★なぜ証明を理解しなくてはいけないのか？★

なぜ数学を学ぶにあたって，定理などの証明を学ばなくてはいけないのだろうか？
先人たちがその定理が正しいと証明してくれているのなら，
わざわざ証明を学ぶ必要な無いのではないだろうか？
ただ研究者等希望者なら話は別だろう…いや，話は別だろうか？
証明を理解しなくてはいけない理由はどこにあるだろう？
証明を理解しなくては論文が書けないなんてことは一概には言えないだろう．

ただ証明を理解しなくてはその定理が自分のものになった気はしないし，
定理だけ知っててもわかった気になれないだろう．
ただ定義，定理だけが羅列された数学書がないのも不思議だ．

どこかに証明を理解しなくてはいけない理由があるはずである．
それはどこにあるだろうか？

↓Let's 討論

│　 ↑
└─┘
おらっしゃあぁぁ！！！
　∩∧ ∧
　ヽ（ ﾟДﾟ）
　　　＼⊂＼
　　　 Ｏ-､　）〜
　　　　　　∪

〜だろうの形が多すぎる。
そんなにいうなら数学やめれば？

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

ほんとだ
「だろう」が多くて気持ち悪いな．

＞そんなにいうなら数学やめれば？
まったく予想通りのレスだ．
そういうのをおいといて，まず疑問に答えてってのが意図したことなんだけどいちいち書かないとわからないかなぁ．
別に証明をするのがいやなんて一言も言ってないし，
もしそうだとしても非常に個人的なことだ．
ただ小平の伝記に書いてあることに共感したのでスレを立ててみた．

＞ただ定義，定理だけが羅列された数学書

ブル○キ「多様体要約」がそれに極めて近いです。

>>6
ありがとう．
ブルバキは読んだことないんだけど，実際にあったのか．

数学の論文書くときは、自分の発見した定理は、
その証明を理解していないといけないと思う。（←当たり前だ）

最近では自分の書いた論文を理解していなくても
修士号もらっちゃう人います。

学位の価値が下がっていますね。

証明せずに理解できるなら、それがベスト

証明を理解してないと循環論法の危険がある。

他の理系学科にとって実験が、数学科では証明になるんじゃないか？
証明のパターンを真似て、他の問題の証明をするのは良くある事だ。

他人の主張など信用出来ないから、たとえ天才と言われる人でも。
どうしても真偽を自分の目で確かめたいから。
数学が分かっていると主張するだけならば誰でも出来るから。

証明を読むと、その議論をほかに応用できるから
難しい問題があるとき、簡単な場合の証明をキチンと書き下してみると
一般化の方針が立つ場合も多い
単に定理のステートメントを何かに使いたいだけなら、証明を読む必要はない

>>13
素晴らしい。その通りだと思う。

証明はそれが正しいことを人に伝える手段だから
それを読むことで自分の理解を他人に伝えるためのお作法を覚えるというのは必要じゃない？
数学が出来ても数学を書けなければニートとかわらんよ

>>15を達成できさえすればいいのなら、大して多くの定理を理解する必要は無い
少数の定理の証明の文さえ見れば作法は覚えられるから

問題は数学者の最低限の義務に>>15以上の物があるかどうかとなる

他人が知らない事発見出来るだけじゃ気が済まない！って人多いでしょ
証明の過程で分かる色んな事にも価値があると思う奴がいるから証明をさせる・理解させる

話が混乱してますね。
証明を付けるなんて奴隷の仕事
問題を見つけるのは貴族の仕事
佐藤幹夫の極端な論文の少なさを見て下さい。
「わかって」ないと前に進めない人は小さな仕事しか出来ません。

>>15
単に定理のステートメントを使う時だけと言っても、普通凡人は教科書読み進む時、
使うだけ→使うだけ→使うだけ→・・で認めまくって先進んでも
結局なんの事かわからんくなる
ホモロジー代数のつまらん可換性すら一度はチェックしないと、わけわからんくなってくる。
頭の使い方が悪いんかな(゜∀。)

↑安価ミス
>>13

>>19
そこに情緒の問題が絡んでこないか？

まあめんどくさいか頭悪いのかどっちか知らないけど
逃げてるだけのような気がする。

lim[x→0] ( sinx / x ) = 1

951

数学が出来ない馬鹿は
なぜ〜しないといけないの？
こんなのやって何の役に立つの？
とか、いちいち、うぜーんだよ！！
何もお前のために学問があるわけではない．．。

証明なしに理解できる人であれば、証明しなくてもよい

あたしにゃ、証明なしに理解するのはむずかしい

証明を理解していかなければ、
一見正しいように見えて間違っているものを見抜けない。
証明を理解するように指導していかなければ
一見正しいように見えて間違っているものを見抜く人が育たない。

証明を追うことなく数学をしたければすればいい。
そういう人が新しい分野や方法を提示できるかもしれない。

ただ、数学の正当化は証明によるもの。
現実に即す、あるいは数字を見せて「それらしい」と人を説得するものを追及するなら、
それは数学というより工学・経済学など、その他の分野のやり方だ。

暇つぶしにドゾ〜

ネットウォッチ＠ネカマ作戦記

　http://www.sakusenki.com/

j3・・・知ってるヤツはスルーしてくれ・・・る

http://cgi.2chan.net/g/src/1181648232099.jpg

＞なぜ証明を理解しなくてはいけないのか？

数学者になるのでなければ、証明を理解する必要はない。

数学者は、新しい定理を見つけるのが仕事であり、
定理だというためには証明する必要があるから、
先人の定理の証明を知る必要がある。

>>18
＞佐藤幹夫の極端な論文の少なさを見て下さい。

俗人が同じことやったら確実に失業する（ｗ

世の中の９９．９９９９％は小さい奴。
さて、小さくない奴な何人に一人？

515

test

証明を理解しよう。義母を犯している場合じゃない。

要するに小平先生は証明なんて理解しなくても
定理の主張だけ暗記していれば、数学研究はできる
とおっしゃりたいわけですね。

＞「なぜ証明を理解しなくてはいけないのか？」

別にしなくてもいいよ。
ただ、何事においても本質を見極めない人間が、
間抜けな騒ぎ方するんだけどね。
「食への不信」とか言って。

ていうかなんで成り立つのか気にならないの？疑問に思ったら解決しないと気持ち悪いじゃん。

229

796

私には必須だった、毎テスト１つ以上のペースで
公式とその証明を作り続けなければならなかった。
かなり特殊な種類の脳の障害だったから。
高校程度の全国模試や（一応は進）学校のテストは
満点だったが、凶悪な読みにくさも保証付きだった。

ほぼ公式を覚えられない（二次関数の解の公式に
半年かかった）私には理解がもたらす「自由」だけが
問題を解く過程で先に進める可能性の全てだった。

理解が可能にする知識…知の組織化＝視野がなければ、
数分も保てない「今何をどうしようとしていたか」記憶で
理科大の数学についていくのはおそらく無理だったろう。
卒研をギリギリ通ったところで倒れた。　無理すぎた。

公式を覚えると楽が出来る。　倒れなくて済む…。

age

>>41
そんなに公式を覚える力がなければ問題解けないかと。

>>1
ちょうど俺も同様の質問しようかと思ってたんだ。
てか、自分の中で答え出しちゃってたけど。
>>30さんに近い答え。

車を運転するだけならエンジンの仕組みなんて詳しく知らなくてもいい、
でも、自動車の整備士になるなら知る必要がある、
そんな感じだと思ってるよ。

俺、最近になってやっと数学が好きになったんだけど
証明は半分くらいしか理解できない、ってか理解しようともしてない。
俺が好きなのは単に応用数学なんだろうな、きっと。

無矛盾でもないのに証明ごっこ・・・・

他人に何でですかと質問されて自分なりに証明出来れば良いと思う。
他人の証明を理解する必要は無いけど、自分で出来ないのは困る。
でも、いちいち自分で証明していたら研究する前に人生が終ちゃうよね。
で、仕方ないから学部程度は理解することになる。

数学は好きでも楽しくも無いけど、重要なんだと感じられてくるから悪いことばかりでは無いし。

それを別の数学対象に適用してあたらしい数学をつくるためだよ。

「Q.E.D.」
http://ja.wikipedia.org/wiki/Q.E.D._証明終了
http://blog.goo.ne.jp/take_14/e/d07201b7488bb8ca711a15a0da7f1707
http://readreview.blog.ocn.ne.jp/book1/2008/06/qed30_df35.html

定理とはできあがった機械のようなもの。
その機械が使えない対象に対しては、機械を作り直さなくてはならない。
そのためには機械の中身を知っていなくてはならない。
万能な機械は存在しないから。
機械を定理におきかえても同じこと。

age

882

自分の体験から語らせてもらうと

教科書などで
定理：○○である
みたいな記述をいきなりぽんと出されると
初め何が言いたいのかうまく呑み込めなくて「？」となる事がある。
論理的に意味するところを字義通りに理解する事はできてもそれ以上は難しい。

証明を読んで、理解して、自分で同じ証明をそらで書けて、
さらに別証明を思いつく段になってようやくその定理の意味が見えてくる。
「ああ、この定理は重要だなあ」なんて事が分かるのもこの頃。

ごちゃごちゃ言わずに実際に体験してみなさい。
まずは素数の無限性の証明を１０通り以上考える事。
話はそれからだ。

age

なぜ証明を理解してはいけないのか

age

テストで定理をうる覚えだった時に、
その定理が正しいかどうか確かめる為だろ。

うる覚え

うる覚え

うろ覚えの間違いだな。
そうだとしても>>56は意味がわからん。こういうときには「日本語でおｋ」とレスすべきなのか？

うるさい。

二年三時間。

145

age

証明は一つでもわかると面白くなる。
その一つ、平均値の定理を理解するのに数ヶ月かかったな。。。

数学は理解だ。暗記だけではうまくいけないと思います。

俺は、群論の準同型定理を理解するのに、1年かかった・・・
数学の才能ないな、俺。。

定理を直観的に自明と思えるような神憑りの閃きがなければ数学はつまらないものだと思う
ラマヌジャンの様に

本に書いてあるから覚える必要はない。テストにデルから覚えるだけ。

覚えるのと理解するのは別の構造

字が読めれば理解できるよ。

その原理（＝証明）を理解する事で類似現象に応用できるからね。
これはデカイ。

単に公式だけだと応用する立場からすると弱いね。
ちょっと条件が違い場合なんかに、
証明を理解していれば修正した形でその公式が適用できる事もあるし。

理解する時間がもったいない
研究者じゃなければ公式だけ覚えればいい

>>72
数学が好きじゃない人の典型的なパターンだな。

本があるんだから覚える必要はないだろ
いつまでお受験脳なんだ

証明を理解した方がよい公式と、ブラックボックスのままでも
いい公式があると思う。

何でもかんでも「覚えるだけでいい」
何でもかんでも「理解しなくちゃいけない」

そんな両極端ではイカン。

これ数学者を目指す人にとっても一概に>>1の言うことを否定できないよ。
特に学生時代は時間がそんなに無いのにかなりの分野の知識を蓄えておかないと研究の際に差し支えるから。
広く浅く知識を蓄えるなら定理や証明の内容にもよるが証明を読みとばす方が有効な場合もある。
どちらかというと定理の意味を理解してそれを使いこなせることの方が研究には重要かもしれない。
ただし、証明から定石を学べるということもあるのであまりとばしすぎるのもよくない。
そこは問題演習で補うという手もあるが。

定理の意味はその証明に含まれますが

場合によるだろ

>>77
俺は微分可能多様体の三角形分割可能定理の意味は理解できてるが証明はできん。
Sardの定理もそうだ。
Jordanの曲線定理もそうだ。
>>77の主張はどういう定理の場合に当てはまるのか。

べつに自力で証明する必要はないが
二三回は証明を自分で読んで理解しておくべき。
証明の技術は演習でなく定理の証明の中に秘められているよ。

そうでもないよ

ステイトメントに「間違いがない」ことを保証するだけの証明もあれば
アイディアそのものがそのまま書いてある証明もある。
読み飛ばしたりじっくり取り組んだりすりゃいいじゃない。

>>79
例えばCauchyの積分定理

Reply:>>74 しかし覚えないと遅い。

>>74
日本語の文章を読むときに、全ての言葉を辞書で調べてれば
絶対的な理解速度遅いよね。

本があるから覚えなくていいは違いますね。
一部の定理は確かにそうですが。

逐一証明されないと気になるというか気持ち悪いというか引っかかるんだよね。応用系だから純粋系ほど厳密に突き詰めてるわけじゃないんだけど、それでも直観だけで片付けたら数学じゃないような気がする。
直観は大事だけど証明されないとただのｶﾝで終わっちゃう。それは答えが出ればそれで終わりのﾊﾟｽﾞﾙと同じ。単位取るだけとか受験云々で言うならむしろ逆で、とりあえず公式丸暗記みたいな手段も有り得るんだろうけど俺には無理だなあ。
ところが数学に全く興味のない人に、なんでその公式なり定理なりが成り立つのか気にならないかと聞いても全く気にならないと言う。興味の落差なんだろうね。

数学の証明って関係なさそうな補題を大量に使うじゃん。
そして数学的にはその補題の部分に新規性があったりするわけだけど
応用で使いたいだけならあまり本筋じゃないというか、
話の流れが直接結論とは結びつかないんでいまいちピンとこない場合が多い

新しいことを始めるとき、
まず過去に学ぶのは当り前じゃないの。
これは数学に限らず、すべての学問に共通だと思うよ。

数学の定理は、証明を完成させてできるんだから、
新しい定理を証明したければ、
過去の定理の証明を学ぶのは当然でしょ。

使えるノウハウもあるだろうし、
手法の限界もあるだろう。
それら全部を含めて、まず過去に学ぶのが常道だ。
ただしとらわれ過ぎて、前進できなくなるなら問題だけどね。

新しいことが、それまでの歴史を踏まえずにポッと現れたことは、
歴史上ただの一度もなかったというのはよく言われるけど、
これは本当だと思うよ。

しかし、そもそも証明を理解せずに数学を理解することは、
原理的に可能なのかなぁ？
できるのもあるだろうけど、かなり限定されると思うなぁ？

計算できるようになる　定理の使い方を覚える
ってのとその定理が持つ意味を理解するってことは
別次元だからなあ。
まともに数学書読んだことない人には分からないと思うけど。

>>89
結局は厳密性の程度問題だとは思うけど、例えば全く定理の意味や証明を考えず、定理を使って計算技法だけ修得しようとしてもうまくいかないんじゃないかな。
ﾚﾍﾞﾙの低い話と思われるかもしれないが、大学受験でもｾﾝﾀｰはそれなりだが難関大2次はからきしとか、経済系学生とかで体系性がぐちゃぐちゃになってる人とか腐るほど見てきた感想としては、何よりまず定理の証明等を考えてみようという姿勢が大事だと思った。
数学上の計算は式変形が基本なので何も考えず機械的にやれるもんじゃないから、証明過程で使われる式変形に習熟することが計算ﾃｸﾆｯｸに繋がることもあると思う。

＞新しいことが、それまでの歴史を踏まえずにポッと現れたことは、
＞歴史上ただの一度もなかったというのはよく言われるけど、
＞これは本当だと思うよ。
ラマヌジャンは微妙ではないか？

実際演習量より数学書読みこなした数の方が
実力やセンスに大きく影響する。
教授陣は学部のころから数学の本読みまくってた人ばっか。

√9=3

602

しつもーん
以前は証明大嫌いだったのに
仕方なくやってるうちに証明好きになってしまった人っています？
というか、わざわざ証明嫌いを克服するために一時期証明だけやってた人とか？

もうひとつ、しつもーん
応用数学に逝くならそんなに証明にこだわらなくてもいいですよね？
応用数学に限れば数学の公式や定理なんて所詮単なる道具でしょ？

応用数学なんて数学じゃあねえよｗ
プゲラ

応用数学と純粋数学の違いではなく、
数学を作る人と数学のユーザーの違いだな。
応用数学を作る人を目指すなら証明は必須だ。
ユーザーに徹するなら証明は不要かもしれん、よう知らんけど。

応用でも証明は大事だ。ただ使うだけならコンピュータに任せりゃいいわけだし、使う側が正しく理解していないと、間違った使い方をして誤った結論を導く可能性すらある。
誰かが証明してどうせ正しいんだから理解なんてしなくていいじゃん、というのはもはや学問でも何でもない。
ただ応用なら純粋数学ほど厳密に突き詰めて掘り下げていく必要はないと思うがね。違う領域に立ち入りすぎることになるから。

ありがとうございます

>>96
そう言っていただけると光栄ですｗ
プゲラ

>>97
数学のユーザーに徹することをここに誓います(^o^)／

>>98
応用なら人の証明見て「ああ、なるほど」と理解できるくらいでいいですよね？
公式や定理だけあるところにもってきて「自分で証明しろ」なんて言わないですよね？


あのー、みなさん、最初っから証明が得意／好きだった派ですか？

好きとか嫌いの意味がわからん

おれはすきだったよ。

>>99
応用はそれでいいと思う。だけどなぜ成り立つのか？他に証明方法はないのか？本当に例外はありえないか？などと考え検証する姿勢を持つことは大事。
自力でできる(つまり誰かの証明を覚えておくという意味)必要性は低いと思うけど、理解は大事。
ちなみに自分も応用系だが、証明は好きな方だけど、より正確に言えばただ定理や公式をポンと挙げられても納得できないし気持ち悪くて気になるんだよね。
応用系の本だと、意外に証明なしにポンといきなり公式や定理が載ってる本が結構あるからね。

>>100-101
うーん、じゃ参考になりません。

>>102
>自力でできる(つまり誰かの証明を覚えておくという意味)必要性は低いと思うけど、理解は大事。

ありがとうございます。
そのくらいでいいのであれば、なんとかできそうです。
では、証明は好きというかやらないと気持ち悪いからやっちゃうタチなんですね。
自分でも納得ができない場合に限って証明することにします。
納得ができない場合って極めて少ないですけどね。(^^ゞ

しなくてはいけない事なんて、この世の中に何一つとしてない。

やりたくないのなら、なるべくしないで済む方向に進めばいいだけだ。
おまえは、自分にとって「不都合」だから、しているだけなんだよ。
よく自覚しろ。何事もよく自覚して「自分」で選択していく事だ。

証明なんか一切理解していないが、
「数学はよく理解していると言う顔だけはしていたい。」なら
はじめから

数学なんかやる必要は全くない。

どうやら「数学を良く理解しているフリをしたい人が沢山居る」みたいなので、
それこそワッペンでも作って有料で販売して、そんで欲しい人はそれを買って
顔にでも貼ったらエエじゃないですかｗ

天才「定理『日本人はゴミ以下』」
とか言い出したら困るじゃん
証明しなくて良い数学は絶対君主制みたいなもの
学問としての価値がない
根拠と仮定を明確で確実に示して初めて皆に受け入れられる説となる

教育的に価値があるかはまた別の話しかもしれんが
子供に「偉い人が正しいって言ってるから正しいんだよ」
って言うのは社会教育的にまずいと思う

理解って何？

日本の行政のえらいひとのいうことは
うそばっかりだしな。

証明って一口に言ってもいろいろあるよね
自分で面白いと思う証明を見つけてこなしていけば
そのうち他の証明も面白いと感じるようになる

と証明してみせる
いつか

理解って何？

316

342

812

三年三十日二十三時間。

証明なんかやっても意味ねぇよ
応用ができない数学者のオナニーだろ

>>116
極めて恐ろしい話ですね。この国はもう終わりですか？

猫

>>116
証明が出来なかったら応用もままならないのでは？

理解しなくてもいいよ。証明されてるのだけしっていれば。

数学の定理ってあれだけあっても覚えられません
簡単なのならまだしも

が本音だと思う

証明を理解するのが面白いんじゃねえか。

「い形容詞」と「な形容詞」の違いなんて知らなくても日本語は喋れるんだよ
「い形容詞」と「な形容詞」の違いを知ってても日本語を正しく喋れなきゃ意味ないだろ？

それと同様に、数学で証明できたって意味ねぇ
公式が正しく使えれば無問題（メィファンティー）

俺が思うに、証明を理解しなければならない理由は五つある。

�@主に存在定理において、その証明が構成的なものであった場合、証明を理解した人は具体的な構成ができるけど、読んでない人はできない。
�A証明を読んでいると、定理の仮定をどこまで緩められるかが分かるけど、読んでないとそれが分からないから、紋切り型にしか定理を応用できない。
�B定理の主張だけでなく、証明の過程で得られる結論が使えるものであることがよくある。
�C証明で使われている論法を知ることで、別の問題を解決する時に役立つ。
�D証明を読むと、その美しさに感動できる。生きてて良かったと思える。

>>123
�@〜�Cは分かるが
�Dは(ﾟ�听)ｲﾗﾈ

証明しなくてもゴリゴリ計算してたらオーケーの数学の分野ってありますか？

ありません

国の崩壊を担う連中が沢山観察されるのでageときますワ。

猫

ageます。

猫

証明なんて車輪の再発明だろ
すでになんの問題も使われてる物をこねくりまわすくらいなら
車輪を有効に使う努力をしろよ

まぁ、どうせ自称数学者の多くは
過去の偉人の定理の証明するだけで人生終わるからなｗｗｗｗ
テラ無駄な人生ｗｗｗｗｗ

工学と数学を一緒にしては困る

ageます。

猫

ageます。

猫

>>123

俺は１２４と正反対やな。数学の証明は�Dの目的だけでいい。

>>133
それが自分で(・∀・)ｶｺｲｲ!!とか思ってやがるんだろ
自分の姿を見てマス（Ｍａｔｈ）をかく・・・
数学オナニストはこれだからな　┐('〜`；)┌　ﾔﾚﾔﾚ

ageます。

猫

　　　柳下浩紀

さんのことなの？非線形拡散方程式って
専門は解析だね。つか、偏微分方程式？

738

613