線形代数/線型代数 4

〔問題〕
　x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 = 1　の条件の下で
　f(ｘ) = x1x2 + x2x3 + …… + x(n-1)xn + xnx1　の最大･最小を求めよ.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/16
東大入試作問者スレ１３

>442
n次の実対称行列Ａを
　f(ｘ) = ｘ･Ａ･ｘ†
とおくと、Ａの要素は
　A[i,j] = 1/2,　　　　|i-j| =1, n-1 のとき
　A[1,n] = A[n,1] = 1/2,
　A[i,j] = 0,　　　　　その他
となる。
次にＡの固有多項式を計算するんだが、長くなるので結果だけ書く。
　|λＥ−Ａ| = {Ｔ_n(λ) - 1}(1/2)^(n-1),
ここに Ｅはn次の単位行列、Ｔ_n( ) はn次の第1種チェビシェフ多項式とか言うもので、
　cos(nθ) = Ｔ_n(cosθ),
が成り立つ。 したがって、Ａの固有値は
　λ = cos(2kπ/n),　　　(k=0,1,2,…,n-1)
最大の固有値は λ= 1,
最小の固有値は λ=-1 (nが偶数のとき),　λ=-cos(π/n) (nが奇数のとき).

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

>>395
偶数次のとき、|λE-A| = |A-λE|,
奇数次のとき、|λE-A| = -|A-λE|.