代数的整数論 009

代数的整数論 009
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
#001
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
#002
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
#003
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
#004
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
#005
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
#006
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
#007
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
#008
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/

次の定義は(過去スレ008の554)の拡張である。

定義
K を実数体または複素数体とする。
K 上の分離的で局所凸(過去スレ008の513, 593)な位相線形空間 E は
距離付け可能(過去スレ007の96)で完備なとき Frechet 空間と言う。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。
A の平衡包(過去スレ008の439)の凸包(過去スレ008の431)を
A の凸平衡包と言う。

あぼーん

a

あぼーん

b

何故このスレでこの手の輩が湧くのか

あぼーん

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。

A の凸平衡包(>>3)は Σ(λ_i)x_i の形の元全体である。
ここで (x_i) は A の元の有限列であり、
(λ_i) は K の元の有限列で Σ|λ_i| ≦ 1 となるもの。

証明
A の平衡包(過去スレ008の439)を B とする。
B = ∪{μA | |μ| ≦ 1, μ ∈ K } である。
B の凸包(過去スレ008の431)、即ち A の凸平衡包を Γ とする。
過去スレ008の433より
Γ = {Σ(λ_i)y_i | y_i ∈ B, i = 1, ..., n, λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1}

λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1, |μ_i| ≦ 1, μ_i ∈ K のとき、
Σ|(λ_i)(μ_i)| = Σ(λ_i)|(μ_i)| ≦ Σλ_i = 1
よって、Γ の元は Σ(ν_i)x_i, x_i ∈ A, Σ|ν_i| ≦ 1, ν_i ∈ K
と書ける。

逆に x = Σ(λ_i)x_i, x_i ∈ A, Σ|λ_i| ≦ 1, λ_i ∈ K のとき、
x ∈ Γ を示せばよい。
λ_i が全て 0 なら x = 0 だから x ∈ Γ である。
よって、各 λ_i ≠ 0 と仮定してよい。
h = Σ|λ_i| とおく。0 ＜ h ≦ 1 である。
x/h = Σ(|λ_i|/h)(μ_i)x_i である。
ここで μ_i = (λ_i)/|λ_i|
|μ_i| = 1 だから (μ_i)x_i ∈ B である。
Σ(|λ_i|/h) = 1 だから x/h ∈ B である。
B は平衡的だから x ∈ B である。
証明終

命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E の 0 の閉近傍で平衡的なもの全体は 0 の基本近傍系となる。

証明
V を 0 の任意の近傍とする。
N = ∩μV とおく。ここで μ は |μ| ≧ 1 となる全ての μ ∈ K を
動く。
過去スレ006の631より N は V に含まれる最大の平衡的集合である。
即ち V の平衡核(過去スレ006の632)である。

(λ、x) ∈ K×E に λx ∈ E を対応させる写像は連続であるから
実数 α ＞ 0 と E の 0 の近傍 W が存在して |λ| ＜ α なら
λW ⊂ V となる。
| | は自明でない絶対値だから 0 ＜ |μ| ＜ α となる μ ∈ K が
ある。
|λ| ≦ 1 のとき |λμ| ≦ |μ| ＜ α だから
λμW ⊂ V である。
よって μW ⊂ N である。
μW は 0 の近傍だから N も 0 の近傍である。
V が閉なら N も閉である。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

>>11 は簡単な事実だが位相ベクトル空間論の基本となるものである。
この命題が平衡的集合が位相ベクトル空間において重要になる理由の
一つである。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。
A の凸平衡包(>>3)は平衡的である。

証明
A の凸平衡包を B とする。
>>10 より B の任意の元 x は x = Σ(λ_i)x_i と書ける。
ここで (x_i) は A の元の有限列であり、
(λ_i) は K の元の有限列で Σ|λ_i| ≦ 1 となるもの。

μ ∈ K, |μ| ≦ 1 なら
μx = Σμ(λ_i)x_i であり、Σ|μλ_i| ≦ |μ|Σ|λ_i| ≦ 1
よって μx ∈ B である。
即ち、B は平衡的である。
証明終

次の命題は過去スレ008の454の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
A を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
A の閉包 A~ は平衡的である。

証明
|μ| ≦ 1 に対して写像 f: E → E を f(x) = μx で定義する。
f は連続だから f(A~) ⊂ f(A)~ ⊂ A~ である。
よって、A~ は平衡的である。
証明終

次の命題は過去スレ008の514の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸な位相線形空間(過去スレ008の593)とする。
E の 0 の近傍で樽(過去スレ008の598)となるもの全体は
0 の基本近傍系となる。

証明
0 の任意の近傍 U をとる。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって、0 の閉近傍 V で V ⊂ U となるものがある。
E は局所凸だから 0 の凸近傍 W で W ⊂ V となるものがある。
>>11 より 0 の閉近傍で平衡的な N で N ⊂ W となるものがある。
N の凸包を T とする。T の閉包を S とする。
W は凸だから T ⊂ W である。
V は閉だから S ⊂ V である。
N ⊂ S だから S は 0 の近傍である。
S が樽であることを示せばよい。

>>13 より T は平衡的である。
>>14 より S も平衡的である。
過去スレ008の434 より S は凸である。
過去スレ008の629 より S は吸収的(過去スレ008の628)である。
以上から S は樽である。
証明終

ふむ

前スレ容量オーバーしたの？

Bourbakiを真似て過去スレ008では、まず最初に実数体上の位相線形空間の
基礎的なことを述べた。
しかし、これはあまりいい方法ではなかった。
最初から K を実数体または複素数体として K 上の位相線形空間を扱えば
よかった。
そうすれば、２度手間を防げたし、参照にも便利だった。

次の命題は過去スレ008の511の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。

p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
過去スレ008の599より、p(x) は E の半ノルムである。

V(p, 1) = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } とおく。
p(x) ≦ 1 なら任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (1 + ε)B
よって、(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、V(p, 1) ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかだから V(p, 1) = B
p の一意性は過去スレ008の510 より明らかである。

B が 0 の近傍なら 0 ⊂ U ⊂ B となる開集合 U がある。
任意の ε ＞ 0 に対して εU は 0 の近傍である。
x ∈ U なら p(εx) = εp(x) ≦ ε
よって、p は 0 で連続である。

逆に p が連続なら過去スレ008の474 より B は 0 の近傍である。
証明終

過去スレ008で実数体上の位相線形空間について述べた命題は
そのまま複素数体上の位相線形空間で成り立つ場合が多い。
証明もそのままか、あるいは自明なわずかの修正で成り立つ場合が多い。
よって、以後は特に説明を要する場合を除いて、複素数体上の場合の
命題とその証明を追加することは省略する。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。

X から E への連続写像全体を C(X; E) と書く。
X から E への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(X; E) と書く。

A を X の部分集合としたとき、
{ f ∈ K(X; E) | Supp(f) ⊂ A } を K(X, A; E) と書く。
ここで、Supp(f) は f の台を表す(過去スレ007の671)。

R を実数体としたとき { f ∈ K(X; R) | f ≧ 0 } を K+(X) と書く。

p-adic な位相線型空間論は無いの？

命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクトな部分集合とする。

K(X, K; E) の元 f に f の K への制限 f|K を対応させる
写像は明らかに単射である。K(X, K; E) のこの単射による像は
{ f ∈ C(K; E) | f(K^b)= 0 } と一致する。
ここで K^b は K の X における境界、即ち K^b = K - int(K) である。
ここで、int(K) は K の内部である。

証明
任意の f ∈ K(X, K; E) に対して U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
U は X の開集合で U ⊂ K だから U ⊂ int(K) である。
よって、f(K^b) = 0 である。

逆に、g ∈ C(K; E) で g(K^b) = 0 とする。
f を K において g と一致し、X - K で 0 となる X から E への
写像とする。
f は閉集合 F = X - int(K) 上で定数 0 だから連続である。
f は K 上で g と一致するから勿論連続である。
X = K ∪ F だから f は X 上で連続である。
よって、 f ∈ K(X, K; E) である。
証明終

>>22

世の中に有るか無いかというなら有るでしょう（私はそれについて詳しくはないが）。
このスレシリーズにはあまりない。
しかし、過去スレ006で自明でない絶対値を持つ体上の位相線形空間
について非常に基礎的なことを述べた(例えば687)。
これは p-進数体を扱うところで使用される。

命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクトな部分集合とする。
C(K; E) (>>21) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を入れる。

K(X, K; E) の元 f に f の K への制限 f|K を対応させることにより
K(X, K; E) を C(K; E) の部分集合とみなす。

このとき K(X, K; E) は C(K; E) において閉である。

証明
>>23 より K(X, K; E) = { f ∈ C(K; E) | f(K^b)= 0 } である。

x ∈ K に対して C(K; E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続である。
従って T(x) = { f ∈ C(K; E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K; E) = ∩{T(x) | x ∈ K^b } は閉である。
証明終

定義
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ が次の性質をもつとき Σ を X 上の擬有界族(bornologie)と言う。

1) A ∈ Σ で A' ⊂ A なら A' ∈ Σ
2) A, B ∈ Σ なら A ∪ B ∈ Σ

やあ

クンまー

他にやることないの？

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

432 ：１３２人目の素数さん：2007/11/18(日) 08:20:06
373 名前：１３２人目の素数さん ：2007/10/23(火) 07:52:39
だからさｗ

その糞雑誌とやらに

論文を載せてから、「俺の論文が載るなんて、確かに

糞雑誌だｗｗｗｗｗ」　と言ってみろよ。

俺はCrelle, Math. Zeit, Math. Ann. は制覇したｗ

172 ：１３２人目の素数さん：2007/11/20(火) 13:32:17
数学セミナーでの連載記事
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9704.htm

おいしい数学のつくりかた（谷川晴美）（1997年4月〜1998年3月）

４月：　昼行灯の日常
５月：　星に願いを
６月：　アイドルを追え！
７月：　アイドルを追え！ PART 2
８月：　数学とお見合い
９月：　リベラル
10月：　白馬に乗った王子様
11月：　遠く離れた友達と
12月：　続　遠く離れた友達と
１月：　Livin' on a prayer
２月：　Prayer '98 吉本新喜劇バージョン
３月：　論文達の運命

アイドルとはThrstonのことでした

谷川晴美（1964年生，滋賀県出身）
　京大理・修士，東工大博士，名大多元助手

嫌…何がどうなってるの？

このスレに何の関係があるの？

定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の部分集合 A は 0 の任意の近傍 V により吸収(過去スレ006の628)
されるとき有界という。

即ち、E の部分集合 A は 0 の任意の近傍 V に対して、
ある実数 α ＞ 0 があり |λ| ≧ α なら A ⊂ λV となるとき
有界という。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。

E の部分集合 A が有界であるためには 0 の任意の近傍 V に対して、
A ⊂ λV となる λ ∈ K が存在することが必要十分である。

証明
条件が十分であることを示せばよい。

V を 0 の任意の近傍とする。
>>11 より 0 の近傍 W で平衡的であり、W ⊂ V となるものがある。
A ⊂ λW となる λ ∈ K が存在するとする。
λ = 0 なら A = 0 となり A は有界である。
よって、λ ≠ 0 とする。
|μ| ≧ |λ| なら |λ/μ| ≦ 1 である。
W は平衡的だから (λ/μ)W ⊂ W である。
よって、λW ⊂ μW である。
よって、A ⊂ μW ⊂ μV である。
即ち、A は有界である。
証明終

K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。

F(X, E) に Σ-収束の位相(過去スレ007の150)を入れる。

H を F(X, E) の部分集合とする。
H に対して F(X, E) の Σ-収束の位相から誘導された位相を
Σ-収束の位相と言う。

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　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　/　　●　　　● |　Kummer 頑張れ──！！
　 |　　　　( _●_)　 ミ
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/　＿＿　 ヽノ　/´>　 )
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　|　/　　　 )　 )
　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　 ＼＿)

あぼーん

あぼーん

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

(1) V が平衡的(過去スレ006の630)なら T(M, V) も平衡的である。

(2) V が凸(過去スレ008の424)なら T(M, V) も凸である。

(3) f ∈ H, λ ∈ K, λ ≠ 0 に対して f ∈ λT(M, V) であるためには
f(M) ⊂ λV が必要十分である。

証明
(1) |λ| ≦ 1, f ∈ T(M, V) のとき、λf(M) ⊂ λV ⊂ V

(2) λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1, f ∈ T(M, V), g ∈ T(M, V)
のとき、x ∈ M に対して λf(x) + μg(x) ∈ V である。
よって、λf + μg ∈ T(M, V) である。

(3) f = λg, g ∈ T(M, V) なら f(M) ⊂ λV である。
逆に f(M) ⊂ λV なら (1/λ)f(M) ⊂ V である。
即ち (1/λ)f ∈ T(M, V) である。
よって、f ∈ λT(M, V) である。
証明終

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ｨ彡三ﾐヽ　　｀ヽ　　　　　,ｨﾊミﾐミﾐﾐﾐﾐﾐﾐヽ､|
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　　＿　　　　｀ー―'　i!ﾊ:.:.＼＼_::::::::::::::／:.|　このスレは
彡三ミﾐヽ　　　　　 　 i! ヽ:.:.:.:冫': : :::／,,∠|
彡'　　　ヾ､ 　　　＿ノ i!:::￣二ー:: : ::::ｿ ・ ,|　クマーさんの前妻さんに
　　　　　　｀ー '　　　　{ﾍラ' ・_＞ｼ;ﾃﾂ"''''"|
　,ｨ彡三ﾆﾐヽ　　＿_ノ ヽﾍ｀" 彡' 〈　　　　 |　監視されて
彡'　　　 　 ｀￣　　 　 　 ｀＼　　 ｰ-=ｪっ　|
　　　　　　＿　　＿＿ ノ　 {ﾐ;ヽ､ 　 ⌒　　 |　います
　　　,ｨ彡'　　￣　　　 　 　 ヾミﾐミﾐﾄ-- '　 |
ﾐ三彡'　　　　　　　　／⌒　/￣￣ | : ::::::::::|
　　　　　　 ｨﾆﾆ=- ' 　　 　/　i　　　｀ー-（二つ
　　 　 ,ｨ彡'　　　　　　　　 {　ﾐi　　　　　 （二⊃
　　 //　　　　　　　　／　 l　ﾐii　　　　 　 ト､二)
　彡' 　 　 　 ＿＿,ノ　　　|　ﾐｿ　　　　　:..｀ﾄ-'
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命題
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ に属す集合の有限個の和集合の部分集合全体 Σ' は Σ を含む
最小の擬有界族(>>26)である。

証明
自明である。

定義
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ を含む最小の擬有界族(>>26) Σ' を Σ から生成された
擬有界族という。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ' を Σ から生成された擬有界族(>>44)とする。

F(X, E) の Σ-収束の位相(過去スレ007の150)と
Σ'-収束の位相は一致する。

証明
F(X, E) を F と略す。
X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
W(M, V) = {(f, g) ∈ F×F | 任意の x ∈ M に対して f(x) - g(x) ∈ V}
とおく。

M が Σ の元を動き、V が 0 の近傍を動いたとき W(M, V) の有限個の
共通部分全体が Σ-収束の一様構造の基本近縁系となる
(過去スレ007の155)。

N ⊂ M のとき W(M, V) ⊂ W(N, V)
W(M, V) ∩ W(N, V) = W(M ∪ N, V)
よって、F(X, E) 上の Σ-収束の一様構造と Σ'-収束の一様構造は
一致する。
証明終

命題
K を可換とは限らない体とし、| | を K の自明でない絶対値
(過去スレ006の414, 422)とする。
E を K 上の左加群とする。

E の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき
Φ が 0 の基本近傍全体と一致するような E の位相が
唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相線形空間となる。

1) Φ は E のフィルター基底(過去スレ006の77)である。

2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V

3) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ

4) 任意の V ∈ Φ は吸収的(過去スレ006の628)である。

5) 任意の V ∈ Φ は平衡的(過去スレ006の630)である。

証明
Φが生成するフィルターを Φ' とする。
Φ' を過去スレ006の636に適用すれば明らかである。

訂正

>>15
>過去スレ008の629 より S は吸収的(過去スレ008の628)である。

過去スレ006の629 より S は吸収的(過去スレ006の628)である。

命題
K を可換とは限らない体とし、| | を K の自明でない絶対値
(過去スレ006の414, 422)とする。
E を K 上の左加群とする。

A を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
任意の x ∈ E に対して x ∈ λA となる λ ∈ K が存在するなら
A は吸収的(過去スレ006の628)である。

証明
任意の x ∈ E に対して x ∈ λA となる λ ∈ K, λ ≠ 0 が
存在するとする。

A は平衡的だから 0 ∈ A である。
x = 0 なら λ = 1 としてよい。
x ≠ 0 なら λ ≠ 0 である。
いずれの場合も |λ| ＞ 0 である。

|μ| ≧ |λ| なら |μ^(-1)λ| ≦ 1 である。
A は平衡的だから (μ^(-1)λ)A ⊂ A
よって、λA ⊂ μA
よって、x ∈ μA
即ち、A は平衡的である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。

任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)であれば
H 上の Σ-収束の位相(>>37)により H は K 上の位相線形空間となる。

さらに E が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば H も局所凸である。

証明
>>45 より Σ は擬有界族(>>44)と仮定してよい。

X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

0 の平衡的な近傍全体を Ψ とおく。
M として Σ の元を動かし、V として Ψ の元を動かしたときの
T(M, V) の全体を Φ とおく。

M ∈ Σ, N ∈ Σ とし V ∈ Ψ, W ∈ Ψ とする。
T(M, V) ∩ T(N, W) ⊃ T(M, V ∩ W) ∩ T(N, V ∩ W) = T(M ∪ N, V ∩ W) であり、
V ∩ W は平衡的である。
M ∪ N ∈ Σ だから Φ はフィルター基底(過去スレ006の77)である。

(続く)

>>49 の続き。

>>11 より Ψ は 0 の基本近傍系となる。
よって任意の V ∈ Ψ に対して W + W ⊂ V となる W ∈ Ψ がある。
任意の M ∈ Σ に対して T(M, W) + T(M, W) ⊂ T(M, V) である。

>>41 の (3) より任意の T(M, V) ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に
対して λT(M, V) = T(M, λV) である。
λV は平衡的だから λT(M, V) ∈ Φ である。

>>41 の (3) と >>48 より Φ の各元は吸収的である。
>>41 の (1) より Φ の各元は平衡的である。

以上から Φ は >>46 の条件をすべて満たす。
従って、>>46 より Φ が 0 の基本近傍全体と一致するような E の位相が
唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相線形空間となる。
この位相は明らかにΣ-収束の位相である。
証明終

>>50 の補足。

>>41 の (2) より E が局所凸であれば H も局所凸である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
f: E → F を連続な線形写像とする。
M が有界(>>35)な E の部分集合であれば f(M) も有界である。

証明
V を F の 0 の近傍とする。
f^(-1)(V) は E の 0 の近傍である。

M は有界だから M ⊂ λf^(-1)(V) となる λ ∈ K がある。
従って、x ∈ M に対して x = λy となる y ∈ f^(-1)(V) がある。
f(x) = λf(y) ∈ λV である。
よって、f(M) ⊂ λV である。
>>36 より f(M) は有界である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。

Σ-収束の位相(>>37)により L(E, F) は K 上の位相線形空間となる。
さらに F が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば L(E, F) も
局所凸である。

証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界(>>35)である。
よって、>>49 より本命題の主張が得られる。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸(過去スレ008の513と593)な位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)である
とする。

>>49 より Σ-収束の位相により H は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。

過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。

p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ H に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は H 上の半ノルムである。

Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
H の位相は Ω により定義される。

証明
p_M が半ノルムであることは明らかである。
E の部分集合 M と F の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

(続く)

>>54 の続き。

任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。



M ∈ Σ_1 に対して
T(M, V(p, α)) = { f ∈ H | p_M(f) ≦ α } である。

過去スレ008の471 より p_1, . . ., p_n を Γ の有限列、
α_i ＞ 0, i = 1, . . . , n としたとき、
∩V(p_i, α_i) 全体は Γ により定義される位相に関して
0 の基本近傍系である。

明らかに ∩V(p_i, α_i) は平衡的である。

M ∈ Σ_1, N ∈ Σ_1 に対して
T(M, ∩V(p_i, α_i)) = ∩T(M, V(p_i, α_i))
T(M, V(p_i, α_i)) ∩ T(N, V(p_i, α_i)) = T(M ∪ N, V(p_i, α_i))
である。
従って、H の位相は Ω により定義される。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間で、F は 局所凸(過去スレ008の513と593)
とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。

>>53 より Σ-収束の位相により L(E, F) は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。

過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
F の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。

p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ L(E, F) に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は L(E, F) 上の半ノルムである。

Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
L(E, F) の位相は Ω により定義される。

証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界である。
よって、>>54 より本命題の主張が得られる。
証明終

K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。

Σ_s を E の有限部分集合の全体とする。
L(E, F) のΣ-収束の位相(>>37)は単純収束の位相と呼ばれる。

Σ_b を E の有界部分集合の全体とする。
L(E, F) のΣ-収束の位相は有界収束の位相と呼ばれる。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間で、E の位相は半ノルムの集合 Γ により
定義される(過去スレ008の469)とする。

A を E の部分集合とする。
A が有界(>>35)であるためには、任意の p ∈ Γ が A で有界である
ことが必要十分である。

証明
任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。

A が有界なら任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
λ ∈ K で A ⊂ λV(p, α) となるものが存在する。
x ∈ V(p, α) なら p(λx) = |λ|p(x) ≦ |λ|α
よって p は A で有界である。

逆に任意の p ∈ Γ が A で有界であるとする。
任意の p ∈ Γ に対して、A ⊂ V(p, β) となる β ＞ 0 が存在する。
任意の α ＞ 0 に対して、V(p, β) = (β/α)V(p, α) である。
よって、>>36 より A は有界である。
証明終

よかった　kummer相変わらず　ホッ

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次の命題の証明は過去スレ008の462で述べたように過去スレ006の562の
証明とまったく同じである。
しかし、その証明は計算的で少し不透明なので別証明を述べる。

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K-左加群とし、p を E の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
p により定義される一様構造(過去スレ008の461)により
E は K 上の位相線形空間になる。

証明
実数 α ＞ 0 に対して V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。
1) α ＞ 0, β ＞ 0 に対して
V(p, min(α, β)) ⊂ V(p, α) ∩ V(p, β)

2) α ＞ 0 に対して V(p, α/2) + V(p, α/2) ⊂ V(p, α)

3) 任意の α ＞ 0 と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して
λV(p, α) = V(p, |λ|α)

4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
|λ| ≧ p(x)/α, λ ≠ 0 なら x ∈ (1/λ)V(p, α)
即ち V(p, α) は吸収的である。

5) 任意の α ＞ 0 に対して、|λ| ≦ 1 で p(x) ≦ α なら
p(λx) = |λ|p(x) ≦ α であるから λV(p, α) ⊂ V(p, α) である。
即ち、V(p, α) は平衡的である。

以上から過去スレ006の636より V(p, α) 全体を 0 の基本近傍系と
する位相により E はK 上の位相線形空間となる。
証明終

訂正

>>61
>4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
>|λ| ≧ p(x)/α, λ ≠ 0 なら x ∈ (1/λ)V(p, α)
>即ち V(p, α) は吸収的である。

4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
|λ| ≧ p(x)/α なら x ∈ λV(p, α)
即ち V(p, α) は吸収的である。

定義
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K-左加群とし、p を E の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
>>61 から p で定義される位相により E は K 上の位相線形空間になる。
この位相線形空間 E を半ノルム空間と言う。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の半ノルム空間(>>63)とし、p, q をそれぞれ E, F の
半ノルムとする。L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
f ∈ L(E, F) に対して r(f) = sup{q(f(x))|x ∈ E, p(x) ≦ 1} とおく。
r は L(E, F) の半ノルムであり r が定める位相は
有界収束の位相(>>57)と一致する。

証明
>>58 より M が有界であるためには、p が M で有界である
ことが必要十分である。

実数 α ＞ 0 に対して
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α }
V(q, α) = { x ∈ F | q(x) ≦ β } とおく。
E の部分集合 M が有界なら
ある実数 α ＞ 0 に対してM ⊂ V(p, α) となる。

E の部分集合 M と F の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ L(E, F) | f(M) ⊂ V } とおく。
L(E, F) の有界収束の位相は M を E の任意の有界な部分集合を動かし
V を F の 0 の任意の近傍を動かしたときの T(M, V) 全体を 0 の
基本近傍系とする。
よって、実数 α ＞ 0, β ＞ 0 に対して
T(V(p, α), V(q, β)) の全体が L(E, F) の 0 の基本近傍系である。
T(V(p, α), V(q, β))
= { f ∈ L(E, F) | p(x) ≦ α なら q(f(x)) ≦ β }
= { f ∈ L(E, F) | p(x/α) ≦ 1 なら (1/α)q(f(x)) ≦ β/α }
= { f ∈ L(E, F) | p(x/α) ≦ 1 なら q(f(x/α)) ≦ β/α }
= { f ∈ L(E, F) | r(f) ≦ β/α }
よって L(E, F) の位相は r で定義される。
証明終

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
L(E, K) を E から K への連続な線形写像全体とする。
L(E, K) を E の双対(dual)と言う。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。

E' の単純収束の位相(>>57)を E' の弱位相と言う。
E' の有界収束の位相(>>57)を E' の強位相と言う。

位相線形空間の双対(>>57)については Hahn-Banach の定理が
基本的である。これについては過去スレ006の769で E がノルム空間の
場合に証明した。
ここでは Bourbaki に従ってそれをやや拡張して述べる。
準備として凸垂と凸関数、前順序線形空間などについて述べる。

>>67
>位相線形空間の双対(>>57)については Hahn-Banach の定理が

位相線形空間の双対(>>65)については Hahn-Banach の定理が

>>67
>>準備として凸垂と凸関数、前順序線形空間などについて述べる。

準備として凸錘と凸関数、前順序線形空間などについて述べる。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の部分集合 C は 任意の実数 λ ＞ 0 に対して λC ⊂ C となるとき
0 を頂点とする錘、または単に錘と言う。
空集合は錘である。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の錘(>>70) C は 0 ∈ C のとき頂点付きの錘(pointed cone)と言う。
0 ∈ C でないとき頂点を除いた錘と言う。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の錘(>>70) で凸(過去スレ008の424)なものを凸錘(convex cone)と言う。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の頂点付き凸錘(>>71, >>72)が 0 を通る実直線を含まないとき、
尖った(salient)頂点付き凸錘と言う。

ここで、0 を通る実直線とは E の部分集合
{ λx | x ≠ 0 は E のある元。λ ∈ R } のことである。

線形空間 E の頂点付き凸錘が重要な理由の一つは、それによって E に
前順序線形空間の構造を定義出来ることから来る。

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
E の前順序(過去スレ008の139) ≦ が次の条件を満たすとき
E を前順序線形空間と言う。
この前順序が順序のときは Eを順序線形空間と言う。

(1) x ≦ y, x ∈ E, y ∈ E なら任意の z ∈ E に対して
x + z ≦ y + z

(2) 任意の x ≧ 0, x ∈ E と任意の λ ≧ 0, λ ∈ R に対して
λx ≧ 0

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
C を E の錘(>>70)とする。
任意の λ ＞ 0 に対して λC = C である。

証明
C は錘だから、任意の λ ＞ 0 に対して λC ⊂ C である。
(1/λ)C ⊂ C であるから C ⊂ λC である。
よって λC = C である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
E の部分集合 C が凸錘であるためには

(1) C + C ⊂ C
(2) 任意の λ ＞ 0 に対して λC ⊂ C となる

ことが必要十分である。

証明
必要性：
C が凸錘であるとする。
C は凸だから (1/2)C + (1/2)C ⊂ C である。
>>76 より (1/2)C = C だから C + C ⊂ C
C は錘だから (2) が成り立つ。

十分性：
(1) と (2) が成り立つとする。
(2) から C は錘である。
任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して >>76 より
λC + (1 - λ)C = C + C ⊂ C
よって C は凸である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。
P = { x ∈ E | x ≧ 0 } とおく。
P は頂点付き凸錘(>>71, >>72)である。

証明
次の (1) と (2) が成り立つことは定義(>>75)から明らかである。

(1) P + P ⊂ P
(2) 任意の λ ＞ 0 に対して λP ⊂ P となる

よって >>77 より P は凸錘である。
0 ∈ P だから P は頂点付きである。
証明終

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
P を E の頂点付き凸錘(>>71, >>72)とする。
E の元 x, y の関係 x ≦ y を y - x ∈ P で定義する。
≦ は E の前順序であり E はこの前順序で前順序線形空間(>>75)となる。
このとき、P = { x ∈ E | x ≧ 0 } である。

証明
>>77 より

(1) P + P ⊂ P
(2) 任意の λ ＞ 0 に対して λP ⊂ P
となる

x ≦ y, y ≦ z とする。
z - x = (z - y) + (y - x) ∈ P + P ⊂ P
よって x ≦ z である。

P は頂点付きだから 0 ∈ P である。
よって任意の x ∈ E に対して x ≦ x である。
以上から ≦ は前順序である。

x ≦ y なら 任意の z に対して (y + z) - (x + z) = y - x ∈ P
よって x + z ≦ y + z
(2) から x ≧ 0 なら λ ＞ 0 に対して λx ≧ 0
よって E は前順序線形空間である。

P = { x ∈ E | x ≧ 0 } は明らかである。
証明終

補題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
C を E の頂点付き凸錘(>>71, >>72)とする。
W = C ∩ (-C) は C に含まれる最大の線形部分空間である。

証明
0 ∈ W だから W は空でない。
>>76 より、任意の λ ＞ 0 に対して λC = C である。
よって λ(-C) = -C である。
よって λW = W である。
任意の μ ＜ 0 に対して -μ ＞ 0 だから μ(-C) = μ(-C) である。
よって μC = C である。
よって μW = W である。

一方、W + W ⊂ (C + C) ∩ -(C + C) ⊂ C ∩ -C = W
よって W は E の線形部分空間である。

C に含まれる線形部分空間は -C にも含まれるから W にも含まれる。
証明終

命題
E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。
P = { x ∈ E | x ≧ 0 } とおく。
>>78 より P は頂点付き凸錘(>>71, >>72)である。

E の前順序が順序であるためには P が尖っている(>>73)ことが
必要十分である。

証明
E の前順序が順序であるためには P ∩ -P = 0 が必要十分である。

>>80 より P ∩ -P は P に含まれる最大の線形部分空間である。
よって、P が尖っているためには P ∩ -P = 0 が必要十分である。
証明終

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
X を E の凸部分集合とする。
f : X → R を写像とする。

X の２元 x ≠ y と任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(λx + (1 - λ)y) ≦ λf(x) + (1 - λ)f(y)
となるとき、f を広義の凸関数または単に凸関数と言う。

f(λx + (1 - λ)y) ＜ λf(x) + (1 - λ)f(y)
となるとき、f を狭義の凸関数と言う。

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
X を E の凸部分集合とする。
f : X → R を写像とする。

-f が広義の凸関数(>>82)のとき f を広義の凹関数または単に
凹関数と言う。
-f が狭義の凸関数のとき f を狭義の凹関数と言う。

言い換えると、
X の２元 x ≠ y と任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(λx + (1 - λ)y) ≧ λf(x) + (1 - λ)f(y)
となるとき、f を広義の凹関数または単に凹関数と言う。

f(λx + (1 - λ)y) ＞ λf(x) + (1 - λ)f(y)
となるとき、f を狭義の凹関数と言う。

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
X を E の凸部分集合とする。
f : X → R を写像とする。
f が同時に凸関数(>>82)で凹関数(>>83)のとき f をアフィン関数と言う。

言い換えると、
X の２元 x ≠ y と任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(λx + (1 - λ)y) = λf(x) + (1 - λ)f(y)
となるとき、f をアフィン関数と言う。

凸関数と凸集合には次の関係がある。

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
X を E の凸部分集合とする。
f : X → R を写像とする。
以下の条件は同値である。

(1) f は凸関数(>>82)である。

(2) F = { (x, a) ∈ X × R | f(x) ≦ a } は凸集合である。

(3) F' = { (x, a) ∈ X × R | f(x) ＜ a } は凸集合である。

証明
(1) ⇒ (3)
(x, a) ∈ F', (y, b) ∈ F', 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(λx + (1 - λ)y) ≦ λf(x) + (1 - λ)f(y) ＜ λa + (1 - λ)b
よって
λ(x, a) + (1 - λ)(y, b) = (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b) ∈ F'
即ち、F' は凸集合である。

(3) ⇒ (2)
(x, a) ∈ F, (y, b) ∈ F, 0 ＜ λ ＜ 1 とする。
任意のε ＞ 0 に対して
(x, a + ε) ∈ F', (y, b + ε) ∈ F' である。
λ(x, a + ε) + (1 - λ)(y, b + ε)
= (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b + λε + (1 - λ)ε)
= (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b + ε) ∈ F'
よって、f(λx + (1 - λ)y) ＜ λa + (1 - λ)b + ε
よって、f(λx + (1 - λ)y) ≦ λa + (1 - λ)b
即ち、λ(x, a) + (1 - λ)(y, b) ∈ F である。
よって、F は凸集合である。
(続く)

>>86 の続き。

(2) ⇒ (1)
X の２元 x ≠ y と任意の 0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f(x) ≦ a, f(y) ≦ b となる a, b を任意に取る。
(x, a) ∈ F, (y, b) ∈ F だから
λ(x, a) + (1 - λ)(y, b) = (λx + (1 - λ)y, λa + (1 - λ)b) ∈ F
よって、f(λx + (1 - λ)y) ≦ λa + (1 - λ)b
よって、f(λx + (1 - λ)y) ≦ λf(x) + (1 - λ)f(y)
証明終

定義
E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。
f : E → R を線形写像で任意の x ≧ 0 に対して f(x) ≧ 0 とする。
このとき f を E 上の正の線形形式と言う。

補題
E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。
V を E の線形部分空間で E の任意の元 x に対して
x ≦ y となる y ∈ V が存在するとする。
f を V 上の正の線形形式(>>88) とする。
a を E の元で V に含まれないものとする。
f は V + Ra 上の正の線形形式 h に拡張される。

証明
a は V に含まれないから V + Ra の元は x + λa, x ∈ V, λ ∈ R の
形に一意に書ける。
V + Ra 上の線形形式 h が f の拡張であれば、
x ∈ V, λ ∈ R のとき h(x + λa) = f(x) + λh(a) となる。
よって、
x + λa ≧ 0 のとき f(x) + λh(a) ≧ 0 となるように h(a) を
選べればよい。

これは、λ = 0 のときは明らかであるから、λ ≠ 0 としてよい。
λ ＞ 0 のとき f(x) + λh(a) ≧ 0 は f(x/λ) + h(a) ≧ 0 と
同値である。x は任意だから、これは f(x) + h(a) ≧ 0 と同値である。
即ち f(x) ≦ h(a) と同値である。
λ ＜ 0 のとき f(x) + λh(a) ≧ 0 は f(x/λ) + h(a) ≦ 0 と
同値である。x は任意だから、これは f(x) + h(a) ≦ 0 と同値である。
即ち h(a) ≦ f(x) と同値である。
以上から、任意の x ∈ V と 任意の y ∈ V に対して、
f(x) ≦ h(a) ≦ f(y) となるように h(a) が選べればよい。

(続く)

>>89 の続き。

A = { x ∈ V | x ≦ a } とおく。
-a ≦ x となる x ∈ V があるから -x ≦ a となって A は空でない。

B = { x ∈ V | a ≦ x } とおく。
仮定から B は空でない。

x ∈ A, y ∈ B のとき x ≦ a ≦ y である。
f は正の線形形式だから、f(x) ≦ f(y) となる。
よって α = sup{ f(x) | x ∈ A } と β = inf{ f(x) | x ∈ B } は
有限であり、α ≦ β である。
区間 [α, β] の任意の元 γ に対して h(a) = γ とおけばよい。
証明終

命題
E を実数体 R 上の前順序線形空間(>>75)とする。
V を E の線形部分空間で E の任意の元 x に対して
x ≦ y となる y ∈ V が存在するとする。
f を V 上の正の線形形式(>>88) とする。
f は E 上の正の線形形式 h に拡張される。

証明
V を含む E の線形部分空間 W と W 上で定義された正の線形形式 g で
f の拡張になっているものの対 (W, g) 全体の集合を Φ とおく。
Φ の順序 (W, g) ≦ (W', g') を W ⊂ W' で g' が g の拡張である
として定義する。
明らかに Φ は帰納的な集合であるから Zorn の補題により Φ には
極大元 (Z, h) が存在する。
E ≠ Z と仮定する。
a を E の元で V に含まれないものとする。
>>89 より h は V + Ra 上の正の線形形式 h' に拡張される。
これは (Z, h) が極大であることに反する。
よって E = Z である。
証明終

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p : E → R を写像で任意の x ∈ E と任意の λ ≧ 0 に対して
p(λx) = λp(x) とする。
このとき p を E 上の正の半同次形式と言う。

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E 上の正の半同次形式(>>92)とする。

p が凸(>>82)であるためには
任意の x ∈ E, y ∈ E に対して
p(x + y) ≦ p(x) + p(y) となることが必要十分である。

証明
必要性：
p が凸であるとする。
任意の x ∈ E, y ∈ E に対して
p((1/2)x + (1/2)y) ≦ (1/2)p(x) + (1/2)p(y) となる。
よって (1/2)p(x + y) ≦ (1/2)(p(x) + p(y))
よって p(x + y) ≦ p(x) + p(y)

十分性：
任意の x ∈ E, y ∈ E に対して
p(x + y) ≦ p(x) + p(y) となるとする。

0 ＜ λ ＜ 1 に対して
p(λx + (1 - λ)y) ≦ p(λx) + p((1 - λ)y) = λp(x) + (1 - λ)p(y)
よって、p は凸である。
証明終

定義
E を実数体 R 上の線形空間とする。
E 上の正の半同次形式(>>92)で凸(>>82)であるものを劣線形形式
(sublinear form)または劣線形関数と言う。

定理(Hahn-Banachの定理の解析版)
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E 上の劣線形関数(>>94)とする。
V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で
任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ p(y) とする。
このとき E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。

証明
P = { (x, a) ∈ E × R | p(x) ≦ a } とおく。
>>86 より P は R 上の線形空間 E × R の 凸部分集合である。
P は明らかに頂点付き錘(>>71)である。
>>79 より E × R の元 (x, a), (y, b) の関係 (x, a) ≦ (y, b) を
(y, b) - (x, a) ∈ P で定義することにより E × R は
前順序線形空間となる。

(y, a) ∈ V × R のとき g(y, a) = a - f(y) とおく。
(y, a) ∈ (V × R) ∩ P のとき f(y) ≦ p(y) ≦ a であるから
g(y, a) = a - f(y) ≧ 0
よって g は V × R 上の正の線形形式(>>88)である。

任意の (x, a) ∈ E × R に対して b ≧ p(-x) + a となる b ∈ R を
とる。(x, a) ≦ (0, b) であり (0, b) ∈ V × R である。
よって、>>91 より g は E 上の正の線形形式 u に拡張される。
a ∈ R のとき (0, a) ∈ V × R だから u(0. a) = g(0, a) = a
よって任意の (x, a) ∈ E × R に対して
u(x. a) = u((x, 0) + (0, a)) = u(x, 0) + u(0. a) = u(x, 0) + a
h(x) = -u(x, 0) とおけば h は E 上の線形形式であり、
u(x. a) = a - h(x) である。よって h は f の拡張である。
u は正の線形形式だから p(x) ≦ a のとき h(x) ≦ a である。
よって h(x) ≦ p(x) である。
証明終

>>95 の証明は Bourbaki による。
私の個人的な感じだが、この証明は綺麗だがなんとなく
キツネにつままれたような気がしないでもない。
間接的な証明だからかもしれない。
そこで直接的な証明をすることにする。
これは過去スレ006の768と本質的には同じである。

>>95 を証明する前段階として、次の補題を証明する。

補題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E 上の劣線形関数(>>94)とする。
V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で
任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ p(y) とする。
a ∈ E - V に対して L = V + Ra とおく。
このとき L 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ L に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。

この証明を述べる前に、その方針を述べる。

λ ≠ 0 のとき、任意の x ∈ V に対して
f(x) + λh(a) ≦ p(x + λa) となるように h(a) を定めればよい。

λ ＞ 0 のとき両辺に 1/λ を掛けて
f((1/λ)x) + h(a) ≦ p((1/λ)x + a)
y = (1/λ)x とおくと、f(y) + h(a) ≦ p(y + a)
即ち h(a) ≦ p(y + a) - f(x)

λ ＜ 0 のとき両辺に -(1/λ) を掛けて
f(-(1/λ)x) - h(a) ≦ p(-(1/λ)x - a)
z = -(1/λ)x とおくと、f(z) - h(a) ≦ p(z - a)
即ち f(z) - p(z - a) ≦ h(a)

よって f(z) - p(z - a) ≦ h(a) ≦ p(y + a) - f(y)
よって f(z) - p(z - a) ≦ p(y + a) - f(y)
即ち f(y) + f(z) ≦ p(y + a) + p(z - a) を示せばよい。
これは
f(y + z) ≦ p(y + z) = p((y + a) + (z - a)) ≦ p(y + a) + p(z - a)
より出る。

補題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E 上の劣線形関数(>>94)とする。
V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で
任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ p(y) とする。
a ∈ E - V に対して L = V + Ra とおく。
このとき L 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ L に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。

証明
任意の y ∈ V と任意の z ∈ V に対して
f(y + z) ≦ p(y + z) = p((y + a) + (z - a)) ≦ p(y + a) + p(z - a)
よって f(y) + f(z) ≦ p(y + a) + p(z - a)
よって f(z) - p(z - a) ≦ p(y + a) - f(y)

よって、
α = sup { f(z) - p(z - a) | z ∈ V }
β = inf { p(y + a) - f(y) | y ∈ V }
とおくと α と β は有限であり、α ≦ β である。
α ≦ h(a) ≦ β となるように h(a) を選ぶ。
任意の x ∈ V と λ ∈ R に対して h(x) = f(x) + λh(a) とおく。
>>97 で示したように f(x) + λh(a) ≦ p(x + λa) となる。
証明終

Hahn-Banachの定理の解析版(>>95)の別証

V を含む E の線形部分空間 W と W 上で定義された線形形式 g で
f の拡張であり、任意の y ∈ W に対して g(y) ≦ p(y) と
なっているものの対 (W, g) 全体の集合を Φ とおく。
Φ の順序 (W, g) ≦ (W', g') を W ⊂ W' で g' が g の拡張である
として定義する。
明らかに Φ は帰納的な集合であるから Zorn の補題により Φ には
極大元 (Z, h) が存在する。
E ≠ Z と仮定する。
a を E の元で V に含まれないものとする。
>>98 より h は V + Ra 上の線形形式 h' で
任意の y ∈ V + Ra に対して h'(y) ≦ p(y) となるもの
に拡張される。
これは (Z, h) が極大であることに反する。
よって E = Z である。
証明終

Hahn-Banachの定理の証明は >>95 も >>99 も実数体の順序構造の性質
に依存していることに注意しておく。
即ち、この定理は本質的に実線形空間の定理であると考えられる。

Hahn-Banachの定理の解析版(>>95)の系１

E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で
任意の y ∈ V に対して |f(y)| ≦ p(y) とする。
このとき E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) となるものがある。

証明
半ノルムは劣線形関数(>>94)である。
任意の y ∈ V に対して f(y) ≦ |f(y)| ≦ p(y) であるから
Hahn-Banachの定理の解析版(>>95) より
E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して h(x) ≦ p(x) となるものがある。
h(-x) ≦ p(-x) = p(x) であるから
h(x) ≧ -p(x) である。
よって、|h(x)| ≦ p(x) である。
証明終

命題
E を複素数体 C 上の線形空間とする。
Hom(E, C) を E から C への C 上の線形写像全体の集合とする。
Hom(E, R) を E から実数体 R への R 上の線形写像全体の集合とする。

f ∈ Hom(E, C) に対して Re(f) を f の実部とする。
即ち x ∈ E に対して Re(f)(x) = Re(f(x)) である。
Re(f) は明らかに Hom(E, R) の元である。

このとき f に Re(f) を対応させる写像 Re : Hom(E, C) → Hom(E, R) は
全単射である。

証明
f ∈ Hom(E, C) に対して g = Re(f) を f の実部、
h = Im(f) を f の虚部とする。
f = g + ih である。
即ち x ∈ E に対して f(x) = g(x) + ih(x) である。
f(ix) = if(x) であるから
g(ix) + ih(ix) = -h(x) + ig(x) である。
よって h(x) = -g(ix) である。
よって f(x) = g(x) - ig(ix) である。

逆に g ∈ Hom(E, R) に対して f(x) = g(x) - ig(ix) とおけば、
f(ix) = g(ix) + ig(x) = if(x) であるから f ∈ Hom(E, C) である。
この f を Γ(g) と書けば Re と Γ は互いに逆写像である。
証明終

>>102 を使って >>101 を複素線形空間の定理に拡張出来る。

定理(Hahn-Banach)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で
任意の y ∈ V に対して |f(y)| ≦ p(y) とする。
このとき E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) となるものがある。

証明
K = R のときは >>101 で証明されているから K = C としてよい。
Re(f) を f の実部とする。
任意の y ∈ V に対して |Re(f)(y)| ≦ |f(y)| ≦ p(y) である。
よって、>>101 より E 上の線形形式 g で f の拡張であり
|g(x)| ≦ p(x) となるものがある。
>>102 より h(x) = g(x) - ig(ix) は Hom(E, C) の元であり、
f の拡張である。

任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) を示せばよい。
h(x) = 0 ならこの不等式は明らかであるから h(x) ≠ 0 とする。

任意の実数 θ に対して λ = exp(iθ) とおく。
p(λx) = |λ|p(x) = p(x) であることに注意する。

|Re(λh(x))| = |Re(h(λx))| = |Re(g(λx))| ≦ p(λx) = p(x)

h(x) の偏角を θ とすれば h(x) = |h(x)|exp(iθ)である。
λ = exp(-iθ) とすれば λh(x) = |h(x)| である。
よって Re(λh(x)) = |h(x)|
よって上の不等式から |h(x)| ≦ p(x) である。
証明終

訂正

>>104
>よって、>>101 より E 上の線形形式 g で f の拡張であり
>|g(x)| ≦ p(x) となるものがある。

よって、>>101 より E 上の実線形形式 g で Re(f) の拡張であり
|g(x)| ≦ p(x) となるものがある。

命題(>>104 の系１)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
x_0 を E の点とする。
このとき E 上の線形形式 f で f(x_0) = p(x_0) で、
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。

証明
x_0 で生成される E の線形部分空間を V とする。
V 上の線形形式 g を g(x_0) = p(x_0) で定義する。
即ち、任意の λ ∈ K に対して g(λx_0) = λp(x_0) である。
|g(λx_0)| = |λp(x_0)| = |λ|p(x_0) = p(λx_0) である。
よって >>104 より E 上の線形形式 f で g の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
f(x_0) = g(x_0) = p(x_0) である。
証明終

訂正

>>104
>|Re(λh(x))| = |Re(h(λx))| = |Re(g(λx))| ≦ p(λx) = p(x)

|Re(λh(x))| = |Re(h(λx))| = |g(λx)| ≦ p(λx) = p(x)

>>104 の証明の補足。

|h(x)| ≦ p(x) であることは偏角を使わなくても次のようにして出来る。

h(x) ≠ 0 とする。
λ = |h(x)|/h(x) とおく。
|λ| = 1 である。
λh(x) = |h(x)| であるから Re(λh(x)) = |h(x)|
よって、
|h(x)| = |Re(λh(x))| = |Re(h(λx))| = |g(λx)| ≦ p(λx) = p(x)

Hahn-Banachの定理(>>104)を局所凸位相線形空間に適用するには
局所凸位相線形空間の間の連続写像を半ノルムで特徴付ける必要がある。
これについて述べる。

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の左位相線形空間とし E の位相は半ノルムの集合 Γ で
定義され(過去スレ008の469) F の位相は半ノルムの集合 Γ' で
定義されるとする。

f : E → F を線形写像とする。
f が連続であるためには
任意の q ∈ Γ' に対して Γ の元の有限列 p_i, i = 1, ... , n と
実数 α ＞ 0 が存在し任意の x ∈ E に対して

q(f(x)) ≦ αsup{ p_i(x) | i = 1, ... , n}

となることが必要十分である。

証明
条件の十分性：
任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x) ＜ γ/α, i = 1, ... , n
であれば、q(f(x)) ＜ γ であるから f は 0 で連続である。
従って、
a ∈ E と任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x - a) ＜ γ/α, i = 1, ... , n
であれば、q(f(x) - f(a)) = q(f(x - a)) ＜ γ であるから
f は a で連続である。

(続く)

>>110 の続き。

条件の必要性：
f は 0 で連続だから、
任意の γ ＞ 0 に対して Γ の元の有限列 p_i, i = 1, ... , n と
実数 α ＞ 0 が存在し p_i(x) ＜ α, i = 1, ... , n
であれば、q(f(x)) ＜ γ となる。
p = sup{ p_i(x) | i = 1, ... , n} とおく。
p は半ノルムである。
α ＜ 1 と仮定してよい。
さらに、K の絶対値は自明でないから
α = |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K があると仮定してよい。
p(x) ≦ |λ|^(m + 1) となる有理整数 m がある。
p(λ^(-m)x) ≦ |λ| であるから、q(f(x)) ＜ γ|λ|^m
このとき、p(x) = 0 なら m はいくらでも大きく出来るから
q(f(x)) = 0 である。
よって、p(x) ≠ 0 と仮定してよい。

|λ|^(m + 2) ＜ p(x) ≦ |λ|^(m + 1) となる有理整数 m がある。
|λ|^m ＜ |λ|^(-2) p(x)
よって、
q(f(x)) ＜ (γ|λ|^(-2))p(x)
α = γ|λ|^(-2) とおけば、q(f(x)) ＜ αp(x)
証明終

命題(>>104 の系２)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
M を E の線形部分空間で f を M 上の連続な線形形式とする。
f は E 上の連続な線形形式 h に拡張される。

証明
>>110 より E 上の連続な半ノルム p で
任意の x ∈ M に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
>>104 より E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) となるものがある。
>>110 より h は連続である。
証明終

局所凸線形位相空間が重要な理由の一つは >>112 が成り立つことである。

命題(>>104 の系３)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
M を E の線形部分空間で f を M 上の連続な線形形式とする。
E 上の連続な線形形式 h で f の拡張であり |h| = |f| となるものが
存在する。
ここで、 |h| と |f| はそれぞれ h と f のノルム(過去スレ006の690)
である。

証明
p を E のノルムとする。f は連続だから |f| は有限である。
任意の x ∈ M に対して |f(x)| ≦ |f|p(x) となる。
|f|p(x) は E の半ノルムだから
>>104 より，E 上の線形形式 h で f の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ |f|p(x) となるものが存在する。
よって、|h| ≦ |f| である。
よって |h| は有限であり、h は連続である。

x ∈ E に対して |h(x)| ≦ |h|p(x) となる。
h は f の拡張であるから
x ∈ M に対して |f(x)| ≦ |h|p(x) となる。
よって、|f| ≦ |h| である。
証明終

定義
K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。
E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし
E は部分線形空間 M_1. ... , M_n の直和であるとする。
M = ΠM_i を位相線形空間の直積とする。
M から E への写像 f : M → E を
f(x_1, ... , x_n) = x_1 + ... , + x_n で定義する。
f は連続な全単射であるが、これが位相同型であるとき
E は M_i の位相直和であるという。

命題
K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。
E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし
E は部分線形空間 M_1. ... , M_n の直和であるとする。
E から各 M_i への射影を p_i とする。
E が M_i の位相直和(>>115)であるためには各 p_i が連続であることが
必要十分である。


証明
必要性は位相直和の定義(>>115)から明らかである。

各 p_i が連続であるとする。
M から E への写像 f : M → E を
f(x_1, ... , x_n) = x_1 + ... , + x_n で定義する。

x ∈ E に (p_1(x), ... , p_n(x)) ∈ ΠM_i を
対応させる写像 g は連続であり、f の逆写像である。
証明終

定義
K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。
E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし
E は部分線形空間 M と N の位相直和(>>115)であるとする。
このとき N を M の位相補空間と言う。

命題
K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。
E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし
M を E の部分線形空間とする。
f : E → M を連続な線形写像で任意の x ∈ M に対して
f(x) = x とする。
このとき M は位相補空間(>>117)を持つ。

証明
N = f^(-1)(0) とおく。
E は M と N の直和である。
1 - f はこの直和分解に関して E から N への射影であり連続である。
>>116 より E は M と N の位相直和(>>115)である。
証明終

命題(>>104 の系４)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。
M を E の有限次元の線形部分空間とする。
M は位相補空間を持つ。

証明
e_1, . . . , e_n を M の任意の基底とする。
過去スレ006の651より
写像 f : Σ(ξ_i)(e_i) → (ξ_i) は M から K^n への位相同型である。
f_i : M → K を f(Σ(ξ_i)(e_i)) = ξ_i により定義する。
>>112より f_i は E 上の連続な線形形式 g_i に拡張される。
g(x) = (g_1(x), ... , g_n(x)) により g : E → K^n を定義する。
h = f^(-1)g とおく。h : E → M は連続な線形写像であり、
x ∈ M のとき h(x) = x である。
>>118 より M は位相補空間を持つ。
証明終

後で必要になるのでアフィン空間について寄り道をする。
アフィン空間とは標語的に言うと、原点＋べクトル空間のことである。
正確に定義すると次のようになる。

定義
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とする。
V に付随するアフィン空間 E とは V を加法群とみたとき
推移的な V-集合(過去スレ004の388,389) E であり、
E のある１点の安定化部分群(過去スレ004の392)が 0 と
なるようなものである。

K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

V は E に推移的に作用するから、E の任意の点の安定化部分群は
0 である。

E の点 p と V の元 x に対して x の p に対する作用を p + x または
x + p と書く。

V は E に推移的に作用するから、
E の２元 p, q に対して q = p + x となる x ∈ V が有る。
y ∈ V に対して p + x = p + y なら p + (x - y) = p である。
p の安定化部分群は 0 だから x - y = 0 である。
即ち q = p + x となる x ∈ V は一意に定まる。
このとき x = q - p と書く。

K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とする。

x ∈ V と y ∈ V に対して x の y に対する作用を x + y と定義することにより
V は V に付随するアフィン空間(>>121)になる。

E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。
p ∈ E をとる。
>>122 より x ∈ V に対して p + x ∈ E を対応させる写像 f は
V から E への全単射である。

x ∈ V, y ∈ V のとき
f(x + y) = p + (x + y) = (p + x) + y = f(x) + y

よって f は V-集合としての同型(過去スレ004の399)である。

定義
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

E の部分集合 F が E のアフィン部分空間であるとは、F が空集合であるか
V の線形部分空間 W と E の点 p があり、F = p + W と書けることを言う。
ここで、 p + W = { p + x | x ∈ W } である。

K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

a, x_1, ... , x_n を E の（必ずしも相異ならない）点とする。

1 ≦ i ≦ n のとき x_i - a は V に属す。
従って、λ_1, ... , λ_n を K の元としたとき
x = a + Σλ_i(x_i - a) は E に属す。

p を E の任意の点とする。

x - p = a - p + Σλ_i(x_i - p - (a - p))
= (1 - Σλ_i)(a - p) + Σλ_i(x_i - a)

これから次の命題が出る。

命題
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

x_1, ... , x_n を E の（必ずしも相異ならない）点とする。
λ_1, ... , λ_n を K の元の列で Σλ_i = 1 とする。

p を E の任意の点とする。
x = p + Σλ_i(x_i - p) は p の取り方によらない。

証明
q を E の点とする。

x - q = p - q + Σλ_i(x_i - q - (p - q))
= (1 - Σλ_i)(p - q) + Σλ_i(x_i - q) = Σλ_i(x_i - q)

即ち
x = q + Σλ_i(x_i - q)
証明終

定義
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

x_1, ... , x_n を E の（必ずしも相異ならない）点とする。
λ_1, ... , λ_n を K の元の列で Σλ_i = 1 とする。
p を E の任意の点とする。
>>126 より
x = p + Σλ_i(x_i - p) は p の取り方によらない。

x を x_i の質量 λ_i の重心と言う。

命題
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

E の部分集合 F が E のアフィン部分空間(>>124)であるためには、
次の条件が成り立つことが必要十分である。

F の任意の有限点列 x_1, ... , x_n と K の元の有限列
λ_1, ... , λ_n で Σλ_i = 1 となるものに対して、
x_i の質量 λ_i の重心(>>127)が常に F に属す。

証明
必要性：
F = p + W とする。ここで、 p ∈ E で W は V の線形部分空間である。
x_1, ... , x_n を F の元の有限列、
λ_1, ... , λ_n を K の元の有限列で Σλ_i = 1 とする。
x_i - p ∈ W であるから、
x_i の質量 λ_i の重心 p + Σλ_i(x_i - p) は F に属す。

十分性：
F は空でないと仮定してよい。
a ∈ F をとる。
W = { x - a | x ∈ F } は 0 = a - a を含むから空ではない。

x, y を W の元とし、λ ∈ K, μ ∈ K とする。
a + λ(x - a) + μ(y - a)
= (1 - λ - μ)(a - a) + λ(x - a) + μ(y - a)
これは a, x, y の質量がそれぞれ 1 - λ - μ, λ, μ の重心である。
よって、仮定から a + λ(x - a) + μ(y - a) ∈ F である。
よって、 λ(x - a) + μ(y - a) ∈ W である。
即ち W は V の線形部分空間である。
証明終

命題
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

(x_i), i ∈ I を E の元の族とする。
(x_i) の質量 (λ_i) の重心(>>127)全体は E のアフィン部分空間である。

ここで、(λ_i), i ∈ I は K の元の族で有限個の i ∈ I を除いて
λ_i = 0 で Σλ_i = 1 である。

証明
I が空集合のときは明らかだから I は空集合でないとする。
i ∈ I を固定する。
(λ_i), i ∈ I を K の元の族で有限個の i ∈ I を除いて
λ_i = 0 で Σλ_i = 1 とする。
(x_i) の質量 (λ_i) の重心は、x_i + Σλ_j(x_j - x_i), i ≠ j と
書ける。
これから命題の主張は明らかである。
証明終

定義
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。

F を E のアフィン部分空間(>>124)で空でないとする。
定義から V の線形部分空間 W と E の点 p があり、F = p + W と書ける。
W を F の方向ベクトル空間と言う。

W の次元を F の次元と言い、dim F と書く。
W の余次元、つまり dim V/W を F の余次元と言う。

次元 0 のアフィン部分空間は E の点である。
次元 1 のアフィン部分空間を E の直線と言う。
次元 2 のアフィン部分空間を E の平面と言う。
余次元 1 のアフィン部分空間を E の超平面と言う。

命題
K を可換とは限らない体とする。
V を K 上の左線形空間とし、
E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。
F を E の部分集合とする。

K の標数が 2 でないとき、
F が E のアフィン部分空間(>>124)であるためには
F の任意の２点 x ≠ y を通る直線(>>130)が F に含まれることが
必要十分である。

証明
十分性のみ証明すればよい。

F は空でないと仮定してよい。
p ∈ F を任意にとり p を原点にすることにより、E = V と仮定してよい。

F の元 x ≠ 0 と任意の λ ∈ K に対して λx は 0 と x を
通る直線上にあるから λx ∈ F である。
x = 0 のときは λx = 0 であるからこのときも λx ∈ F である。

F の２点 x ≠ y を通る直線を L とする。
K の標数は 2 でないから
(1/2)(x + y) = x + (1/2)(y - x) は L の点である。
よって、上に述べたことから x + y ∈ F である。

以上から F は V の部分線形空間である。
よって、E のアフィン部分空間である。
証明終

定義
K を可換とは限らない体とする。
V と W を K 上の左線形空間とし、E と F をそれぞれ V と W に付随する
アフィン空間(>>121)とする。
φ : V → W を線形写像とする。

F は W-集合(過去スレ004の388)であるから φ により V-集合ともなる。
このとき、V-集合としての射(過去スレ004の399) f : E → F を
φ に付随するアフィン写像、または単にアフィン写像と言う。

言い換えると、次の条件を満たす写像 f : E → F を
φ に付随するアフィン写像という。

任意の x ∈ E と v ∈ V に対して
f(x + v) = f(x) + φ(v)

K を可換とは限らない体とする。
V と W を K 上の左線形空間とし、E と F をそれぞれ V と W に付随する
アフィン空間(>>121)とする。
φ : V → W を線形写像とし、
f : E → F を φ に付随するアフィン写像(>>132)とする。

a を E の点とする。
任意の v ∈ V に対して f(a + v) = f(a) + φ(v) である。
よって、φ(v) = f(a + v) - f(a) である。
即ち φ は f により一意に決まる。

逆に、任意の x ∈ E に対して f(x) = f(a + x - a) = f(a) + φ(x - a)
よって、f は φ と f(a) により一意に決まる。

任意の b ∈ F に対して g(x) = b + φ(x - a) は
φ に付随するアフィン写像である。

命題
K を可換とは限らない体とする。
V と W を K 上の左線形空間とし、E と F をそれぞれ V と W に付随する
アフィン空間(>>121)とする。
f : E → F を写像とする。

f がアフィン写像であるためには次の条件 (A) が成り立つことが
必要十分である。

(A) x_1, ... , x_n を E の任意の有限点列とし、
λ_1, ... , λ_n を K の元の列で Σλ_i = 1 とする。
f は常に x_i の質量 λ_i の重心(>>127) を f(x_i) の質量 λ_i の
重心に写す。
即ち、a を E の任意の点としたとき、
f(a + Σλ_i(x_i - a)) = f(a) + Σλ_i(f(x_i) - f(a))
となる。

証明
必要性：
φ : V → W を線形写像とし、
f : E → F を φ に付随するアフィン写像(>>132)とする。
φ(x_i - a) = f(x_i) - f(a) であるから
f(a + Σλ_i(x_i - a)) = f(a) + Σλ_iφ(x_i - a)
= f(a) + Σλ_i(f(x_i) - f(a))

(続く)

>>134 の続き。

十分性：
条件 (A) が成り立つとする。

a, x , y を E の点とし、λ, μ を K の元としたとき、
a + λ(x - a) + μ(y - a)
= a + λ(x - a) + μ(y - a) + (1 - λ - μ)(a - a)

よって
f(a + λ(x - a) + μ(y - a)) = f(a) + λ(f(x) - f(a)) + μ(f(x) - f(a))

よって、写像 φ : V → W を
φ(x - a) = f(x) - f(a) で定義すれば、φ は線形写像である。
よって、 f は φ に付随するアフィン写像である。
証明終

Hahn-Banachの定理の幾何版を証明するため次の命題を用意する。

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の開凸集合で 0 を含むものとする。

任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。

p は劣線形関数(>>94)であり
A = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } である。

証明
A は 0 の近傍であるから過去スレ006の629より吸収的である。
よって、過去スレ008の473より p は劣線形関数である。

W = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } とおく。

p(x) ＜ 1 なら 0 ＜ α ＜ 1 で、x ∈ αA となる α がある。
A は凸で 0 を含むから αA ⊂ A である。
よって、W ⊂ A である。

A は開集合だから x ∈ A なら β ＞ 1 で βx ∈ A となるものが
存在する。
x ∈ (1/β)A だから p(x) ≦ 1/β ＜ 1 である。
よって A ⊂ W である。
証明終

定理(Hahn-Banachの定理の幾何版)
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
M を E の空でないアフィン部分空間(>>124)で A と交わらないとする。

このとき M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが
存在する。

証明
A は空でないから a ∈ A が存在する。
0 ∈ A でないなら A を A - a, M を M - a で置き換えることにより
0 ∈ A と仮定してよい。

任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。

>>136 より p は劣線形関数であり
A = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } である。

M は空でなく 0 を含まないから M = a + W と書ける。ここで W は E の
線形部分空間であり、 a は E の元で W に含まれない。
V = Ra + W とおく。
V は E の線形部分空間であり、M はその超平面である。
V は Ra と W の直和であるから V の任意の元 x は x = λa + w と
一意に書ける。ここで λ ∈ R, w ∈ W である。
f(x) = λ により線形形式 f : V → R を定義する。
M = a + W = { x ∈ V | f(x) = 1 } である。
A ∩ M = φ であるから x ∈ M のとき p(x) ≧ 1 である。

(続く)

>>137の続き。

任意の y ∈ V に対して λ = f(y) とおく。
f(y) ＞ 0 なら f((1/λ)y) = 1 であるから (1/λ)y ∈ M である。
よって p((1/λ)y) ≧ 1
p は正の半同次形式(>>92)だから p(y) = (1/λ)p(y)
よって、p(y) ≧ λ 即ち p(y) ≧ f(y)

任意の x ∈ E に対して p(x) ≧ 0 である。
よって、f(y) = 0 なら p(y) ≧ f(y) である。

Hahn-Banachの定理の解析版(>>95) より E 上の線形形式 h で
f の拡張であり任意の x ∈ E に対して
h(x) ≦ p(x) となるものがある。
H = { x ∈ E | h(x) = 1 } とおく。
H ∩ A = φ, M ⊂ H は明らかである。
F = { x ∈ E | h(x) = 0 } とおく。
E/F は１次元の線形空間である。
F の閉包を F~ とする。F~ は E の閉線形部分空間である。
よって E = F~ または F~ = F である。
よって、E = H~ または H~ = H である。
一方、H の補集合は A を含むから E = H~ ではあり得ない。
よって、H~ = H である。
即ち、H は閉である。
証明終

訂正

>>138
>p は正の半同次形式(>>92)だから p(y) = (1/λ)p(y)

>p は正の半同次形式(>>92)だから p((1/λ)y) = (1/λ)p(y)

0を自然数にするのとしないのとは
なぜ統一されてないのですか？

>>140

質問の答えになってないかもしれませんが、
本シリーズでの自然数の扱いについて述べます。

本シリーズでは自然数に 0 を含めていません。
集合 { 0, 1, 2, . . . } は N ではなくて Z+ と書いてると思います。

数列 (a_n) は 0 から始まる場合もあれば 1 から始まる場合もあります。

次の定義は過去スレ008の423のアフィン空間への拡張である。

定義
E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
x, y, p を E の２点とする。
>>126 より
集合 { p + λ(x - p) + μ(y - p) | λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1 }
は p の取り方によらない。
この集合を x, y を端点とする閉線分と言い、 [x, y] と書く。

x = y のときは [x, y] = {x} である。

{ p + λ(x - p) + μ(y - p) | λ ＞ 0, μ ＞ 0, λ + μ = 1 } を
x, y を端点とする開線分と言い、(x, y) または ]x, y[ と書く。
x = y のときは (x, y) = φ である。

定義
E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
A を E の部分集合とする。

A の任意の２点 x, y に対して [x, y] (>>142) が A に含まれるとき
A を凸という。

命題
E と F を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とし、
f : E → F をアフィン写像(>>132)とする。
E の任意の２点 x, y に対して [x, y] (>>142) の f による像 f([x, y])
は [f(x), f(y)] である。

証明
>>134 より明らかである。

命題
E と F を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → F をアフィン写像(>>132)とする。

A を E の凸部分集合(>>143)とすると、f(A) も凸である。

証明
>>144 より明らかである。

命題
E と F を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → F をアフィン写像(>>132)とする。

A を F の凸部分集合(>>143)とすると、f^(-1)(A) も凸である。

証明
過去スレ008の429と同様である。

命題
E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → R を定数でないアフィン写像(>>132)とする。
H = { x ∈ E | f(x) = 0 } を f で定まる超平面(>>130)とする。
A を E の凸集合(>>143)で A ∩ H = φ とする。

このとき f(A) は H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ＜ 0 } に含まれる。

証明
>>145 より f(A) は R の凸集合だから区間である。
仮定より f(A) は 0 を含まないから f(A) の各点の符号は一定である。
証明終

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
H を E の超平面(>>130)で方程式 f(x) = α で定義されるものとする。
ここで f : E → K は恒等的に 0 でない線形形式である。

H が閉なら f は連続である。

証明
p を H の任意の点とする。
超平面 H - p は 方程式 f(x) = 0 で定義される。
H - p は閉であるから初めから α = 0 と仮定してよい。
このとき H は E の閉な線形部分空間である。

f = gφ とかける。
ここで φ : E → E/H は標準写像であり、g : E/H → K は
線形写像である。

H は閉だから E/H は分離的である。
よって過去スレ006の648より g は連続である。
よって f も連続である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
M を E の部分線形空間で A と交わらないとする。

このとき連続な線形形式 f : E → R で M において f(x) = 0 となり
A において f(x) ＞ 0 となるものがある。

証明
>>137 より M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが
存在する。
H を定義する線形形式を f とする。
H は閉だから >>148 より f は連続である。

>>147 より A において常に f(x) ＞ 0 または常に f(x) ＜ 0 である。
f(x) ＜ 0 のときは -f を f の代わりにとればよい。
証明終

定義
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
H を E の閉超平面(>>130)とする。
>>148 より連続な線形形式 f : E → R が存在し、
H は方程式 f(x) = α で定義される。

{ x ∈ E | f(x) ≧ α } 及び { x ∈ E | f(x) ≦ α } を
H で定義される閉半空間と言う。

{ x ∈ E | f(x) ＞ α } 及び { x ∈ E | f(x) ＜ α } を
H で定義される開半空間と言う。

定義
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
H を E の閉超平面(>>130)とする。

A, B をそれぞれ E の空でない部分集合とする。
A が H で定義される閉半空間(>>150)の一つに含まれ、
B が H で定義される他方の閉半空間に含まれとき、
A と B は H により分離されると言う。

A が H で定義される開半空間(>>150)の一つに含まれ、
B が H で定義される他方の開半空間に含まれとき、
A と B は H により強分離されると言う。

命題
E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → R を定数でないアフィン写像(>>132)とする。
H = { x ∈ E | f(x) = 0 } を f で定まる超平面(>>130)とする。
A を E の部分集合とする。

A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ≧ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ≦ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に含まれるという。

A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ＜ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に真に含まれるという。

>>152 は命題でなく定義である。
後の参照のために書き直す。

定義
E を実数体 R 上のアフィン空間(>>121)とする。
f : E → R を定数でないアフィン写像(>>132)とする。
H = { x ∈ E | f(x) = 0 } を f で定まる超平面(>>130)とする。
A を E の部分集合とする。

A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ≧ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ≦ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に含まれるという。

A が H で定まる半空間 { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } または
{ x ∈ E | f(x) ＜ 0 } に含まれるとき A は H で定まる半空間
に真に含まれるという。

命題
K を可換とは限らない位相体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
H を E の超平面(>>130)でとする。
H が E において稠密でなければ H は閉である。

証明
H は 0 を含むとしてよい。
H の閉包 H~ は E の線形部分空間である。
H ⊂ H~ ⊂ E であり E/H の次元は１だから H = H~ または
E = H~ である。
H は稠密でないから H = H~ である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の部分集合でその内部 int(A) は空でないとする。
A は超平面 H で定まる半空間に含まれる(>>154)とする。

このとき H は閉であり int(A) は H で定まる半空間に真に含まれる
(>>154)。

証明
H は 0 を含むとしてよい。
H は方程式 f(x) = 0 で定まるとする。
ここで f は恒等的に 0 でない線形形式である。

A の各点 x で f(x) ≧ 0 と仮定する。
B = { x ∈ E | f(x) ＞ -1 } とおくと A ⊂ B であるから
int(B) は空でない。
従って B + 1 = { x ∈ E | f(x) ＞ 0 } の内部は空でない。
よって H は E において稠密でない。
>>155 より H は閉である。

f = gφ とかける。
ここで φ : E → E/H は標準写像であり、g : E/H → K は
線形写像である。

H は閉だから E/H は分離的である。
よって過去スレ006の648より g は位相同型である。
φ は開写像だから f も開写像である。
よって f(int(A)) は R の開集合である。
A の各点 x で f(x) ≧ 0 であるから f(int(A)) ⊂ (0, +∞) である。
よって int(A) は H で定まる半空間に真に含まれる。
証明終

命題
(E_i), i ∈ I を実数体 R 上の線形空間の族とする。
各 i ∈ I に対して A_i を E_i の空でない凸集合とする。

A = ΠA_i は E = ΠE_i の凸集合である。

証明
pr_i : E → E_i を射影とする。
A = ∩(pr_i)^(-1)(A_i) であり、
過去スレ008の429より各 (pr_i)^(-1)(A_i) は凸であるから
A も凸である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A と B をそれぞれ E の空でない凸集合とする。
任意の実数 α, β に対して
αA + βB = { αx + βy | x ∈ A, y ∈ B } は凸である。

証明
>>157 より A × B は E × E の凸集合である。
αA + βB は線形写像 (x, y) → αx + βy による
A × B の像であるから過去スレ008の428より凸である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
B を E の空でない凸集合で A ∩ B = φ とする。

このとき A と B を分離する閉超平面(>>151) H が存在する。

証明
C = A - B は空でない開集合である。
>>158 より C は凸である。
A ∩ B = φ だから C は 0 を含まない。
よって >>149 より E 上の連続な線形形式 f ≠ 0 で
C において f(x) ＞ 0 となるものがある。
よって x ∈ A, y ∈ B のとき f(x) ＞ f(y) となる。

α = inf { f(x) | x ∈ A} とおく。
各 x ∈ A において f(x) ≧ α
各 y ∈ B において f(x) ≦ α
よって超平面 H = { x ∈ E | f(x) = α } は A と B を分離する。
証明終

>>159
>よって超平面 H = { x ∈ E | f(x) = α } は A と B を分離する。

f は連続だから H は閉である。

命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
B を E の空でない開凸集合で A ∩ B = φ とする。

このとき A と B を強分離する閉超平面(>>151) H が存在する。

証明
>>159 より A と B を分離する閉超平面 H が存在する。
>>156 より H は A と B を強分離する。
証明終

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
A を X の準コンパクト集合(過去スレ006の104)、
B を X の閉集合とし、 A ∩ B = φ とする。

このとき X の近縁(過去スレ006の194) V で V(A) ∩ V(B) = φ となる
ものが存在する。
ここで、記号 V(A) については過去スレ006の192を参照。

証明
X の任意の近縁 V に対して V(A) ∩ V(B) ≠ φ とする。
V が X の対称近縁(過去スレ006の202)のとき、
A ∩ V^2(B) ≠ φ となる。
よって V が X の対称近縁全体を動くとき A ∩ V^2(B) 全体は
A のフィルター基底(過去スレ006の77)となる。
過去スレ006の309よりこのフィルター基底は接触点 p ∈ A を持つ。
任意の対称近縁 V に対して V(p) ∩ V^2(B) ≠ φ であるから
B ∩ V^3(p) ≠ φ である。
B は閉だから p ∈ B となって矛盾である。
証明終

命題
E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
A を E の空でない閉凸集合とする。
K を E の空でない準コンパクトな凸集合で A ∩ K = φ とする。

このとき A と K を強分離する閉超平面(>>151) H が存在する。

証明
>>162 より 0 の開凸近傍 V で (A + V) ∩ (K + V) = φ となる
ものが存在する。
A + V と K + V は開集合であり、>>158 より凸である。
よって >>161 より A + V と K + V を強分離する閉超平面 H が存在する。
H は A と K を強分離する。
証明終

命題
E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉凸集合 A はそれを含む閉半空間(>>150)全体の
共通集合である。

証明
x ∈ E - A とする。x は準コンパクトだから >>163 より
A と x を強分離する閉超平面 H が存在する。
証明終

命題
E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉アフィン部分空間(>>124) M はそれを含む
閉超平面全体の共通集合である。

証明
x ∈ E - M とする。
M は閉だから x を含む凸な開集合 V で V ∩ M = φ となるものが
存在する。
>>137 より M ⊂ H となる閉超平面 H で V と交わらないものが
存在する。このとき H は x を含まない。
証明終

命題
E を複素数体 C 上の線形空間とする。
H_0 を E の 0 を通る実超平面とする。
即ち H_0 は E を実線形空間とみたとき E の実線形部分空間であり、
E/H_0 の実線形空間としての次元が１となるものである。

H_0 の定義方程式を g(x) = 0 とする。
ここで g は E 上の実線形形式である。
>>102 より Re(f) = g となる複素線形形式 f が一意に存在する。

H = H_0 ∩ iH_0 は E の 0 を通る複素超平面であり、
その定義方程式は f(x) = 0 である。

証明
>>102 より、f(x) = g(x) - ig(ix) とおくと f は複素線形形式であり、
Re(f) = g である。

f(x) = 0 ⇔ g(x) = 0 かつ g(ix) = 0
である。

g(ix) = 0 は ix ∈ H_0 と同値であり、
これは x ∈ iH_0 と同値である。
よって H = H_0 ∩ iH_0 の定義方程式は f(x) = 0 である。
証明終

次の定理は >>137 の複素位相線形空間への拡張である。
後の参照のために実位相線形空間の場合も含める。

定理(Hahn-Banachの定理の幾何版)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
M を E の空でないアフィン部分空間(>>124)で A と交わらないとする。

このとき M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが
存在する。

証明
K が実数体の場合は >>137 で証明されている。
よって K は複素数体と仮定する。

0 ∈ M と仮定してよい。

>>137 より M ⊂ H_0 かつ A ∩ H_0 = φ となる実超平面で閉なものが
存在する。

>>166 より H = H_0 ∩ iH_0 は E の 0 を通る複素超平面である。
H_0 が閉だから iH_0 も閉である。
従って H も閉である。

M = iM だから M ⊂ H である。
A ∩ H_0 = φ だから A ∩ H = φ である。
証明終

やるね

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E の任意の空でない閉アフィン部分空間(>>124) M はそれを含む
閉超平面全体の共通集合である。

証明
K が実数体の場合は >>165 で証明されている。
よって K は複素数体と仮定してよい。

x ∈ E - M とする。
M は閉だから x を含む凸な開集合 V で V ∩ M = φ となるものが
存在する。
>>168 より M ⊂ H となる閉超平面 H で V と交わらないものが
存在する。このとき H は x を含まない。
証明終

p-adic Kollar

解析学では Baire のカテゴリー定理が重要な役目をする。
これから Banach 空間に関する基本的な定理である開写像定理、
閉グラフ定理、Banach-Steinhaus の定理などが得られる。

定義
位相空間 X の部分集合 A はその閉包 A~ が内点を持たないとき
疎(nowhere dense)であると言う。

定義
位相空間の部分集合は高々可算個の疎集合(>>173)の合併となるとき
第１類(the first category)の集合またはやせた(meager)集合と言う。

定義
位相空間の部分集合は第１類(the first category)の集合(>>174)で
ないとき第２類(the second category)の集合と言う。

定義
位相空間 X において第１類(>>174)の集合 A の補集合 X - A が常に
X で稠密であるとき X を Baire 空間と言う。

命題
位相空間 X に関する以下の条件は同値である。

(1) X は Baire 空間(>>176)である。
(2) X の空でない開集合は第２類(>>175)の集合である。
(3) X において内点をもたない閉集合の可算個の合併は内点をもたない。
(4) X において稠密な開集合の可算個の共通部分は稠密である。

証明
(1) ⇒ (2)
U を X の空でない開集合とする。
X - U は U と交わらないから X において稠密ではない。
よって仮定から U は第１類ではない、即ち第２類である。

(2) ⇒ (1)
A を X の第１類の集合とする。
X - A が X において稠密ではないとする。
A は X の空でない開集合 U を含む。
U は第１類の集合の部分集合としてやはり第１類であるから仮定に反する。

(2) ⇒ (3)
内点をもたない閉集合の可算個の合併 A が空でない開集合 U を
含むとする。A は第１類だから U も第１類である。これは仮定に反する。

(3) ⇒ (2)
X の空でない開集合 U で第１類のものがあるとする。
U は内点をもたない閉集合の可算個の合併に含まれる。
これは仮定に反する。

(3) ⇔ (4)
これは明らかである。
証明終

定理(Baire)
完備な距離空間 X はその位相に関して Baire 空間(>>176)である。

証明
X において >>177 の (4) が成り立つことを示せばよい。
即ち、X の稠密な開集合の列 (U_n), n ≧ 1 に対して
その共通部分 U = ∩U_n も稠密なことを示せば良い。

G を X の任意の空でない開集合とする。G ∩ U ≠ φ を示す。
空ない開集合の列 (G_n), n ≧ 1 を帰納法により、
G_1 = G
(G_(n+1))~ ⊂ G_n ∩ U_n
δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) となるように定義する。
ここで、(G_n)~ は G_n の閉包であり、
δ((G_n)~) は (G_n)~ の直径である。
即ち、δ((G_n)~) = sup { d(x, y) | (x, y) ∈ (G_n)~×(G_n)~ }

X は一様空間であるから過去スレ006の212より正則である。
G_n が空でない開集合なら G_n ∩ U_n ≠ φ であるから
G_(n+1)~ ⊂ G_n ∩ U_n となるような空でない開集合 G_(n+1) が
存在する。このとき δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) と出来る。
よって、上記のような列 (G_n) が存在する。

∩G_n ⊂ G ∩ U であり、∩G_n = ∩(G_n)~ であるから
∩(G_n)~ ≠ φ を示せばよい。

lim δ((G_n)~) = 0 だから ((G_n)~) は Cauchy フィルターの基底である。
X は完備だからこれは収束し、その極限点は ∩(G_n)~ に属す。
証明終

次の定理も >>178 と同様にして証明される。

定理
局所コンパクト空間 X は Baire 空間(>>176)である。

証明
X において >>177 の (4) が成り立つことを示せばよい。
即ち、X の稠密な開集合の列 (U_n), n ≧ 1 に対して
その共通部分 U = ∩U_n も稠密なことを示せば良い。

G を X の任意の空でない開集合とする。G ∩ U ≠ φ を示す。
空ない開集合の列 (G_n), n ≧ 1 を帰納法により、
G_1 = G
(G_(n+1))~ ⊂ G_n ∩ U_n となるように定義する。
ここで、(G_n)~ は G_n の閉包である。

X は局所コンパクトであるから過去スレ006の406より正則である。
G_n が空でない開集合なら G_n ∩ U_n ≠ φ であるから
G_(n+1)~ ⊂ G_n ∩ U_n となるような空でない開集合 G_(n+1) が
存在する。
よって、上記のような列 (G_n) が存在する。
このとき (G_2)~ はコンパクトと仮定してよい。
すると、(G_n)~, n ≧ 2 はコンパクト空間 (G_2)~ における
空でない閉集合の単調減少列であるから ∩(G_n)~ ≠ φ である。

∩G_n ⊂ G ∩ U であり、∩G_n = ∩(G_n)~ であるから
G ∩ U ≠ φ である。
証明終

これさ最初から読みたいんだけどなにかないかな

>>178
>δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) となるように定義する。

δ((G_1)~) = ∞ かもしれないので、以下のように訂正する。

δ((G_2)~) ＜ ∞ とし、
n ≧ 2 のとき δ((G_(n+1))~) ≦ (1/2)δ((G_n)~) とする。

>>178
>>182

初めから δ((G_1)~) ＜ ∞ を仮定してもよい。

>>180
>このとき (G_2)~ はコンパクトと仮定してよい。

X は局所コンパクトだから初めから (G_1)~ はコンパクトと
仮定してもよい。

定義
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E の位相が距離付け可能(過去スレ007の96)のとき E を距離付け可能と言う。

>>185

この定義は過去スレ008の537と同じであった。

命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。

このとき E から R+ = { x ∈ R | x ≧ 0 } への連続写像 | | で
次の条件を満たすものが存在する。

(1) |x| = 0 と x = 0 は同値である。
(2) 任意の x ∈ E に対して、|-x| = |x|
(3) 任意の x, y ∈ E に対して、|x + y| ≦ |x| + |y|
(4) |λ| ≦ 1 なら |λx| ≦ |x|

d(x, y) = |x - y| は E 上の不変距離(過去スレ007の113)であり、
それが定める E の一様構造は E の位相線形空間としての一様構造と
一致する。

証明
E は 0 の可算基本近傍系 (V_n) を持つ。
各 n に対して 3(V_n) ⊂ V_n と仮定してよい。
さらに過去スレ006の635より各 V_n は平衡的と仮定してよい。

U_n = { (x, y) ∈ E×E ; y - x ∈ V_n } とおく。

(U_n) は一様構造の基本近縁系であり、各 n に対して
U_n は対称で、(U_n)^3 ⊂ U_n である。
過去スレ006の71 のようにして (U_n) から E の一様構造と両立する
距離 f を定義する。
過去スレ006の114より f は不変距離である。

(続く)

>>187 の続き。

過去スレ006の116より |x| = f(0, x) は (1), (2), (3) を満たす。

(x, y) ∈ U_n のとき y - x ∈ V_n であり、V_n は平衡的であるから
|λ| ≦ 1 なら λ(y - x) ∈ V_n、即ち (λx, λy) ∈ U_n である。
従って、過去スレ006の69 で定義した関数 g は、
g(λx, λy) ≦ g(x, y) を満たす。
よって、f も、f(λx, λy) ≦ f(x, y) を満たす。
よって、|λx| ≦ |x| となり (4) が成り立つ。

| | が連続なことは f(x, y) = |x - y| が E の一様構造を定義する
ことから明らかである。
証明終

補題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
W を E における 0 の平衡的(過去スレ006の630)近傍とする。
λ を K の元で |λ| ＞ 1 とする。
このとき E = ∪{ (λ^n)W | n ≧ 0 } である。

証明
過去スレ006の629より W は吸収的(過去スレ006の628)である。
即ち、任意の x ∈ E に対して x ∈ μW となる μ ∈ K が存在する。
|μ| ＜ |λ|^n となる整数 n ≧ 0 がある。
W は平衡的であるから μW ⊂ (λ^n)W である。
よって、 x ∈ (λ^n)W である。
証明終

補題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で f(E) は第２類(>>175)の集合とする。

E における 0 の任意の近傍 V に対して f(V)~ は F における 0 の近傍
である。ここで f(V)~ は f(V) の閉包を表す。

証明
過去スレ006の635より E における 0 の平衡的近傍 W で、
W + W ⊂ V となるものが存在する。
| | は自明でない絶対値だから K の元 λ で |λ| ＞ 1 となるものが
存在する。

>>189 より E = ∪(λ^n)W である。
x ∈ E, x → (λ^n)x は E の位相同型であるから (λ^n)W の閉包は
(λ^n)W~ である。
同様に、
y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから (λ^n)f(W) の閉包は
(λ^n)f(W)~ である。
よって、f(E) ⊂ ∪f((λ^n)W~) ⊂ ∪(λ^n)f(W)~

f(E) は第２類だから、ある n ≧ 0 に対して (λ^n)f(W)~ は内点をもつ。
y ∈ F, y → (λ^n)y は F の位相同型であるから f(W)~ は内点 b をもつ。
U を F における 0 の開近傍で b + U ⊂ f(W)~ とする。
W は平衡的だから -W = W である。よって、-f(W) = f(W)
よって、-f(W)~ = f(W)~
よって -b - U ∈ f(W)~
0 = b + (-b) ∈ U - U ⊂ f(W)~ + f(W)~ ⊂ (f(W) + f(W))~ ⊂ f(V)~
U - U は 0 の近傍であるから f(V)~ は 0 の近傍である。
証明終

命題
E と F をそれぞれ位相アーベル群とする。
f : E → F を（必ずしも連続とは限らない）準同型写像とする。

f が開写像であるためには E における 0 の任意の近傍 V に対して
f(V) が F における 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
必要性は明らかであるから十分なことを証明する。

U を E の開集合とする。
x ∈ U に対して x + V ⊂ U となる E における 0 の近傍 V がある。
仮定より f(V) は F における 0 の近傍である。
f(x) + f(V) = f(x + V) ⊂ f(U)
これは f(x) が f(U) の内点であることを意味する。
x は U の任意の点だから f(U) は開集合である。
証明終

定理(Banach の開写像定理)
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で全射とする。

このとき f は開写像である。

証明(Functional Analysis by K. Yosida)
d と d' をそれぞれ E と F の距離でそれぞれの一様構造を与えるものとする。
>>187 より d, d' は不変距離で
|x| = d(x, 0) と |y|' = d'(y, 0) は >>187 の (1) 〜 (4) を
満たすとしてよい。

任意の実数 r ＞ 0 と、 a ∈ E, b ∈ F に対して
B(a, r) = { x ∈ E | |x - a| ≦ r }
B'(b, r) = { y ∈ F | |y - b|' ≦ r }
とおく。

>>191 より、任意の実数 ε ＞ 0 に対して実数 η ＞ 0 があり
B'(0, η) ⊂ f(B(0, ε)) となることを示せばよい。

ε_i = ε/2^i (i = 1, 2, ...) とおく。

f(E) = F であり Baire の定理(>>178) より F は Baire 空間である。
従って >>177 の (2) より f(E) は第２類である。

(続く)

>>192 の続き。

>>190 より、
各 i に対して B'(0, η_i) ⊂ f(B(0, ε_i))~ となる η_i ＞ 0 がある。
明らかに i → ∞ のとき lim η_i = 0 となるように η_i を選べる。

y ∈ B'(0, η_1) とする。
y ∈ f(B(0, ε_1))~ だから
|y - f(x_1)|' ＜ η_2 となる x_1 ∈ B(0, ε_1) がある。

y - f(x_1) ∈ B'(0, η_2) だから
y - f(x_1) ∈ f(B(0, ε_2))~ である。
よって
|y - f(x_1) - f(x_2)|' ＜ η_3 となる x_2 ∈ B(0, ε_2) がある。

この操作を続けて、
x_i ∈ B(0, ε_i) (i = 1, 2, ..., n) があり、
|y - f(x_1 + ... + x_n)|' ＜ η_(n+1) となる。

|x_(m+1) + ... + x_n| ≦ |x_(m+1)| + ... + |x_n|
≦ ε_(m+1) + ... + ε_n ≦ (1/2^(m+1) + ... + 1/2^n)ε
≦ (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε

よって s_n = x_1 + ... + x_n とおくとき (s_n) は E における
Cauchy 列である。
E は完備だから (s_n) は収束する。x = lim s_n とおく。

|x| = lim (|x_1 + ... + x_n|) ≦ lim (|x_1| + ... + |x_n|)
≦ lim (ε_1 + ... ε_n) = (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε
よって x ∈ B(0, ε)

(続く)

>>193 の続き。

一方、
|y - f(x_1 + ... + x_n)|' ＜ η_(n+1) であり、
i → ∞ のとき lim η_i = 0 であるから

y = lim f(x_1 + ... + x_n) である。
f は連続だから lim f(x_1 + ... + x_n) = f(lim s_n) = f(x)
よって y = f(x) である。
即ち、B'(0, η_1) ⊂ B(0, ε)
証明終

訂正

>>193
>≦ lim (ε_1 + ... ε_n) = (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε

≦ lim (ε_1 + ... ε_n) ≦ (1/2 + 1/2^2 + ...)ε = ε

>>195

訂正の訂正

>>195 は間違いであり不要

命題
G を距離付け可能(過去スレ007の112)な位相アーベル群とする。
H を G の閉部分群とする。
G/H は位相アーベル群として距離付け可能である。

証明
p: G → G/H を標準射とする。
G は位相空間として距離付け可能だから単位元 0 の可算基本近傍系 (V_n)
を持つ。
(p(V_n)) は G/H の単位元の基本近傍系である。
過去スレ007の110より G/H は距離付け可能である。
証明終

命題
G を距離付け可能(過去スレ007の112)な位相アーベル群とする。
H を G の閉部分群とする。
G が完備なら G/H も完備である。

証明
p: G → G/H を標準射とする。
G は位相空間として距離付け可能だから単位元 0 の可算基本近傍系
(V_n), n ≧ 1 を持つ。
V_(n+1) + V_(n+1) ⊂ V_n となっていると仮定してよい。
(p(V_n)) は G/H の単位元の基本近傍系である。
過去スレ006の325より、G/H の任意の Cauchy 点列(過去スレ006の237)
(ξ_n) が収束することを示せばよい。
これには過去スレ006の248より(ξ_n) のある部分列が収束することを
示せば十分である。
従って、任意の n ≧ 1 に対して p ≧ n, q ≧ n のとき常に
ξ_q - ξ_p ∈ p(V_n) となると仮定してよい
（もしそうでない場合は (ξ_n) の適当な部分点列を考えればよい）。

ξ_(n+1) - ξ_n ∈ p(V_n) だから
ξ_(n+1) = p(y)
ξ_n = p(x)
のとき
y - x ∈ V_n + H
y - x = v + h と書ける。ここで v ∈ V_n, h ∈ H
y - h = x + v ∈ x + V_n
p(y - h) = ξ_(n+1) である。
よって y - h を y で置き換えて y ∈ x + V_n と仮定してよい。
よって帰納法により ξ_n = p(x_n), x_(n+1) ∈ x_n + V_n となるように
G の元の列 (x_n) を選べる。

(続く)

>>198 の続き。

n ≧ 1, p ≧ 1 に対して、
x_(n+1) ∈ x_n + V_n
x_(n+2) ∈ x_(n+1) + V_(n+1) ⊂ x_n + V_n + V_(n+1)
.
.
.
x_(n+p) ∈ x_(n+p-1) + V_(n+p-1) ⊂ x_n + V_n + ... + V_(n+p-1)

ここで、V_(n+1) + V_(n+1) ⊂ V_n と仮定しているから、
x_n + V_n ⊂ x_n + V_(n-1)
x_n + V_n + V_(n+1) ⊂ x_n + V_(n-1)
x_n + V_n + V_(n+1) + V_(n+2) ⊂ x_n + V_n + V_n ⊂ x_n + V_(n-1)
同様にして（帰納法により）
x_n + V_n + ... + V_(n+p-1) ⊂ x_n + V_(n-1)
よって
x_(n+p) ∈ x_n + V_(n-1)
よって (x_n) は G における Cauchy 列である。
G は完備だから G の点 a に収束する。
標準射 p: G → G/H は連続だから (p(x_n)) は p(a) に収束する。
証明終

定義
位相群 G から位相群 G' への連続準同型 f が次の条件を満たすとき
f を G から G' への強射(strict morphism)と言う。

G の開集合の f による像は f(G) の開集合である。

命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像とする。

f が強射(>>200)であるためには f(E) が F の閉集合であることが
必要十分である。

証明
f が強射であるとする。
f は E/f^(-1)(0) と f(E) の位相同型を引き起こす。
>>198 より E/f^(-1)(0) は完備である。
よって f(E) も完備であり、f(E) は F の閉集合である。

逆に、f(E) が F の閉集合であるとする。
f(E) は完備である。
Banach の開写像定理(>>192)より f は強射である。
証明終

命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を連続な線形写像で全単射とする。

このとき、f は位相同型である。

証明
Banach の開写像定理(>>192)より明らかである。

命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
M と N を E の線形部分空間で E において閉とする。
E が M と N の代数的直和であれば位相直和(過去スレ006の642)でもある。

証明
M と N は完備な位相線形空間で距離付け可能である。
M × N は距離付け可能な位相線形空間である。
過去スレ006の255より M × N は完備である。

M × N から E への写像 (x, y) → x + y は連続な線形写像で
全単射である。
>>202 より これは位相同型である。
証明終

命題
f と g を位相空間 X から Hausdorff 位相空間 Y への連続写像とする。
T = { x ∈ X | f(x) = g(x) } は X の閉集合である。

証明
X から Y×Y への写像 h を h(x) = (f(x), g(x)) により定義する。
h は連続である。
Δ = { (y, y) | y ∈ Y } とおく。
T = h^(-1)(Δ) である。
Y は Hausdorff だから過去スレ006の84より Δ は Y×Y の閉集合である。
よって T も閉集合である。
証明終

命題
f を位相空間 X から Hausdorff 位相空間 Y への連続写像とする。
f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X } は
X × Y の閉集合である。

証明
X × Y から Y への写像 (x, y) → x と (x, y) → f(x) は
どちらも連続である。
>>204 より G は X × Y の閉集合である。
証明終

定理(Banach の閉グラフ定理)
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を線形写像とする。
f が連続であるためには f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ E × F | x ∈ E }
が E × F の閉集合であることが必要十分である。

証明
f が連続なら >>205 より G は E × F の閉集合である。

逆に、G は E × F の閉集合であるとする。
過去スレ006の255より E × F は完備である。
よって G も完備である。
g : G → E を g(x, f(x)) = x により定義する。
g は連続な全単射である。
>>202 より g は位相同型である。
h : E → G を h(x) = (x, f(x)) により定義する。
h は g の逆写像であるから連続である。
p : E × F → F を射影とすれば、f = ph である。
よって f も連続である。
証明終

定理(Banach の閉グラフ定理の言い換え)
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F をそれぞれ K 上の完備な位相線形空間で距離付け可能(>>185)とする。
f : E → F を線形写像とする。

(x_n) を E の点列で lim x_n = 0 で lim f(x_n) = y が存在するような
ものとする。
このとき y = 0 が常に成り立てば f は連続である。

証明
>>206 より f のグラフ G = { (x, f(x)) ∈ E × F | x ∈ E }
が E × F の閉集合であることを示せばよい。

G の点列 ((x_n, f(x_n))) が (a, b) ∈ E × F に収束するとする。
lim x_n = a, lim f(x_n) = b である。
よって lim (x_n - a) = 0 であり、
lim f(x_n - a) = lim (f(x_n) - f(a)) = b - f(a) である。
よって命題の仮定より b = f(a) である。
よって (a, b) ∈ G である。
よって G はE × F の閉集合である。
証明終

局所凸位相線形空間において Banach の開写像定理(>>192)と
閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが必要である。
これが位相線形空間論において Frechet 空間が重要であることの理由である。

Bourbaki の位相線形空間の巻の歴史覚え書には Banach の閉グラフ定理は
Banach-Steinhaus の定理(後述)と並んで関数解析における第一級の道具で
あると書かれている。

>>208
Kummer さん、お久しぶりです。
（って言っても、匿名掲示板では、誰だかわからないか（>_<））
岩波の数学辞典によると、開写像定理と閉グラフ定理は、
かなりの一般化が進んでいるようですね。
閉グラフ定理の方は、L.Schwarts による一般化に、
「ボレルグラフの定理」
というものがあったと思います。
statement は、

f:E → F が線型写像で、E は、バナッハ空間のある族の帰納的極限、
F はススリン空間、（ E、F は両方とも局所凸 Hausdorff 位相線型空間とする ）
とするとき、f のグラフが E × F のボレル集合であれば、
f は連続である

・・というものでした。
(文献：トレーブ著「位相ベクトル空間・超関数・核 下」)

以上、僭越ながら、コメントさせてもらいました m(_ _)m

>>209

有難うございます。
その定理は Bourbaki にもありますね。
それが Schwarts によるものとは知りませんでした。

訂正

>>205
>X × Y から Y への写像 (x, y) → x と (x, y) → f(x) は
>どちらも連続である。

X × Y から Y への写像 (x, y) → y と (x, y) → f(x) は
どちらも連続である。

訂正。

>>208
>閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
>距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが必要である。

>閉グラフ定理(>>206)が適用できるためには、その空間が完備で
>距離付け可能であること、即ち Frechet 空間(>>2)であることが十分である。

クンマーさんへ

このスレはあなた以外に書かないし、誰も興味がないので
「sage」で書いてもらえませんか？

時々上がって来て、目障りなんです。
sageで書いても、あなたには実害はないはずですので
よろしくお願いいたします。

目障りってなんで？

だって、上がって来たのを普通読むじゃないですか？
読むつもりが全くないスレが上がって来るのは
邪魔なんです。これって普通のことですよ。

>>213 >>215
ここに、読むつもりがある人もいるのだが・・。
少し我慢してもらえまいか？

>>215
>読むつもりが全くないスレが上がって来るのは
>邪魔なんです。

なんで邪魔なのかよく分からないんだが。
無視すりゃいいだけなんじゃないの？

サゲではなぜ駄目なんですか？
２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。
自分の覚書に使うなら、何も２ちゃんでやる必要なんてないでしょう。
サゲでお願いします。

荒らしの書き込みを別にすれば、このスレの９８％は
スレ主さんの書き込みです。このようなスレは
sageで行うのがネチケットというものです。

>>218
>２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。

一回に閲覧出来るってどういう意味？
それとアゲサゲがどう関係するかも分からない。
もっと分かりやすく説明してください。

>>218
>２ちゃんの数学板で一回に閲覧出来るスレッドは限られています。

age か sage かは置いておいて、
落ちてないスレは全て表示できるはずなんだが、やり方わかっているか？
700個くらいのスレが表示されるはずだぞ。

↓この表示だと、確かに、スレは１００くらいしか表示されない

http://science6.2ch.net/math/index.html

↓この表示だと、７００くらい表示される

http://science6.2ch.net/math/subback.html

すまん。前者の方は、２００くらい表示されていた。
下のほうの、「スレッド一覧」をクリックすると、全部表示されるはず。

http://science6.2ch.net/math/index.html

これで１０レスくらいが見られるスレは
そんなに多くないでしょ

ともかく迷惑ですよ　９８％もスレ主しか書いていないスレは
サゲ進行でも問題ないでしょ？　kingのスレとか
無意味なスレが上がって来るばかりで、迷惑するのと
少し意味は違いますが、個人の都合でやっているスレは
サゲでお願いします。

だから何が迷惑なのか理由を分かりやすく書いてもらわないと。
単にあんたの個人的感情から出てる意見なら説得力ゼロ。

てめえがいつまでも上げるなら、徹底的に荒らすぜ

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

数１の途中式なので、高校レベルではないかもしれませんが、回答宜しくお願いします；

2πK^2r^2＋2πK^2rh
この式をK^2をくくりだして
＝K^2(2πr^2＋2πrh)
にすることはできますか？

俺の知識

線形代数　全国トップレベル
微分積分　国内上位のほう
位相　　　　一番得意
常微分方程式　　知識皆無
ルベーグ積分　　知識皆無
リーマン幾何　まだ知識はそれほど多くはないが、実力は十分
複素関数論　　人並み程度。
代数学　　　　　上位
位相幾何　　基本的なことしかわからない。

俺何やればいいんですかね？

京都大学数学の入試問題
「三次の積分公式に関する問題を作り、解け」
「定積分で表された関数に関する問題を作り、解け」
「ルジャンドルの多項式に関する問題を作り、解け」
「最小二乗法に関する問題を作り、解け」
「絶対値の入った定積分に関する問題を作り、解け」
「存在領域の面積に関する問題を作り、解け」
「ｎ倍角の公式に関する問題を作り、解け」

＞コンピュータ・ソフトウェアの発展における
＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか

まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。


＞コンピュータ・ソフトウェアの発展における
＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか

まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。


＞コンピュータ・ソフトウェアの発展における
＞理論面での貢献は大きかったのではなかろうか

まともな論文すらない奴が、貢献できるわけないやろ。
コネか何かの温情で教授になれただけ。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

おい　Kummer ◆g2BU0D6YN2

おまえ、sageで書けよ

理由は？

あぼーん

あぼーん

もの好きだなｗ

>>224がスレの見方も分らないくらい頭悪いってことはわかった。

つか、sageろって言ってる本人がageてるんだから
普通に考えりゃただの釣りだ罠ｗ
いや、質のきわめて低い劣悪な釣りかｗ

大勢の意見を聞きたいと言うことではないか？
ちなみに、このスレが上がるのは確かに目障りだ。

なら専ブラ使えばいいのに＾＾；

>>249
つV2C

Banach-Steinhaus の定理（後述）を証明するには関数列の単純収束と
一様収束の関係を詳細に調べる必要がある。
これには同程度連続な関数族という概念が重要である。

Bourbaki の位相の巻の１０章（関数空間）の歴史覚え書によると、
Weierstrass と Riemann の影響の下で一様収束とそれに関連した諸問題の
組織的見当が１９世紀後期にドイツとイタリアで行われた。
このとき Ascoli は同程度連続という概念を導入し、連続関数の族で
相対コンパクトとなるものを特徴付ける定理を得た。
この定理は後に複素解析関数論における Montel の正規族の理論で
普及された。正規族とは正則関数からなる相対コンパクト集合のことである。
これを使って有名な Riemann の写像定理が証明される。

あのな。sage強要とか素人は書くな、とか2chの大元の主旨に
反するんだわ。専門知識から今晩の献立までって言う位なのに｡
一部のプロの排他的溜まり場じゃないんだよ｡

sage強要撲滅委員会 Part28
http://ex21.2ch.net/test/read.cgi/accuse/1200638828/

あぼーん

つか、sageろって言ってる本人がageてるんだから
普通に考えりゃただの釣りだ罠ｗ
いや、質のきわめて低い劣悪な釣りかｗ

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>249

ageるのが目障りっていう理由が分からないのだが。
何故目障りなのか分かるように説明してくれ。

おれは別に目障りではない。たまに読むから

興味なかったら読まなければいいだけだろ。
それがなぜ目障りなの？
自分の興味あるものだけageて欲しいのか？
何様ですか？
あんたのためだけに世の中が回ってるわけではない。

俺にもこのスレは目障り
実際、このスレに書き込んでいるのは概ね１名
そんなスレが上がって来る必要はない

だから興味なければ読まなければいいだろ。
それで終わり。

はここのスレ意味わかんねぇよ
オレ数学大嫌いだぜ

あがってこないなら文句はない
便所の落書きだって、便所に入る人には目障りだが、
便所に入らない人には関係ないのと同じ

このスレは便所の落書き

まあまあ、いいんじゃね？

上がってきたら、変なものをコピペしてやればいいんだからｗ

Kummer ◆g2BU0D6YN2って何者？

こういう個人の覚書をアゲられると、目障りであるのは事実だな

何でシアーハートアタック喰らってんのこのスレ

sage強要撲滅委員会

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>267

だから一度見て興味なけりゃ二度と見なければいい。
それで終わりだろ。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>268
>上がってきたら、変なものをコピペしてやればいいんだからｗ

そこまで気になるのかｗ
ひょっとして劣等感の裏返しですか？

このスレについて俺と同じように思っている人が結構いたんだね。

あぼーん

age て欲しくない本人が age てるんだから、
単なる荒らしだろ。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

まぁ荒らされるんならsageたほうがよいかもね

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>289

俺は荒しは読まないから問題ない。

Kummer、コテ外して連投するなよ

俺の勝手だし

>>294
俺は クマーじゃないよ。

誰でもいい

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

定義
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。
x_0 を X の点とする。

Y の任意の近縁 V に対して x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U と f ∈ H について (f(x_0)､ f(x)) ∈ V のとき
H は x_0 で同程度連続(equicontinuous)であると言う。
H が X の各点で同程度連続のとき、H は同程度連続であると言う。

定義
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。

Y の任意の近縁 V に対して X の近縁 U があり、
任意の (x、y) ∈ U と f ∈ H について (f(x)､ f(y)) ∈ V のとき
H は同程度一様連続(uniformly equicontinuous)であると言う。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

補題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
x_0 と x_1 を X の点とする。

Y の任意の閉近縁 V に対して (f(x_0)､ f(x_1)) ∈ V となる f ∈ F(X, Y)
の全体 M は F(X, Y) の単純収束の位相(過去スレ007の154)で閉集合である。

証明
ψ_0(f) = f(x_0) により写像 ψ_0 : F(X, Y) → Y を定義し、
ψ_1(f) = f(x_1) により写像 ψ_1 : F(X, Y) → Y を定義する。

ψ_0 と ψ_1 は F(X, Y) の単純収束の一様構造で一様連続である。
よって f ∈ F(X, Y) に (f(x_0)､ f(x_1)) ∈ Y × Y を対応させる
写像 Ψ は連続である。
M = Ψ^(-1)(V) であるから M は閉集合である。
証明終

あぼーん

Kummerがどうだとか難癖つけて、それをいい事に
荒らしやってる時点で悪だろ
つか荒らしに賛同してる馬鹿まで居るし

何でこんな事がまかり通ってんだよ

あぼーん

これｱｸ禁願いを出せばｱｸ禁にできるよ

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。
F(X, Y) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
x_0 を X の点とする。
H が x_0 で同程度連続(>>315)でれば H の閉包 H~ も
x_0 で同程度連続である。

証明
V を Y の任意の閉近縁とする。
H は x_0 で同程度連続だから x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U と f ∈ H について (f(x_0)､ f(x)) ∈ V となる。

x ∈ X に対して (f(x_0)､ f(x)) ∈ V となる f ∈ F(X, Y) の
全体を M(x) と書く。>>321 より M(x) は閉集合である。
従って M = ∩{M(x) | x ∈ U} も閉集合である。
H ⊂ M だから H~ ⊂ M である。
過去スレ006の205より Y の閉近縁全体は Y の基本近縁系
(過去スレ006の195)である。
よって H~ は x_0 で同程度連続である。
証明

命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。
F(X, Y) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
H が同程度一様連続(>>316)であれば H の閉包 H~ も
同程度一様連続である。

証明
V を Y の任意の閉近縁とする。
H は同程度一様連続だから Y の近縁 U があり、
任意の (x、y) ∈ U と f ∈ H について (f(x)､ f(y)) ∈ V となる。

(x, y) ∈ X × X に対して (f(x)､ f(y)) ∈ V となる f ∈ F(X, Y) の
全体を M(x, y) と書く。>>321 より M(x, y) は閉集合である。
従って M = ∩{M(x, y) | (x, y) ∈ U} も閉集合である。
H ⊂ M だから H~ ⊂ M である。
過去スレ006の205より Y の閉近縁全体は Y の基本近縁系
(過去スレ006の195)である。
よって H~ は同程度一様連続である。
証明

あぼーん

問題の定義が出来る場と、証明が出来る場は違う。
この点は判って読んだよな。
で、結論は、どうだ。
解けたと判ったのか。
判れば天使。
判らなければ悪魔。

あぼーん

あぼーん

荒らしがeo民じゃなことを祈る。せっかく解除されたので。

あぼーん

命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

>>334 の続き。

D は X で稠密だから D ∩ U(x_i) ≠ φ である。
各 D ∩ U(x_i) から点 a_i を選び F = {a_1, ... , a_n } とする。
任意の x ∈ A に対して x ∈ U(x_i) となる i がある。

f ∈ H, g ∈ H で任意の a_i ∈ F に対して (f(a_i), g(a_i)) ∈ W
とすれば
(f(x), f(a_i)) ∈ W^2, (g(a_i), g(x)) ∈ W^2 だったから
(f(x), g(x)) ∈ W^5 ⊂ V である。
証明終

やっと落ち着いて見ることができる。
>>1 によれば、基本的に、レスはしないということだが、
やはり Kummer さんには、がんばってほしい。

Kummer には消えて欲しいｗ

どうやれば１からみれるの

あぼーん

あぼーん

・Kaczynski, T.J. 1965. Boundary functions for functions defined in a disk. J. Math. and Mech. 14(4):589-612.の結果の一部

Dを複素平面内の単位開円盤、fをDからDへの同相写像とする。Dの境界上の点におけるfの値を、可能なら、円盤内部の点列のlimitで定義する（収束値が確定しない点は除くという意味）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このとき： fは境界上の可算個の点を除いて、Dの閉包の上の連続写像に延長できる。

あぼーん

Ｖが体Ｋベクトル空間である事を示せって言われたら
∀ａ、∀ｂ∈Ｖ
∀λ、∀μ∈Ｋに対して
λａ＋μｂ∈Ｖ
を示せばいいんですか？それとも更にＶの加法の交換則、結合則、単位元、逆元と
Ｋに対して乗法の交換則、結合則、単位元、逆元がある事を示せばいいのですか？

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>334 の命題の仮定において X は一様空間でなくてもよかった。
後の参照に不便なので改めて述べる。

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。

このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。

証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。

すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。

W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。

(続く)

>>351 の続き。

D は X で稠密だから D ∩ U(x_i) ≠ φ である。
各 D ∩ U(x_i) から点 a_i を選び F = {a_1, ... , a_n } とする。
任意の x ∈ A に対して x ∈ U(x_i) となる i がある。

f ∈ H, g ∈ H で任意の a_i ∈ F に対して (f(a_i), g(a_i)) ∈ W
とすれば
(f(x), f(a_i)) ∈ W^2, (g(a_i), g(x)) ∈ W^2 だったから
(f(x), g(x)) ∈ W^5 ⊂ V である。
証明終

あぼーん

あぼーん

ｆ（ｘ）＝４^ｘ＋４^（−ｘ）−２^（３＋ｘ）＋２^（３−ｘ）＋１６
の最小値を求める問題なんですが
ｆ（ｘ）＝｛２^ｘ＋２^（−ｘ）｝^２−８｛２^ｘ−２^（−ｘ）｝＋１４
まで求めることはできました。
｛２^ｘ＋２^（−ｘ）｝でくくることもできないし
続きが分からないので教えてください。

あぼーん

あぼーん

今リッチ曲率の定義調べててふと思ったのですが、
なんでリーマン曲率テンソルが(1,3)にテンソル場なのかがわかりません。

テンソル場の定義から考えておかしいと思います。

そもそもC∞ベクトル場の3個の直積からC∞ベクトル場への写像なのに
テンソルになるのが理解できません。

捩率テンソル場も同様です。これもなんて(1,2)次テンソル場になるのかがわかりません。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。

F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による H の閉包 H~ は
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)による
H の閉包と一致する。

証明
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ C(X, Y) である。

C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包を H' とする。
コンパクト収束の位相は単純収束の位相より細かいから H~ は
コンパクト収束の位相でも閉である。
よって H' ⊂ H~ である。

>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H' は H~ において単純収束の位相で閉である。
よって H' = H~ である。
証明終

定義
位相空間の部分集合 A が X のコンパクト集合に含まれるとき
A を相対コンパクトという。

命題
ハウスドルフ空間 X の部分集合 A が相対コンパクト(>>364)であるためには
A の閉包 A~ がコンパクトであることが必要十分である。

証明
十分なことは明らかである。

A が相対コンパクトなら A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある。
X はハウスドルフだから K は閉集合である。
よって A~ ⊂ K である。A~ はコンパクト集合 K の閉集合だから
コンパクトである。
証明終

Ascoli の定理の一つの証明にはコンパクト空間の積がコンパクトである
というチホノフ(Tychonoff)の定理を使う。
チホノフ(Tychonoff)の定理は周知であるが一応証明しておく。

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

http://www.altmc.jp/amc/practicum/calculus/lessons/015/0098.html?homeward=../009/0076.html
ここの「置換して積分」の所を見ていて疑問が湧きました。
dt/dx t=x+√(x^2+1)をxで微分した値に置き換えています。
その後普通に微分を行ってますが、この時にxを無視して微分しています。
t=x+√(x^2+1)なのだからxもtの関数だと思うのですが、なぜ無視してtだけの微分でいいのでしょうか？

あぼーん

単位時間に排出される水の量をdV/dt、単位時間に減少する水面の高さをdhとする。
また、水面の高さhにおいて水面の半径は√hであり、水の量(体積)はV=π(h^2)/2である。
単位時間に断面積aの穴を通過する水の量は(dV/dt)であり、これはa√(2gh)に等しい。
したがって(dV/dt)=(dV/dh)/(dh/dt)=πh(dh/dt)
πh(dh/dt)=a√(2gh)。

・・・これで合ってるか？教えてエロい人！

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

>>338
中卒止まり携帯房の俺に劣る閲覧能力

俺はクンマーのよりも、エロ話の方を楽しく読んでいるぜｗ

あぼーん

あぼーん

エロ話は、板違い。他でやってくれ。

ここで荒らしてるやつをアク禁にしてくれ

それが、アク禁依頼所は存在せず、ただ報告する所があるだけで
判断された時のみ規制発動…らしいのよ｡
報告所３つあるが、１人で回るとマルチになるので
手分けして報告する必要があるみたい｡

記す｡
【単独スレ】スクリプト・コピペ報告スレッド97【全板共通】
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/sec2chd/1202184263/

>>387
俺もできれば報告してやりたいが、
文面というか、手順というか、それが良くわからない。

必死だなｗ

あぼーん

あぼーん

あぼーん

捨て置け捨て置け。
ｸﾏｰはﾄﾘつけてるんだから抽出するか、
あぼーんすりゃいいんだよ。

定義
X を集合とする。
X の部分集合の集合 Γ の任意の有限個の共通部分が空でないとき
Γ は有限交差性を持つと言う。

命題
X を集合とする。
X の部分集合の集合 Γ を含むフィルター(過去スレ006の75)が存在する
ためには Γ が有限交差性(>>395)を持つことが必要十分である。

証明
必要性は明らか。

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。
このフィルター基底から生成されたフィルター(過去スレ006の78)は
Γ を含む。
証明終

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の閉集合からなる
集合 Γ が有限交差性(>>395)をもてば Γ に属す全ての集合の
共通部分が空でないことが必要十分である。

証明
{ X - F | F ∈ Γ } が X の被覆であるためには
∩{ F | F ∈ Γ } が空集合であることが必要十分であることに
注意すればよい。
証明終

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の任意の
フィルター(過去スレ006の75)が接触点(過去スレ006の132)を持つことが
必要十分である。

証明
必要性：
X が準コンパクトであるとし、Ψ を X のフィルターとする。
{ M~ | M ∈ Ψ } は有限交差性(>>395)をもつから >>397 より
Ψ は接触点を持つ。

十分性：
X の任意のフィルターが接触点を持つとする。
X の閉集合からなる集合 Γ が有限交差性を持つとする。
>>396 より Γ を含むフィルター Ψ が存在する。
Ψ は接触点を持つから Γ に属す全ての集合の共通部分は空でない。
>>397 より X は準コンパクトである。
証明終

>>398

{ M~ | M ∈ Ψ } における M~ は M の閉包を表す。

命題
X を集合とする。
X のフィルター(過去スレ006の75) Ψ が極大フィルター(過去スレ006の305)
であるためには次の条件が必要十分である。

N を X の部分集合とする。
全ての M ∈ Ψ に対して M ∩ N ≠ φ であれば N ∈ Ψ

証明
Ψ が極大フィルターとし、全ての M ∈ Ψ に対して
M ∩ N ≠ φ とする。
明らかに Ψ と {N} を含むフィルターが存在する。
これは Ψ と一致するから N ∈ Ψ である。

逆に、Ψ が命題の条件を満たすとする。
Ψ が極大フィルターでなければ Ψ ⊂ Φ となるフィルター Φ で
Ψ ≠ Φ となるものが存在する。N ∈ Φ - Ψ をとれば、
全ての M ∈ Ψ に対して M ∩ N ≠ φ であるが N ∈ Ψ ではない。
これは矛盾である。
証明終

命題
X を位相空間とする。
Ψ を X の極大フィルター(過去スレ006の305)とする。
Ψ の接触点(過去スレ006の132)と極限点(過去スレ006の131)は
同じものである。

証明
>>400 より明らかである。

命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の任意の
極大フィルター(過去スレ006の305)が収束することが必要十分である。

証明
X が準コンパクトとし、Ψ を極大フィルターとする。
>>398 より Ψ は接触点を持つ。
>>401 より Ψ は収束する。

逆に、X の任意の極大フィルターが収束するとする。
Ψ を X の任意のフィルターとする。
Zorn の補題より Ψ を含む極大フィルター Φ が存在する。
Φ は収束するから接触点をもつ。よって Ψ も接触点をもつ。
>>398 より X は準コンパクトである。
証明終

命題
X と Y を集合とし、f : X → Y を写像とする。
X の極大フィルター(過去スレ006の75) Ψ に対して
f(Ψ) = { f(M) | M ∈ Ψ } は Y の極大フィルターの基底である。

証明
N を Y の部分集合とする。
全ての M ∈ Ψ に対して f(M) ∩ N ≠ φ とする。
M ∩ f^(-1)(N) ≠ φ であるから >>400 より f^(-1)(N) ∈ Ψ である。
M = f^(-1)(N) とおけば、f(M) ⊂ N である。
即ち、N は f(Ψ) で生成されるフィルターに属す。
>>400 より f(Ψ) は極大フィルターの基底である。
証明終

証明
必要性は明らか。

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。

訂正

>>403
>X の極大フィルター(過去スレ006の75) Ψ に対して

X の極大フィルター(過去スレ006の305) Ψ に対して

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体は

ってどうして？

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

１−（１/9)＾0.4
これどうやって計算するんですか
答えは0.584なんですが、途中計算を解説してください

あぼーん

あぼーん

0.58475635346…

あぼーん

あぼーん

あぼーん

点Ｐを通る２直線が､円Ｏとそれぞれ２点Ａ､Ｂと２点Ｃ､Ｄで交わる｡
このときに､次の問に答えよ｡


(2)PA･PB=PC･PDになることを証明せよ｡
　
↑って方べきの定理より成り立つ｡だと短すぎってか証明になってませんよね？

１つだけ思い当たるものがあるんですが、
まさか1994年にAcademic Pressから出版されたNoncommutative Geometryのことではないですよね。

もしそうだとすると不自然なんですよね。
1999年に出版された岩波の非可換幾何学入門
は1990年のフランス語版を訳したものですが、
何で岩波は1994年の英語版を訳さなかったんでしょうね。
ページ数が多いとはいえ、1994年版を訳した方が自然な筈なんですが.....。

あぼーん

命題
(X_i), i ∈ I を位相空間の族とし、 X = ΠX_i を直積空間とする。
p_i : X → X_i を射影とする。
Ψ を X のフィルターとする。
各 i に対してフィルター基底 p_i(Ψ) が x_i ∈ X_i に収束すれば
Ψ は x = (x_i) に収束する。

証明
V を x の任意の近傍とする。
X の位相の定義から I の有限部分集合 J と各 j ∈ J に対して
x_j の近傍 U_j があり ∩{ (p_j)^(-1)(U_j) } は x の近傍で V に
含まれる。
仮定より各 j ∈ J に対して p_j(Ψ) は x_j に収束するから
p_j(M_j) ⊂ U_j となる M_j ∈ Ψ がある。
∩M_j ⊂ ∩{ (p_j)^(-1)(U_j) } であり ∩M_j ∈ Ψ であるから
Ψ は x = (x_i) に収束する。
証明終

定理(Tychonoff)
(X_i), i ∈ I を準コンパクト(過去スレ006の104)な位相空間の族とする。
直積空間 X = ΠX_i は準コンパクトである。

証明
>>402 より X の任意の極大フィルター Ψ が収束することを示せばよい。
p_i : X → X_i を射影とする。
>>403 より、各 i に対して p_i(Ψ) は X_i の極大フィルターの基底である。
X_i は準コンパクトだから >>403 より p_i(Ψ) は極限点 x_i をもつ。
x = (x_i) を各 x_i を i-座標に持つ X の点とする。
X_i が Hausdorff 空間でないときは p_i(Ψ) の極限点は一意に決まらない
から、このような x = (x_i) の存在することは選択公理による。
>>431 より Ψ は x に収束する。
証明終

コテが嫌いだからといってこれはひどい
もうやめろ

そうだよね。Kummerさんは、ある意味で、ひじょうに数学板の趣旨に沿っているのに・・

Tychonoffの定理(>>432)に関連して準コンパクトな一様空間の積に
ついて考える。

それがどーした？

その前に一様空間の完備化(過去スレ006の288)について復習する。

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X × X の部分集合 R を
R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す }
で定義する。

R は同値関係である。

証明
X の任意の近縁は対角集合 Δ = {(x, x) ; x ∈ X } を含むから
Δ ⊂ R である。
V を X の近縁としたとき V^(-1) = {(x, y) ∈ X×X ; (y, x) ∈ V }
も X の近縁である。
よって (x, y) ∈ R なら (y, x) ∈ R である。

X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる近縁がある(過去スレ006の194)。
(x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R なら (x, y) ∈ W, (y, z) ∈ W であるから
(x, z) ∈ W^2 ⊂ V である。
よって (x, z) ∈ R である。

以上から R は X の同値関係である。
証明終

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X × X の部分集合 R を
R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す }
で定義する。

>>438 より R は同値関係である。
Y を X の R による商集合 X/R とする。
f : X → Y を標準射とする。

V が X の近縁全体を動くとき (f×f)(V) の全体は Y の一様構造
である。

証明
Δ~ = {(x, x) ; x ∈ Y } を Y×Y の対角線集合とする。
過去スレ006の194より以下の (1)〜(5) を示せばよい。

(1) V~ ∈ Φ なら Δ~ ⊂ V~
(2) V~ ∈ Φ を含む Y×Y の部分集合は Φ に属す。
(3) V~ ∈ Φ, W~ ∈ Φ のとき V~ ∩ W~ ∈ Φ
(4) V~ ∈ Φ のとき (V~)^(-1) ∈ Φ
(5) V~ ∈ Φ のとき W~W~ ⊂ V~ となる W~ ∈ Φ がある。

(1), (2), (4) は自明なので (3) と (5) のみ示す。

(続く)

>>439 の続き。

(3) の証明：
Y の任意の近縁 V~ と W~ に対して、
V = (f×f)^(-1)(V~)
W = (f×f)^(-1)(W~)
とおく。
V と W は X の近縁である。
f は全射だから (f×f)(V) = V~, (f×f)(W) = W~ である。
(f×f)(x, y) ∈ (f×f)(V) なら (x, y) ∈ (f×f)^(-1)(V~) = V である。
同様に
(f×f)(x, y) ∈ (f×f)(W) なら (x, y) ∈ (f×f)^(-1)(W~) = W である。
よって
(f×f)(V ∩ W) = (f×f)(V) ∩ (f×f)(W) = V~ ∩ W~
よって V~ ∩ W~ ∈ Φ

(5) の証明：
V~ を Y の近縁とする。
V = (f×f)^(-1)(V~) は X の近縁である。
W^3 ⊂ V となる X の近縁がある。
W~ = (f×f)(W) とおく。

(x~, y~) ∈ W~, (y~, z~) ∈ W~ とする。
x~ = f(x), y~ = f(y_0) となる (x, y_0) ∈ W があり、
y~ = f(y_1), z~ = f(z) となる (y_1, z) ∈ W がある。

f(y_0) = f(y_1) だから (y_0, y_1) ∈ W である。
よって (x, z) ∈ W^3 ⊂ V である。

よって (f(x), f(z)) ∈ (f×f)(V) となる。
これは W~W~ ⊂ V~ を意味する。
証明

と W は X の近縁である

Y の任意の近縁 V~ と W~ に対して、
V = (f×f)^(-1)(V~)
W = (f×f)^(-1)(W~)

f : X → Y を標準射とする
V を X の近縁としたとき V^(-1) = {(x, y) ∈ X×X ; (y, x) ∈ V }
も X の近縁である。
V を X の近縁としたとき V^(-1) = {(x, y) ∈ X×X ; (y, x) ∈ V }
も X の近縁である。
V を X の近縁としたとき V^(-1) = {(x, y) ∈ X×X ; (y, x) ∈ V }
も X の近縁である。

新井仁之（東大数理教授：実解析）
　1997年　日本数学会春季賞「複素解析と調和解析の研究」
中沢則之（退職）
　アカハラを受けやむなく退職
会田茂樹（情報）（大阪大学基礎工学研究科教授：確率解析）
　2007年　日本数学会解析学賞「無限次元空間上の確率解析」
有沢真理子（情報、退職）（フランス：数理ファイナンス）
　1996年　パリ9大学にてフィールズ賞受賞者 Lionsの下で学位を取得。
　2007年3月　アカハラを受けやむなく退職。その後、再びフランスへ渡り活躍中。
内山明人（情報、自殺）（実解析）
　猪狩惺とならび東北の実解析の第一人者であったが、1997年ノイローゼにより自殺。
梁淞（情報）（東京工業大学准教授：確率論）
　2003年　建部賢弘賞受賞「大偏差原理の精密評価」

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
分離一様空間 Y と一様連続な全射 ψ : X → Y で次の性質を満たすものが
存在する。

Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。

証明
X × X の部分集合 R を
R = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) は X の任意の近縁に属す }
で定義する。

>>438 より R は同値関係である。
Y を X の R による商集合 X/R とする。
ψ : X → Y を標準射とする。
>>439 より V が X の近縁全体を動くとき (ψ×ψ)(V) の全体は
Y の一様構造である。

(x, y) ∈ R とする。
Z の任意の近縁 V に対して Y の近縁 W があり (x, y) ∈ W のとき
(f(x), f(y)) ∈ V である。
(x, y) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ V である。
V は任意の近縁で Z は分離だから過去スレ006の214より
f(x) = f(y) である。

よって Y の元 ψ(x) にたいして f(x) は一意にきまる。
g(ψ(x)) = f(x) により写像 g : Y → Z を定義する。
f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による
逆像であるから g は一様連続である。
g の一意性は ψ が全射であるから明らかである。
証明終

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
>>444 より、分離一様空間 Y と一様連続な写像 ψ : X → Y で
次の性質を満たすものが存在する。

Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。

Y_0 を分離一様空間で一様連続な写像 ψ_0 : X → Y_0 が同様な性質を
持つとする。

一様空間の同型 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものがある。

証明
一様連続写像 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものが一意に存在する。
同様に、一様連続写像 h : Y_0 → Y で ψ = hψ_0 となるものが
一意に存在する。
ψ = hψ_0 と ψ_0 = φψ より ψ = hφψ である。
hφ の一意性から hφ = 1 である。
同様に ψ_0 = φhψ_0 と φh の一意性から φh = 1 である。
即ち φ は同型である。
証明終

定義
X を一様空間とする。
>>444 で構成した分離一様空間 Y を一様空間 X に伴う分離一様空間と
言う(過去スレ006の294を参照)。
ψ : X → Y をその標準射と言う。

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
Y を分離一様空間とし、ψ : X → Y を一様連続な全射とする。
さらに X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像とする。

Y_0 を X に伴う分離一様空間とし、ψ_0 : X → Y_0 を標準射とする。

このとき一様空間の同型 φ : Y → Y_0 で ψ_0 = φψ となるものが
存在する。

証明
>>445 より、次を証明すればよい。

Z を分離一様空間として f : X → Z を一様連続写像とすると、
一様連続写像 g : Y → Z で f = gψ となるものが一意に存在する。

ψ(x) = ψ(y) であることは (x, y) が X の任意の近縁に属すことと
同値であるから、上は >>444 の証明とまったく同じに出来る。
証明終

新井仁之（東大数理教授：実解析）
　1997年　日本数学会春季賞「複素解析と調和解析の研究」
中沢則之（退職）
　アカハラを受けやむなく退職
会田茂樹（情報）（大阪大学基礎工学研究科教授：確率解析）
　2007年　日本数学会解析学賞「無限次元空間上の確率解析」
有沢真理子（情報、退職）（フランス：数理ファイナンス）
　1996年　パリ9大学にてフィールズ賞受賞者 Lionsの下で学位を取得。
　2007年3月　アカハラを受けやむなく退職。その後、再びフランスへ渡り活躍中。
内山明人（情報、自殺）（実解析）
　猪狩惺とならび東北の実解析の第一人者であったが、1997年ノイローゼにより自殺。
梁淞（情報）（東京工業大学准教授：確率論）
　2003年　建部賢弘賞受賞「大偏差原理の精密評価」

義母は右手でチ＊ポの根元を握り口を前後に動かした

義母「う　うっ　うぐっっ　うふん・・・」

俺「くわえるだけじゃダメだよ　舌も使って！」

そう言うとチ＊ポの先を舐めだした　言う事は聞くみたいだ
サオからタマまで舐めさせ　奥までくわえさせる

俺「お義母さん　上手だね　そうとうフェラしてたね？」

恥かしいのか返事もしないでフェラし続けた
このまま口内発射して飲ますのもいいが・・・
チ＊ポを口から抜いて義母を立たして歩かした

義母「ど　どこに行くの？」　　不安そうに言った

俺「部屋が汚れたらまずいでしょ　風呂に行こうよ
　　口じゃだめだから　入れさせてもらうよ」

義母「だ　だめよ　それだけは　ゆるして・・」

風呂の前で立ち止まり戻ろうとこちらに振り返った
そのからだを抱きしめまたキスをした

義母「むむむ　うう　うーー　うん　んんん」

>>444
>f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による
>逆像であるから g は一様連続である。

X の一様構造が Y の一様構造の ψ による逆像であることは自明では
なかった。
よってこの証明を述べる。

有沢真理子（情報、退職）（フランス：数理ファイナンス）
　1996年　パリ9大学にてフィールズ賞受賞者 Lionsの下で学位を取得。
　2007年3月　アカハラを受けやむなく退職。その後、再びフランスへ渡り活躍中。
内山明人（情報、自殺）（実解析）
　猪狩惺とならび東北の実解析の第一人者であったが、1997年ノイローゼにより自殺。
梁淞（情報）（東京工業大学准教授：確率論）
　2003年　建部賢弘賞受賞「大偏差原理の精密評価」

sin(X) + cos(X) = (√2)sin(X +π/4) だから
(与式) = ∫(0→π) {(1/2)log(2) + log|sin(X +π/4)|} dX
　= (π/2)log(2) + ∫(0→π) log|sin(X +π/4)| dX
　= (π/2)log(2) + ∫(0→π) log(sin(X)) dX　　　{← |sin(X)| は周期π なので、ずらしても同じ}
ここで >>97 の公式を代入しる.

f = gψ は一様連続であり X の一様構造は Y の一様構造の ψ による

俺は高設定つかんだら打ち切るのが正しいと思ってるけど
勝ってる時は常に引き際を考えて打ってるよ。
エヴァとかドリスタの６っぽい台なら１０時１５分ぐらいまで打つけど
それ以外ならプラスの内にできるだけやめるようにしてる。
理由は勝負事ってのは負けだすと思考がおかしくなりやすいからで、
スロットならマイナスが続くと立ち回りがおかしくなりやすい。
逆にプラスが続くと心に余裕ができるから立ち回りが安定する気がする。

基本プロは設定６なら閉店まで、一般人は満足したらでいいだろ
あと割101%は勝率100%だ
負け組は一日単位で『勝った』だ『負けた』だ言ってるから勝率100%だと思わないだけ、
つまり一日単位でしか考えられないバカ
確かに一日単位なら100%じゃないがギャンブルなんて辞めるまでギャンブルしてる最中なのだから
無限回数の試行をしてると言う事になる
ならば理論上規定回数(統計みたいに1/?の確率なら何回転ぐらいすれば大体分る)の試行で
割数101%は勝率が100%じゃない訳がない
まぁあくまで理論上はなｗ

命題
>>444 において X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像である。

証明
ψ は一様連続だから X の一様構造は Y の一様構造の ψ による逆像より
細かい。
従って、X の一様構造が Y の一様構造の ψ による逆像より荒いことを
示せばよい。

V を X の任意の近縁とする。
W^3 ⊂ V となる X の対称近縁がある。
W~ = (ψ×ψ)(W) とおく。

(ψ×ψ)^(-1)(W~) ⊂ V を示せばよい。

(x, y) ∈ (ψ×ψ)^(-1)(W~) とする。
(ψ(x), ψ(y)) ∈ (ψ×ψ)(W) であるから
(ψ(x), ψ(y)) = (ψ(a), ψ(b)) となる (a, b) ∈ W がある。
ψ(x) = ψ(a) であるから (x, a) ∈ W である。
同様に ψ(y) = ψ(b) であるから (y, b) ∈ W である。
よって (x, y) ∈ W^3 である。
即ち、(ψ×ψ)^(-1)(W~) ⊂ W^3 ⊂ V である。
証明終

命題
X を一様空間とし、Y を分離かつ完備な一様空間とする。
f : X → Y を一様連続写像とする。
f(X) は Y において稠密であり、
X の一様構造は f(X) の一様構造の f による逆像であるとする。

このとき Y は X の完備化と同一視され f は完備化の標準射と
同一視される。

証明
>>447 より f(X) は X に伴う分離一様空間(>>446)と同一視され
f : X → f(X) はその標準射と同一視される。
Z を分離かつ完備な一様空間とし、g : X → Z を一様連続写像とする。
>>444 より一様連続写像 h: f(X) → Z で g = hf となるものが一意に
存在する。
Z は完備で f(X) は Y で稠密だから、一様連続写像の延長定理
(過去スレ006の272)より h は一様連続写像 h^ : Y → Z に
一意に延長される。
従って f : X → Y は一様空間の完備化の定理(過去スレ006の287)
の性質 (P) を持つ。
従って f : X → Y は X の完備化と同一視される。
証明終

ある問題の解説に理解できないところあります。

（省略）
f(x)=x^3+(1/2)x+(1/3√6)
これをy=xの交点は、
x^3+(1/2)x+(1/3√6)-x=0
の解であり、pが重解なので、もう1方の解をqとすると、解と係数の関係から、
p+p+q=0


p+p+q=0とどうしてなるのかわかりません。
pを重解をもつから、(x-p)^2(x-q)=0の形になることぐらいしか思いつきません。

例えば、リングにかけろ10台の内１台だけ設定�E（機械割120%）がある。
そんなイベントに行き続ける場合、�Eに当たった時の平均出玉を4000枚（等価で8万円）とすると、
1/10で�Eに当たる事になるので、外れた9回は平均8000円負けてもトータルでプラスの計算。�E以外全部�@としても、
リングにかけろの設定�@を4000回回しても機械割97％で8000円まで負けない。
4000回転以内で設定�Eではないと判断すればトータルで勝ちです。
それを毎回1000回転以内で判断すれば、それは、大勝ちです。
設定�Eじゃないと判断するのは、結構簡単です。
設定�@は極力打ちたくないので、朝はなるべく打たないで１台とっておいて他のリングにかけろの挙動を見学。
他の台で設定�Eらしき挙動の台があれば帰る。
また朝ゆっくり打っている内に当たりの台（設定�E）なら、ゆっくり打っている内にボーナスを引いてしまいますので設定�Eは分かります。
はたしてこれは、ギャンブルでしょうか？

結局さ、スロットといってもギャンブルなんだから、貧乏人が金持ちに勝てるわけないんだよな。

財布に５万しか用意できなくて目先の期待値しか追えない奴が
財布に２０万入れて長期的に期待値を追う事ができる奴に

敵うはずないんだよ。
種銭に余裕があれば高設定で大ハマリ食らっても打ち切れるから、最後には結果を残せる。
種銭に余裕がないと毎勝負綱渡りみたいな精神状態で打つはめになる。そういう奴は必ず途中で折れるから、結果が残せない。

高設定を終日打ちきれるのは金持ちの特権だよ。殆どの打ち手はその土俵にすら上がれないまま店から消えていくんだからさ。

リー群・リー代数の一番わかりやすい本教えてください。
今まで読んだのは
群と表現　　吉川圭二
リー代数と素粒子論　竹内外史
初めて学ぶ人のための群論入門　横田一浪
なんですが、どれも「なにをしているのか」が僕の頭ではイマイチよくわかりませんでした。

命題
X を一様空間とし、Y を分離かつ完備な一様空間とする。
f : X → Y を一様連続写像とする。
f(X) は Y において稠密であり、
X の一様構造は f(X) の一様構造の f による逆像であるとする。

このとき Y は X の完備化と同一視され f は完備化の標準射と
同一視される。

証明
>>447 より f(X) は X に伴う分離一様空間(>>446)と同一視され
f : X → f(X) はその標準射と同一視される。
Z を分離かつ完備な一様空間とし、g : X → Z を一様連続写像とする。
>>444 より一様連続写像 h: f(X) → Z で g = hf となるものが一意に
存在する。
Z は完備で f(X) は Y で稠密だから、一様連続写像の延長定理

頂点Aの円錐の母線に平行な面πで切断した断面が放物線になることの証明です。
断面の点Fと円錐Aの表面の点Q、Q'に接する内接球Oがあります。
点Q,Q'を通る底面に平行な面π'があり、
断面の外周上にある点Pからπ'の下ろした垂線の足が点S、
Sからπとπ'の交線Lに下ろした垂線の足がRです。

点Fが焦点、直線Lが準線で、断面の外周が放物線を描いています。
Pと準線との距離PRと、焦点とPの距離PFが等しいことを証明する感じだと思います。

この問題解けないんで、どなたか教えてください。
f(a)=∫log(1-2acosx+a^2)dx （0≦x≦π)
(1)2f(a)=f(a)+f(-a)=f(a^2)を示せ
(2)｜a｜＜1のときf(a)を求めよ
(3)｜a｜＞1のときf(a)を求めよ

性病で腐ったマソコの臭いもたまらんぞ。
あまりの臭さに卒倒しそうになる。
喪前らそんな腐れマソコ舐め舐めできる？

>>439にある、近縁ってどういう定義なんですか？
詳しくお願いします。>クマー

>>466

過去スレ006の194に書いてあります。

命題
X = ΠX_i を一様空間(過去スレ006の194)の族 (X_i), i ∈ I の積とする。
X_i の分離完備化(過去スレ006の288)を (X_i)^ とする。
X の分離完備化 X^ は Π(X_i)^ に標準的に同型である。

証明
p_i : X → X_i を射影とする。
ψ_i : X_i → (X_i)^ を標準射とする。
写像 ψ : X → Π(X_i)^ を ψ((x_i)) = (ψ_i(x_i)) により定義する。
X_i の一様構造は (X_i)^ の一様構造の ψ_i による逆像である
(過去スレ006の278)。
よって X の一様構造は Π(X_i)^ の一様構造の ψ による逆像である。
これは X の一様構造が ψ(X) の一様構造の ψ による逆像であることを
意味する。
ψ(X) = Πψ_i(X_i) だから ψ(X)~ = Πψ_i(X_i)~ である。
ここで ψ(X)~ は ψ(X) の Π(X_i)^ における閉包を表し、
ψ_i(X_i)~ は ψ_i(X_i) の (X_i)^ における閉包を表す。
(X_i)^ = ψ_i(X_i)~ であるから ψ(X)~ = Π(X_i)^ である。
よって、>>457 より Π(X_i)^ は X の分離完備化 X^に標準的に同型である。
証明終

命題
全有界(過去スレ006の302)な一様空間の族 (X_i), i ∈ I の積
X = ΠX_i は全有界である。

証明
X_i の分離完備化(過去スレ006の288)を (X_i)^ とする。
>>468 より X の分離完備化 X^ は Π(X_i)^ に標準的に同型である。
過去スレ006の312より各 (X_i)^ はコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より X^ はコンパクトである。
よって、過去スレ006の314より X は全有界である。
証明終

クマって結婚している？

>>469 はTychonoffの定理(>>432)を使わないでも証明出来る。
それを次に述べる。

>>469 の別証

p_i : X → X_i を射影写像とする。
V を X の任意の近縁とする。
X の一様構造の定義から I の有限集合 J と各 j ∈ J に対して
X_i の近縁 V_j が存在して g_j = (p_j)×(p_j) としたとき
∩{ (g_j)^(-1)(V_j) | j ∈ J } ⊂ V となる。
各 j ∈ J に対して X_j は全有界だから X_j は V_j 程度に
小さい集合(過去スレ006の235)からなる有限被覆 M_(j, k), k = 1, ..., n_j
を持つ。
N_(k_1, ..., k_m) = ∩{ p_j^(-1)(M_(j, k_t)) | j ∈ J, t = 1, ..., m }
とおく。ここで m は J の元の個数である。
N_(k_1, ..., k_m) の全体は X の被覆である。
N_(k_1, ..., k_m) は V 程度に小さいから X は全有界である。
証明終

次の命題はTychonoffの定理を使えば明らかだが、Tychonoffの定理を
使わないでも証明できる。

命題
準コンパクトな一様空間の族 (X_i), i ∈ I の積 X = ΠX_i は
準コンパクトである。

証明
過去スレ006の316より一様空間 X が準コンパクトであるためには
X が全有界かつ完備であることが必要十分である。
よって各 X_i は全有界かつ完備である。
よって、過去スレ006の255より X は完備である。
>>472 より X は全有界である。
よって再び過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終

>>473 がTychonoffの定理を使っていないと言っても、
全有界かつ完備な一様空間は準コンパクトであるという過去スレ006の310の
結果は使っている。この証明には極大フィルターを使っているので
この点、Tychonoffの定理の証明と同じである。

プロジェリア菌を飲んで周りより早く成長すれば、
それだけ知恵もついており学年的に未来よりやってきた事となる。
周りが23才ならプロジェリア菌を飲んだあなたは73才である。

それなりの分別や貫禄はつくはずである。
少なくとも青二才ではなくなる。

>>470
してない

クマって何歳くらい？35歳くらい？

>>477
２８ぐらい

クマって何しているひと？院生？

>>474
Kummer さん、こんばんは。
確か、チコノフの定理は、選択公理と同値でしたよね。
一方で、極大フィルターの存在定理からは、選択公理は導かれない筈ですから、
そのほかにも、どこかで、essential に、選択公理を使っているかもしれません。
（もちろん、与えられた一様空間族 (X_i)_(i∈I)の積についてのみ、
空でないとは仮定しますが）

>>480

有難うございます。
私の手元にある現代数学概説IIにTychonoffの定理と選択公理の同値性が
証明されています。

>>432のTychonoffの定理の証明において極大フィルターの存在と
ΠX_i が空でないという主張以外に選択公理がessentialに使われている
ところは>>432に指摘してありますが、X_i がHausdorffでないときです。
他にもあるかどうかは私にはよくわかりません。

因みに、>>473 からTychonoffの定理は出ません。
何故なら準コンパクト空間は必ずしもそれと両立する一様構造が入るとは
限らないからです。
しかしコンパクト空間、つまりHausdorffで準コンパクトなら
一様構造が入ります(過去スレ006の322)。

クマ
七誌になっているぞｗ

>>482

有難う。
後の参照のために>>481は私ですとここに書いておく。

>>481
レス、有難うございます。
なるほど。>>473 においては、各空間 X_i に、一様構造が入る、
という仮定が利いているわけですね。
それであれば、極大フィルターの存在定理のみで、充分かもしれません。

削除依頼二回目までの当事者、中卒中年（←嘘）とは私｡
何故削除依頼出来ないかと言うと…インフルエンザ中｡
有志、スレ整理お願いします(T_T)

>>484

ご推察のとおり、>>473 の証明にも極大フィルターの存在と
ΠX_i が空でないという主張以外に選択公理は使われていました。
X_i が分離でないときに完備空間の積が完備というところです。
この点でもTychonoffの定理の証明と類似ですね。

完備空間の積が完備という命題の過去スレ006の255の証明を再現します。

p_i : X → X_i を射影とする。
Φ を X の Cauchy フィルターとする。
各 i ∈ I で p_i(Φ) は X_i の Cauchy フィルターの
基底である。
X_i は完備だから p_i(Φ) は X_i の点 x_i に収束する。
x = (x_i) とすれば >>431 より Φ は x に収束する。
従って X は完備である。
X_i が分離一様空間でないときは p_i(Ψ) の極限点は一意に決まらない
から、このような x = (x_i) の存在することは選択公理による。

代数的整数論というタイトルと
クマがやっている内容とはそぐわない
次から、一般位相というタイトルにしてくれ

それから過去スレを引用しているが
これは普通は読めない
その対策も考えてくれ

>>487

代数的整数論では位相群とか位相体、位相環の理論が重要なんで
その予備知識として一般位相をやるのは理に適ってる。
因みに、代数的整数論を専門としていた数学者で位相数学のほうに移って
いった人もいる。淡中とか岩沢とか。岩沢は数論に戻ったが。

代数体の研究には代数体の各素点における完備化を考えることが
重要になる。有限素点での完備化が p-進体とその有限次拡大であり、
無限素点での完備化が実数体と複素数体である。
従って、p-進解析とともに実解析とか複素解析は代数体の研究にとっても
重要になってくる。
離散的な対象の研究に連続的な対象(p-進体とか実数体)が役立つというのは
興味深い。

>>488

Jane Doe Style という２ｃｈブラウザ（これはタダ）を使うと
過去スレの４、５、６、７、８は見れるよ。

２ちゃんねるViewerを使うと全部読める。
ただし、これは有料。１年でUS$33

タダで全部見れる方法はあるかもしれないが私は知らない。

>>488

Jane Doe Style なり２ちゃんねるViewerで過去スレが見れるようになったら
それをプレーンテキストとして保存しておいたほうがいい。
何故なら、将来見れなくなるかもしれないから。
私は、２ちゃんねるViewerを使ってないが当然ながら過去スレの１から
保存してあるのでいつでも見れる。
しかし、この保存したファイルもディスクが壊れると見れないが。
その場合に備えてバックアップをしておいたほうがいい。

>>366 からの回り道から本題に戻って Ascoli の定理を証明する。

>>486
ご丁寧に、有難うございました。

定理(Ascoli)
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。

証明
H(x) の Y における閉包 H(x)~ は >>365 よりコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より K = Π{ H(x)~ | x ∈ X } はコンパクト
である(Y は分離的だから K はハウスドルフである)。

F(X, Y) を X から Y への写像全体とすると、K ⊂ F(X, Y) とみなせる。
F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の161)を入れたとき、
T の位相はその部分空間としての位相に一致する。
H ⊂ K であるから H は単純収束の位相で F(X, Y) において
相対コンパクトである。
Y は分離的だから F(X, Y) は単純収束の位相でハウスドルフである。
よって、>>365 より H の閉包 H~ はコンパクトである。

>>363 より H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による
H の閉包と一致する。
よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
である。
証明終

X が局所コンパクト空間のときは >>494 の逆が成り立つ。

命題(>>494の制限つきの逆)
X を局所コンパクト空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合でコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
相対コンパクトであるとする。

このとき、H は同程度連続(>>315)であり、
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は
Y で相対コンパクト(>>364)である。

証明
H~ を C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相での閉包とする。
x ∈ X を固定したとき、f ∈ C(X, Y) に f(x) を対応させる写像 Φ_x
を考える。
一点からなる集合 {x} はコンパクトであるから、
W({x}, V) = {(f, g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y) | (f(x),g(x)) ∈ V }
は C(X, Y) の近縁である。
よって、Φ_x : C(X, Y) → Y は一様連続である。
C(X, Y) はハウスドルフであるから >>365 より H~ はコンパクトである。
よって、H~(x) = Φ_x(H~) もコンパクトである。
H(x) ⊂ H~(x) であるから H(x) は相対コンパクトである。

(続く)

>>496 の続き。

次に H が同程度連続であることを証明する。
X は局所コンパクトだから、任意の x ∈ X はコンパクト近傍 K を持つ。
H~ はコンパクトであるから過去スレ006の313より全有界である。
従って H も全有界である。
V を Y の任意の近縁とする。
W を Y の対称近縁で W^3 ⊂ V となるものとする。
H は W(K, W) 程度に小さい集合(過去スレ006の302)からなる有限被覆を持つ。
よって、H の元の有限列 f_1, ..., f_n があり、
任意の f ∈ H に対して、ある i があり、任意の y ∈ K に対して
(f(y), f_i(y)) ∈ W となる。
各 f_i は x で連続であり K は x の近傍だから x ∈ U_i ⊂ K となる
X における x の近傍 U_i があり、任意の y ∈ U_i に対して
(f_i(y), f_i(x)) ∈ W となる。
U = ∩U_i とおく。
U は x の近傍であり、任意の f ∈ H に対して i があり、
任意の y ∈ U に対して
(f(y), f_i(y)) ∈ W, (f_i(y), f_i(x)) ∈ W, (f_i(x), f(x)) ∈ W
となるから (f(y), f(x)) ∈ W^3 ⊂ V
よって H は x で同程度連続である。
証明終

>>464
井上さんに聞こう。

Ascoli の定理(>>494)を解析学に応用するには C(X, Y) に距離が付くことが
望ましい。
このための条件を述べる。

命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とする。
X の開集合の列 (U_n), n = 1, 2, ... で各 U_n の閉包 (U_n)~ が
コンパクトで (U_n)~ ⊂ U_(n+1), n = 1, 2, ...
X = ∪{U_n | n = 1, 2, ... } となるものが存在する。

証明
X = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
過去スレ007の704より
K_1 ⊂ U_1 となる開集合 U_1 で (U_1)~ がコンパクトとなるものが
存在する。
(U_1)~ ∪ K_2 はコンパクトだから過去スレ007の704より
(U_1)~ ∪ K_2 ⊂ U_2 となる開集合 U_2 で (U_2)~ がコンパクトとなる
ものが存在する。
以下同様にして
(U_(n-1))~ ∪ K_n ⊂ U_n となる開集合 U_n で (U_n)~ がコンパクトと
なるものが存在する。
(U_n), n = 1, 2, ... が求めるものである。
証明終

今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお
今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお 　今日は寒いので、うんちがたくさんでるお

高校生スレに
22 ：１：2008/02/09(土) 16:39:54
言っとくけど俺をあまりナメないほうがいいよ
vipでコテハンやってるしこのスレ潰すくらいの影響力は持ってるから
くだらないことで刺激して後悔しないようにね

などど暴走族の頭きどりの痛い輩がいる
実はコテハンやってるすら定かではない
一人自作自演で荒らしているのは、見てて全く持って愚かとしか言いようがない

ついに義母は結婚して出て行った　相手は５０過ぎの
不動産の社長で輸入雑貨の店も経営していて金は持っているみたいだ
義母がスナックで働いている時に知り合ったようだが
女性関係はあまりいい噂を聞かなかったのだが・・・
金の力か強引に口説かれたのかはわからない

だが　やはり噂は本当だったみたいで　一年も過ぎると家に
帰って来る日が少なくなり外泊ばかりしていると
真美に話している事を聞き　仕事中の昼間に義母の所に行った

ピンポ〜ン　「こんにちは」　　インターホンを鳴らすと
義母「はーい　どちらさま？」　　「あつしです」

義母「えっ　ちょっと待ってね」

と言って鍵を開け扉を開けた

命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とし、
Y を可算な基本近縁系を持つ一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) にコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)を入れる。

このとき、C(X, Y) は可算な基本近縁系を持つ。

証明
>>500 より、X の開集合の列 (U_n), n = 1, 2, . . . で
各 U_n の閉包 (U_n)~ がコンパクトで (U_n)~ ⊂ U_(n+1), n = 1, 2, ...
となり、(U_n) が X の被覆になるものが存在する。
K_n = (U_n)~ とおく。
V_n, n = 1, 2, . . . を Y の基本近縁系とする。

W(K_n, V_m) =
{(f,g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y); 任意の x ∈ K_n に対して (f(x),g(y)) ∈ V_m}
とおく。

(U_n) は X の被覆であるから、X の任意のコンパクト集合 K に対して
K ⊂ U_n となる n がある。
このとき、K ⊂ K_n であるから
任意の m ≧ 1 に対して W(K_n, V_m) ⊂ W(K, V_m) である。
よって、n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) の有限個の共通部分が
C(X, Y) の基本近縁系である。
これらは可算である。
証明終

命題
X をσ-コンパクト(過去スレ008の100)な局所コンパクト空間とし、
Y を距離付け可能な(過去スレ007の98)一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) にコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)を入れる。

このとき、C(X, Y) は距離付け可能である。

証明
過去スレ007の99より一様空間 X が距離付け可能であるためには、
X が分離的であり、可算基本近縁系をもつことが必要十分である。
よって Y は可算基本近縁系を持つ
よって >>504より C(X, Y) は可算な基本近縁系を持つ。
Y は分離的だから過去スレ007の159 より C(X, Y) は分離的である。
よって再び過去スレ007の99より C(X, Y) は距離付け可能である。
証明終

>>504
>よって、n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) の有限個の共通部分が
>C(X, Y) の基本近縁系である。

V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . ⊃ V_n ⊃ . . . と仮定してよい。
このとき、上記の主張はもっと改良出来る。

W(K_n_1, V_m_1) ∩ ... ∩ W(K_n_r, V_m_r)
⊃ W(K_n_1 ∪ ... ∪ K_n_r, V_m_1 ∩ ... ∩ V_m_r)
= W(K_n_i, V_m_j)

ここで n_i = max{n_1, n_2, . . ., n_r}
ここで m_j = max{m_1, m_2, . . ., m_r}

よって n と m を動かしたときの W(K_n, V_m) 全体が C(X, Y) の
基本近縁系である。

>>326 と >>334 より、同程度連続な関数列が単純収束すれば、
それはコンパクト収束するという重要な命題が出る。

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
Φ が f ∈ F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の154)で収束
するなら f ∈ C(X, Y) であり、Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。

証明
>>326 より F(X, Y) における単純収束の位相による H の閉包 H~ は
同程度連続である。
よって、H~ ⊂ C(X, Y) である。
よって、f ∈ H~ だから f ∈ C(X, Y) である。
>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
一致する。
従って、Φ は f にコンパクト収束の位相で収束する。
証明終

>>508 は Y に条件、例えば完備性を仮定するともっと強められる。

命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に含まれる
とする（特に Y が完備ならこの条件は満たされる）。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
M ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して M(x) = { f(x) | f ∈ M } と書く。
Φ(x) = { M(x) | M ∈ Φ } とおく。
Φ(x) は Y のフィルター基底(過去スレ006の77)である。
D を X の稠密な部分集合とする。
D の任意の点 x において Φ(x) が f_0(x) に収束するとする。
ここで f_0 は D から Y への写像である。
このとき f_0 は f ∈ C(X, Y) に拡張され、
Φ は f にコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で収束する。

証明
仮定より Φ は D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)で
Cauchy フィルターである。
>>334 より Φ は単純収束の一様構造(過去スレ007の154)で
Cauchy フィルターである。
即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。
仮定より X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に
含まれるから Φ(x) は Y の点に収束する。
よって、f_0 の拡張 f ∈ F(X, Y) で Φ(x) は f(x) に収束
するようなものがある（Y が分離でないときは選択公理による）。
即ち、Φ は単純収束の位相で、f に収束する。
>>508 より f ∈ C(X, Y) で Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明終

257 名前：１３２人目の素数さん ：2008/02/23(土) 02:45:58
テーマ：量子コンピュータ
　　　　〜20年後の頭脳〜
　ゲスト講師：東大院生　下野寿之（しものと しゆき）氏
ゲストプロフィール（当時）
　山口県出身。幼 少期より理数系を”学問”してきた秀才。小学生の時には、すでに父の大学の教科書で学び
ラサール高校時代には、数学・物理は常にトップクラスの成績。また、現役高校生日本代表として、
国際数学オリンピックに参加し、銅メダル獲得。その後、京都大学理学部数学科に進学し、３年間で飛び級卒業
（正確には、単位取得満了退学）。
　現在、東京大学大学院情報理工学研究科コンピュータ科学専攻博士課程にて、
２０年後
の頭脳・量子コンピュータの理論構築・開発研究に取り組み中。
http://www.idea.to/a/real/sozoworld.html

訂正
>>508
>>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。

>>350 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
>一致する。

Ascoliの定理(>>494)を解析学に応用するには相対コンパクトな関数の
集合を関数列で特徴付けたほうが使いやすい。
これについて述べる。

訂正
>>510
>即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。

即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルター基底である。

定義
X を位相空間とし、(a_n) を X の点列とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおけば、Φ = {A_n} はフィルター基底
(過去スレ006の77)である。
Φ の接触点(過去スレ006の132)を点列 (a_n) の接触点と言う。

命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
(a_n) の部分点列 (a_n_i), i ≧ 1 の極限点は (a_n) の接触点である。

証明
明らかである。

命題
X を位相空間とし、(a_n), n ≧ 1 を X の点列とする。
X の各点が可算な基本近傍系をもつとする。
このとき、(a_n) の接触点(>>515)は (a_n) のある部分点列の
極限点である。

証明
x を (a_n) の接触点とする。
A_n = { a_m | m ≧ n } とおく。
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を x の基本近傍系とする。
V_1 ∩ A_1 ≠ φ だから a_n_1 ∈ V_1 ∩ A_1 とする。
k ＞ n_1 のとき V_2 ∩ A_k ≠ φ だから
a_n_2 ∈ V_2 ∩ A_k とする。
n_2 ＞ n_1 である。
以下同様にして点列 (a_n_m) を作る。
m ＞ k のとき n_m ＞ n_k である。
よって (a_n_m) は (a_n) の部分点列である。
a_n_m ∈ V_m であるから (a_n_m) は x に収束する。
証明終

命題
X を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列をもつとする。
このとき X は全有界(過去スレ006の302)である。

証明
X が全有界でないとして矛盾を導く。
X のある近縁 V があり、X は V 程度に小さい集合(過去スレ006の235)
からなる有限被覆をもたない。
W^2 ⊂ V となる対称(過去スレ006の202)な近縁 W をとる。
X の点 x に対して W(x) = { y ∈ X | (x, y) ∈ W } とおく。
W(x) は V 程度に小さい。

X の任意の点を a_1 とする。
X ≠ W(a_1) だから a_2 ∈ X - W(a_1) がある。
X ≠ W(a_1) ∪ W(a_2) だから
a_3 ∈ X - (W(a_1) ∪ W(a_2)) がある。
以下同様に点列 (a_n) を作る。
k ＜ n のとき (a_k, a_n) ∈ W とはならない。

(a_n) が収束する部分点列 (a_n_k) を持つとする。
x をその極限点とする。
x の近傍 W(x) には高々１個の a_n しか含まないから
これは矛盾である。
証明終

定理(Heine-Borel-Lesbesgue)
X を可算な基本近縁系を持つ一様空間(過去スレ006の194)とする。
X が準コンパクトであるためには X の任意の点列が接触点(>>515)を
持つことが必要十分である。

証明
>>398より条件は必要である。
条件が十分なことを証明する。
X の任意の点列が接触点を持つとする。
特に、X の任意の Cauchy 列が接触点を持つ。
Cauchy 列の接触点は極限点である(過去スレ006の248)。
よって X は完備である(過去スレ006の325)。

>>517 より X の任意の点列 (a_n), n ≧ 1 は収束する部分点列を持つ。
>>518 より X は全有界である。

以上から X は完備かつ全有界である。
過去スレ006の316より X は準コンパクトである。
証明終

Ascoliの定理(>>494)において X が稠密な可算部分集合を持ち、
Y が可算な基本近縁系を持つと仮定するとTychonoffの定理(>>432)を
使わない伝統的な証明が得られる。

補題
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。

このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終

>>521 を訂正する。

補題
X を位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ分離一様空間とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(f_n), n ≧ 1 を F(X, Y) の要素からなる関数列とする。
H = { f_n | n = 1, 2, . . . } とおく。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
D = {a_1, a_2, . . . } を X の可算部分集合とする。

このとき (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

証明
Y の点列 f_1(a_1), f_2(a_1), . . . は相対コンパクトであるから
>>519 と>>517より収束する部分列 (f_1_n(a_1)), n ≧ 1 を持つ。
f_1_1(a_2), f_1_2(a_2), . . . は相対コンパクトであるから
(f_1_n(a_2)) は収束する部分列 (f_2_n(a_2)), n ≧ 1 を持つ。
以下同様にして収束する部分列 (f_m_n(a_m)), n ≧ 1 を選ぶ。
このとき、対角列 (f_n_n), n ≧ 1 は (f_n) の部分列であり、
D の各点で収束する。
証明終

命題(>>494の弱形の別証)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
(f_n), n ≧ 1 を H の要素からなる関数列とする。
このとき (f_n) はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) の元に収束する部分列を持つ。

証明
>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は Y で相対コンパクト
であるから Y においてな部分集合に含まれる。
>>510 より (f_n_k), k ≧ 1 はコンパクト収束の位相で
C(X, Y) の元に収束する。
証明終

訂正
>>523
>>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
>存在する。

>>522 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。

命題(>>523の言い換え)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。

証明
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を Y の基本近縁系とする。
F(X, Y) に D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)を
入れたものは、F を D の有限部分集合として
W(F, V_n) =
{(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y) | 任意の x ∈ F に対して (f(x),g(x)) ∈ V_n}
の形の近縁を基本近縁系にもつ。
D は可算だからその有限部分集合全体も可算である。
よって、D における単純収束の一様構造により F(X, Y) は
可算な基本近縁系を持つ。
>>327より F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による
H の閉包 H~ は同程度一様連続である。
>>350より H~ の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
D での単純収束の一様構造は一致する。
よって、上で述べたことにより H~ におけるコンパクト収束の一様構造
は可算な基本近縁系を持つ。

>>523より (f_n), n ≧ 1 を H~ の要素からなる関数列は、
コンパクト収束の位相で C(X, Y) の元、従って H~ の元に収束する
部分列を持つ。>>519より H~ は準コンパクトである。
Y は分離だから H~ も分離であり、H~ はコンパクトである。
証明終

位相線形空間の話に戻る。
Banach-Steinhaus の定理（後述）を証明する前に弱位相と極集合について述べる。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E×F 上の双線形形式 B(x, y) が与えられたとき
E と F は（B に関して）対をなすという。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。

E の元 x に F の双対空間 F^* の元 y → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は E に関して分離的であると言う。

F の元 y に E の双対空間 E^* の元 x → B(x, y) を対応させる
写像が単射のとき、対 (E, F) は F に関して分離的であると言う。

対 (E, F) が E と F それぞれに関して分離的なとき、
対 (E, F) は分離的であるという。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。

y が F の元全体を動いたとき、写像を x → B(x, y) を連続にさせる
E の最も粗い位相を対 (E, F) に関する E の弱位相と言い、
σ(E, F) と書く。

K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
誤解の恐れがないときは B(x, y) を <x, y> と書く。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) により E は局所凸な位相線形空間になる。

証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
σ(E, F) は半ノルムの集合 { p_y | y ∈ F } で定義される
(過去スレ007の469)。
過去スレ007の518より E は局所凸な位相線形空間である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E の弱位相(>>529) σ(E, F) が分離的であるためには、
対 (E, F) が E に関して分離的(>>528)であることが必要十分である。

証明
y ∈ F に対して p_y(x) = |<x, y>| は E の半ノルム(過去スレ007の458)
である。
過去スレ007の535より、
σ(E, F) に関する 0 の閉包
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して p_y(x) = 0 } である。
よって、
{0}~ = { x ∈ E | すべての y ∈ F に対して <x, y> = 0 } である。
これから本命題の主張が得られる。
証明終

a

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには H が 0 で同程度連続であることが
十分である。

証明
H が 0 で同程度連続であるとする。
F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W があり、
f(W) ⊂ V が任意の f ∈ H に対して成り立つ。

a を E の任意の点とする。
x - a ∈ W なら f(x - a) = f(x) - f(a) ∈ V が任意の
f ∈ H に対して成り立つ。
これは H が a で同程度連続であることを意味する。
証明終

b

マルハン王国の闇http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/game/1733/1086581896/3-8
多店舗で展開する場合は方法に問題がある。 各店舗ごとに用意すればいいかもしれないが、それだけ 秘密の漏洩になる。
そこで考え出されたのは、ネットワークによる集中管理である。ネットワークであればその制御装置本体の
設置場所をホール内である必要もなくなる。

「マルハンの店頭公開利益を見込み、第三国経由で 資金調達をする。」 その役目を買って出たのが先のメンバーである。
新韓銀行と新韓生命保険が伊藤忠との三角取引で マルハンへ迂回するというもの。中国も関わっているらしいが
詳細は不明なままである。 金額は具体的に知らされていた。１回目が８００億円、 ２回目が５〜６００億円というものであった。

◎ハンの今後の目標は売り上げ５兆円、500店舗、上場すること。

新スレ→○○○マルハンパチンコタワー渋谷パート１０○○○
★★★★★このスレの解説★★★★★を読んでみるとよく判る。
http://money6.2ch.net/test/read.cgi/pachij/120←くっけて→1304777/559

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

H が同程度連続(>>315)であるためには次が成り立つことが必要十分である。

任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

証明
条件が成り立てば H は 0 で同程度連続であるから >>534 より
H は同程度連続である。

条件が必要なことを示す。
H は同程度連続であるから、任意の q ∈ Γ' と β ＞ 0 に対して
p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と α ＞ 0 があり、
sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} ≦ α なら
任意の f ∈ H に対して q(f(x)) ≦ β となる。

p(x) = sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} とおく。

（続く）

>>537 の続き。

| | は K の自明でない絶対値だから、
α = |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K があると仮定してよい。

m を整数として、p(x) ≦ |λ|^(m+1) なら p(λ^(-m)x) ≦ |λ|
q(f(λ^(-m)x)) ≦ β
q(f(x)) ≦ β|λ|^m

p(x) = 0 なら m はいくらでも大きく出来るから |λ|^m はいくらでも
0 に近づく。よって、q(f(x)) = 0 である。

p(x) ≠ 0 なら
|λ|^(m+2) ＜ p(x) ≦ |λ|^(m+1) となる整数 m がある。
|λ|^m ＜ p(x)|λ|^(-2)
よって、q(f(x)) ≦ β|λ|^m ＜ β|λ|^(-2)p(x)
a = β|λ|^(-2) とおけばよい。
証明終

c

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。

以下の条件はすべて同値である。

(1) H は同程度連続(>>315)である。

(2)
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。

(3) 任意の q ∈ Γ' に対して E の 0 の近傍 W があり、
関数の集合 { qf | f ∈ H } は W において一様に有界である。
即ち β ＞ 0 があり任意の x ∈ W と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ β となる。

(4) sup {qf | f ∈ H } は連続な半ノルムである。

証明
(1) と (2) の同値は >>537 で証明されている。
(2) ⇒ (3) は明らかである。
(3) ⇒ (2) は >>537 の証明から分かる。
(2) ⇒ (4) は明らかである。
(4) ⇒ (3) は明らかである。
証明終

d

命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。

N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。

証明
f ∈ N' は E/N の線形形式 f' を引き起こす。
これは明らかに同型である。
証明終

命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
N を E の部分空間とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。
N' が有限次元なら E/N も有限次元であり、
dim N' = dim E/N である。

証明
>>542 より N' は E/N の双対 (E/N)^* に標準的に同型である。
よって dim N' = dim (E/N)^* である。
よって (E/N)^* は有限次元である。
よって (E/N)^* の双対 (E/N)^** も有限次元である。
一方、標準単射 E/N → (E/N)^** がある。
(E/N)^** は有限次元だから E/N は有限次元である。
よって dim (E/N)^* = dim E/N である。
証明終

命題
K を可換とは限らない体とする。
E を K 上の左線形空間とする。
E^* = Hom(E, K) を E の双対空間とする。
E^* は K 上の右線形空間である。
x ∈ E, f ∈ E^* のとき f(x) を <x, f> で表す。
M' を E^* の有限次元の部分空間とする。
N を M' の直交補空間、つまり
N = { x ∈ E | 任意の f ∈ M' に対して <x, f> = 0 } とする。
N' を N の直交補空間、つまり
N' = { f ∈ E^* | 任意の x ∈ N に対して <x, f> = 0 } とする。

このとき、M' = N' である。

証明
x ∈ E に対して ψ_x ∈ (M')^* を ψ_x(f) = <x, f> により定義する。
x に ψ_x を対応させる写像の核は N である。
よって dim E/N ≦ dim M' である。
一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。
よって、dim N' ≦ dim M' である。
M' ⊂ N' であるから M' = N' である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
σ(E, F) (>>529) に関して連続な E の任意の線形形式は
x → <x, y>, y ∈ F の形に書ける。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まる。

証明
f を σ(E, F) に関して連続な E の線形形式とする。
>>537 より a ＞ 0 と F の元 y_i, i = 1, . . ., n があり、
任意の x ∈ E に対して、
|f(x)| ≦ a sup{ |<x, y_i>| | i = 1, . . ., n } となる。

<x, y_i> = 0, i = 1, . . ., n なら f(x) = 0 である。
>>544 より f(x) = <x, y> と書ける。
ここで y は y_i, i = 1, . . ., n で生成される F の部分空間の
ある元である。
対 (E, F) が F に関して分離的なら y は一意に決まることは明らかである。
証明終

補題
z を複素数とする。
絶対値１の任意の複素数 ζ に対して Re(ζz) ≧ -1 なら
|z| ≦ 1 である。

証明
仮定より絶対値１の任意の複素数 ζ に対して
Re(-ζz) = -Re(ζz) ≧ -1 だから Re(ζz) ≦ 1 である。
よって |Re(ζz)| ≦ 1 である。

z ≠ 0 と仮定してよい。
z~ を z の共役とする。
ζ = z~/|z| の絶対値は１であり、
ζz = |z| である。
Re(ζz) = |z| だから上で述べたことより |z| ≦ 1 である。
証明終

K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
M を E' の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
>>11 より E の 0 の凸近傍で平衡的(過去スレ006の630)なもの V があり
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(x)| ≦ 1 となる。
V は平衡的だから絶対値１の任意の複素数 ζ と
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(ζx)| = |ζf(x)| ≦ 1
となる。
>>546 より、これは Re(f(x)) ≧ -1 と同値である。

>>548 から次の定義に導かれる。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | Re(<x, y>) ≧ -1 } を M の極集合と言う。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M_1 を M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)とする。
このとき、(M_1)゜= M゜である。

証明
(M_1)゜⊂ M゜は明らかである。
y ∈ M゜とする。
{ x ∈ E | Re(<x, y>) ≧ -1 } は E の実半空間であるから凸であり、
M と {0} を含む。
従って M_1 を含む。
よって y ∈ (M_1)゜である。
証明終

命題
E と F を複素数体上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E_0 と F_0 をそれぞれ E と F を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と F_0 は Re(B) に関して対をなす。
このとき弱位相(>>529) σ(E, F) と σ(E_0, F_0) は一致する。

証明
z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。
よって z = Re(z) - iRe(iz)
よって、
<x, y> = Re(<x, y>) - iRe(i<x, y>) = Re(<x, y>) - iRe(<ix, y>)
よって x → <x, y> が連続なことと
x → Re(<x, y>) が連続なことは同値である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549) M゜は 0 を含み凸であり弱位相(>>529)で閉である。

証明
M の任意の元 x に対して Re(x, 0) = 0 ≧ -1 であるから
0 ∈ M゜である。
y → Re(<x, y>) は弱位相 σ(F, E) で連続であるから、
M_x = { y ∈ F | Re(x, y) ≧ -1 } は F の実半空間で
σ(F, E) で閉である。
よって、M゜= ∩{ M_x | x ∈ M } は閉凸集合である。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
H をσ(E, F) (>>529) に関して閉な E の超平面(>>130)で
0 を含まないとする。
このとき y ∈ F があり、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。

証明
H は 0 を含まない E の超平面だから E の線形形式 f と a ∈ K, a ≠ 0
があり、H = { x ∈ E | f(x) = a } となる。
f を -(1/a)f で置き換えて a = -1 としてよい。
H は閉だから >>148 より f は連続である。
>>545 より f は x → <x, y>, y ∈ F の形に書ける。
よって、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明終

定理(双極定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M の極集合(>>549)の極集合 M゜゜は M ∪ {0} の凸包(過去スレ008の431)
の弱位相(>>529)に関する閉包である。

証明
明らかに M ∪ {0} ⊂ M゜゜である。
M ∪ {0} の凸包の弱位相に関する閉包を N とする。
>>552 より N ⊂ M゜゜である。
a を E の元で N に含まれないとする。
>>163 より a と N を強分離(>>151)する閉実超平面 H が存在する。
H は 0 を含まないから実双線形形式 Re(<x, y>) に >>553 を適用すると
y ∈ F があり、H = { x ∈ E | Re(<x, y>) = -1 } となる。
よって N ⊂ { x ∈ E | Re(<x, y>) ＞ -1 } となり、
Re(<a, y>) ＜ -1 となる。
よって、 y ∈ M゜であり、a は M゜゜に含まれない。
即ち N = M゜゜である。
証明終

e

訂正
>>544
>一方、>>543 より dim N' = dim E/N である。

dim E/N ≦ dim M' だから dim E/N は有限である。
よって dim E/N = dim (E/N)^* である。
>>542 より N' は (E/N)^* に標準的に同型である。
よって、dim N' = dim E/N である。

f

g

K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E×E' 上の双線形形式 B(x, f) を B(x, f) = f(x) で定義することにより
E と E' は対(>>527)をなす。
今後、特に断らない限り E と E' の対はこの双線形形式 B に関するもの
とする。
対 (E, E') は位相線形空間論において主要な研究対象の一つである。

明らかに対 (E, E') は E' に関して分離的(>>528)である。
対 (E, E') が E に関して分離的であるための条件を調べる
そのためにHahn-Banachの定理(>>104)の系を用意する。

king氏ね

命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
x_0 を E の点とし、 p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
このとき E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。

証明
M = { λx_0 | λ ∈ K }を x_0 で生成される E の部分線形空間とする。
g(λx_0) = λp(x_0) により M 上の線形形式 g を定義する。
x = λx_0, λ ∈ K としたとき |g(x)| = |λ|p(x_0) = p(x)
Hahn-Banachの定理(>>104)より E 上の線形形式 f で g の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
f は g の拡張だから f(x_0) = g(x_0) = p(x_0) である。
証明終

命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
x_0 ∈ E - {0}~ とする。
ここで {0}~ は 0 の閉包である。
このとき E 上の連続な線形形式 f で f(x_0) ≠ 0 となるものが
存在する。

証明
過去スレ008の535より E 上の連続な半ノルム p で p(x_0) ≠ 0 と
なるものが存在する。
>>561 より E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。
p は連続だから f も連続である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。

対 (E, E') (>>559) は E に関して分離的である。

証明
E は分離的だから {0} は閉集合である。
よって >>562 より E の元 x_0 ≠ 0 に対して E 上の連続な線形形式 f で
f(x_0) ≠ 0 となるものが存在する。
即ち、対 (E, E') は E に関して分離的である。
証明終

Reply:>>560 お前に何がわかるというのか。

命題
E を 実数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。

証明
>>545 より σ(E, E') に関して連続な E の線形形式全体は E' と一致する。
>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終

命題
E を 複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。

証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。

>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。

逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。

以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって、>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終

h

i

j

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、下半連続(過去スレ008の113)な半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。

p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
>>19 より p が下半連続であることを示せばよい。

B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } であるから、
任意の α ＞ 0 に対して αB = { x ∈ E | p(x) ≦ α } である。
B は閉集合だから αB も閉集合である。
よって、{ x ∈ E | p(x) = 0 } = ∩{αB | α ＞ 0} も閉集合である。
α ＜ 0 のときは { x ∈ E | p(x) ≦ α } は空集合である。
以上から任意の実数 α に対して { x ∈ E | p(x) ≦ α } は閉集合である。
過去スレ008の114から p は下半連続である。
証明終

定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E' をその双対(>>65)とする。
E' 上の弱位相(>>66)で有界(>>35)な E' の部分集合を弱有界と言う。
E' 上の強位相(>>66)で有界な E' の部分集合を強有界と言う。

>>549 を訂正する。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の部分集合とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } を
M の極集合と言う。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
M を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
M゜を M の極集合(>>572)とする。
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } であり、
M゜は平衡的な凸集合であり σ(E, F) で閉である。

証明
定義(>>572)から
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ M に対して Re(<x, y>) ≧ -1 } である。

K が実数体のときは、任意の x ∈ M に対して -x ∈ M だから
y ∈ F のとき Re(-<x, y>) = Re(<-x, y>) より、
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。

K が複素数体のときは、λ ∈ K, |λ| = 1 のとき
任意の x ∈ M に対して λx ∈ M だから >>546 より
M゜= { y ∈ F | 任意の x ∈ E に対して |<x, y>| ≦ 1 } である。

以上から M゜が平衡的であることは明らかである。
>>552より M゜は凸集合であり σ(E, F) で閉である。
証明終

k

l

m

n

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

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a

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abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz
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ab

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abc

o

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abc

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abc

p

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abc