代数的整数論 009

あぼーん

命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

>>334 の続き。

D は X で稠密だから D ∩ U(x_i) ≠ φ である。
各 D ∩ U(x_i) から点 a_i を選び F = {a_1, ... , a_n } とする。
任意の x ∈ A に対して x ∈ U(x_i) となる i がある。

f ∈ H, g ∈ H で任意の a_i ∈ F に対して (f(a_i), g(a_i)) ∈ W
とすれば
(f(x), f(a_i)) ∈ W^2, (g(a_i), g(x)) ∈ W^2 だったから
(f(x), g(x)) ∈ W^5 ⊂ V である。
証明終

やっと落ち着いて見ることができる。
>>1 によれば、基本的に、レスはしないということだが、
やはり Kummer さんには、がんばってほしい。

Kummer には消えて欲しいｗ

どうやれば１からみれるの

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・Kaczynski, T.J. 1965. Boundary functions for functions defined in a disk. J. Math. and Mech. 14(4):589-612.の結果の一部

Dを複素平面内の単位開円盤、fをDからDへの同相写像とする。Dの境界上の点におけるfの値を、可能なら、円盤内部の点列のlimitで定義する（収束値が確定しない点は除くという意味）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このとき： fは境界上の可算個の点を除いて、Dの閉包の上の連続写像に延長できる。

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Ｖが体Ｋベクトル空間である事を示せって言われたら
∀ａ、∀ｂ∈Ｖ
∀λ、∀μ∈Ｋに対して
λａ＋μｂ∈Ｖ
を示せばいいんですか？それとも更にＶの加法の交換則、結合則、単位元、逆元と
Ｋに対して乗法の交換則、結合則、単位元、逆元がある事を示せばいいのですか？

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>>334 の命題の仮定において X は一様空間でなくてもよかった。
後の参照に不便なので改めて述べる。

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

>>351 の続き。

D は X で稠密だから D ∩ U(x_i) ≠ φ である。
各 D ∩ U(x_i) から点 a_i を選び F = {a_1, ... , a_n } とする。
任意の x ∈ A に対して x ∈ U(x_i) となる i がある。

f ∈ H, g ∈ H で任意の a_i ∈ F に対して (f(a_i), g(a_i)) ∈ W
とすれば
(f(x), f(a_i)) ∈ W^2, (g(a_i), g(x)) ∈ W^2 だったから
(f(x), g(x)) ∈ W^5 ⊂ V である。
証明終

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ｆ（ｘ）＝４^ｘ＋４^（−ｘ）−２^（３＋ｘ）＋２^（３−ｘ）＋１６
の最小値を求める問題なんですが
ｆ（ｘ）＝｛２^ｘ＋２^（−ｘ）｝^２−８｛２^ｘ−２^（−ｘ）｝＋１４
まで求めることはできました。
｛２^ｘ＋２^（−ｘ）｝でくくることもできないし
続きが分からないので教えてください。

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今リッチ曲率の定義調べててふと思ったのですが、
なんでリーマン曲率テンソルが(1,3)にテンソル場なのかがわかりません。

テンソル場の定義から考えておかしいと思います。

そもそもC∞ベクトル場の3個の直積からC∞ベクトル場への写像なのに
テンソルになるのが理解できません。

捩率テンソル場も同様です。これもなんて(1,2)次テンソル場になるのかがわかりません。

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命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。

F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による H の閉包 H~ は
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)による
H の閉包と一致する。

証明
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ C(X, Y) である。

C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包を H' とする。
コンパクト収束の位相は単純収束の位相より細かいから H~ は
コンパクト収束の位相でも閉である。
よって H' ⊂ H~ である。

>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H' は H~ において単純収束の位相で閉である。
よって H' = H~ である。
証明終

定義
位相空間の部分集合 A が X のコンパクト集合に含まれるとき
A を相対コンパクトという。

命題
ハウスドルフ空間 X の部分集合 A が相対コンパクト(>>364)であるためには
A の閉包 A~ がコンパクトであることが必要十分である。

証明
十分なことは明らかである。

A が相対コンパクトなら A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある。
X はハウスドルフだから K は閉集合である。
よって A~ ⊂ K である。A~ はコンパクト集合 K の閉集合だから
コンパクトである。
証明終

Ascoli の定理の一つの証明にはコンパクト空間の積がコンパクトである
というチホノフ(Tychonoff)の定理を使う。
チホノフ(Tychonoff)の定理は周知であるが一応証明しておく。

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http://www.altmc.jp/amc/practicum/calculus/lessons/015/0098.html?homeward=../009/0076.html
ここの「置換して積分」の所を見ていて疑問が湧きました。
dt/dx t=x+√(x^2+1)をxで微分した値に置き換えています。
その後普通に微分を行ってますが、この時にxを無視して微分しています。
t=x+√(x^2+1)なのだからxもtの関数だと思うのですが、なぜ無視してtだけの微分でいいのでしょうか？

あぼーん

単位時間に排出される水の量をdV/dt、単位時間に減少する水面の高さをdhとする。
また、水面の高さhにおいて水面の半径は√hであり、水の量(体積)はV=π(h^2)/2である。
単位時間に断面積aの穴を通過する水の量は(dV/dt)であり、これはa√(2gh)に等しい。
したがって(dV/dt)=(dV/dh)/(dh/dt)=πh(dh/dt)
πh(dh/dt)=a√(2gh)。

・・・これで合ってるか？教えてエロい人！

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