0^0=1や0!=1←納得いかない

何も無いところからどうして１が出てきたんだ。訳ワカメ

便宜上だな

3!=1*1*2*3
2!=1*1*2
1!=1*1
0!=1

とでも思っておけボケ
積なんだからまず最初に積の単位元1があるんだよ
0個の和は0とか納得するくせに

n!=n*(n-1)! という漸化式が成り立つのは誰でも理解できるはず。
で、次にn=1 を代入すると 1!=1*0!となるので
0!=1

(x-1)! = x!/x
より，
0! = 1!/1 = 1

15秒で考えた糞スレ立て分類
A.　定義や基礎的な定理を疑うタイプ（1+1=2、負×負＝正など）
B.　問題自体はまともだが妙な事を言っている
C.　単発質問
D.　数学の存在意義を疑うタイプ（数学なんて社会で役に立たねーよ、など）
E.　よくわからんが私怨系？（対象は個人だったり組織だったりコテハンだったり）
F.　単調作業系（2進数で数える、など）
G.　数学と関係ない

Aだな。

>>2-5ありがとう、
0!=1は納得した。
0^0=1はまだ分らない。
>>6
Look for mail form of >>1

0^0=1 は数式の表記を簡単にするため。

例えば、
f(x) = a(0)+a(1)x+a(2)*x^2+...+a(n)*x^n
をΣで書くとき、0^0=1と定義しておけば
f(x) = Σ[k=0,n] a(k)*x^k
と簡単にかけるが、0^0を定義してなければ
f(x) = a(0)+Σ[k=1,n] a(k)*x^k
と書かなければならない。

>>7
ｘ>0 のとき x^x= exp( log(x^x))= exp( x log x)
よって、
lim_{x → +0} x^x = lim_{x → +0} exp( x log x) = e^0 =1


つまり、y=x^x (x>0) という関数の 0 での右側極限が１なので、
0^0 =1 と定義ずれば、y=x^x が x=0 でも連続になる。

ほとんどの教科書は、0!=1 や 0^0=1 などを約束としているが、
それにはそのようにしなくてならない、あるいは、そうした方が
都合がよい、というきちんとした理由がある。
本当はそういうことを本なり講義なりで説明すべきなんだけど、
分かっている人にとっては当たり前なので、中々気が付かない。

>>7 こう考えた方がやさしいかな

関数 x^0 を考える。
これはxの簡単なべき関数なので連続関数であると考えるのが自然である。
x≠0 ならば x^0 = x^(1-1) = (x^1)/(x^1) = 1 なので、
x^0 を連続関数だと考えると 0^0=1 でなければならない。

１１といえばオーシャンズ１１

>>10
逆にy=0^xを考えると、
x>0のときy=0なので、0^0=0と考えるのが自然です。

>>9
lim_{x → +0} (x logx)=0 ってのが良くわかりません。-∞に発散しそうな気がするんですが…
その場合はe^(-∞)=0となります。

>>8
一応理解はしましたが、あくまで「便宜上」ですよね。だからまだ反論の余地はあるかと…

ここは良スレだ。

>>9
なるほど、初めて理論的な説明で納得しました。
確かに、数学ですから、それなりの理由があるわけですね。

よく考えると 0^0 は極限のとり方で値が変わる：
lim[x→+0] x^x = 1
lim[x→+0] x^(-1/log x) = 1/e
lim[x→+0] x^(1/√(-log x)) = 0
ので、0^0=1 は論理的に納得するものではなく、
便宜上そうしたほうが都合がよいものだと納得するのがいいのかな。

lim[a→0]a^正=0
lim[a→0]a^負=∞
lim[a→0]a^aは不定

>>1
理由はあるが理屈じゃなくて便宜

lim[a→+0]a^正=0
lim[a→+0]a^負=∞
lim[a→+0]a^aは不定

>>1
理由はあるが理屈じゃなくて便宜

応用数学って結局何だ、何やってるんだ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132045506/32

32:１３２人目の素数さん :2006/06/27(火) 02:05:28
厳密志向ではない数学のことを鷹揚数学という。

>>15
確かに>>9の通り、底の"0"と、ベキの"0"を等価と見なせば 1 に収束するが・・・
それぞれの収束速度が違うなら極限は変わるわな。
但し書き付きの「 1 」が適当なのかも。

>>16>>17
m[a→0]a^a = 1　ですが・・・

>>1>>9>>19
結論は、
0^0=1 は約束とうことだね。

0^0 は不定形だから極限は定まらないが、>>9のように考えましょう、
ということなのだろう。

>>20
そもそも、a^0=1 (a:定数)だって、指数法則を満たすように、定義したんだからね。

これは分りやすい
なんか納得できてきた

実際に0^0が出てくるのは、たいていx^nの形。
xの方は実数だったり変数だったり環の元だったりするけど、
nの方は整数として0をとる。(例えば多項式をΣで書いたりとか)
そうすると、lim(x→0)x^0として0^0を考えた方が色んなところで便利。

lim(x→0)x^x=1だから、という納得はやめた方がいい。

>>23
それは代数をしている奴の偏った見方。
多項式だけで物を考えるのは、酷すぎる。

y=x^x (x>0)という関数を x=0で連続に延長するのは、解析的に非常に自然なこと。

数学は分野によって定義や理解の仕方、考え方も違うから、どれがベストということはない。
しかし、数学の素晴らしいところは、どの考えを分野の採用しても説明できることだと思う。

↑
訂正
誤）しかし、数学の素晴らしいところは、どの考えを分野の採用しても説明できることだと思う。

正）しかし、数学の素晴らしいところは、どの分野の考え方を採用しても説明できることだと思う。

小学生のころの疑問だが、０/０=１じゃない？？

>>26
不定形

>>26
実数は可換体としての性質を持っている。そして実数体の
加法の単位元“０”は積の演算に関する逆元をもたない。
なぜなら環論の基本的な性質よりａ・０＝０（∀ａ∈Ｒ）
だからａ・０＝１＝積の単位元となる０の逆元ａは存在しない。
これより、０／０＝０・０＾（−１）というのはあり得ない
つまり、体論からでる自明な性質なのである。

>>20
ペアノ算術を使った集合論的な観点からみることも出来るよ

>1のセンスは悪くない。スレタイのような疑問を持つのは当然のことだ。

>1のようなすなおじゃない子はおしおきだ

アッー！

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうがよい。

集合論やカテゴリー論の立場なら0^0=1は証明できる定理になる

数の０とカテゴリーの０を混同しちゃだめだろ

別に構わんだろ
それが数学の良さ

>>24
「たいてい」って書いたのがまずかったのかもしれないけど。
>>24も言うとおり、定義や考え方は分野や利便性によりけりなので、
俺が挙げた例(多項式や冪級数)では、こういう考え方から「0^0=1」と置くと便利・自然ってことで。

上の方で、x^xという特別な関数の極限のみで結論づけてるようなのがあったからね。
×　lim(x→0)x^x=1だから、という納得はやめた方がいい。
○　lim(x→0)x^x=1だから、という理由のみで納得するのはやめた方がいい。

前も書いたんだが、もう一度いう。集合論の立場では
0＾0ってのは0から0への写像の全体の集合の基数のことだから
0から0への写像が空集合のみであることより0＾0＝1。

それで納得できないというのであればもはや何もいうまい。

自分の言うことを誰も聞いてくれないので必死になってる
>>29, >>34, >>38 はﾐｼﾞﾒ

>>38
集合論の心得がない者なので類題を聞くが
その立場での0/0は?

>>40
集合論では集合A,BについてB^AはAからBへの写像全体の集合で、
0は空集合。1は1={0}だけど。
0/0はどういう演算のつもり？

スマン、質問が不合理だった。質問終了。

もしか、集合論に"/"に当たる演算は無いのか?
…と思って集合論をググってみたら商集合なんてのが
見つかったが何か違いそうだ。数演算の感覚で聞いてしまった。

集合論において
基数の算術と順序数の算術は別物である(たとえば基数の算術ではω+1＝ωだが順序数ではこれは成り立たない)、
自然数を扱うだけならそれらの加法乗法べき乗は一致するから問題ないが、無限基数を扱うときは注意が必要。

まったくスレ違いだがついでに話しておく。

>>43
ｻﾝｸｽ。丁寧に説明して貰って嬉しくさえ思った。

零環においては0^0=0だね

>>37
>>>24も言うとおり、定義や考え方は分野や利便性によりけりなので、
>俺が挙げた例(多項式や冪級数)では、こういう考え方から「0^0=1」と置くと便利・自然ってことで。

0^0は不定形だから、極限の取り方によって値が異なる！
しかし、色々な都合上 0^0 =1 とすると都合が良いことが分かる。
（例は色々と出ているが、他にもあるだろう）
従って、
　「0^0 = 1 と定義する」
ということにしていると思う。

逆に、0^0 ≠1 とすると、色々と不便なことが起こるが、矛盾は起こらない。
なら、0^0 =1 として記述をスッキリさせようということだろう。

>>38
高校生や学部１回生が質問してきたら、お前はそう答えるのか？

集合論のことはよく知らないが、そんなので納得できる奴なんているのか？

>>47は自分が納得できる回答を欲しているんならそれを聞けばいいのでは？
>>47が納得できないからと言って>>38は別に間違っているわけでもないし。

>>45の零環においては0^0=0を圏論で説明すると
どうなるの？圏論に詳しいおじさんお願いします。

零環においては1=0だね

そうなんですけど、0^0を0から0への写像と思えば、
一つの{φ}が存在するわけですよね。
0^0はいわゆるファンクターカテゴリーですから、
0^0＝{φ}と0を同一視するのは問題ありでないですか？

すまん >>50 は圏論のレスじゃない

未だ分からない。
>>46の言うように、
「0^0 = 1 」と定義できるものなの？便利だからという理由で？
0/0=不定とするように、0^0=不定とした方が
よほど納得ができるけど。

>>46
定義するのは自由だよ。
定義の拡張は離散から連続へと進むのが自然で、0^x の極限を元に 0^0 の
話をするのは順序が不自然。まずは自然数(0も入れておく)で定義しよう。
これは空集合から空集合への写像の個数として 0^0=1 が自然だろう。

このとき指数法則も、積の作る半群として成立している。
( 0^(-1) は定義できないから、積について群と見ることは出来ない )
このため 0!=1 や 0C0=1 と同様、離散数学(数え上げ)での種々の公式が
0^0 も含めて成立してくれる。0^0=1 が不便な場面というのは見た事が無い。
むしろ 0^n が n=0 で例外的に1になるおかげで、計算が簡単になる場面には
何度も遭遇した。

一方 ?/0 に値を与えてしまうと、(ay)/x = a(y/x) すら成立しない。

極限としての 0^0 が不定だから 0^0 も定義できないと言う人も居るが、
これは 0^0=1 と定義する立場から言えば、単に f(x,y)=x^y (x≧0)という
関数が (x,y)=(0,0)で不連続というだけのことだ。しかも直線的に (0,0)
に近付ける限り、y軸上から近付ける場合を除いて 1 に収束する。

非直線的に近付ける場合、x>0 から近付けて x^y→1 にならないようにするには
log(x)y → 0 にならないようにする必要があり、これはxを exp(- 1/|y|)
くらい高速に0に近付ける必要がある。従って (x,y)=(t^(100),t) (t→+0)
のような近付け方でも、やっぱり x^y→1 になる。

一方 g(x,y)=y/x (x≠0) の (x,y)→(0,0) での極限はどうだろう。

>>54 の中の >>46 はアンカーミス。>>53 でした。

>>54
丁寧な説明ありがとう御座います。
教科書を読んで勉強しなおします。

>>54
>定義の拡張は離散から連続へと進むのが自然で、

自分で書いておいて何だが、これじゃあ ζ(-1) が定義できないなw

不定形としての0^05の類いの不定形、1^∞

む?5、余計

中途落ちスレ
0^0 Part 2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1093253262/

初代はメモしとらんかった

逆に、0乗が１にならない数ってあるの？

無い、±∞でさえ｡
0の場合はこのスレの議題。スタンスごとに様々な値｡
0or1or不定

>>62
無いと言ったり、スタンスごとに様々な値と言ったり、忙しいな

>>1よ

何年もの前から
↓これがあるのは知っていてのスレ立てなのか？

激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/

一般にN！は異なるN個のもの並べ方である。N=0の時は並べないという一通りのみである。∴0!=1

＞N=0の時は並べないという一通りのみである。∴0!=1
この解釈はよろしくない。「並べない」という操作を1通りとしてカウントして
しまうのであれば、たとえばN＝1のとき、1個のものの並べ方は
・並べる
・並べない
の2通りとなり、1！＝2となってしまう。

>>3（≠俺）
＞積なんだからまず最初に積の単位元1があるんだよ
で終了だと思ったが

便宜上とか約束とか定義とか抜かす奴は数学センス無し
小中学生で解る式の説明に極限やら対数やら持ち出す奴は蛸壺君

といいながら円の面積、球の体積、表面積、円錐の体積を小学生に説明する方法がわからん
（数学的にツッコミどころがない方法）

0!=1は流石に納得しろよ

>>7
look forじゃねえよ、みっともねえな
look atだ

>>66 1個の時に並べないという選択は1個並べるという条件に反する。

どうでも　イイヨ
それより　トランプ引いて　スペードの　エース出る　確立解るかな？

何の定義もせずに (ほげ)^0=(単位元) を説明してくれ

中学生の範囲で0＾0＝1は説明できます

a^2*a^3=a^5
a^0*a^2=a^2

これは何の疑問もなくわかりますね？

2^0*2^2=2^2

つまり2^0をxと置くと、

x*2^2=2^2
4x=4
x=1

だからx^0は１です

>>73
ヴァカ者、早計じゃ
取り敢えず>>64氏提示のリンク先を見よ

>>74おっと申し訳ない
私の知識があまりにも浅かったようで、

いやまぁしかし乙

そもそも０^０なんて定義されてなぃよ。
一般にａ^０=１と言うのは,ａ^ｂとａ^(-ｂ)の積,つまりａ^ｂ×１/(ａ^ｂ)のこと。
だからａが０のときは定義できない。

>>77　は　嘘

>>67&>>77
既出各氏レス引用で回答
>>62&>>68&>>74
0^0舐めんな

>>67&>>77
既出各氏レス引用で回答
【>>62&>>68&>>74】

詰まり0^0舐めんな

このスレなんなの？
0^0を定義するスレなの？
ってかなぜ0^0=1って言う誤りをもっと指摘しないの？

0!＝1　　にすると
n!＝n(n-1)!　　が、n＝1　のときも成り立つ。

0^0=0^(2-2)=0^2/0^2=0/0

>>64が激しく無視されている件について

ふんじゃあ抽出
Q.0^0 って幾つ? 0?1?
A.どちらでもありません。不定形と言って、未定義なのです｡
なぜなら、どんな値に定義しても、矛盾が生じるからです｡
lim[x→0](x^x) = 1 ですし、lim[x→0](x^(log{x}(e))) = e ですからね｡

未定義じゃなくて不定義だがな

.>>85　それは矛盾とは言わんだろ。
　もともとは0で連続じゃないんだし。

>>86
そりゃ私ゃ承知済み
>>64リンク先の筆者がそう言う細かい言い回しに不備が
あると言うだけ

>>86
× もともとは0で連続じゃないんだし。
○ もともとは(0,0)で連続じゃないんだし。

0^0を-1にするにはどう行けばいいですか

取り敢えず、無学者ながら
[x→0](x^(i*π*log{x}e))

あーもっと単純なのあった
[x→0]-x^x

1/aが存在しないのに a^(-1) にあたるものを考える事もあるから 0 で割れないというのは 0^0 の値を与える上で本質ではない。

kwsk