★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問

xとyが(x^2+y^2)^2=x^2-y^2を満たすときx^2+(1-y)^2の最大値を求めよ

（３＾（ｚ／２）＋１）（３＾（ｚ／２）−１）＝２＾ｙ。

>>936
文系

>934
微妙なひねり方をｗ
ありがちな問題と思ったらそういうことかｗ
ちなみに某サイトの益田さんですか？

ｅを自然対数、πを円周率として
(1)ｅ^πとπ^ｅとではどちらが大きいか？
(2) (1)で小さい方をＥ、大きい方をΠとするとｅ^Πとπ^Ｅとではどちらが大きいか？

>>934>>948
ほんとだｗ
a＜e＜bになってるｗ

logx

log(logx)

>>948
ええ、その益田ですが。934はちょっと遊びで。予備校で出したら馬鹿の１つ覚えよろしくみんなlogx/xを持ち出したので。パターンはよくないよと。

益田氏って856の人か？

>>953
はい、わたくしですが。

実際に塾で出題されてる方から見たら
このスレの問題の大半はチラ裏程度なのかな

いえいえ、参考になるものもありますよー。私自身はどちらかというと京大系の問題を作ることが多いですけどね

（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…

>934
　a = 2^(4/3),　b = 2^(3/2) より
　log_[2]( a^b ) = b*log_[2]( a ) = (4/3)b = (1/3)2^(7/2) = √(128/9),
　log_[2]( b^a ) = a*log_[2]( b ) = (3/2)a = 3･2^(1/3) = 54^(1/3),
　ここで 3^12 = 531441 > 524288 = 2^19 を使う。
a^b < b^a

>945
　√(x^2 +y^2) = r とおいて、与式をrだけで表わす。
　題意より r^4 =　x^2 -y^2,
　x^2 = (r^2)(1+r^2)/2,　y^2 = (r^2)(1-r^2)/2.
　(与式) = r^2 -2y +1 = r^2 ±2r√{(1-r^2)/2} +1
　= ((1+√3)/2){r ±((√3 -1)/√2)√(1-r^2)}^2 + (3-√3)/2,
複号は +がy<0の枝、-がy>0の枝に対応する。
点(0,1)からの距離の最大値の2乗を求めるから、y<0 の枝(+)をとる。
これは r^2 = (3+√3)/6 で極大値 (3+√3)/2 = 2.3660… をとる。
このとき、x^2 = (5+2√3)/12, y=-1/(2√3).

レムニスケート
高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店 (1961) 第3章 積分法, §40, p.136 [例2]
http://mathworld.wolfram.com/Lemniscate.html

>>959
正答です

>926
　A(1,±1,±√5)
　B(3,干3,干√5)
　C(5,±3,干√5)
　D(7,干1,±√5) 　　　（y座標、z座標それぞれで複号同順)
あるいは、x軸のまわりにGoogle回したもの。
辺の長さは >924

x,y,zを正の整数とする。
x+y+zがx,y,zの公倍数になるとき、x,y,zを求めよ。

>958
ご名答

>924
一般化できますね。原点に重心をもつ正四面体のx座標をa,b,c,dとすれば、正四面体の一辺の長さは
√{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}
である。

>>956
実際のところ、このスレでも京大系の問題が多いですよね。
あなたのに限らず。
東大っぽい問題って作るのムズイんですかね。（というかメンドイ？）

下の問題は僕の自作なんですけど、こういうのが「東大っぽい」と個人的には思うんです。
こういうのあれば、出してくださいな。

座標平面上の3点O(0, 0), A(0, 1), B(√3, 1)を頂点とする三角形OABがある。
この三角形を、Oを固定して原点のまわりに毎秒1ラジアンの角速度で反時計回りに回転させる。
一方、点Pは三角形OABが回転を始めるのと同時に原点を出発し、
時刻θ(秒)におけるy座標がasinθとなるようにy軸上を運動するものとする。
ただし、aは正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)　0≦θ≦π/3において、Pが三角形OABの外部に脱出することがあるようなaの値の範囲を求めよ。
(2)　θが0からπ/3まで変化するとき、Pが三角形OABの外部に脱出して、内部に戻ってこないようなaの値の最小値を求めよ。
(3)　aを(2)で求めた値とする。θが0からπ/3まで変化するとき、
三角形OABの内部でPが通過した軌道がえがく曲線は三角形OABを2つの部分に分ける。
このうち、頂点Aのある側の面積を求めよ。

>>908に誰も反応してない件

>>964
いえ、私の場合は単なる好みです。東大より京大の問題の方が解いてて個人的に面白いので、自然と京大っぽい問題を作りたくなったんですよ。東大の場合は必要以上に「教育的配慮」を考えないといけないので、そういう意味では作問に面白さを見いだせず…

>>956
やっぱ参考になるのは素数様の問題ですよね？

>>966
＞東大の場合は必要以上に「教育的配慮」

ああ、何となく分かります。
京大の問題は数学的に意味のある問題、自然な発想から生まれてくる問題、という感じで、
東大の問題は高校数学の全範囲をちゃんと理解しているかを総合的に試される問題、という感じですかね。
僕はどっちかというと後者の方が好きですね。
うまいこと作為的に仕組まれたパズルみたいな感じが面白い。

∫[0,1](xlogx)^ndx を求めよ。

どうよ？ちょっと考えるでしょ？大学生ならβ,γ関数使うけど高校生なら
ちょっと考えないといけない。

kougisekibun.

広義積分でなくともいけるぜ。一発解いてみてよ？

∫[0,1]x^n*(logx)^k dx = I[k]とおけばいいのかな
と大学生がふと思ってみる

＞広義積分でなくともいける
何をわけのわからない事を。

>>973
馬鹿はレスするな。ちょっとした大学の研究小僧や助手程度では解けない。
解けないから非難するのは明らかに論理破綻しておる。

>>969
nは一応自然数ってことでいいんだよね？

>>975
ごめん。そう。問題に不備があった。nは自然数にしておく。

そろそろ次スレ？

>>980　でいいんじゃないかな。

↓よろ

>>972
とき方は自由だ。しかしその解き方では混乱してしまうかもしれない。
あなたの能力次第だが。自分にはその発想がない。

ヒントは後ほど出す。解はさらに後に出す。

[>>980] がたてないようなのでたててもいいかな？

次スレ。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/

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>983
やはり関東と関西で偏差値基準は違うんだな。関西では
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の順

ume

百八十三日。

百八十四日。

百八十五日十分。

ume

うめるなら、うめきれよ

一般に、現在の第nスレが埋まったときの、第(n+1)スレのレス数をp_nとする。
ここは第8スレであり、1000まで埋まった時の第9スレのレス数をp_9、
及びそれ以前の p_1, p_2, ... p_8 から、lim[n→∞]p_n を考察せよ。

　

ume