★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問

>>913
nが偶数のとき
　x1x2 + x2x3 + … + xnx1 = (1/2){(x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + … + (xn+x1)^2} - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2)
　　 ≧ - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2) = -1,
∴　xk = (-1)^k /√n または xk = (-1)^(k-1) /√n のとき最小値 -1.
　最大値は >>918
nが奇数のときは??

>>914
0≦m≦n とする。
　Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r r(r-1)…(r-m+1) = {n!/(n-m)!}Σ[r=m,n] C[n-m,r-m](-1)^r
　　　= (-1)^m {n!/(n-m)!}Σ[r'=0,n-m] C[n-m,r'](-1)^r' = (-1)^m {n!/(n-m)!}(1-1)^(n-m) = (-1)^n n!δ_(m,n),
ところで r^m は r^2 = r(r-1) +r, r^3 = r(r-1)(r-2) +3r(r-1) +r のように r(r-1)…(r-L+1) の和に展開できるから、
　Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r (r^m) = (-1)^n n!δ_(m,n),　　　　　　(0≦m≦n)
∴ n!