分からない問題はここに書いてね２８０
>>327
x,y,z ≧ 0 を仮定しないと、取り得る範囲は実数全体になる。
（ x = 1+t, y = -2t, z = t は条件を満たす。これを放り込むと
-7 t^3 + (1 + t)^3 になる。これで t → ∞、-∞ とする ）
なので、以下 x,y,z ≧ 0 を仮定する。
(a) 上界
0 ≦ x ≦ 1 について x^3 ≦ x なので、
x^3 + y^3 + z^3 ≦ x + y + z = 1
特に x = 1, y = 0, z = 0 を放り込めば上界は 1。
(b) 下界
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9 (x + y + z)^3 ≧ 1/9 -(*)
特に x = y = z = 1/3 を放り込んで下界は 1/9
(*) x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9 (x + y + z)^3 の証明：
f(t) = t^3 は凸関数。(x,f(x)), (y,f(y)), (z,f(z)) が
つくる三角形の重心は ((x+y+z)/3, (x^3+y^3+z^3)/3)
重心の x 座標で f(t) を評価してやれば、凸関数の性質から
(x^3+y^3+z^3)/3 ≧ (x+y+z)^3 / 27
x,y,z ≧ 0 を仮定しないと、取り得る範囲は実数全体になる。
（ x = 1+t, y = -2t, z = t は条件を満たす。これを放り込むと
-7 t^3 + (1 + t)^3 になる。これで t → ∞、-∞ とする ）
なので、以下 x,y,z ≧ 0 を仮定する。
(a) 上界
0 ≦ x ≦ 1 について x^3 ≦ x なので、
x^3 + y^3 + z^3 ≦ x + y + z = 1
特に x = 1, y = 0, z = 0 を放り込めば上界は 1。
(b) 下界
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9 (x + y + z)^3 ≧ 1/9 -(*)
特に x = y = z = 1/3 を放り込んで下界は 1/9
(*) x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9 (x + y + z)^3 の証明：
f(t) = t^3 は凸関数。(x,f(x)), (y,f(y)), (z,f(z)) が
つくる三角形の重心は ((x+y+z)/3, (x^3+y^3+z^3)/3)
重心の x 座標で f(t) を評価してやれば、凸関数の性質から
(x^3+y^3+z^3)/3 ≧ (x+y+z)^3 / 27
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