代数的整数論 008

Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良、クマーのAAなど。

過去スレ
＃001
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
＃002
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
＃003
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
＃004
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
＃005
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
＃006
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50

#007
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50

Kummerさん、こんにちは。いつも、Kummerさんのスレを見て感心しております。当方、数学科の2年生です。今は勉強不足ですが、出来れば、一緒に学びたいと思っております。これからよろしくお願いします。
また、これからも頑張ってください。

>>2 お前も頑張れよ。

>1

有難うございます。
クマーのAAは余計ですがｗ

>>2

有難うございます。
一緒に勉強していきましょう。

過去スレ007の449の積分 ∫[X] f dμ の定義において、
S(f) の測度が σ-有限でないときは ∫[X] f dμ は定義しない
ことになっていた。

これは現代数学概説 II(岩波書店)の定義と同じである。

しかし、これは通常の定義とやや異なるため、他の書物を参照する場合に
不便である。
よって、次のように定義を変更する。

>>6
>過去スレ007の449の積分 ∫[X] f dμ の定義において、

過去スレ007の452の積分 ∫[X] f dμ の定義において、

過去スレ007の452の積分の定義を少し変えることにする。

定義
(X, Φ, μ) を 測度空間とする。
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
E(Ψ) を、R = (-∞, +∞) に値をとる
Ψ 上の単関数全体とする。

f : X → [0, +∞] を可測関数とする。

S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限のとき、
∫[X] f dμ = sup {∫[X] s dμ | 0 ≦ s ≦ f, s ∈ E(Ψ) }

S(f) の測度が σ-有限でないときは
∫[X] f dμ = +∞ とする。

∫[X] f dμ を f の X における(μ に関する)積分と言う。

∫[X] f dμ ＜ +∞ のとき f を積分可能または可積分と言う。

過去スレ007の602 より >>8 の定義は通常の定義
(例えば伊藤清三のルベーグ積分入門)と
(我々の場合、全空間が必ずしも可測でないことを除いて)
同じである。

>>8 の新しい定義により過去スレ007の結果を書き換える必要はあまり
ないだろう。

何故なら、S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限でないときは
∫[X] f dμ = +∞ なので、この場合は大抵の命題、
例えば、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007445)、はトリビアルだから
である。

したがって、過去スレ007の結果を引用する場合、
それを暗黙に新しい定義により解釈することにして、
いちいち断らない。

もし、この解釈がトリビアルでない場合はそのつど説明を
入れることにする。

いづれにしても ∫[X] f dμ ＜ +∞ の場合は、古い定義も新しい定義
も同じである。

>>8 の定義は表面的にはともかく、実質的には Halmos の定義と
同じである。

因みに Halmos の積分の定義はやや複雑である。
即ち、次のようである。

積分可能な単関数の列 (s_n) で L^1 Cauchy 列(過去スレ007の629)と
なっているものが f (f ≧ 0 とは仮定しない)に測度収束
(これについては後で述べる)する場合に f を積分可能と言い、
lim ∫[X] s_n dμ を ∫[X] f dμ と定義している。

f ≧ 0 が積分可能でない場合、∫[X] f dμ = +∞ とする。

何故、こんなわかりにくい定義にしたのか理解に苦しむ。

Riesz の表現定理(過去スレ007の931)では正則な狭義の Borel 測度を
使っていた。これも Halmos の方法である。
しかし、実はこれも少数派である。
次の書物では、正則な (広義の) Borel 測度を使っている。

Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II
Bourbaki の積分論
Rudin の Real and complex analysis
壬生の位相群論概説(岩波書店) --- この積分論は Hewitt-Roth と
ほとんど同じである。

従って、我々も (広義の) Borel 測度を扱うことにする。

X を局所コンパクト空間とする。
X の容量(過去スレ007の723) λ を一つ選び、固定する。

X の任意の開集合 U に対して

λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }

と書く。

U がコンパクトな開集合であれば、明らかに λ(U) = λ(K) であるから
この定義は矛盾しない。

命題
>>13 の下で、

U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は開集合とする。

(1) 0 ≦ μ(U) ≦ +∞

(2) U が有界なら μ(U) ＜ +∞

(3) U_1 ⊂ U_2 なら μ(U_1) ⊂ μ(U_2)

(4) μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n)

(5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら
μ(∪U_n) = Σμ(U_n)

証明
過去スレ007の726とまったく同じである。

>>14 を次のように修正する。

命題
>>13 の下で、

U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は開集合とする。

(1) 0 ≦ λ(U) ≦ +∞

(2) U が有界なら λ(U) ＜ +∞

(3) U_1 ⊂ U_2 なら λ(U_1) ⊂ λ(U_2)

(4) λ(∪U_n) ≦ Σλ(U_n)

(5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら
λ(∪U_n) = Σλ(U_n)

証明
過去スレ007の726とまったく同じである。

命題
>>13 の下で、

X の任意の部分集合 A に対して

μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合}

と定義する。

A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は X の部分集合とする。

(1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞

(2) μ^*(φ) = 0

(3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B)

(4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n)

証明
過去スレ007の761と同様である。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
X の部分集合全体 を P(X) と書く。
明らかに P(X) は遺伝的 (過去スレ007の767) なσ-集合代数
(過去スレ007の198)である。

λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。

開集合 U に対して
λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
と書き、

A ∈ P(X) に対して
μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合}
と書く。

>>16 より μ^* は P(X) で定義された外測度(過去スレ007の766)である。
μ^* を容量 λ から誘導された外測度と言う。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
X の Borel 集合(過去スレ007の212)全体で定義される測度 μ は
コンパクトな K に対して常に μ(K) ＜ +∞ であるとき
Borel 測度と言う。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。
μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。

E ∈ Ψ は
μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U }
となるとき、(μ に関して)外正則(outer regular)という。

μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }
となるとき、(μ に関して)内正則(inner regular)という。

E は外正則かつ内正則なとき正則(regular)であると言う。

全ての E ∈ Ψ が外正則なとき μ を外正則と言う。
全ての E ∈ Ψ が内正則なとき μ を内正則と言う。
全ての E ∈ Ψ が正則なとき μ を正則と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

任意の開集合 U に対して
μ^*(U) = λ(U) である。

証明
定義 μ^*(U) = inf {λ(V) | U ⊂ V, V は開集合}
より明らかである。

>>12
>次の書物では、正則な (広義の) Borel 測度を使っている。

この「正則」は >>19 の「正則」とは少し違う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の部分集合 E が (μ^*)-可測(過去スレ007の768)であるためには
任意の開集合 U に対して

μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)

となることが必要十分である。

証明
過去スレ007の847と同様である。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の部分集合 E が (μ^*)-可測(過去スレ007の768)であるためには
任意の開集合 μ^*(U) ＜ +∞ に対して

μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)

となることが必要十分である。

証明
必要性は明らかである。

A を X の任意の部分集合とする。
μ^*(A) = +∞ なら
μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) である。

μ^*(A) ＜ +∞ なら

A ⊂ U で μ^*(U) ＜ +∞ となる任意の開集合 U に対して、
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)

>>20 より μ^*(U) = λ(U) だから
λ(U) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)

μ^*(A) = inf λ(U) だから
μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
任意の開集合 U に対して
μ^*(U) = sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U }
ここで、V~ は V の閉包である。

証明
>>20 から μ^*(U) = λ(U) である。
V は開集合で V~ はコンパクトなら過去スレ007の849より
λ(V) ≦ λ(V~) である。
よって、
μ^*(U) ≧ sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U }

定義から λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } である。
λ(U) = ＋∞ なら、任意の M ＞ 0 に対して
λ(K) ＞ M となるコンパクトな K ⊂ U がある。

過去スレ007の704より
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが
存在する。
λ(V) ≧ λ(K) ＞ M で M ＞ 0 は任意だから、
sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U } = +∞
よって、この場合は命題が成り立つ。

λ(U) ＜ ＋∞ なら、任意の ε ＞ 0 に対して
λ(U) - ε ＜ λ(K) となるコンパクトな K ⊂ U がある。
過去スレ007の704より
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが
存在する。
λ(U) - ε ＜ λ(K) ≦ λ(V) だから、この場合も命題が成り立つ。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の任意の開集合は (μ^*)-可測(過去スレ007の768)である。

証明(Hewitt-Roth)
V を開集合とし、U を開集合で μ^*(U) ＜ +∞ とする。

μ^*(U ∩ V^c) の定義から、
任意の ε ＞ 0 に対して、U ∩ V^c ⊂ H となる開集合があり、
μ^*(H) ＜ μ^*(U ∩ V^c) + ε

>>24 から W~ ⊂ U ∩ V となる開集合があり、
μ^*(W) ＞ μ^*(U ∩ V) - ε

W_0 = U ∩ H ∩ (W~)^c とおく。
U ∩ V^c ⊂ W_0 ⊂ H より |μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε
|μ^*(W) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε であるから
|μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ 2ε

よって
μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c) ＞ -2ε

W ∩ W_0 = φ だから >>15 の (5) より
μ^*(U) ≧ μ^*(W ∪ W_0) = μ^*(W) + μ^*(W_0)
≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c) - 2ε
ε は任意だから
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c)
>>23 より V は (μ^*)-可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

U を開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトなものとする。
このとき、
μ^*(U) ≦ λ(U~)

証明
K ⊂ U となる任意のコンパクト集合 K をとる。
λ(K) ≦ λ(U~) である。

λ(K) の sup をとると、
μ^*(U) ≦ λ(U~)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

任意のコンパクト集合 K に対して、
μ^*(K) ＜ +∞ である。

証明
過去スレ007の704 より、
K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトな
ものがある。

>>26 より
λ(K) ≦ μ^*(U) ≦ λ(U~) ＜ +∞
証明終

X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

過去スレ007の778 より、
(μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、
μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度である。
>>25 より Φ は Borel 集合(過去スレ007の212)全体を含む。

>>27 より、μ^* を Borel 集合(過去スレ007の212)全体に制限したものは
Borel 測度(>>18)である。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

任意のコンパクト集合 K に対して
λ(K) ≦ μ^*(K)

証明
μ^*(K) = inf {λ(U) | K ⊂ U, U は開集合}
である。

K ⊂ U となる開集合 U に対して
λ(K) ≦ λ(U)

λ(U) の inf をとって
λ(K) ≦ μ^*(K)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合で μ^*(E) ＜ +∞ とする。
E は内正則(>>19)である。
即ち、μ^*(E) = sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、E ⊂ U となる開集合 U で
μ^*(U) ＜ μ^*(E) + ε
となるものがある。

F ⊂ U となるコンパクト集合 F で
λ(F) ＞ μ^*(U) - ε
となるものがある。

>>29 より μ^*(F) ≧ λ(F)
よって μ^*(F) ＞ μ^*(U) - ε

μ^*(U - E) ＜ ε だから
U ⊃ V ⊃ U - E となる開集合 V で
μ^*(V) ＜ ε となるものがある。

K = F ∩ V^c とおく。
K はコンパクトで K ⊂ E

μ^*(E) - μ^*(K) = μ^*(E - K) = μ^*((E ∩ F^c) ∪ (E ∩ V))
≦ μ^*(U ∩ F^c) + μ^*(V) ＜ 2ε
よって、μ^*(K) ＞ μ^*(E) - 2ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合で
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。

このとき E は内正則(>>19)である。
即ち、μ^*(E) = sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }

証明
E ⊂ ∪A_n となり、各 μ^*(A_n) ＜ +∞ となる (μ^*)-可測な
A_n がある。

E_1 = E ∩ A_1
n ≧ 2 のとき
E_n = E ∩ (A_n - (A_1 ∪ . . . A_(n-1))) とおけば
E = ∪E_n で、i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ となり
各 μ^*(E_n) ＜ +∞ である。

>>30 より各 E_n は内正則であるから、
任意の ε ＞ 0 に対して
K_n ⊂ E_n
μ^*(E_n) ＜ μ^*(K_n) + ε/2^n となるコンパクトな K_n がある。
よって μ^*(E) = Σμ^*(E_n) ≦ Σμ^*(K_n) + ε である。
μ^*(E) = +∞ なら Σμ^*(K_n) = +∞ だから E は内正則である。

μ^*(E) ＜ +∞ なら Σμ^*(K_n) ＜ +∞ である。
Σμ^*(K_n) - μ^*(K_1 ∪. . . ∪ K_m) ＜ ε となる m がある。
このとき、μ^*(E) ＜ μ^*(K_1 ∪. . . ∪ K_m) + 2ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の Borel 測度(>>18)とする。
X の任意のコンパクト集合が μ に関して外正則(>>19)とする。

任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) = inf {μ(L) | K ⊂ int(L) ⊂ L, L はコンパクト}
である。
ここで int(L) は L の内部を表す。

証明
K は外正則だから、
μ(K) = inf {μ(U) | K ⊂ U, U 開集合 U }

よって、任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ U
μ(U) ＜ μ(K) + ε
となる開集合 U がある。

過去スレ007の703 より、
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが
存在する。

μ(V~) ≦ μ(U) ＜ μ(K) + ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ^*(K) であるためには、
λ が正則(過去スレ007の915)なことが必要十分である。

証明
>>28 より、μ^* を Borel 集合全体に制限したものは
Borel 測度である。
よって、条件が必要なことは >>32 で証明されている。

λ が正則であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U で U~ がコンパクトとなるものがあり、
λ(U~) ＜ λ(K) + ε
となる。

>>28 より
μ^*(U) ≦ λ(U~) ＜ λ(K) + ε
μ^*(K) ≦ μ^*(U) だから
μ^*(K) ＜ λ(K) + ε
ε ＞ 0 は任意だから
μ^*(K) ≦ λ(K)

逆向きの不等式は >>29 で証明されている。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

μ^* を L から誘導された外測度と言う。

>>28 より、μ^* を Borel 集合全体に制限したものは
Borel 測度である。

これを、L から誘導された Borel 測度と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (>>715) の任意の元とする。
λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

U を有界(過去スレ007の724)な開集合とし、f を K+(X)
(過去スレ007の713) の元で
χ_U ≦ f とする。

このとき、
μ^*(U) ≦ L(f) である。

証明
K を K ⊂ U となるコンパクト集合とする。
χ_K ≦ f だから λ(K) ≦ L(f) である。
λ(K) の sup をとると
μ^*(U) ≦ L(f) である。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
λ を L から誘導された容量(過去スレ007の920)とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

μ^* を L から誘導された外測度と言う。

(μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(L) と書く。

>>25 より、Φ(L) は Borel 集合全体を含む。

μ^* を Φ(L) に制限したものを、L から誘導された測度と言う。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。
μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。

X の任意の開集合が内正則(>>19)で、X の任意の集合が外正則(>>19)と
なるとき μ を準正則と言う。

>>37 の準正則という言葉は私が勝手に名付けたもので、
一般に使われてるわけではない。

Hewitt-Roth は準正則のことを正則と言っている。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。
μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。
さらに、X の任意のコンパクト集合 K は外正則(>>19)であり、
μ(K) ＜ +∞ とする。

このとき、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) = inf { ∫[X] f dμ | f ≧ χ_K, f ∈ K+(X) } である。

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) ＜ +∞ だから
任意の ε ＞ 0 に対して、K ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ μ(K) + ε
となるものがある。

過去スレ007の706 より、
f ∈ K+(X) で 0 ≦ f ≦ 1 かつ K の上で 1、X - U で 0 となるものが
存在する。

χ_K ≦ f ≦ χ_U だから

∫[X] f dμ ≦ ∫[X] χ_U dμ = μ(U) ＜ μ(K) + ε
証明終

>>37 を次のように修正する。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。
μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。

X の任意の開集合が内正則(>>19)で、Ψ の任意の集合が外正則(>>19)と
なるとき μ を準正則と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
Ψ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数(過去スレ007の198)とする。
μ を Ψ で定義された測度(過去スレ007の316)とする。

E ∈ Ψ を μ(E) ＜ +∞ かつ内正則(>>19)な集合とする。

このとき、E に含まれるコンパクト集合の列 K_n があり
F = ∪K_n とおくと
μ(E - F) = 0 となる。

証明
任意の整数 n ＞ 0 に対して、
K_n ⊂ E
μ(E) ＜ μ(K_n) + 1/2^n
となるコンパクト集合 K_n がある。

F = ∪K_n とおく。

任意の n に対して、
E - F ⊂ E - K_n
であるから、
μ(E - F) ≦ μ(E) - μ(K_n) ＜ 1/2^n

よって
μ(E - F) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν をそれぞれ X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ) と
Ψ(ν) で定義された準正則(>>40)な測度とする。

さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) ＜ +∞
ν(K) ＜ +∞
とする。

任意の f ∈ K+(X) (>>713) に対して
∫[X] f dμ = ∫[X] f dν となるなら
Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) において μ = ν である。

証明
K を X の任意のコンパクト集合とする。
>>39 より μ(K) = ν(K) である。

U を X の任意の開集合とする。
U は μ と ν の両方で内正則(>>19)だから、
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }
ν(U) = sup {ν(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }

よって μ(U) = ν(U)

E ∈ Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) に対して
E は μ と ν の両方で外正則(>>19)だから、

μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U }
ν(E) = inf {ν(U) | E ⊂ U, 開集合 U }
よって μ(E) = ν(E)
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
λ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
(λ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(λ) と書く。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

λ が正則(過去スレ007の915)なら、μ^* は Φ(λ) (>>43) において
準正則(>>40)である。

証明
>>33 より
任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ^*(K) である。

>>17 より
開集合 U に対して
λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }

>>20 より
μ^*(U) = λ(U) である。

よって
μ^*(U) = sup {μ^*(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
すなわち、U は内正則(>>19)である。

A ∈ Φ(λ) に対して
μ^*(A) = inf {λ(U) | A ⊂ U, U は開集合} である。
μ^*(U) = λ(U) だから A は外正則(>>19)である。

以上から μ^* は Φ(λ) において準正則である。
証明終

>>42 の前に次の命題を置けばよかった。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν をそれぞれ X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ) と
Ψ(ν) で定義された準正則(>>40)な測度とする。

任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) = ν(K)
なら
Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) において μ = ν である。

証明
U を X の任意の開集合とする。
U は μ と ν の両方で内正則(>>19)だから、
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }
ν(U) = sup {ν(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }

よって μ(U) = ν(U)

E ∈ Ψ(μ) ∩ Ψ(ν) に対して
E は μ と ν の両方で外正則(>>19)だから、

μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U }
ν(E) = inf {ν(U) | E ⊂ U, 開集合 U }
よって μ(E) = ν(E)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ(μ)
で定義された準正則な測度とする。
さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して μ(K) ＜ +∞ とする。

f ∈ K+(X) に対して L(f) = ∫[X] f dμ とおけば、
L ∈ M+(X) (過去スレ007の715) である。

ν^* を L から誘導された外測度とし、
(ν^*)-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(L) と書く

Ψ(μ) ∩ Φ(L) において μ = ν^* である。

証明
L から誘導された容量を λ とする。
>>36 より ν^* は λ から誘導された外測度である。

過去スレ007の921より λ は正則(過去スレ007の915)である。
>>44 より ν^* は Φ(L) = Φ(λ) (>>43) において
準正則(>>40)である。

>>39 より、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) = inf { ∫[X] f dμ | f ≧ χ_K, f ∈ K+(X) } である。
よって μ(K) = λ(K) である。

>>33 より λ(K) = ν^*(K) である。
よって μ(K) = ν^*(K) である。

>>45 より Ψ(μ) ∩ Φ(L) において μ = ν^* である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
ν を L から誘導された測度(>>36)ととする。

f を K+(X) (過去スレ007の713) の元で 0 ≦ f ＜ 1 とする。
L(f) ≧ ∫[X] f dν である。

証明
過去スレ007の927とまったく同じである。

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
ν を L から誘導された測度(>>36)とする。

f を K+(X) (過去スレ007の713) の任意の元とする。
L(f) ≧ ∫[X] f dν である。

証明
過去スレ007の928とまったく同じである。

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (>>715) の任意の元とする。
ν を L から誘導された測度(>>36)とする。

K を X のコンパクト集合とする。
任意の ε ＞ 0 に対して
f ∈ K+(X) (過去スレ007の713) かつ 0 ≦ f ≦ 1 で χ_K ≦ f となり
L(f) ＜ ∫[X] f dν + ε
となるものがある。

証明
過去スレ007の929とまったく同じである。

定理(Riesz の表現定理)
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

任意の f ∈ K(X) (過去スレ007の708) に対して
L(f) = ∫[X] f dμ となる。

証明
f を K(X) の元とし、K = Supp(f) (過去スレ007の671) とする。
>>49 より、任意の ε ＞ 0 に対して
g ∈ K+(X) (過去スレ007の713) かつ 0 ≦ g ≦ 1 で χ_K ≦ g となり
L(g) ＜ ∫[X] g dμ + ε となるものがある。

M = sup{ f(x) | x ∈ X } とする。
f + M ≧ 0 だから (f + M)g ∈ K+(X) である。
>>48 より fg = f に注意して
L(f) + ML(g) = L((f + M)g) ≧ ∫[X] (f + M)g dμ
= ∫[X] fg dμ + ∫[X] Mg dμ = ∫[X] f dμ + M∫[X] g dμ
よって、
L(f) ≧ ∫[X] f dμ + M(∫[X] g dμ - L(g)) ≧ ∫[X] f dμ - Mε

ε は任意だから L(f) ≧ ∫[X] f dμ
f を -f に置き換えると
-L(f) ≧ -∫[X] f dμ よって L(f) ≦ ∫[X] f dμ
よって L(f) = ∫[X] f dμ
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
μ-可測(過去スレ007の768)な集合全体を Φ(λ) と書いた(>>43)。
>>25 より、Φ(λ) は Borel 集合全体を含む。
μ を Φ(λ) に制限したものを、λ から誘導された測度と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

A を X の部分集合で μ^*(E) = 0 とする。
E は (μ^*)-可測である。

証明
>>22 より

任意の開集合 U に対して
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
を示せばよい。

μ^*(U ∩ E) = 0 であるから、これは明らかである。
証明終

>>52 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の部分集合で μ^*(E) = 0 とする。
E は (μ^*)-可測である。

証明
>>22 より

任意の開集合 U に対して
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
を示せばよい。

μ^*(U ∩ E) = 0 であるから、これは明らかである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の部分集合とする。
μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して
E ∩ U が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。

証明
>>22 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して

μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)

を示せばよい。

U ∩ E^c = U - (U ∩ E) であるから (μ^*)-可測である。

よって
μ^*(U) = μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
証明終

>>54 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の部分集合とする。
μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して
E ∩ U が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。

証明
>>23 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して

μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)

を示せばよい。

U ∩ E^c = U - (U ∩ E) であるから (μ^*)-可測である。

よって
μ^*(U) = μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ を λ から誘導された測度(>>51)とする。

μ は準正則(>>37)である。

証明
μ が外正則(>>19)であることは λ から誘導された外測度の定義(>>17)
から明らかである。

よって、
任意の開集合 U に対して
μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
を示せばよい。

定義(>>17)から
μ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
である。

>>29 から任意のコンパクト集合 K ⊂ U に対して
λ(K) ≦ μ(K) ≦ μ(U)
である。

よって
μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の部分集合とする。
任意のコンパクト集合 K に対して
E ∩ K が (μ^*)-可測なら E は (μ^*)-可測である。

証明
>>55 より μ^*(U) ＜ +∞ である任意の開集合 U に対して
E ∩ U が (μ^*)-可測であることを示せばよい。

>>56 より U は内正則であるから、
>>41 より U に含まれるコンパクト集合の列 K_n があり
F = ∪K_n とおくと
μ(U - F) = 0 となる。

U - F = N とおく。

U = (∪K_n) ∪ N である。

U ∩ E = (∪(E ∩ K_n)) ∪ (E ∩ N)

仮定より ∪(E ∩ K_n) は可測である。
μ(N) = 0 だから >>53 より E ∩ N も可測である。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の部分集合とする。

μ^*(E) = 0 のとき E を (μ^*)-零集合または略して零集合と言う。

任意のコンパクト集合 K に対して
E ∩ K が (μ^*)-零集合になるとき
E を (μ^*)-局所零集合または略して局所零集合と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

(μ^*)-局所零集合(>>58)は (μ^*)-可測である。

証明
E を 局所零集合とする。
任意のコンパクト集合 K に対して
E ∩ K は零集合である。

>>52 より E ∩ K は可測だから
>>57 より E は可測である。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の任意の部分集合とする。

sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K } を E の内測度と言う。

定義
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を X の任意の部分集合とする。

E の外測度 μ^*(E) と内測度(>>60)が一致するとき
E を準可測と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
E を μ^*(E) ＜ +∞ かつ準可測(>>61) とする。
このとき、K_n ⊂ E ⊂ U_n となるコンパクト集合の列 (K_n) と、
測度有限な開集合の列 (U_n) があり、

F = ∪K_n, G = ∩U_n とおくと
F ⊂ E ⊂ G となり
μ^*(G - F) = 0 となる。

証明
任意の整数 n ＞ 0 に対して、
K_n ⊂ E, μ^*(E) ＜ μ^*(K_n) + 1/2^n
となるコンパクト集合 K_n と、
E ⊂ U_n, μ^*(U_n) ＜ μ^*(E) + 1/2^n
となる開集合 U_n がある。

μ^*(E) - μ^*(K_n) ＜ 1/2^n
μ^*(U_n) - μ^*(E) ＜ 1/2^n だから
μ^*(U_n) - μ^*(K_n) ＜ 2/2^n
K_n ⊂ E ⊂ U_n だから
F = ∪K_n, G = ∩U_n とおくと
F ⊂ E ⊂ G となる。

任意の n ＞ 0 に対して、
G - F ⊂ U_n - K_n
μ^*(G - F) ≦ μ^*(U_n - K_n) = μ^*(U_n) - μ^*(K_n) ＜ 2/2^n
よって
μ^*(G - F) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を μ^*(E) ＜ +∞ かつ準可測(>>61) なら、
E は可測である。

証明
>>62 より
可測な F と G があり、
F ⊂ E ⊂ G となり
μ^*(G - F) = 0 となる。

E - F ⊂ G - F だから
μ^*(E - F) = 0 である。

>>52 より E - F は可測だから E も可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

外測度が有限な集合 E が可測であるためには、
E が準可測(>>61)であることが必要十分である。

証明
>>30 と >>63 より明らかである。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の部分集合 E が可測であるためには、
任意のコンパクト集合 K に対して
E ∩ K が準可測(>>61)であることが必要十分である。

証明
>>64 と >>57 より明らかである。

>>65 は可測性の定義としてCaratheodory の外測度による方法以外に、
外測度と内測度を使う方法があることを示唆している。

この方法は、X が R^n の場合には、Lebesgue のオリジナルに
近い。

M+(X) (過去スレ007の715) の元 L に対して、
L から誘導される測度(>>36)を Borel 集合全体に制限したものは
>>56 から準正則(>>40)な Borel 測度である。

この測度を仮に μ(L) とする。

μ = μ(L) = μ(M) とする。

Riesz の表現定理(>>50)より 任意の f ∈ K(X) (過去スレ007の708) に対して
L(f) = ∫[X] f dμ
M(f) = ∫[X] f dμ
となる。

よって、L = M である。

逆に μ を準正則な Borel 測度とする。
f ∈ K(X) に対して L(f) = ∫[X] f dμ とおけば、
明らかに L ∈ M+(X) である。

>>46 より μ = μ(L) である。

以上から M+(X) 元と準正則な Borel 測度は一対一に対応する。

>>67 より M+(X) の元と準正則な Borel 測度を同一視して、
これを Radon 測度と呼ぶことがある。

Radon 測度は非公式には便利な用語だが、どちらを指しているか
あいまいだし、著者によって定義が微妙に異なる場合が多く紛らわしい。
よってこのシリーズでは当面、使わないことにする。

当面と言ったのは後で気が変わるかもしれないからである。

X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。

λ から誘導される測度(>>51)を Borel 集合全体に制限したものは
>>56 から準正則な Borel 測度である。

この測度を μ とする。
コンパクト集合 K に μ(K) を対応させる写像は容量である。
>>33 より λ が正則(過去スレ007の915)なときは、
任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ(K) である。

よって、正則な容量 λ にそれから誘導される測度を対応させる写像は
単射である。

逆に準正則な Borel 測度 ν があったとする。
>>32 より ν をコンパクト集合全体に制限したものは
正則な容量である。
これを λ とする。

λ から誘導される準正則な Borel 測度を μ とする。
λ は正則だから
任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ(K) である。
よって、>>45 より μ = ν である。

即ち、正則な容量 λ にそれから誘導される測度を対応させる写像は
全射である。

以上から、正則な容量全体と準正則な Borel 測度全体は
一対一に対応する。

命題
μ を準正則(>>37)な Borel 測度(>>18)とする。
E を Borel 集合(過去スレ007の212)で μ^*(E) ＜ +∞ とする。

E は内正則(>>19)である。

証明
>>69 より μ は正則な容量 λ から誘導される。
よって >>30 から本命題は従う。

>>70 を次のように修正する。

命題
μ を準正則(>>37)な Borel 測度(>>18)とする。
E を Borel 集合(過去スレ007の212)で μ(E) ＜ +∞ とする。

E は内正則(>>19)である。

証明
>>69 より μ は正則な容量 λ から誘導される。
よって >>30 から本命題は従う。

次の命題の証明は >>30 とほとんど同じである。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ で定義された
準正則(>>40)な測度とする。

さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) ＜ +∞ とする。

E ∈ Ψ で μ(E) ＜ +∞ とする。

E は内正則(>>19)である。

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、E ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ μ(E) + ε
となるものがある。

F ⊂ U となるコンパクト集合 F で
μ(F) ＞ μ(U) - ε
となるものがある。

μ(U - E) ＜ ε だから
U ⊃ V ⊃ U - E となる開集合 V で
μ(V) ＜ ε となるものがある。

K = F ∩ V^c とおく。
K はコンパクトで K ⊂ E

μ(E) - μ(K) = μ(E - K) = μ((E ∩ F^c) ∪ (E ∩ V))
≦ μ(U ∩ F^c) + μ(V) ＜ 2ε
よって、μ(K) ＞ μ(E) - 2ε
証明終

局所コンパクト空間 が第２可算公理を満たせば、
任意の Borel 測度(>>18)は準正則(>>37)であることを証明したい。

果たしてうまく出来るかどうかちょっと怪しいが、とにかくやってみる
ことにする。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
X が第２可算公理を満たせば、任意の開集合は可算個のコンパクト集合の
合併になる。

証明
U を X の任意の開集合とする。
過去スレ007の703より
U の各点 x に対して x ∈ V ⊂ V~ ⊂ U で V~ がコンパクトとなる
ような開集合 V がある。
この V を V_x と書く。

(V_x), x ∈ U は U の開被覆である。

過去スレ006の119より、(V_x) は可算な部分被覆をもつ。

これを (V_n), n = 1, 2, . . . とする。
V_n ⊂ (V_n)~ ⊂ U
であるから
((V_n)~), n = 1, 2, . . . も U の被覆である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の任意の Borel 測度(>>18)とする。

X が第２可算公理を満たせば、
X の任意の開集合は μ に関して内正則(>>19)である。

証明
>>75 より U はコンパクト集合 (K_n), n = 1, 2, . . . の合併である。

K_1 ∪ . . . ∪K_n はコンパクトだから
K_1 ⊂ K_2 ⊂ . . . と仮定してよい。

過去スレ007の323より、
μ(U) = lim μ(K_n) である。

μ(U) = +∞ なら
sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K } = +∞

μ(U) ＜ +∞ なら
任意の ε ＞ 0 に対して
μ(U) - ε ＜ μ(K_n) となる n がある。

よって
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K }

以上から、U は内正則である。
証明終

Halmos によると >>76 から μ が外正則(>>19)であることが出る。
これを以下で説明する。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

任意の有界(過去スレ007の724)な開集合が μ に関して内正則(>>19)で
あるなら任意のコンパクト集合は μ に関して外正則(>>19)である。

証明
K をコンパクト集合とする。
過去スレ007の704より、
K ⊂ U で U~ がコンパクトであるものが存在する。
U - K ⊂ U~ だから U - K は有界な開集合である。
したがって、U - K は内正則である。

ε ＞ 0 を任意の実数とする。
C ⊂ U - K で μ(U - K) - ε ＜ μ(C) となるコンパクトな C がある。
K ⊂ U - C で、(U - C) - K = (U - K) - C である。
μ(U - C) - μ(K) = μ(U - K) - μ(C) ＜ ε
よって、K は外正則である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

K と C をコンパクト集合で、C ⊂ K とする。
K が μ に関して外正則(>>19)なら、K - C も外正則である。

証明
ε ＞ 0 を任意の実数とする。
K ⊂ U で μ(U) - ε ＜ μ(K) となる開集合 U がある。

K - C ⊂ U - C
U - C は開集合である。

(U - C) - (K - C) = U - K だから
μ(U - C) - μ(K - C) = μ(U) - μ(K) ＜ ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

(E_n), n = 1, 2, . . . を μ に関して外正則(>>19)な集合列とする。

E = ∪E_n も外正則である。

証明
μ(E) = +∞ なら E が外正則であることは自明である。
よって、μ(E) ＜ +∞ とする。

ε ＞ 0 を任意の実数とする。
E_n ⊂ U_n で μ(U_n) ≦ μ(E_n) + ε/2^n
となる開集合 U_n がある。
U = ∪U_n とおく。

μ(U) - μ(E) = μ(U - E) ≦ μ(∪(U_n - E_n))
≦ Σ(μ(U_n) - μ(E_n)) ≦ ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

E_1 ⊃ E_2 ⊃ . . . を μ に関して外正則(>>19)な集合の列とする。
μ(E_1) ＜ +∞ とする。

このとき E = ∩E_n も外正則である。

証明
過去スレ007の327より μ(E) = lim μ(E_n) である。

c を実数で、μ(E) ＜ c のとき E ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ c となるものが存在することを言えばよい。

μ(E) = lim μ(E_n) だから μ(E_n) ＜ c となる n がある。
E_n は外正則だから E_n ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ c となるものがある。

この U が求めるものである。
証明終

定義
集合 X の部分集合の集合 Ψ が次の (1) と (2) を満たすとき、
Ψ を単調族であると言う。

(1)
A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊂ A_2 ⊂ . . .
のとき ∪A_n ∈ Ψ

(2)
A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . .
のとき ∩A_n ∈ Ψ

命題
単調族 Ψ が集合環(過去スレ007の189)なら
σ-集合環(過去スレ007の197)である。

証明
A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . のとき
B_n = A_1 ∪ . . . A_n ∈ Ψ である。

B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . . だから
∪B_n = ∪A_n ∈ Ψ
証明終

定義
集合 X の部分集合の集合 Φ を含む最小の単調族(>>82)を
M(Φ) と書く。

補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ Γ, B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A - B ∈ M(Γ) である。

証明
Ψ = {B ⊂ X | A - B ∈ M(Γ)} とおく。
Ψ は Γ を含むから、Ψ が単調族(>>82)であることを証明すればよい。

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . . のとき

A - B_1 ⊃ A - B_2 ⊃ . . . となり
A - ∪B_n = ∩(A - B_n) ∈ M(Γ)

よって、∪B_n ∈ Ψ

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊃ B_2 ⊃ . . . のとき

A - B_1 ⊂ A - B_2 ⊂ . . . となり
A - ∩B_n = ∪(A - B_n) ∈ M(Γ)

よって、∩B_n ∈ Ψ
証明終

補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ M(Γ), B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A - B ∈ M(Γ) である。

証明
B ∈ M(Γ) のとき
Ψ = {A ⊂ X | A - B ∈ M(Γ)} とおく。

>>85 より Γ ⊂ Ψ だから、Ψ が単調族(>>82)であることを
証明すればよい。

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊂ A_2 ⊂ . . . のとき

A_1 - B ⊂ A_2 - B ⊂ . . . となり
∪A_n - B = ∪(A_n - B) ∈ M(Γ)
よって、∪A_n ∈ Ψ

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . のとき

A_1 - B ⊃ A_2 - B ⊃ . . . となり
∩A_n - B = ∩(A_n - B) ∈ M(Γ)

よって、∩A_n ∈ Ψ
証明終

補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ Γ, B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A ∪ B ∈ M(Γ) である。

証明
A ∈ Γ のとき、
Ψ = {B ⊂ X | A ∪ B ∈ M(Γ)} とおく。
Ψ は Γ を含むから、Ψ が単調族(>>82)であることを証明すればよい。

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . . のとき

A ∪ B_1 ⊂ A - B_2 ⊂ . . . となり
A ∪ (∪B_n) = ∪(A ∪ B_n) ∈ M(Γ)

よって、∪B_n ∈ Ψ

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊃ B_2 ⊃ . . . のとき

A ∪ B_1 ⊃ A ∪ B_2 ⊃ . . . となり
A ∪ (∩B_n) = ∩(A ∪ B_n) ∈ M(Γ)

よって、∩B_n ∈ Ψ
証明終

補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ M(Γ), B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A ∪ B ∈ M(Γ) である。

証明
B ∈ M(Γ) のとき、
Ψ = {A ⊂ X | A ∪ B ∈ M(Γ)} とおく。
>>87 より Ψ は Γ を含むから、Ψ が単調族(>>82)であることを
証明すればよい。

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊂ A_2 ⊂ . . . のとき

A_1 ∪ B ⊂ A_2 ∪ B ⊂ . . . となり
(∪A_n) ∪ B = ∪(A_n ∪ B) ∈ M(Γ)

よって、∪A_n ∈ Ψ

A_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . のとき

A_1 ∪ B ⊃ A_2 ∪ B ⊃ . . . となり
(∩A_n) ∪ B = ∩(A_n ∪ B) ∈ M(Γ)

よって、∩A_n ∈ Ψ
証明終

命題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

M(Γ) (>>84) は σ-集合環(過去スレ007の197)である。

証明
>>86 と >>88 より M(Γ) は集合環である。
従って >>83 より M(Γ) (>>84) は σ-集合環である。
証明終

補題
X をハウスドルフ空間とする。
X のコンパクト集合全体を含む最小の集合環(過去スレ007の189)を
Γ とすると、Γ に属す任意の集合 E は
E = (K_1 - L_1) ∪ . . . ∪ (K_n - L_n) の形である。
ここで、 K_i, L_i はコンパクト集合である。

証明
(K_1 - L_1) ∪ . . . ∪ (K_n - L_n) の形の集合全体を Φ とする。
Φ が集合環であることを示せばよい。
A, B ∈ Φ のとき A ∪ B ∈ Φ は明らかである。
A - B ∈ Φ を示せばよい。
A = ∪(K_i - L_i)
B = ∪(M_j - N_j)
K_i, L_i, M_j, N_j はコンパクト集合とする。
E_i = K_i - L_i
F_j = M_j - N_j
とおく。
A - B = ∪E_i - ∪F_j = ∪(E_i - ∪F_j) = ∪(∩(E_i - F_j))

K, L, M, N をコンパクト集合とする。
(K - L) - (M - N)
= (K ∩ L^c) ∩ (M ∩ N^c)^c
= (K ∩ L^c) ∩ (M^c ∪ N)
= (K ∩ L^c ∩ M^c) ∪ (K ∩ L^c ∩ N)
= (K - (L ∪ M)) ∪ ((K ∩ N) - L) ∈ Δ

(K - L) ∩ (M - N)
= (K ∩ L^c) ∩ (M ∩ N^c)
= (K ∩ M) ∩ (L ∪ N)^c
= (K ∩ M) - (L ∪ N) ∈ Δ
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とし、
全てのコンパクト集合が μ に関して外正則(>>19)とする。

コンパクト集合全体を含む最小の集合環(過去スレ007の189)を
Γ とすると、Γ に属す任意の集合は外正則である。

証明
K, L をコンパクト集合とする。

K - L = K - (K ∩ L) で K ∩ L はコンパクトである。
よって >>79 より K - L は外正則である。
>>90 と >>80 より Γ に属す任意の集合は外正則である。
証明終

補題
X をコンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

全てのコンパクト集合(即ち閉集合)が μ に関して外正則(>>19)なら、
全ての Borel 集合は外正則である。

証明
外正則な集合全体を Ψ とおく。
X はコンパクトだから、μ(X) ＜ +∞ である。
従って、>>80 と >>81 より Ψ は単調族(>>82)である。

コンパクト集合全体を含む最小の集合環(過去スレ007の189)を
Γ とする。
>>91 より Γ に属す全ての集合は外正則である。
即ち、Γ ⊂ Ψ である。
よって、Γ を含む最小の単調族を M(Γ) とすると、
M(Γ) ⊂ Ψ である。

一方、>>89 より M(Γ) は σ-集合環(過去スレ007の197)である。
X はコンパクトだから、閉集合はコンパクトである。
よって、M(Γ) は Borel 集合全体と一致する。
証明終

定義
X を集合とし、Γ を X の部分集合を要素とする集合とする。
A ⊂ X のとき Γ ∩ A = {E ∩ A | E ∈ Γ} と書く。

定義
X を集合とし、Γ を X の部分集合を要素とする集合とする。
Γ を含む最小のσ-集合環(過去スレ007の197)を S(Γ) と書く。

命題
X を集合とし、Γ を X の部分集合を要素とする集合とする。
A を X の任意の集合とする。

S(Γ) ∩ A = S(Γ∩ A) である。

証明
Ψ = {E ⊂ X | E ∩ A ∈ S(Γ∩ A)} とおく。

E ∈ Ψ, F ∈ Ψ とする。
(E ∩ A) ∩ F = (E ∩ A) ∩ (F ∩ A) ∈ S(Γ∩ A)
従って、
(E - F) ∩ A = E ∩ A - F = E ∩ A - (E ∩ A) ∩ F ∈ S(Γ∩ A)
故に、
E - F ∈ Ψ

E_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . .
とする。
(∪E_n) ∩ A = ∪(E_n ∩ A) ∈ S(Γ∩ A)
従って、
∪E_n ∈ Ψ
以上から Ψ はσ-集合環(過去スレ007の197)である。
Γ⊂ Ψ だから
S(Γ) ⊂ Ψ
よって、
S(Γ) ∩ A ⊂ S(Γ∩ A) である。

他方、S(Γ) ∩ A はσ-集合環である。
Γ∩ A ⊂ S(Γ) ∩ A だから
S(Γ∩ A) ⊂ S(Γ) ∩ A
証明終

Kummerさん、おはようございます。

質問があります。さっそく勉強したいのですが、Kummerさんは、何のテキストをやっていますか？
スレを見る時の参考になればとおもい質問しました。

>>96

過去スレ007にも書きましたが、
今の所、参考にしているのは、

Halmos の Measure theory
現代数学概説 II(岩波書店)
伊藤清三のルベーグ積分入門
Rudin の Real and complex analysis
Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II
Bourbaki の積分の３、４章

などです。

>>97
>Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II

Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I に訂正します。
II は後で参照する予定。

補題
X を局所コンパクト空間とする。

K を X の任意のコンパクト集合とする。
E を X の狭義の Borel 集合(過去スレ007の836)とする。

E ∩ K は K を X の部分空間と見たときの K における
狭義の Borel 集合である。

証明
X のコンパクト集合全体をΓとする。
>>95 より
S(Γ) ∩ K = S(Γ∩ K) である。

これより、本命題の主張は明らかである。
証明終

定義
X をハウスドルフ空間とする。

X = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n があるとき
X を σ-コンパクトと言う。

命題
X をσ-コンパクト(>>100)な局所コンパクト空間とする。

X における狭義の Borel 集合と Borel 集合は同じものである。

証明
閉集合全体をΩとし、コンパクト集合全体をΓとする。
>>94 の記法で S(Ω) = S(Γ) を証明すればよい。

仮定より、
X = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
従って、X ∈ S(Γ) である。

F を X の任意の閉集合とする。
F = ∪(F ∩ K_n) である。
F ∩ K_n はコンパクトだから F ∈ S(Γ) である。
即ち、Ω ⊂ S(Γ) である。
よって
S(Ω) ⊂ S(Γ) である。
他方、Γ ⊂ Ω だから、
S(Γ) ⊂ S(Ω) である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

K を X のコンパクト集合とする。
K が外正則で、
E ⊂ K が K において外正則であるなら X においても外正則である。

証明
ε ＞ 0 を任意の実数とする。
K ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ μ(K) + ε
となるものがある。

E ⊂ V となる開集合 V で
μ(K ∩ V) ＜ μ(E) + ε
となるものがある。

E ⊂ K ∩ V ⊂ U ∩ V

(U ∩ V) - (K ∩ V) ⊂ U - K
よって
μ(U ∩ V) - μ(K ∩ V) ≦ μ(U - K) = μ(U) - μ(K) ＜ ε

μ(K ∩ V) - μ(E) ＜ ε と併せて
μ(U ∩ V) - μ(E) ＜ 2ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

全てのコンパクト集合が μ に関して外正則(>>19)なら、
全ての狭義の Borel 集合(過去スレ007の836)は外正則である。

証明
E を狭義の Borel 集合とする。
過去スレ007の837 より
E ⊂ ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
E = ∪(E ∩ K_n) である。

>>99 より E ∩ K_n は K_n における狭義の Borel 集合である。
K_n はコンパクトだから >>101 より E ∩ K_n は
K_n における Borel 集合である。
K_n に含まれるコンパクト集合は、明らかに K_n において外正則である。
従って >>92 より E ∩ K_n は K_n において外正則である。
よって >>102 より E ∩ K_n は X においても外正則である。
E = ∪(E ∩ K_n) だから、>>80 より E も外正則である。
証明終

定理
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

X が第２可算公理を満たせば、μ は準正則(>>40)である。

証明
>>76 より X の任意の開集合は μ に関して内正則(>>19)である。

>>78 より X の任意のコンパクト集合は μ に関して
外正則(>>19)である。

>>103 より X の全ての狭義の Borel 集合(過去スレ007の836)は
外正則である。

>>75 より X はσ-コンパクト(>>100)である。

>>101 より X の狭義の Borel 集合と Borel 集合は
同じものである。
証明終

>>104 は結果は知っていたがその証明を他に見たことがない。

どなたかご存知ですか？

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ で定義された
準正則(>>40)な測度とする。

さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) ＜ +∞ とする。

E_1 ⊂ E_2 ⊂ . . . を μ に関して内正則(>>19)な集合の列とする。
E = ∪E_n も内正則である。

証明
c ＜ μ(E) となる任意の実数 c に対して c ＜ μ(K), K ⊂ E
となるコンパクト集合 K があることを示せばよい。
過去スレ007の323より、μ(E) = lim μ(E_n) であるから、
c ＜ μ(E_n) となる n がある。

E_n は内正則だから c ＜ μ(K), K ⊂ E_n となる
コンパクト集合がある。
この K が求めるものである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ で定義された
準正則(>>40)な測度とする。

さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) ＜ +∞ とする。

E ∈ Ψ が σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつなら、
E は内正則(>>19)である。

証明
E = ∪E_n となり、各 μ(E_n) ＜ +∞ となる。
E_1 ⊂ E_2 ⊂ . . . と仮定してよい。

>>73 より書く E_n は内正則である。
よって、>>106 より E も内正則である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X の 開集合全体を含む σ-集合代数 Ψ で定義された
準正則(>>40)な測度とする。

さらに、X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) ＜ +∞ とする。

X がσ-コンパクト(>>100)なら μ は正則(>>19)である。

証明
>>107 より明らかである。

定理
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

X が第２可算公理を満たせば、μ は正則(>>19)である。

証明
>>75 より X はσ-コンパクト(>>100)である。
>>104 と >>108 より μ は正則(>>19)である。
証明終

我々は M+(X) (過去スレ007の715) の元 L から出発して、
X の測度を定義し、次に積分を考えた。

しかし、積分だけなら L から直接定義出来そうである。
何故なら、可測関数 f ≧ 0 が K+(X) に属す関数 f_n の単調増加な
極限として表せる場合、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)
より、f の積分は L(f_n) の極限となる。

積分が求まれば、可測集合の測度はその特性関数の積分として求まる。
つまり、 M+(X) → 積分 → 測度
の順番である。

測度より積分重視の視点に立てばこちらのほうが直接的である。
これが Bourbaki の積分論の思想である
(彼らのオリジナルの思想というわけではないが)。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

U を X の開集合とする。

μ(U) = sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X)}

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X) とする。
∫[X] f dμ ≦ ∫[X] χ_U dμ = μ(U) となる。
Riesz の表現定理(>>50)より、L(f) = ∫[X] f dμ であるから
L(f) ≦ μ(U) である。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
c ＜ μ(U) となる任意の実数 c に対して c ＜ μ(K), K ⊂ U
となるコンパクト集合 K がある。

過去スレ007の703 より、K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ が
コンパクトとなるものが存在する。
過去スレ007の706より、連続関数 f : X → [0, 1] で、
K の上で 1、X - V~ で 0 となるものが存在する。

χ_K ≦ f ≦ χ_U だから
∫[X] χ_K dμ ≦ ∫[X] f dμ
即ち、μ(K) ≦ L(f)
よって c ＜ L(f)
証明終

>>111 は少し強めることが出来る。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

U を X の開集合とする。

μ(U) = sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ U}

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
>>111 の証明より明らかである。

定義
X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
a を X の点とする。

c ＜ f(a) となる任意の有限実数 c に対して a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＜ f(x)

となるとき、f は a で下半連続であると言う。

f が X の各点で下半連続であるとき、 f を X 上で下半連続である
と言う。

命題
X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
f が X 上で下半連続(>>113)であるためには、任意の (有限) 実数 c に
対して、{x ∈ X | f(x) ＞ c } が開集合であることが必要十分である。

証明
自明である。

命題
X を位相空間、A を X の部分集合とする。
A の特性関数 χ_A が下半連続(>>113)であるためには、
A が開集合であることが必要十分である。

証明
c ≧ 1 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = φ
1 ＞ c ≧ 0 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = A
0 ＞ c のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = X

これから明らかである。
証明終

命題
X を位相空間、(f_λ), λ ∈ Λ を X から R~ = [-∞, +∞] への
下半連続関数(>>113)の族とする。

f = sup{f_λ | λ ∈ Λ} は下半連続である。

証明
任意の a ∈ X を固定する。

f(a) = -∞ のとき、c ＜ f(a) となる(有限) 実数は存在しない。
よってこの場合は自明である。

f(a) ≠ -∞ のとき c を c ＜ f(a) となる任意の(有限) 実数とする
c ＜ f_λ(a) ≦ f(a) となる λ ∈ Λ がある。

a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＜ f_λ(x) ≦ f(x)
証明終

命題
X を位相空間、f, g を X から R~ = (-∞, +∞] への
下半連続関数(>>113)とする。

f + g は下半連続である。

証明
任意の a ∈ X を固定する。
c を c ＜ f(a) + g(a) となる任意の(有限) 実数とする
f(a) ＜ +∞ のとき、c - f(a) ＜ g(a) だから
c - f(a) ＜ s ＜ g(a) となる実数をとる。
r = c - s とおく。
c = r + s で r ＜ f(a), s ＜ g(a) となる。
a の近傍 U で x ∈ U のとき r ＜ f(x) かつ s ＜ g(x) となる
ものがある。
このとき、c = r + s ＜ f(x) + g(x) である。
g(a) ＜ +∞ のときも同様である。

f(a) = g(a) = +∞ のとき
任意の(有限) 実数 c に対して c ＜ f(a) + g(a) となる。
c/2 ＜ f(a)
c/2 ＜ g(a)
だから
a の近傍 U で x ∈ U のとき c/2 ＜ f(x) かつ c/2 ＜ g(x) となる
ものがある。
このとき、c ＜ f(x) + g(x) である。
証明終

命題
X を位相空間、f, g を X から R~ = [-∞, +∞] への
下半連続関数(>>113)とする。

inf(f, g) は下半連続である。

証明
h = inf(f, g) とおく。
任意の a ∈ X を固定し、h が a で下半連続であることを証明する。
h(a) = -∞ なら自明である。

h(a) ≠ -∞ のとき c を c ＜ h(a) となる任意の(有限) 実数とする
c ＜ h(a) ≦ f(a)
c ＜ h(a) ≦ g(a)
だから
a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＜ f(x), c ＜ g(x) となる。
このとき c ＜ h(x) となる。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
X から [0, +∞] への下半連続関数(>>113)の全体を I+(X) または
単に I+ と書く。

命題
X を局所コンパクト空間とする。

任意の f ∈ I+(X) (>>119) に対して
f = sup { g ∈ K+(X) | g ≦ f }

証明
任意の a ∈ X を固定する。
c を c ＜ f(a) となる任意の (有限) 実数とする

a の近傍 U で x ∈ U のとき c ＜ f(x) となるものがある。

過去スレ007の702 より、a ∈ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ が
コンパクトとなるものが存在する。
過去スレ007の706 より、
このとき、連続関数 h : X → [0, 1] で
h(a) = 1, X - V~ で 0 となるものが存在する。

g = ch とおくと、x ∈ U のときは g(x) ≦ c であり、
x ∈ X - U のとき g(x) = 0 となる。
従って、g ∈ K+(X), g ≦ f であり、
c = g(a) ＜ f(a) となる。
証明終

>>105

Rudin の本に証明されていた。
後で紹介する。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

E を可測集合で μ(E) ＜ +∞ とする。

任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ E ⊂ U
μ(U) - μ(E) ＜ ε
となるコンパクト集合 K と 開集合 U が存在する。

証明
>>56 より μ は準正則(>>37)であるから E は外正則(>>19)である。
>>30 より E は内正則である。

よって、任意の ε ＞ 0 に対して
E ⊂ U, μ(U) ＜ μ(E) + ε/2
となる開集合 U と、
K ⊂ E, μ(E) ＜ μ(K) + ε/2
となるコンパクト集合 K がある。

よって、
μ(U) - μ(K) = (μ(U) - μ(E)) + (μ(E) - μ(K)) ＜ ε
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

μ-可測な集合全体を Φ とき、
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
s を R = [0, +∞) に値をとる
Ψ 上の単関数(過去スレ007の371)とする。

任意の ε ＞ 0 に対して
|∫[X] s dμ - ∫[X] f dμ| ＜ ε となる f ∈ K+(X) がある。
ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ＞ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

M = max{a_1, . . . , a_n} とおく。

>>122 より、各 i で、
K_i ⊂ E_i ⊂ U_i
μ(U_i) - μ(K_i) ＜ ε/nM
となるコンパクト集合 K_i と 開集合 U_i が存在する。
過去スレ007の706 より、
χ_(K_i) ≦ f_i ≦ χ_(U_i) となる f_i ∈ K+(X) がある。
f = Σ(a_i)f_i とおく。

|∫[X] s dμ - ∫[X] f dμ|
≦ Σ(a_i)|∫[X] χ_(E_i) dμ - ∫[X] f_i dμ|
＜ (Σa_i)ε/nM ≦ ε
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
E を X の任意の集合とする。
ある実数 a ＞0 と f ∈ I+(X) (>>119) に対して、
任意の x ∈ E に対して a ＜ f(x) とする。

このとき E ⊂ U となる開集合 U で
任意の x ∈ U に対して a ＜ f(x) となるものが存在する。

証明
E の各点 x において a ＜ f(x) だから x ∈ U_x となる
開集合 U_x で 任意の y ∈ U_x に対して a ＜ f(y) となるものがある。
U = ∪{ U_x | x ∈ E} とおけばよい。
証明終

>>124 は >>114 から直ちに出る。

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

μ-可測な集合全体を Φ とき、
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
s を R = [0, +∞) に値をとる
Ψ 上の単関数(過去スレ007の371)とする。
f ∈ I+(X) (>>119) があり、s ≦ f とする。

任意の ε ＞ 0 に対して
|∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ| ＜ ε となる g ∈ K+(X) で
g ≦ f となるものがある。

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
∫[X] s dμ = 0 なら やはり g = 0 とすればよい。
従って ∫[X] s dμ ≠ 0 と仮定する。
従って s ≠ 0 である。

s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ＞ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

M = max{a_1, . . . , a_n} とおく。
S = max{μ(E_1), . . . , μ(E_n)} とおく。
s ≠ 0 だから M ＞ 0
∫[X] s dμ ≠ 0 だから S ＞ 0

(続く)

>>126 の続き

各 i に対して、0 ＜ b_i ＜ a_i, a_i - b_i ＜ ε/(2nS)
となる b_i をとる。

t = Σ(b_i)χ_(E_i) とおく。

>>124 より E_i ⊂ U_i となる開集合 U_i で
任意の x ∈ U_i に対して b_i ＜ f(x) となるものが存在する。

>>122 より、各 i で、
K_i ⊂ E_i ⊂ V_i
μ(V_i) - μ(K_i) ＜ ε/2nM
となるコンパクト集合 K_i と 開集合 V_i が存在する。
V_i を V_i ∩ U_i に置き換えれば、 初めから V_i ⊂ U_i としてよい。

過去スレ007の706 より、
χ_(K_i) ≦ g_i ≦ χ_(V_i) となる g_i ∈ K+(X) がある。
g = Σ(b_i)g_i とおく。
g ≦ f である。

|∫[X] t dμ - ∫[X] g dμ|
≦ Σ(b_i)|∫[X] χ_(E_i) dμ - ∫[X] g_i dμ|
≦ Σ(b_i)(μ(V_i) - μ(K_i))
＜ (Σb_i)ε/2nM ＜ ε/2

∫[X] s dμ - ∫[X] t dμ = Σ(a_i - b_i)μ(E_i)
≦ S(Σ(a_i - b_i)) ＜ ε/2

|∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ|
≦ |∫[X] s dμ - ∫[X] t dμ| + |∫[X] t dμ - ∫[X] g dμ| ＜ ε
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

E をμ-可測な集合で μ(E) = +∞ とする。
実数 a ＞ 0 と f ∈ I+(X) (>>119) があり、
任意の x ∈ E に対して a ＜ f(x) とする。

このとき、
sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞

証明
>>124 より E ⊂ U となる開集合 U で
任意の x ∈ U に対して a ＜ f(x) となるものが存在する。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K }

E ⊂ U だから μ(E) ≦ μ(U) であり、μ(U) = +∞ である。
よって、任意の c ＞ 0 に対して c ＜ μ(K), K ⊂ U となる
コンパクト集合 K が存在する。
過去スレ007の706 より、
このとき、連続関数 h : X → [0, 1] で、h ∈ K+(X),
K で 1, X - U で 0 となるものが存在する。
g = ah とおけば、g ∈ K+(X) で g ≦ f である。
a(χ_K) ≦ g だから ∫[X] a(χ_K) dμ ≦ ∫[X] g dμ

∫[X] a(χ_K) dμ = aμ(K) だから aμ(K) ≦ ∫[X] g dμ
c ＜ μ(K) より、ac ≦ ∫[X] g dμ
c ＞ 0 は任意だから、sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞
証明終

今は、これを証明しようとしている。

任意の f ∈ I+(X) (>>119) に対して
∫[X] f dμ = sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) }

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317) とする。

f : X → [0, +∞] を可測関数で、
S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度は σ-有限(過去スレ007の448)
ではないとする。

このとき Φ上の単関数(過去スレ007の371) g で 0 ≦ g ≦ f となり、
∫[X] g dμ = +∞ となるものが存在する。

証明
本命題のような単関数が存在しないとする。

過去スレ007の304より、
次の条件を見たす可測で有限な単関数 g_n が存在する。

1) 0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき g_n(x) → f(x)

仮定より、∫[X] g_n dμ ＜ +∞ であるから S(g_n) の測度は
有限である。
過去スレ007の551より S(f) の測度は σ-有限となる。
これは矛盾である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

任意の f ∈ I+(X) (>>119) に対して
∫[X] f dμ = sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) }

証明
μ-可測な集合全体を Φ とする。

S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限(過去スレ007の448)
ではない場合。
>>8 より、∫[X] f dμ = +∞ である。

>>130 より Φ上の単関数(過去スレ007の371) g で 0 ≦ g ≦ f となり、
∫[X] g dμ = +∞ となるものが存在する。

g = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ＞ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。
μ(E_i) = +∞ となる E_i がある。
任意の x ∈ E_i に対して g(x) = a_i ≦ f(x) である。
>>128 より、sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞

よって、この場合、本命題は成り立つ。

(続く)

>>131 の続き。

S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限な場合。

>>8より
∫[X] f dμ = sup {∫[X] s dμ | 0 ≦ s ≦ f, s ∈ E(Ψ) }

c ＜ ∫[X] f dμ となる任意の c に対して、
c ＜ ∫[X] s dμ となる s ∈ E(Ψ) がある。

0 ＜ ε ＜ ∫[X] s dμ - c となる ε に対して、
>>126 より
|∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ| ＜ ε となる g ∈ K+(X) で
g ≦ f となるものがある。

∫[X] g dμ ＞ ∫[X] s dμ - ε ＞ c
よって
∫[X] f dμ = sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) }
証明終

今、何をやろうとしているかというと、Bourbaki の積分論の結果を
その全てではないにしろ我々が今までやってきた積分論の範囲で
取り込もうとしている。
Bourbaki の積分論を我々の方法で解釈し直すと言ってもいい。
どこまで出来るかわからないが。

>>112 の別証
(Riesz の表現定理(>>50)を使わないのでこちらのほうが優れている)

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

U を X の開集合とする。

μ(U) = sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ U}

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。
証明
μ(U) = +∞ のとき。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
任意の c ＞ 0 に対して K ⊂ U, c ＜ μ(K) となるコンパクト集合が
ある。
過去スレ007の706 より、
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V でその閉包 V~ がコンパクトとなる
ものがあり、
χ_K ≦ f ≦ χ_V~ ≦ χ_U
となる連続関数 f がある。

μ(K) ≦ L(f) ≦ μ(V~) ≦ μ(U)
よって
0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ V~ ⊂ U
c ＜ L(f)
よって、
sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ U} = +∞
(続く)

>>134 の続き

μ(U) ＜ +∞ のとき。
>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ U, μ(U) - μ(K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K がある。

過去スレ007の706 より、
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V でその閉包 V~ がコンパクトとなる
ものがあり、
χ_K ≦ f ≦ χ_V~ ≦ χ_U
となる連続関数 f がある。

一方、χ_K ≦ g となる g ∈ K+(X) で
L(g) - μ(K) ＜ ε/2 となるものがある。
h = inf(f, g) は K+(X) の元で χ_K ≦ h ≦ f であり、
h ≦ g だから L(h) - μ(K) ＜ ε/2 である。
よって初めから L(f) - μ(K) ＜ ε/2 としてよい。

L(f) - μ(K) ＜ ε/2
よって、
0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ V~ ⊂ U
μ(K) ≦ L(f) ≦ μ(V~) ≦ μ(U)

|μ(U) - L(f)| = |μ(U) - μ(K)| + |μ(K) - L(f)| ＜ ε
証明終

Riesz の表現定理(>>50)の別証

定理(Riesz の表現定理)
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

任意の f ∈ K(X) (過去スレ007の708) に対して
L(f) = ∫[X] f dμ となる。

証明
>>131 より f ∈ K+(X) のとき、L(f) = ∫[X] f dμ となる。

f ∈ K(X) のとき。

f^(+) = sup{f, 0}
f^(-) = sup{-f, 0}
とおくと、
f^(+) ∈ K+(X)
f^(-) ∈ K-(X)

f = f^(+) - f^(-) と分解すれば、

∫[X] f dμ = ∫[X] f^(+) dμ - ∫[X] f^(-) dμ
= L(f^(+)) - L(f^(-)) = L(f^(+) - f^(-)) = L(f)
証明終

>>131 の証明はRiesz の表現定理(>>50)を使ってないはずだから、
>>136 の証明は循環論法ではないだろう(今、ちょっと不安だが)。

もし、これが正しければ、>>50 の証明より優れているだろう。
>>50 は技巧的でわかりにくい。

X をコンパクト空間とする。

K(X) (過去スレ007の708) の元 f に対して
|f|_b = sup{|f(x)| | x ∈ X } と書いた。
|f|_b は線形空間 K(X) のノルム(過去スレ007の561)である。

K(X) はこのノルムで距離空間となるから一様空間である。
この一様構造を一様収束の構造と言った(過去スレ007の149)。
このノルムで定まる位相を一様収束の位相と言った
(過去スレ007の149)。

K(X) の点列 (f_n), n ≧ 0 がこの位相で f に収束するとき、
(f_n) は f に一様収束すると言った(過去スレ007の149)。

L を集合とし、Φ をその上のフィルターの基底とする。

(f_λ), λ ∈ L を K(X) の元の族とする。
(f_λ) で定まる K(X) のフィルターの基底がこの位相で
f に収束するとき、(f_λ) は f に一様収束すると言う。

A を集合とする。
A 上の関係 ≦ が以下の２条件を満たすとき R を前順序(preorder)と言い、
A を前順序集合(preordered set)と言う。

(1) 任意の a ∈ A に対して、a≦a が成り立つ。
(2) 任意の a, b, c ∈ A に対して、 a ≦ b かつ b ≦ c なら a ≦ c が成り立つ。

定義
A を前順序集合(>>139)とする。
A の任意２元 a, b に対して a ≦ c, b ≦ c となる c ∈ A が
あるとき A を上向きの有向集合と言う。

A の任意２元 a, b に対して a ≧ c, b ≧ c となる c ∈ A が
あるとき A を下向きの有向集合と言う。

定理(Dini の定理)
X をコンパクト空間とする。
L を上向きの有向集合(>>140)とする。
(f_λ), λ ∈ L を K(X) (過去スレ007の708) の元の族とし、
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ とする。

f = sup {f_λ | λ ∈ L } ∈ K(X) のとき
(f_λ) は f に一様収束する(>>138)。
同様に g = inf {f_λ | λ ∈ L } ∈ K(X) のとき
(f_λ) は g に一様収束する(>>138)。

証明
λ ∈ L のとき L(λ) = {μ ∈ L | λ ≦ μ ｝とおく。
L は上向きの有向集合だから L(λ) 全体は L のフィルターの基底となる。

任意の実数 ε ＞ 0 を固定する。
任意の x ∈ X に対して f(x) - ε ＜ f_(λ_x)(x) となる
λ_x ∈ L がある。
V_x = {y ∈ X | f(y) - ε ＜ f_(λ_x)(y) } とおく。
V_x は x を含む開集合である。

X はコンパクトだから x_1, . . ., x_n ∈ X があって、
X = ∪V_(x_i), i = 1, 2, . . ., n となる。
L は上向きの有向集合だから、
sup(λ_(x_1), . . ., λ_(x_n)) ≦ λ となる λ ∈ L がある。
任意の x ∈ X に対して x ∈ V_(x_i) となる i がある。
f(x) - ε ＜ f_(λ_(x_i))(x) ≦ f_λ(x)
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ だから f(x) - ε ＜ f_μ(x) である。
よって (f_λ) は f に一様収束(>>138)する。

同様に (f_λ) は g に一様収束する。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。

L を上向きの有向集合(>>140)とする。
(f_λ), λ ∈ L を K+(X) (過去スレ007の713) の元の族とし、
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ とする。

f = sup { f_λ | λ ∈ L } ∈ K+(X) のとき
L(f) = sup { L(f_λ) | λ ∈ L } となる。

証明
K = Supp(f) (過去スレ007の671) とおく。

f(x) = 0 なら f_λ(x) = 0 だから
Supp(f_λ) ⊂ K である。

過去スレ007の717より、
K のみによって決まる定数 M ≧ 0 が存在し、
Supp(f) ⊂ K なら

|L(f)| ≦ M|f|_b
ここで、|f|_b は f のノルムである(過去スレ007の712)。

Dini の定理(>>141) より
任意の実数 ε ＞ 0 に対して λ ∈ L があり、
λ ≦ μ のとき任意の x ∈ K に対して
f(x) - f_μ(x) ＜ ε である。
よって、
L(f) - L(f_μ) = L(f - f_μ) ≦ M|f - f_μ|_b ≦ ε
証明終

>>142 を以下のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。

Λ を上向きの有向集合(>>140)とする。
(f_λ), λ ∈ Λ を K+(X) (過去スレ007の713) の元の族とし、
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ とする。

f = sup { f_λ | λ ∈ Λ } ∈ K+(X) のとき
L(f) = sup { L(f_λ) | λ ∈ Λ } となる。

証明
K = Supp(f) (過去スレ007の671) とおく。
f(x) = 0 なら f_λ(x) = 0 だから
Supp(f_λ) ⊂ K である。

過去スレ007の717より、
K のみによって決まる定数 M ≧ 0 が存在し、
Supp(f) ⊂ K なら

|L(f)| ≦ M|f|_b
ここで、|f|_b は f のノルムである(過去スレ007の712)。

Dini の定理(>>141) より
任意の実数 ε ＞ 0 に対して λ ∈ Λ があり、
λ ≦ μ のとき任意の x ∈ K に対して
f(x) - f_μ(x) ＜ ε である。
よって、
L(f) - L(f_μ) = L(f - f_μ) ≦ M|f - f_μ|_b ≦ ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

H を I+(X) (>>119) の空でない部分称号とし、
関係 f ≦ g に関して上向きの有向集合(>>140)となっているとする。

f = sup { g | g ∈ H } とおくと、
∫[X] f dμ = sup { ∫[X] g dμ | g ∈ H } となる。

証明
>>116 より f ∈ I+(X) である。

g ∈ H に対して Φ_g = { ψ ∈ K+(X) | ψ ≦ g } とおき、
Φ = ∪{ Φ_g | g ∈ H } とおく。

ψ_1, ψ_2 ∈ Φ とし、ψ_1 ≦ g_1, ψ_2 ≦ g_2 とする。
ここで、g_1 ∈ H, g_2 ∈ H
H は有向集合だから、g_1 ≦ g, g_2 ≦ g となる g ∈ H がある。
ψ_1 ≦ g, ψ_2 ≦ g となるから、sup(ψ_1, ψ_2) ≦ g である。
sup(ψ_1, ψ_2) ∈ K+(X) だから sup(ψ_1, ψ_2) ∈ Φ である。
よって、Φ は有向集合である。

f = sup { g | g ∈ H } であるから、
x ∈ X と任意の ε ＞ 0 に対して、
f(x) - ε ＜ g(x) となる g ∈ H がある。

>>120 より、f(x) - ε ＜ ψ(x) ≦ g(x) となる ψ ∈ Φ_g がある。
よって f = sup{ ψ | ψ ∈ Φ }
(続く)

>>144 の続き。

h ≦ f となる h ∈ K+(X) を任意にとる。

x ∈ X と任意の任意の ε ＞ 0 に対して、
h(x) - ε ＜ h(x) ≦ f(x) だから f = sup{ ψ | ψ ∈ Φ } より、
h(x) - ε ＜ ψ(x) ＜ f(x) となる ψ ∈ Φ がある。
よって h(x) - ε ＜ inf(h(x), ψ(x)) となる。
よって h = sup{ inf(h, ψ) | ψ ∈ Φ } である。
inf(h, ψ) ∈ K+(X) だから、Φ は有向集合であることに注意して
>>143 より L(h) = sup { L(inf(h, ψ)) | ψ ∈ Φ } となる。

各 ψ ∈ Φ に対して ψ ≦ g となる g ∈ H がある。
inf(h, ψ) ≦ g であるから >131 より、
L(inf(h, ψ)) ≦ ∫[X] g dμ ≦ sup { ∫[X] g dμ | g ∈ H }
即ち、
L(h) ≦ sup { ∫[X] g dμ | g ∈ H }

h は任意の h ≦ f, h ∈ K+(X) だから
>>131 より ∫[X] f dμ ≦ sup { ∫[X] g dμ | g ∈ H }
逆向きの不等号は明らかである。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f を X から [0, +∞] への任意の関数とする。

∫^*[X] f dμ = inf{ ∫[X] h dμ | f ≦ h, h ∈ I+(X) }
を f の μ に関する上積分と言う。

ここで、I+(X) は >>119 で定義したもの。

定義
X を位相空間とする。
L を上向きの有向集合(>>140)とする。
f を L から X への写像とする。

λ ∈ L のとき L(λ) = {μ ∈ L | λ ≦ μ ｝とおく。
L は上向きの有向集合だから L(λ) 全体は L のフィルターの基底となる。
従って、f(L(λ)) 全体は X のフィルターの基底となる。
これが X の点 x に収束するとき、f は x に収束すると言い、
x = lim f と書く。

これは x の任意の近傍 V に対して、ある λ ∈ L があり、
λ ≦ μ なら f(μ) ∈ V となるということである。

(x_λ), λ ∈ L を X の元の族としたとき、写像 λ → x_λ が
X の点 x に収束するとき、(x_λ) は x に収束すると言い、
x = lim (x_λ), λ ∈ L または単に x = lim (x_λ)
または x = lim { x_λ | λ ∈ L } と書く。

>>138 の前に >>147 の定義をしておいたほうがよかった。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f と g を X から [0, +∞] への任意の関数とする。

∫^*[X] (f + g) dμ ≦ ∫^*[X] f dμ + ∫^*[X] g dμ

証明
h_1, h_2 ∈ I+(X) のとき、
∫[X] (h_1 + h_2) dμ = ∫[X] h_1 dμ + ∫[X] h_2 dμ

これより直ちにわかる。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f_1 ≦ f_2 ≦ . . . を X から [0, +∞] への関数の単調増加列とする。
f = sup (f_n) とおく。

∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] f_n dμ

証明
∫^*[X] f dμ ≦ sup ∫^*[X] f_n dμ を証明すればよい。
したがって、sup ∫^*[X] f_n dμ ＜ +∞ と仮定してよい。
任意の ε ＞ 0 を固定する。

∫[X] h_n dμ ＜ ∫^*[X] f_n dμ + ε/2^n
f_n ≦ h_n
となる h_n ∈ I+(X) がある。

g_n = sup(h_1, . . ., h_n) とおく。

g_n ≧ f_n, h_(n+1) ≧ f_(n+1) ≧ f_n より
inf(g_n, h_(n+1)) ≧ f_n

inf(g_n, h_(n+1)) + sup(g_n, h_(n+1)) = g_n + h_(n+1)
であるから、

∫[X] g_(n+1) dμ = ∫[X] sup(g_n, h_(n+1)) dμ
= ∫[X] g_n dμ + ∫[X] h_(n+1) dμ - ∫[X] inf(g_n, h_(n+1)) dμ
≦ ∫[X] g_n dμ + ∫[X] h_(n+1) dμ - ∫^*[X] f_n dμ
≦ ∫[X] g_n dμ + ∫^*[X] f_(n+1) dμ - ∫^*[X] f_n dμ + ε/2^(n+1)
(続く)

>>150 の続き。

∫[X] g_(n+1) dμ - ∫[X] g_n dμ
≦ ∫^*[X] f_(n+1) dμ - ∫^*[X] f_n dμ + ε/2^(n+1)

この両辺を n = 1 から m まで加えて、
∫[X] g_m dμ - ∫[X] g_1 dμ
≦ ∫^*[X] f_m dμ - ∫^*[X] f_1 dμ + ε

∫[X] g_m dμ
≦ ∫^*[X] f_m dμ + ∫[X] g_1 dμ - ∫^*[X] f_1 dμ + ε
= ∫^*[X] f_m dμ + ε/2 + ε = ∫^*[X] f_m dμ + (3/2)ε

g = sup (g_n) とおくと、>>144 または
Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
∫[X] g dμ = sup ∫[X] g_n dμ ≦ sup ∫[X] f_n dμ + (3/2)ε

f_n ≦ g_n だから f ≦ g
よって
∫^*[X] f dμ ≦ ∫^*[X] g dμ ≦ sup ∫^*[X] f_n dμ + (3/2)ε

ε は任意だから
∫^*[X] f dμ ≦ sup ∫^*[X] f_n dμ
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

E を X の任意の部分集合とする。

∫^*[X] χ_E dμ = inf { μ(U) | E ⊂ U, U は開集合 }

即ち ∫^*[X] (χ_E) dμ は E の外測度(>>17) μ^*(E) である。

証明
E が開集合のとき、>>115 より χ_E ∈ I+(X) である。
従って ∫^*[X] (χ_E) dμ = ∫[X] (χ_E) dμ = μ(E) である。
よって、この場合は本命題は成り立つ。

∫^*[X] (χ_E) dμ = +∞ とする。
U を開集合で E ⊂ U とする。
χ_E ≦ χ_U だから
∫^*[X] χ_E dμ ≦ ∫^*[X] χ_U dμ = μ(U)
よって、μ(U) = +∞
よって、この場合も本命題は成り立つ。

(続く)

>>152 の続き。

∫^*[X] (χ_E) dμ ＜ +∞ とする。

0 ＜ ε ＜ 1 となる任意の実数をとる。
χ_E ≦ h
∫[X] h dμ ＜ ∫^*[X] (χ_E) dμ + ε
となる h ∈ I+(X) がある。

U = { x ∈ X | h(x) ＞ 1 - ε}
>>114 より U は開集合である。
χ_U ≦ (1/(1 - ε))h

μ(U) = ∫[X] χ_U dμ ≦ 1/(1 - ε)∫[X] h dμ
＜ 1/(1 - ε)(∫^*[X] (χ_E) dμ + ε)

ε は任意だから、μ(U) と ∫^*[X] (χ_E) dμ の差はいくらでも
小さく出来る。
よって本命題が成り立つ。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

A と B をコンパクト集合で A ∩ B ≠ φ
μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0 とする。
α ＞ 0, β ＞ 0 を実数とする。

∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)

証明
>>149 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ

>>152 より、
α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ = αμ(A) + βμ(B)
よって、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≦ αμ(A) + βμ(B)

よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。

A ⊂ U_0, B ⊂ V_0, U_0 ∩ V_0 ≠ φ となる開集合 U_0, V_0 がある。
任意の ε ＞ 0 をとる。
f ∈ I+(X) で αχ_A + βχ_B ≦ f
∫[X] f dμ ＜ ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ + ε
となるものがある。
(続く)

>>154 の続き。

0 ＜ δ ＜ min{α, β} となる δ をとる。

>>124 より、A ⊂ U ⊂ U_0 となる開集合 U で任意の x ∈ U に対して
f(x) ＞ α - δ となるものがある。

同様に B ⊂ V ⊂ V_0 となる開集合 V で任意の x ∈ V に対して
f(x) ＞ β - δ となるものがある。

f ≧ (α - δ)χ_U + (β - δ)χ_V である。

∫[X] f dμ ≧ ∫[X] ((α - δ)χ_U + (β - δ)χ_V) dμ
= (α - δ)μ(U) dμ + (β - δ)μ(V)
≧ αμ(A) + βμ(B) - δμ(U_0) - δμ(V_0)

初めから、
0 ＜ δ ＜ min{α, β}
δ(μ(U_0) + μ(V_0)) ＜ ε となるように δ をとっておけば、

∫[X] f dμ ＞ αμ(A) + βμ(B) - ε

∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ + ε ＞ ∫[X] f dμ
＞ αμ(A) + βμ*(B) - ε

よって、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ＞ αμ(A) + βμ(B) - 2ε

ε ＞ 0 は任意だから、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
A と B を可測集合で A ∩ B ≠ φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。
このとき、∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)

証明
>>149 と >>152 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ
= αμ(A) + βμ(B)
よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。

αχ_A + βχ_B ≧ βχ_B だから
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ ∫^*[X] βχ_B dμ
よって、α = 0 または μ(A) = 0 なら命題は成り立つ。
同様に、β = 0 または μ(B) = 0 なら命題は成り立つ。
α ＞ 0, μ(A) = +∞ なら、
αχ_A + βχ_B ≦ f となる任意の f ∈ I+(X) に対して
αχ_A ≦ f だから
∫^*[X] αχ_A dμ ≦ ∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
>>152 より ∫^*[X] αχ_A dμ = αμ(A) = +∞
よって ∫[X] f dμ = +∞
よって ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = +∞
この場合も命題は成り立つ。
同様に β ＞ 0, μ(B) = +∞ なら命題は成り立つ。
以上から、μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0, α ＞ 0, β ＞ 0 の場合に
命題を証明すればよい。
(続く)

>>156 の続き。

>>56 より μ は準正則(>>37)である。
>>107 より A と B は内正則(>>19)である。
よって、任意の ε ＞ 0 に対して、
K ⊂ A, μ(K) ＞ μ(A) - ε
M ⊂ B, μ(M) ＞ μ(B) - ε
となるコンパクト集合 K, M がある。

>>154 より、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ ∫^*[X] (αχ_K + βχ_M) dμ
= αμ(K) + βμ(M) ＞ αμ(A) + βμ(B) - ε(α + β)

ε は任意だから
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
証明終

訂正
>>154
>>A と B をコンパクト集合で A ∩ B ≠ φ

A と B をコンパクト集合で A ∩ B = φ

訂正
>>156
>>A と B を可測集合で A ∩ B ≠ φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。

A と B を可測集合で A ∩ B = φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f : X → [0, +∞] を任意の可測関数とする。

∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
である。

証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
s_n が存在する。

1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)

>>156 より、∫^*[X] s_n dμ = ∫[X] s_n dμ である。

Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
∫[X] f dμ = sup ∫[X] s_n dμ

>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] s_n dμ = sup ∫[X] s_n dμ

よって
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f を X から [0, +∞] への関数とする。
∫^*[X] f dμ ＜ +∞ なら f は a.e. に有限である。

証明
E = { x ∈ X | f(x) = +∞ } とおく。

任意の整数 n ＞ 0 に対して
nχ_E ≦ f であるから
nμ^*(E) ≦ ∫^*[X] f dμ ＜ +∞

よって
μ^*(E) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

(f_n), n =1, 2, . . . を X から [0, +∞] への関数の列とする。

このとき、
∫^*[X] Σf_n dμ ≦ Σ ∫^*[X] f_n dμ

証明
f = Σf_n とおき、
g_n = f_1 + . . . + f_n とおく。

g_1 ≦ g_2 ≦ . . .
f = sup (g_n) である。

>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] g_n dμ
≦ sup (∫^*[X] f_1 dμ + . . . + ∫^*[X] f_n dμ)
= Σ ∫^*[X] f_n dμ
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とする。
M+(X) (過去スレ007の715) のある元から誘導された測度(>>36)を
Radon 測度と言う。

>>163

>>68 で後で気が変わるかもしれないと書いたが、その通りになった。
この言葉を導入しないと命題の条件を述べるときに
繰り返しが多くて面倒である。

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
∫^*[X] f dμ = 0 なら f = 0 (a.e.) である。

証明
E = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
χ_E ≦ sup{ nf | n =1, 2, . . .} ≦ Σ nf

>>162 より
∫^*[X] Σnf dμ ≦ Σ ∫^*[X] nf dμ = Σ n∫^*[X] f dμ = 0

よって >>152 より
∫^*[X] χ_E dμ = μ^*(E) = 0
証明終

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K(X) (過去スレ007の708)の 元の列 (f_n), n =1, 2, . . . があり、
n → +∞ のとき ∫^*[X] |f - f_n| dμ → 0
となるとする。

このとき f はある可積分関数 g と a.e. に一致する。

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、n_0 があり、
n ≧ n_0 なら
∫^*[X] |f - f_n| dμ ＜ ε
となる。

>>161 より f - f_n は a.e. に有限である。
よって f は a.e. に有限である。

よって、 n ≧ n_0, m ≧ n_0 なら
|f_n - f_m| = |f_n _ f + f - f_m| ≦ |f_n _ f| + |f - f_m| (a.e.)

よって、
∫[X] |f_n - f_m| dμ
≦ ∫^*[X] |f - f_n| dμ + ∫^*[X] |f - f_m| dμ ＜ 2ε

即ち、(f_n) は L^1 Cauchy 列(過去スレ007の629)である。
(続く)

>>166 の続き。

過去スレ007の661より可積分関数 g が存在して
n → +∞ のとき ∫[X] |g - f_n| dμ → 0 となる。

よって、任意の ε ＞ 0 に対して、n_0 があり、
n ≧ n_0 なら
∫[X] |g - f_n| dμ ＜ ε
かつ
∫^*[X] |f - f_n| dμ ＜ ε
となる。

|f - g| = |f _ f_n + f_n - g| ≦ |f _ f_n| + |g - f_n| (a.e.)
∫^*[X] |f - g| dμ ≦ ∫^*[X] |f - f_n| dμ + ∫[X] |g - f_n| dμ
＜ 2ε
よって、
∫^*[X] |f - g| dμ = 0

>>165 より f = g (a.e.)
証明終

>>166 は積分の定義に使える。
これは Bourbaki の方法である。

この方法を使うと Banach 空間に値を持つ関数の積分が定義出来る。

過去スレ007の231で、可測空間 (X, Φ) から位相空間 Y への
可測写像を定義した。

即ち、f を X から位相空間 Y への写像としたとき、
Y の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) ∈ Φ のとき、
f を可測という。

しかし、この定義だと、どなたかに指摘されたように
過去スレ007の281の命題が成り立たない。
即ち、
f を X から位相空間 Y への可測写像とする。
g を X から位相空間 Z への可測写像とする。
このとき、X から Y×Z への写像 h(x) = (f(x), g(x)) は、
可測とは限らない。

Y と Z がそれぞれ第２可算公理を満たせば成り立つが。

従って、一般の位相空間に値をとる写像については
可測性の定義を変える必要がある。

この定義を得るヒントは Lusin の定理(後で述べる)にある。

補題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から (-∞, +∞) への可測関数の列であり、
f = lim f_n が存在し、f も各点で有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 と δ ＞ 0 に対して整数 n と H ∈ Φ があり
μ(H) ＜ δ
k ≧ n なら、すべての x ∈ X - H で |f(x) - f_k(x)| ＜ ε

証明
A_k = {x ∈ X | |f - f_k| ＜ ε}
B_n = ∩A_k, k ≧ n
とおく。

B_n ∈ Φ であり、
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . .
X = ∪B_n
である。

μ(X) = lim μ(B_n) だから
μ(X) - μ(B_n) ＜ δ となる n がある。

よって
H = X - B_n とおけばよい。
証明終

命題(Egoroff の定理)
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して E ∈ Φ が存在し、
μ(X - E) ＜ ε
E において f_n は f に一様に収束する。

証明
>>170 より 各整数 n ＞ 0 に対して、整数 k_n ＞ 0 と
H_n ∈ Φ があり、
μ(H_n) ＜ ε/2^n
k ≧ k_n なら、すべての x ∈ X - H_n で |f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n

E = X - ∪H_n とおく。
μ(X - E) = μ(∪H_n) ≦ Σμ(H_n) ＜ ε

x ∈ E なら x ∈ ∩(X - H_n) だから、任意の n に対して、
k ≧ k_n なら、|f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n
証明終

>>171 の補足

各 f_n が有限でない点全体は零集合 A_n に含まれる。
同様に、f = lim f_n が存在しない点全体も零集合 B に含まれる。
f が有限でない点全体も零集合 C に含まれる。

A = ∪A_n は零集合であるから、N = A ∪ B ∪ C は零集合である。

Y = X - N において >>170 を適用すればよい。

補題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とし、
f を E 上の可測な単関数(過去スレ007の298) X → (-∞, ＋∞) とする。

任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。

証明
f = Σ(α_i)χ_(E_i), i = 1, . . ., n とする。
ここで、E = ∪E_i, i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より各 E_i は内正則である。

よって、任意の ε ＞ 0 に対して、
K_i ⊂ E_i, μ(E_i) - μ(K_i) ＜ ε/n
となるコンパクト集合 K_i がある。

K = ∪K_i とおく。
μ(E - K) = Σμ(E_i - K_i) ＜ ε

f の各 K_i への制限は定数なので連続である。
過去スレ007の705より
f の K = ∪K_i への制限は連続である。
証明終

命題(Egoroff の定理の Radon 測度版)
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は E から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E, μ(E - K) ＜ ε
となるコンパクト集合 K が存在し、
K において f_n は f に一様に収束する。

証明
>>171 より
任意の ε ＞ 0 に対して可測集合 F で、
F ⊂ E
μ(E - F) ＜ ε/2
となるものが存在し、
F において f_n は f に一様に収束する。

>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より F は内正則である。
K ⊂ F
μ(F - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在する。

E - K = (E - F) ∪ (F - K)
μ(E - K) = μ(E - F) + μ(F - K) ＜ 2ε
よって K が求めるものである。
証明終

命題(Lusin の定理)
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とし、
f を E 上の可測関数 X → (-∞, ＋∞) とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。

証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
f_n が存在する。
1) 0 ≦ f_1 ≦ f_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき f_n(x) → f(x)

>>173 より、任意の ε ＞ 0 に対して、各 n で
K_n ⊂ E
μ(E - K_n) ＜ ε/2^(n+1) となるコンパクト集合 K が存在し、
f_n は K_n で連続となる。
F = ∩K_n とおく。
E - F = ∪(E - K_n) だから
μ(E - F) ≦ Σμ(E - K_n) ＜ ε/2

F の各点 x で f(x) = lim f_n(x) だから
>>174 より K ⊂ F, μ(F - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在し、
K において f_n は f に一様に収束する。
各 f_n は K で連続だから f も K で連続である。
E - K = (E - F) ∪ (F - K)
μ(E - K) = μ(E - F) + μ(F - K) ＜ ε
よって K が求めるものである。
証明終

定義
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が次の条件を満たすとき f を測度μに関して可測または
μ-可測と言う。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f がμ-可測(>>176)であるためには次の条件が必要十分である。

K を任意のコンパクト集合とする。
任意の ε ＞ 0 に対して K_1 ⊂ K
μ(K - K_1) ＜ ε となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。

証明
この条件が必要なことは明らかである。

逆にこの条件が満たされているとする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より E は内正則である。

任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在する。

K_1 ⊂ K
μ(K - K_1) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。

E - K_1 = (E - K) ∪ (K - K_1) であるから
μ(E - K_1) = μ(E - K) + μ(K - K_1) ＜ 2ε
よって、f はμ-可測である。
証明終

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が可測なら、K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

証明
>>177 より、
K_1 ⊂ K で μ(K - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。

K - K_1 はコンパクトだから再び >>177 より K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(K - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となる
コンパクト集合 K_2 が存在し、f は K_2 で連続となる。

この操作を続けて(帰納法により)、
μ(K - (K_1 ∪ . . . ∪K_n)) ＜ 1/n となる互いに交わらない
コンパクト集合の列 (K_n) で f は各 K_n で連続となるようなものが
存在する。

F_n = K - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = K - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(K - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = K - ∪K_n とすればよい。
証明終

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が次の条件を満たせば f は可測(>>176)である。

K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

証明
F_n = K_1 ∪ . . . ∪K_n とおく。
F_n はコンパクトであり、
F_1 ⊂ F_2 ⊂ . . .
∪F_n = ∪K_n である。

よって、lim μ(K_n) = μ(∪K_n) = μ(K - N) = μ(K)
よって、任意の ε ＞ 0 に対して
μ(K - F_n) ＜ ε となる n がある。
f の各 K_n への制限が連続であるから
過去スレ007の705より f は F_n で連続となる。
従って >>177 より f は可測である。
証明終

命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への可測写像とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
零集合 N ⊂ E と E 含まれるコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で E - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

証明
>>176 より、
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。

μ(E - K_1) ＜ 1 だから再び >>176 より K_2 ⊂ E - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在し、
f は K_2 で連続となる。

この操作を続けて(帰納法により)、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n)) ＜ 1/n となる互いに交わらない
コンパクト集合の列 (K_n) で f は各 K_n で連続となるようなものが
存在する。

F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終

話の都合上、ここでRadon 測度(>>163)の局所閉集合への制限について
考える。
可測写像については、すぐ再開する。

定義
A を位相空間の部分集合とする。

A の各点 x ∈ A に対して x の(開集合とは限らない)近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となるとき A を局所閉集合と言う。

命題
A を位相空間 X の局所閉集合(>>182)とする。

A の各点 x ∈ A に対して x の開近傍 U が存在し、
A ∩ U が U の閉集合となる。

証明
A の各点 x ∈ A に対して x の(開集合とは限らない)近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となる。

x ∈ U ⊂ V となる開集合 U がある。
A ∩ U = (A ∩ V) ∩ U は U の閉集合である。
証明終

命題
A を位相空間 X の部分集合とする。
次の条件は同値である。

(1) A は局所閉集合(>>182)。
(2) A は A の閉包 A~ の開集合。
(3) A は開集合と閉集合の共通部分である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>183 より、
A の各点 x ∈ A に対して x の開近傍 U_x が存在し、
A ∩ U_x が U_x の閉集合となる。
よって A ∩ U_x = A~ ∩ U_x

U = ∪{U_x | x ∈ A } とおく。
U は開集合で A ⊂ U であり、
A = A ∩ U = ∪(A ∩ U_x) = ∪(A~ ∩ U_x) = A~ ∩ U
すなわち、A は A~ の開集合である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (1)
A = U ∩ F となる開集合 U と閉集合 F があるとする。
A の各点 x ∈ A に対して U は x の開近傍であり、
A ∩ U = U ∩ F は U の閉集合となる。
証明終

命題
ハウスドルフ位相空間 X の局所コンパクト部分空間 A は
局所閉(>>182)である。

証明
A の各点 x ∈ A に対して x の近傍 V が存在し、
A ∩ V が V のコンパクト集合となる。
V はハウスドルフだから A ∩ V は V の閉集合である。
証明終

命題
局所コンパクト空間 X の局所閉集合(>>182) A は
局所コンパクトである。

証明
A の各点 x ∈ A に対して x の近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となる。
x の X におけるコンパクト近傍 W ⊂ V をとる。
x の A における近傍 A ∩ W = (A ∩ V) ∩ W は
W の閉集合だからコンパクトである。
証明終

命題
X を位相空間とし、Y を X の Borel 集合(過去スレ007の212)とする。
X の Borel 集合全体を B(X) と書く。
Y を位相空間とみて、その Borel 集合全体を B(Y) と書く。

このとき、
B(Y) = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }

証明
Ω を X の開集合全体とする。
Ω を含む最小のσ-集合環(過去スレ007の197)を S(Ω) と書いた(>>94)。
B(X) = S(Ω) である。

>>95 より
S(Ω) ∩ Y = S(Ω ∩ Y) である。

Ω ∩ Y は Y の開集合全体だから B(Y) = S(Ω ∩ Y) である。
Y は Borel 集合だから S(Ω) ∩ Y = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }
証明終

定義
X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
a を X の点とする。

c ＞ f(a) となる任意の有限実数 c に対して a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＞ f(x)

となるとき、f は a で上半連続であると言う。

f が X の各点で上半連続であるとき、 f を X 上で上半連続である
と言う。

命題
X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
f が X 上で上半連続(>>188)であるためには、任意の (有限) 実数 c に
対して、{x ∈ X | f(x) ＜ c } が開集合であることが必要十分である。

証明
自明である。

命題
X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
f が X 上で上半連続(>>188)であるためには、任意の (有限) 実数 c に
対して、{x ∈ X | f(x) ≧ c } が閉集合であることが必要十分である。

証明
>>189 より明らかである。

命題
X を位相空間、A を X の部分集合とする。
A の特性関数 χ_A が上半連続(>>188)であるためには、
A が閉集合であることが必要十分である。

証明
c ＞ 1 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = φ
1 ≧ c ＞ 0 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = A
0 ≧ c のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = X

これと >>190 から明らかである。
証明終

命題
X を位相空間、(f_λ), λ ∈ Λ を X から R~ = [-∞, +∞] への
上半連続関数(>>188)の族とする。

f = inf {f_λ | λ ∈ Λ} は上半連続である。

証明
任意の a ∈ X を固定する。

f(a) = +∞ のとき、c ＞ f(a) となる(有限) 実数は存在しない。
よってこの場合は自明である。

f(a) ≠ +∞ のとき c を c ＞ f(a) となる任意の(有限) 実数とする
c ＞ f_λ(a) ≧ f(a) となる λ ∈ Λ がある。

a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＞ f_λ(x) ≧ f(x)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への可積分関数とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、f ≦ h となる下半連続関数(>>113)が
存在して
∫[X] (h - f) dμ ＜ ε となる。

証明
>>160 より、
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ

>>146 より、
∫^*[X] f dμ = inf{ ∫[X] h dμ | f ≦ h, h ∈ I+(X) }

∫[X] f dμ ＜ +∞ だから
∫[X] h dμ ＜ ∫[X] f dμ + ε
f ≦ h
となる下半連続関数 h が存在する。
このとき、
∫[X] (h - f) dμ ＜ ε である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
s を [0, +∞) に値をとる可積分な単関数(過去スレ007の298)とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、g ≦ s となるコンパクトな台をもつ
上半連続関数(>>188) g が存在して
∫[X] (s - g) dμ ＜ ε となる。

証明
s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n
a_i ＞ 0
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

M = max{a_1, . . . , a_n} とおく。

s は可積分だから、各 μ(E_i) ＜ +∞ である。
>>30 より 各 E_i は内正則である。

よって、各 i で、
K_i ⊂ E_i
μ(E_i) - μ(K_i) ＜ ε/nM
となるコンパクト集合 K_i が存在する。

g = Σ(a_i)χ_(K_i) は上半連続関数である。

∫[X] (s - g) dμ = ∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ
≦ Σ(a_i)(μ(E_i) - μ(K_i))
＜ (Σa_i)ε/nM ≦ ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への可積分関数とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、
g ≦ f となるコンパクトな台をもつ上半連続関数(>>188) g が存在して
∫[X] (f - g) dμ ＜ ε となる。

証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
s_n が存在する。

1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)

Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
n → ∞ のとき ∫[X] s_n dμ → ∫[X] f dμ

f は可積分だから 各 s_n も可積分である。

任意の ε ＞ 0 に対して、
∫[X] (f - s_n) dμ ＜ ε/2 となる n がある。

>>194 より、g ≦ s_n となるコンパクトな台をもつ
上半連続関数 g が存在して
∫[X] (s_n - g) dμ ＜ ε/2 となる。

∫[X] (f - g) dμ = ∫[X] (f - s_n) dμ + ∫[X] (s_n - g) dμ ＜ ε
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K+(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を h とする。

h は上半連続(>>188)である。

証明
a を X の点とする。
c ＞ h(a) となる任意の有限実数 c をとる。
h(a) ≧ 0 だから c ＞ 0 である。

a ∈ X - Supp(h) なら a の近傍 U で U ⊂ X - Supp(h)
となるものがある。
x ∈ U のとき h(x) = 0 だから c ＞ h(x)

a ∈ Supp(h) なら g は a で連続だから
a の近傍 U で x ∈ U ∩ Y なら c ＞ h(x) となるものがある。
x ∈ U - Y なら h(x) = 0 だから c ＞ h(x) である。
以上から h は上半連続である。
証明終

Bernstein-Zelevinskii やら Gelfand-Kazhdan あたりの
non-archimedean local field 上の線型代数群の表現論を
分りやすく纏めてくれ。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を h とする。

h は可積分である。

証明
一般に、f ∈ K(Y) に対して
Y では f に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(f) と書こう。

g^(+) = sup{g, 0}
g^(-) = sup{-g, 0}
と書く。

g^(+) ∈ K+(Y)
g^(-) ∈ K+(Y)
g = g^(+) - g^(-)
となる。

e(g) = e(g^(+)) - e(g^(-))
e(g^(+)) と e(g^(-)) は >>196 より上半連続で
コンパクトな台を持ち有界であるから可積分である。

よって、
h = e(g) も可積分である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とする。
K をそのコンパクト集合とする。

χ_K = inf { f ∈ K+(X) | χ_K ≦ f }

証明
過去スレ007の702より局所コンパクト空間は正則である。
従って、
x ∈ X - K のとき
K ⊂ U
x ∈ X - U となる開集合 U がある。

過去スレ007の706より
f ∈ K+(X), 0 ≦ f ≦ 1 で K で 1、X - U で 0 となるものが
存在する。

x ∈ K のときは、
過去スレ007の706より
f ∈ K+(X), 0 ≦ f ≦ 1 で K で 1 となるものが存在する。

以上から命題が成り立つ。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

H を X 上の [0, +∞) に値をとる
可積分かつ上半連続関数(>>188)の下向きの有向集合(>>140)で、
空でないものとする。

g = inf { f | f ∈ H } は可積分で、
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }

証明
H の任意の元 f_0 をとり、 H を { f ∈ H | f ≦ f_0 } で
置き換えてよい。
即ち、H に最大元 f_0 があると仮定してよい。

>>193 より、f_0 ≦ h となる可積分な下半連続関数 h が存在する。
G = { h - f | f ∈ H }
とおく。
G の元 h - f ≧ 0 は下半連続関数であり、
G は上向きの有向集合である。

sup { h - f | f ∈ H } = h - g

>>144 より
∫[X] (h - g) dμ = sup { ∫[X] (h - f) dμ | f ∈ H } となる。
よって、
∫[X] h dμ - ∫[X] g dμ
= ∫[X] h dμ - inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }

よって
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }
証明終

クマーさん､おはようございます。
クマーさんは、解析などの基礎は万全でしょうか｡
当方、テキスト選びに苦戦していて、何をするべきか悩んでいます

命題
X を局所コンパクト

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = inf { ∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

証明
>>199 より
Y において
χ_K = inf { g ∈ K+(Y) | χ_K ≦ g }

よって
X において
χ_K = inf { e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

{ e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) } は下に有向で、各 e(g) は
>>196 より上半連続(>>188)である。

>>200 より
∫[X] χ_K dμ = inf {∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

∫[X] χ_K dμ = μ(K) だから命題が得られる。
証明終

>>201

杉浦で十分だと思います。

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。

Φ を μ-可測な集合全体とする。
過去スレ007の260 より Φ|Y = { A ⊂ Y; A ∈ Φ} は
σ-集合環(過去スレ007の197)である。

μ を Φ|Y に制限したものを μ|Y と書く。
(Y, Φ|Y, μ|Y) は測度空間になる。

>>201
杉浦は変な癖があって読みづらい。

Walter Rudin
Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.

昔はinternational edition が3000円くらいで買えたと記憶しているんだけど
Amazon で一万円近くになっていた。微積分なのに。図書館でチェキラ。

>>205

大同小異でしょう。
いずれにしても、ここでやる微積分は Bourbaki 流に再構築するので、
伝統的な微積分の知識は最小限でいいです。

理想を言うと Bourbaki の多様体論の要約のように
(アルキメスおよび非アルキメス的)絶対値の付いた体上の
ノルム空間または局所凸な線形位相空間上で微積分および
(多変数を含む)複素関数論をやればいいのでしょうが。

しかし、この方向に関する書物は少ないですね。

アルキオス

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X のコンパクトとする。
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。

証明
E を Y の任意の開集合とする。
E は μ-可測であり、μ(E) ＜ +∞
従って、>>70 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
即ち、
μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, K はコンパクト }

従って、E は μ|Y に関して内正則である。

A を Y に含まれる μ-可測集合とする。
U を A ⊂ U となる X の開集合とすると、
A ⊂ Y ∩ U だから μ(A) ≦ μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)

もちろん、μ は外正則だから、
μ(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
= inf { μ(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }

即ち、A は μ|Y に関してても外正則である。

以上から μ|Y は準正則である。
証明終

結構、このスレ見てる人いるなｗ

ウォッチャーは結構いるんじゃない？
この分野は専攻外だけど俺も見てるし。

>>207 への補足

>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X のコンパクト集合とする。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。

L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。

A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。

証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。

>>56 より ν は準正則である。
>>208 より μ|Y は準正則である。

>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)

よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。

Y が可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。

証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。

μ|Y が外正則なことは >>208 の証明と同様である。

E を Y の任意の開集合としたとき E が μ|Y に関して内正則である
ことを示せばよい。
Y ⊂ ∪K_n となるコンパクト集合の列 K_n, n = 1, 2, . . .がある。

E_n = E ∩ K_n とおくと
E = ∪E_n となる。
各 μ(E_n) ＜ +∞ だから E は
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつ。
従って、>>107 より E は μ に関して内正則(>>19)である。

K ⊂ E となる X のコンパクト集合 K は Y においてもコンパクト
である。
従って、E は μ|Y に関しても内正則である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。

L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。

A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。

証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。

>>56 より ν は準正則である。
>>213 より μ|Y は準正則である。

>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)

よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終

>>214 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。

A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。

証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。

>>56 より ν は準正則である。
>>213 より μ|Y は準正則である。

>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)

よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

E を可測集合で σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合である。

証明
>>107 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在する。

E - K_1 はσ-有限な測度もつから内正則である。
K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在する。

この操作を続けて(帰納法により)、
各整数 n ＞ 0 に対して、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪ K_n)) ＜ 1/n となるように
コンパクト集合 K_n ⊂ E がとれる。

F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。

E ⊂ Y で μ(E) = 0 なら E は ν-可測で
ν(E) = 0 である。

証明
>>56 より μ は準正則である。
よって、
μ(E) = inf { μ(U) | E ⊂ U, U は開集合 }
μ(E) = 0 だから、任意の ε ＞ 0 に対して
E ⊂ U, μ(U) ＜ ε となる開集合 U がある。
E ⊂ U ∩ Y で μ(U ∩ Y) ＜ ε である。

>>214 より μ(U ∩ Y) = ν(U ∩ Y) である。
従って、E の L から誘導された外測度は 0 である。
よって、 >>53 より E は ν-可測で ν(E) = 0 である。
証明終

今、何をしようとしているかと言うと、
>>217 の条件の下で、
ν-可測な集合全体と Y に含まれる μ-可測な集合全体は
一致することを証明したい。

しかし、今のところどうもうまくいかない。
Bourbaki には証明されているが。

Bourbaki によると、Y が可算個のコンパクト集合の合併に
含まれている必要はない。

>>218

>>65 を使えばなんとかいけるかも。
とにかくやってみる。

早く出版してくれろ

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された Radon 測度(>>163)とする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。

A を X の任意の部分集合とする。
μ^*(A) = inf { μ(E) | A ⊂ E, E は可測集合 }

証明
定義(>>17)から
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は開集合}

α = inf { μ(E) | A ⊂ E, E は可測集合 } とおく。
α ≦ μ^*(A) である。

従って、α ≧ μ^*(A) を証明すればよい。
α = +∞ なら、これは明らかだから
α ＜ +∞ と仮定する。

任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - α ＜ ε
となる可測集合 E がある。

E は外正則だから、
E ⊂ U
μ(U) - μ(E) ＜ ε/2
となる開集合 U がある。
よって、
μ(U) - α = (μ(U) - μ(E)) + (μ(E) - α) ＜ ε
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測なら A は μ-準可測(>>61)である。

証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。

>>56 より ν は準正則である。
よって、ν(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
一方、μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }

A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。

>>221 より ν(A) = μ^*(A)

他方、>>107 より A は μ-内正則である。
A の μ-内測度は >>215 より ν(A) である。
よって、A は μ-準可測である。
証明終

>>222 の証明は間違いである。

μ(E) - ν(A) ＜ ε には
ν(A) ＜ +∞ という仮定を暗黙のうちに使ってる。

どうも測度論では、測度が有限の場合と無限の場合の区別が
面倒である。

>>222 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測なら A は μ-準可測(>>61)である。

証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。

>>56 より ν は準正則である。
よって、ν(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
一方、μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }

A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。

>>221 より ν(A) = μ^*(A)

他方、>>107 より A は μ-内正則である。
A の μ-内測度は >>215 より ν(A) である。
よって、A は μ-準可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y を Y の任意の部分集合とする。
A の ν-外測度(>>17)と μ-外測度は一致し、
A の ν-内測度(>>60)と μ-内測度も一致する。

証明
ν^*(A) と μ^*(A) をそれぞれ A の ν-外測度と μ-外測度とする。
ν^*(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν^*(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν^*(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν^*(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν^*(A) = μ^*(A)

A の ν-内測度と μ-内測度が一致することは、
>>215 から明らかである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが
必要十分である。

証明
>>226 と >>64 から明らかである。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y で
A は X のあるコンパクト集合 K に含まれるとする。

μ(A) = ν(A) である。

証明
Y ∩ K は X の局所閉集合である。
Y ∩ K は Y の閉集合だから Y の局所閉集合でもある。

>>213 より μ|(Y ∩ K) は準正則である。
>>213 より ν|(Y ∩ K) は準正則である。

>>202 より H ⊂ Y ∩ K をコンパクト集合とすると、
μ(H) = ν(H)

>>45 より
μ(A) = ν(A) である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y で A は X のあるコンパクト集合 K に含まれるとする。
A の ν-外測度(>>17)と μ-外測度は一致し、
A の ν-内測度(>>60)と μ-内測度も一致する。

証明
ν^*(A) と μ^*(A) をそれぞれ A の ν-外測度と μ-外測度とする。
ν^*(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>228 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν^*(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν^*(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν^*(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν^*(A) = μ^*(A)

他方、>>202 より H ⊂ Y ∩ K をコンパクト集合とすると、
μ(H) = ν(H)

A の ν-内測度と μ-内測度が一致することは、これから明らかである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが
必要十分である。

証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
任意のコンパクト集合 K に対して
A ∩ K は ν-可測である。
従って、A ∩ K のν-外測度と ν-内測度は一致する。
>>229 より、A ∩ K のμ-外測度と μ-内測度は一致する。
>>65 より A はμ-可測である。

逆に、A ⊂ Y が μ-可測であるとする。
任意のコンパクト集合 K に対して
A ∩ K は μ-可測である。
従って、A ∩ K のμ-外測度と μ-内測度は一致する。
>>229 より、A ∩ K のν-外測度と ν-内測度は一致する。
>>65 より A はν-可測である。
証明終

>>218 の問題は >>230 により解決されたようだ。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
A が ν-可測またはμ-可測なら A はν-可測かつμ-可測であり、
ν(A) = μ(A) である。

証明
>>230 より、A が ν-可測またはμ-可測なら
A はν-可測かつμ-可測である。

A ⊂ ∪K_n となる X のコンパクト集合の列 K_n, n = 1, 2, . . .
があるとする。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ . . . と仮定してよい。

A = ∪(A ∩ K_n) である。

>>229 より ν(A ∩ K_n) = μ(A ∩ K_n) である。

ν(A) = lim ν(A ∩ K_n) = lim μ(A ∩ K_n) = μ(A)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

μ|Y (>>204) と ν は一致する。

証明
>>232 より明らかである。

>>230
>ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

>>217 では Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれると
仮定しているが、ν の定義にはこの仮定は必要ない。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

A が X の局所零集合(>>58)で(従って、>>59 より可測)、
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。

A は零集合(>>58)である。

証明
>>216 より、
A = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合である。

各 μ(K_n) = 0 だから μ(A) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

X の開集合 U が局所零集合(>>58)なら U は零集合(>>58)である。

証明
>>56 より μ は準正則である。
よって、
μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f の不連続点全体 N が局所零集合(>>58)なら ｆ は可測(>>176)である。

証明
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
>>73 より E - (E ∩ N) は内正則である。

任意の ε ＞ 0 に対して
μ(E - (E ∩ N)) - μ(K)= ＜ ε
K ⊂ E - (E ∩ N)
となるコンパクト集合 K がある。

μ(E - (E ∩ N)) = μ(E) だから
μ(E) - μ(K)= ＜ ε
f は K で連続である。

よって、f は可測である。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
X の点に関するある命題 P が与えられたとする。

ある局所零集合(>>58) N があり、 X - N の各点 x で P が
成り立つとき、
P は、局所ほとんど到る所(locally almost everywhere)成り立つという。

「局所ほとんど到る所」を 局所 a.e. と略す場合がある。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 Y への写像とする。
g を X から位相空間 Z への写像とする。

f と g がそれぞれ可測(>>176)なら
X から Y×Z への写像 h(x) = (f(x), g(x)) も可測である。

証明
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
任意の ε ＞ 0 に対して
K_1 ⊂ E
μ(E - K_1) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。

K_2 ⊂ E
μ(E - K_2) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在し、
g は K_2 で連続となる。

μ(E - (K_1 ∩ K_2)) = μ((E - K_1) ∪ (E - K_2))
≦ μ(E - K_1) + μ(E - K_2) ＜ ε

f と g は K_1 ∩ K_2 で連続である。
従って、h も K_1 ∩ K_2 で連続である。
証明終

>>239 は可測性の定義(>>176)が適切であることを示している。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F と G を位相空間とする。

f : X → F を可測(>>176)写像、
g : F → G を連続写像とする。

gf: X → G は可測である。

証明
可測性の定義(>>176)から明らかである。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体 R または複素数体 C とする。
f と g を X から K 上の位相線形空間 F への可測写像(>>176)とする。

f + g および αf (α は K の任意の元)も可測である。

証明
>>239 と >>241 より明らかである。

定義
(X, Φ) を可測空間(過去スレ007の211)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。

f(X) が F の有限集合であるとき f を単関数という。

>>216 の証明は間違いである。
μ(E) が有限であると暗黙に仮定している。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合で有限な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

証明
>>73 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在する。

E - K_1 は有限な測度もつから内正則である。
K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在する。

この操作を続けて(帰納法により)、
各整数 n ＞ 0 に対して、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪ K_n)) ＜ 1/n となるように
コンパクト集合 K_n ⊂ E がとれる。

F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終

>>216 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合で σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

証明
E = E_1 ∪ E_2 ∪ . . . で i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ
となる。
ここで 各 E_i は可測で各 E_i の測度は有限である。

>>245 より、各 i に対して、
E_i = N_i ∪ F_i, N_i ∩ F_i = φ
μ(N_i) = 0
F_i = ∪K_(i,n), n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_(i,n) はコンパクト集合で
n ≠ m なら K_(i,n) ∩ K_(i,m) = φ
である。

N = ∪N_i
F = ∪F_i
とおき、K_(i,n) の添字を付け替えればよい。
証明終

>>235 を次のように修正する。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

A が X の局所零集合(>>58)で(従って、>>59 より可測)、
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。

A は零集合(>>58)である。

証明
>>246 より、
A = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合である。

各 μ(K_n) = 0 だから μ(A) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合とする。
E の特性関数 χ_E は >>176 の意味で可測である。

証明
>>245 より
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

K を X の任意のコンパクト集合とする。
>>245 より
K = (E ∩ K) ∪ (K - E)
E ∩ K = N_1 ∪ F_1, N_1 ∩ F_1 = φ
μ(N_1) = 0
F_1 = ∪K_n, n = 1, 2, . . .
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

K - E = N_2 ∪ F_2, N_2 ∩ F_2 = φ
μ(N_2) = 0
F_2 = ∪H_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 H_n はコンパクト集合で i ≠ j なら H_i ∩ H_j = φ
である。
χ_E は各 K_n で定数 1 だから連続である。
各 H_n で定数 0 だから連続である。

>>179 より χ_E は >>176 の意味で可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への可測写像(>>176)とする。

F の閉集合の f による逆像は可測集合になる。
F の開集合の f による逆像は可測集合になる。

証明
A を f の閉集合とする。

>>178 より、
K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

f^(-1)(A) ∩ K = (N ∩ f^(-1)(A)) ∪ (K_n ∩ f^(-1)(A))
各 K_n ∩ f^(-1)(A) は閉集合だから可測である。
N ∩ f^(-1)(A) は零集合である。
従って、f^(-1)(A) ∩ K は可測である。
>>57 より f^(-1)(A) は可測である。

F の開集合 U に対して、F - U は閉集合だから
X - f^(-1)(U) = f^(-1)(F - U)
は可測である。
X は開集合であり可測だから、f^(-1)(U) も可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を X の部分集合とする。
E の特性関数 χ_E が >>176 の意味で可測なら E は可測である。

証明
E は 1 の χ_E による逆像だから >>249 より可測集合になる。

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。

f が単関数(>>243)で、F の各点の f による逆像が可測なとき、
f を強可測な単関数と言う。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が強可測な単関数(>>251)なら f は可測である。

証明
f(X) = {a_1, . . ., a_n} とし、
A_i = f^(-1)(a_i) とおく。
X = ∪A_i である。

K = ∪(K ∩ A_i)

A_i は可測だから K ∩ A_i は可測
>>245 より
零集合 N_i ⊂ K ∩ A_i と K ∩ A_i 含まれるコンパクト集合の
(有限または無限の)列 (K_(i,n)) で (K ∩ A_i) - N_i = ∪K_(i,n) で、
n ≠ m なら K_(i,n) ∩ K_(i,m) = φ となる
ものがあり、f の各 K_(i,n) への制限は定数だから連続になる。

>>179 より f は可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X からハウスドルフ位相空間 F への写像とする。
f が可測(>>176)な単関数(>>243)なら f は強可測(>>251)である。

証明
F はハウスドルフだから一点からなる集合は閉集合である。
>>249 より f は強可測(>>251)である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は X から位相空間 F への可測写像(>>176)の
列とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
各 f_n は K で連続となる。

証明
任意の ε ＞ 0 と任意の n ＞ 0 に対して
K_n ⊂ E, μ(E - K_n) ＜ ε/2^n となるコンパクト集合 K_n が存在し、
f_n は K_n で連続となる。

K = ∩K_n とおく。
K はコンパクトであり、
μ(E - K) = μ(∪(E - K_n)) ＜ Σε/2^n = ε
各 f_n は K で連続となる。
証明終

実は約分は奥が深い。
有理数とは直積集合の元だった訳だ。(同値関係)
例えば、2/3=4/6の=は集合の=なんだ。

約分の奥が深いんじゃなくてオマエさんの懐が狭いだけのような希ガス

と有理数も知らない房の一言ｗ

命題(Egoroff の定理の Radon 測度版)
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から距離付け可能な空間 F への
可測写像(>>176)の列であり、f = lim f_n が局所 a.e. (>>238) に
存在するとする。
即ち、局所零集合(>>58) N があり、X - N において f = lim f_n とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
各 f_n は K で連続であり、K において (f_n) は f に一様に収束する。

さらに、N において任意の仕方で定義した f は可測である。

証明
d を F の位相と両立する距離とする。

>>254 より、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε/4 となるコンパクト集合 K が存在し、
各 f_n は K で連続となる。

各 n ＞ 0 に対して、
A_(n, k) = {x ∈ K - N | d(f(x), f_k(x)) ≦ 1/2^n}
B_(n, m) = ∩A_k, k ≧ m
とおく。
B_(n, 1) ⊂ B_(n, 2) ⊂ . . .
局所 a.e. に f = lim f_n だから、
K_0 - N = ∪B_(n, m), m = 1, 2, . . .
である。
(続く)

>>258 の続き。

m → ∞ のとき
μ(K) = μ(K - N) = lim μ(B_(n,m)) だから
各 n ＞ 0 に対して、
μ(K) - μ(B_(n, k_n)) ＜ ε/2^(n+2) となる整数 k_n がある

k ≧ k_n なら任意の x ∈ B_(n, k_n) に対して
d(f(x), f_k(x)) ≦ 1/2^n となる。

B = ∩B_(n, k_n) とおく。
任意の δ ＞ 0 に対して 1/2^n ＜ δ となる n をとれば
k ≧ k_n なら任意の x ∈ B に対して
d(f(x), f_k(x)) ＜ δ となる。

即ち、(f_n) は B において一様に f に収束する。

μ(K - B) = μ(∪(K - B_(n, k_n))) ＜ Σε/2^(n+2) = ε/4

B の測度は有限だから、>>73 より
K_1 ⊂ B
μ(B - K_1) ＜ ε/4 となるコンパクト集合がある。
μ(E - K_1) = μ(E - K) + μ(K - B) + μ(B - K_1) ＜ (3/4)ε ＜ ε

(f_n) は K_1 において一様に f に収束するから f は K_1 で
連続である。
よって、N において任意の仕方で定義した f は可測である。
証明終

>>235 の別証(この方が分かりやすい)。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

A が X の局所零集合(>>58)で(従って、>>59 より可測)、
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。

A は零集合(>>58)である。

証明
>>107 より A は μ に関して内正則(>>19)である。
μ(A) = {μ(K) | K ⊂ A, K はコンパクト} = 0
証明終

>>260 より、零集合でない局所零集合の測度は +∞ である。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を第二可算公理を満たす(即ち開集合の可算基底をもつ)
距離付け可能な空間とする。

f を X から F への写像で、F の任意の開集合の逆像が可測
であるとする。

このとき f は可測である。

証明
d を F の位相と両立する距離とする。

(U_n), n = 1, 2, . . . を X の開集合の基底で各 U_n ≠ φ とする。
各 U_n から a_n ∈ U_n を選ぶ。

固定した整数 p ＞ 0 に対して、
A(n,p) = { x ∈ X | d(f(x), a_n) ＜ 1/p }
とおく。
A(n,p) は可測である。

列 (a_n) のとり方から、
X = ∪A(n,p), n = 1, 2, . . . である。

B(1,p) = A(1,p)
n ＞ 1 のとき
B(n,p) = A(n,p) - (A(1,p) ∪ . . . ∪ A(n-1,p))
とおく。

K = ∪B(n,p), n = 1, 2, . . . であり、
i ≠ j なら B(i,p) ∩ B(j,p) = φ である。
(続く)

>>262 の続き。

整数 m ＞ 0 に対して、
1 ≦ i ≦ m のとき B(i,p) ≠ φ なら B(i,p) において a_i に等しく
X - (B(1,p) ∪ . . . ∪ B(m,p)) において定数 b ∈ F に等しい
関数を g_(m,p) とする。
g_(m,p) は強可測な単関数(>>251)である。

各 n ＞ 0 に対して、
B(n,p) ≠ φ なら B(n,p) において a_n に等しい関数を f_p とする。

X の各点 x で m → ∞ のとき f_p(x) = lim g_(m,p)(x) である。
>>258 より f_p は可測である。

X の各点 x で d(f(x), f_p(x)) ＜ 1/p だから
p → ∞ のとき f(x) = lim f_p(x) である。

>>258 より f は可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f が X から [-∞, ＋∞] への関数のとき、
f が古い意味で可測(過去スレ007の215)であることと、
新しい意味で可測(>>176)であることは同値である。

証明
f が古い意味で可測であるとする。
R~ = [-∞, ＋∞] は第二可算公理を満たす距離付け可能な空間である。
よって >>262 より f は新しい意味で可測である。

逆に、f が新しい意味で可測であるとする。
>>249 より f は古い意味で可測である。
証明終

補題
p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

関数 f(x) = (1/p)x^p - x + 1/q は、[0, +∞) において
x = 1 のとき最小値 0 をとる。

証明
f(x) の導関数を g(x) とする。
g(x) = x^(p-1) - 1
である。

g(x) の導関数を h(x) とする。
h(x) = (p-1)x^(p-2)
である。

x ≧ 0 のとき h(x) ≧ 0 であるから
g(x) は [0, +∞) において単調増加である。

g(0) = -1
g(1) = 0
x → +∞ のとき g(x) = +∞

よって
関数 f(x) は、[0, +∞) において
x = 1 のとき最小値 0 をとる。
証明終

補題
p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

a ≧ 0, b ≧ 0 を任意の実数とすると、
ab ≦ (a^p)/p + (b^q)/q

証明
a または b が 0 のときは明らかである。
a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

x ≧ 0 のとき
(1/p)x^p + 1/q ≧ x

x = a(b^(-q/p)) とおくと、
(1/p)(a^p)b^(-q) + 1/q ≧ a(b^(-q/p))

両辺に b^q を掛けると、

(1/p)(a^p) + (b^q)/q ≧ a(b^(q - q/p)) = ab
証明終

定義
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。
従って、X ∈ Φ とは限らない。

1 ≦ p ＜ +∞ に対して ∫[X] |f|^p dμ＜ +∞ となる
可測な関数 f : X → [-∞, +∞] 全体を
L^p(X, Φ, μ) または L^p(X) または L^p(μ) または単に L^p と書く。

f, g ∈ L^p(X) で f 〜 g 即ち f = g (a.e.) のとき、
過去スレ007の492 より ∫[X] f dμ = ∫[X] g dμ である。
従って、f と g は同一視することにする。
即ち、正確には L^p(X) そのものではなく、L^p(X)/〜 を考えている
ことになる。

定義
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。

f ∈ L^p (>>267) のとき
N_p(f) = (∫[X] |f|^p dμ)^(1/p) と書き、
N_p(f) を f のノルムと呼ぶ。

N_p(f) は単に N(f) とも書く。

命題(Hoelder の不等式)
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。

p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

f ∈ L^p, g ∈ L^q のとき
fg ∈ L^1 であり、

N_1(fg) ≦ N_p(f)N_q(g)

証明
N_p(f) = 0 または N_q(g) = 0 なら過去スレ007の617より、
f = 0 (a.e.) または g = 0 (a.e.) である。
従って、N_p(f) ≠ 0 または N_q(g) ≠ 0 と仮定してよい。

a = |f(x)|/N_p(f)
b = |g(x)|/N_q(g)
とおくと、>>266 より

|f(x)g(x)|/N_p(f)N_q(g)
≦ (1/p)|f(x)|^p/N_p(f)^p + (1/q)|g(x)|^q/N_q(g)^q

よって、
(∫[X] |fg| dμ)/N_p(f)N_q(g)
≦ 1/p + 1/q = 1
即ち
∫[X] |fg| dμ ≦ N_p(f)N_q(g)
即ち
N_1(fg) ≦ N_p(f)N_q(g)
証明終

定義
実数体 R の(有限または無限)区間 I で定義された
(有限な)実数値関数 f(x) が I に属する任意の２点 x, y, x ＜ y と
t + s = 1 となる任意の実数 t ＞ 0, s ＞ 0 に対して
f(tx + sy) ≦ tf(x) + sf(y)
となるとき f(x) は I で凸であるという。

常に
f(tx + sy) ＜ tf(x) + sf(y)
となるとき f(x) は I で狭義に凸であるという。

命題
実数体 R の(有限または無限)開区間 I で定義された(有限な)実数値関数
f(x) が I で２回微分可能であり、
I の任意の点 x で f^(2)(x) ≧ 0 であれば f(x) は凸(>>270)である。
I の任意の点 x で常に f^(2)(x) ＞ 0 であれば f(x) は
狭義に凸(>>270)である。
ここで、f^(2)(x) は f(x) の２次導関数である。

証明
f^(2)(x) ≧ 0 だから f'(x) は単調増加である。
I に属する任意の２点 a, b, a ＜ b と
t + s = 1 となる任意の実数 t ＞ 0, s ＞ 0 に対して
x = ta + sb とおく。
平均値の定理より、
(f(x) - f(a))/(x - a) = f'(ξ) となる ξ, a ＜ ξ ＜ x が存在する。
よって、(f(x) - f(a))/(x - a) ≦ f'(x)
同様に、
(f(b) - f(x))/(b - x) = f'(η) となる η, x ＜ η ＜ b が存在する。
よって、(f(b) - f(x))/(b - x) ≧ f'(x)
f(a) ≧ f(x) + f'(x)(a - x)
f(b) ≧ f(x) + f'(x)(b - x)

これより、
tf(a) + sf(b) ≧ (t + s)f(x) + (t(a - x) + s(b - x))f'(x)
t(a - x) + s(b - x) = ta + sb - (t + s)x = x - x = 0 だから
tf(a) + sf(b) ≧ f(x)
よって f(x) は凸である。

I の任意の点 x で常に f^(2)(x) ＞ 0 なら、
f'(x) は狭義単調増加であるから、
tf(a) + sf(b) ＞ f(x) となり f(x) は狭義に凸である。
証明終

>>266 の別証

補題
p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

a ≧ 0, b ≧ 0 を任意の実数とすると、
ab ≦ (a^p)/p + (b^q)/q

証明
a または b が 0 のときは明らかである。
a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

a = exp(s/p)
b = exp(t/q)
となる実数 s, t がある。

>>271 より指数関数 exp(x) は凸だから

exp(s/p + t/q) ≦ (1/p)exp(s) + (1/q)exp(t)
即ち、
ab ≦ (a^p)/p + (b^q)/q
証明終

補題
p ≧ 1 を実数とする。
a ≧ 0, b ≧ 0 を任意の実数とすると、

(a + b)^p ≦ (2^(p-1))(a^p + b^p)

証明
a または b が 0 のときは明らかであるので、
a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

f(x) = x^p とすると、
f'(x) = px^(p-1)
f^(2)(x) = p(p-1)x^(p-2)

よって、>>271 より f(x) は区間 (0, +∞) で凸である。
よって
f((a + b)/2) ≦ (f(a) + f(b))/2
即ち
(a + b)^p ≦ (2^(p-1))(a^p + b^p)
証明終

命題(Minkowski の不等式)
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。
p ≧ 1 を実数とする。
f ∈ L^p, g ∈ L^p のとき f + g ∈ L^p であり、
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g)

証明
p = 1 のときは |f(x) + g(x)| ≦ |f(x)| + |g(x)| から
N_1(f + g) ≦ N_1(f) + N_1(g) は明らかである。

p ＞ 1 とする。
>>273 より |f + g| ∈ L^p である。

1/p + 1/q = 1 となる q がある。
pq = p + q だから q(p - 1) = p である。
従って、|f + g|^(p-1) ∈ L^q である。

Hoelder の不等式(>>269)より、
∫|f + g|^p dμ ≦ ∫|f||f + g|^(p-1) dμ + ∫|g||f + g|^(p-1) dμ
≦ N_p(f)N_q(|f + g|^(p-1)) + N_p(g)N_q(|f + g|^(p-1))

N_q(|f + g|^(p-1)) = (∫|f + g|^p dμ)^(1/q) = 0 のとき、
N_p(f + g) = 0 だから
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g) は明らかである。

よって、N_q(|f + g|^(p-1)) ≠ 0 とする。
上の不等式の両辺を
N_q(|f + g|^(p-1)) = (∫|f + g|^p dμ)^(1/q) で割ると、
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g) となる。
証明終

Minkowski の不等式(>>274)の証明に >>273 の不等式

(a + b)^p ≦ (2^(p-1))(a^p + b^p)

を使ったが、これを使わなくても、

(a + b)^p ≦ (2^p)(a^p + b^p)

で十分である。
この不等式は次のように簡単に証明される。

a ≧ b と仮定してよい。

(a + b)^p ≦ (2a)^p = (2^p)a^p ≦ (2^p)(a^p + b^p)

命題
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。
L^p (>>267) は実数体上のノルム空間である。

証明
N_p(f) = 0 なら過去スレ007の617より、f = 0 (a.e.) である。
これと、>>274 より明らかである。
証明終

定義
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 0 を L^p (>>267) の関数列とする。

(f_n) が L^p の関数 f に L^p のノルム N_p (>>268)
に関して収束するとき、
即ち n → ∞ のとき N_p(f - f_n) → 0 のとき、
(f_n) は f に L^p 収束すると言う。

定義
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 0 を L^p (>>267) の関数列とする。
(f_n) がノルム空間 L^p の Cauchy 列のとき、
(f_n) を L^p Cauchy 列と言う。

定理(N_p の可算凸性)
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
f_n ≧ 0, n = 1, 2, . . . を L^p (>>267) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら Σf_n ∈ L^p で
N_p(Σf_n) ≦ ΣN_p(f_n)

証明
f = Σf_n
g_n = f_1 + . . . + f_n
とおく。

0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f
で、
f = lim g_n
である。

従って、
0 ≦ (g_1)^p ≦ (g_2)^p ≦ . . . ≦ f^p
で、
f^p = lim (g_n)^p
である。

よって、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より、
n → ∞ のとき ∫[X] (g_n)^p dμ → ∫[X] f^p dμ

(続く)

>>279 の続き。

一方、Minkowski の不等式(>>274)より
N_p(g_n) ≦ N_p(f_1) + . . . + N_p(f_n)

α = ΣN_p(f_n) とおけば、
N_p(g_n) ≦ α ＜ +∞

よって、
∫[X] (g_n)^p dμ ≦ α^p ＜ +∞

よって、
∫[X] f^p dμ ＜ +∞
即ち、f ∈ L^p である。

n → ∞ のとき ∫[X] (g_n)^p dμ → ∫[X] f^p dμ
であるから
n → ∞ のとき N_p(g_n) → N_p(f)

よって
N_p(g_n) ≦ N_p(f_1) + . . . + N_p(f_n)
の両辺の lim をとって
N_p(f) ≦ ΣN_p(f_n)
証明終

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
f_n, n = 1, 2, . . . を L^p (>>267) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら
f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束し、f ∈ L^p である。

さらに、各 n ≧ 0 に対して、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .

証明
g(x) = Σ|f_n(x)| とおく。
N_p の可算凸性(>>279)から、g ∈ L^p で、
N_p(g) ≦ ΣN_p(f_n) ＜ +∞

従って過去スレ007の486より、g は a.e, に有限である。
即ち、f(x) = Σf_n(x) は a.e. に絶対収束する。
h_n(x) = f_1(x) + . . . + f_n(x) とおく。
|h_n(x)| ≦ |f_1(x)| + . . . + |f_n(x)| ≦ g(x)
よって |h_n(x)|^p ≦ g(x)^p

Lebesgue の項別積分定理(過去スレ007の555)より
lim ∫[X] |h_n(x)|^p dμ = ∫[X] |f|^p dμ ≦ ∫[X] |g|^p dμ
よって
f ∈ L^p である。

|f(x) - (f_1(x) + . . . + f_n(x))|
≦ |f_(n+1)(x)| + |f_(n+2)(x)| + . . .

よって、N_p の可算凸性(>>279)から、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .
証明終

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

f(x) = lim f_n(x) が X 上で a.e. に存在するなら、
f ∈ L^p(X) であり、
(f_n) は f に L^p 収束する(>>277)。

証明
任意の有限実数 ε ＞ 0 に対して、整数 N ≧ 0 があり、
n, m ≧ N なら ∫[X] |f_n - f_m|^p dμ ＜ ε^p となる。

m ≧ N となる m を固定する。

Fatou の補題(>>506)より、
∫[X] (lim inf |f_n - f_m|^p) dμ
≦ lim inf ∫[X] |f_n - f_m|^p dμ ≦ ε^p

lim inf |f_n - f_m|^p = lim |f_n - f_m|^p = |f - f_m|^p (a.e.)
だから
∫[X] |f - f_m|^p dμ ≦ ε^p
即ち
N_p(f - f_m) ≦ ε

よって、f - f_m ∈ L^p(X) である。
よって、f = f_m + f - f_m ∈ L^p(X) である。

m は m ≧ N となる任意の整数だから、
(f_n) は f に L^p 収束する。
証明終

定義
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p (>>267) の関数列とする。

(f_n) が f に L^p 収束する(>>277)とき、

n → ∞ のとき f_n → f (L^p)
または
f = lim f_n (L^p)
と書く。

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と f ∈ L^p(X) が存在し、
(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

証明
(f_n), n ≧ 1 は L^p Cauchy 列だから、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 で、
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものがある。
ΣN_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ≦ Σ1/2^k = 1

f_(n_2) - f_(n_1) + f_(n_3) - f_(n_2) + ... + f_(n_(k+1)) - f_(n_k)
= f_(n_(k+1)) - f_(n_1)

>>281 より、f_(n_(k+1))(x) - f_(n_1)(x) は X 上で a.e. に収束する。
よって、f_(n_(k+1))(x) は X 上で a.e. に収束する。
この極限を f(x) とすればよい。
証明終

定理
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p (>>267) は L^p ノルム(>>268)に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。
>>284 より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p が存在し、(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

>>282 より f ∈ L^p であり、(f_(n_k)) は f に L^p 収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に L^p 収束する。
証明終

>>284 は次のように述べたほうがよい。

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と f ∈ L^p(X) が存在し、
(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

さらに、(f_(n_k)) は f に L^p 収束(>>277)する。

証明
(f_n), n ≧ 1 は L^p Cauchy 列だから、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 で、
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものがある。
ΣN_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ≦ Σ1/2^k = 1

f_(n_2) - f_(n_1) + f_(n_3) - f_(n_2) + ... + f_(n_(k+1)) - f_(n_k)
= f_(n_(k+1)) - f_(n_1)

>>281 より、f_(n_(k+1)) - f_(n_1) は X 上で a.e. に単純収束し、
その極限関数 g(x) は L^p に属す。
さらに、f_(n_(k+1)) - f_(n_1) は g に L^p 収束する。

よって、f_(n_k) は X 上で a.e. に f(x) = g(x) + f_(n_1)(x) に
単純収束し、f_(n_k) は f に L^p 収束する。
証明終

>>285 は次のようにしたほうがよい。

定理
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p (>>267) は L^p ノルム(>>268)に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。
>>285より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p が存在し、(f_(n_k)) は f に L^p 収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に L^p 収束する。
証明終

>>287 の修正。

定理
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p は L^p ノルム(>>268)に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

>>286より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p が存在し、(f_(n_k)) は f に L^p 収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に L^p 収束する。
証明終

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p の任意の２元 f, g に対して sup(f, g) と inf (f, g) は
L^p に属す。

証明
h ∈ L^p なら |h| ∈ L^p である。
よって、
sup(f, g) = (f + g + |f - g|)/2 ∈ L^p

sup(f, g) + inf(f, g) = f + g
よって、
inf(f, g) ∈ L^p
証明終

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p の任意の元 f に対して f^(+) と f^(-) は L^p に属す。
ここで、f^(+) = sup(f, 0), f^(-) = sup(-f, 0)

証明
定数関数 0 は L^p に属すから、>>289 から本命題が出るが、
次のようにしてもよい。

f(x) = f^(+)(x) - f^(-)(x)
|f(x)| = f^(+)(x) + f^(-)(x)
よって
f^(+) = (|f| + f)/2 ∈ L^p
f^(-) = (|f| - f)/2 ∈ L^p
証明終

命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X 上の積分可能な単関数(過去スレ007の298) s : X → (-∞, ＋∞)
全体 S は L^p で稠密である。

証明
f を L^p の元とする。
任意の ε ＞ 0 に対して N_p(f - s) ＜ ε となる s ∈ S が存在
することを言えばよい。

>>290 より f^(+) と f^(-) は L^p に属す。
f = f^(+) - f^(-) であるから、 f ≧ 0 と仮定してよい。

過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限値のみをとる単関数
s_n が存在する。
1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)

f ∈ L^p だから s_n ∈ L^p である。
従って、s_n は積分可能である。

|f(x) - s_n(x)| ≦ |f(x)|
よって
|f(x) - s_n(x)|^p ≦ |f(x)|^p

Lebesgue の項別積分定理(過去スレ007の555)より

lim ∫[X] |f(x) - s_n(x)|^p dμ = 0
即ち
lim N_p(f- s_n) = 0
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K(X) (過去スレ007の708) は L^p で稠密である。

証明
K(X) の任意の元 g に対して |g|^p ∈ K(X) であるから
g ∈ L^p である。

f を L^p の元とする。
>>291 より
任意の ε ＞ 0 に対して N_p(f - s) ＜ ε/2 となる
積分可能な単関数 s : X → (-∞, ＋∞) が存在する。

s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ≠ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ
と書ける(s = 0 なら n = 1, a_1 = 1, E_1 = φ)。

M = sup {|a_1|, . . . , |a_n|} とおく。

μ(E_i) ＜ ＋∞ だから、
>>122 より、各 i で、
K_i ⊂ E_i ⊂ U_i
μ(U_i) - μ(K_i) ＜ (ε/2nM)^p
となるコンパクト集合 K_i と 開集合 U_i が存在する。
過去スレ007の706 より、
χ_(K_i) ≦ g_i ≦ χ_(U_i) となる g_i ∈ K+(X) がある。
g = Σ(a_i)g_i とおく。
明らかに g ∈ K+(X) である。

(続く)

>>292 の続き。

|g - s| = |Σ(a_i)g_i - Σ(a_i)χ_(E_i)|
≦ Σ|(a_i)||g_i - χ_(E_i)| ≦ MΣ|g_i - χ_(E_i)|
よって、
N_p(g - s) ≦ M(ΣN_p(g_i - χ_(E_i)))

|g_i - χ_(E_i)| ≦ χ_(U_i) - χ_(K_i)
よって
∫[X] |g_i - χ_(E_i)|^p dμ
≦ ∫[X] (χ_(U_i) - χ_(K_i))^p dμ
= ∫[X] (χ_(U_i - K_i))^p dμ
= ∫[X](χ_(U_i - K_i) dμ
= μ(U_i) - μ(K_i) ＜ (ε/2nM)^p

よって
N_p(g_i - χ_(E_i)) ＜ ε/2nM
よって
N_p(g - s) ≦ M(ΣN_p(g_i - χ_(E_i))) ＜ ε/2
N_p(f - g) ≦ N_p(f - s) + N_p(g - s) ＜ ε/2 + ε/2 = ε
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体上の完備なノルム空間とする。

f : X → F を可測関数(>>176)とする。
F の元 a にそのノルム |a| を対応させる写像は連続である。
従って、X の元 x に |f(x)| を対応させる写像は可測である。
この関数を |f| と書く。

1 ≦ p ＜ +∞ である実数に対して、
N_p(f) = ∫[X] |f|^p dμ
と書く。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体上の完備なノルム空間とする。
f : X → F を可測関数(>>176)とする。

N_p(f) = 0 なら f = 0 (a.e) である。

証明
過去スレ007の617より、|f|^p = 0 (a.e.)
よって、|f| = 0 (a.e.)
よって、f = 0 (a.e) である。
証明終

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体上の完備なノルム空間とする。

N_p(f) ＜ +∞ となる可測関数 f : X → F 全体を L^p(X, F, μ)
または、L^p(X, F) と書く。

f, g ∈ L^p(X, F) で f = g (a.e.) のとき、
f と g は同一視することにする。

F を複素数体の完備なノルム空間とする。
F は実数体上の完備なノルム空間でもあるから、

N_p(f) = ∫[X] |f|^p dμ
と、
L^p(X, F) は意味を持つ。

>>294 を次のように修正する。

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

f : X → F を可測関数(>>176)とする。
F の元 a にそのノルム |a| を対応させる写像は連続である。
従って、X の元 x に |f(x)| を対応させる写像は可測である。
この関数を |f| と書く。

1 ≦ p ＜ +∞ である実数に対して、
N_p(f) = (∫[X] |f|^p dμ)^(1/p)
と書く。

>>296 を次のように修正する。

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

N_p(f) ＜ +∞ となる可測関数 f : X → F 全体を L^p(X, F, μ)
または、L^p(X, F) と書く。

f, g ∈ L^p(X, F) で f = g (a.e.) のとき、
f と g は同一視することにする。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

f ∈ L^p(X, F) と α ∈ K に対して
N_p(αf) = |α|N_p(f)

従って、αf ∈ L^p(X, F) である。

証明
N_p(αf) = (∫[X] |αf|^p dμ)^(1/p)
= |α|(∫[X] |f|^p dμ)^(1/p)
= |α|N_p(f)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

f ∈ L^p(X, F), g ∈ L^p(X, F)
に対して

N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g)

従って、f + g ∈ L^p(X, F) である。

証明
|f + g| ≦ |f| + |g|
である。

よって、
N_p(f + g) ≦ N_p(|f| + |g|)

Minkowski の不等式(>>274)より
N_p(|f| + |g|) ≦ N_p(|f|) + N_p(|g|)

定義から、
N_p(|f|) = N_p(f)
N_p(|g|) = N_p(g)

よって、
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g)
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
f_n, n = 1, 2, . . . を L^p(X, F) (>>299) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら
f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束し、f ∈ L^p(X, f) である。

さらに、各 n ≧ 0 に対して、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .

証明
g(x) = Σ|f_n(x)| とおく。
N_p の可算凸性(>>279)から、g ∈ L^p(X, R) で、
N_p(g) ≦ ΣN_p(|f_n|) = ΣN_p(f_n) ＜ +∞

従って過去スレ007の486より、g は a.e, に有限である。
g(x) ＜ +∞ となる X の任意の点 x に対して
h_n(x) = f_1(x) + . . . + f_n(x) とおくと、
任意の ε ＞ 0 に対して整数 N ＞ 0 があり
m ≧ N, p ≧ 1 なら
|h_(n+p)(x) - h_n(x)| = |f_(n+1)(x) + . . . + f_(n+p)(x)|
≦ |f_(n+1)(x)| + . . . + |f_(n+p)(x)| ＜ ε
よって、 (h_n(x)) は F における Cauchy 列である。
F は完備だから f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束する。

(続く)

>>302 の続き。

|h_n(x)| ≦ |f_1(x)| + . . . + |f_n(x)| ≦ g(x)
よって |h_n(x)|^p ≦ g(x)^p

||f(x)| - |h_n(x)|| ≦ |f(x) - h_n(x)|
より
lim |h_n(x)| = |f(x)|
よって、
lim |h_n(x)|^p = |f(x)|^p

Lebesgue の項別積分定理(過去スレ007の555)より
lim ∫[X] |h_n(x)|^p dμ = ∫[X] |f|^p dμ ≦ ∫[X] |g|^p dμ
よって
f ∈ L^p である。

|f(x) - (f_1(x) + . . . + f_n(x))|
≦ |f_(n+1)(x)| + |f_(n+2)(x)| + . . .

よって、N_p の可算凸性(>>279)から、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .
証明終

>>295 と >>300 と >>301 より L^p(X, F) は N_p をノルムとする
ノルム空間になる。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と f ∈ L^p(X, F) が
存在し、(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

さらに、(f_(n_k)) は f に L^p(X, F) のノルム N_p に関して
収束する。

証明
(f_n), n ≧ 1 は L^p(X, F) の Cauchy 列だから、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 で、
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものがある。
ΣN_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ≦ Σ1/2^k = 1

f_(n_2) - f_(n_1) + f_(n_3) - f_(n_2) + ... + f_(n_(k+1)) - f_(n_k)
= f_(n_(k+1)) - f_(n_1)

>>302 より、f_(n_k) は X 上で a.e. に単純収束し、
その極限関数 f(x) は L^p(X, F) に属す。
さらに、f_(n_k) は f にノルム N_p に関して収束する。
証明終

定理
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
L^p(X, F) (>>299) はノルム N_p(>>298) に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

>>305より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p(X, F) が存在し、(f_(n_k)) は f にノルム N_p に関して
収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に収束する。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

(f_n) が f に a.e. に単純収束するなら f ∈ L^p(X, F) であり、
(f_n) は f に L^p(X, F) のノルム N_p に関して収束する。

証明
>>305 より、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と g ∈ L^p(X, F) が
存在し、(f_(n_k)) は a.e. に g に単純収束する。
さらに、(f_(n_k)) は g に L^p(X, F) のノルム N_p に関して
収束する。

従って、f = g (a.e.) である。

(f_n), n ≧ 1 は Cauchy 列だから (f_n) は f に L^p(X, F) の
ノルム N_p に関して収束する(>>306 の証明参照)。
証明終

(f_n) が L^p(X, F) の Cauchy 列だからといって、必ずしも
(f_n(x)) が収束するとは限らない。

訂正

>>308

(f_n) が L^p(X, F) の Cauchy 列だからといって、必ずしも
(f_n) が a.e. に単純収束するとは限らない。

定義
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

>>304 より L^p(X, F) (>>299) は N_p をノルムとするノルム空間である。
N_p で定まる L^p(X, F) の位相を L^p 位相と言う。

(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) の Cauchy 列とする。
(f_n) が L^p の関数 f に L^p 位相で収束するとき、
即ち n → ∞ のとき N_p(f - f_n) → 0 のとき、
(f_n) は f に L^p 収束すると言う。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F と G をともに K 上の完備なノルム空間とする。
u : F → G を連続な線形写像とする。

f ∈ L^p(X, F) に対して uf はすべて L^p(X, G) に属す。

証明
f ∈ L^p(X, F) なら f は可測で u は連続だから uf は可測である。
従って、N_p(uf) ＜ +∞ を示せばよい。

u のノルム(過去スレ007の137)を |u| とする。
即ち、任意の x ∈ F に対して |u(x)| ≦ a|x| となるような
a ≧ 0 の下限を |u| とする。

過去スレ007の134 より |u| は有限である。

f ∈ L^p(X, F) と任意の x ∈ F に対して
|uf(x)| ≦ |u||f(x)|
よって、
N_p(uf) ≦ |u|N_p(f) ＜ +∞
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

f ∈ L^p(X, F) に |f| ∈ L^p(X, R) を対応させる写像は
一様連続である。

証明
f と g を L^p(X, F) の２元とする。

|f(x)| = |f(x) - g(x) + g(x)| ≦ |f(x) - g(x)| + |g(x)|
|g(x)| = |g(x) - f(x) + f(x)| ≦ |f(x) - g(x)| + |f(x)|

よって、
||f(x)| - |g(x)|| ≦ |f(x) - g(x)|

よって、
N_p(|f| - |g|) ≦ N_p(f - g)
即ち、f → |f| は一様連続である。
証明終

命題
1 ≦ p ＜ +∞
a ≧ 0, b ≧ 0
のとき、
a^p + b^p ≦ (a + b)^p

証明
a, b は有限で a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

p ≧ 1 だから x → x^(p-1) は [0, +∞) で広義単調増加である。

0 ＜ a/(a + b) ＜ 1 だから
(a/(a + b))^(p-1) ≦ 1
よって、
a^p/(a + b)^p ≦ a/(a + b)

同様に
b^p/(a + b)^p ≦ b/(a + b)

よって
a^p/(a + b)^p + b^p/(a + b)^p ≦ a/(a + b) + b/(a + b) = 1
即ち
a^p + b^p ≦ (a + b)^p
証明終

ちんぼ

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
0 ≦ f_1 ≦ f_2 . . . を L^p(X, R) (>>299) の単調増加列とする。
sup N_p(f_n) ＜ +∞ なら f = sup f_n は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束し、N_p(f) = lim N_p(f_n) である。

証明
(N_p(f_n)) は単調増加で有界だから有限値 sup N_p(f_n) に収束する。
よって、(N_p(f_n)) は Cauchy 列である。

>>313 より
n ≧ m のとき
(f_m(x))^p + (f_n(x) - f_m(x))^p ≦ (f_n(x))^p

即ち
(f_n(x) - f_m(x))^p ≦ (f_n(x))^p - (f_m(x))^p

よって
N_p(f_n - f_m) ≦ N_p(f_n) - N_p(f_m)

よって
(f_n) は L^p(X, R) における Cauchy 列である。

>>307 より
f = sup f_n は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束する。

N_p は L^p(X, R) 上の連続関数だから
N_p(f) = lim N_p(f_n) である。
証明終

定理(単調極限定理)
A を上向きの有向集合(>>140)とする。
f を A から R~ = [-∞, ＋∞] への単調写像とする。

即ち、
x ≦ y なら常に f(x) ≦ f(y) (このとき f は単調増加という)
または
x ≦ y なら常に f(x) ≧ f(y) (このとき f は単調減少という)
となる。

f は極限(>>147) lim f を持ち、
f が単調増加なら lim f = sup f(A) であり、
f が単調減少なら lim f = inf f(A) である。

証明
f が単調増加の場合のみ証明する。
f が単調減少の場合も同様である。

a = sup f(A) とする。

a = -∞ なら任意の x ∈ A に対して f(x) = -∞ である。
よって lim f = -∞ である。

a ＞ -∞ とする。
a の R~ = [-∞, ＋∞] における任意の近傍 V に対して、
c ＜ a となる c で (c, a] ⊂ V となるものがある。

a = sup f(A) だから、c ＜ f(x) となる x ∈ A がある。
x ≦ y なら c ＜ f(x) ≦ f(y) ≦ a である。
よって、f(y) ∈ V である。
これは、a = lim f を意味する。
証明終

定義
X をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を X から R~ = [-∞, ＋∞] への写像とする。
Φ は関係 ⊃ を ≦ とした場合に上向きの有向(>>140)である。

A ∈ Φ のとき g(A) = sup f(A) とする。
A ∈ Φ, B ∈ Φ で A ⊃ B なら g(A) ≧ g(B) である。
従って、g は Φ から R~ への単調減少関数である。

よって、>>316 より lim g が存在する。
これを f の Φ に関する上極限と言い、
lim.sup[Φ] f または lim.sup f と書く。

同様に f の Φ に関する下極限も定義され、
lim.inf[Φ] f または lim.inf f と書く。

定義
A をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を A から位相空間 X への写像とする。

f の Φ に関する接触点とは ∩{ f(M)~ | M ∈ Φ } の元のことを言う。
ここで f(M)~ は f(M) の閉包である。

命題
ハウスドルフ空間 X におけるフィルター(過去スレ006の75) Φ が
x ∈ X に収束(過去スレ006の131)すれば、ｘ は Φ の唯一の接触点
(過去スレ006の132)である。

証明
x が Φ の接触点であることは明らかである。

x ≠ y とする。
X はハウスドルフ空間だから、x の近傍 V と y の近傍 U で
V ∩ U = φ となるものがある。

Φ は x に収束するから M ∈ Φ で M ⊂ V となるものがある。
M ∩ U = φ であるから y は Φ の接触点ではない。
証明終

命題
コンパクト空間のおけるフィルター(過去スレ006の75) Φ が
収束(過去スレ006の131)するためには、Φ が接触点(過去スレ006の132)を
ただ一つ持つことが必要十分である。

証明
条件が必要なことは >>319 から分かる。

Φ が接触点 x をただ一つ持つとする。
x のある近傍 V があり、Φ の任意の元 M に対して M ∩ (X - V) ≠ φ
とする。

Ψ_0 = { M ∩ (X - V) | M ∈ Φ } はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。
Ψ_0 が生成するフィルターを Ψ とする。
即ち
Ψ = { N ⊂ X | M ⊂ N となる M ∈ Ψ_0 がある }

X はコンパクトだから Ψ は接触点 y をもつ。

Φ ⊂ Ψ だから y は Φ の接触点である。
即ち x = y である。
よって、V は x の近傍だから、N ∈ Ψ_0 なら N ∩ V ≠ φ である。
しかし、これは Ψ_0 の定義からあり得ない。

即ち、最初の仮定がおかしい。
よって、x の任意の近傍 V に対して Φ のある元 M があり、
M ⊂ V となる。
即ち、Φ は x に収束する。
証明終

命題
X をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を X から R~ = [-∞, ＋∞] への写像とする。

f の Φ に関する上極限(>>317) は f の Φ に関する接触値(>>318)の
最大値である。

証明
a を f の Φ に関する上極限とする。

b を f の Φ に関する接触値とする。
任意の M ∈ Φ に対して b は f(M) の接触値である。
sup f(M) ＜ b とすると、b の近傍 V で任意の x ∈ V に対して
sup f(M) ＜ x となるものがある。
よって、 V ∩ f(M) = φ となって矛盾である。
よって、b ≦ sup f(M) である。
よって、b ≦ a である。

V を a の任意の開近傍とする。
M_0 ∈ Φ が存在し、 M ∈ Φ で M ⊂ M_0 なら
sup f(M) ∈ V となる。
V は開集合だから f(M) は V と交わる。

任意の N ∈ Φ に対して N ∩ M_0 ⊂ M_0 だから
f(N) は V と交わる。
よって、a は f の Φ に関する接触値である。
証明終

命題
X をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を X から R~ = [-∞, ＋∞] への写像とする。

lim f が存在するためには
lim.sup f = lim.inf f となることが必要十分である。

このとき、
lim f = lim.sup f = lim.inf f である。

証明
過去スレ007の36より、R の一点でない閉区間 [a, b] は R~ と
位相同型である。
よって、R~ はコンパクトだから >>320 より
lim f が存在するためには、f が Φ に関する接触点(>>318)を
ただ一つ持つことが必要十分である。

このとき、lim f は f の Φ に関する接触点である。

>>321 より、これは lim.sup f = lim.inf f と同値である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f_1 ≧ f_2 ≧ . . . ≧ 0 を L^p(X, R) (>>299) の単調減少列とする。

f = inf f_n は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束し、
N_p(f) = lim N_p(f_n) = inf N_p(f_n) である。

証明
g_n = f_1 - f_n とおく。
0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f_1

sup N_p(g_n) ≦ N_p(f_1) ＜ +∞ だから、
>>315 より、g = sup g_n = f_1 - inf f_n は L^p(X, R) に属し、
(g_n) は g に L^p 収束する。
即ち、f = inf f_n = f_1 - g は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束する。

N_p は L^p(X, R) 上の連続関数だから
N_p(f) = lim N_p(f_n) = inf N_p(f_n) である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
(f_n), n = 1, 2, . . . を L^p(X, R) (>>299) の関数列とする。

g ≧ 0 で g ∈ L^p(X, R)
各 n に対して f_n ≦ g となるものがあるとする。

このとき f = sup f_n は L^p(X, R) に属す。

証明
g_n = sup {f_1, . . ., f_n} とおく。
>>289 より、g_n ∈ L^p(X, R) である。

(g_1)^(+) = sup{g_1, 0}
(g_1)^(-) = sup{-g_1, 0}
とおく(>>290)。

g_1 = (g_1)^(+) - (g_1)^(-) だから
g_1 = g_1 + (g_1)^(-) = (g_1)^(+) ≧ 0

g_n ≧ g_1 だから
g_n + (g_1)^(-) ≧ g_1 + (g_1)^(-) ≧ 0

h_n = g_n + (g_1)^(-) とおく。
0 ≦ h_1 ≦ h_2 . . . ≦ g + (g_1)^(-)

N_p(h_n) ≦ N_p(g + (g_1)^(-)) ＜ +∞

>>315 より sup h_n = (sup g_n) + (g_1)^(-) ∈ L^p(X, R)
よって、f = sup g_n は L^p(X, R) に属す。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
A を可算集合とし、Φ を可算基底をもつフィルター(過去スレ006の77)
とする。

(f_α), α ∈ A を L^p(X, R) (>>299) の関数で f_α ≧ 0 となる
ものの族とする。

g ∈ L^p(X, R), g ≧ 0 で各 f_α ≦ g となるとする。

このとき、lim.sup[A] f_α (>>317) は L^p(X, R) に属し、
lim.sup[A] N_p(f_α) ≦ N_p(lim.sup[A] f_α)

証明
f = lim.sup[A] f_α とおく。

A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . を Φ の基底とし、g_n = sup {f_α | α ∈ A_n}
とおく。
>>324 より g_n ∈ L^p(X, R) である。

g_1 ≧ g_2 ≧ . . . ≧ 0 だから
>>323 より、f = inf g_n は L^p(X, R) に属し、

N_p(f) = lim N_p(g_n) = inf N_p(g_n) ≧
lim sup {N_p(f_α) | α ∈ A_n} = lim.sup[A] N_p(f_α)
証明終

>>325

lim.sup[A] f_α は lim.sup[Φ] f_α と書くべきだった。

定理(Lebesgue の項別積分定理の L^p(X, F) 版)
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の列とし、
次の条件を満たすとする。

(1) (f_n) は f に a.e. に単純収束する。

(2) g ∈ L^p(X, R), g ≧ 0 があり、
a.e. に |f_n(x)| ≦ g(x) となる。

このとき、 f ∈ L^p(X, F) で、(f_n) は f に L^p 収束(>>310)する。

証明
N を n ≧ 1 となる整数の集合とする。
A = N×N とおく。
n ∈ N に対して、
A_n = { (a, b) ∈ A | a ≧ n, b ≧ n }
とおく。
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . であるから (A_n) はフィルター基底である。
(A_n) が生成するフィルターを Φ とする。

(続く)

>>327 の続き。

g_(m,n) = |f_m - f_n| とおく。
条件 (1) から a.e. に lim[Φ] g_(m,n)(x) = 0 である。

他方、a.e. に |g_(m,n)(x)| ≦ 2g(x)
>>325 より
lim.sup[Φ] N_p(f_m - f_n) ≦ N_p(lim.sup[Φ] |f_m - f_n|) = 0

0 ≦ lim.inf[Φ] N_p(f_m - f_n) ≦ lim.sup[Φ] N_p(f_m - f_n)
だから
lim.inf[Φ] N_p(f_m - f_n) = lim.sup[Φ] N_p(f_m - f_n) = 0

>>322 より、
lim[Φ] N_p(f_m - f_n) = 0

即ち、(f_n) は L^p(X, F) の Cauchy 列である。
>>307 より
このとき、 f ∈ L^p(X, F) で、(f_n) は f に L^p 収束(>>310)する。
証明終

補題
X をコンパクト空間、F を距離空間とし、d をその距離とする。
f を X から F への連続写像とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、
X = A_1 ∪ . . . ∪ A_m, i ≠ j なら A_i ∩ A_j = φ
となる X の Borel 集合(過去スレ007の212)による有限分割が存在し、
各 A_i に対して x ∈ A_i, y ∈ A_i なら常に d(f(x), f(y)) ＜ ε
となる。

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、
X の各点 x で x の開近傍 U(x) で y ∈ U(x) なら
常に d(f(x), f(y)) ＜ ε/2 となるものがある。
従って、y ∈ U(x), z ∈ U(x) なら常に d(f(y), f(z)) ＜ ε である。

X はコンパクトだから、有限個の X の点 x_1 , . . , x_n があり、
X = U(x_1) ∪ . . . ∪ U(x_n)
となる。

U(x_1), . . ., U(x_n) で生成される最小の集合環(過去スレ007の189)
を、Φ とする。
Φ の元は Borel 集合である。

過去スレ007の376より、
互いに交わらない A_1, . . ., A_m ∈ Φ があり、
各 U(x_i) はいくつかの A_j の合併となる。
証明終

定理
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を距離付け可能な位相空間とする。

f を X から F への可測写像(>>176)とする。

任意のコンパクト集合 K ⊂ X に対して、
F に値をとる強可測な単関数(>>251)の列 (g_n) で
K において a.e. に f に単純収束するものが存在する。

証明
>>178 より
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n), n ＞ 0 で K - N = ∪K_n、i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
となるものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

d を F の位相と両立する距離とする。
任意の整数 n ＞ 0 をとる。
i ≦ n となる K_i に対して
>>329 より
K_i = A_(i,1) ∪ . . . ∪ A_(i,m_i)
となる K_i の Borel 集合による有限分割が存在し、
x ∈ A_(i,j), y ∈ A_(i,j) なら常に d(f(x), f(y)) ＜ 1/n
となる。

g_n を A_(i,j) においては定数でかつ f の A_(i,j) における値の
ひとつと一致し、K_1 ∪ . . . ∪ K_n の外では一定の値 a ∈ F
をとるものとする。

(g_n) が求めるものである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
f を X から F への可測写像(>>176)とする。

任意のコンパクト集合 K ⊂ X に対して、
台が K に含まれる強可測な単関数(>>251)の列 (g_n)
で、すべての x ∈ X で |g_n(x)| ≦ |f(x)| となり、
K において a.e. に f に単純収束するものが存在する。

証明
>>330 の記号を使う。
y ∈ A_(i,j) を任意にとる。

|f(y)| ≦ 1/n なら g_n の A_(i,j) における値を 0 とする。
|f(y)| ＞ 1/n なら g_n の A_(i,j) における値を
f(y)(1 - 1/n|f(y)|) とする。
K_1 ∪ . . . ∪ K_n の外では g_n の値は 0 とする。

|f(y)| ＞ 1/n なら
任意の x ∈ A_(i,j) に対して
|f(x) - g_n(x)| = |f(x) - f(y) + f(y)/n|f(y)|| ＜ 1/n + 1/n = 2/n
よって、 K において (g_n) は a.e. に f に単純収束する。

|f(x)| - |g_n(x)| = |f(x)| - |f(y) - f(y)/n|f(y)||
= |f(x)| - |f(y)|(1 - 1/n|f(y)|) = |f(x)| - |f(y)| + 1/n
他方、||f(x)| - |f(y)|| ≦ |f(x) - f(y)| ＜ 1/n

よって、|f(x)| - |g_n(x)| = |f(x)| - |f(y)| + 1/n ＞ 0
即ち |g_n(x)| ＜ |f(x)|
よって、すべての x ∈ X で |g_n(x)| ≦ |f(x)| となる。
証明終

定義
X を集合とし、Φ をその上の集合環(過去スレ007の189)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

Σ(a_i)χ_(M_i) の形の関数を F に値をとる
Φ上の単関数または Φ-単関数 と言う。

ここで、a_i は F の元、M_i ∈ Φ で
Σ(a_i)χ_(M_i) は有限和である。

F に値をとる Φ上の単関数全体を E(Φ, F) と書く。

補題
X を集合とし、Φ をその上の集合環(過去スレ007の189)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
F に値をとる Φ上の任意の単関数(>>332) は
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Φ に属す集合とし、
Σ(a_i)χ_(M_i) と書ける。
ここで、a_i は F の元である。

証明
M と N を Φ の元、a, b を F の元とすると、
aχ_M + bχ_N = aχ_(M - N) + (a + b)χ_(M ∩ N) + bχ_(N - M)

これから明らかである。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
f を L^p(X, F) (>>299) の元とする。

A = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は
A = N ∪ B, N ∩ B = φ
μ(N) = 0
B = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

証明
整数 n ＞ 0 に対して、
A_n = { x ∈ X | |f(x)| ≧ 1/n } とする。
>>298 より |f(x)| は可測関数である。
従って、>>264 より A_n は可測である。

χ_(A_n) ≦ n|f|
よって
χ_(A_n) = (χ_(A_n))^p ≦ (n|f|)^p

よって
μ(A_n) ≦ (nN_p(|f|))^p ＜ +∞

A = ∪A_n だから >>246 より命題が従う。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F, G, H を K 上の位相線形空間(位相ベクトル空間とも言う)
(過去スレ006の583)とする。

ψ : F × G → H を連続な双線形写像とする。

f : X → F
g : X → G
を可測関数(>>176)とする。

x ∈ X に ψ(f(x), g(x)) を対応させる写像 h は可測である。

証明
>>239 より x ∈ X に (f(x), g(x)) を対応させる写像は可測である。
従って、この写像と連続な ψ との合成関数である h も可測である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上のノルム空間とする。

f : X → F
を可測関数(>>176)とする。

g : X → K を可測関数とする。

このとき、x ∈ X に g(x)f(x) を対応させる写像 gf は可測である。

証明
>>335 より明らかである。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

f を X から F への可測関数(>>176)とする。
E を X の可測集合とする。

E で f と一致し、 X - E で 0 となる関数を g とする。

このとき、g は可測である。

証明
E の特性関数を χ_E とする。

g = (χ_E)f である。
>>336 より g は可測である。
証明終