線形代数/線型代数 4

〔問題〕
962 ： ◆nQAc.NZenw ：2007/11/03(土) 11:40:01
nは2以上の自然数とする。
xy-平面上に長さ1の棒ABがあり、k=0 のときの座標は A[0]=(0,0), B[0]=(0,1) であった。
ここで、B[k-1] を支点としてこの棒 A[k-1]B[k-1] を時計回りにπ/n回転させて A[k]B[k-1] とし、
次に A[k] を支点として再び時計回りにπ/n回転させて A[k]B[k] とする。
この動作をn回(k=1,2,･･･,n)行った後のBの座標B[n]を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/962,975
東大入試作問者スレ１１

>255
xy-平面上の点P=(x,y) と 複素平面上の点 z(P) = x+iy とを対応させる。
時計回りにπ/nだけ回転することは、z に exp(-iπ/n) を掛けることに相当する。
さて、題意により
　[z(A(k)), z(B(k))]† = Ｔ･[z(A(k-1)), z(B(k-1))]†,
ここに
　Ｔ = [[a, 1-a], [a(1-a), 1-a+a^2]],　a = exp(-iπ/n),
Ｔの固有値は 1,a^2 である。 固有ベクトルを v_1†, v_2† とし,　Ｐ = [v_1†,v_2†] とおくと
　Ｐ^(-1)ＴＰ = [[1, 0], [0, a^2]] = Ｄ,
　Ｄ^n = [[1,0], [0,a^(2n)]] = [[1,0], [0,1]] = Ｉ,
　Ｔ^n = {ＰＤＰ^(-1)}^n = ＰＤ^n Ｐ^(-1) = ＰＩＰ^(-1) = Ｉ,
で元に戻る。


なお、計算を実行してみたら
　固有値 1,　v_1† = [1/√2, 1/√2],
　固有値 a^2,　v_2† = [−exp(iπ/2n)/√2, exp(-iπ/2n)/√2],
　Ｐ = (1/√)[[1, −exp(iπ/2n)], [1, exp(-iπ/2n)]],
　Ｐ^(-1) = {1/[cos(π/2n)√2]}･[[exp(-iπ/2n), exp(iπ/2n)], [-1, 1]],
となったが･･･