◆ わからない問題はここに書いてね ２２７ ◆

>>906

そうしても、∠EADの値が定まらず、答えがでないのですが

この式の証明が出来ないんですが…

p>0 q>0 p+q=1のとき
(pm+ny)2≦pm2+qn2
*pm2はp1乗m2乗ということ　p2m2(p2乗m2乗)とは違う

>>908
微分してから平均値の定理

>>910
>>1の最初の部分くらい読みなよ。

>>912
すいません…

書き直します…

p>0 q>0 p+q=1のとき
(pm+ny)^2≦pm^2+qn^2
*pm^2はp1乗m2乗ということ　p^2m^2(p2乗m2乗)とは違う

kは0より大きい定数
y = x(x-k)^2 とy = x で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるkの値を求めよ

解き方教えてください。

んなこと分かってるよ。お前がいちいち書かなくても慣れてるんだから

>>914
(右辺)-(左辺)を計算し、1-pや1-qが出てくるように項を整理してp+q=1を使い、
因数分解すれば答えが出てくる。
あと、問題は正確に。

誰でも良いのでこの問題を教えてください。

禅問答か・・・？

>>917
有難うございます。

誰でも良いのでその問題を教えてください。

お願いします。

二次関数y=(ax+b)^2の最大値をＭ(a,b)として、このとき
Ｍ(a,b)≦m∫[x=0,1](ax+b)^2dx
が任意の実数a、bに対して成り立つような実数mの中で最小のものを求めよ。

せっぱ！

そもさん！

って逆じゃないのか

>>921を問いとして言ったのさ

>>922
M(a,b)の値が存在するのはa=0のときのみ。
a=0では(左辺)=b^2、(右辺)=mb^2
よってm=1

>>922ですが０≦ｘ≦1です。すみません。

後出し金玉！

>>927
後だし厨はまず>>926に謝罪と賠償をしる

>>915
0<k<1 のとき
∫[k-1,k+1]{x(x-k)^2-x}dx=0
-k/3=0
不適

k≧1 のとき
∫[0,k+1]{x(x-k)^2-x}dx=0
k=3

>>922
M(a,b) = max{b^2,(a+b)^2} = max(b^2,c^2)
∫[x=0,1](ax+b)^2dx = {(a+b)^3-b^3}/(3a) = (c^2+bc+b^2)/3 ≧ 0
ただし、c=a+bと置換。

3max(b^2,c^2)/(c^2+bc+b^2) の上界がm。
計算すると、m=4

>>922
(a+b)^2≦m(a^2/3+ab+b^2)
かつ
b^2≦m(a^2/3+ab+b^2)
⇔
(m-3)a^2+(3m-6)ab+(3m-3)b^2≧0
かつ
ma^2+3mab+(3m-3)≧0

a^2 , b^2の係数≧0 と判別式≦0から m≧4

p:素数
Ap:=1+1/2+1/3+…+1/(p-1)を既約分数にした時の分子
この時、
Ap≡0 (mod p)が成り立つという証明が出来ません…
どなたかご教授お願い致します

p>2 素数
2,3,・・・,p-1 の最小公倍数を m とすると
Ap=Σ[k=1,p-1]m/k　と表わせる。
i , j を1〜p-1 から取った異なる整数とすると
m/i - m/j = m(j-i)/(ij)
は p では割り切れないので
m/k (k=1,2,・・・,p-1) の　p-1 個の整数を p で割った余りはすべて異なる。
よって
Ap=Σ[k=1,p-1]m/k
≡(1/2)p(p-1) (mod p)
≡0

>>933
証明は分かりませんが
Wolstenholme's theoremというらしいですがpだけでなくp^2 ( p > 3.)で割り切れるみたいです。

>>933
うーむ。ちと出遅れたか。

Σ[k=1,p-1] 1/k = (Σ[k=1,p-1] (p-1)!/k)/(p-1)!
既約分数にせず、分子を
Bp := Σ[k=1,p-1] (p-1)!/k
とおく。分母の(p-1)!にpが含まれていないので、Bp≡0 (mod p)であることを示せばよい。

pは素数だからZ/pZは群をなす。よって
(p-1)!/k = 1*2*…*(k-1)*(k+1)*…*(p-2)*(p-1) ≡ k^{-1} (mod p)
したがって
Bp ≡ Σ[k=1,p-1] k^{-1} = Σ[k=1,p-1] k = p(p-1)/2 ≡ 0 (mod p)

レスのが無いうちにこっそり修正しておくか

k^{-1}をkの逆元とすれば、
(p-1)!/k ≡ (p-1)! * k^{-1} (mod p)
と書けるから、
Bp ≡ (p-1)! * Σ[k=1,p-1] k^{-1} = (p-1)! * Σ[k=1,p-1] k = (p-1)! * p(p-1)/2 ≡ 0 (mod p)

>>934さん、>>936さん、
本当にありがとうございます。

>>935さん
参考になりました。
Wolstenholme's theoremを調べてみたらなかなか興味深かったです。

わかんないっす…

aを0でない実数とする 2つの曲線y=e^x及びy=ax^2の両方に接する直線の本数を求めよ

> 939
接点は共通だよね？

接点(x,y)で　
e^x=ax^2

傾きが等しいから　微分して
e^x=2ax

二式を連立。

>>939

a<0なら確実に１本ある。
a=e^2/4のとき、(2,e^2)で接するので１本ある。
a=1のときはない。
e^2/4<aのときも１本ある。

あとは理屈をつける。
指数関数の接点を(t,e^t)、２次関数の接点を(s,as^2)とおくと、
e^t=2as　→s=e^t/2a

(t,e^t)の接線、y-e^t=e^t(x-t)が、(s,as^2)=(e^t/2a,e^2t/a)を通るので、
e^t(t-1-e^t/4a)=0
よって、e^t=4a(t-1）　これがｔの実数解をもつには、a<0,e^2/4≦a
a<0のときｔは１つ
a=e^2/4のときは１つ
e^2/4のときは２つ

test

一辺の長さが１の正方形ABCDがある。
辺BC上に点P、辺CD上に点Qを取り、正三角形APQを作る。
BP=xと置く時、xの値を求め、その時のtan75°の値を求めよ。

という問題なんですが、辺AP^2=1+x^2まで求めたのですが、
そこから先で行き詰ってしまいました。
どうやって解けばいいのか教えてください。

>>943
PQ^2をxをつかってあらわして、AP^2=PQ^2をつかう

x=1/3かな？
ところで「その時のtan75°の値」って？

>>944
PQ^2をxを使って表すにはCQの長さを求めなければいけませんが、
CQの長さはどうすれば求められるのでしょうか？

>>945
わかりません。問題文にそう書いてあるんです。
ただ単にtan75°の値を求めればいいわけですが、その意図が
わかりません。

ひょっとしてPCとCQの長さは同じなんですかね？
だとするとx=2-√3という解が出てきますが。

>>946
変なこといってすまん。
∠ＢＰＡ＝７５°だから

tan７５°＝１／ｘってことだな。
あと計算ミスしてました。２−√３でおｋだとおもいます

どうぞよろしくお願いします。
２辺ACとB'B''が平行な等脚台形AB'B''Cがあり、B'B''の中点をDとする。
線分B'Dと線分B''Dが重なるように線分AD、線分CDに関して折り曲げ、三角錐の容器を作る。
B'とB''の重なった頂点をBとする。AC=2、B'B''=４、AB'=CB''=p(>2)として

(１)三角錐ABCDにおいてDA↑=a↑、DB↑=b↑、DC↑=cとあらわす。
Aから平面BCDに下ろした垂線とBCDの交点をEとするとき、AE↑をa↑、b↑、c↑、pを用いて表せ。

(２)Eが辺BD上にあるようなpの値を求めて三角錐ABCDの容積を求めよ。

全くわかりません

完全関手と極限

極限と余極限という言葉を使っていますが、順極限・逆極限の方が一般的な
用語ではないですか？　左完全と右完全は定義が逆のような気がします。
のみの使い方も違和感があります。有限の極限のみを保つ は、単に、
有限の極限を保つ と書くのが普通では？ --Jovanni 2007年9月19日 (水) 13:11 (UTC)

コメントありがとうございます。「極限」「余極限」はこの記事と圏論、
極限#圏論にありますね。順・逆極限の方が一般的だというソースというか、
両方の流儀の文献の比較でも示していただければと思います。
「のみ」が入っているのはミスリーディングなのでなくした方がいいでしょう。
ただ、左完全と右完全の区別は今の記述でいいんじゃないかと思います。
たとえばアーベル圏における射f: A → Bの核 ker(f) → A はAからBへの
零射とfとの等化射で、零射とfの二つの射からなる図式 A -f->, -0-> B の
極限と見なせますが、こういう射の核を保つような関手（たとえば適当な
対象Xについての Hom(X, -) とか）が左完全とよばれます。--Makotoy 2007年9月20日 (木) 00:53 (UTC)

逆極限[resp. 順極限]は極限[resp. 余極限]の特別の場合なのでは…? cf. en:limit (category theory) --Wailerleaf 2007年9月20日 (木) 07:49 (UTC)

今は、順極限とか使わないんですか。( 語感的に 極限＝順極限だと思っていましたが
逆なんですね )。最近のことはよく知りませんが、ブルバキやグロタンディクの時代は、
帰納的極限・射影的極限(岩波数学辞典もそう)が普通でした。順極限・逆極限は
それがアメリカに渡って direct limit/inverse limit と呼ばれるようになったのを
和訳したもの(音数が少ないのでこちらの方が好まれた)です。
このwikiで使われている limit/colimit は、幾何学屋さんの用語というよりも、
もう少し抽象的な論理屋さんの使いそうな響きがありますね。
東京理科大の講義概要( http://www.tus.ac.jp/fac/kyouin/kyouin.php?s/ooi ) でも、
direct limit, inverse limit ですし。 どっちが普通かという議論は水掛論になりがちだし、
最近のことはよく知らないのでこの位にしておきます。 --Jovanni 2007年9月20日 (木) 10:50 (UTC)

正四面体ABCDがある
CDの中点をMとするとき、角AMDの値はいくつか

ふと思い出した問題
確か全くできなかったんだよな・・・

正四面体の1辺の長さを1として、△AMBについて余弦定理から、
1^2=2*(√3/2)^2-2*(√3/2)^2*cos(∠AMB)
∠AMB=arccos(1/3)≒70.5°

あるアトラクションの入場料をａ％値上げすると、入場者数は５/６ａ％減ることが分かっている

（１）この入場料を１２％値上げすると収入は何％増減するか。

（２）収入の増減がないのは、入場料を何％値上げしたときか。

>952
正三角形ACDがある。
CDの中点をMとするとき、∠AMDの値はいくらか?

>>955
中国に都合のいい悪いことはまったく報道しない日本のマスコミ・テレビ
日本海の資源をすい続ける中国に何も言わず黙認する日本
もうすぐ日本は中国に支配されるでしょう
何も知らないあなたはお笑いと取るかもしれませんが
↓これが現実なのです
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1061383

>>954
(1)1.12*(1-(5/6)*0.12)=1.008、0.8%増加。
(2)((100+a)/100)*((600-5a)/600)=1、a=20%

◆ わからない問題はここに書いてね ２２８ ◆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190430000/