巨大数探索スレッド8

大きな実数を探索するスレッドです。

前スレ
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1163947441/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
　http://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859

　今だ！2ｹﾞｯﾄｫｵ
￣￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　　(´´
　　　　 ∧∧　　　)　　　　　　(´⌒(´
　　⊂（ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

どうもです。

2種類立ってたのでよくわかんないんですが、最後は巨大数、の人間なので
とりあえずこっち来てみました。
コミュでは僕くらいのぬるいやりとりも欲しいのでぜひ遊びに来てください。
雑記トピはすでに僕が何も言えない状態になってます。笑い
(たろう氏、ぽち氏がまだ来てないというのに…)

こちらともどもよろしくどうぞ。

たしかに、２つあって迷いますね。
とりあえずこちらに来ました。巨大数を作るための巨大関数、
順序数という流れはスレッドの趣旨としてそのままにして
おきたいので。やってることは、順序数なんですけどね。

mixiのリンクだけど、ime.nuからとぶと
「このURLは閲覧できません。」
となるようだね。リファラなくしてアクセスしないといけないみたい。

まんどくさ

H[ψ_0(Ψ)](x)を機械的に計算するのに必要な定義をまとめておきます。
収束列の選び方は、7-203の定義と少し変えて、より単純になるようにしてあります。
card(γ)は、γの中のxに置き換えるψ_[δ+1](0)のδを返す関数で、
subst(γ,ε)は、γから作った関数f(x)にεを代入したものを返す関数です。
同じ形のαに対して、定義式が二通り書いてあるところがありますが、
β、γに収束列とcard, substのどちらが定義されているかに応じて、
どちらか一方のみが適用可能になります。

H[0](x)=x
H[α+1](x)=H[α](x+1)
H[α](x)=H[α_n](x)
α=β+γ　　　　　　 α_n=β+γ_n
α=β+γ　　　　　　 card(α)=card(γ), subst(α,δ)=β+subst(γ,δ)
α=φ_0(0)　　　　　　α=1
α=φ_0(γ+1)　　　　α_0=0, α_(n+1)=α_n+φ_0(γ)
α=φ_(β+1)(0)　　　α_0=0, α_(n+1)=φ_(β)(α_n)
α=φ_(β+1)(γ+1)　α_0=φ_(β+1)(γ)+1, α_(n+1)=φ_(β)(α_n)
α=φ_β(0)　　　　　 α_n=φ_(β_n)(0)
α=φ_β(0)　　　　　 card(α)=card(β), subst(α,δ)=φ_(subst(β,δ))(0)
α=φ_β(γ+1)　　　α_n=φ_(β_n)(φ_β(γ)+1)
α=φ_β(γ+1)　　　card(α)=card(β), subst(α,δ)=φ_(subst(β,δ))(φ_β(γ)+1)
α=φ_β(γ)　　　　 α_n=φ_β(γ_n)
α=φ_β(γ)　　　　 card(α)=card(γ), subst(α,δ)=φ_(β)(subst(γ,δ))
α=ψ_0(0)　　　　　　α_0=0, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ_(β+1)(0)　　　card(α)=β, subst(α,δ)=δ
α=ψ_β(0)　　　　　 α_n=ψ_(β_n)(0)
α=ψ_β(0)　　　　　 card(α)=card(β), subst(α,δ)=ψ_(subst(β,δ))(0)
α=ψ_β(γ+1)　　　α_0=ψ_β(γ)+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ_β(γ)　　　　 α_n=ψ_β(γ_n)
α=ψ_β(γ)　　　　 α_n=ψ_β(subst(γ,α'_n)), α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_(card(γ))(subst(γ,α'_n))
Ψ_0=0, Ψ_(n+1)=ψ_(Ψ_n)(0)

Ψって何だろうと思ったら、7スレの202に書いてありました。
”ω_ω_…_0の極限”＝弱い到達不能基数でしょうか？

どうも。研究室にPart7のログをupしました。

>>7
7-203の定義ではω_ω_…_0の極限ということになりますが、
7-799〜803にも書かれているように、かならずしも非可算順序数を使う必要はなくて、
7-539のCKのような定義を使っても構いません。

>>6の定義では、実は順序数との対応を考える必要もありません。
順序数を使わずに厳密に定義しようとすると、以下のようになります。
1. 集合Aを以下のように定義する。
1-1. 0, ΨはAの元である。
1-2. Aの元に対し、3つの二項演算
　 　 ＋：(α,β)├→α+β, φ：(α,β)├→φ_α(β), ψ：(α,β)├→ψ_α(β)
　 　 のいずれかを適用したものはAの元である。
1-3. 1-1, 1-2のいずれかに当てはまるもののみがAの元である。
2. α+0=α, 0+α=α, (α+β)+γ=α+(β+γ)
3. >>6により、3つの部分関数
　 diag：(α,ｎ)├→α_n, card：α├→card(α), subst：(α,β)├→subst(α,β)
　 を定義する。
4. >>6により、集合Aから自然数上の関数への部分写像H：α├→H[α] を定義する。
注： α,β,γはAの元であり、nは自然数。1はφ_0(0)の略記とする。

ただ、順序数を使うと関数の大小関係が分かりやすくなるので、
普通はAの元を順序数に対応させて考えます。

>>8
ゴメン
>>6、読めなかった。
cardとsubstの定義を書いてくれる？

7-202の定義にはまずいところがあったので、
　ただし、ψの添字として用いる順序数を除いては、ψはβより小さい順序数にのみ適用する。
を次のように訂正します。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　また、ψの添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
　そのようにして作った順序数をψの引数として用いてはいけない。

古い定義だと、α=ψ_0(ψ_(ψ_1(0))(0))を考えるときに、ψ_α(0)という順序数を作ることができて、
ψ_α(0)＜ψ_(ψ_1(0))(0)であるから、ψ_0(ψ_α(0))という順序数を作ってもいいと解釈できてしまいます。
これだと、αを考える前にψ_0(ψ_α(0))を考える必要があり、
ψ_0(ψ_α(0))を考える前にψ_0(ψ_(ψ_0(ψ_α(0)))(0))を考える必要があり、
…となって、αが定義できなくなってしまいます。

新しい定義では、ψ_α(0)からψ_0(ψ_α(0))を作ることができなくなるので、上のような問題が起こらなくなります。
なお、7-203や>>6の定義は変える必要はありません。

>>10
>>6が読めなかったというのは、>>6の意味が分からなかったということですか？
cardとsubstの定義は、
α=ψ_(β+1)(0)のとき　card(α)=β, subst(α,δ)=δ
から始めて、他の5つの式で再帰的に定義しています。
この5つの式の条件に当てはまらない順序数に対しては、cardとsubstは定義されません。

＞>>6が読めなかったというのは、
＞>>6の意味が分からなかったということですか？

ええ。>>6の書き方ではcardやsubstの定義として
読むことができないということです。

＞cardとsubstの定義は、
＞α=ψ_(β+1)(0)のとき　card(α)=β, subst(α,δ)=δ
＞から始めて、他の5つの式で再帰的に定義しています。

そういう場合、例えばcardについては
card(α)=
　α=ψ_(β+1)(0)　の場合　β
　α=ψ_β(0)でβが極限順序数の場合　card(β)
　α=φ_β(0)の場合　card(β)
　α=φ_β(γ+1)の場合　card(β)
　α=φ_β(γ)でγが極限順序数の場合　card(γ)
　α=β+γの場合 card(γ)
と書きませんか？しかし、>>6はそうは読めませんよ。

それから書き直してやって気づけましたが、上記の定義では
α=ψ_β(γ)の場合が抜けていますが、こういう場合は
ありえないといえるのでしょうか？

>>12
substのほうも、同じ方法で書き直してみましょう。
subst(α,δ)=
　α=ψ_(β+1)(0)　の場合　δ
　α=ψ_β(0)でβが極限順序数の場合　ψ_(subst(β,δ))(0)
　α=φ_β(0)の場合　φ_(subst(β,δ))(0)
　α=φ_β(γ+1)の場合　φ_(subst(β,δ))(φ_β(γ)+1)
　α=φ_β(γ)でγが極限順序数の場合　φ_(β)(subst(γ,δ))
　α=β+γの場合 β+subst(γ,δ)

これもcardの場合と同様、α=ψ_β(γ)の場合が抜けています。

巨大数は数学的素養がある人が内容を理解、解釈して、他のレスに依存しない
厳密な定義を書いてくれるとありがたい。もちろん関数の定義等も含めて（Har
dyを使うなら順序数とその基本列の定義も必要）。そしてナゴヤ数はいつ定義
されるのですか。

それにあくまで巨大数なんで、最終的にはH[ψ_0(Ψ)*63](3)とかにしない
と意味が無い。ふぃっしゅ数やバード数などの｢作品｣にするには最初から
最後まで完結した定義が記述されなければならない。

巨大数は別にどうでもいいよ。関数に数を入れればいいだけだし。

ところで>>6についてψ_βでβが自然数ｎの場合に制限してみたんだけど
その場合にもψ_n(0)=ω_nの基本列がどうなるのかわからないんだが。

>>14
＞ナゴヤ数はいつ定義されるのですか。

個人的には他人の後追いみたいな話は退屈なので
ナゴヤンの方法で順序数をうまく構築できるなら、
そのほうが面白い。

>>12
>>6の定義はdiag(収束列),card,substの定義というよりも
+,φ,ψで作られた順序数の性質の定義ということで書いているので、
順序数の形で並べて書きました。
確かに、cardやsubstの定義として読もうとすると分かりづらいですね。

また、>>6で定義している順序数(>>9の定義に基づけば集合Aの元)は、大きく分けて四種類あります。
その種類をI, II, III, IVと表しておくと、
Iは0で、diag(収束列),card,substのいずれも定義されません。
IIはα+1(後続順序数)で、diag(収束列),card,substのいずれも定義されません。
IIIとIVはいずれも極限順序数ですが、
IIIはdiag(収束列)のみが定義されて、card,substは定義されません。
IVはcard,substのみが定義されて、diag(収束列)は定義されません。
α=ψ_β(γ)の場合はβがIでなければαはIIIになるので、card,substは未定義となります。

三つの演算+,φ,ψでこの種類がどのように変わるかを書くと、
α=β+γのとき、
　γがIならばαの種類=βの種類、γがIでなければαの種類=γの種類
α=φ_β(γ)のとき、
　γがI、βがIならばαはII、γがI、βがIIかIIIならばαはII、γがI、βがIVならばαはIV、
　γがII、βがIVでなければαはIII、γがII、βがIVならばαはIV、
　γがIIIならばαはIII、γがIVならばαはIV
α=ψ_β(γ)のとき、
　γがI、βがIかIIIならばαはIII、γがI、βがIIかIVならばαはIV、γがIでなければαはIII
となります。
>>6の定義式は、βとγの種類に気をつけて読めば分かると思います。

>>16
ψ_n(0)=ω_nは(7-203の定義に基づけば)非可算順序数なので、基本列は定義されません。
ψの引数として使うことで初めて基本列が定義されて、Hに入れたときに意味を持つことになります。

>>12-13
cardとsubstの定義だけまとめると、
card(α)=
　α=ψ_(β+1)(0)　の場合　β
　α=ψ_β(0)でβがIVの場合　card(β)
　α=φ_β(0)でβがIVの場合　card(β)
　α=φ_β(γ+1)でβがIVの場合　card(β)
　α=φ_β(γ)でγがIVの場合　card(γ)
　α=β+γでγがIVの場合 card(γ)
subst(α,δ)=
　α=ψ_(β+1)(0)　の場合　δ
　α=ψ_β(0)でβがIVの場合　ψ_(subst(β,δ))(0)
　α=φ_β(0)でβがIVの場合　φ_(subst(β,δ))(0)
　α=φ_β(γ+1)でβがIVの場合　φ_(subst(β,δ))(φ_β(γ)+1)
　α=φ_β(γ)でγがIVの場合　φ_(β)(subst(γ,δ))
　α=β+γでγがIVの場合 β+subst(γ,δ)
ということになります。

ナゴヤ関数の定義ですが
思ったより早く進めて一通りまとまりました。
何かミスがあるかもしれませんが、
Ver1最終版をテキストでUPします。
ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000022474.txt

ナゴヤ数自体は>>16のとおり、定義しないことにします。
数自体を作品にするつもりはないですし。

ところで、>>6の定義もなかなか理解が難しいです。
特に
＞α=ψ_(β+1)(0)のとき　card(α)=β, subst(α,δ)=δ
の部分と
>>18の
＞ψ_n(0)=ω_n
の定義と意味とか。

>18
前スレでたろう氏によればC1(C1(1,0,0,0),0)＝ψ_0(Ψ)だそうですが、
基本列の定義も一致するのでしょうか？

>>20
とりあえず、保存しました。
http://gyafun.jp/ln/archive/8-20.txt

まったく進歩がないナゴヤン

>>21
>たろう氏によればC1(C1(1,0,0,0),0)＝ψ_0(Ψ)だそうですが

7-389の発言か。
ただ、C1ってTaranovski氏の関数そのものではなく
たろう氏の改造によるものだから。

>>20
＞λ:順序数、x:自然数
＞F[n+1](λ) = F[n]^λ(ω)

いきなりエラー。
λ回繰り返しが未定義。

7-955
>問11
>f^λ_ω(α) の定義は？
>f^λ_ω(x) の定義は？
7-962
>定義漏れかもしれませんが、
>f^λ_ω(α) = f^λ_x(α)
>f^λ_ω(x) = f^λ_x(x)
>です。
7-970
>急に収束先とか収束列とかいう言葉を使うようになったけど、
>結局、
>f^λ_ω(α) = lim f^λ_n(α)
>こういう定義なんだろ？
>あくまで列を定義しているだけだというなら、
> >>925 じゃ定義になってないので
>まともに定義してくれ。
>少なくとも >>962 は >>925 に書かれていない。

というか、実は7-962ですら定義になっていない。

>>18
>ψ_n(0)=ω_nは非可算順序数なので、基本列は定義されません。
>ψの引数として使うことで初めて基本列が定義され

"ψの引数"="ψ_0の引数"ということかな？
そうだとすると、ψ_0(ψ_(n+1)(0))の基本列は
ψ_0(ψ_n(0))，ψ_0(ψ_n(ψ_n(0)))，･･･
となるということでよいのかな？

>>22
ありがとうございます。
オチがある所については
後でまとめて改めてupするつもりです。

>>25
f^λ_ω(x) → f^λ_x(x)
f^λ_ω(α) → f^λ_x(α)
を加えるべきでしたorz。
・・・として、

>>26
＞実は7-962ですら定義になっていない。
収束列λ_ω自体はもともと定義するものじゃなく、
自然に決まるものと思っていましたが違うんでしょうか？
例えばF[α_ω]( F[β_ω](γ) ) の収束列は F[α_n]( F[β_ω](γ) )
と一通りに決まるのではないでしょうか？
（少なくともF[n](ω+1), F[n](ω+2), ・・・のような列は不自然でしょうし）
明らかに違うのなら本当にスマンですが。

あと細かいことで気になることですが
ナゴヤ関数定義について前スレから質問し続けている方は
全て同じ7-759、7-772氏でしょうか？

>>28
極限順序数に収束する列は複数存在するため、
自然に１個には決まらない。
たとえば、
a_n = n, a_n = n+3, a_n = n^2 はどれも極限がωになる。
だから関数を決定するには収束列の定義も必要。

ただ、ナゴヤ関数の場合は収束列が定まっていないだけではなく、
順序数の大きさも定義できていないように思う。

> f^λ_ω(α) → f^λ_x(α)
たとえばこれ。
>>20 によればF[*](n) の*の部分に入ったときのみ定義されている。
つまり、f^λ_x(α) 自体は１個の順序数ではないと。

普通に
f^λ_ω(α) = lim f^λ_x(α)
つまり、f^λ_ω(α) は f^λ_0(α), f^λ_1(α), .... の極限である順序数ですよ
と定義すれば、順序数の大きさも、その収束列も同時に定義されるし、
結果も
F[f^λ_ω(α)](n) = F[f^λ_n(α)](n)
となり、ナゴヤンが想定している通りとなる。

> ナゴヤ関数定義について前スレから質問し続けている方は
> 全て同じ7-759、7-772氏でしょうか？
少なくとも２人以上は質問している。
質問というよりは定義の足りない部分の指摘と言った方が良いだろう。

>>28
Ω1以降の定義はさらに意味不明。

Ω1以下がまともに定義出来るようになってから
手を出した方が良い。

>>29 のような指摘はスレッド6からされ続けている。
スレッド6のナゴヤ数に対する指摘も見ておくように。

>> ナゴヤ関数定義について前スレから質問し続けている方は
>> 全て同じ7-759、7-772氏でしょうか？
>少なくとも２人以上は質問している。

私が２人目ですね。上記と別人ですから。

ところで、
>f^λ_ω(α) = lim f^λ_x(α)
要するに最終的に繰り返し回数が"確定"するのは
λ_xが自然数になったときということですな。

7-195
>ψで表された順序数への収束列は、おそらく以下のように定まるはずです。
7-203
>収束列の定義は、以下のようになるはずです。

その確信の根拠は？

>>32への追伸

単純に、判断の拠り所を知りたいだけである。
7-190
>英語版Wikipediaに、Γ_0よりずっと大きい順序数を定義する方法がありました。
7-202
>英語版Wikipediaには、ψの拡張法の方針も載っていたので、それを定義してみました。
とあるから、Wikipediaの記述を読んだ上でのことであろうとは思うが、
直接7-195,7-203のような解釈に結びつく記述は見当たらないように思う。
おそらく、他に参考にした論文等があると思われるので、
あれば是非教えていただきたい。
ψはBachmann hierarchyと呼ばれるものにあたると思われるが、
このあたりは、Wikipediaにもあるようにいろいろな研究者が
独自のやり方で記述しており、相互の対応づけもそう簡単ではない。

>>28の
＞F[n](ω+1), F[n](ω+2), ・・・のような列は不自然
は一応F[ω](ω+1), F[ω](ω+2), ・・・に訂正します。
[ ]の部分が自然数の場合ならあり得そうなので。

>>29
> a_n = n, a_n = n+3, a_n = n^2 はどれも極限がω
なるほど、別の例でω^2の場合は
ω*n, ω*(n+3), ω*(n^2)　などと
ωに収束する列の自然数の部分（この場合はω*aのaの部分）
での取り方が複数あるということですね。
わかりやすい解説どうもです。
ただこのような場合は、
列 ω*(n+3)をとるとき → λ_(n+3)
列 ω*(n^2)をとるとき → λ_(n^2)
として見るほうがいいかもしれないだろうか…。
つまり、前スレ967の
＞対応する収束列のx番目の要素をとっています
は発言撤回で、λ_nはnを含んだ収束列要素λという意味です。
したがって、定義に
λ_m: 自然数mの部分がωに収束する列の順序数要素
を加えるべきだろうか。
あとΩ1以降定義の
Λn_m: 自然数mの部分がωに収束する列の順序数要素(Λn < Ω(n+1))
も追加すべきと。

続き。
> F[*](n) の*の部分に入ったときのみ定義されている。
> つまり、f^λ_x(α) 自体は１個の順序数ではないと。
については、
前スレ964、966で言うように、
F[ ](x) に関係ないそのままの順序数自体では
それ以上定義されないことになっています。
F[ ](x)に入れることにより、列の要素を定義しています。
ちなみにf^λ_ω(α) = lim f^λ_x(α)の式なら
順序数の大きさも、その収束列も同時に定義されると
いうのはすまん、正直よくわかりませんが…。
確かlim(λ_x)はx→ωに収束する順序数の式だと思っていたのですが。

>>31
> 最終的に繰り返し回数が"確定"するのはλ_xが自然数になったとき
その通りです。順序数自体だけではそのまま特定の大きさに確定しません。

>>34
> 収束列λ_ω自体はもともと定義するものじゃなく、
> 自然に決まるものと思っていましたが違うんでしょうか？

ωで納得いかないならε_0は？
s[0] = 0, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
s[0] = 1, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
s[0] = ω, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
どれか１個が自然でそれ以外は不自然と断言できるか？
ずっと大きな極限順序数に対しても自然な１個が必然的に決まると思うか？

収束列だけでなく、
表現形式さえ決めれば順序数が勝手に定義されると思っていて、
順序数の大きささえもまともに定義されていない。

> 確かlim(λ_x)はx→ωに収束する順序数の式だと思っていたのですが。
君の文章は日本語になっていない。
「lim_[x→∞」{f(x)} はx→∞に収束する実数の式」というような感じ。意味不明。
λ_0が増加列の場合には、
λ_0, λ_1, λ_2, ... のいずれより大きい最小の順序数
λ_0, λ_1, λ_2, ... を基本列(fundamental sequence)とする順序数
sup {λ_0, λ_1, λ_2, ...}
などいろいろ表現方法はある。

>>34
で結局、
F[ω](ω) は F[n](ω) を基本列とする順序数なのか？違うのか？

違う場合、
F[ω](ω) は順序数なのか？違うのか？

順序数である場合、その大きさは？

順序数でない場合、それはなにものか？
何かの集合の元か？順序数の列か？『順序数の列』の列か？

何かの集合の元の場合、どのような集合か？
順序数の列の場合、その列は何か？

>>20
>>6の定義は、意味を考えずに機械的に計算するための方法をまとめたものなので、
意味を理解するためには前スレの記述を読んだほうがいいと思います。

>>27
ψ_α(β)のαの部分を添字と読んでいて、βの部分を引数と読んでいます。
基本列はαが0でなくても定義されますが、Hに入れたときに意味を持つのはαが0のときだけです。

>>32
7-195の方で説明します。収束列のない極限順序数αに対してf(x)という順序数の関数を考えて、
xに任意の可算順序数を入れたときのf(x)の上限がαになるようにします。
(7-195でのf(x)は、このレスでのψ(f(x))に相当します)
たとえば、α=Ω+Ωならば、f(x)=Ω+xとします。
　α=Ωならばf(x)=x
　α=β+γで、γに対応する関数をg(x)とすれば、f(x)=β+g(x)
　α=φ_β(0)で、βに対応する関数をg(x)とすれば、f(x)=φ_(g(x))(0)
　α=φ_β(γ+1)で、βに対応する関数をg(x)とすれば、f(x)=φ_(g(x))(φ_β(γ)+1)
　α=φ_β(γ)で、γに対応する関数をg(x)とすれば、f(x)=φ_(β)(g(x))
とすると、xに任意の可算順序数を入れたときのf(x)の上限がαになります。
(続く)

このf(x)を使ってψ(α)を考えていきます。
まず、ψ(f(0))は、ψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作った任意の可算順序数よりも大きくなります。
そして、f(ψ(f(0)))は、ψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作ったα未満の任意の順序数よりも大きくなるので、
ψ(f(ψ(f(0))))は、ψをf(0)以上の順序数に一回しか適用せずに作った任意の可算順序数よりも大きくなります。
　（もう少し詳しく書くと、ψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作ったα未満の任意の順序数βに対して、
　あるx＜ψ(f(0))が存在して、β＜f(x)となるので、β＜f(ψ(f(0)))となります。
　また、γはψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作ったα未満の順序数でγ≧f(0)とすると、
　ψ(γ)からψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作った任意の可算順序数δよりも
　ψ(γ+1)の方が大きくなるので、δ＜ψ(γ+1)＜ψ(f(ψ(f(0))))となります。）
同様に考えると、ψ(f(ψ(f(ψ(f(0))))))はψをf(0)以上の順序数に二回しか適用せずに作った
任意の可算順序数よりも大きくなり、…となるので、この入れ子の極限は、
ψをα未満の順序数にしか適用せずに作った任意の可算順序数よりも大きい順序数、すなわちψ(α)となります。
7-203もこれと同様です。

ただ、7-195の収束列の定義だと、ψ(Ω)+1＜Ωなのにψ(ψ(Ω)+1)＞ψ(Ω)となってしまいます。
これは、ψ(ψ(Ω)+1)を考えるときにψ(Ω)を使うことはできないのに、
収束列の定義では使えるものとしてしまっているからです。
同様の問題は、ψ(α)で、α以上の順序数にψを適用してαが作られているときに起こります。
なので、7-195、7-203の定義は、7-190、7-202の定義と厳密に同じではありません。
ただ、H[ψ_0(Ψ)]を考える限りではこのような問題は起こらず、
このような問題が起こっても順序数自体は定義されるので、この問題への対処はしていません。

>>33
7-190や7-202の定義からどのように収束列を定義すればいいか考えた結果、
7-195や7-203の定義に行き着いたので、他に参考にした論文等はありません。

http://www.drb.insel.de/~heiner/
話はずれますが、ビジービーバーの値がいろいろ更新されたようです。
たとえばBB(6)>=2.500e+881だそうです。

>>39
＞他に参考にした論文等はありません。
なるほど

＞7-195の収束列の定義だと、
＞ψ(Ω)+1＜Ωなのにψ(ψ(Ω)+1)＞ψ(Ω)となってしまいます。
この結果から考えるに、7-195の収束列の定義は
7-190の定義の解釈として正しいとはいえない
んじゃないかい？

＞H[ψ_0(Ψ)]を考える限りではこのような問題は起こらず、
＞このような問題が起こっても順序数自体は定義されるので、
＞この問題への対処はしていません。
計算はできるかもしれんけど、その場合Bachmannによる
元々のψとは違うかもしれないから、φはともかく、
ψについては7-195でいっている成果
>この収束列の定義でHardy functionも使って・・・関数を作ると、
>ものすごく大きな自然数の関数となるはずです。
もまた"大本営発表"とならないかい？

Howard ordinalの厳密な定義。

〜定義〜

Ωを最初の非可算正則基数とする。ε_(Ω+1)をΩより大きい最初のε数とする。
つまり、以下の列の極限の極限である。

Ω,Ω^Ω,Ω^Ω^Ω,……

α＜ε_(Ω+1)を満たす任意の順序数は“Cantor normal form to base Ω”で書くことができる。
つまり、

α＝Ω^α_1*β_1+……+Ω^α_k*β_k
ただし、α＞α_1＞……＞α_k, β_i∈Ω (1≦i≦k)

ε_(Ω+1)の上の超限帰納法によって、関数C_α:Ω → P(Ω)とθ_α:Ω → Ωを以下のように
定義する。

C_α(β)＝the closure of {0,1}∪β under + and the functions θ_γ,
where γ＜α and the components of γ are in C_α(β)
θ_α＝the enumerating function of {δ|¬(δ∈C_α(δ)∧α∈C_α(δ)}.

最後に、Bachmann-Howard ordinalをθ_ε_(Ω+1)(0)とする。

〜〜〜

>>42
誤：以下の列の極限の極限である
正：以下の列の極限である

Bachmann-Howardもいいが竹内外史が
体系(Π^1_1-CA)0の無矛盾性証明に用いた
という順序数にも名前をつけてほしいものだ。

>>41
少なくとも正則なものについてはまともに定義されている。心配無用。
正則でないものについてはwikipediaの定義より微妙に大きく定義されているものもある。

>>36
ε0の場合はα_n = ω^^n とおいて、
A: s[0] = 0, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
B: s[0] = 1, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
C: s[0] = ω, s[n+1] = ω^s[n] とした場合のs[n] の極限
上から順に
A: s[m] = (if m=0 0, else α_(m-1))
B: s[m] = α_m
C: s[m] = α_(m+1)
でα_nの自然数nの取り方でε0への収束が複数取れますね。
ちなみにs[0] = 3 などのときは不自然になるかわかりませんが、
ω^^(n+a) (0<a<1) とややこしくなってしまいますか。

あとこのスレで使われている lim(λ_n) は lim[n→ω](λ_n)
としていいでしょうか？

>>37
上から１問目
基本列はある順序数(ここではF[ω](ω))に収束する列であればyes。
他にF[n*2](ω), F[n^2](ω)など[ ]の中が自然数式の列で
F[ω](ω)へ収束する列は複数あります。

２問目
１問目でyesであればパス。
いずれにしても無論順序数です。
よって４、５問目はパス。

３問目
本来は順序数自体のみでは ω*3 > ω*2 > ω+n, ω^2 + ω > ω^2 > ω*n のように
F[ω+1](ω) > F[ω](ω) > F[n](ω) (nは任意の自然数) となります。
ただ、F[*](x)の*に入れることでF[ω](ω)の大きさは
基本列F[n](ω)の要素の順序数F[x](ω)となり、
最終的に後続順序数に展開されることで大きさが特定されます。
したがってF[ ](x)に入ったときの順序数F[ω](ω)などは
全てのF[n](ω)より大きい最小順序数よりは、
F[ω](ω)に収束する基本列F[n](ω)の任意の要素の順序数と
言ったほうがいいかもしれません。

>>45
＞少なくとも正則なものについてはまともに定義されている。心配無用。
わかってないなぁ。定義できてないんじゃなくて
もとのものとは違う定義になってるってこと。
満たすべき性質が満たされてないわけだから。

＞正則でないものについてはwikipediaの定義より
＞微妙に大きく定義されているものもある。
これまたわかってないなあ。
「ψ(α)で、α以上の順序数にψを適用してαが作られているとき」
に逆転がおきてるなら、もとより小さく定義されてる。自明だよ。

>>48
「まともに定義されている」というのは
もとのと同じ定義になっているという意味だよ。

> 「ψ(α)で、α以上の順序数にψを適用してαが作られているとき」
> に逆転がおきてるなら、もとより小さく定義されてる。自明だよ。
具体的な反例よろしく。

>>49
>「まともに定義されている」というのは
>もとのと同じ定義になっているという意味だよ。
論理的に証明よろしく。
その誤りから具体的な反例が出る。
自分でみつけてごらん。

ヒント
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_countable_ordinal

"Here Ω = ω1 is the first uncountable ordinal.
It is put in because otherwise the function ψ gets "stuck"
at the smallest ordinal σ such that Γσ=σ:
in particular ψ(α)=σ for any ordinal α satisfying σ≤α≤Ω."

>>45=>>49の脊髄反射反応の予測

「ψ(Ω)=<α=<Ωなら、ψ(ψ(Ω))=ψ(α)=ψ(Ω)だっていうんなら
　ψ(ψ(Ω)+1)＞ψ(Ω)=ψ(ψ(Ω))は、もとより大きいじゃないか！」

これに対する更なるヒント

「そうなってしまうのはΩを単にψの不動点と考えて
　追加するだけになってるからじゃないかい？」　

>>45=>>49のさらなる脊髄反射反応の予測

「>>45の
　「正則でないものについてはwikipediaの定義より
　　微妙に大きく定義されているものもある。」
　は間違ってない！>>48の
　「「ψ(α)で、α以上の順序数にψを適用してαが作られているとき」
　に逆転がおきてるなら、もとより小さく定義されてる。」
　こそ論理的に間違ってる」

これに対する更なるヒント
「>>48でいったのは
　「8-6の定義で得られる正則な場合の結果は、もとのものより小さい。」
　ということ。
　元の定義では無視しているような目先のところでの増加は意味がないし
　そうなってしまうのは、ψをφと同様のものだと考えてるから
　ではないかい？」

>>47の
s[n]のs[0]=3についてですが
明らかに列の式が間違っていました。
自然な収束列かもわかりませんし、
無視していいです。

>>53
いちゃもんだけつけて具体的には何も示せないところが
だれかをほうふつとさせる。

---- wikipedia定義のψ(Ω) = >>7-195 のψ(Ω) の証明の概要 ----
>>7-195 の定義
ψ(0) = Γ_0
ψ(α+1) = lim {ψ(α)+1, φ_前項(0)} = [Γ_αより大きい最小のφ_x(0)の不動点] = Γ_(α+1)
ψ(α) = lim ψ(α_n) = lim Γ_α_n = Γ_α
超限帰納法により
αが帰納的順序数の場合、ψ(α) = Γ_α

ψ(Ω) = ψ(ψ(...ψ(0)))....) = Γ_Γ_....._Γ_0

wikipedia定義
ψ(Ω) = Γ_Γ_....._Γ_0

以上
-------

wikipedia定義の場合、
ψ(Ω) ≦ α ＜ Ω なら ψ(α) = ψ(Ω) となるのだけどご存知か？

ところで、
>>7-195 の定義 < wikipediaの定義
となる例はいつ出てくるのかい？

>>47
結局、
α:順序数 F[λ_ω](α) = lim F[λ_n](α)
α_ω：極限順序数 F[λ+1](α_ω) = lim F[λ]^α_n(ω)
f^λ_ω(α) → lim f^λ_n(α)
なんだな？
以下はそれ前提で。

>本来は順序数自体のみでは ω*3 > ω*2 > ω+n, ω^2 + ω > ω^2 > ω*n のように
>F[ω+1](ω) > F[ω](ω) > F[n](ω) (nは任意の自然数) となります。
「本来は」って何だ？
>>20 の定義と上の３行で F[ω+1](ω) > F[ω](ω) > F[n](ω) となるのは明らか。

>ただ、F[*](x)の*に入れることでF[ω](ω)の大きさは
>基本列F[n](ω)の要素の順序数F[x](ω)となり、
それは
F[λ_ω](x) = F[λ_x](x)
α:順序数 F[λ_ω](α) = lim F[λ_n](α)
の２行から導かれること。

> F[ω](ω)に収束する基本列F[n](ω)の任意の要素の順序数と
> 言ったほうがいいかもしれません。
良くない。F[ω](ω)はある１個の順序数だ。
F[ω](ω) > F[n](ω)
F[F[ω](ω)](x) = F[F[x](ω)](x)
（F[*](x)は*に関して単調でない）
というだけの話。

>>47
Ω1以降の定義だが、

> Λn_α(ω<α≦Ωn):極限順序数Λn_ωに対しω→αに置きかえた順序数
> (例：Λn_ω = F[Ωn * ω](Ωn) のとき、Λn_Ω1 = F[Ωn * Ω1](Ωn) )

Λn_ω がωの式で（一意に）書けるという仮定や、
ωの式に書けたとして、そのまま一般順序数に置き換えることが出来るという仮定
には無理がある。

Αn が必ずΛn_Ωmかα+1のいずれかの形に（一意に）なるという仮定も無理。


>>46
ε_0の収束列はω^^nが自然であって、
s[n] （ただしs[0] = 0, s[n+1] = ω^s[n]）は不自然か？

Γ_0の唯一の自然な収束列は何だ？
s[n] （ただしs[0] = 0, s[n+1] = φ_s[n] (0) ） は自然か？不自然か？
s[n] （ただしs[0] = 0, s[n+1] = C0(s[n], 0, 0) ） は自然か？不自然か？

任意の帰納的順序数に対して自然な収束列が唯一定まるなんて妄想は捨てた方がいい。

7-195のψの定義は、順序数の関数の定義としては不正確だったことに気付きました。
というのも、ψ(Ω)+Ω=Ωなのに、ψ(ψ(Ω)+Ω)=ψ(Ω+Ω)≠ψ(Ω)となってしまうからです。
表記の仕方によって収束列の定義が変わるだけなら問題ありませんが、
値が変わってしまうときちんと定義されたとは言えません。
7-195のψの定義を、「正則」な表記に対してのみに制限すれば正確な定義になりますが、
「正則」かどうかをすぐに判断できるような定義をするのは、それほど簡単ではないようです。
例えば、ψ(ψ(Ω)+Ω+1)は正則な表記ではありませんが、ψ(Ω)+Ω+1=Ω+1＞Ωなので、
「ψ(α)で、α以上の順序数にψを適用してαが作られている」に当てはまりません。
とりあえず、0,Ω,+,φ,ψを用いた表記が正則な表記であるということを、以下のように定義しておきます。
　0、Ωは正則な表記である。
　α+1（正確にはα+φ_0(0)）が正則な表記となるのは、αが正則な表記であるときのみである。
　αがψ(β)という形でない、収束列の定義された順序数の表記であるとき、
　その収束列の各項が正則な表記であるときのみ、αは正則な表記である。
　ψ(α)は、α未満の順序数にのみψを適用してαが作られており、
　7-195の定義による収束列の各項が正則な表記であるときのみ、正則な表記である。

正則な表記の存在しない順序数に対しては、次のことが成り立ちます。
　α≦γ＜βであるすべての順序数γについて、
　γ未満の順序数にのみψを適用してγを表記することができないならば、ψ(α)=ψ(β)である。

もしも、「α未満の順序数にのみψを適用してαを作ることができるならば、ψ(α)は正則に表記できる」
というのが正しく、正則に表記された順序数に対し7-190の定義と7-195の定義が一致するならば、
0,Ω,+,φ,ψで表記できる順序数に対しては7-195の定義が7-190の定義と同じになるようにできます。

>>48
7-190と7-195の定義が違っていることは分かりますが、
「正則な場合の7-195の定義が7-190の定義より小さい」ということが自明だとは思えません。
（決して「正則な場合に小さく定義されている」ことを否定しているわけではなく、
「小さく定義されている」ことが自明と断言できる理由が私には分からないというだけです。）

>>38-39の説明では正則でない場合を考慮に入れてなく、
「ψをf(0)未満の順序数にしか適用せずに作ったα未満の任意の順序数βに対して、
あるx＜ψ(f(0))が存在して、β＜f(x)となる」というのを証明していないので、
「正則な場合に小さく定義されている」ことを否定できる根拠がないわけですが、
「自明」だと言い切ってしまえるほど簡単に誤りが見つかるのならば、
ヒントではなくはっきりと誤りを指摘して欲しいです。

>>55
　>>45　「まともに定義されている。心配無用。」
　>>49　「もとのと同じ定義になっているという意味だよ。」
も具体的には何も示せてない点でだれかさんと同じ。
だれかさんとは違うといいたいならば証拠を出さないとね。

>>58
＞7-195のψの定義を、「正則」な表記に対してのみに制限すれば
＞正確な定義になりますが、

正しくはwikipediaに書かれていることと矛盾しなくなるだけだと思うが。

>>58
その定義だとΩ+Ωが正則な表記でなくなってしまう。
こんな定義でどう？

-- 0,Ω,+,φ,ψで記述された表記が正則であるとは --

A. 0であるか、またはΩ, φ_α(β)、ψ(α)の最小の個数の和となっている
B. A.の和の各項は、ΩであればΩ、ψ(α)と表せればψ(α)の形、そうでなければφ_α(β)の形になっている
C. B.のψ(α)の形のものでαをΩ以上に出来るものは、αがΩ以上となっている
D. B.のψ(α)の形のものは、C.の条件を満たす中でαが最小となっている
E. B.のφ_α(β)の形のものは、βが最小となっている
F. B.のφ_α(β)の形のものは、F.の条件を満たす中でαが最小となっている
G. B.のα、βもA.〜G.を満たす

A.〜G.を満たすような表記は１通りに決まり、標準形と呼べる。

>>59
＞「正則な場合の7-195の定義が7-190の定義より小さい」
＞ということが自明だとは思えません。

>>58で「α未満の順序数にのみψを適用してαを作る」と述べてるが
そもそもψ(Ω)を考えた時点で、「」内は成り立っていない。
ψ(Ω）＜Ωであるから。
ψはむしろ「より大きな順序数をつぶすことで大きな順序数を作る」
やり方だが、58の発言は、このアイデアが実際には、実現できていないと
受け取れる。つまり8-6による拡張は、基本的にφの場合と同様のものと
考えられる。その場合ψが本来実現している性能に達していないと
考えるのが自然である。

>>60
何も示せてないって...

ψ(ψ(Ω)+1)＞ψ(Ω)となってψ(Ω)がwikipediaの定義より小さそうだって言うから
>>55 にψ(Ω)の場合を示しただろ。

すべての場合をまともに証明するのは面倒。

元定義より小さく定義されてるのが「自明」なんだろ？
早く反例を出しなよ。
反例を出すだけなら証明するよりはるかに楽だろ？
なに出し渋ってるんだ？

だから「あのひと」って思われるんだよ。

>>59
＞「自明」だと言い切ってしまえるほど簡単に誤りが見つかるのならば、
＞ヒントではなくはっきりと誤りを指摘して欲しいです。

>>62で書いたことは、「誤り」の指摘としては十分だとは思う。
どのように直せばいいかという点に関してはまったく明らかではないが。

>>63
＞>>55 にψ(Ω)の場合を示しただろ。
そこを示しても意味がない。

たとえばψ(Ω^Ω)について、もとの定義の結果と同じものが
7-195の定義によって求められるというのであれば意味があるが。

＞元定義より小さく定義されてるのが「自明」なんだろ？
＞早く反例を出しなよ。
＞反例を出すだけなら証明するよりはるかに楽だろ？

この荒れ狂い方はあのお方そっくりなわけだが。

>>45=>>49=>>55=>>63が自分の発言の
「証明」ができないことは自明だな。

なんだかんだ言っても結局反例を出せないのか。

>>56
まずここでの lim λ_n について、
lim[n→ω] λ_n か lim[n→∞] λ_n かそれとも別の意味かを
はっきりとお願いしたいところです。

> 「本来は」って何だ？
F[ ](x) に関係ない順序数それ自体の場合でのことを指しています。
F[ ](x) に入れるとき、F[ω+1](ω) > F[ω](ω)は当然として
F[ω](ω)はxの値により、固定値nに対するF[n](ω)との
大小関係が決まるというつもりです。
もっともF[ω](ω)がどんなに大きな任意自然数xがとれる
という意味ではF[ ](x)に入れてもF[ω](ω) > F[n](ω)ともとれますが。

> F[F[ω](ω)](x) = F[F[x](ω)](x)
> （F[*](x)は*に関して単調でない）
つまりxの値によってF[F[ω](ω)](x) < F[F[n](ω)](x) (x < n)など、
F[α](x) < F[β](x)でもα>βになることもあり得るということですね。

自分はF[*](x)の*の順序数に対してはxの値によって
順序数λ_ωの大きさがλ_xに決まるとしていましたが
このような言い方はやはり良くないことですか。

>>57
まずナゴヤ関数での順序数Ωnは7-190の非可算順序数Ωとは違うものと思っていいです。
Ω(n+1)それ自体はΩnと帰納的関数で表されるあらゆる順序数Λnより大きい順序数
としています。Ωnが非可算順序数として定義しているわけではないです。

定義の
> Λn_α(ω<α≦Ωn):極限順序数Λn_ωに対しω→αに置きかえた順序数
は別の言い方で{Λm_n}を基本列とするΛn_ωを関数f(ω)とおいて、
Λn_α = f(α) (ω<α≦Ωn) とするほうがいいですね。
Α < Ωnのとき、Λn_Α < Λn_Ωn となります。

ただ、言っていることがどういうことかよくわからないので
より具体的な説明があればお願いします。

＞s[n] （ただしs[0] = 0, s[n+1] = ω^s[n]）は不自然か？
たまたまこの式がω^^(n-1)の形として表すことができるということです。
またf(λ) = ω^λとおいて、s[n] = f^n(s[0]) と表すこともできますね。
何にしろ、s[n]でも不自然ではないです。

Γ_0の収束列について。
たろう氏の順序数まとめテキストを見る限り
まずφ_n (0) = C0(n, 0, 0)ととれますが、
それならこの２つを比べる意味はないと思いますが…？
この場合もε0と同じように、
s[n] = f^n(s[0]), f(λ) = φ_λ(0)と表せて、自然な収束列です。

いずれにしてもs[0]のとる値と、f^n(s[0])の繰り返し回数nでとる自然数式
により、極限順序数λ_ωへの収束列は複数とれるので、
>>28のλ_ωへの収束列自体は自然に決まるという発言は撤回です。

＞なんだかんだ言っても結局反例を出せないのか。

反例がでないからといって定義に対する疑惑が晴れたわけではないが。

7-195について質問です。
>>58
ψ(Ω)+Ω=Ωは順序数Ω式のどの定義から導かれるのでしょうか？

>>60
ψがWikipediaの定義と一致するという意味で「正確な定義」と書いたのではなく、
ψを適用した値が(正則に表記されれば)一意的に定まるという意味で、
「正確な定義」と書いただけです。古い定義だと値が一意的に定まらなかったので。

>>61
>>58の定義では不十分でしたね。ただ、61の定義では、
ψ(Ω+Ω)よりψ(Ω+ψ(Ω+Ω))の方が引数が小さいので、
ψ(Ω+Ω)はD.に反し、正則ではないということになってしまいます。
それにG.があるので、ψ(Ω+ψ(Ω+Ω))も正則ではなく、
ψ(Ω+Ω)を表す正則な表記は存在しないことになってしまいます。

また、Ω*ωを表すにはφ_0(Ω+1)とする必要がありますが、
この収束列は0,φ_0(Ω),φ_0(Ω)+φ_0(Ω),…となり、
B.に反するので正則ではなくなってしまいます。
矛盾が生じない限りは、広い範囲のものを正則と言っておいた方が
定義を簡潔にできるので望ましいと思います。

そもそも、ψ(α)の形の表記に対してのみ正則かどうかを考えればいいので、
以下のように定義しておけば十分だと思います。
　ψ(0)は正則な表記である。
　ψ(α+1)(正確にはψ(α+φ_0(0)))が正則な表記となるのは、
　ψ(α)が正則な表記であるときのみである。
　ψ(α)(αは0でもβ+1の形でもない)は、α未満の順序数にのみψを適用してαが作られており、
　7-195の定義による収束列の各項が正則な表記であるときのみ、正則な表記である。

>>62
ψ(Ω)を考えたときには、αというのはΩです。ですから、
「α未満の順序数にのみψを適用してαを作る」には矛盾しません。
αがψ(Ω)になるのは、ψ(ψ(Ω))を考えたときですが、これは「」に矛盾して当然です。

あと、「より大きな順序数をつぶすことで大きな順序数を作る」というのは、
Wikipediaのψと同じ考え方だと思いますが、どこか違うのでしょうか？
Wikipediaのψは、言及できないような順序数が出てきたときに、
Ωを使うことでその順序数の代わりにしていると考えられます。
>>51ではσを表せないので、その代わりにΩを使っているように。

>>65
ψ(Ω^Ω)というのは、
Ω=ω^ΩよりΩ^Ω=(ω^Ω)^Ω=ω^(Ω*Ω)=ω^(ω^Ω*ω^Ω)=ω^(ω^(Ω+Ω))なので、
ψ(φ_0(φ_0(Ω+Ω)))と表せますが、これを示すのは>>55ほど簡単ではありません。
示そうとすれば、>>38-39と同じ方針になると思います。

>>70
>>38-39の説明をきちんとした証明にするまでは、疑惑は晴れないでしょう。

>>71
ψ(Ω)+Ω=Ωというのは、順序数の和の定義から出て来る式です。
順序数の和の厳密な定義はWikipediaにも書いてありますが、
日本語版Wikipediaはμ＜ν⇒μ+ρ＜ν+ρのような間違った記述があるので、
あまり信用できません。(反例：0＜1だが、0+ω=ω=1+ω)

>>73
そうか、交換法則が成り立たないということでしたね。
Ω+ψ(Ω)＞ψ(Ω)+Ω=Ωと。

>>68
> まずここでの lim λ_n について、
> lim[n→ω] λ_n か lim[n→∞] λ_n かそれとも別の意味かを
> はっきりとお願いしたいところです。

nが自然数ならどっちでも同じ意味じゃないか？
εδによる極限の定義とは違うから
どちらでもないとも言えるかも。

>>36 に別の言い換えをいくつか書いているが。
これでわからないようだと極限順序数の意味を０から勉強し直した方がいい。

> F[α](x) < F[β](x)でもα>βになることもあり得るということですね。
簡単な具体例
F[ω^2](10) < F[ω*100](10)

> 自分はF[*](x)の*の順序数に対してはxの値によって
> 順序数λ_ωの大きさがλ_xに決まるとしていましたが
> このような言い方はやはり良くないことですか。
ωの大きさが3や4に決まるという言い方は変だろ？
F[ω](n) = F[n](n) というのはまったくωの定義にはなっていないのもわかるか？

>>72
> 矛盾が生じない限りは、広い範囲のものを正則と言っておいた方が
> 定義を簡潔にできるので望ましいと思います。
標準形が定義出来れば便利じゃないかと思ってね。
>>6 の定義には関係ないけど。
0, Ω, φ, ψ で作れる最大の順序数未満の順序数は、
あるルールに従えば、0, Ω, φ, ψを用いて１通りにあらわせる
というのは魅力じゃない？
今回は失敗だったけど。
（似たような標準形をどこかで見たから真似したら間違っちゃいました）

Ω*ωの場合は、φ_0(Ω+φ_0(0))が標準形で問題無いかと。

> そもそも、ψ(α)の形の表記に対してのみ正則かどうかを考えればいいので、
>>6 の定義に関してはそうだね。φの収束列は問題ないんで。

>>75
limについて厳密な意味はまだはっきりと
していないんですね。

> F[ω](n) = F[n](n) というのはまったくωの定義にはなっていない
つまりF[ω](n) = F[n](n)は自然数同士のみの定義で
[ ]の中の順序数の大きさ定義とは関係ないと。

とりあえず極限順序数のナゴヤ関数の定義で
( fは任意の順序数の関数 )
F[λ_ω](α) → F[λ_x](α) を (αは順序数)
f( F[α_ω](β) ) → f( F[α_n](β) )を収束列とする極限順序数、
F[λ+1](α_ω) → F[λ]^α_x(ω) を
f( F[λ+1](α_ω) ) → f( F[λ]^α_x(ω) )を収束列とする極限順序数
f^λ_ω(α) → f^λ_x(α) を
f^λ_ω(α) → f^λ_x(α)を収束列とする極限順序数
に書き直しておきます。

Ωnについても同様に
F[Λn_ω](Αn) → F[Λn_x](Αn) を
f( F[Λn_ω](Αn) ) → f( F[Λn_x](Αn) )を収束列とする極限順序数
f^Λn_ω(Ωn) → f^Λn_x(Ωn) を
f^Λn_ω(Ωn) → f^Λn_x(Ωn)を収束列とする極限順序数
に書き直します。

>>77
いいかげん釣りに思えてきた。

> limについて厳密な意味はまだはっきりと
> していないんですね。
文盲か？
意味ははっきりしてる。

> f( F[α_ω](β) ) → f( F[α_n](β) )を収束列とする極限順序数、
F[α_ω](β) = 『F[α_n](β)を収束列とする極限順序数』 でいい。
他の式も。

α → β が、F[α](n) = F[β](n) の意味だとすると、
相変わらずF[α_ω](β)が定義されていないし、
α = β の意味だと矛盾発生。

αがF[α_n](β)の形で表せる時はf(α) = n
αがF[α_n](β)の形で表せない時はf(α) = 0
とfを定義すると、
定義式の左辺は整数、右辺はωとなる。

>>78
>>75の
> εδによる極限の定義とは違うから
> どちらでもないとも言えるかも。
より、limλ_n の意味がはっきりしてないと思いましたが。

>> f( F[α_ω](β) ) → f( F[α_n](β) )を収束列とする極限順序数
> F[α_ω](β) = 『F[α_n](β)を収束列とする極限順序数』 でいい。
> α → β が、F[α](n) = F[β](n) の意味だとすると、
> 相変わらずF[α_ω](β)が定義されていないし、
> α = β の意味だと矛盾発生。
誤解を生じてしまう表現ですまん、
ここでの「→」はナゴヤ関数定義テキストのとは
関係なく、「f( F[α_n](β) )を収束列とする極限順序数」を
一かたまりにするつもりでした。
とにかくアドバイスどうもです。

> f( F[α_ω](β) ) → f( F[α_n](β) )を収束列とする極限順序数
これを誤解の生じない表現に直してくれ。

>>61 のルール、
「ψ(α) の形のものは、αが最大となっている」
に直せばうまくいくかなあとか考えてたけど、
もっと簡単に
標準形は 0, Ω, +, φ, ψ を使う回数の合計が一番少ない表記
でいいような気がしてきた。

>>73
>ψ(Ω)を考えたときには、αというのはΩです。ですから、
>「α未満の順序数にのみψを適用してαを作る」には矛盾しません。

上の文章は正しくないな。
Ωは、Ω未満の順序数にψを適用して作られたものではないよ。

>>73
>Ω=ω^Ω

この等式は他には7-192でしか出てこないようですが
どうやって出しましたか？

ΩはΩ番目のadditive principal ordinalだから。

>>82
「α未満の順序数にのみψを適用してαを作る」というのは、きちんと書けば、
「0,Ωに対して+,φ,ψを繰り返し適用してαを作るが、その際にψはα未満の順序数にのみ適用する」
ということです。言葉を省略しすぎて誤解を招いたようですが。

【lim α_n の定義】

α_n を順序数の列とする。

『lim α_n = α』は以下と同値である。

『β<αとなるすべての順序数βに対し、
ある自然数nが存在し、
m>nとなるすべての自然数mに対して、
β ＜ α_m ≦ α が成り立つ』

（※上記が成り立つαは高々１個しか存在しないことは簡単にわかる）

α_n が増加列である場合、
lim α_n = sup α_n = [α_nを基本列とする極限順序数]
である。

>>86
lim α_n の具体的な定義ありがとう。
α_n が増加列でなければ
lim α_n = sup α_n = [α_nを基本列とする極限順序数]
とは限らないんですね。

>>87
そりゃそうだ

α_n = {2, 1, 1, 1, ....}
なら
lim α_n = 1
sup α_n = 2
α_n は極限順序数の基本列にはならない

>>84
>ΩはΩ番目のadditive principal ordinalだから。
additive principal ordinalって何？

>>89
まったく知らないおいらが勘で書いてみる。

和に分けることができない順序数、
つまり、
α = β + γ （ただし、0 < β < α, 0 < γ < α）
となる順序数β、γが存在しない順序数α
たぶん0は除く。

>>89
α,β＜γ → α+β＜γ
を満たすγ. スレ６あたりに既出。

ナゴヤ関数Ver1の定義を>>20から一部修正した
テキストをupしました。
http://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000022830.txt

念のためですが今回のα→β表記はF[α](x) = F[β](x)
とは関係ありません。

6-935
>ω^α の形の順序数は、additive principal number といい･･･
>ω^α は α番目の additive principal number です。

これじゃ、>>83の問いの答えの>>84は同語反復だな。

Q:なぜΩ＝ω＾Ω
A:ΩはΩ番目のadditive principal number
　つまりΩ＝ω＾Ωだから。

問われているのは
なぜΩはΩ番目のadditive principal numberといえるか
なんだが。

>>93
>>90-91

>>94
これではまだ当人以外には自明ではないな

違うというのならまずあなたが、その理由（もしくは証明）を
示さなければならない。なぜなら、ΩがΩ番目のadditive principal numberではない、
すなわち、Ω＝ω^αにおいて、αは可算順序数またはΩより大きい順序数になる
というあなたの主張はΩの性質として一般に知られていることに反するからだ。
少数派がただ「いや、違う！」と吠えただけでは何の説得力も無い。
正直に、「Ω＝ω＾Ωとなりそうなのはわかるのですが、その形式的な証明
が知りたいので教えて下さい。」という態度をとるのならば教えてやる。

>>96
「Ω＝ω^αにおいて、αは可算順序数またはΩより大きい順序数になる」
とすると「Ωの性質として一般に知られていることに反する」といいたい
ようだが、それって具体的に何？

>>96
Ω＝ω^αとなるαは存在しない、という可能性はない？

>>97 >>98
　 　 　 　　　　　　　｢￣ ｀ヽ､ 　　＿_＿_＿_
　 　 　 　　　　　　　Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､　　　〉
　　　　　　　　　　／ 　 　 　　　　　　ヽ＼ /
　　　　　　　　／/ 　/ 　/ 　 　 　ヽヽ　ヽ〈
　 　　　　　　ヽ､レ! {　 ﾑ-t ﾊ　li ､ i　i　　}ﾄ､
　　　　　　　　　ﾊＮ |　lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l　!
　 　　　　　　　/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝　,　r= ､ﾉﾙｌ　lＬ」
　　　　　　　　ヽN､ﾊ ｌ　 　┌‐┐ 　 ﾞl ﾉl　l
　 　　　　　　　　　ヽﾄjヽ､　ヽ_ノ 　 ノ//ﾚ′
　　　　r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ　r ´ﾌ/′
　　　ｊ´ﾆゝ 　　　　　　　ｌ|ヽ 　_/｀＼
　 　〈　‐　知ってるが　ｌﾄ、　/ 　 〃ゝ、
　 　〈､ﾈ.. 　　　　　　 　.ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
　　　ト |お前の態度が とニヽ二／　　ｌ
　　　ヽ.|l　　　　 　 　　〈ｰ- 　 !　｀ヽ. 　 ｌ
　 　 　 |l気に入らない ｌﾄﾆ､_ﾉ 　 　 ヾ、!
　 　 　 |l_＿_＿_＿_＿__ｌ| 　　＼ 　　　ソ

2chのやりとりに態度もなにもあったもんじゃなかろうて

>>93
非加算順序数にまだ疎い自分が説明してみますが、
α = ω^αとなるα_n（α_λ）列はε0以上で無数にあります。
そしてη0 = φ_2(0)ではα_λ列のε_ε_ ... ε_0 = η0番目となります。
以降ω^φ_n(0) = ε_φ_n(0) = φ_n(0)、ω^Γ0 = ε_Γ0 = Γ0も存在し、
それぞれα列のφ_n(0)番目、Γ0番目のadditive principal numberになります。
次に最小の非加算順序数ΩにおいてΩ = ω^αとなるαについてですが、
α<Ωではω^αが可算順序数になるので存在しません。
よって、ω^αが最小の非加算順序数となるにはα=Ωとなる
必要があり、ω^Ωより小さい非加算順序数は存在しないので
Ω = ω^Ωとなる・・・ということだと思います。

>>101
> 非加算順序数にまだ疎い自分が説明してみますが、
簡単な極限順序数を定義するのに１年半もかかったくせに、
まるで加算順序数には強いといわんばかりの表現。
君はまだ説明する立場にはない。

>>92
保存しました。
http://gyafun.jp/ln/archive/8-92.txt

>>101
>α<Ωではω^αが可算順序数になるので存在しません。
本当？
>ω^αが最小の非加算順序数となるにはα=Ωとなる必要があり
αが非可算ならω＾αが非可算になる、と？
つまりαの濃度でω＾αの濃度が決まる、と？
これまた本当？

PlanetMath に additively indecomposable の項目で
説明が載っている。>>101は一度証明をきちんと見直したほうが良いかと。

1)任意のα<δに対してα+δ<δ
2)任意のα,β<δに大してα+β<δ
3)或るγ<δが存在してδ=ω^γ
これは全て同値になり、このときδはadditively principalまたはadditively indecomposableと呼ばれる。
（加法の話だと文脈上分かる場合はadditivelyを省略したりする場合もある）
おそらく1)からprincipal、2)からindecomposableって名前が付いてるんだろうけど
ネットで検索した限りではindecomposableの用例のほうが圧倒的に多いし、
今の話でも1)の定義使ってるしそっちのほうが分かりやすいんじゃないかと。まあどうでもいいですが。

なんか二階算術のSimpsonの、ペンシルバニア州立大学の講義教材でこれが宿題になってたｗ

7-190で
「ψ(α)は、0とΩ(最小の非可算順序数)から始めて、
　それ以前に作られた順序数に対し 加法、Veblen関数、ψを
　繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψはαより小さい順序数に対してのみ適用する。」
とあるけど、ここでVeblen関数を除いたψ'を考えるとどうなるかな？

多分ψ'(0)=ω、ψ'(1)=ω^2、・・・、ψ’(n)=ω^(n+1)・・・
ψ’(ω)=ω^ω、・・・となるよね。で、その限界はおそらく
ε_0=ω＾ω＾ω・・・だよね。

これをψ'(Ω)として7-195と同様の方針で拡張したらどうなる？

7-195の定義をψ'版に書き換えてみた。こんな感じ？
　α=ψ'(0)のとき、α_0=0, α_(n+1)=α_n+1
　α=ψ'(β+1)のとき、α_0=ψ'(β), α_(n+1)=α_n+ψ'(β)
　α=ψ'(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'(β_n)
　α=ψ'(β)(βは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
　以下の手順で収束列を定める。
　　まず、βに注目する。
　　注目する順序数がΩになるまで、以下の手順を繰り返す。
　　　注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
　　　注目する順序数がψ'(γ)のときは、γに注目する。
　　ψ'(β)の、注目するΩをxで置き換えた関数をf(x)とする。(f(x)は順序数の関数)
　　α_0=0, α_(n+1)=f(α_n)とする。

7-195のやり方でいいならVeblenは必要ないかと。
またΩとみなされる順序数がΓ_･･･_0じゃなくて
ε_0でもいいかと。

>>106
＞ψ'(0)=ω、ψ'(1)=ω^2、・・・、ψ’(n)=ω^(n+1)、・・・
今思ったんだが
ψ'(0)=1、ψ'(1)=ω、・・・、ψ’(n)=ω^n、・・・
のほうが美しいな。

すいません。空気読まずに質問します。
Rubyでアッカーマン関数をべたに実装してみたのですが、ちょっと大き目の引数を入れると、
あっという間にスタックオーバフローになってしまいます。
スタックオーバフローしないように実装するにはどうしたらいいですか？

>>106
7-200あたりがそれだと思う。
両者の差は引数がΩ^ωの段階で吸収される。
Ψ'(Ω^ω)=Ψ(Ω^ω)

なんかグダグダになってきたなぁ。
また昔のような熱い議論がしたい・・・

そう思うなら、自分で熱い話題を振らないと。

>>105
1)は「任意のα<δに対してα+δ=δ」の間違いではないでしょうか。

>>106
その場合、ψ'(Ω)=ε_0, ψ'(Ω+Ω)=ε_1, ψ'(Ω+Ω+Ω)=ε_2, …となって、
ε_ωまでしか表記できないようです。
7-203と同様にψ'を定義すると、φ_α(0)=ψ'_0(ψ'_α(0))となるようです。
この計算をやってみると、>>53の「ψをφと同様のものだと考えてる」の意味は
何となく分かった気がしますが、この考え方が間違っているのかどうかは分かりません。

>>109
1はφ_0(0)として表すことになるので、Veblen関数を使わないならψ'(0)=1になります。

>>110
そもそも、アッカーマン関数は少し大き目の引数を入れると、
現実的には計算できないくらい大きな値になってしまうので、
スタックオーバーフローにならないように実装することはできないと思います。

>>111
7-200のAの定義は7-190の定義と異なるので、そういう結果にはなりません。
A(Ω+1)の収束列はA(Ω)+1、A(A(Ω)+1)、A(A(A(Ω)+1))、…となりますが、
ψ'(Ω+1)ではψ'(ψ'(Ω)+1)を考えてもψ'(ψ'(Ω)+1)=ψ'(Ω)となってしまうので。

もしかしたら、>>33は、7-190のψを7-200のAと同じものだと考えたのかもしれませんが、
7-200のAは7-190のψよりもずっと大きなものになると思います。

>>114
なるほど。ψとＡは本質的には同じだと思っていました。
Ａはハワード順序数が書いてある論文を参考に定義したものです。
関数の「底」は、
Ａ（α）＝１＋α
Ａ（α）＝ω＾α
Ａ（α）＝Γ＿α
のいずれにしても、Ω＾ωで吸収されます。（その論文では３つ目の定義を
使っていました。）これは、ヴェブレン階層の拡張ということです。
厳密な定義は>>42です。まぁいずれにしても基本列を決めないと巨大数
には使えませんが。

>>110
スタックオーバーフローにしない方法は、
スタックをたくさん使わないこと。
つまり、再帰呼び出しを行わないで実装すればよい。

葉が自然数の２進木を作り、
枝の先の方から計算していけばよい。

ただし、その２進木を実装するためのメモリが必要で、
いずれにしろメモリ不足となるし、
組み込み型であれば演算のオーバーフローも起こる。

>>103
修正版でもまたまたありがとう。

>>104
f(α) = ω^αは帰納的関数なのでαが可算順序数α(<Ω)ならω^αも可算順序数
→ ω^αが非可算順序数ならαも非可算順序数（逆については考えない）
という単純な考えがあっているかも証明する必要がありますか・・・。
もし間違っていて具体的な例があればお願いします。

>>105>>114
自分も1)ではα+δ<δでなくα+δ=δではないかと思いました。
α<δに限らずα+δ<δとなる順序数δはあるのでしょうか？

>>114
＞ψ'(Ω+1)ではψ'(ψ'(Ω)+1)を考えても
＞ψ'(ψ'(Ω)+1)=ψ'(Ω)となってしまうので。

どうもΩ＝ω＾Ωを使うとうまくいかないんだよね。

＞もしかしたら、>>33は、7-190のψを7-200のAと
＞同じものだと考えたのかもしれませんが、

同じだと考えたのは>>111だが。
>>33は7-200には全く言及してない。

>>114
「7-200のAは7-190のψよりもずっと大きなものになる」というのを訂正します。
7-200のAは、7-132,136の多変数Veblen関数とA(Ω^α)≒φ([α,1])のように
対応付けられると思われるので、αが大きければA(α)≒ψ(Ω^α)となり、
αがε_(Ω+1)より大きければAとψの違いはほとんどなくなるでしょう。

ψ'で表せる数とψで表せる数の限界に大きな差が出たのは、
Veblen関数がないとΩ^ωどころかΩ*ωを表すことすら出来ないからです。

>>115
ε_0を超えるとHとFの違いがほとんどなくなるのと同様に、
ε_0(Ω+1)を超えれば、ψとAの違いはほとんどなくなると思います。

>>118
ψとAに本質的な違いがあると自分が勘違いしてしまったので、
7-190のψをもっと本質的に大きい別の定義と勘違いしているのかと思ってしまいました。

>>110
def ackermann(m, n)
if m == 0
n+1
elsif n == 0
ackermann(m-1, 1)
else
#if m == 1 then
# ackermann(m, 0)+1*n
#else
(1..n).inject(ackermann(m, 0)) {|r, i| ackermann(m-1, r) }
#end
end
end

あ、すいません
105のα+δ<δ はα+δ=δの間違いですね
α>=0からα+δ>=0+δとなるのでα+δ<δとなるような順序数は存在しません

>>120
マツシンか。
思いっきり再帰じゃん。すぐにスタックオーバーフロー。

>>119
7-132のは多変数Veblen関数というよりは、中途半端な２重リストVeblen関数

>>122
ああ、injectが分からんのだね？そこはC風に書き直すと
int r = ackermann(m, 0);
for (i=0; i < b; i++) r = ackermann(m-1, r);
のようなものだ。
で？すぐにって具体的にどうすればあふれるのかね？

>>124
ackermann(ackermann(5,5),5)

ごめんな、(5,5)を計算してる間に宇宙が終わっちゃったｗ
まあ確かにそっち方向も手当てしなきゃいけないよな、このスレだし

>>119
>Veblen関数がないとΩ^ωどころかΩ*ωを表すことすら出来ない

その場合、7-195の定義でVeblen関数を
Ω以上の順序数に適用する妥当性も
問題になるけどね。

>>119
ψ''(0)=Ω、ψ''(1)=Ω＾2、･･･みたいなものを考えればいいかも。

>>119
ε_0(Ω+1)を超えれば　→　ε_(Ω+1)を超えれば

>>127
7-195の定義でも、ψ(φ_α(Ω))=ψ(Ω)などの性質を満たしているので、
Veblen関数をΩ以上の順序数に適用してもおそらく問題ないだろうとは思います。
きちんと示せているわけではないですが、
例えば、ψ(φ_0(Ω))=ψ(Ω)からψ(φ_0(Ω+α))=ψ(Ω*ω^α)となり、
ψ(φ_0(Ω+Ω))=ψ(Ω*Ω)となり、…のように示していけるのではないかと思います。

>>128
7-203と同様にψ'_α(β)というものを導入すると、
ψ'_1(α)=Ω*ψ'_0(α)で、ψ'_2(0)はΩ*Ωに相当すると考えられるので、
ψ'_α(0)はΩ^αに相当するものになると考えられます。
これを使えば、Howard順序数までは到達できそうな気がします。

>>129
>7-203と同様にψ'_α(β)というものを導入すると、
>ψ'_1(α)=Ω*ψ'_0(α)で、ψ'_2(0)はΩ*Ωに相当すると考えられるので、

それはあんまりうまくないなあ。

　α=ψ''(0)のとき、Ω
　α=ψ''(β+1)のとき、α_0=ψ''(β), α_(n+1)=α_n+ψ''(β)
　α=ψ''(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'(β_n)

として、例えばψ''(ψ''(0))はω^(Ω+Ω)=Ω^2となるように出来れば
無駄に添数を消費せずにすむ。

いずれにしても、>>107の
>α=ψ'(β)(βは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは
以降の定義を考え直す必要はある。

効率を求めるならこれ
http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm

>>130
＞α=ψ''(0)のとき、Ω
＞α=ψ''(β+1)のとき、α_0=ψ''(β), α_(n+1)=α_n+ψ''(β)
＞α=ψ''(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'(β_n)
という定義だけを見るとψ''はψ'_1と同じですが、違うのはψ''の場合、
ψ''(ψ''(0))自体に収束列が存在するわけではなく、
ψ'の引数にすることで初めて収束列が定義されるという点ですね。
ただ、ψ''を導入してもHoward順序数が限界だということは変わらないでしょう。

ψ'_α(β)の定義は、7-203を少し書き換えれば簡単に定義できます。
　α=ψ'_0(0)のとき、α=1
　α=ψ'_β(0)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'_(β_n)(0)
　α=ψ'_β(γ+1)のとき、α_0=0, α_(n+1)=α_n+ψ'_β(γ)
　α=ψ'_β(γ)(γは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'_β(γ_n)
　α=ψ'_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
　以下の手順で収束列を定める。
　　まず、γに注目する。
　　注目する順序数がψ'_(δ+1)(0)の形になるまで、以下の手順を繰り返す。
　　　注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
　　　注目する順序数がψ'_ε(0)の形のときは、εに注目する。
　　γの、注目するψ'_(δ+1)(0)をxで置き換えた関数をf(x)とする。
　　α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_δ(f(α'_n))とし、
　　収束列はα_n=ψ_β(f(α'_n))とする。
言葉で書いた定義は、次のようになります。
　ψ'_α(β)は、0に対して加法、ψ'を繰り返し適用しても
　作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
　ただし、ψ'の引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　また、ψ'の添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
　そのようにして作った順序数をψ'の引数として用いてはいけない。

ψ''を導入したときの定義は、次のようになると思います。
　α=ψ'(0)のとき、α=1
　α=ψ'(β+1)のとき、α_0=ψ'(β), α_(n+1)=α_n+ψ'(β)
　α=ψ'(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ'(β_n)
　α=ψ'(β)(βは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
　以下の手順で収束列を定める。
　　まず、βに注目する。
　　注目する順序数がψ''(0)になるまで、以下の手順を繰り返す。
　　　注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
　　　注目する順序数がψ''(γ)のときは、γに注目する。
　　ψ'(β)の、注目するψ''(0)をxで置き換えた関数をf(x)とする。
　　α_0=0, α_(n+1)=f(α_n)とする。
言葉で定義を書くと、次のようになるでしょう。
　ψ'(α)は、0に対して加法、ψ'、ψ''を繰り返し適用しても
　作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ'はαより小さい順序数に対してのみ適用する。
　ψ''(α)は、Ω(最小の非可算順序数)以上であり、
　加法について閉じているα番目の順序数である。
　ただし、ψ''(0)=Ωとする。
（注：順序数αが加法について閉じている⇔∀β,γ＜α, β+γ＜α）

>>132
>(ψ''が129のψ'_1と)違うのは
>ψ''の場合、ψ''(ψ''(0))自体に収束列が存在するわけではなく、
>ψ'の引数にすることで初めて収束列が定義されるという点

その通り。0＜αに対してΩ＜ψ''(α)となる。

>ψ''を導入してもHoward順序数が限界だということは変わらない

その通り。ψ'の限界がε_0だったようにψ''の限界はε_(Ω+1)となる。

いやぁ、なんだかスレのレベルについていけなくなって久しいですが。
mixiのコミュも立ち上がってるみたいですね。

で、私の突発的な思いつきなんですが。
初見の素人さんにも「巨大数」を啓蒙するのに何かないかと思い、
有名な「宇宙ヤバイ」の改変を試みましたが自分の拙い理解ではうまくいきません。

スレの皆さんで何か考えていただければ幸いですが。
巨大数思索の休憩、息抜きにいかがですか？

スレチだったらすいません･･･。

一応、「宇宙ヤバイ」のテンプレートを。

ヤバイ。宇宙ヤバイ。まじでヤバイよ、マジヤバイ。
宇宙ヤバイ。
まず広い。もう広いなんてもんじゃない。超広い。
広いとかっても
「東京ドーム20個ぶんくらい？」
とか、もう、そういうレベルじゃない。
何しろ無限。スゲェ！なんか単位とか無いの。何坪とか何�fとかを超越してる。無限だし超広い。
しかも膨張してるらしい。ヤバイよ、膨張だよ。
だって普通は地球とか膨張しないじゃん。だって自分の部屋の廊下がだんだん伸びてったら困るじゃん。トイレとか超遠いとか困るっしょ。
通学路が伸びて、一年のときは徒歩10分だったのに、三年のときは自転車で二時間とか泣くっしょ。
だから地球とか膨張しない。話のわかるヤツだ。
けど宇宙はヤバイ。そんなの気にしない。膨張しまくり。最も遠くから到達する光とか観測してもよくわかんないくらい遠い。ヤバすぎ。
無限っていたけど、もしかしたら有限かもしんない。でも有限って事にすると
「じゃあ、宇宙の端の外側ってナニよ？」
って事になるし、それは誰もわからない。ヤバイ。誰にも分からないなんて凄すぎる。
あと超寒い。約1ケルビン。摂氏で言うと−272℃。ヤバイ。寒すぎ。バナナで釘打つ暇もなく死ぬ。怖い。
それに超何も無い。超ガラガラ。それに超のんびり。億年とか平気で出てくる。億年て。小学生でも言わねぇよ、最近。
なんつっても宇宙は馬力が凄い。無限とか平気だし。
うちらなんて無限とかたかだか積分計算で出てきただけで上手く扱えないから有限にしたり、fと置いてみたり、演算子使ったりするのに、
宇宙は全然平気。無限を無限のまま扱ってる。凄い。ヤバイ。
とにかく貴様ら、宇宙のヤバさをもっと知るべきだと思います。
そんなヤバイ宇宙に出て行ったハッブルとか超偉い。もっとがんばれ。超がんばれ。

途中までやってみたけど自分には無理でした。
すいません。

以下、晒してみます。

ヤバイ。ふぃっしゅ数ヤバイ。まじでヤバイよ、マジヤバイ。
ふぃっしゅ数ヤバイ。
まず多い。もう多いなんてもんじゃない。超多い。
多いとかっても
「１おくまんえんくらい？」
とか、もう、そういうレベルじゃない。
何しろ不可算。スゲェ！なんか単位とか無いの。何倍とか何乗とかを超越してる。不可算だし超多い。
しかも矢印回転してるらしい。ヤバイよ、回転だよ。
だって普通は演算子とか回転しないじゃん。だって自分の部屋の廊下がだんだん伸びてったら困るじゃん。トイレとか超遠いとか困るっしょ。
増加の割合が伸びて、１回目は加算程度の増加だったのに、３回目でアッカーマン関数程度の増加とか泣くっしょ。
だから超階乗とか膨張しない。話のわかるヤツだ。
けどタワーはヤバイ。そんなの気にしない。回転しまくり。他の演算子で表現しきれないくらい増える。ヤバすぎ。
無限っていたけど、もしかしたら有限かもしんない。でも有限って事にすると
「じゃあ、ＢＢ(100)ってナニよ？」
って事になるし、それは誰もわからない。ヤバイ。誰にも分からないなんて凄すぎる。

とにかく貴様ら、巨大数のヤバさをもっと知るべきだと思います。
そんなヤバイ巨大数の世界に出て行ったスレのみんなとか超偉い。もっとがんばれ。超がんばれ。



この際、巨大数のヤバさが伝われば文意は破綻しててもいいか、というような気持ちで作りました。
どなたか改良してくださる方はいませんか？
もし、この書き込みを見て気分を悪くする方がいらっしゃったらすいません･･･

いや、不可算じゃないだろ

>>138
そうです。その辺の文意は破綻してますが、テンプレートの語感を生かしてこの形にしました。
むしろこれをたたき台にして筋の通った「巨大数ヤバイ」ができれば、と考えています。

7-887の拡張（7-891参照）をしてみました。

【　】の中を↑から○に置き換えて7-887を2重に行う
9【○】↑ｎ＝9【【…【↑】…↑】↑】↑9　※【　】の数がｎ個
9【○】↑↑ｎ＝9【○】↑（9【○】↑↑（ｎ-1））
9【○】【↑】↑ｎ＝9【○】↑↑…↑9　※↑の数がｎ個
9【○】【○】↑ｎ＝9【○】【【…【↑】…↑】↑】↑9　※【　】の数がｎ個
9【◎】↑ｎ＝9【【…【○】…○】○】↑9　※【　】の数がｎ個

【　】の中の記号を変えることで何重にも出来る。
ここで○◎の変化では☆の処で行き詰るので（7-686参照）
○を【↑】に置き換える。その際見分けをつけるため「」を使用
9【「↑」】↑ｎ＝9【【…【↑】…↑】↑】↑ｎ9　※【　】の数がｎ個
9【「↑」】↑↑ｎ＝9【「↑」】↑（9【「↑」】↑↑（ｎ-1））
9【「↑」】【↑】↑ｎ＝9【「↑」】↑↑…↑↑9　※↑がｎ個
9【「↑」】【「↑」】↑ｎ＝9【「↑」】【【…【↑】…↑】↑】↑9　※【　】がｎ個
9【【「↑」】「↑」】↑ｎ＝9【「↑」】…【「↑」】↑9　※【「↑」】がｎ個
9【「↑↑」】↑ｎ＝9【【…【「↑」】…「↑」】「↑」】↑9　※【　】の数がｎ個
9【「「↑」↑」】↑ｎ＝9【「↑↑…↑↑」】↑9　※「」内の↑がｎ個
9【「『↑』」】↑ｎ＝9【「「…「↑」…↑」↑」】↑9 ※「」の数がｎ個

更に括弧を変化させていけば、括弧の種類だけ拡張が可能
そこで括弧が何種類目かを変数ｎで表記
9【ｎ・「↑」】↑9　※「」の種類がｎ番目
9【9・「↑」】↑9をＧＸＰ999数と命名
結果ここまで（ほとんどバーコード）やっても、ω↑↑↑ω
にしか拡張しない。(手計算だから、もっと小さいかも）
順序数等を使用しないと拡張は難しいですね。

たびたび話の腰を折って申し訳ありませんがmixiの雑談トピに挙げるべき内容だったですかね･･･。すいません。

>>141
そもそも元ネタが間違ってる。
宇宙は無限ではない。

>>142
そこは突っ込むとこじゃないんじゃね？

中共当局は北京五輪を1936年のヒトラー政権が主催したベルリン・オリンピックのように、
独裁と専制をさらに強化し、その合法性を立証しようとしている」と指摘、
オリンピック開催のために、中共当局が過去の数年間にさらに多くの人権侵害を犯し、
いまでも毎日進行している状況を説明した。
欧州議会公聴会、中共当局の人権侵害に焦点
http://jp.epochtimes.com/jp/2007/12/html/d69954.html

中国共産党はこれからもどんどん大虐殺しますので応援ﾖﾛｼｸ!
http://www.youtube.com/watch?v=o1-y6-Rxyvc
http://www.youtube.com/watch?v=L1zoho-17Sw
http://www.youtube.com/watch?v=MoahxR4Xbyc
http://www.youtube.com/watch?v=KtTBWxOjWVM
http://www.youtube.com/watch?v=zuzrA-n8o4o
http://www.youtube.com/watch?v=lW2ezqOUqDE

ﾃﾛ支援国家の中国ですがこれからも全力を尽くしてﾃﾛ支援します
http://kanzokutero.blogspot.com/

中国・ウイグル　東トルキスタンを救え
http://society6.2ch.net/test/read.cgi/diplomacy/1151638895/l50

なぜかスレが止まっているので一応投下

ヤバイ。ふぃっしゅ数ヤバイ。まじでヤバイよ、マジヤバイ。
ふぃっしゅ数ヤバイ。
まず大きい。もう大きいなんてもんじゃない。超大きい。
大きいとかっても
「無量大数の無量大数乗くらい？」
とか、もう、そういうレベルじゃない。
何しろS変換。スゲェ！なんか単位とか無いの。何億とか何無量大数とかを超越してる。超大きい。
しかもまだまだ大きくできるらしい。ヤバイよ、さらに上だよ。
だって普通は無量大数とか大きくならないじゃん。だって自分の部屋の廊下がだんだん伸びてったら困るじゃん。トイレとか超遠いとか困るっしょ。
通学路が伸びて、一年のときは徒歩10分だったのに、三年のときは自転車で二時間とか泣くっしょ。
だから無量大数とか大きくならない。話のわかるヤツだ。
けどふぃっしゅ数はヤバイ。そんなの気にしない。versionアップしまくり。タワーとか使ってもよく分かんない。ヤバすぎ。そいでそしたら
「じゃあ、自然数ってなによ？」
って事になるし、それは誰もわからない。ヤバイ。誰にも分からないなんて凄すぎる。
とにかく貴様ら、ふぃっしゅ数のヤバさをもっと知るべきだと思います。
そんなヤバイふぃっしゅ数に挑戦したみんなとか超偉い。もっとがんばれ。超がんばれ。

>>145
スレッドが停滞している理由は、君には明らかだと思うがな。
つまり、君のように、皆が理解できるレベルを超えたわけだな。

だからといって、皆は君のように正真正銘のDQNではないから
＊＊ヤバイみたいなDQN限定ネタでは満足できない。
数学科でなくとも大学の理系学科出身なら君に対して、
絶対零度に限りなく近い温度の視線を向けるに違いない。
まさか君、大学の理系学科の学生とか出身者ではないよね。

>>146
DQNはトンデモほどにも価値はない。

トンデモは確かに嫌われるが、読者に対して、間違いを正そうという
意欲を呼び起こさせる効果は絶大であるし、実際に書き込まれた文章が
物事を理解してない人にも分かりやすい説明になっていることは多々ある。

DQNは、スレッドと関係なくボケるだけであるから、攻撃はされないが
同時に反応もされない。そして、読者に対して何の有益な情報も
もたらさない。

トンデモがいるスレッドは栄えるが、DQNばかりのスレッドは滅びる。
これが２ｃｈのみならずネットの掲示板全体にいえる厳然たる事実である。
DQNはただボケるのではなく、みずからトンデモとなって燃え尽きる
自己犠牲をはらうべきだ。君らの存在価値はそれしかないのだから。

ネット数学者のスレはまずまず栄えたよね、松本さん

結局ナゴヤ数ってなんだったんだろうか

>>146-147
なんかDQNだかトンデモだか知りませんが、>>145さんは自分ではないので一応。
これは>>135-137を書いた自分に対するレスと理解しておきます。どうもすいません。
せっかく>>145さんが「巨大数ヤバイ」を考えてくれたのに非道い言われようなので書きました。

アイディアはよかったが作者にそれを記述できるほどの脳みそが
なくて結局概念だけに終わった（本人は記述できてるつもりらしい）。
順序数の議論が続いてるみたいだけど、α→α[x]を単に記号列から記号列
への関数(変換規則)だとすれば集合だのヒカサンだの考えなくてもいいと思うが。

>>150
トンデモにすらなれぬDQNは逝ってよし。

トンデモ四天王
山口人生（I.I.I）
今井弘一（今井塾）
松本真吾（鉄道総研）
M_SHIRAISHI（EURMS）

>>153ってマツシン本人よりもよほどイタイな。

135，145，153はさしずめスリーDQNか。

>>151
ナゴヤンは第二のふぃっしゅになるかと思いきや
実際には第二のウルサイゾウになってしまったようだ。

竹中平蔵【びんぼうゆすりみたいな状態】になる

インタビューで竹中の担当の読売新聞記者が全裸で穴にバイブを入れたまま殺された？自殺した？ことなど
を、全部竹中にぶつけると【びんぼうゆすりみたいな状態】になった。

9.15 リチャード･コシミズ東京講演会 全編　（3時間24分）
【びんぼうゆすりみたいな状態】になった話は16分から
http://www.asyura2.com/

もと総理が過去に３人を殺した話もでてくる

>>154
松本真吾さん（鉄道総研）のご親友の方ですね。
毎度ながら、この度はご愁傷様です。

最近過疎になったかと思いえば例の叩きあい荒れか。
…というとお前もDQNかと叩かれるのが落ちだな。
まあそれよりふぃっしゅ数が何だったのか気になるな。

>>159
>まあそれよりふぃっしゅ数が何だったのか気になるな。
なんだ喪前もマツシン以下のDQNかｗ

俺のほうが上だと主張して自分を慰めるマツシンであった

>>161
結局ふぃっしゅ数よりマツシンに拘るDQN
だからDQNなわけなんだが

鉄道総研の松本真吾さんは、専門家の集う掲示板でも、
人々を失笑と爆笑の渦に巻き込んだのでありますた。

叩きあい指摘されたと思ったら
すぐに>>160みたいに叩き返すんだな。
ふぃっしゅ数気にするのもDQNなら
>>149もDQNになるな。
とにかく135叩きとか平気でけなしあう奴皆
マツシン以下DQNにしとくか。
…と言う自分も痛くなってしまうなw
これでマッタリすればいいんだが。

>>163
マツシンにどんな恨みがあるかしらんが
いくらかいても自分のDQNぶりをさらすだけだぞ

>>164
>ふぃっしゅ数気にするのもDQNなら
そりゃ誤読。
いまどきふぃっしゅ数が理解できないのがDQNってことさ。
> >>149もDQNになるな。
DQNはどこまでいってもDQNだな。

>これでマッタリすればいいんだが。

マッタリもDQNが使う間違った日本語の典型だけどな。

大体、「…ッタリ」という言葉はいい意味のものがない
「グッタリ」然り。「ベッタリ」然り。

「のんびり」と「マッタリ」は全く違う。
前者には弛緩した感じがあるが、
後者はなんか水飴のように粘った液体の中で
身動きがとれなくなっている不自由感しか
感じられない。

ぴったり

どうでもいいが、狭い個人の感覚を一般化するのはどうかと思う
俺は「まったり」の方が、のんびりより有意義な脱力に思える

>>165
高名なネット・ピエロの松本真吾さんを
擁する鉄道総研では、さぞかし愉快な
毎日が繰り広げられているのでしょうなぁ・・・

＞俺は「まったり」の方が、のんびりより有意義な脱力に思える

DQNは馬鹿のくせに自意識だけ無駄に大きい

>>170
マツシンなんて知ってるほうが
実は重症なネットジャンキー
なわけだが

158 ：2007/12/12(水) 01:05:00
163 ：2007/12/13(木) 01:55:05
170 ：2007/12/14(金) 01:05:58

DQNクンよ、夜は寝るものだゾ。
無駄に起きてるから、マツシンの
幻覚なんかに惑わされるんだｗ

今日も朝早く鉄道総研に出社して、
皆を失笑させる松本真吾さんなので
ありますた・・・

>>174
本日二度目の発作か。
マジで笑えん。病気だなコリャ

どうも、DQNは147の"トンデモ"の言葉に発作を起こしたようだ。
153に挙げられた名前のうちの一人かもしれんな。

>>134以降議論が止まっている件
まあついていけないのは分かるが無駄レスはやめようぜ

>>171が本日覚えた言葉
DQN
自意識
無駄

2007/12/12(水) 12:41:11
2007/12/13(木) 13:14:05
2007/12/14(金) 12:14:30

例の副主任研究員は、
お昼休みにかかさず２ちゃんを
チェックしているようでアリマスｗ

いつからここはマツシンとDQNな仲間たちのスレになったんだ？ｗ

>>177
ナゴヤンも、8-6こと"Ψ使い"も、ネタ切れかと。

ナゴヤンに関しては、>>151の通りかと。
トンデモとまではいわんが、甘チャンではある。

Ψ使いは、いい線いってたんだが、
ここに来てカベにぶち当たったようだな。

>>177
>無駄レスはやめようぜ

無駄というより、スレの意図とは別の
個人的動機によるレスが急増したな。
でも悪いけど無駄だと思うぞ。
いい加減気持ち切り替えろ。

>>177>>180
そうだよな。
つまらないことで叩きあうのは
みなDQNと断言しなければ
マターリしないからな。

でもふぃっしゅ数もネタ切れなら
どう続ければいいのか…？
個人的にはふぃっしゅ数ネタが
復活できれば面白いが。

>>183
続けなくていいんじゃね？
どんな物事もいつか終わるよ。

余は、近く、此世を発ち、天国への帰路の旅に出る。
≪ 奇想天外な方法によって≫である！
天国に着くまでは、＊ヶ月はかかるだろうと予想しちょる。
そこで、次の言葉を諸君への「置き土産」としよう：−

現在「巨大数の記録」とみなされていたものは根本的に修正されることになる。
そして、それに伴い、≪驚くべきこと≫が次々と連鎖反応的に起こる。

それらが何であるかは、今は言うまい。 Just imagine !

ともかく、諸君が手にするであろう巨大数の歴史は、
近い将来、装いを一変したものになるであろう。

では諸君、さらばじゃ！
パッカ、パッカ、パッカ、パッカ ・・・・・（消え行く蹄の音）

余は、臨終間際になってから、それまで一度も見たことのなかった
「巨大数」というスレがどういうスレなのかを知りたくて
　一所懸命勉強してみたんだけれど、殆んど理解できなかった。

余が、巨大数を理解できなかったことは恥かしいことでも何でもない。

なんとならば、今の巨大数スレの成果は、
初歩的かつ肝腎なところで間違っているからである。
もっとも、そのことに気付くのは容易なことではないが・・・。

２ちゃんねるの数学板を風靡した“ふぃっしゅ数”であったが、
その余命は、もう、幾ばくも無いのである ---= Thus I predict.

このスレって
原始帰納的関数のあとは
二重帰納的関数とか多重帰納的関数の一寸マニアックな話をしたあと
順序数を用いた記法に話題が移っていって、
証明論とか集合論の知識が必要であまり皆が理解できない話題になって
停滞してるけど（因みに（特に可算）順序数の話題に関しては集合論の本より
証明論のほうが詳しいことも多い）、いきなり順序数とか使わないで

多重帰納的関数のあとは最小化を用いて
一般帰納的関数のほうに進む方向性もあったんじゃないのかな。
というかどちらかというとそっちのほうが普通の流れかと。

その後、順序数を用いた関数定義とoracleを用いた関数定義の話は、
まあ大体似たような話になってくるだろうけど。

>>188
＞多重帰納的関数のあとは最小化を用いて
＞一般帰納的関数のほうに進む方向性もあったんじゃないのかな。
＞というかどちらかというとそっちのほうが普通の流れかと。

その場合、最小化が可能かどうかの判定という話になって
判定できないので、萎え〜、とかいって終わる可能性大。
まあ、どうせ終わるんだからすんなり終わったほうが
苦しまずにすむというなら、そういう考え方もあるだろう。

>>189
てゆうか、最小化云々なら、原始帰納的関数のあとでOKだよ。
多重帰納法どころかアッカーマンすら無用。

スレも止まってるので、おバカでも解る簡単なネタを
10文字部門で
9999文字の最大数
と10文字でかけば、　9を99！回階乗する　より大きな数になる。

>>191
それはビジービーバー関数と微妙に関係ありそうななさそうな。

9極桁の最大数の自乗
勝った

15字で定義できる最大の数+1

みたいな

ベリーのパラドックスかよ

>>193
その書き方だと
（（10＾（9*10＾48））-1）＾（（10＾（9*10＾48））-1）となるから
9を99！回階乗する　より小さい数になるのでは。

>>194>>195
15字で定義できる最大の数+1　より
1115字で定義できる最大の数
の方が大きいきがするけど、この考え方は誤りなの？

>>196
リシャールのパラドックス

>>196
「15字で定義できる最大の数+1」は15文字で定義されてるけど、
15文字で定義できるどんな数よりも大きいので、矛盾する。

ただし、こういうものについても、使っていい記号を制限すれば問題ない。
まず、使っていい記号をちゃんと定めてから、
それを用いた一階の論理式で15文字で定義可能な最大の数とかならおｋ

「数字と日本語の文字と+ は使っていい」とか言い出しかねない

>>197>>198
回答サンクス

>>199
＋だけではだめ、×が必要。

>>201
「15字で定義できる最大の数+1」は「数字と日本語の文字と+ 」だよ

>>202
15は1×10+5だから実は×を使ってる。
"数字"といって10進表記を導入するのはNG
たとえば個数分だけ|を並べる表記にした場合
ベリーのパラドックスは構成できない。
（注：リシャールのパラドックスはこれとは別）

「|||||字で定義できる最大の数」字で定義できる最大の数

後者関数しかない系ならそりゃ
ｎ字で定義できる最大の数＝ｎ
だけどつまらなくね？
あと話がずれてる。「日本語の文字」のほうにつっこんでくれ

|||||個の要素からなる集合のべき集合のべき集合の要素数

一階の算術とかじゃなくZFCでのモデルの話か

>>204
＞つまらなくね？
加法のみによる自然数論は決定可能だが、
これを面白いと思うかつまらないと思うかは
数学のセンスの有無による

素人考えだが
ｎ字の最大数を
ｎ字以内で表記または定義できる数の内
計算可能な最大自然数
ただし、+-*/＾！は無定義で使用可能
と定義し
『1』＝6字の最大数＝9＾999！
『2』＝（6字の最大数）字の最大数＝9＾999！字の最大数
『3』＝（9＾999！字の最大数）字の最大数
『ｎ』＝（（9＾999！字の最大数）字の最大数）…）字の最大数
※字の最大数がｎ回　　すなわち
『ｎ』=（『ｎ-1』）字の最大数　ｎは自然数
と定義すれば矛盾なく決まった数を表記できると思うだが。
実際には『2』ですら計算できないけど。

>>207
『1』が6字の最大数である理由は?
『1』＝1字の最大数＝9のほうが簡潔のような
それから例えば『1』＝6字の最大数＝『1』^99のようなかんじにしたら
やはり矛盾が生まれないか?

>>208
御意見サンクス
まずは�@から
9＾999！＞（99！）！＞99！＾9！＞9＾9＾9！
となり、他の方法(↑や→など）は定義で6字以上
必要なので9＾999！を6字の最大数としました。
なを9＾9＾9！＝（9＾9）＾9と計算しております。
次に�Bについて
『1』＝6字の最大数＝『1』＾99
とした場合『1』＝（『1』＾99）＾99）…）＾99
と（）＾99が∞に伸びるため最大数の定義
計算可能な自然数に当てはまらないと考えて
います。同様に9＾999！字の最大数でＢＢや
順序数を定義すると、計算可能な自然数に
ならないので、『ｎ』には含まれないと考えてます。
最後に�Aについて
確かに、『1』＝1じの最大数＝9
のほうが簡潔で本質をとらえてますね。
そこで
『0』＝1
『ｎ』＝（『ｎ-1』）字の最大数　ｎは自然数
と変更します。
素人考えで作ってますから、まだ矛盾等があうると思いますが。

>>209
>『0』＝1
>『ｎ』＝（『ｎ-1』）字の最大数　ｎは自然数

簡単のため、10進数表記に制限した場合
『１』=9
『２』=999999999=10^(10-1)-1
『３』=9…(999999999個)…9=10^(10^(10-1)-1)-1
『４』=9…(9…(999999999個)…9)…9=10^(10^(10^(10-1)-1)-1)-1

ＢＢ関数に関して質問ですが
�@ＢＢ関数では到達できない最初の数
�AＢＢ（ω）
の二つは定義可能なんでしょうか。
�Aは不可能と思うんですが。

�@BBは無限大に発散するけどそういうことじゃなくて？
�ABB(n)の定義は状態数nのチューリングマシンがテープに書き出す１の最大数。
ということは状態数がω個あるときにチューリングマシンがテープにいくつ１をかけるか？
というのを考えたときに妥当な定義があればいいんだろうけど、それは自然数ではないな。
なにか順序数になるのかな。BB（ω）が定義できたとしてもそれを他の順序数で表記するのは無理な気がする。
他の順序数と大小比較くらいはできるかも？

以上素人でした。

�@そもそも、到達できない最初の数なんてものはない。
BBどころかf(x)=xという簡単な関数ですら、どんな数にもいつかは辿り着く。
BBをoracleにしても辿り着けない急増加関数という意味なら、存在するし定義可能。

�Aまず状態数ωのチューリングマシンを定義することから始めないと

いや、まず状態数ωのチューリングマシンを定義するのはなんか違う気がする。
定義域が自然数の時のBBの増加度を考えて、その増加度がf<BB<gとなる関数f,gを考えて
f(ω),g(ω)の定義が可能なときに常にf(ω)<X<g(ω)を満たすような順序数X
それこそがBB（ω）と定義される、と思った。
逆にこのBB(ω)の定義から状態数ωのチューリングマシンの解釈が得られる。
そんな気がする。

状態数ω(状態数無限大)のTMは停止しないと考えていいんじゃないかと思う。
たとえば、無限に状態のあるTMが停止したとき、
経由した状態は有限なので、この数をNとする。
すると、このTMは高々BB(N)個しか1を出力しない。(BBの定義より)
しかし、N<ωより、BB(N)<BB(ω)であるべき(？)なのにBB(N)=BB(ω)である。

なので、>>214の言うアプローチからやんないといけない。
でも、BBより早く増加する計算可能な関数は無いんじゃなかったっけ。
そうなると>>214の関数gは存在しないか、計算不可能なわけで…。

>>211
＞�@ＢＢ関数では到達できない最初の数

ＢＢ関数を２＾ｘに置き換えて
「２＾ｘでは到達できない最初の数」
と言い直した途端、211は何も考えてなかったとわかる。

別に責めてはいない。ただ投稿する前に考えてほしかった。
それだけだ。

>>214
＞f(ω),g(ω)の定義が可能なときに

これも考えることなしに言葉を発している。
問われているのは、どんな関数であれ、
自然数が定義域であるような場合に、
そこから逸脱したωを入力するという
行為がいかなる形で解釈できるのか？
ということだ。

まてまて、勝手に前提を変えて人を考え無し呼ばわりしないでほしいな。
それが定義できるか？ということと、その定義をどのように解釈できるか？ということは別問題だろう。
たとえば波動方程式なんかいい例だ。
そして>>211はBB(ω)は定義可能か？と問うている。

また定義域を拡張する場合に拡張前の性質を保っていたほうが良いのはいうまでも無い。
たとえば指数関数。
x^y=xをy回かけたもの、という最も原始的な定義をしたときyは自然数だ。
yに負の数を突っ込んだら？有理数は？無理数は？
そのようなことを考えたとき指数法則を保つべく定義がなされたことは明らかだ。

そして順序数においては大小関係こそ本質だと思ってる。
BB(ω)を定義するならその大小関係を保て、という214の主張のどこがおかしいのか？

御意見イロイロサンクス

>>211の�@は７-3にある
全ての有限の数より大きい最初の数＝ω
の有限数の部分をＢＢ関数に置き換えて
ＢＢ（ｎ）より大きい順序数が定義可能か
という意味で書いたんですが、
>>211の書き方では間違いだったのかな？

>>214のｆ＜ＢＢ＜Ｇの様な考え方も
面白いですね。

どんなnに対してもＢＢ(n)の値はただの自然数です。

全てのBB(n)より大きい最初の順序数＝ω

あ、もちろんnは自然数な
ωとか代入されたらどうなるか知らん

>>220>>221　回答サンクス
余談ではありますが、現段階では
ＢＢ（ＢＢ（ω））とＢＢ（ε_0）のどちらが大きい
かは比べようがないみたいですね。

だれかBB(ω)の神解釈キボン

チューリングマシンの状態数をωに拡張するのにテープのサイズがωのままじゃ意味無いな。
テープサイズをもっとでかい順序数に拡張しなければ。
停止の定義も有限ステップで停止しないといけないんじゃだめ。
これも順序数に拡張する必要あり。

>>218
あ・た・ま・を・ひ・や・せ。
214で
＞f(ω),g(ω)の定義が可能なときに
と漫然と書いてるが、そもそもこのこと自体が問題だと指摘したのだ。

＞定義域を拡張する場合に拡張前の性質を保っていたほうが良い
＞のはいうまでも無い。

それだけしかいえないなら、やはり君は考えていない。
前の性質を保つ拡張は１つではない。無数にある。
指数法則を保つ関数についても同じ。
この場合、一意化の条件は何か？連続性だ。
ωへの拡張に対して、君はこのような性質を提示できるのか？
できないなら、やはり君は何も考えていなかったということだ。

と、何も考えず、何も提示せずに、ただ他人を叩きたいだけの考えの無い人が申しております。

>>226
なんかこいつにかかわると限りなく不毛な論争に莫大な労力を強いられる気がするので俺は撤退するよ。
226が俺より先が見えているというなら自分でそれを提示したらいい。
226のステキな解釈をまってるよ。

>>228
無視していいんじゃね。
否定するだけ否定して結局最後の行は煽りだし。
226の解釈なんか待っても絶対に出てこないパターンだしな。

>>228
なんだ惨敗か
>>229
なんだ自作自演か

反論できなくなったら自作自演認定。
お約束ですね。

>>231
229のようなカキコは自作自演と見られても仕方ない。
自作自演でないなら書いた奴は本当の馬鹿

また>>230=>>232みたいな頭おかしい子が沸いてるのか
こんなところでストレス発散してないで、いい子だから外で遊んできなさい

>>233
君こそ外で遊べ
頭おかしいゾｗ

いい返し言葉が思い付かないからって鸚鵡返ししなくても……かわいそう

お前らそんなにイジメてやるなよw

いやー、2chで大きなこと言っていい気になってるやつを見るとつい…ｗ

>>226のフルボッコっぷりにワロタ

>>237
そんなことで暴れるなよ。ちんちんの小さい奴だなあｗ
あれ？きんたまだっけ？

グラハム数よりは小さいことは認めるぜ！

ωってグラハム数より大きいの？

ωはグラハム数より大きい。
ゆえに、240のナニはωより小さい。

BB(ω)が定義できたらフィールズ賞orチューリング賞もらえる！
とか言って見る。

なんかmixiの方もまったりしとるがスレの主力陣はどうした？

力尽き、冬眠中

今更な疑問であるが
ε_0＝ω↑↑ω
であるとすると
η_0、Γ_0　、Ψ（Ω）
をそれぞれωと↑や→を使用して
表記するとどうなるんだろうか。
僕の手計算では
η_0＝ω↑↑↑ω
になりそうなのだが。

>>246
すみません、自分は順序数疎いんですが、その３つの順序数ってどんなのかですか？

>>247
過去スレ参照

>>246
演算の定義の仕方にもよると思うが、一応Γ_0ぐらいまでなら
チェーン表記で近似可能じゃないかな。
ただHoward ordinalまでとなるとチェーンでは無理だろう。

ひょっとするとη_0ってε_ε_ε_…のことか

>>248後意見サンクス
>>247
僕の理解では
η_0はε_ε_ε_…の極限順序数
Γ_0はVebｌｅｎ関数　φα（β）を何回使用しても
到達できない最小の数（これがφω（0）となるのか
φφφ…となるのか僕も判リませんが。）
Ψ（Ω）はΓ_Γ_Γ_…の極限順序数
詳しい内容についてはテンプレのふぃっしゅっしゅ氏、たろう氏
のホームページを参考に(η_0、Γ_0はふいしゅしゅ氏の方を
Ψ（Ω）はたろう氏の方及び>>55を参考にしてください）

取りあえず自力計算してみて
φ1（0）≒ω↑↑ω
φ2（0）≒ω↑↑↑ω
φｎ（0）≒ω（↑＾（ｎ-1））ω
φω（0）≒ω→ω→ω
Γ_0≒ω→ω→ω→2
Ψ（Ω）≒ω→ω→ω→3
になりそうではある。
所詮は素人の計算、正しい保障は無いが、
ａｇｅのかわり程度に

>>251
Γ_0は大きいというイメージがあったけど
チェーンで言うとω→ω→ω→2程度なのか。
チェーン強そうですね。

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_notation
ここによれば２文字でε_0まで表す方法もあるみたいです。
なので順序数表記の強さは使う記号ではなく記号を並べる
｢規則の複雑さ｣に依存するのではないかと。
まぁ考えてみれば当然なんですが。

チェーンの引数にωを入れたものは全て定義可能なんでしょうか。
ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→ω→…
のように、いくらつなげてもちゃんと意味のある順序数として定義されますか？
それともある時点から定義不能になるのでしょうか。

>>253
定義は可能です。
さらに大きいω→→…（→の数がω）…→ωだって定義は可能です。

ツリー構造見たいな単純な構造でもヒドラゲームで巨大数が作れるなら
もっと複雑な一般のグラフを使えばとんでもない巨大数が得られるんじゃなかろうか
と無責任な発言をしてみる。

√(256) = 16 茶

BB（ω）について関数の大小とは別の方法で考えて見ました。
BB（ｎ）の定義が状態数ｎ個の長さ無限大のテープに1が最大
いくつ書けるかである。TMが停止しない場合、1個のテープには
最大ω個の1が書けると考える。同様に考えると、2個のテープ
ならω*2、3個ならω*3となって行く。そしてω個のテープなら
ω*ω。つまりBB（ω）＝ω＾2となると考えられないだろうか。

BBの引数は状態数であって、テープの数じゃないから。

2年ぶりくらいに来たら全くわけが分からなくなってる…

頭の悪い発言かもしれませんが
　f : N → N
　f(m) < f(m+1)
となる単調増加関数を考えます。そのような単調増加関数の集合をNfとおいて
　φ : (N × Nf) → (Nf)
　φ(0, f)(m) = f^m(f(m))
　φ(1, f)(m) = φ(0, f)^m(φ(0, f)(m))
　φ(n, f)(m) = φ(n-1, f)^m(φ(n-1, f)(m))
となる高階関数φを考えます。

ここで、仮に対象となる関数fとして
　f(0) = 0
　f(m) = 2^(f(m-1))
とします。つまり、
　f(0) = 0
　f(1) = 2^0 = 1
　f(2) = 2^1 = 2
　f(3) = 2^2 = 4
　f(4) = 2^4 = 16
　f(5) = 2^16 = 65536
　…
のような関数ですね。

上のfとφに対して

　φ(2, f) : N → N
という関数を考えてみると、

　φ(2, f)(0) = 0
　φ(2, f)(1)
　= φ(1, f)(φ(1, f)(1))
　= φ(1, f)(φ(0, f)(φ(0, f)(1)))
　= φ(1, f)(φ(0, f)(f(f(1))))
　= φ(1, f)(φ(0, f)(f(1)))
　= φ(1, f)(φ(0, f)(1))
　= φ(1, f)(f(f(1)))
　= φ(1, f)(1)
　= φ(0, f)(φ(0, f)(1))
　= φ(0, f)(f(f(1)))
　= φ(0, f)(1)
　= f(f(1))
　= f(1)
　= 1
となります。同様に
　φ(2, f)(2)
　= (略)
　= 2
です。

で、3の場合を考えると
　φ(2, f)(3)
　= φ(1, f)^3(φ(1, f)(3))
　= φ(1, f)^3(φ(0, f)^3(φ(0, f)(3)))
　= φ(1, f)^3(φ(0, f)^3(f^3(f(3))))
　= φ(1, f)^3(φ(0, f)^3(f^4(3)))
となり、既に計算するのがめんd（ry

この関数φ(2, f)の増加の仕方、もしくはもっと一般にφ(n, f)の増加の仕方はこのスレではお話にならない程度でしょうか？他人任せのようで申し訳ありませんが、一緒に考えて頂けるお暇な方がいらっしゃればお相手して頂きたいです。

取り敢えず、ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDFを読んできます。

改めて考えると小さ過ぎる気がしてきた…
半年ROMってきます。古いですね…

2=6-4

>>258
亀スレですが、ご指摘サンクス。
チューリングマシーンのテープからBB（ω）の極限値を
考えてみようと思ったけど、上手くいかないですね。

チューリングマシンのテープというのはどんな計算をしてもあふれない位十分な大きさがある、とするもんじゃなかろうか。

ところでチューリングマシンの状態に0,1,2,...ωとラベルをつけて、
ω以下の状態kではテープに１を書き、k+1へ遷移する。
状態ωではテープに1を書き停止する。
とすればテープにω個の１を書いて停止することが出来ると思うのでBB(ω)>=ωといえそう。
こんな感じでBB(ω)の下限についてはいくらか議論できると思うんだがどうだろうか。

誰かwikipediaのビジービーバーの項目書いてくれないか

ω↑↑ωの拡張のほうをやってみました。
手前味噌で>>140と7-887.888使用して
ω【↑】↑ω＝ω→ω→ω
ｎ重帰納関数までタワーを拡張して
ω【【↑】↑】↑ω
ε_0までタワーを拡張して
ω【「↑」】↑ω
η_0まで拡張して
ω【ω・「↑」】↑ω
僕の理解不足でΨ（Ω）との比較までは出来ないですが。

アイデアだけですが、ωとタワーの拡張とHardy関数を
使用して、更に大きい拡張も考えてみました。

Ｆ［ω］（ｎ）≒9†ｎ　
†は上の式が成り立つ最初のタワー拡張演算子
候補としては手前味噌で
9†ｎ＝9【↑】↑9　
同様にして
Ｆ［ω†ω］（ｎ）≒9††ｎ
Ｆ［ω††ω］（ｎ）≒9†††ｎ
と式が成り立つ最初のタワー拡張演算子を次々に定義していく。

最後に上の定義をまとめて
ω（†＾0）ω＝ω
9（†＾ａ）ｎ≒Ｆ［ω（†＾（ａ-1））ω］（ｎ）　
†＾ａは上の式が成り立つ最初のタワー拡張演算子
aは自然数　

具体的な計算は出来ませんが、かなり大きな数を定義できます。
問題は9†††ｎ以降が本当に定義できるか不明であるという事。
という訳で　9（†＾9）9　をアルカナイカ数、縮めてアルカ数と命名。
また、　ω（†＾ω）ω　をアルカオメガと命名。
ω（†＾ω）ωでωと計算可能な演算子で表記できなくなる（未証明）

ω【ω・「↑」】↑ω
と
ω（†＾ω）ω
にとてつもないセンスを感じる

　|￣￣￣￣￣￣￣|　　　　　　　　　　　ぞろぞろ・・・・・
　|　　偶然だぞ　 |￣￣￣￣￣￣￣|
　|＿＿|￣￣￣￣￣￣￣|然だぞ　!
.　.　.∧|　　偶然だぞ　　　|_＿＿＿.|￣￣￣￣￣￣￣|　　　　　ぞろぞろ・・・・・
.　.　( ﾟ |＿＿＿＿＿＿＿|　|| . . 　 |　　偶然だぞ　　　|
　　/　づΦ∧∧ ||　　( ﾟдﾟ)|| 　 . . |＿＿＿＿＿＿＿|ぞろぞろ・・・・・
..　 　 　 　 ( ﾟдﾟ)||　　/　づΦ　　　　　∧∧.||
￣￣￣|　 /　づΦ　 ぞろぞろ・・・・・ .( ﾟдﾟ)||　　　　　.|￣￣￣￣￣￣￣|
だ..|￣￣￣￣￣￣￣|　 　　　　 　 　 ./　づΦ　　　 　 |　　偶然だぞ　　　|
＿_|　　偶然だぞ　　 |　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|. 　 　 |＿＿＿＿＿＿＿|
.......|＿＿＿＿＿＿＿|　　 　　|　　偶然だぞ　　|　　　　　 ∧∧ ||
.　 　 ∧∧ ||　　　 　 　 　 　 .|＿＿＿＿＿＿＿|　　.　　　( ﾟдﾟ)||
　　　( ﾟдﾟ)||　　 　　　.　　　　 　 ∧∧ ||　　　　　 .　 　 　 /　づΦ
　　　/　づΦ　　 　 　 　 　 　 　 ( ﾟдﾟ)||
　　 　　　　　　ぞろぞろ・・・・・　./　づΦ

ω（†＾ω）ω　＜ 我が名はｱﾙｶｵﾒｶﾞ(ﾋﾞｷﾋﾞｷ)

　 　　俺なんて名前ついてませんがな(ｼｮﾎﾞｰﾝ)＞ ω【ω・「↑」】↑ω

（†＾0）　＜俺のことはスルーかよ　人生ｵﾜﾀ

>>268の一部訂正
9【ω・「↑」】↑9≒F［ω↑↑（ω*2）］（ｎ）でした。
したがってε_1までしか拡張出来ません。
途中で計算間違いをしておりました。

>>251の続き
Γ_0≒ω→ω→ω→2以降の比較に挑戦してみました。
とりあえずはΓ_0までは、
φ1（0）≒ω↑↑ω
φ2（0）≒ω↑↑↑ω
φｎ（0）≒ω（↑＾（ｎ-1））ω
φω（0）≒ω→ω→ω
Γ_0≒ω→ω→ω→2

Γ_0≒ω→ω→ω→2以降は。
Γ_1≒ω→ω→(ω*2）→2
Γ_Γ_0≒ω→ω→(ω→ω→ω→2）→2
Ψ（Ω）≒ω→ω→ω→3
Ψ（Ω*2）≒ω→ω→ω→4
Ψ（Ω*ω）≒ω→ω→ω→ω
Ψ（Ω*Γ_0）≒ω→ω→ω→（ω→ω→ω→2）

Ψ（Ω*Ω）は
Ψ（Ω*Γ_Γ_Γ・・・）≒ω→ω→ω→（ω→ω→ω→3）
ではなく、定義から
Ψ（Ω*Ω）≒ω→ω→ω→（ω→ω→ω→（ω→ω→ω→（・・・・
となると考え
Ψ（Ω＾2）≒ω→ω→ω→ω→2
Ψ（Ω＾2*2）≒ω→ω→ω→ω→ω→2）

三重帰納関数まで拡張して
Ψ（Ω＾2*ω）≒ω→→ω
Ψ（Ω＾3）≒ω→→ω→→2
Ψ（Ω＾3+Ω*ω）≒ω→→ω→→ω
Ψ（Ω＾3+Ω＾2*ω）≒ω→→→ω
Ψ（Ω＾3*2）≒ω→→→ω→→→2
Ψ（Ω＾3*2+Ω*ω）≒ω→→→ω→→→ω
Ψ（Ω＾3*2+Ω＾2*ω）≒ω→→→→ω
Ψ（Ω＾3*3）≒ω→→→→ω→→→→2

四重帰納関数以降は7-887,88を使用して
Ψ（Ω＾3*ω）≒ω【↑↑↑】↑ω
Ψ（Ω＾4）≒ω【↑↑↑】↑↑ω

ｎ重帰納関数以上に拡張して
Ψ（Ω＾ω）≒ω【【↑】↑】↑ω
Ψ（Ω＾Ω）≒ω【【↑】↑】↑↑ω
Ψ（Ω＾Ω＾ω）≒ω【【【↑】↑】↑】↑ω

ε_0まで拡張して
Ψ（ε_（Ω+1））≒ω【「↑」】↑ω

素人計算なので、駄々しい保障はありません。

Ψ（ε_（Ω+1））より大きい数も考えてみました
Ψ（ε_（Ω+1））＝Ψ（Ω＾＾ω）
と考えた場合
Ψ（Ω＾＾＾Ω）やΨ（Ω→Ω→Ω）
とさらに多きな数を表記できる。
無節操な方法ではあるが、とりあえず
Ψ（Ω【Ω・「↑」】↑Ω）
まで大きくすれば、このスレの計算
可能な順序数で一番大きくなるはず。

今日初めて彼女が出来ました！

よく解らんが、9が1000^1000桁連続で並ぶ箇所が10000箇所にあり、なおかつ末尾が8で、
「3141592が100000^100000回出てくる最小の双子素数」に挟まれた完全数には遠く及ばない気がする。

>>280
全然小さい

>>280
それぐらいの超小さい数は、初代スレの10レスくらいで既に通り過ぎた道

今やグラハム数が0に近いくらいだもんな

>>280でふと思ったが
円周率やネピア数での小数部分について「xxxがyyyとなる最初の桁数」といったときその数を使って議論できるんでしょうか？
たとえば>>280であるような「3141592が100000^100000回出てくるような場所の最初の桁数」とか

せいぜい各桁がランダムだとして議論するくらいジャね？

>>280
はそもそも存在が保証されていないよね。

>>269を具体的に計算方法する方法として、ωの順序数の
計算方法をタワーの帰納的拡張に応用してみました。
†をωの代わりに使用して
9【†】ｎ＝9（↑＾ｎ）9と定義
9【タワー拡張演算子】1＝9と定義
†【タワー拡張演算子】1＝†と定義
9【†+1】ｎ＝9【†】（9【†+1】（ｎ-1））≒Ｆ［ω+1］（ｎ）
9【†*2】ｎ＝9【†+†】ｎ＝9【†+ｎ】9≒Ｆ［ω*2］（ｎ）
9【†↑2】ｎ＝9【†*†】ｎ＝9【†*ｎ】9≒Ｆ［ω＾2］（ｎ）
9【†↑↑2】ｎ＝9【†↑†】ｎ＝9【†↑ｎ】9≒Ｆ［ω＾ω］（ｎ）
9【†↑↑†】ｎ＝9【†↑↑ｎ】9＝9【†↑（†↑↑（ｎ-1）】9
≒F［ε_0］（ｎ）相当に到達
9【†↑↑↑†】ｎ＝9【†↑↑↑ｎ】9＝9【†↑↑（†↑↑↑（ｎ-1）】9
≒F［η_0］（ｎ）相当に到達
9【†【†】†】ｎ＝9【†（↑＾ｎ）†】9＝9††ｎ
≒Ｆ［ω→ω→ω］（ｎ）相当に到達

以降は内側の【†】を上記のように計算します。
>>266、267、268の計算が正しいなら
9【†【†】†+1】ｎ＝9【†【†】†】（9【†【†】†】（ｎ-1））≒Ｆ［ω→ω→ω+1］（ｎ）
9【†【†+1】†】ｎ＝9【†【†】（†【†】（ｎ-1））】9≒Ｆ［Γ_0］（ｎ）
9【†【†+2】†】ｎ＝9【†【†+2】ｎ】9≒Ｆ［Ψ（Ω）］（ｎ）
9【†【†*2】†】ｎ＝9【†【†+ｎ】†】9≒Ｆ［Ψ（Ω*ω）］（ｎ）
9【†【†*2+1】†】ｎ＝9【†【†*2】（†【†*2+1】（ｎ-1））】9≒Ｆ［Ψ（ω＾2）］（ｎ）
9【†【†*†】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω＾2*ω）］（ｎ）
9【†【†↑†】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω＾ω）］
9【†【†↑↑†】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（ε_（Ω+1））］（ｎ）
9【†【†【†】†】†】ｎ＝9（†＾3）ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω→Ω→ω）］（ｎ）
9【†【†【†↑↑†】†】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω【「↑」】ω）］
9【†【†【†↑↑（†*2）】†+1】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω【Ω・「↑」】↑Ω）］（ｎ）

9【†【†【…【†】…】†】†】9　※【　】が9重で　9（†＾9）9となる
つまりアルカ数は計算可能な自然数となる。
細かい計算は省略していますが、【 】を何重にもしていき
9【†【†【…【†】…】†】†】ｎ　※【　】がω重で　ω（†＾ω）ω相当に到達。

すいません、「≒」ってなんか具体的定義はあるのですか？

>>289
7-311のたろう氏のまとめより
ａ（↑＾ｎ）ａ≒Ｆ［ω］（ｎ）　ａは自然数
の定義が基本となります。
ここで＝でなく≒を使用するのは近似値だからですが。
後は3↑↑↑4＝3↑↑（3↑↑（3↑↑3））の様な変換
別の言い方をすれば、（　）が何重かを数える事
をする毎に［　］の中が+1になります。
>>287で例えれば
9【†】ｎ≒Ｆ［ω］（ｎ）
9【†+1】ｎ＝9【†】（9【†】（…（9【†】9）…）　（　）の数がｎ個
なら近似値がＦ［ω+1］（ｎ）
9【†+2】ｎ＝9【†+1】（9【†+1】（…（9【†+1】9）…）　（　）の数がｎ個
なら近似値がＦ［ω+2］（ｎ）
となります。
この回答では充分でないかも知れませんね。
あとは、ふいしゅしゅ氏のまとめの
色々な関数とＨａｒｄｙによる近似を参照ください。
>>288（訂正）
9【†【†*2+1】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（ω＾2）］（ｎ）×
9【†【†*2+1】†】ｎ≒Ｆ［Ψ（Ω＾2）］（ｎ）○

私 魔法がかけられてアルコールが飲めないの うふ

>>290
すいませんが、要するにきちんとした定義が在るのか無いのか
>>290のご説明ではさっぱり分かりません。

「7-311のたろう氏のまとめ」ってのは7スレ目のレス311のことでしょうか。
そこに≒の「定義」は書いてないように見えますけどね。
「≒」という（定義の与えられていない）記号を
使ってそれまでに分かった結果を述べているような感じに見えます。

ふぃっしゅっしゅ氏のまとめというのは>>1にあるpdfのことだと思うんですが
それにも≒の定義とか意味の説明は無いように思います。

>>292
≒については292さんのいう、きちっとした定義はないかもしれません。
関数の大小を比較するために便宜上使用してるわけですから。
7-311及び7-276〜280以上の説明は僕には出来ません。

うーん、
「関数の大小を比較するために便宜上使用してる」
なら A ≒ B を、≒を使わない大小比較の式に
置き換えられて然るべきだと思うんですけどね。

ご返答ありがとうございました。

>>294
>>293では説明が不足してました。少し補足します。
ｆ（ｎ）とｇ（ｎ）という関数の大小を比べた場合、実際に計算できれば
問題ありません。しかしｎ重帰納関数以上になると実際に計算して
大小を比較するのは大変困難になります。そこで便宜上
ｆ（ｎ）≒Ｆ［ω＾ω＾2］（ｎ）
ｇ（ｎ）≒Ｆ［ω＾ω＾3］（ｎ）
であるならば、ω＾ω＾2＜ω＾ω＾3なので
ｆ（ｎ）＜ｇ（ｎ）になるとしています。
順序数の大小比較とＨａｒｄｙの近似値は比較的簡単に出ますので。

なんで≒の定義を聞かれてるのに、
≒から大小関係の定義を導いてんのか分からん。

４グーゴルプレックスプレックスと１ヘクテリオンとどちらが大きいのか＞？

９９９９グラハム数というのはありえるのか？

9999円周率

>>287の訂正
9【タワー拡張演算子】1＝9　×
†【タワー拡張演算子】1＝†　×

9【タワー拡張演算子】0＝9　○
†【タワー拡張演算子】0＝†　○

>>298
９９９９グラハム数が存在するなら、そのひとつ上の単位も存在するはず・・・

階乗を利用して巨大数を作ることを考える。
階乗の記号の"!"を"."の上に1が乗っているものだと考え、
k
・
といった記号を作る。
紙に書くときは、数字の下に）を下向きにしたものを記し、
その下に点を書くことで、1文字で表わすことができるが、
ここでは、(k．)と記す。

例
(2．),(3．)

(1．)は階乗をあらわす、
k(1．)=k!
k(1．)(1．)=(k!)!
k(1．)(1．)(1．)=((k!)!)!
...

(n．)は以下のように展開することができる。
k(n．)=k(n-1．)(n-1．)...k!回....(n-1．)

また、階乗の|を○に変えた次の記号
O
・
表記;(．)
をバルーンと呼び、以下のように定義する。
k(．) = k(k．)(k．)...k!回...(k．)

展開、計算は全て左から行う。

1(．)
=1(1.)
=1!
=1!

2(．)
=2(2．)(2．)
=2(1．)(1．)(2．)
=(2!)!(2．)
=2(2．)
=2(1．)(1．)
=(2!)!
=2

3(．)
=3(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=3(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=3(1．)(1．)(1．)(1．)(1．)(1．)(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=(((((3!)!)!)!)!)!(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=((((6!)!)!)!)!(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=(((720)!)!)!(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=(((720)!)!)!(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
≒((2.6*10^1746)!)!(2．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=((2.6*10^1746)!)!(1．)(1．)...((2.6*10^1746)!)!回...(1．)(2．)(2．)(2．)(2．)(3．)(3．)(3．)(3．)(3．)
=...
=(...(((3!)!)!)....)!

この数をA_1とおき、
A_k = A_k-1(．)とした時のA_(A_1)をバルーン数とする。

初代スレを読んでみて
自分でも大きな数を作りたくなったので作ってみました。

グラハム数と比較するとどれくらいなのか

タワー表記やアッカーマン関数と比べて
増加度はどれくらいになるのかに興味があります。

>>302〜>>304
階乗を使用しているので正確な比較は難しいですが
バルーン数の大きさはチェーンと比較すると
3→3→3→（3→3→3）＜バルーン数＜3→3→3→（3→3→4）
になるはずです。
グラハム数＜3→3→65→2
ですから、バルーン数はグラハム数よりは大きいです。

>>305
ありがとうございます。

巨大数論のpdfファイルを読んでみます。

数そのものを比較するよりは関数を比較する方が楽なので、Hardy関数で比較してみます。

十分大きいxに対し
H_[ω^2](x)＜x!＜H_[ω^2*2](x)
H_[ω^3](x)＜H_[ω^2*x!](x)＜x(2.)＜H_[ω^2*2*x!](x)＜H_[ω^3*2](x)
H_[ω^4](x)＜H_[ω^3*x!](x)＜x(3.)＜H_[ω^3*2*x!](x)＜H_[ω^4*2](x)
H_[ω^(n+1)](x)＜x(n.)＜H_[ω^(n+1)*2](x)
x(.)=x((x+1).)より
H_[ω^ω](x)＜H_[ω^(x+2)](x)＜x(.)＜H_[ω^(x+2)*2](x)＜H_[ω^(x+3)](x)＜H_[ω^ω*2](x)
x(.)...x回...(.)＜A_(x*2)＜(x*2)(.)...(x*2)回...(.)より
H_[ω^(ω+1)](x)＜H_[ω^ω*x](x)＜A_(x*2)＜H_[ω^ω*2*x*2](x)＜H_[ω^(ω+1)*2](x)
H_[ω^(ω+1)*2](x)＜A_(A_(x*2)*2)＜H_[ω^(ω+1)*4](x)

なので、A_(A_x)はH_[ω^(ω+1)](x)程度の増加度となります。
3→3→xはH[ω^ω](x)程度、3→3→3→xはH[ω^(ω*2)](x)程度の増加度です。

>>305の計算は間違ってました。すいません。正確には
3→3→（3→3→4）→2＜バルーン数＜3→3→（3→3→5）→2
でした。グラハム数＜バルーン数は変わりません。

ａД（ｂ：ｃ）＝（ａの（ｂ番目の完全数乗）の（１０のｃ番目の素数乗）乗

　1Д(1：1)
＝(1^6)^100
＝1

　2Д(2：2)
＝(2^28)^1000
＝268435456^1000

　3Д(3：3)
＝(3^496)^100000

　4Д(4：4)
＝(4^8128)^10000000

　5Д(5：5)
＝(5^33550336)^100000000000

(Д)ﾟﾟ

>>309
なにが言いたいのかよく分からんが指数で表せる時点でこのスレの中では０に近似できるほどミクロな数じゃね？

最後の行を書きたかっただけかと

f(x)=:xをx回階乗する
f^{f(x)}(x)=f(x)(↑↑)2、f^【f^{f(x)}(x)】(x)=f(x)(↑↑)3、・・・・
f(x)(↑↑)f(x)=f(x)(↑↑↑)2、f(x)(↑↑){f(x)(↑↑↑)2}=f(x)(↑↑↑)3、・・・・
というようにタワー表記と同様に計算規則を定義する。
このとき、
K(x)=：f(3)(↑・・・・・↑)f(3)　（↑をx個）
とすると
K^64(4)
が第一クロちゃん数である。
こいつの大きさはいかがすか。計算方法を教えてください。

タワー表記の繰り返し程度で書けるような数なんてもはやミクロ

>>313　ガックシ
グラハム数と比べたらどーなんすかねー?

f(3) = ((3!)!)! = (6!)! = 720!
=2601218943565795100204903227081043611191521875016945785727
541837850835631156947382240678577958130457082619920575892247
259536641565162052015873791984587740832529105244690388811884
123764341191951045505346658616243271940197113909845536727278
537099345629855586719369774070003700430783758997420676784016
967207846280629229032107161669867260548988445514257193985499
448939594496064045132362140265986193073249369770477606067680
670176491669403034819961881455625195592566918830825514942947
596537274845624628824234526597789737740896466553992435928786
212515967483220976029505696699927284670563747137533019248313
587076125412683415860129447566011455420749589952563543068288
634631084965650682771552996256790845235702552186222358130016
700834523443236821935793184701956510729781804354173890560727
428048583995919729021726612291298420516067579036232337699453
964191475175567557695392233803056825308599977441675784352815
913461340394604901269542028838347101363733824484506660093348
484440711931292537694657354337375724772230181534032647177531
984537341478674327048457983786618703257405938924215709695994
630557521063203263493209220738320923356309923267504401701760
572026010829288042335606643089888710297380797578013056049576
342838683057190662205291174822510536697756603029574043387983
471518552602805333866357139101046336419769097397432285994219
837046979109956303389604675889865795711176566670039156748153
115943980043625399399731203066490601325311304719028898491856
203766669164468791125249193754425845895000311561682974304641
142538074897281723375955380661719801404677935614793635266265
683339509760000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000
10進展開してなんとか１スレに収まりますね。

1 レスじゃないのか？

>>316
orz

>>315
あーざーす

>>312
グラハム数＜第一クロちゃん数＜3→3→65→2
になるはずです。

>>319
またまた　あーざーす。
ついでに第二クロちゃん数を考案しました。これで最後にします。
f(x)=:xをx回階乗する
f^{f(x)}(x)=f(x)(↑↑)2、f^【f^{f(x)}(x)】(x)=f(x)(↑↑)3、・・・・
f(x)(↑↑)f(x)=f(x)(↑↑↑)2、f(x)(↑↑){f(x)(↑↑↑)2}=f(x)(↑↑↑)3、・・・・
というようにタワー表記と同様に計算規則を定義する。
また、チェーン表記と同様にして拡張する。
例えば、f(x)(↑↑)2=f(x)⇒2⇒2、f(x)(↑↑↑)3=f(x)⇒3⇒3
という風にする。3つ以上の"⇒"など計算規則はチェーン表記と同じものが採用できる。
さらに、f(x)⇒f(x)⇒・・・・⇒f(x)⇒f(x)（f(x)がa個）
のときf(x)⇒⇒a、
f(x)⇒⇒f(x)⇒⇒・・・・⇒⇒f(x)⇒⇒f(x)（f(x)がa個）
のときf(x)⇒⇒⇒a
とする。
このとき、
KK(x)=：f(3)⇒⇒・・・・・⇒⇒f(3)　（⇒をx個）
とすると
KK^64(4)
が第二クロちゃん数である。
こいつの大きさはいかがすか。計算方法を教えてください。

なんで階乗に拘るの？

>>320
KK(x)≒Ｆ［ω＾3］（ｎ）
の三重帰納関数になるから、多変数ＡＫと比較して
ＡＫ（1，0，0，1，3）＜第二クロチャン数＜ＡＫ（1，0，0，2，3）
になるはずです。個人的にＡＫは苦手なので、これ以上絞り込めないですが。

階乗は引数一つで単純な割りに強力だからじゃね？
俺も階乗好き。

>>322
本当にありがとうございます。今後さらに絞込み、究極の巨大数を建造したいと思います。
>>323
そのとおりです。加えてゆーなら約数の個数が非常に多いからです。

>>324
階乗にこだわってる内は無理だと思うぞ

>>325
なんか無理っぽいすね。。。

n!使うならn^nでいいと思うのだが・・・
文字数制限部門ならまだしも。
本当はべき乗からも離脱したいぐらいなんだが

巨大数の限界ってあるのかな？
ある巨大数、例えばグラハム数に1を加算していった数とか、グラハム数の2乗、3乗、4乗・・とか
グラハム数の（グラハム数乗の（グラハム数乗・・・とか、グラハム数を基準にした巨大数はいくらでも
考えられるけど、グラハム数の次に大きなクラス、その次の大きなクラス、というふうに基準にできる数として
探索できる限界、つまりこの世で考えられる一番大きな（クラスとして基準となる）数っていうのはあるんだろうか？

巨大数は計算の構造があってはじめて理解できる形になるけど、一定の構造が具体的な数を求める以上、
考えられる計算の構造の制限みたいなものが存在してたら数学がとり得る巨大数の限界のようなものが
あっても不思議じゃないように思えてきた。

という、数学門漢外の妄想ポエムでした。

数学がとり得る巨大数の限界は無い。
あるとしたらそれは人間の脳みその限界であり、数学の限界ではない。

と妄想ポエムでした。

具体的な数を定義するという意味ではビジービーバーが一種の限界なんじゃないの？

不完全性定理とチューリングマシンの停止問題は数学の限界である。
とかなんとかいうはなしをどこかで聞いた。
あんまり理解してないが。

ところで、３↑↑ｎを１０↑↑ｍに変換することってできるのかな？
これができれば直感的に大きさがわかりやすくて便利かと思って

＞これができれば直感的に大きさがわかりやすくて便利
そうかなあ。。

まあ 3 のところを N に変えたらどの程度大きくなるのか、
というのは面白い問題だとは思うけど。

>>332
M↓N = log_N(M)としたら、M = N↑M↓Nになるのから類推して
M = N↑↑M↓↓Nとなるような演算子↓↓があるとしたら、
3↑↑n = 10↑↑((3↑↑n)↓↓10)
と表せそうな気がする。↓↓って定義できるかな

タワーと同じように定義出来るとすると

a÷b＝c
⇔b＋b＋(c回)＋b＝a

a↓b＝c
⇔b×b×(c回)×b＝aだから

a↓↓b=c
⇔b↑b↑(c回)↑b＝a
となる。

この時
65536↓↓2＝4

2↑↑65536↓↓2
＝2↑↑4
＝65536
でうまくいきそうな気がする。

この定義できても結局↓↓を計算するのは
そんなに楽にならなさそうな気がするなあ。

とりあえず、

3^3^3^3^3^3ぐらいまで対数を使って比較してみたけど
nが大きくなっても
3^3^(n回)^3 > 10^10^(n-1回)^10
が常に成り立ちそうだった。

Log(x) = log_10(x)　とする。

3^3
= 10^3Log(3) = 10^1.431363764158987
3^3^3
= 10^(3^3)Log(3) = 10^12.882273877430885
= 10^10^Log((3^3)Log(3)) = 10^10^1.109992528028444
3^3^3^3
= 10^(3^3^3)Log(3)
= 10^10^Log((3^3^3)Log(3))
= 10^10^((3^3)*Log(3)+LogLog(3)) = 10^10^12.560902641300343
= 10^10^10^Log((3^3)*Log(3)+LogLog(3)) = 10^10^10^1.099020849437030
3^3^3^3^3
= 10^(3^3^3^3)Log(3)
= 10^10^Log((3^3^3^3)Log(3))
= 10^10^((3^3^3)*Log(3)+LogLog(3))
= 10^10^10^Log((3^3^3)*Log(3)+LogLog(3)) = 10^10^10^12.560902641300304
≒ 10^10^10^Log((3^3^3)*Log(3)) = 10^10^10^12.560902641300343
= 10^10^10^(Log(3^3^3)+Log(3))
= 10^10^10^10^Log(Log(3^3^3)+Log(3)) = 10^10^10^10^1.099020849437030
3^3^3^3^3^3
= 10^(3^3^3^3^3)Log(3)
= 10^10^Log((3^3^3^3^3)Log(3))
= 10^10^((3^3^3^3)*Log(3)+LogLog(3))
= 10^10^10^Log((3^3^3^3)*Log(3)+LogLog(3))
≒ 10^10^10^Log((3^3^3^3)*Log(3))
≒ 10^10^10^10^10^1.099020849437030

桁数が増えても誤差は対数的に小さくなるはず。

Vct演算子（ベクタえんざんし）を定義する。
Vct_1=↑
Vct_2=→
a Vct_n b Vct_n c=a Vct_(n-1)^c b=a Vct_(n-1)^(c-

1) ... Vct_(n-1)^(c-1) a　(aがb個)
a Vct_n b Vct_n c Vct_n d...x Vct_n y Vct_n z=
a Vct_n ... Vct_n x Vct_n {a Vct_n ... Vct_n x

Vct_n (y-1) Vct_n z} Vct_n (z-1)
このとき、
K変換
k:[m,f(x)]→[n,g(x)]
g(x)=f(x) {Vct_f(x)}^2 m
n=g(m)

KK変換　[m,f(x),K_1]→[n,g(x),K_2]
K_2=K_1^f(m)
K_2: [m,f(x)]→[n,g(x)]

このとき、KK^64[3,f(x)=x+1,k]=[a,h,?]
となるが、このときのaを
Kob Number Version 2
とする。

Version 1　はこちら
http://math.bbs.thebbs.jp/pin/tb/1198491157

pin/tb/を抜かしてください

>>328-329
数学的に計算で定義できる巨大数の限界はあるけれど
巨大数そのものには限界はない

はず？

ａｇａ程度のネタを
3Ｌのバケツに1回目は1Ｌの水を入れる。
2回目は半分の0.5Ｌを入れる。
3回目はそのまた半分の0.25Ｌを入れる。
以降前の半分の量の水を入れて行き
バケツが満量になるまで繰り返した回数を
『ｍ』と定義する。
しかし、『ｍ』は∞を代入してもバケツの水は2Ｌ
にしかならない。『ｍ』は実数として定義出来るだるうか。
また、『ｍ』は大きな数といえるか？

>>341
mが実数じゃないのは明らかじゃない？

帰納程度を多重帰納以上にしたものとして、以下の数を考えました。
判定をお願いします。

f(x)=:xをx回階乗する
f^{f(x)}(x)=f(x)(↑↑)2、f^【f^{f(x)}(x)】(x)=f(x)(↑↑)3、・・・・
f(x)(↑↑)f(x)=f(x)(↑↑↑)2、f(x)(↑↑){f(x)(↑↑↑)2}=f(x)(↑↑↑)3、・・・・
というようにタワー表記と同様に計算規則を定義する。
また、チェーン表記と同様にして拡張する。
例えば、f(x)(↑↑)2=f(x)⇒2⇒2、f(x)(↑↑↑)3=f(x)⇒3⇒3
という風にする。3つ以上の"⇒"など計算規則はチェーン表記と同じものが採用できる。
さらに、f(x)⇒f(x)⇒・・・・⇒f(x)⇒f(x)（f(x)がa個）
のときf(x)⇒⇒a、
f(x)⇒⇒f(x)⇒⇒・・・・⇒⇒f(x)⇒⇒f(x)（f(x)がa個）
のときf(x)⇒⇒⇒a
とする。
また、小クロちゃん関数kとし、以下のように定義する。
k(□,a)=f(3)⇒…a個…⇒f(3)
k(X,b+1,0,□,a)=k(X,b,a,□,a)
k(X,b+1,0)=k(X,b,1)
k(X,b+1,a+1)=k(X,b,k(X,b+1,a))
(X,□についてはn変数Ackermann関数と同様)

K_3(x)=k(1,1,…x個…,1,1)としたとき
第3クロちゃん数K_3^63(4)

>>343 kの引数を5個以上にしたとき、引数の個数が一向に減らないような気がするのですが．．．

>>343
基本的にｎ重帰納関数だから
K_3（ｘ）≒F［ω＾ω］（X）
程度の大きさになります。第３クロちゃん数は
ふぃっしゅっしゅ数バージョン3より大きく
ふぃっしゅっしゅ数バージョン4や蒼穹数よりは小さいです。

>>345訂正
×ふいっしゅっしゅ数バージョン4や蒼穹数より小さい
○ふいっしゅっしゅ数バージョン5や蒼穹数より小さい

>>344
確認してみます。
>>345
「多重帰納以上」と「n重帰納」とではどう違うんすか。

>>347
ほとんど同じ意味です。
n重帰納関数≒Fω＾ω］（ｎ）
多重帰納以上≧F［ω＾ω］（ｎ）
※ｎをｘに変えてもかまいません。
と考えてもらえば良いと思います。

ちなみに
蒼穹表記≒F［ω＾＾ω］（ｎ）
の大きさになります。

10文字で大きな数ー♪
((999$)$)$
※但し,$は超階乗の意味

グラハムとどっちが大きいのだろう？

アルゴリズム情報理論って巨大数を理解するのに役にたたないかな。

wikiのページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/アルゴリズム情報理論

>>349
（（（999＄）＄）＄＜3↑↑↑↑3
ですからグラハム数よりは小さいです。

>>348
どーもです。しかしながら蒼穹表記される帰納関数てあるんすかね??

そういえば
9を99!回階乗する
って

3↑↑↑3よりは大きいけど、

矢印表記で近似すると、
3↑↑↑3ぐらい？

Af:0個以上の0以上の整数から0以上の整数を返す関数の

集合（以下Wとする）の元2個以上からWの元1個への関数
（n変数Ackermann関数を応用している）
Af(□,g,h)(x)=g○h(x)
Af(X,f,g,h)(x)=Af(X,f,g-1,Af(X,f,g,h-1))(x)
Af(X,f,g,0)(x)=Af(X,f,g-1,g-1)(x)
Af(X,f,0,□,h)(x)=Af(X,f-1,h,□,h)=Af(X,f-1,h-

1,...,h-1,h,h)(h-1の個数が□の中の0の数)　end Af:

K:[m_1,g_1]→[m_2,g_2]
g_2=Af(g_1,...g_1)(g_1(x)個)
m_2=g_2(m_1) end K:

a_0=3,f_0(x)=x+1とおいたとき、
K^63[a_0,f_0]=[a_63,f_63]
f_63をタテシナ関数、
a_63をタテシナ数とする。

Ｈａｒｄｙで近似すると
どのぐらいになるでしょうか。
検証お願いします。

1stVirtueはめっさ臭いってほんと？

Reply:>>355 早く国賊と心中しろ。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

>>287>>288のアルカ数の次のステップといえる程度の拡張をしてみました。
一部定義を変更しているので、まずおさらいとして†の計算を次の様にまとめました。
総てのタワー拡張演算子を†”で表記した場合
（†”は†、†+ｎ、†【†】ｎなどの総称という事）
a【†】ｎ＝a（↑＾ｎ）a
†【†】ｎ＝†（↑＾ｎ）†
a【†”+b】1＝a【†”+（b-1）】a
†【†”+b】1＝†【†”+（b-1）】†
a【†”+1】ｎ＝a【†”】（a【†”+1】（ｎ-1））
a【†”+†】ｎ＝a【†”+ｎ】a
a【†”*†】ｎ＝a【†”*ｎ】a＝a【†”*（ｎ-1）+†”】a
a【†”↑†】ｎ＝a【†”↑ｎ】a＝a【（†”↑（ｎ-1））*†”】a
a【†”（↑＾c）（†”+ｂ）】ｎ＝a【（†”（↑＾c）†”）（↑＾（c-1））（†”（↑＾c）（†”+ｂ-1））】ｎ　
a【†”（↑＾c）†”】ｎ＝a【†”（↑＾（c-1）)（†”（↑＾c）（ｎ-1））】9
a【†”【†”】†】ｎ＝a【†”【†”】ｎ】a
a【†”【†”】（†+b）】ｎ＝a【（†”【†”】（†+b-1））【†”】（†”【†”】（†+b-1）】a
　※ａ、ｂ、c、nは自然数
演算子の右側から計算する。

次に拡張方法は
a【1・†】ｎ＝a【†】ｎ
a【（b+1）・†】n＝a（b・†＾n）a
※b・†＾nは【b・†【…【b・†】…】b・†】の【】がn重と定義
　ｎ・†は一つの記号として、†と同じと計算方法を定義

計算例は次の通り
9【2・†】2＝9【†【†】†】9
9【2・†+†】2＝9【2・†+2】9
9【2・†+2・†】2＝9【2・†+†【†】†】9
9【2.†【2・†】2・†】2＝9【2・†【2・†】【†【†】†】】9
9【3・†】2＝9【2・†【2・†】2・†】9

9【9・†】9　をマダ・アルカ数
ω【ω・†】ω　をマダ・アルカオメガ
ついでに
ｆ（ｎ）＝3【ｎ・†】3の時
ｆ＾64（4）をマダ・アルカグラハム数
と命名。

>>352
F［ω＾＾ω］（ｎ）相当の帰納関数は存在します。
実際には多き過ぎて何重帰納関数とは書ききれないので
ハーディ関数との近似値で比較しています。
蒼穹表記については7-887,888に計算方法を書いてます。
7−891のたろう氏の説明の方が解り易いと思いますが。

>>353
9を99！階乗するの正確な近似は難しいので、大まかな値で
3↑↑（3↑↑3）より大きく
3↑↑（3↑↑4）より小さくなります。

>>354
>>259と一緒で集合を使っているので僕では力になれないですね。
集合は全く理解していないもので。
たろう氏のまとめの多重リストAKを参考にしては？

>>360
確かに集合という単語を使っていますがまったく関係ありません
単なる見掛け倒し（？）です。

>>360
ありがとうです。まだ集合や順序数を理解していないので、しばらく勉強します。
第4クロちゃん数作成には時間がかかりますが、何かいい方法がある人は言ってください。
このスレ再び盛り上がってきましたね〜。

順序数はかなり集合論固有の要素が入ってきますけど
（だから難しいです）
>>360で使ってる集合に関する用語はただの表記法の問題。
現代の数学では集合を用いた記述がスタンダード。

m(x)=x個目のx倍完全数とか
n(x)=x個のx乗数の和としてx通りに表せるx番目の数とかの
値が存在するかも分からんような関数
の増加度を聞くような間抜けは最早居ないだろうな。
まあ、明らかに既出だがな。
こんなカスみたいな増加度の関数誰も気にも留めんよ。
巨大数万歳。

細かい事ですがふぃっしゅっしゅ氏のPDFの22ページで
＞g(3) はf(x) にS 変換を2 回施して得られるg3(x) に3 を代入したg3(3)
は多分
＞g(3) はf(x) にS 変換を3 回施して得られるg3(x) に3 を代入したg3(3)
の間違いではないでしょうか

>>358訂正
×a【†”【†”】（†+b）】ｎ＝a【（†”【†”】（†+b-1））【†”】（†”【†”】（†+b-1）】a
○a【†”【†”】（†+b）】ｎ＝a【（†”【†”】（†+b-1））【†”】†】ｎ
矛盾無く定義したつもりだたんですが間違ってました。
間違いの方ではループして無限になってしまいなすね。

だれか一回変換するごとの発散率みたいなの定義してよ


とおもったけど角度とかじゃむりだし
基準を大きくしないとこのスレのはまったく歯が立たないな

f_1=2
f_(n+1)=f_n^(f_n*f_n)

これを指数の入れ子で書くときれいな２分木っぽい形になるよ。
あんまり大きくないかもしれないけど、気に入ってる。

>>368はどれぐらい大きいの？

原始帰納だから、アッカーマン以下でしょ。

368の関数をf(x)として、アッカーマンをack(n,m)として

ack(n,x)≒f(x)

を満たすnは求まりますか？

2^^nより大きくて2^^^nよりは小さいので、n=4くらい。

>>372の計算: 漸化式で比較すると、

2^^n: f_(n+1)=2^f_n
>>368: f_(n+1)=f_n^f_n^2
2^^^n: f_(n+1)=2^^f_n

xが十分大きいときに 2^x < x^x^2 << 2^^x なので
2^^n < >>368のf(n) << 2^^^n

詳しい解説ありがとうございます。

>>367
f(x+1)=g(f(x))のとき、gをfの増加率とする。
見たいな感じでしょうが、もっと改良していこうかと思っています。

再帰定理とか使ったらf(x+1)=f(f(x))を満たす函数とか作れないかな。
再帰函数論は以前勉強したけどもう忘却の旋律。

f(x)=x+1は、f(x+1)=f(f(x))を満たす自明な関数だな。

>>377
f(x)=Cも、f(x+1)=f(f(x))を満たします。

単調増加関数ならば >>377 が唯一。

というか単射なら唯一だね

第4クロちゃん数ができました。自分の思い付く限りでは限界来ました。
>>8-360を参考に限界を超えたいと思います。
//////////////////////////////////
k1(□,a)=f(3)⇒…a個…⇒f(3)
k1(X,b+1,0,□,a)=k(X,b,a,□,a)
k1(X,b+1,0)=k(X,b,1)
k1(X,b+1,a+1)=k(X,b,k(X,b+1,a))
…………………………………………
k2(□,a)=k1(1,1,…a個…,1,1)
k2(X,b+1,0,□,a)=k2(X,b,a,□,a)
k2(X,b+1,0)=k2(X,b,1)
k2(X,b+1,a+1)=k2(X,b,k(X,b+1,a))
k2(X,b+1,0,□,a)=k2(X,b,a,□,a)
(X,□についてはn変数Ackermann関数と同様)
…………………………………………
以降k3,k4についても同様。
K4(x)=kx(1,1,…x個…,1,1)としたとき
第4クロちゃん数K4^63(4)
//////////////////////////////////

>>381
k1(□,a)≒H[ω^ω^ω]
kn→kn+1:≒H[*ω^ω^2]
よってK_4(x)≒H[ω^ω^(ω+3)]
だと思われます。

trigintillion（テュリギンティリオン） 1093
googol（グーゴル） 10100
cenntillion（センテュリオン） 10303
milliillion（ミリリオン） 103003
millimillion（ミリミリオン） 103000003
nanillion（ナニリオン） 103000000003
picillion（ピキリオン） 103000000000003
mecillion（メシリオン） 103000000000000000000000000000000003
triacontillion（テュリアコンティリオン） 103…0が90個…3
googolplex（グーゴルプレックス） 103…0が100個…3
hectillion（ヘクティリオン） 103…0が300個…3
killillion（キリリオン） 103…0が3000個…3
megillion（メギリオン） 103…0が3000000個…3
gigillion（ギギリオン） 103…0が3000000000個…3
terillion（テリリオン） 103…0が3(0が12個)個…3
mekillion（メキリオン） 103…0が3(0が33個)個…3
twentillion（テュウェンティリオン） 103…0が3(0が60個)個…3
googolduplex（グーゴルデュプレックス） 101…0が1000個
hundrillion（ハンドリリオン） 103…0が3(0が300個)個…3
thousillion（サウジリオン） 103…0が3(0が3000個)個…3
googolplexplexplex（グーゴルプレックスプレックスプレックス） 101…0が10000個

>>383
^使え

あと、ここは巨大数のスレなんで

n+:=nと定義
n+^1:=(n+)と定義
n+^2:=(n+)(n+)...(n+)=n*nと定義
n+^3:=(n+^2)...(n+^2)=n^nと定義
以下同様に演算n+^(k+1)はn+^kの計算をn回繰り返すこととする。
このとき、googolplexplexplex+^googolplexplexplexは大きな数。

>>385
グラハム数以上、ふぃっしゅ数以下、
です。
概算で大体3→3→3→3は超えないものと思われます。

>>385
その定義だと
ｎ+＾（ｋ+1）＝（ｎ+＾ｋ）＾ｎ
ｎ+＝ｎ
ｎ+＾1＝ｎ
ｎ+＾2＝ｎ＾ｎ
ｎ+＾3＝（ｎ＾ｎ）＾ｎ
となるから>>385の値は
101*（10＾＾5）よりは小さい値になります。

>>387
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10は(10^10)^10ですか？

>>388
累乗は通常前から計算します。つまり
10＾10＾10＝（10＾10）＾10
10＾10＾10＾10＾＝（（10＾10＾）＾10）＾10
となります。また、10の累乗では次の様になります
１０＾10＾10＝10＾（10＾2）
１０＾10＾10＾10＝10＾（10＾3）
したがって
１０＾１０＾１０＾１０＾１０＾10＾10＾10＾10＾10＝10＾（10＾9）
ちなみに
グーゴルプレックスは10＾（10＾（10＾2））
グーゴルプレックスプレックスプレックスは10＾（10＾（10＾（10＾（10＾2））））
となりますから>>387では僕も計算間違いしてますね
正しくは>>385は10＾＾7より小さい値ですね

＞累乗は通常前から計算します。
え、右肩に載せて印刷してある場合は
普通後ろから計算だったと思うけど。

「^」を使って表記した場合のコンセンサスとかは知らないけど
印刷物における慣用に従うのが常識的かな。

指数の場合、
(a^b)^cは
a^bcと同じことなので
a^b^cと書いてあった場合
a^(b^c)と扱うことが一般的だと聞いたことがあるけど。

例えばスキューズ数など、指数表記される巨大数について書かれている本では、
このことについて説明なく、
後者の意味で用いてる。

素人なんで無茶なこと言ってるかもしれないんですが
a + a = 1 + ・・・ + 1 (1のa個の和)
a * a = a + ・・・ + a (aのa個の和)
a ^ a = a * ・・・ * a (aのa個の積)
と言うことを考えて，ここで+→*→^のような流れの演算子の変化を一般化できるんでしょうか
つまり+を[演算子1]，*を[演算子2]，^を[演算子3]という風に定義したら(たとえばa[演算子3]a= a ^ a)
[演算子n]というものを使っていいんでしょうか

>>392
ハイパー演算子

はいはいタワータワー

>>392
それは本質的にはAckermann函数だと思う。

>>390.391
指数を右肩に乗せて書いている場合は右肩から計算します。
10＾10＾10と＾を使用して計算式を書いた場合は前から計算
します。エクセル等での計算でも前から計算しています。
>>389訂正
×　>>385は10＾＾7より小さい
○　>>385は10＾＾8より小さい
計算間違い多くてすいません。

>>396
確かにExcelでは計算順序は左からになりましたが、

数値解析ソフトウェアのOctaveやMaximaで試してみたところ
後ろから計算されていましたので、
後ろからのほうが有力に感じました。

また、ウィキペディアのクヌースの矢印表記の項にも
＞全てのクヌースの矢印（通常の指数計算である a↑b も含む）は、右から計算される。例えば、a↑b↑c = a↑(b↑c) であり、(a↑b)↑c ではない。

フォントの都合による代替表記

コンピュータ上でのテキストとして表記する場合、フォントによっては↑のような記号が無い場合もあるため、a^^bのようにサーカムフレックスを並べる表記を行う場合がある。クヌース自身も、これを代替的あるいは簡便な記法として認めている。
指数表記 ab のかわりに a^b と書くのも、これと同じである。

となっており，
通常の累乗も後ろから計算するような書き方がされています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

巨大数いいね。
地球の原寸大のサイズをどこまでリアルにイメージできるか、という遊びをしたことがあるがこれがなかなか難しい。
ここでの巨大数は地球のサイズなんか問題にならないけど、これをイメージするのもまた楽しいね。

>>387
丁寧な説明サンクス
ｎ＾ｎ＾ｎ＝ｎ＾（ｎ＾ｎ）の方が有力みたいですね。

(n^n)^n ならより小さい字はいらないはずだ。

少ない表記でどれだけ巨大な数に発散させられるかというのを逆方向に考えると
巨大な数をどれだけ小さく圧縮できるかということなわけで。
ZIPやLZHとかの技術からなんか引っ張ってこれないかな。

>>397
Octave で計算してみたけれど、左から計算してるよ。
バージョンは3.0.1

octave:1> 3^3^3
ans = 19683
octave:2> 3^3
ans = 27
octave:3> 27^3
ans = 19683
octave:4> 3^27
ans = 7.6256e+12

3^3^3 = (3^3)^3

巨大数が好きなのは心が子どもっていうイメージがある。
幼稚園児なら「100」といってみたり、億や万を習いたての小学生なら「1億万円」といったり
どこで覚えたのか「無限大」と言ったり。
そんな子どもの心を忘れずに数学的に探求しているのがこのスレッドなわけで。

無限大より大きい数として、「無限大*無限大」って言ってたなぁ、小学生の頃

>>402
google電卓は後ろからだね

でっていう数

mでっていうn＝(m^m)!Ｐ(n^n)!
ただしm>n

でっていう

>>403
小１の時に無量大数を知ったときの感動に近いものがあるなあ。

>>405
mathematicaはどうなんだろ

>>406
nで割るのがもったいない

>>406の補足
Ｐは順列のこと
例
6Ｐ4＝6・5・4・3＝360
8Ｐ3＝8・7・6＝336

>>409
確かにmＰnはnで割り切れるね……

割り切れるとかじゃなく、
(m^m)! ! ＝ (m^m)!P1 ≧ (m^m)!P(n^n)!
だろう

>>411
そうそう。

>>411
(m^m)! ! でなくて、((m^m)!) ! だよ。
ex. 6!! = 6 * 4 * 2

!nもあるよ

!n＝0!+1!+2!＋……(n-1)!

>>411
そんな大きなでっていうじゃステージからはみ出しちゃいます><

>>413
だから!!じゃなく敢えて! !って書いてみた。

原始帰納関数からアッカーマン関数への本質的な飛躍は感動するね。
アッカーマンからその次の本質的な飛躍はビジービバーになっちゃうの？
その中間はあるんだっけ？

アッカーマンからビジビーバーまでを埋めていったのが、
これまでのスレッドの流れ。詳しくは >>1 のPDF参照。

>>416
Hardy階層

age

件のＧＩＭＰＳで、この２週間ほどの間に続けて２つのメルセンヌ素数候補が見つかったようです。
http://www.mersenne.org/prime.htm
いずれも確認作業中でまだメルセンヌ素数と確定していませんが、当たりとすれば１０００万桁超はほぼ確実で、ＥＦＦの賞金１０万ドルはどうなるのか、興味深いところです。

フォトショップのフリー版かと思ったよ

そんなばながー

順序数や巨大数に興味が出てきて、タワー表記とかチェーン表記とか調べているうちにこのスレにたどり着いた
>1 のpdfとか面白そうなのでこれからwktkして読むね
このスレ見つけてよかったよ

Hardy関数すげー
関数の合成回数をさらに変数とし、それを何度も繰り返し大きな関数を得て
さらにはその操作の回数自体を変数として、更に更に大きな関数を得て
…て、わけわからんぞ
F[ω](x)で既にアッカーマン関数ぐらいの速度で上昇するのか

でHardy関数って計算可能なの？

計算可能順序数であれば、Hardy関数も計算可能だよ

ところで、H(Γ_0)級の巨大関数への挑戦はどないなったんすか??

>>426
一応>>358、359の方法でＨ［Γ_0］（ｎ）より大きい
関数は提案しています。具体的な大きさは
ｎ【†【†+1】†】ｎ≒Ｈ［Γ_0］（ｎ）
となります。だだ、僕の計算だけで、第三者による検証も、
違うという反証もされていませんが。
>>276、 >>287も参照ください。

>427
定義がいろんなレス番に散在してて追い切れない……
その表記法は1レスか2レスでまとめることは大変ですか？

>>428
計算は358、359の定義だけで出来ますが、一部
間違いがあるので、書き直します。
276、287はアルカ数とハーディ関数やΨ（Ω）
の大きさの比較をしていますが、僕が以前書いた
独自の数とも比較しているため、スレがあちこち
に飛んでしまってますね。蒼穹数やＧＰＸ999は
358の定義と関係ないにで、ハーディ関数やΨ（Ω）
に絞って比較を2スレにまとめてみます。
専門的な勉強をしておりませんので、適切な定義
になっていないかもしれません。また、計算は手計算
で行っているので、正しい保障はありません。

（アルカ数定義）
　※ａ、ｂ、c、nは自然数
演算子の右側から計算する。
総てのタワー拡張演算子を†”で表記した場合
次の�@〜�Kのルールで計算する。
（†”は†、†+ｎ、†【†】ｎなどの総称という事）
�@　a【†】ｎ＝a（↑＾ｎ）a
�A【†【†】ｎ】＝【†（↑＾ｎ）†】
�B　a【†”+b】1＝a【†”+（b-1）】a
�C　†【†”+b】1＝†【†”+（b-1）】†
�D　a【†”+1】ｎ＝a【†”】（a【†”+1】（ｎ-1））
�E　a【†”+†】ｎ＝a【†”+ｎ】a
�F　a【†”*†】ｎ＝a【†”*ｎ】a＝a【†”*（ｎ-1）+†”】a
�G　a【†”↑†】ｎ＝a【†”↑ｎ】a＝a【（†”↑（ｎ-1））*†”】a
�H　a【†”（↑＾c）（†”+ｂ）】ｎ＝a【（†”（↑＾c）†”）（↑＾（c-1））（†”（↑＾c）（†”+ｂ-1））】ｎ　
�H　a【†”（↑＾c）†”】ｎ＝a【†”（↑＾（c-1）)（†”（↑＾c）（ｎ-1））】9
�I　a【†”【†”】†】ｎ＝a【†”【†”】ｎ】a
�J　a【†”【†”】（†”+1）】ｎ＝a【（†”【†”】（†”））【†”】†】n
�K【†【†”+1】ｎ＝【†【†”】（†【†”+1】（ｎ-1））】
最後に【†】が何重になったかを次の様に定義します。
ａ（†＾ｂ）ｎ＝ａ【†【†…【†】…†】†】ｎ　※【　】がｂ重
9（†＾9）9　がアルカ数。
ω（†＾ω）ωがアルカオメガ

（マダ・アルカ数定義）
a【1・†】ｎ＝a【†】ｎ
a【（b+1）・†】n＝a（b・†＾n）a
※b・†＾nは【b・†【…【b・†】…】b・†】の【】がn重と定義
　ｎ・†の計算方法は†と同じ（ｎ・†もタワー拡張演算子の一つです）

9【9・†】9　をマダ・アルカ数
ω【ω・†】ω　をマダ・アルカオメガ

ｆ（ｎ）＝3【ｎ・†】3の時
ｆ＾64（4）をマダ・アルカグラハム数

（アルカ数とハーディ関数との比較）
�@　ｎ【†（↑＾ｎ）†】ｎ≒Ｆ［ω（↑＾ｎ）ω］（ｎ）
�A　ｎ【†【†】†】ｎ≒Ｆ［ω→ω→ω］（ｎ）
�B　ｎ（†＾ａ）ｎ≒Ｆ［ω（†＾（ａ-1））ω］（ｎ）

ｎ【†【†】†】ｎまでは殆どハーディ関数と一緒です。
タワー表記とＡＫ関数の差と同程度の差です。
したがって、�@、�Aとなります。
また、�Aとω→ω→ω≒Ｆ［ω］（ω）より
ｎ【†【†】†】ｎ≒Ｆ［Ｆ［ω］（ω）］（ｎ）
となります。
そして�Bは次の様に表せます。
ｎ（†＾ａ）ｎ≒Ｆ［Ｆ［…Ｆ［ω］（ω）…］（ω）］（ｎ）
※Ｆ［　］（ω）が（ａ-1）重
したがって、ω（†＾ω）ωはハーディ関数とωで
表せない最初の数となります。
アルカ数より大きいマダ・アルカ数はハーデイ関数
との比較も出来ません。

（色々な順序数の比較）
φ1（0）≒ω↑↑ω
φ2（0）≒ω↑↑↑ω
φｎ（0）≒ω（↑＾（ｎ-1））ω
φω（0）≒ω→ω→ω
Γ_0≒ω→ω→ω→2
≒Ｆ［ω+1］（ω）
Ψ（Ω）≒ω→ω→ω→3
Ψ（Ω（↑＾ｎ）ω）≒Ｆ［ω（↑＾ｎ）ω］（ω）
Ψ（Ω（†＾ｎ）ω）≒Ｆ［ω（†＾ｎ）ω］（ω）

ｎ【†【†+1】†】ｎ≒Ｆ［Ｆ［ω+1］（ω）］（ｎ）
であるので、次の式が成り立つ。
ｎ【†【†+1】†】ｎ≒Ｈ［Γ_0］（ｎ）

>>430
> (1) a【†】ｎ＝a（↑＾ｎ）a

まずは、この意味が分からないのですが…。

>>433
タワー表記とチェーン表記を知っている前提で説明します。
アルカ数は【　】で囲まれ物を演算子として定義しています。
【†】は+や-と同じ演算子の一種と考えてください。
そして、ａ【†】ｎはａ↑…（↑がｎ個）…↑ａを意味します。
計算例）
3【†】2＝3↑↑3
4【†】5＝4↑↑↑↑↑4
ａ【†】ｎはチェーン表記のａ→ａ→ｎと同じ意味になります。

訂正）
>>429の�A�C�Kは演算子しか書いていなかったので次の様に書き換えます。
�A　ａ【†【†】ｎ】ｂ=ａ【†（↑＾ｎ）†】ｂ
�C　ａ【†【†”+b】1】ｂ＝ａ【†【†”+（b-1）】†】ｂ
�K　ａ【†”【†”+1】ｎ】ａ＝ａ【†”【†”】（†”【†”+1】（ｎ-1））】
�A�Cは�Iより大きい数の時に必要な定義です。

(1)は分かった。次は(2)だけど、右辺の
ａ【†（↑＾ｎ）†】ｂ
これはどう計算するの？

3【†（↑＾3）†】2 = 3【† ↑↑↑ †】2

ここから先が、よく分からない。

>>435
まず先に、>>429に�Hが二つありますね。定義に間違いが多くてスミマセン。
あと�G’として、ａ【†”↑（†”+1）】ｎ＝ａ【†”↑†”*†】ｎの定義も必要ですね。
�G’�Hで計算できますので、計算例を書きます。
　　3【†（↑＾2）†】2
　＝3【†↑↑†】2
　＝3【†↑↑2】3
　＝3【†↑（†↑†）】3
　＝3【†↑（†↑3）】3
　＝3【†↑（†↑3）】3
　＝3【†↑（†↑2*†）】3
　＝3【†↑（†↑2*3）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†↑2）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†↑2）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†*†）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†*3）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†*2+†）】3
　＝3【†↑（†↑2*2+†*2+3）】3
　＝3【（†↑（†↑2*2+†*2+2））*†】3
あとは同じような変換を繰り返すと�Eの形まで持っていけます。
現実的には大き過ぎて計算できませんが。

>>436だけでは>>435の答えになってませんでした。
亀スレながら、不足分を説明をします。

　　3【†（↑＾3）†】2
　＝3【†↑↑↑†】2
　＝3【†↑↑↑2】3
　＝3【†↑↑（†↑↑1）】3
　＝3【†↑↑†】3
これから先は>>436と同じ計算になります。
†↑↑1は通常のタワーの計算と同じで
3【†↑↑1】3＝3【†】3
になります。

ついでに計算例をもう一つ
　＝3【†↑↑（†+2）】2
　＝3【（†↑↑†）↑（†↑↑(†+1）)】2
　＝3【（†↑↑†）↑（（†↑↑†）↑（†↑↑†））】2
　＝3【（†↑↑†）↑（（†↑↑†）↑（†↑↑2））】3
これから先は>>436を後ろの方から何度も繰り返します。

このスレには初スレではありませんが始めまして。
しばらく書き込みがないので書きこんでみました。
皆様のレベルの高さには敬服するばかりです。
すいませんがというか時代遅れですが
F[a](x)のBB的拡張は
C[0](x)=BB(x)
C[a+1](x)=[s`(1)]^xf:f(x)=C[a](x)
C[A](x)=C[A_n](x)
で宜しいのでしょうか？
三日三晩（累計一時間）考えて（勘が得て）
出来たのがこれなんです。
余談ですが
birdの回転矢印関数
ルート41氏の関数
6-141氏の多重リスト関数の増大度は
回転矢印＜ルート41氏＜多重リスト関数
で宜しいのでしょうか（使ったもの　0％の計算と100％の勘）

>>438
6-141の多重リスト関数はF［ω↑ω］（ｎ）程度の関数になる
と思うので、アルカ数やふいっしゅしゅ数バージョン6の関数の
方が大きな関数です。

自分の書き込みっていつ見ても痛い・・
しかしたった４０分で答えられるとは
このスレまだ捨てたもんじゃありませんね。
来週あたりみようとおもったんですが。
しかしありがとうございます。

やはりルート41氏のほうが大きかったですか。
Hardyを使ってる時点でなんかズル　いえ画期的ですね。
sin? cos? tan?　ハハッ　忘レタネ　なオツムでは無理がありましたか。
また来週見に来ます。
何か質問されても答えられませんしやり取りも出来ません。
さようなら。

若干KYな発言やけんど、ふぃっしゅ数バージョン4が現時点で一番大きな数ということですね？？
てことは、ハーディ関数のビジービーバーバージョンをさらに発展させたらバージョン4よりもさらに大きな数ができるのでは？
PDF読んでてそー思いました。

前スレで既にバージョン4よりもさらに大きな数が考えられているよ。
あとハーディ関数での拡張は帰納的だから、帰納的でない拡張にはおよばない。

http://kmktwo.blog95.fc2.com/blog-entry-10.html

ちっせ！
443みたいにちっせ！

たまにこういうちっちゃな数を見るのも和むね

まだあったのかこのスレ
数年前にかなりこのスレにハマってたのを思い出したよ

9999muryoutaisuu9999hukasigi9999nayuta9999asougi9999gougasha9999goku
9999sai9999sei9999kann9999kou9999jou9999jo9999gai9999kei9999tyo
9999oku9999mann9999

そんな極小の数を自慢してた時期が俺にもありました

フィシュ関数のバージョン１ぐらいありますかね？これ？
a[m,kj]n

以下定義(右辺の結合は右優先)
a[1]n=a+a+a+...a
a[2]n=a[1]a[1]a[1]...a
a[m]n=a[m-1]a[m-1]a[m-1]...a
a[m_0,1]n=a[m_0]a[m_0]a[m_0]...a
a[m_0,2]n=a[m_0,1]a[m_0,1]a[m_0,1]...a
a[m_0,m_1]n=a[m_0,m_1-1]a[m_0,m_1-1]a[m_0,m_1-1]...a
a[m_0,m_1,1]n=a[m_0,m_1]a[m_0,m_1]a[m_0,m_1]...a
a[m_0,m_1,2]n=a[m_0,m_1,1]a[m_0,m_1,1]a[m_0,m_1,1]...a
a[m_0,m_1,m_2]n=a[m_0,m_1,m_2-1]a[m_0,m_1,m_2-1]a[m_0,m_1,m_2-1]...a
a[m_0,m_1,m_2,...,m_k]n=a[m_0,m_1,m_2,...,m_k-1]a[m_0,m_1,m_2,...,m_k-1]a[m_0,m_1,m_2,...,m_k-1]...a
a[m:k]n=a[m_0,m_1,m_2,...,m_k]n
a[m:k,1]n=a[m:k]a[m:k]a[m:k]...a
a[m:k,2]n=a[m:k,1]a[m:k,1]a[m:k,1]...a
a[m:k,mm_0]n=a[m:k,mm_0-1]a[m:k,mm_0-1]a[m:k,mm_0-1]...a
a[m:k,mm_0,1]n=a[m:k,mm_0]a[m:k,mm_0]a[m:k,mm_0]...a
a[m:k,mm_0,2]n=a[m:k,mm_0,1]a[m:k,mm_0,1]a[m:k,mm_0,1]...a
a[m:k,mm_0,mm_1]n=a[m:k,mm_0,mm_1-1]a[m:k,mm_0,mm_1-1]a[m:k,mm_0,mm_1-1]...a
a[m:k,mm_0,mm_1,1]n=a[m:k,mm_0,mm_1]a[m:k,mm_0,mm_1]a[m:k,mm_0,mm_1]...a
a[m:k,mm_0,mm_1,2]n=a[m:k,mm_0,mm_1,1]a[m:k,mm_0,mm_1,1]a[m:k,mm_0,mm_1,1]...a
a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2]n=a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2-1]a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2-1]a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2-1]...a
a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2,...,mm_kk]n=a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2,...,mm_kk-1]a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2,...,mm_kk-1]a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2,...,mm_kk-1]...a

>>449の続き
a[m:k,mm:kk]n=a[m:k,mm_0,mm_1,mm_2,...,mm_kk]n
a[m:k,mm:kk,1]n=a[m:k,mm:kk]a[m:k,mm:kk]a[m:k,mm:kk]...a
a[m:k,mm:kk,2]n=a[m:k,mm:kk,1]a[m:k,mm:kk,1]a[m:k,mm:kk,1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0-1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,1]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0]a[m:k,mm:kk,mmm_0]a[m:k,mm:kk,mmm_0]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,2]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1-1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,1]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,2]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2-1]a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2-1]...a
a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2,...,mmm_kkk]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2,...,mmm_kkk-1]n
a[m:k,mm:kk,mmm:kkk]n=a[m:k,mm:kk,mmm_0,mmm_1,mmm_2,...,mmm_kkk]n
a[m_1:k_1,m_2:k_2,m_3:k_3,...,m_j:k_j]n=a[m:k,mm:kk,mmm:kkk,...,mmm...m:kkk...k]n
a[m:k:j]n=a[m_1:k_1,m_2:k_2,m_3:k_3,...,m_j:k_j]n

>>449
×　a[m,kj]n
○　a[m:k:j]n

何回繰り返すかが省略されてて分からないんだがどうなってんの？

>>452
でしたね。
左辺のnのn-1回右辺の演算子繰り返すということで。

a[**]n = a[*]a[*]a[*]...a 　(aとaの間に[*]という演算子が適用されそれがn-1回繰り返される)

>>449
少し定義が不足してると思いますが、
ａ［ｍ_0］ｎ＝ａ［ｍ］ｎ
ａ［…ｍ_ｌ、0］ｎ＝ａ［…ｍ_（ｌ-1）］ｎ
ａ［ｍ：ｋ：ｊ］ｎ＝ａ［ｍ：ｋ、ｍｍ：ｋｋ…、ｍｍ_…（ｍがｊ個）…ｍ：ｋｋ…（ｋがｊ個）…ｋ］ｎ
と仮定した場合

ａ［ｍ］ｎ＝Ｆ［ω］（ｎ）
ａ［ｍ_0,1］ｎ＝Ｆ［ω+1］（ｎ）
ａ［ｍ_0,ｍ_1］ｎ＝Ｆ［ω*2］（ｎ）
ａ［ｍ_0,ｍ_1、ｍ_2］ｎ＝Ｆ［ω*3］（ｎ）

ａ［ｍ：ｋ］ｎ＝Ｆ［ω＾2］（ｎ）
ａ［ｍ：ｋ、ｍｍ_0］ｎ＝Ｆ［ω＾2+ω］（ｎ）
ａ［ｍ：ｋ、ｍｍ：ｋｋ］ｎ＝Ｆ［ω＾2*2］（ｎ）
ａ［ｍ：ｋ：ｊ］ｎ＝Ｆ［ω＾3］（ｎ）

となるので、ａ［ｍ：ｋ：ｊ］ｎでふぃっしゅ数バージョン2と同程度の三重帰納関数になります。

関係ないのだが、ジンバブエの通貨が土亥（ガイ）の位まで達してる事について。

>>455
え？この前デノミが行われたのに、またそこまえインフレしちゃってんの？

×そこまえ
○そこまで

土亥（ガイ）なんて、全然小さいぜ、と一瞬思ったがやっぱ現実世界の話だと迫力が違うなｗ

数学初心者の俺だが、
グラハム数というのがなぜ、どういった計算結果で生まれたのかが知りたいな。
n次元超立方体の辺の塗りわけがなんでタワー表記みたいなオリジナルの演算子を生み出すような解（解の候補）につながるんだろう？
数学的に言うとどのジャンルの話なんだろうか？

たぶんDirichletの鳩の巣原理とかを多少複雑に使う関係で
あんな数が出て来たんだと思うけど。

単に証明の都合上、簡単に存在を言うためにはあれだけの数字が必要に
なるというだけで、実際に事実として必要とされる数はもっと少ないんだと思う。

数学的には組合せ論でしょ。Ronald Grahamは組合せ論の学者だし。

がい【垓】
はての意。境。
数の単位。
京(ケイ)の一万倍。すなわち一○の二○乗。
古くは京の一○倍、すなわち一○の八乗。

ちゃんと広辞苑にのっているんだな

>>454
わざわざ評価ありがとうございます。

>>454
たびたびすみません。
下記のF_1〜F_6のフィッシュ関数で評価はこれであってますでしょうか？

F_1(a,b,c) ＝Ｆ［ω］（ｎ）
F_2(a,b,c,d) ＝Ｆ［ω*2］（ｎ）
F_3(a,b,c,d,e) ＝Ｆ［ω*3］（ｎ）
F_4(a,b,c,d,e,f) ＝Ｆ［ω*4］（ｎ）
F_5(a,b,c,d,e,f,g) ＝Ｆ［ω*5］（ｎ）
F_6(a,b,c,d,e,f,g,h) ＝Ｆ［ω*6］（ｎ）

以下、定義

F_0(a,1)=1
F_0(a,b)=a+F_0(a,b-1)

F_1(a,1,c)=1
F_1(a,b,c)=F_0(a,b)
F_1(a,b,c)=F_1(a,F_1(a,b-1,c),c-1)

>>463の続き

F_2(a,1,c,d)=1
F_2(a,b,1,d)=F_0(a,b)
F_2(a,b,c,1)=F_1(a,b,c)
F_2(a,b,c,d)=F_2(a,b,F_2(a,b,c-1,d),d-1)

F_3(a,1,c,d,e)=1
F_3(a,b,1,d,e)=F_0(a,b)
F_3(a,b,c,1,e)=F_1(a,b,c)
F_3(a,b,c,d,1)=F_2(a,b,c,d)
F_3(a,b,c,d,e)=F_3(a,b,c,F_3(a,b,c,d-1,e),e-1)

F_4(a,1,c,d,e,f)=1
F_4(a,b,1,d,e,f)=F_0(a,b)
F_4(a,b,c,1,e,f)=F_1(a,b,c)
F_4(a,b,c,d,1,f)=F_2(a,b,c,d)
F_4(a,b,c,d,e,1)=F_3(a,b,c,d,e)
F_4(a,b,c,d,e,f)=F_4(a,b,c,d,F_4(a,b,c,d,e-1,f),f-1)

>>464の続き

F_5(a,1,c,d,e,f,g)=1
F_5(a,b,1,d,e,f,g)=F_0(a,b)
F_5(a,b,c,1,e,f,g)=F_1(a,b,c)
F_5(a,b,c,d,1,f,g)=F_2(a,b,c,d)
F_5(a,b,c,d,e,1,g)=F_3(a,b,c,d,e)
F_5(a,b,c,d,e,f,1)=F_4(a,b,c,d,e,f)
F_5(a,b,c,d,e,f,g)=F_5(a,b,c,d,e,F_5(a,b,c,d,e,f-1,g),g-1)

F_6(a,1,c,d,e,f,g,h)=1
F_6(a,b,1,d,e,f,g,h)=F_0(a,b)
F_6(a,b,c,1,e,f,g,h)=F_1(a,b,c)
F_6(a,b,c,d,1,f,g,h)=F_2(a,b,c,d)
F_6(a,b,c,d,e,1,g,h)=F_3(a,b,c,d,e)
F_6(a,b,c,d,e,f,1,h)=F_4(a,b,c,d,e,f)
F_6(a,b,c,d,e,f,g,1)=F_5(a,b,c,d,e,f,g)
F_6(a,b,c,d,e,f,g,h)=F_6(a,b,c,d,e,f,F_6(a,b,c,d,e,f,g-1,h),h-1)

>>463-465を訂正

×　F_0(a,1)=1
×　F_1(a,1,c)=1
×　F_2(a,1,c,d)=1
×　F_3(a,1,c,d,e)=1
×　F_4(a,1,c,d,e,f)=1
×　F_5(a,1,c,d,e,f,g)=1
×　F_6(a,1,c,d,e,f,g,h)=1

○　F_0(a,1)=a
○　F_1(a,1,c)=a
○　F_2(a,1,c,d)=a
○　F_3(a,1,c,d,e)=a
○　F_4(a,1,c,d,e,f)=a
○　F_5(a,1,c,d,e,f,g)=a
○　F_6(a,1,c,d,e,f,g,h)=a

>>463-466
　463で考え方は間違ってません。しかし、Ｆ［ω］（ｎ）の名前はフィッシュ関数
ではなくＨａｒｄｙ関数関数です。それと、>>454で僕の間違っていましたが
Ｈａｒｄｙ関数と大きさを比較する場合＝ではなく≒を使用します。
×ａ［ｍ］ｎ＝Ｆ［ω］（ｎ）
○ａ［ｍ］ｎ≒Ｆ［ω］（ｎ）
あと僕の勘違いで>>454のａ［…ｍ_ｌ、0］ｎ＝ａ［…ｍ_（ｌ-1）］ｎは必要
なかったですね、すいません。
ところで>>463のＦ_1（ａ、ｂ、ｃ）＝Ｆ_0（ａ、ｂ）は
Ｆ_1（ａ、ｂ、1）＝Ｆ_0（ａ、ｂ）の間違いですか？

>>467
早速と丁寧な御対応ありがとうございます。

Ｆ［ω］（ｎ）は、Ｈａｒｄｙ関数と言うのですね。
了解しました。

比較の書式も「≒」を使うのですね。
了解しました。たしかに関数の値を比較しているわけじゃないですもんね。

>>454の件につきましては当方が混乱する書き方をしたので気にしないでください。

>>463につきましてその通りです。すみませんでした。
まだ、記述ミスが残っていたんですね。
不要と思いますが一応訂正を下記に描いておきます。

×　F_1(a,b,c)=F_0(a,b)

○　F_1(a,b,1)=F_0(a,b)

よろしくお願いいたします。

もしかしたら>>463-466,468の定義は
次の定義だけでことたりたのかなと今更ながらに思っています。

F_0(a,1)=a
F_0(a,b)=a+F_0(a,b-1)
G_m(a,b,1)=F_[m-1](a,b)
G_m(a,b,c)=G_m(a,G_m(a,b-1,c),c-1)
F_m(a,b)=G_m(a,b,b)

>>469は、こうやって拡張できますね。

基本
F_0(a,1)=a
F_0(a,b)=a+F_0(a,b-1)
A_m(a,b,1)=F_[m-1](a,b)
A_m(a,b,c)=A_m(a,A_m(a,b-1,c),c-1)
F_m(a,b)=A_m(a,b,b)

拡張1
F_0(a,1)=a
F_0(a,b)=a+F_0(a,b-1)
A_m(a,b,1)=F_[m-1](a,b)
A_m(a,b,c)=A_m(a,A_m(a,b-1,c),c-1)
B_m(a,b)=A_m(a,b,b)
B_m(a,b,c)=B_m(a,B_m(a,b-1,c),c-1)
F_m(a,b)=B_m(a,b,b)

拡張2
F_0(a,1)=a
F_0(a,b)=a+F_0(a,b-1)
A_m(a,b,1)=F_[m-1](a,b)
A_m(a,b,c)=A_m(a,A_m(a,b-1,c),c-1)
B_m(a,b)=A_m(a,b,b)
B_m(a,b,c)=B_m(a,B_m(a,b-1,c),c-1)
C_m(a,b)=B_m(a,b,b)
C_m(a,b,c)=C_m(a,C_m(a,b-1,c),c-1)
F_m(a,b)=C_m(a,b,b)

>>470は、定義の記述を訂正

拡張1
×　B_m(a,b)=A_m(a,b,b)

○　B_m(a,b,1)=A_m(a,b,b)


拡張2
×　B_m(a,b)=A_m(a,b,b)
×　C_m(a,b)=B_m(a,b,b)

○　B_m(a,b,1)=A_m(a,b,b)
○　C_m(a,b,1)=B_m(a,b,b)

>>470
Ａ_ｍ（ａ、1、Ｃ）＝ａで計算して良いのですか？
その場合だと基本バージョンで
Ｆ_ｎ（ａ、ｂ）≒Ｆ［ω＾2］（ｎ）
の二重帰納関数になりますね。

拡張バージョンについては、残念ながらあまり拡張しませんね。
基本バージョンより次の式が成り立ちます。
Ａ_（ｎ+1）（ａ、ｂ、1）＝Ａ_ｎ（ａ、ｂ、ｂ）
したがって拡張1バージョンは
Ａ_（ｎ*2）（ａ、ｂ、1）＝Ｂ_ｎ（ａ、ｂ、1）
拡張2バージョンは
Ａ_（ｎ*3）（ａ、ｂ、1）＝Ｃ_ｎ（ａ、ｂ、1）
となり拡張2バージョンでも
Ｆ_ｎ（ａ、ｂ）≒Ｆ［ω*（ω*3）］（ｎ）＝Ｆ［ω＾2］（ｎ）
の二重帰納関数になりますね。

>>472
Ａ_ｍ（ａ、1、Ｃ）＝ａの件は、そのとおりです。

拡張バージョンはショボイですねw

F(a,1,c,d)=a
F(a,b,1,d)=a+F(a,b-1,1)
F(a,b,c,1)=F(a,b-1,F(a,b,c-1,1),1)
F(a,b,c,d)=F(a,F(a,b,c,d-1),c-1,F(a,b,c,d-1)))

ん〜、だめだ、出直してきます。

どうも。438です。
びっくりするほど時代の流れに乗り遅れましたが巨大数探索スレッドのどこかにあった
T[a]を見てこれだと思いCKの拡張をしてみました。一応多重リストの段階まできたのですが
あっているか非常に心配ですので初歩からやっていきます

a〜z:0以上の後続順序数
A〜Z:0以上の極限順序数
x:自由変数

CK[0]=0
CK[a+1]=CK[a]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[A]=lim CK[A_n]
CK[(x),0]=0
CK[(n+1),a+1]=CK[(n+1),a]と関数CK[(n),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(n),A]=lim CK[(n),A_n]
CK[(N),a]=lim CK[(N_n),a]

問題点の指摘をお願いします

また、
CK[0]=0
CK[1]=1
CK[2]=ω
CK[3]=Ω
でよろしいのでしょうか。非常に気になります
また後日

また書き込む気になってきました。

γ:0個以上の0以上の多変数順序数リスト
γγ:0個以上の0以上の二重リスト順序数リスト
γγγ:0個以上の0以上の多重リスト順序数リスト

CK[(γ),0]=0
CK[(0,γ),a]=CK[(γ),a]
CK[(γ,n+1,□),a+1]=CK[(γ,n+1,□),a]と関数CK[(γ,n,x,x,…x,x),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γ),A]=lim CK[(γ),A_n]
CK[(γ,N,□),a]=lim CK[(γ,N_n,□),a]

巨大数のスレはここで終わる気がしてます…

俺はよく理解してないけど、論理的な解析はかなり進んでるみたいね。
もうちょっとゲームのルールを厳密にすればまだ遊べるんじゃないかとおもっている。
たとえばこんな感じ。

次のようなプログラム言語で最も大きい数字を定義したものが勝ちとする。

言語仕様
１．基本文法はCommon Lispとする
２．使っていいアトムは０と１とnilとtとユーザが定義したもののみ
３．使っていい基本関数は以下
　　= /= < > <= >= car cdr cons eq atom if defun setq

プログラムに使用したリテラルの数によって階級を定め、その中で勝ち負けをきめるとかすれば楽しめそう。
上のルールは不備があるかもしれないけどそのときは適宜修正していくということで。

しまった。あと基本関数に+と-を追加して。

それだと計算可能関数を超えることは出来ないと思うんだけど。

もちろん計算可能関数は超えられないけど、
どれだけBBに近づけるかってのもこのスレの一つのテーマとしてありでしょ。

また来たようです

CK[((0),(n+1)),a+1]=CK[((0),(n+1)),a]と関数CK[((x,x,…任意個…x,x),(n)),]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[((γ,n+1,□),(m)),a+1]=CK[((γ,n+1,□),(m)),a]と関数CK[((γ,n,x,x,…x,x),(m)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[((γ),(m)),A]=lim CK[((γ),(m)),A_n]
CK[((γ,N,□),(m)),a]=lim CK[((γ,N_n,□),(m)),a]
CK[((γ),(M)),a]=lim CK[((γ),(M_n)),a]
CK[((γ),(m,n)),0]=0
CK[((γ),(0,n)),a]=CK[((γ),(n)),a]
CK[((γ),(m+1,0)),a+1]=CK[((γ),(m+1,0)),a]と関数CK[((γ),(m,x)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[((γ),(m,n+1)),a+1]=CK[((γ),(m,n+1)),a]と関数CK[((γ),(m,n)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[((γ),(m,n)),A]=lim CK[((γ),(m,n)),A_n]
CK[((γ),(m,N)),a]=lim CK[((γ),(m,N_n)),a]
CK[((γ),(M,n)),a]=lim CK[((γ),(M_n,n)),a]
CK[((γ),(γ,n+1,□)),a+1]=CK[((γ),(γ,n+1,□)),a]と関数CK[((γ),(γ,n,x,x,…x,x)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[((γ),(γ),A]=lim CK[((γ),(γ)),A_n]
CK[((γ),(γ,N,□),a]=lim CK[((γ),(γ,N_n,□)),a]

>>480　
ＣＫ［Ｘ］はたろう氏のまとめにあるＣＯ（Ｘ）に似ているきがしますが、
全く別の定義なんでしょうか？

>>481
元はChurch-Kleene oridinal です。
元の定義は、
CK[0] = 0
CK[a+1]：CK[a] と帰納的定義で作れない最小の順序数
CK[A]：limit CK[A_n]
ですね。

またこうも書かれています
＞CK[a] と帰納的定義をある表現でn文字で行い、
＞その中で得られる最大の順序数を S_n としたとき、
＞CK[a+1] = limit S_n とします。

これは7-539のたろう氏の書き込みからのコピペです。
たろう氏はこのような拡張を考えているようです。

＞CK[順序数たち、順序数たちから順序数への写像たち] =
＞　「順序数たち、順序数たちから順序数への写像たち、帰納的定義」で作れない最小の順序数
＞　　（収束列は、『「順序数、順序数から順序数への写像、帰納的定義」を
＞　　　n文字で表現した時に得られる最大の順序数』）
＞
＞とし、「このCKと帰納的定義」で作れない最小の順序数
＞を考えれば、
＞
＞＞多変数化、Ωの導入、C0からC1に拡張したときのような拡張.....
＞＞などでさらに大きくすることが出来ます。
＞
＞こんな原始的なことをしなくてもずっと大きくなりますね。
＞
＞なんかだんだん言葉遊びみたいになってきた。
議論と定義を見る限りC_0(x)とは違うようですね。

>>482
回答サンクス。確かに違う定義ですね。

あ、すいませんこれお願いします
CK[(γγ,(γ),(m)),0]=0
CK[(γγ,(γ),(0)),a]=CK[(γγ,(γ)),a]
CK[(γγ,(0),(n+1)),a+1]=CK[(γγ,(0),(n+1)),a]と関数CK[(γγ,(x,x,…任意個…x,x),(n)),]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γγ,(γ,n+1,□),(m)),a+1]=CK[(γγ,(γ,n+1,□),(m)),a]と関数CK[(γγ,(γ,n,x,x,…x,x),(m)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γγ,(γ),(m)),A]=lim CK[(γγ,(γ),(m)),A_n]
CK[(γγ,(γ,N,□),(m)),a]=lim CK[(γγ,(γ,N_n,□),(m)),a]
CK[(γγ,(γ),(M)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(M_n)),a]
CK[(γγ,(γ),(m,n)),0]=0
CK[(γγ,(γ),(0,n)),a]=CK[(γγ,(γ),(n)),a]
CK[(γγ,(γ),(m+1,0)),a+1]=CK[(γγ,(γ),(m+1,0)),a]と関数CK[(γγ,(γ),(m,x)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γγ,(γ),(m,n+1)),a+1]=CK[(γγ,(γ),(m,n+1)),a]と関数CK[(γγ,(γ),(m,n)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γγ,(γ),(m,n)),A]=lim CK[(γγ,(γ),(m,n)),A_n]
CK[(γγ,(γ),(m,N)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(m,N_n)),a]
CK[(γγ,(γ),(M,n)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(M_n,n)),a]
CK[(γγ,(γ),(γ,n+1,□)),a+1]=CK[γγ,((γ),(γ,n+1,□)),a]と関数CK[(γγ,(γ),(γ,n,x,x,…x,x)),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[(γγ,(γ),(γ)),A]=lim CK[(γγ,(γ),(γ)),A_n]
CK[(γγ,(γ),(γ,N,□)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(γ,N_n,□)),a]
ここまできました。
3重リスト以上の定義は省略させていただきます。
CK[(γγγ,((((…(((0)))…)))(((…(((n+1)))…)))),a+1]=CK[(γγγ,((((…(((0)))…)))(((…(((n+1)))…)))),a]と関数CK[(γγγ,((((…(((x,x,…任意個…x,x),…任意個…(x,x,…任意個…x,x)…)))(((…(((n)))…)))),x]と帰納的定義で表せない最小の順序数

目がチカチカするｗ

時間が取れました。
CK[[]0[]][(γγγ),a]=CK[(γγγ),a]
CK[[]n+1[]][0]=0
CK[[]n+1[]][a+1]=CK[[]n+1[]][a]と関数CK[[]n[]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
このあたりで止めてます。
これより上も作ろうと思えば作れるのですが作ってません。

>>485
うわぁぁぁぁ目がぁぁぁぁ

ちょっと前にまた作り始めました。
現在だらだらと進行中です。
一週間レスなしは防ぎたいのでレスしました。

結局のところ巨大数の本質ってなんなのさ。

発散のスピードってことでは？

発散の効率だと思われます。

>>431のマダ・アルカ数の拡張の良いアイデアがでないので
>>207をマダ・アルカの形まで拡張してみました
まずはおさらいから。

（ノドス数）
ｎ字の最大数の定義をｎ字以内で表記または定義できる
計算可能な最大自然数とする
ただし、+-*/＾！は無定義で使用可能とし、＾は後から計算する。
『ｎ』＝『ｎ-1』字の最大数　※nは自然数
『5』をノドス数と命名（207で命名してなかったので命名しました）

（ノドス狂乱数）
『ｎ』・0＝『ｎ』
『ｎ』・1＝ｆ＾ｎ（ｎ）　　ｆ（ｎ）＝『ｎ』・0
『ｎ』・2＝ｆ＾ｎ（ｎ）　　ｆ（ｎ）＝『ｎ』・1
『ｎ』・ａ＝ｆ＾ｎ（ｎ）　　ｆ（ｎ）＝『ｎ』・（ａ-1）
ａ、ｎは自然数
‘『ｎ』’＝ｆ＾（ｆ（ｎ））（ｎ）　　ｆ（ｎ）＝『ｎ』・ｎ
‘『1』’を狂乱数と命名

（マダ・アルカ狂乱数）
ａ‘【†】’ｎ＝『ａ』・ｎ
と定義すればマダ・アルカ数の同様の拡張が可能になる。
9‘【9・†】’9をマダ・アルカ狂乱数と命名

（アス・アルカオメガ）
ω‘【ω・†】’ω＜ωであるので、ノドス数の定義を少し変交
最大数の定義をベリーのパラドックスを起こさないでｎ文字で表記または、
定義出来る最大の超限順序数とし
“『0』”＝ω
“『ｎ』”＝“『ｎ-1』”の最大数
“『ｎ』”・0＝“『ｎ』”
“『ｎ』”・ａ＝ｆ＾ｎ（ｎ）　　ｆ（ｎ）＝“『ｎ』”・（ａ-1）
ａ“【†】”ｎ＝“『ａ』”・ｎ
ａ“【†】”ｎ＝“『ａ』”・ｎ
ａ、ｎは自然数
と定義しマダ・アルカまで拡張する。そして
ω“【ω・†】”ωをアス・アルカオメガと命名

京の京乗

恒河砂の恒河砂乗

もっともっと、根源的な解釈が欲しい。
大きいとは何か、小さいとは何か、近いとは何か、遠いとは何か、
スピードとは何か、効率とは何か
そういったもの全部ひっくるめて統一的に扱おうとしたとき、
一番根源のところまで降りていくと何があるのか知りたい。

最初は計算の記述を省略できるだけ省略して簡単に大きくしようとしてたんだろ。
今は関数の間の順序付けを省略して関数自体を大きくしようとしてるんだろ。
じゃあ次はアルゴリズムに順序づけするんじゃね？
アルゴリズムのメタ概念は、俺は知らない。

報告状況
CK[[]N[]][(γγγ),a]=lim CK[[]N_n[]][(γγγ),a]
CK[[]m,n[]][0]=0
CK[[]0,n[]][(γγγ)]=CK[[]n[]][(γγγ)]
CK[[]m+1,0[]][a+1]=CK[[]m+1,0[]][a]と関数CK[[]m,x[]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[]m,n+1[]][a+1]=CK[[]m,n+1[]][a]と関数CK[[]m,n[]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[]M,0[]][(γγγ),a]=lim CK[[]M_n,0[]][(γγγ),a]
CK[[]m,N[]][(γγγ),a]=lim CK[[]m,N_n[]][(γγγ),a]
CK[[]γ[]][0]=0
CK[[]0,γ[]][(γγγ),a]=CK[[]γ[]][(γγγ),a]
CK[[]γ,n+1,□[]][a+1]=CK[[]γ,n+1,□[]][a]と関数CK[[]γ,n,x,x,…x,x[]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[]γ,N,□[]][(γγγ),a]=lim CK[[]γ,N_n,□[]][(γγγ),a]
CK[[][[]γ[]],[[]m[]][]][0]=0
CK[[][[]γ[]],[[]0[]][]][(γγγ),a]=CK[[]γ[]][(γγγ),a]
CK[[][[]0[]],[[]m[]][]][a+1]=CK[[][[]0[]],[[]m+1[]][]][a]と関数CK[[][[](任意)[]],[[]m[]][]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[][[]γ,N,□[]],[[]m[]][]][(γγγ),a]=lim CK[[][[]γ,N_n,□[]][[]m[]][]][(γγγ),a]
CK[[][[]γ[]],[[]M[]][]][(γγγ),a]=lim CK[[][[]γ[]][[]M_n[]][]][(γγγ),a]
CK[[][[]γ[]],[[]m,n[]][]][0]=0
CK[[][[]γ[]],[[]0,n[]][]][(γγγ),a]=CK[[][[]γ[]],[[]n[]][]][(γγγ),a]
CK[[][[]γ[]],[[]m+1,0[]][]][a+1]=CK[[][[]γ[]],[[]m+1,0[]][]][a]と関数CK[[][[]γ[]],[[]m,x[]][]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[][[]γ[]],[[]m,n+1[]][]][a+1]=CK[[][[]γ[]],[[]m,n+1[]][]][a]と関数CK[[][[]γ[]],[[]m,n[]][]][(任意)]と帰納的定義で表せない最小の順序数
CK[[][[]γ[]],[[]m,N[]][]][(γγγ),a]=lim CK[[][[]γ[]],[[]m,N_n[]][]][(γγγ),a]
CK[[][[]γ[]],[[]M,0[]][]][(γγγ),a]=lim CK[[][[]γ[]],[[]M_n,0[]][]][(γγγ),a]
また、ミスを発見しました。
×CK[((γ),(M,0)),a]=lim CK[((γ),(M_n,0)),a]
○CK[((γ),(M,0)),a]=lim CK[((γ),(M_n,0)),a]
×CK[(γγ,(γ),(M,0)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(M_n,0)),a]
○CK[(γγ,(γ),(M,0)),a]=lim CK[(γγ,(γ),(M_n,0)),a]
このスレは少し活気付いたようですね。こちらとしては何よりです。

>>496
ふと思ったんだけどそういう手続きっていくらでもできるんだろうか？
1→高速増加手続き→x:手続きα
├────────┘
α→高速増加手続き→αx:手続きβ
├────────┘
β→高速増加手続き→βx:手続きγ　　　　　　（→手続きA）
├────────┘
・・・
├────────┘
ζ→高速増加手続き→ζx

上の一連の手続きも入れ子的に繰り返すことができてしまう・・・？

いくらでも入れ子にできるからってそれで限界まで達せられるとは限らないんだぜ？
多項式をいくら重ねても指数関数に及ばないように。

なるほど、いくら手続きを一般化したからと言って所詮機械的な
やり方だけだと大仏の手のひらからは抜け出せないか

・・・数学大仏の手のひらから人間は抜け出せる？

最大の有限は超えられない

そんな自然数論もあるけどややこしい

>>492訂正
ד『ｎ』”＝“『ｎ-1』”の最大数
○“『ｎ』”＝“『ｎ-1』”文字の最大数

ＣＫ［ｎ］と“『ｎ』”を比較した場合
ＣＫ［3］≒“『1』”になると思われるが、
ＣＫ［4］≒“『2』”になるかは結論がでないかも？
もっと小さい数で表現すらなら
ε_0と加算と帰納的定義で表せない最小の順序数と
ε_0文字で定義できる最大の超限順序数の大きさの
比較をするようなもんですからね。
（もしかしたら数学界では結論が出たるかな？）

>>491
それ、王道ですよね。
短レススマソ

明けましておめでとうございます。
>>503
増加度にさほど違いは無いかと思われますが…
マダ・アルカ狂乱グラハム数も作ってみては？

ファッカーマン関数を定義してみた

Fck(1)=1
Fck(a)=Fck(a-1)+1

Fck(a,1)=Fck(a)
Fck(1,b)=Fck(b)
Fck(a,b)=Fck(a-1,b)+Fck(b)

Fck(a,b,1)=Fck(a,b)
Fck(a,1,c)=Fck(a,c)
Fck(1,b,c)=Fck(b,c)
Fck(a,b,c)=A
　A=Fck(a-1,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C)
　C=Fck(a,b,c-1)

Fck(a,b,c,1)=Fck(a,b,c)
Fck(a,b,1,d)=Fck(a,b,d)
Fck(a,1,c,d)=Fck(a,c,d)
Fck(1,b,c,d)=Fck(b,c,d)
Fck(a,b,c,d)=A
　Fck(a-1,B,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C,C)
　C=Fck(a,b,c-1,D)
　D=Fck(a,b,c,d-1)

>>506の続き

Fck(a,b,c,d,1)=Fck(a,b,c,d)
Fck(a,b,c,1,e)=Fck(a,b,c,e)
Fck(a,b,1,d,e)=Fck(a,b,d,e)
Fck(a,1,c,d,e)=Fck(a,c,d,e)
Fck(1,b,c,d,e)=Fck(b,c,d,e)
Fck(a,b,c,d,e)=A
　A=Fck(a-1,B,B,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C,C,C)
　C=Fck(a,b,c-1,D,D)
　D=Fck(a,b,c,d-1,E)
　E=Fck(a,b,c,d,e-1)

Fck(a_1,a_2,...,a_[n-1],a_n)=A_1
　A_1=Fck(a_1-1,A_2,...[A_2がn-1個]...,A_2)
　A_2=Fck(a_1,a_2-1,A_3,...[A_3がn-2個]...,A_3)
　A_3=Fck(a_1,a_2,a_3-1,A_4,...[A_4がn-3個]...,A_4)
...
　A_[n-1]=Fck(a_1,a_2,...a_[n-1]-1,A_n)
　A_n=Fck(a_1,a_2,...a_[n-1],a_n-1)
ただし、任意のパラメータが1の場合はパラメータが1個少ないFck関数を適用する。

Fucker(a,n)=Fck(a,...[aがn個]...,a)

ファック（犯す）
につながりますが、その点は？
あ、後で計算してきます
（今だ、バトンタッチ！）

ファック、ファック、そこにファック♪
あ〜な〜た〜か〜ら〜、ファック！

という歌を思い出してしまった。

>>508
計算よろしくお願いいたします。

新しい巨大関数を再定義できる新ファッカーマン関数を考えてみた。

【Fck[新ファッカーマン]関数の定義】
Fck(1)=1
Fck(a)=Seed(A,A)
　A=Fck(a-1)
　ただし、Seedは、母体関数に代入された種関数

Fck(a,1)=Fck(a)
Fck(1,b)=Fck(b)
Fck(a,b)=Seed(A,A)
　A=Fck(a-1,B)
　B=Fck(a,b-1)
　ただし、Seedは、母体関数に代入された種関数

Fck(a,b,1)=Fck(a,b)
Fck(a,1,c)=Fck(a,c)
Fck(1,b,c)=Fck(b,c)
Fck(a,b,c)=Seed(A,A)
　A=Fck(a-1,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C)
　C=Fck(a,b,c-1)
　ただし、Seedは、母体関数に代入された種関数

>>510の続き

Fck(a,b,c,1)=Fck(a,b,c)
Fck(a,b,1,d)=Fck(a,b,d)
Fck(a,1,c,d)=Fck(a,c,d)
Fck(1,b,c,d)=Fck(b,c,d)
Fck(a,b,c,d)=Seed(A,A)
　A=Fck(a-1,B,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C,C)
　C=Fck(a,b,c-1,D)
　D=Fck(a,b,c,d-1)
　ただし、Seedは、母体関数に代入された種関数

以下、上記ルールを一般化
Fck(a_1,a_2,...,a_[n-1],a_n)=Seed(A_1,A_1)
　A_1=Fck(a_1-1,A_2,...[A_2がn-1個]...,A_2)
　A_2=Fck(a_1,a_2-1,A_3,...[A_3がn-2個]...,A_3)
　A_3=Fck(a_1,a_2,a_3-1,A_4,...[A_4がn-3個]...,A_4)
　...
　A_[n-2]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-3],a_[n-2]-1,A_n,A_n)
　A_[n-1]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-2],a_[n-1]-1,A_n)
　A_n=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-1],a_n-1)
　上記においてFckは、a_1,a_2,...,a_[n-1],a_nのパラメータ数に応じてFckの定義が決定される。
　ただし、a_1,a_2,...,a_[n-1],a_nの内、1の値をもったパラメータがある場合
　パラメータが１つ少ないFckの定義が適用される。
　また、Seedは、母体関数に代入された種関数

>>510-511の続き

【母体関数[Mather]の定義】
Mather(Seed,a,n)=Fck(a,...[aがn個]...,a)

【種関数[Seed]の定義】
Seed(a,n)=a*n

【種関数[Seed]と母体関数[Mather]で子関数[Child]を定義】
Child(a,n)=Mather(Seed,a,n)

以上が基本

【母体関数に子関数を種関数として代入】
MyFatherIsMatherFucker(a,n)=Mather(Child,a,n)

【母体関数に孫関数を種関数として代入】
MyFamilyIsIncest(a,n)=Mather(MyFatherIsMatherFucker,a,n)

>>512訂正

【種関数[Seed]の定義】
×　Seed(a,n)=a*n
○　Seed(a,n)=a+n

>>511
母体関数、というのがよく分かりませんが
SEED(A,A)
とは
A*2
でしょうか、
それとも
旧ファッカーの
Fucker(a,n)=Fck(a,...[aがn個]...,a)
でしょうか。
それと、
＞【母体関数に子関数を種関数として代入】
＞MyFatherIsMatherFucker(a,n)=Mather(Child,a,n)
＞【母体関数に孫関数を種関数として代入】
＞MyFamilyIsIncest(a,n)=Mather(MyFatherIsMatherFucker,a,n)
全く分かりませんでした。
（種関数と値との関係が）

ビジービーバーの7とか8になると
このスレの誰も考え付かなかったような強力な発散の仕組みかも知れないね

>>514
＞母体関数、というのがよく分かりませんが

再定義用の手続きと思ってください。
SEED(A,A)は、最初の種関数の定義からA*2であってます。

母体関数は、パラメータとして一つの手続きと２つの値を受け取る関数だと思っていただいてかまいません。

ただし、「SEED(a,b)」にあたる不部分は、Mather('関数名',x,y)が与えられると
「'関数名'(a,b)」の動きをすると考えてください。

たとえば、>>510の
＞ Fck(a)=Seed(A,A)
＞ A=Fck(a-1)

の部分は、

beki(a,b) = a^b　という関数が定義されている場合

Mather(beki,a,n)が指定されると、定義している手続き中の「Seed」の部分が
「beki」に置き換えられて

　Fck(a)=beki(A,A)
　A=Fck(a-1)

となると思っていただければ幸いです。

>>438
後、余談ですが、ファッカーマンとはアッカーマンと関数と「畜生！この野郎！これでどうだ！」という意味を
掛けて作った名前ですが、>>508で「ファック（犯す）」と指摘されたので
新ファッカーマンの再定義を考えているときに子供が自分の親を犯している見たいになので遊んでみました。

後、種関数が１変数で済みそうなのと、変数に0を適用できるようにした法が綺麗になることにしたので
此処に真ファッカーマン関数を定義し直します。初代ファッカーマンと新ファッカーマンは
忘れてもらってかまいません。

【Seed[種関数]の定義】
FirstSeed(a)=a+1

【Child[子関数]を定義】
Child(a)=Mather(FirstSeed,a)

　※ただし、Mather[母体関数]は、以下で定義している。

【Mather[母体関数]の定義】
Mather(Seed,a)=Fck(a,...[aがa個]...,a)

　※ただし、Fck[真ファッカーマン]は、以下で定義している。
　※また、Matherで受け取るSeed変数により、Fck[真ファッカーマン]の手続き中のSeed関数が置き換えられる。
　※Mather[母体関数]に渡す種関数は、増加関数であり、かつ、0が与えられた場合、1以上の値を返さなければならない。

【Fck[真ファッカーマン]関数の定義】

Fck(0)=Seed(0)
Fck(a)=Seed(A)
　A=Fck(a-1)

Fck(a,0)=Fck(a)
Fck(0,b)=Fck(b)
Fck(a,b)=Seed(A)
　A=Fck(a-1,B)
　B=Fck(a,b-1)

>>518の続き

Fck(a,b,0)=Fck(a,b)
Fck(a,0,c)=Fck(a,c)
Fck(0,b,c)=Fck(b,c)
Fck(a,b,c)=Seed(A)
　A=Fck(a-1,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C)
　C=Fck(a,b,c-1)

Fck(a,b,c,0)=Fck(a,b,c)
Fck(a,b,0,d)=Fck(a,b,d)
Fck(a,0,c,d)=Fck(a,c,d)
Fck(0,b,c,d)=Fck(b,c,d)
Fck(a,b,c,d)=Seed(A)
　A=Fck(a-1,B,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C,C)
　C=Fck(a,b,c-1,D)
　D=Fck(a,b,c,d-1)

Fck(a,b,c,d,0)=Fck(a,b,c,d)
Fck(a,b,c,0,e)=Fck(a,b,c,e)
Fck(a,b,0,d,e)=Fck(a,b,d,e)
Fck(a,0,c,d,e)=Fck(a,c,d,e)
Fck(0,b,c,d,e)=Fck(b,c,d,e)
Fck(a,b,c,d,e)=Seed(A)
　A=Fck(a-1,B,B,B,B)
　B=Fck(a,b-1,C,C,C)
　C=Fck(a,b,c-1,D,D)
　D=Fck(a,b,c,d-1,E)
　E=Fck(a,b,c,d,e-1)

>>519の続き

以下、Fckの上記ルールを一般化

Fck(a_1,a_2,...,a_[n-1],a_n)=Seed(A_1)
　A_1=Fck(a_1-1,A_2,...[A_2がn-1個]...,A_2)
　A_2=Fck(a_1,a_2-1,A_3,...[A_3がn-2個]...,A_3)
　A_3=Fck(a_1,a_2,a_3-1,A_4,...[A_4がn-3個]...,A_4)
　...
　A_[n-2]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-3],a_[n-2]-1,A_n,A_n)
　A_[n-1]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-2],a_[n-1]-1,A_n)
　A_n=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-1],a_n-1)

　※上記においてFckは、a_1,a_2,...,a_[n-1],a_nのパラメータ数に応じてFckの定義が決定される。
　　ただし、a_1,a_2,...,a_[n-1],a_nの内、0の値をもったパラメータがある場合
　　パラメータが１つ少ないFckの定義が適用される。
　※Seed関数は、母体関数[Mather]により引き渡された関数名によって再定義される。

>>520の続き

【上記を踏まえて関数定義を行う】

最初はとりあえずChild関数を計算して発散具合を確認する。

Child関数の発散具合が気に食わなければ母体関数[Mather]を使って
下記の要領で好きに新しい関数を作る。

足し算を種関数とした関数を定義
TasuSeed(a)=a+a+1
TasuChild(a)=Mather(TasuSeed,a)

掛け算を種関数とした関数を定義
SekiSeed(a)=(a+1)*(a+1)
SekiChild(a)=Mather(SekiSeed,a)

ベキ乗を種関数とした関数を定義
BekiSeed(a)=(a+1)^a
BekiChild(a)=Mather(BekiSeed,a)

タワーを種関数とした関数を定義
BekiSeed(a)=(a+1)↑(a+1)
BekiChild(a)=Mather(TowerSeed,a)

Child関数を種関数とした関数を定義
Child(a)=Mather(FirstSeed,a)
NewChild(a)=Mather(Child,a)

という具合に計算可能かつ増大量を好き放題増加できる手続きです。

>>521で訂正

タワーを種関数とした関数を定義
×　BekiSeed(a)=(a+1)↑(a+1)
×　BekiChild(a)=Mather(TowerSeed,a)

タワーを種関数とした関数を定義
○　TowerSeed(a)=(a+1)↑(a+1)
○　TowerSeed(a)=Mather(TowerSeed,a)

>>522でさらに訂正、焦るな俺

×　TowerSeed(a)=Mather(TowerSeed,a)

○　TowerChild(a)=Mather(TowerSeed,a)

>>515
計算可能状態で発散させようと思うと、どうしても再帰計算の繰り返しをパラメータの数を増やすことで
補う事になるのですが、いまいちパラメータ増大は単調で再帰計算ほど発散力にかけるんですよね。
なのでパラメータを増大させること自体が新たな再帰計算を生み出すように考えたのがファッカーマンです。

>>520にも訂正発見

×　A_[n-2]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-3],a_[n-2]-1,A_n,A_n)

○　A_[n-2]=Fck(a_1,a_2,...,a_[n-3],a_[n-2]-1,A_[n-1],A_[n-1])

>>506〜>>507
計算が複雑で僕の力では正確な計算がではあませんが
Fucker(a,n)≒Ｆ［ω＾ω］（Ｆ［ω＾ω］（ｎ））
になると思います。

>>510〜>>512
僕も438氏と一緒で母体関数が良く解りません。仮に
Ｆｕｃｋｅｒ（多変数Ｆｕｃｋｅｒ，…［多変数Ｆｕｃｋｅｒがｎ個］…，多変数Ｆｕｃｋｅｒ）
の様な内容のなら、正確な計算ではないですが、多分
Ｆ［ω＾ω＾2］（Ｆ［ω＾ω＾2］（ｎ））以下の大きさの関数になると思います。

真ファンカーマンについてはｎ番目のＳｅｅｄを使用して
Ｆ［ω＾ω＾ω］（Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ））以下の大きさの関数になると思います。

>>505
御意見サンクス。もう少し細かい疑問ですが
ε_0と加算と帰納的定義で表せない最小の順序数とは
�@ε_0と加算と帰納的定義を使用してω文字で表せない最小の順序数
�Aε_0と加算と帰納的定義を使用してε_0文字で表せない最小の順序数
のどちらになると思われますか？
�@の場合ならＣＫ［4］＜“『2』”
�Aの場合ならＣＫ［4］≒“『2』”
になると思います。
ＣＫ［4］がすでに“『ω』”を含んでいる可能性も捨てきれませんが。

英語話者との情報交換が絶対に不可能な関数名をつけてくれてありがとう

define function Mather(Seed(),a){
　　　　define function Fck(b_1,b_2,b_3,...,b_[n-1],b_n){
　　　　　　　　for i=1 to n {
　　　　　　　　　　　　if b_i=0 then {
　　　　　　　　　　　　　　　　b_i = b_[i+1]
　　　　　　　　　　　　　　　　b_[i+1] = 0
　　　　　　　　　　　　}end if
　　　　　　　　}end for
　　　　　　　　if b_n=0 then {
　　　　　　　　　　　　return Fck(b_1,b_2,b_3,...,b_[n-1])
　　　　　　　　} else {
　　　　　　　　　　　　for j=n to 1 step -1 {
　　　　　　　　　　　　　　　　for k=1 to n {
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　if k<j then {
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　c_k = b_k
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　} else if k=j then {
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　c_k = b_k-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　} else {
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　c_k = X
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　}end if
　　　　　　　　　　　　　　　　}end for
　　　　　　　　　　　　　　　　X = Fck(c_1,c_2,c_3,...,c_n)
　　　　　　　　　　　　}end for
　　　　　　　　　　　　return Seed(X)
　　　　　　　　}end if
　　　　}end define
　　　　for m=1 to a {
　　　　　　　　d_m = a
　　　　}end for
　　　　return Fck(d_1,d_2,d_3,...,d_[a-1],d_a)
}end define

母体関数の概念をうまく説明できないのでプログラム風に定義してみました。

define function Child(a){
　　　　return Mather(FirstSeed(),a)
}end define

define function FirstSeed(a){
　　　　return a+1
}end define

続きは>>528を参照してください。

>>528を見てわかると思うのですが、Matherの定義とFckの定義が入れ子になっていて
Seed関数がMatherに引き渡され、それによりFckの定義が再定義されてオーバーライドされるという感じです。
ただし、Fckは、Mather内で定義されているため、定義の有効範囲は、Mather内のみでしか適用されないというわけです。

>>526
＞ Ｆ［ω＾ω＾ω］（Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ））以下の大きさの関数になると思います。
そこでMatherが生きてくるのです。

>>527
すみません。関数名が下品すぎましたね。
海外の方と情報交換する機会がありましたら適当な関数名に変えてください。

Mother、Mをとったら他人です

>>531
真ファカーマン関数は、。単純に
Ｆk1(n)=多変数AK（多変数AK，…［多変数AKｒがｎ個］…，多変数AK）
ＦK2(n)=多変数FK1（多変数FK1，…［多変数FK1ｒがｎ個］…，多変数FK1）
ＦKm（ｎ）=多変数FKm-1（多変数FKm-1，…［多変数FKm-1がｎ個］…，多変数FKm-1）
※ＡＫはアッカーマン関数、ＦＫｍはｍ番目の母体関数を使用したファッカーマン関数。
と同程度の拡張をすると思ったんですけど。もう一度よく定義を読んでみます。

ちょっと来ない間に相当伸びましたね、このスレ。
実は計算できないのに見栄張ってましたorz
>>526
�@の可能性が高いでしょう。
(気づけよ俺)
>>528
読めませんでしたorz
他のレスで真ファッカーマンの全貌はつかめましたが…

このスレの活動が活発になりました。
ですが旧常連の方々が来てくれる事はなさそうです。

>>455
こんなの見つけた
> 425 ：名刺は切らしておりまして：2009/01/17(土) 09:44:51 ID:9N+K4cfC
> ちょっと計算してもみたんだ。
>
> ここ１年の爆発的なインフレを込みすると、過去３０数年（1983〜）のジンバブエのインフレカーブは
> 指数関数どころではなくて、
> 10^(A^(A^時間[年])) (A=1.1386)
> と
> 10^(B^(B^(B^時間[年]))) (B=1.13675)
> の間(x^yはxのy乗とする)であることが分かった（デノミ前で換算）。
>
> このままインフレが進んだ場合のドル換算レートの将来を予想してみた。
> （より楽観的な前者のカーブを使用）
>
> 2008/9頃 : ジンバブエドル（デノミ前）、宇宙の大きさ[単位m]を超える
> 〜今、ココ〜
> 2009/6頃 : IEEEの短精度浮動小数点でジンバブエ＄(デノミ前)が桁あふれを起こす
> 2010/1頃 : IEEEの短精度浮動小数点でジンバブエ＄(デノミ後)が桁あふれを起こす
> 2010/12頃 : ジンバブエ＄(デノミ前)、宇宙に存在する原子の数を超える
> 2012末 : IEEEの倍精度浮動小数点でジンバブエ＄(デノミ後)が桁あふれを起こす

doubleが桁あふれってｗ

もう一度真ファッカーマンの定義を良く見てみたが
>>533のＦＫｍ（ｎ）とほとんど変わらないと思います。
あとＦＫｍ（ｎ）の大きさの訂正です。計算間違いしてました。
×ＦＫｍ（ｎ）≒Ｆ［ω＾ω＾ω］（Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ））
○ＦＫｍ（ｎ）≒Ｆ［（ω＾ω）*（ｍ+1））］（Ｆ［（ω＾ω）*（ｍ+1）］（ｎ））
途中で二重リストアンカーマンとゴッチャに計算してました。
ｍを多変数アッカーマン関数にしてＦ［ω＾ω＾ω］（ｎ）の大きさですな。

ageます。
ジンバブエはその公式でタイムカプセルが掘り出される6970年には
どうなっていることでしょう。

あ、あれ？
人が…
ま、まあいいや。ageます。
（ここも、来月いっぱいの命かな…）

>>539

いますよ。
有意義な議論を展開できず根暗にＲＯＭってるだけですが・・・

wikiにふぃっしゅ数が載ってる・・・！？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83
ここに載ってる

僕、中学二年生なんですが
アッカーマン関数って何ですか？

>>541
載ってるのは「ふっしゅ数」だ

wikipediaのことをwikiとうんたら

http://ja.wikipedia.org/wiki/アッカーマン関数

4/1ネタはどうするかなあ。
第3スキューズ数をふいっしゅ数の中に発見したとか。

活気が戻ってきてほしいんですけど
グラハム数は分かるんですけど
G(x) := 3↑^x 3, G^64 (4)
アッカーマン関数がよく分かりません
中学生でも分かるように説明して頂けませんか？

>>1のpdfにもあるしwikipediaにもあるし
ぐぐれば結構hitするし

再帰なんてもんじゃない、超再帰。
そんな感じ。

超サイキ人２

>>548
とりあえず自己解決しましたThx
age

次はふっしゅ数の解析に挑戦してみる

f(n) := n×n×nのルービックキューブの全パターン数　と定義する
このとき
f(グラハム数)　を第一ウマウマ数とする

ふぃっしゅ数v1超えたかな

釣りにしても酷い。

こういうのは本質的にはグラハム数と同じだから、
初等的な関数の関数適用は無視できるような
数学的な同値類の取り方があると良いんだけど。

ルート41氏へ

>>251 の
φ2（0）≒ω↑↑↑ω
はどのようにして導くのじゃ？

ω↑↑↑ω = lim ω↑↑↑n
だと思うが、

ω↑↑↑1 = ω
ω↑↑↑2 = ω↑↑ω = ε_0
ω↑↑↑3 = ω↑↑(ω↑↑↑2) = ω↑↑ε_0 = ε_0 ....※1
ω↑↑↑4 = ω↑↑(ω↑↑↑3) = ω↑↑ε_0 = ε_0
ω↑↑↑5 = ω↑↑(ω↑↑↑4) = ω↑↑ε_0 = ε_0
....

なので、
ω↑↑↑ω = ε_0
じゃないか？

※1
ω↑↑(ω+1) = ω^(ω↑↑ω) = ω^ε_0 = ε_0
ω↑↑(ω+2) = ω^(ω↑↑(ω+1)) = ω^ε_0 = ε_0
....
ω↑↑(ω+ω) = lim (ω↑↑(ω+n)) = ε_0
ω↑↑(ω･3) = lim (ω↑↑(ω･2+n)) = ε_0
ω↑↑(ω･4) = lim (ω↑↑(ω･3+n)) = ε_0
....
ω↑↑(ω･ω) = lim ω↑↑(ω･n) = ε_0
ω↑↑(ω^3) = lim (ω↑↑(ω^2･n)) = ε_0
ω↑↑(ω^4) = lim (ω↑↑(ω^3･n)) = ε_0
...
ω↑↑(ω^ω) = lim (ω↑↑(ω^n)) = ε_0
ω↑↑(ω^ω^ω) = lim (ω↑↑(ω^ω^n)) = ε_0
ω↑↑(ω^ω^ω^ω) = lim (ω↑↑(ω^ω^ω^n)) = ε_0
...
ω↑↑ε_0 = ε_0

>>553

nxnxn (n=2k)の組合せ数
= 3674160 × 24!^(k-1) × (24!/4!^6)^(k-1)^2
= O(1) x O(exp(k)) x O(exp(k^2))
= O(exp(k^2))

nxnxn (n=2k+1)の組合せ数
= 43252003274489856000 × 24!^(k-1) × (24!/4!^6)^(k^2-k)
= O(exp(k)) x O(exp(k^2-k))
= O(exp(k^2))

小さい。

>>556
我流のため正しい保障は無いですが、
ω↑↑（ω+1）＝ω↑（ω↑↑ω）
ではなく
ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）
ω↑↑（ω+2）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑（ω+1））
と計算しています。したがって、
ε_1＝ω↑↑（ω*2）
ε_2＝ω↑↑（ω*3）
ε_ω＝ω↑↑（ω↑2）
ε_（ω+1）＝ω↑↑（ω↑2+ω）
ε_（ω*2）＝ω↑↑（ω↑2*2）
ε_（ω↑2）＝ω↑↑（ω↑3）
ε_（ε_0）＝ω↑↑（ω↑↑ω）
φ2（0）＝η_0＝ω↑↑↑ω

>>559
↑^n、→、【↑】、『↑』
これらは自然数上でしか定義されてないように見えるけど、
順序数に拡張した場合の定義は？

>>226 などでも同じような指摘されているけど、
定義域が整数の演算子に定義せずに順序数をぶち込んで、
大きな順序数が自然に出来ると思うのは良くないと思うよ。

完全な定義じゃなくても良いんで、
少なくともどのように定義域を順序数に拡張するかの方針位は書かないと。

> ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）
自然数の場合 a↑↑(b+1) = a↑(a↑↑b) なので、
↑↑の自然な拡張ですらないと思うのだが。

>>207 >>491
「ｎ字以内で表記または定義できる数の内計算可能な最大自然数」
すべてのnに対して最大自然数を求めるアルゴリズムは存在しないので、
この関数は計算可能ではない。
同様なものははるか昔に非常に簡単な言語による厳密な定義がされている。
チューリングマシンで定義されるビジービーバー関数。

>>211
状態数がω個のチューリングマシンの最大ステップ数と定義すると、
状態数がω個の停止するプログラムの最大ステップ数は上限が無いので
（つまり、任意の自然数nに対し、nステップ数で停止するようなプログラムが存在する）
最大値は存在しない。
（つまり、定義するならω）

ＢＢ（ω） = lim BB（n） と定義すれば
ＢＢ（ω） = ω

いずれにしろ、自然な定義は
ＢＢ（ω） = ω ではないか。

>>560色々意見をありがとうございます・
ＢＢ（ω）＝ω
は僕もそうなるとおもいます。結論を出すには他の人の意見も聞いてみたいですが。

『ｎ』についても御意見の通りです。
そもそも日本語か英語かも規定してないですから、あくまで
チューリングマシーンを知らなくても解るように書いた程度のものです。
（>>503のε_0文字の最大順序数なんて実数かもさだかでないですしね）

↑＾ｎ、→、【↑】、【†】に順序数を適用した場合、一つ一つを定義する
と膨大な量になるので必要はないと思います。順序数の基本に従って
いけば、導きだされる答えは決まってくると思いますので。

ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）について。
自然数ならａ↑↑（ｂ+1）＝ａ↑（ａ↑↑ｂ）ですが
順序数を使用した場合ω↑↑（ω+1）＝ω↑（ω↑↑ω）
とはならないと思います。例えば
自然数ならａ*（ａ↑ｂ）＝ａ↑（ｂ+1）＝（ａ↑ｂ）*ａですが
順序数ならω*（ω↑ω）≠ω↑（ω+1）＝（ω↑ω）*ω
となります。また、
自然数では（ｎ↑↑ｎ）↑ｎ＜ｎ↑（ｎ↑↑ｎ）※ｎは3以上の自然数。
順序数では（ω↑↑ω）↑ω＞ω↑（ω↑ω）
となります。ωを使用する場合。弱い関数（演算子）
を前に持ってくるのは適切でないと思います。

僕の考えは次ぎの通りです。例えば
（2↑↑3）↑（2↑↑3）＝（2↑（2↑2））↑（2↑（2↑2））＝2↑（（2↑2）*（2↑（2↑2）））
となります。ここで2をωに置き換えます。
（ω↑↑3）↑（ω↑↑3）＝ω↑（（ω↑ω）*（ω↑（ω↑ω）））
したがって（ω↑↑3）↑（ω↑↑3）＝ω↑（ω↑（ω↑ω））＝ω↑↑（3+1）
更に3もωに置き換えてω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）

基本的に僕は素人ですから、間違いがあればまたご指摘ください。

再帰関数論って確か順序数算術への拡張は結構有名だよね。
そのへんで答えは出てないのかな。

あれ？バード数の

＞X(N)＝X(N-1)(↑X(N-1))[X(N-1)](N-1)　とパワーアップさせて、

って

＞X(N)＝X(N-1)(↑X(N-1))[X(N-1)]X(N-1)　とパワーアップさせて、

じゃないの？

「ω」ってどういう意味？(´・ω・｀)

>>562
> ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）について。
これはどこから出てくるのですか？
↑↑の自然数の場合の定義と順序数の基本に従えば導けるものですか？
それとも、順序数業界では知られている定義なのですか？
それとも、ある条件を仮定すると拡張は一意に決まるのですか？（その条件は？）
それとも、あなたが勝手に決めたもの？

↑↑だけで良いので、定義域を順序数に拡張した場合の定義を書いていただけませんか？

たとえば足し算の場合、
b=0 の場合、a+b = a
b=b'+1 となるb'が存在する場合、a+b = (a+b')+1
それ以外の場合、a+b = sup {a+c | c<b}
　.　.　（特に、d_n<b, b=sup d_n となる列d_nが存在する場合は a+b = sup (a+d_n)
　.　.　（特に、d_n<b, b=lim d_n となる列d_nが存在する場合は a+b = lim (a+d_n)

掛け算は、
b=0 の場合、a*b = 0
b=b'+1 となるb'が存在する場合、a*b = a*b'+a
それ以外の場合、a*b = sup {a*c | c<b}
　.　.　（特に、d_n<b, b=sup d_n となる列d_nが存在する場合は a*b = sup (a*d_n)
　.　.　（特に、d_n<b, b=lim d_n となる列d_nが存在する場合は a*b = lim (a*d_n)

べき乗は、
b=0 の場合、a^b = 1
b=b'+1 となるb'が存在する場合、a^b = a^b'*a
それ以外の場合、a^b = sup {a^c | c<b}
　.　.　（特に、d_n<b, b=sup d_n となる列d_nが存在する場合は a^b = sup (a^d_n)
　.　.　（特に、d_n<b, b=lim d_n となる列d_nが存在する場合は a^b = lim (a^d_n)

のように帰納的定義ができます。

>>430
何をやりたいのかやっと理解できた。
全然定義が足りてない気がする。
（ていうか、この方法の定義は無理がある）

>>436 の変形はそれぞれどの式を使った変形なのか番号を書いてくれないか。
>>430 の定義を無視して
単に順序数の計算を行っているようにしか見えないのだけど。

大変基本的な事で申し訳ないんだけど、
順序数のlimって何？supとは違うの？

>>1 のPDFについて、>>365 >>565 を訂正しました。
指摘有り難うございます。

>>570 このPDFの中では、p.33で

基本列 a1,a2,a3,... の極限順序数αを α = lim(a1, a2, a3, ...)
と表記することにすると

と定義したのですが、supの方がいいですか？
スレッドの中で、このような表記がされていたのでそう書くものかと
思っていました。

>>570
>>86-88

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/ambitious.html
↑このことを言ったんですけどねｗ

今日の授業ｗｗｗ
先生「無量大数は10^68です」
先生「不可説不可説転は10^37218383881977644441306597687849648128です」
みんな「すげーーーーーーーーー！！！！」

お　前　ら　可　愛　い　な　ｗ

いや証明論はあまり詳しくないからアレなんですけど。
手元の本とかを調べたら大体分かりました。

要するにlimってのは順序集合と見たときのlim supのことですね。
「順序数」の定義は載ってるのに「基本列」という言葉の定義が載ってない本がたくさんあるのは
順序数は知らなくても基本列という言葉は当然知っているもの、ということなんでしょう。

ふぃっしゅ数について

＞あらわれていない。したがって、たとえば[3,f(x)=x+1]に
＞このS変換を10回ほど繰り返せば、ゆうに>>161を越える。

数回やってくれませんか？

レスがないな〜・・・
過去ログ探ってみたんだがこれでいいの？

＞S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　(S変換１回目)
＞S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　(S変換２回目)

>>577の文章がちょっと変になってしまった

B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)

【自然数3と関数x+1】が与えられたとき、まずは
　g(3)＝B(3,3)　である。
このB(3,3)は、上記のルールに基づいた計算により、最終的に一つの自然数として表現することが可能である。
式変形を進めると、

B(3,3)＝B(2,B(3,2))
　　　＝B(2,B(2,B(3,1)))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(3,0))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(2,1))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(2,0)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(1,1)))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(1,0))))))
　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,B(0,1))))))

ここでB(0,1)というものが出てきた。ルール　B(0,n)＝f(n)　より、
B(0,1)＝f(1)＝1+1＝2 となるので、上の式は続けて

　　　＝B(2,B(2,B(2,B(1,B(0,2))))))
…
のように進んでいく。S変換によって【自然数B(3,3)と関数B(x,x)】が生み出された。

これを更にS変換する。

S:[3,x+1]→[B(3,3),B(x,x)]　(S変換１回目)
S:[B(3,3),B(x,x)]→[h(B(3,3)),h(x)]　(S変換２回目)

を考えてみましこ。
h(x)というのはS変換２回目で生まれる新しい関数だと思いねぇ。このとき、

C(0,n)=g(n)=B(n,n)
C(m+1,0)=C(m, 1)
C(m+1,n+1)=C(m, C(m+1, n))
h(x)=C(x,x)

という新ルールが同時に発生する模様。C(n,n)ってのはB(n,n)とは別もの。
なぜなら　B(0,n)=n+1　であるのに対し、C(0,n)=B(n,n)　だからです。

んー分からん。

以下の順に理解していくと良い。

クヌースの矢印表記
コンウェイのチェーン表記
多変数アッカーマン関数
ハーディー関数
カントールの標準形
ベブレン関数
ビジービーバー関数

ふぃっしゅ数みたいな超ローカル数は後回し。

>>577-579は撤回で。
[1,x+1]にS変換→[3,B(x,x)]
[3,B(x,x)]にS変換→[g(3),g(x)]
こうか？んーわからん。

○クヌースの矢印表記
○コンウェイのチェーン表記
△（多変数？）多変数アッカーマン関数
×ハーディー関数
×カントールの標準形
×ベブレン関数
×ビジービーバー関数

○グラハム数
○バード数

その○△×って何？

>>582
○＝分かる
△＝多変数ってなに？
×＝わからん

�@B(0,n)=f(n)
�AB(m+1,0)=B(m, 1)
�BB(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
�Cg(x)=B(x,x)
�DS:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]

[3,x+1]にS変換

まず自然数
3 = g(3) = B(3,3)

次に関数
・・・分からない

むぅむぅ

>>567忙しくて返答が遅れた申し訳ない。
ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）
は自然数の場合の定義と順序数の基本に従って導いた式です。
>>563で導き方は書いてますが、納得がいかないという事でしょうか。
ω↑↑ωより大きい順序数は基本に従っていけば、順番に
ω↑↑ω+1、（ω↑↑ω）*2、（ω↑↑ω）↑2
（ω↑↑ω）↑↑2、（ω↑↑ω）↑↑ω
と導き出せます。これ以上大きな数は、
ω↑↑（ω+1）と（ω↑↑ω）↑ωの大きさの比較をしておかないと
（　）↑↑ωを表記可能な限りつけていくことしか出来ません。
そこでまずω↑↑（ｎ+1）と（ω↑↑ｎ）↑ωを比較してみましょう
（ω↑↑ｎ）↑ω＝ω↑（ω↑↑（ｎ-1）*ω）
ここでｎに4と5を代入して考えてみましょう
ω↑（ω↑↑（4-1）*ω）＝ω↑（ω↑（（ω↑ω）+1））
ω↑（ω↑↑（5-1）*ω）＝ω↑（ω↑（（ω↑（ω↑ω））+1））
となり、ｎが大きくなるほどω↑↑（ｎ+1）の値と離れていきます。
従ってω↑↑（ｎ+1）＞（ω↑↑ｎ）↑ωとなります。
そこで>>563の3を定数ｎで表して考えてみます
（ω↑↑ｎ）↑（ω↑↑ｎ）
　＝ω↑（（ω↑↑（ｎ-1））*（ω↑↑ｎ）））
　＝ω↑（ω↑↑ｎ）
　＝ω↑（ｎ+1）
この場合はｎをωまで大きくしても成り立ちます。
同様の方法で
ω↑↑（ω+2）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑（ω+1））
ω↑↑（ω+ｎ）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑（ω+ｎ-1））
ω↑↑（ω*2）＝（ω↑↑ω）↑↑ω
と導けます。この方法と>>559の考えで
φω（0）＝ω→ω→ωまで導けます。

>>569こちらも返答が遅れて申し訳ない。
まず>>430の方法での定義では無理があるとの事ですが、
全くその通りです。数学的にはもっと適切な定義をするべき
でしょうが、僕の実力では430が限界です。
>>436は一応>>430に従って計算しています。
【†】は順序数に対応した変換を基に考えています
が、順序数そのもの物ではないため計算が必ずしも
一緒ではありません。
少し長くなりますが、>>430と>>436の対応を書きます。

　　3【†（↑＾2）†】2＝3【†↑↑†】2＝3【†↑↑2】3
これはa【†”（↑＾c）†】ｎ＝a【（†”（↑＾c）ｎ】ａ　の定義が抜けてました。

　3【†↑↑2】3＝3【†↑（†↑†）】3
これは計算間違いをしてますね、正しくは�Hを使って
　3【†↑↑2】3＝3【†↑†】3
になりますね。

　3【†↑（†↑3）】3　＝3【†↑（†↑2*†）】3
これは定義に書いてませんでしたが、（　）内は先に計算します。
従って†↑3を�Gを使って計算します。

　3【†↑（†↑2*†）】3＝3【†↑（†↑2*3）】3＝3【†↑（†↑2*2+†↑2）】3
これも（　）内を先に�Fを使用しています。†↑2が†”にあたります。

　3【†↑（†↑2*2+†↑2）】3＝3【†↑（†↑2*2+†*†）】3
これは（　）の右の式†＾2を�Gを使用して計算します。
演算子は右から計算するが適用しているわけです。

そして
そして3【†↑（†↑2*2+…何種類もの†…+†）】3
の形になったら�Eを使用して
3【†↑（†↑2*2+…何種類もの†…+3）】3
3【†↑（†↑2*2+…何種類もの†…+2+1）】3
となります。ここで今度は>>436で追加した
ａ【†”↑（†”+1）】ｎ＝ａ【†”↑†”*†】ｎ
を適用します。†↑2*2+…何種類もの†…+2が†”にあたります。

>>430の定義は欠陥多すぎましたね。再検討したいと思います。

巨大数がどうとか言う以前にもうちょっと
数学的な議論の仕方、きちんとした定義の仕方、数学の文章の書き方を
理解したほうが良いんじゃないだろうか。

知識の多寡の問題じゃないから
大学一年生でも分かってる奴は分かってるような話なので。

>>585

bが順序数の場合のa↑↑bの定義は、
このスレにも >>1 のリンク先にも書かれていないし、
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
にも定義されていない。
mathworld によると、
Mathematicaでもa↑↑nはnが自然数の場合しか定義されていないらしい。

定義が無いのだから
ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）
を導けるわけがないと思うのだが。

>>563 や >>585 では

nが自然数の場合は
ω↑↑(n+1) = (ω↑↑n)↑(ω↑↑n)
だから、
ω↑↑(ω+1) = (ω↑↑ω)↑(ω↑↑ω)
と ルート41氏 が勝手に決めました

というように見える。

だめだ…レスが多すぎてとても読めない…
ところで、過去ログからルート41氏の
＞考えてる途中にＮ＝1なら1　Ｎ＝2なら22　Ｎ＝3なら333×333　Ｎ＝4なら4444＾4444
＞にしないといけないかと思ったくらいですから。
＞（見た目が面白いので1.22.333となる関数を作ろうとしているんですが上手くいかないですね。）
こんなレスを見つけたのですが、
後者は
[x]=xを超えない最大の整数
として
f(x)=x(10^x[log10(x)]-1/10^[log10(x)]-1),
前者は
x=2 g(x)=22
x≠2 g(x)=hyper(f(x),x-1,f(x))
でしょうか。
流れに乗りたいのは山々ですが、時間がとりにくいもので…

>>589
ω↑↑ω以降の順序数については僕が、このスレに来る前から
既に議論されています。6-483や7-927も
ω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）
ω↑↑（ω*2）＝（ω↑↑ω）↑↑ω
と同じ計算をしています。（僕自身は独自に計算して同じ値になりました。）
>>589の意見はｎが自然数の時ω↑（ｎ+1）＝（ω↑↑ｎ）↑（ω↑↑ｎ）
が成り立つ。この時
ω↑↑（ｎ+1）はω↑↑（ω+1）に収束する基本列
（ω↑↑ｎ）↑（ω↑↑ｎ）は（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）に収束する基本列
だからω↑↑（ω+1）＝（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）になる
は論理の飛躍だという事でしょうか？
そうであればｎがどんな条件の時に式が成り立たないか具体例を書いて
くれないだろうか。
ω↑↑↑ω以降については他に計算した人がこのスレにいないため
僕が計算した式が他者によって検証も反証もされていません。
この事は何度も書いています。
（φｎ（ｍ）に比べて効率が悪いので相手にしてないだけかもしれないが）

>>590
前者は数学的になんの意味もありません。タワーや
チィーンすら理解してない時に書いたスレですから。
この時思った事は、次のような事です
人間は大きな数を作るのに+、×、↑と考えてきました。
しかし、それ以前に大きな数を作るのに桁（10進法）
を使用してきた。それならば大きな数を作る時は桁
が増える事も定義に入れたほうがよいのでは？
とトンチンカンな事ですから。
また。我々は疑問なく10進法を使用しているが、数の
基本は2進法だと思う。だから10進法も定義しなくては
という事も考えていましたが。

後者は単純に、ｆ（ｎ）のｎが2なら2桁2が並んだ数、
ｎ＝3なら3桁3が並んだ数になる関数を作ろうとし
ただけです。一応9まで出来る関数は作ったのです
が、巨大数とは関係ないので書き込みしてません。
まあ、話も出てきたので、少し長いですが書いて
みます。（もっと効率的な式はあると思いますが）
Ｙ＝3587226.75N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)(N-8)÷3024＋7381.125Ｎ(N-1)N(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)N(N-6)(AN-7)÷7
　+820.125Ｎ(Ｎ-1)*(Ｎ-2)(Ｎ-3)(Ｎ-4)(Ｎ-5)(Ｎ-6)+546.75Ｎ(Ｎ-1)(Ｎ-2)(Ｎ-3)(Ｎ-4)(Ｎ-5)+303.75Ｎ(Ｎ-1)(Ｎ-2)(Ｎ-3)(Ｎ-4)
　+135Ｎ(Ｎ-1)(Ｎ-2)(Ｎ-3)+A2Ｎ(Ｎ-1)(Ｎ-2)+A2(Ｎ-1)*10+Ｎ

チィーン

>>591
6-483の定義は6-483が勝手に定義したわけで....
この定義を使うなら「6-483 の定義を使う」と書かないと。
a↑↑(b+1) = a↑(a↑↑b) が成り立たないので、
私には自然な拡張だとは到底思えないけど。

> ω↑↑（ｎ+1）はω↑↑（ω+1）に収束する基本列
> （ω↑↑ｎ）↑（ω↑↑ｎ）は（ω↑↑ω）↑（ω↑↑ω）に収束する基本列

何か勘違いしてないか？
lim ω↑↑(n+1) = lim (ω↑↑ｎ)↑(ω↑↑ｎ) = ε_0 だぞ。

ω↑↑ω = lim (ω↑↑n) とした場合、
(ω↑↑ω)↑(ω↑↑ω) に収束する基本列（のうちのひとつ）は
(ω↑↑ω) ↑ (ω↑↑n)

ω↑↑(ω+1) に収束する基本列は
ω↑↑(ω+1) の定義次第

>>592
> 後者は単純に、ｆ（ｎ）のｎが2なら2桁2が並んだ数、
> ｎ＝3なら3桁3が並んだ数になる関数を作ろうとし
> ....
9までなら f(n) = n*(10^n-1)/9 でいいんじゃね。

（50字）
a(x,0)=9x;a(0,y)=9y;a(x,y)=a(x-1,a(x,y-1));a(9!,9)

字制限部門ってまだやってるの？

>>592
何その式ｗ

>>596

明らかにこっちの方が大きい。

a(x,3)=6;a(0,y)=y!;a(x,y)=a(x-1,a(x,y-1));a(99!,9)

でも文字制限だとルールが曖昧すぎて勝負にならんよ。
『a(x,3)=6;a(0,y)=y!;a(x,y)=a(x-1,a(x,y-1))と定義した時のa(99!,9)』のように書かなくて良いのか？とか、
『a(x,y)=a(x-1,a(x,y-1)) （x≧1,y≧4の時）』と書かなくて良いのか？とか、
『【x,3】=6;【0,y】=y!;【x,y】=【x-1,【x,y-1】】;【99!,9】』という表現は許すのか？とか、

ちゃんとやるなら、
せめてもうちょっと厳密に決められたコンピューター言語みたいのじゃないと。

>>598
考えてみるよ

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/game.html

ここのなんかひどい。

! と ^ の優先順位が明確でない。
『f(x)=ak(x,x)として f^(f^99!(9))(9)』だけなぜか『として』が入っているが、他は入っていない。
『9を99!回階乗する 』には『する』が入っているが、他のは入っていない。
『f(n):=nに階乗をn回 f^(f^(99!)(9))(9)』だけ f^(99!) と括弧がついている。

>>600
そのサイト、このスレから派生したんだが
どれもここの過去スレで出されたものだし
新参乙

>>601
あばたもえくぼって感じか？

>>602
・・・？