◆ わからない問題はここに書いてね ２２７ ◆
>>202
f '(x) = (1-x^2)exp(-x^2 /2),
x=1 で最大値 1/√2 になり、その両側で単調だから α<1<β, また 2-β<1<2-α,
〔補題〕
g (x) = (1+x)e^(-(1+x)^2 /2) - (1-x)e^(-(1-x)^2 /2)
= exp(-(1+x^2)/2){ (1+x)e^(-x) - (1-x)e^x }
= 2e^(-(1+x^2)/2){ x･cosh(x) - sinh(x)}
= 2e^(-(1+x^2)/2)cosh(x){x-tanh(x)} >0, (終)
f(α)=f(β)=k とすると、補題より
f(2-α) - f(α)>0, f(β) - f(2-β) >0,
∴ f(2-β) < f(β) = k = f(α) < f(2-α),
∴ f(2-β) < f(α), f(β) < f(2-α),
∴ 2-β < α, β > 2-α,
f '(x) = (1-x^2)exp(-x^2 /2),
x=1 で最大値 1/√2 になり、その両側で単調だから α<1<β, また 2-β<1<2-α,
〔補題〕
g (x) = (1+x)e^(-(1+x)^2 /2) - (1-x)e^(-(1-x)^2 /2)
= exp(-(1+x^2)/2){ (1+x)e^(-x) - (1-x)e^x }
= 2e^(-(1+x^2)/2){ x･cosh(x) - sinh(x)}
= 2e^(-(1+x^2)/2)cosh(x){x-tanh(x)} >0, (終)
f(α)=f(β)=k とすると、補題より
f(2-α) - f(α)>0, f(β) - f(2-β) >0,
∴ f(2-β) < f(β) = k = f(α) < f(2-α),
∴ f(2-β) < f(α), f(β) < f(2-α),
∴ 2-β < α, β > 2-α,
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