【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART111【cos】
131 ：１３２人目の素数さん：
1辺の長さが2の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をM、∠AMD＝θとすると、
cosθ＝①、sinθ＝②、である
頂点Aから線分DMに下ろした垂線をAHとする
線分AHの長さは、AH＝③となるので、四面体ABCDの体積Vは、V＝④となる
次ぎに四面体に外接する球の半径Ｒ、四面体に内接する球の半径rをそれぞれ求める
四面体に外接する球の半径の中心をＯとすると、Ｏは線分AH上にある
△OHDにおいて三平方の定理より
OH^2＋HD^2＝OD^2 ･･･(a)
Hは△BCDの重心より
HD＝⑤ ･･･(b)
次ぎにOH=AH-OA=⑥-R ･･･(c)
よってR=⑦が求まる
正四面体に外接する球と内接する球の中心は一致するので、r=⑧となる
また四面体に外接する球の体積をV1、表面積をS1、四面体に内接する球の体積をV2、
表面積をS2とするとき、V1:V2=⑨：⑩、S1:S2＝⑪：⑫となる
cosθ＝①、sinθ＝②、である
頂点Aから線分DMに下ろした垂線をAHとする
線分AHの長さは、AH＝③となるので、四面体ABCDの体積Vは、V＝④となる
次ぎに四面体に外接する球の半径Ｒ、四面体に内接する球の半径rをそれぞれ求める
四面体に外接する球の半径の中心をＯとすると、Ｏは線分AH上にある
△OHDにおいて三平方の定理より
OH^2＋HD^2＝OD^2 ･･･(a)
Hは△BCDの重心より
HD＝⑤ ･･･(b)
次ぎにOH=AH-OA=⑥-R ･･･(c)
よってR=⑦が求まる
正四面体に外接する球と内接する球の中心は一致するので、r=⑧となる
また四面体に外接する球の体積をV1、表面積をS1、四面体に内接する球の体積をV2、
表面積をS2とするとき、V1:V2=⑨：⑩、S1:S2＝⑪：⑫となる
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