
M ∩ N ≠ φ とする。
明らかに Ψ と {N} を含むフィルターが存在する。
これは Ψ と一致するから N ∈ Ψ である。

逆に、Ψ が命題の条件を満たすとする。
Ψ が極大フィルターでなければ Ψ ⊂ Φ となるフィルター Φ で
Ψ ≠ Φ となるものが存在する。N ∈ Φ - Ψ をとれば、
全ての M ∈ Ψ に対して M ∩ N ≠ φ であるが N ∈ Ψ ではない。
これは矛盾である。
証明終

命題
X を位相空間とする。
Ψ を X の極大フィルター(過去スレ006の305)とする。
Ψ の接触点(過去スレ006の132)と極限点(過去スレ006の131)は
同じものである。

証明
>>400 より明らかである。

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の任意の
極大フィルター(過去スレ006の305)が収束することが必要十分である。

証明
X が準コンパクトとし、Ψ を極大フィルターとする。
>>398 より Ψ は接触点を持つ。
>>401 より Ψ は収束する。

逆に、X の任意の極大フィルターが収束するとする。
Ψ を X の任意のフィルターとする。
Zorn の補題より Ψ を含む極大フィルター Φ が存在する。
Φ は収束するから接触点をもつ。よって Ψ も接触点をもつ。
>>398 より X は準コンパクトである。
証明終

命題
X と Y を集合とし、f : X → Y を写像とする。
X の極大フィルター(過去スレ006の75) Ψ に対して
f(Ψ) = { f(M) | M ∈ Ψ } は Y の極大フィルターの基底である。

証明
N を Y の部分集合とする。
全ての M ∈ Ψ に対して f(M) ∩ N ≠ φ とする。
M ∩ f^(-1)(N) ≠ φ であるから >>400 より f^(-1)(N) ∈ Ψ である。
M = f^(-1)(N) とおけば、f(M) ⊂ N である。
即ち、N は f(Ψ) で生成されるフィルターに属す。
>>400 より f(Ψ) は極大フィルターの基底である。
証明終

証明
必要性は明らか。

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。

訂正

>>403
>X の極大フィルター(過去スレ006の75) Ψ に対して

X の極大フィルター(過去スレ006の305) Ψ に対して

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体は

ってどうして？