不等式への招待 第３章

〔問題〕
　x+y+z=1,　x,y,z ≧0 のとき　f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56
分かスレ２７９

>114

f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。
そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様）
　f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x)
は zについて単調増加、xについて単調減少。
　f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y)
　= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3),
等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。