e、自然対数の底

πと並ぶ無理数のking
高校で突然習う、この不思議な数について

iも

>>1
何について議論したいのかもっと書いて

私を呼んだかとか…脳を読むヤツをつぶせ…ってレスで埋まりそうなヨカン

∫[-∞,∞](sin(x)/x)dx / ∫[-∞,∞](cos(x)/(x^2+1))dx = e

talk:>>1 私を呼んでないか？

>>6
自然対数の底eの定義言ってください
lim[h→0](1+h)^(1/h)とかlim[n→∞](1+(1/n))^nとか絶対に言わないでください

なんで？

他に何で定義しろっていうんだ？

まあ微分方程式や積分を利用した定義は出来るけど
ただなぜそこの定義を言ってはいけないのかはようわからんわな

y´=y

y=0

最初に e の定義から始めることにしましょう ：

【 自然対数の底 e の定義 】
指数関数 y=a^x において，
y 軸との交点 (0,1) での接線の傾きが 1 である指数関数を y=e^x と定義します。
これで，自然対数の底 e の値を定めます。

>>1-2

不思議な数字の e および i が入ってくる非常に有名な公式を挙げておきましょうね ：

【 Euler の公式 】

　　　　　e^(ix) = cosx ＋ i sinx

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……

King禁止

>>7
(a^x)'=a^xをみたすaをeと定義する
もしくは(log[a]x)'=1/xをみたすaをeと定義する

e^x について、テイラー展開より高速な近似計算方法ってある？

指数関数の逆数みたいに各項が小さくなっていくやつがそうかな・・・

・・・え？

talk:>>15 何やってんだよ？

>>17
ガウスの算術幾何平均法で楕円積分が計算できて
その特殊例としてlog(x)が計算できるので、
log(x)の逆関数をニュートン反復で計算する方法が
いまのところもっとも高速。

テイラー展開はN桁求めるのに、O(N)回の加減乗算が必要なのに対して
この方法はO(log(N))回の演算量ですむ。

>>20
すげぇ！標準ライブラリの仕様ってその方法になってる？

この方法は数百万桁以上の超高精度向きで、普通の精度ではオーバーヘッドが
大きいため、この方法は使われていません。

普通の精度の場合は、加法定理により区間を分けて、多項式近似をします。
通常は16桁の場合は12次式程度の多項式で近似できますが
区間を分けてxの値を小さくすればより小さな次数の多項式で計算できます。

極端な場合、某社のコンパイラは、区間を数百等分して３次関数で近似して、
指数関数や三角関数を数クロックで計算するという曲芸的な方法をとっています
(もちろんIntel系のCPUの組み込み関数より高速)。

>>22
なるほど。精度にこだわるマニア向きってわけか。
しかし、区間数百等分 3 次ってロマンを感じないな。

何をおっしゃっているのか僕には分かりません

昔kingの日記でネピア数について書かれたものがあった

というかπなら中学ぐらいで習うのでは？

nが0以上の整数ならば、a(2n,0)=2n+2, a(2n+1,0)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/a(n,m)とする。
a(2n+2,2n+2)>a(2n,2n), a(2n+3,2n+3)<a(2n+1,2n+1), lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。

nが0以上の整数ならば、a(0,0)=2,a(3n+1,0)=1,a(3n+2,0)=2n+2,a(3n+3)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/(a(n,m))とする。
lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。

[>>27]のは謎の値に収束する。

102

441

664

対数関数の逆関数が指数関数っていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
同じく自然数aの逆数が1/aっていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
そもそも負の数に負の数を掛けるとなんで正の数になるのかわかんないんだけど。
「定義」だからしょうがないってやつか？

俺みたいに数学赤点の椰子は、脳の制御回路が一次元的物理量しか扱えない仕様になっているんだと理解している。

>>33 逆関数の定義を知ってて言ってるのか？

(e)'=eらしいが、
(1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……)'
=(1/1)'+(1/1!)'…
=0+0+…
=0だと思う事もある。

βさんの相変わらず素敵なレスにホレボレします（棒

棒読みであるところに、味が出てるな。

確かに(e)'=0だな

(e)'=0 (ex)'=ex
であってますか？（もちＸでビブン）

>>40
どっちかつったら(ex)'=eじゃね？

>>20-22
ノイマン型コンピューターと量子コンピューターの如し!!

ネタか…
(e)'=0
(ex)'=x
(e^x)'=e^x

(ex)'=eだろ

>>40
頭が回らなくなったんだろうか。
eも一定数なので
(x^n)'=n(x^(n-1))
(a(x^n))'=an(x^(n-1))
(n:定数)
の例に漏れず
(e(x^n))=en(x^(n-1))

eに関する微分公式と言えばやはり
e^x=e^x
だろ

こんな時間に他者重複レスとは

>>20
公式レスプリーズ

>>44
うわ間違えた

eが絡んでる微分・積分について、例題と解放がたくさんのってるオススメの参考書ってない？

岩波の数学公式

E女やA女が絡んでる……


ごめん何でもない。

(e)'=0
(ex)'=x

↑はeを定数とみなすときのみだよな？
実際はe'=e

eは定数じゃないのか

e=2.71828183

>>51
愚か者。物理板でも白い目で見られてからに。

先ず最初にeが自然対数の底とし
xの微分の話である事を断っておく。

自ずと然り、eは定数で近似値は>>53。

(a^x)'=(log a)^x (aは定数 xは変数)
然し、(e^a)'=0

特にa=eならば
(a^x)'=(log a)^xに代入して
(e^x)'=e^x
だろうがよ。
それ以前に、お前のいうeは何なんだ？

>>54
お前何いってんの？>>51の何に対して「間違ってる」といってるんだ？
それで、物理板とかあんなん遊びだよ？オレ元から数学板の住人だし。
物理専門の人間は頭抜けてるヤツ多いんだよなー日本語も変だし。

ちょっと変な人に何かを仕掛けられるかもしれないと言っている
そんなこともわからないとはのんきだね

>>56
意味不明ですがｗ
マジで日本語きちんと話してくれる？自分で話しててもよくわからんこといってるって
後で思うこととかあるでしょ？
物理系の人間はほんっとこういう面で頭悪いのが多いな。
のんきだね　って何だよｗｗまじ正しい日本語使え。

(ex)'=x とかいってるやつには言われたくないだろうな

>>54
(a^x)'=(log a)a^xじゃないのか？
これにa=eを代入したときlog e=1だから
(e^x)'=e^xとなるんだろ。
書き間違いか？

ホンモノのバカを見た

はずかしい間違いをしてしまった（＞＿＜）

e^xを微分したら
xe^(x-1)なんだぜ？
しってた？

>>62 確かに、「どの変数で」ってのは書かないとね。

e^(i*(-i))=eより
cos(-i)+isin(-i)=eだから
なんとかして幾何的に定義する

βよりはみんな救いがあるからな。
何てったって
(ex)'=xとかe'=eとか本気で言ってるし

またいつもみたいに
『本気？冗談だろうがｗ』みたいな事とかいうなら
これはかなりタチ悪い荒らしだ。

…(ex)'=eで(e^x)'=e^xだろうがよ？

セックスデラックスはエクスタシー

∫e^xdx=e^x+C

>>65
で、e'=eじゃないの・・？

>>67
e'=0 じゃないの？

>>67
eは定数だと何度も（ｒｙ

e'=e

1'=1
2'=2
π'=π

その昔eの最初の20桁をメールアドレスにしていた

e≒3
π≒3
∴e≒π

e^0=π^0=3^0 ∴ e=π=3

>>72　＆>>73
笑える

e=2.71828182845904523536028...だけど
以前この板で他の名無しが教えてくれた覚え方

「2.7 1828 1828 459 045 235 36 028」
「ナニ　1発2発 1発2発 しごく おしっこ ふみ子見ろ 鬼や」
を未だに覚えてる

あれ、オレずっとeは定数なのに微分したらeになる不思議な数って思ってたかも。

いま高２で、いきなりネイピア数がでてきたがまったくわからん。
なんで対数関数の導関数は全部еになんのうっぜ
消えろやネイピア

高校数学なんて
e^x、sin,cos,tan、x^n
これらとその逆関数の微分ができりゃ十分。

>>77
まず、教科書に違和感を感じられなくなったら終わりだ。その点、君は
まだ見込みがあるぞ。違和感を感じたら、なぜそれが自然なものとして
通用しているのか、答えを模索するんだ。答えはすぐには見つからない。
決して妥協せず、その違和感を心の片隅にもち続けろ。

>>77
でもネイピア数は微分を簡単にするために生まれてきたんじゃないの？
eなしで対数関数や指数関数の微分ができますか？

微分方程式
y'=yかつx=0のときy=1になるもの
この関数をy=e^xと定義する

違和感は消さなきゃいけない。持ち続けろというのは間違い。
よって解説してあげるのが適切。

伊予柑だって持ち続けてたら腐るもんなあ

>>82
流石に分かったか。e'=0
eとはいえ、定数。
(ex)'=e　
これは只単にeが比例定数なだけの比例関数だからな。
(e^x)'=e^x
微分してもまた同じになる様な指数関数a^xの定数aがe。

指数関数の微分(a^x)'=a^xとなる様なaがe。
色んな定義がー　あるんだーなー(ﾎﾟﾝｷｯｷ)

言ってる自分も過去レス見たら抜けばかり

Reply:>82 その違和感の原因が何かについては考えたか？

伊予柑の原因なら山口県なんだけどな

>>59
頭が沸いていた。スマン

えーと
a^x=(e^(log a))^x=e^(x*log a)

で何だ、合成関数の微分なんて忘れた。

若年性の痴呆か…

>>89
y=a^xと置いて、対数微分。

恥承知でやってみるか。

合成関数微分法
{f(g(x))}'=f'(g(x))*g'(x)

f(x)=e^x⇒f'(x)=e^x
g(x)=x*log a⇒g'(x)=log a

f'(g(x))*g'(x)=(e^(x*log a))*log a

…で良いんかな、不安だ

>>89
(log y)'=y'/yってやり方の対数微分法かぁ

y=a^xとし、>>89より
y=e^(x*log a)
両辺の対数を取ると
log y=x*log a
この両辺を微分してy'/y=log a
で、
y'=(e^(x*log a))*log a

あ、良いんか

>>92訂正
× >>89　〇 >>90

e^(x*log a)=a^x

ヤッパリややこしいから
>>93改定(>>92再改訂)

92:89 :2007/08/19(日) 16:14:00 [sage] >>90
(log y)'=y'/yってやり方の対数微分法かぁ

y=a^xと置き、>>89(対数法則)より
y=e^(x*log a)
両辺の対数を取ると
log y=x*log a
この両辺を微分してy'/y=log a
で、
y'=(e^(x*log a))*log a

あ、良いんか

お付き合い戴き、有難う御座いました。

閑話休題と思ってくれ。

　　　Y=EXP（X)　は、底がeで、これを一行で書く方法。
　　　つまり、Y=e^X のこと。右肩にXと書けなくても、＾を使えばよい。　
　　　だから、底がそのほかの数なら、　一行で書きたければ、Y＝A＾X　と書けばよいよねぇ。

　　　
　　　Y＝Ln（X)　は　底がeで、つまり、Y=log X　のこと（底が、一行で書くことが、PCではできなかったが）
　　　底がそのほかの数なら、どう書けばよいんでしょう。
　　　小さく添字ができない場合、要するに、一行で書く場合です。
　　　
　　　
　　

もうちょっとまともな日本語使えよ・・・

｢一行｣という何の変哲もない言葉を、ここまで変哲に用いることが可能だったとは。

>>96
Xの自然対数をLogにnaturalの頭を添えたLn(X)が書式の系では
Log(X)はXの常用対数、つまり底10の対数の事位しか知らん
なので一般の対数の書式は知らん

>>96
おれは log[a](x) と書いて「ログ、エー底のエックス」を表現しているが、どう？

ネイピアさんがこの数字に辿り付いた逸話などがありましたら、教えて下さい。
オイラーの公式は後からわかったんですよね。

こんなに上手く行く無理数の誕生歴史を知りたい。

249

>>96-100
数学板初心者の為の質問スレ　3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188881252/

>>101
オレもよくは知らないが、
ジョン・ネイピアがネイピア数を発見したのではない。
彼はこの数字にたどり着くことなく息を引き取ったらしい。

この数字にたどり付いたのは、オイラーの公式とやらを提唱したオイラー自身であり、
指数関数あるいは対数の微分というものを考えたときに生まれたのではないかと思う。
任意の値を底にしたlogXを微分したときに出てくる定数としてe=2.71…=lim[n→0](1+n)^(1/n)が出てくるらしい。

そして、ｘの関数として微分をしても一定の値を保つ底　e＾ｘ
これが登場する。最初にこの定数を発見したときにどういう計算のもとで、
あるいはどういう問題のもとで行き着いたのかは知らない。

オイラーはこのeを自分の頭文字としてではなく、たまたま友人に宛てた手紙の中で
eという文字を使ったと、それだけのことらしい。

そして、このeをネイピア数と名づけたのはオイラーだとか。

ジョン・ネイピアは対数の発見者でありながら、常用対数表すら目にすることはなかった。
彼が作ったのはネイピアの対数と呼ばれる。1よりもほんの少し小さい値で
なるべく整数として扱えるような、そんな複雑な底の対数表であり、それを20年くらいかけて作ったらしい。

オレは彼を数学界のゴッホだと思う。

オイラーって発見しすぎだろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

　　 　　　　 　　 　i　┬┬
　　　　　＿＿＿ │ ┘└
　　　 ／　 ＿　 ＼　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　／⌒/
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　/　　　　＼／　　/｀　/＿＿＿＿/　　＿＿＿　　　　.//
./　　　＿＿＿＿ノ　 　＿＿＿＿　　 /　　 　 /　 　　//
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＼＿＿＿＿/　　　　　　　　　　　　　　　　 　　=======

e=lim[n→0](1+n)^(1/n)の起源ならおそらく指数関数の微分の時では？

(a^x)'
=lim[h→0]{a^(x+h)-a^x}/h
=lim[h→0]a^x{(a^h)-1}/h
=a^x lim[h→0]{(a^h)-1}/h
なんでlim[h→0]{(a^h)-1}/h=1となる定数aを見つけようとした。
その定数をeとすると
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1
lim[h→0]{(e^h)-1}=lim[h→0]h
lim[h→0](e^h)=lim[h→0](1+h)
e=lim[h→0](1+h)^(1/h)

多分こんな感じかと。

ﾄﾗﾝﾌﾟ等の一人遊びで何回もやった時の成功時の喜びの合計を最大にするには,
成功率を1/e(≒0.3679)にするのが最良だそうだ

>>107
喜びの合計の定義は？

>>104
＞彼が作ったのはネイピアの対数と呼ばれる。1よりもほんの少し小さい値で
＞なるべく整数として扱えるような、そんな複雑な底の対数表であり、

分かってないだろｗ

ネイピアの対数は(1/e)と考えてよい。
ネイピアの時代には小数がなかったので独自の表現をしているが
これは簡単に小数に置き換えられる。

ネイピアのやり方は基本的には微分方程式の数値解法とみなせる。
だから底が1/eでも別にそう驚くことではない。
微分方程式として表現する場合、自然対数のほうが簡単だから。

>>108
よくわからんがかつてx^xという関数の性質を調べたときに1/eってのが出てきたからそういう定式化したんじゃないかな

関係あるのか？

1+1=2

御徒町のダイヤモンド
http://life9.2ch.net/test/read.cgi/sousai/1205137837/l50

age

ag＝e

d　　x　　　x
―　e＝　e
dx

∫(ag)dx = ∫(e) dx

β微分法とeβ論法の発祥スレ…もとい発症スレ

>>118
おまいさん∫exに夢中だろww
∫exdx=ex^2/2+C
∫e^xdx=e^x+C

なんでこのスレ盛り上がらないの？
もっと盛り上がってもeと思うんだけどね

βあげ

e

lim[h→0](1+h)^(1/h)=eだけど
lim[h→∞](1+h)^(1/h)って何になるの?
それとも発散する？

等角共役点ってなに？
詳しく教えてくれ。

>>123
logとりな。

lim[h→∞]log(1+h)^(1/h)
=lim[h→∞](log(1+h))/h=0
よってlim[h→∞](1+h)^(1/h)=1

あってますか？

>>126
あってるよ

>>127
どーもです

鮒一発二発一発二発

691

age

6.644e-05　これはいくつ？

0.00006644

俺らの頃は
｢鮒一鉢二鉢〜｣だったが

e=(1+1/n)^nというのが信じられなくて、
プログラムを組んで確かめてみたら、
本当に数値が出てきたので驚いた。
いまだに納得がいかないが。

age

オイラーの式になぞがありそうだよね。勘だが。

>>134 有無｡
鮒一鉢二鉢、一鉢二鉢、…

>>135 木村拓哉曰わくの『閉じた自分もすっげー大事』
閉じた自分による、思考活動｡

>>137 γ

よくあるミス
「一鉢二鉢」を2度繰り返さない
「至極惜しい」の「い」を1と勘違いする(これは五つの「い」)

a

a