1=0.999… その14.999… (本スレ)

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
�@　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

�A　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ−ｘ＝９．９９９９…　−　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

�B　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

�C　０．９９９９…　は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
　０．９９９９…　＝　０．９／（１−０．１）　＝　１

�D　ｎ÷ｎ　を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
　１　＝　ｎ÷ｎ　＝　０．９９９９…

�E　０．９９９９…と１が異なるとなるとすると、その間の数がある。
　その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
　１の位は比較して０
　小数第１位は比較して９
　小数第２位は比較して９
　小数第３位は比較して９
　…………
　と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
　０．９９９９…
　となってしまい、０．９９９９…と１の間の数にならないので矛盾。

�F１と０．９９９９…を足して２で割った数は
　１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
　（１＋ｘ）／２＝ｘ　よって、ｘ＝１となる。

１≠０．９９９９…となる数学モデルは>>6

>>3　の修正

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、アルキメデス性を満たす数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ８：１≠０．９９９９…となる数学モデルは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ８：違う表記の数をすべて違う数とみなす体系があげられる。ただ、副作用も多すぎる。
　　　超準解析学を考えると１≠０．９９９９…となる数学の体系を構築することもできる。
コンウェイの超現実数では１≠０．９９９９…となる。

Wikipedia の 0.999...の項目も参考に！
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E