分からない問題はここに書いてね２６６

質問です。テストがあるのですがさっぱりです。
dy/dx=(x+2y+6)/(2x+y+6)

っていう常微分方程式の問題が解けません。
特性方程式を置いて解いていくと
分母を分離する所でつまってしまいます。

どなたか模範解答を教えてください。

>>903
X=x+3 , Y=y+3 とおけば
dY/dX=(X+2Y)/(2X+Y)
同次形。

結論を言えば(2)は(r<-3or3<r)と(-3<r<3)と(r=3)の最小3パターンでよい
でも問題を見た瞬間にこれ！と見分ける方法もないので
そのつど上に書いたような考察をする必要がある

どなたか>>773をお願い致します・・・。

>>855
どなたかお願いします

>>902
なるほど！
(3/4)^nがきれいに収束するからですね。

つまり(2)なら、rの範囲が|r|＞3の時と|r|＜3の時とではどちらで割るべきかが変わるから場合分けをすればいいのですね！

>>906
A(n)=e^{n/4}*n^{-(n+1)/2}*(1^1*2^2*3^3*・・・*n^n)^{1/n}に対して
logA(n)=n/4 - {(n+1)/2}logn + (1/n)(log1+2log2+…+nlogn)
ここで{(n+1)/2}logn=(1/n)(1+2+3+…+n)lognより、頑張って計算して
logA(n)
=n/4 +(1/n)log(1/n) + (2/n)log(2/n) +…+ (k/n)log(k/n) +…+ (n/n)log(n/n))
=n/4 + n*{(1/n)Σ[k=1,n](k/n)log(k/n)}
ここでlim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n](k/n)log(k/n)=∫[0,1]xlogxdx=-1/4なので
lim[n→∞]logA(n)=n/4+n(-1/4)=0
したがってlim[n→∞]A(n)=1

ごめん、よく考えるとあんまり正しくないかも。

>>773,818,906
　積分で評価して挟み撃ちを使ったら うまくいきますた！！
　
log(与式) = a_n とおくと
　a_n = n/4 + �納k=1,n-1] (k/n)log(k/n) = n/4 + �納k=1,n-1] f(k/n)
　ここに f(x)=x･log(x) とおいた。このとき
　0 < a_n < (1/8n){(3/2)+log(2n)}　　　…… (*)
　よって lim[n→+∞) a_n =0,
　lim[n→+∞) 与式 =1.

(*) の左側:
　�杷(k/n) を台形公式（積分近似式の一つ）と見れば
　f(1)=0, lim[x→+0] f(x) =0.
　∫(0,1] f(x) dx = ∫(0,1] x･log(x) dx = [ (1/2)(x^2){log(x)-1/2} ]x=(0,1] = -1/4.
　f "(x) = 1/x >0 (下に凸) より 台形公式の誤差 >0 だから,
　a_n > n/4 + n∫(0,1] f(x) dx = n/4 + n(-1/4) = 0.

＞(下に凸) より 台形公式の誤差 >0
どうして？

>>773,818,906
　>>911 の続き

(*) の右側：
　下に凸な曲線は接線より上方にあるから、
　f(a) = n∫[a-1/2n, a+1/2n] {f(a) +f'(a)(x-a)} dx > n∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x)dx.
　a_n < n/4 +n∫[1/2n, 1 -1/2n] f(x)dx
　　= n/4 + n∫[1/2n, 1 -1/2n] x･log(x)dx
　　= n/4 + n[ (1/2)(x^2){log(x)-1/2} ](x=1/2n,1-1/2n)
　　= n/4 + (n/2)(1 -1/2n)^2{log(1 -1/2n) -1/2} -(1/8n){log(1/2n) -1/2}
　　< n/4 + (n/2)(1 -1/2n)^2{-1/2 -1/2n -1/8n^2} + (1/16n) + (1/8n)log(2n)
　　= n/4 - (n/4)(1 -1/2n)^2(1 +1/2n)^2 + (1/16n) + (1/8n)log(2n)
　　= n/4 - (n/4){1 -1/(4n^2)}^2 + (1/16n) + (1/8n)log(2n)
　　< n/4 - (n/4){1 -1/(2n^2)} + (1/16n) + (1/8n)log(2n)
　　= (1/8n){(3/2)+log(2n)}.

>>912
　下に凸な曲線は弦より下方にあるから。

>>773,818,906
　a_n 〜 1.0/n　だな。

なるほど、台形公式ってこれ↓か
(1/n)(f(0)+f(1)+Σf(k/n))

>913 の訂正、ｽﾏｿ.
　f(a) = n∫(接線)dx ＜ n∫f(x)dx.
　a は a_n とは関係ない。 k/n を代入する。
　0<d<1 のとき log(1-d) < -d -(d^2)/2 -(d^3)/3 -… -(d^m)/m を使った。

>>915
　そうだお。

どなたか>>832がわかる方はいらっしゃいませんか??

>>917
lim[h→0]{f(h)-f(0)}/h = 0 となることをεδ論法で書いて、
それを証明すればいい。

>>778
ありがとうございます。

カタラン定数らへんの問題らしいのですが
1/2∫[0→π/2]x/sinxが
∫[0→1]arctanx/x
が同じ値になることを証明せよ
という問題がとけません。変数変換、広義積分、たぶん部分積分つかいます。どなたか教えてください。。片方変形してもう片方の式と極限とったら一緒ってすればいいと思うのですが‥

Eを可測集合とする。ほとんどすべてのx∈Eにおいて
lim[ε→0]m(E∩(x-ε,ｘ+ε))/(2ε)=1
が成立することを示せ。

>920
　上式で x = 2arctan(t) とおく。または
　下式で x = tan(θ/2) とおく。

　値は �納k=0,∞) (-1)^k /(2k+1)^2 = 0.9159655941772…

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

ありがとうございます！さらに悪いんですが
∫[1→∞]logx/1+X^2
を>>920のどっちかと等しくするにはどうすればいいでしょうか。部分積分やったらごちゃごちゃになってしまいまして。。

>>923
x = 1/t と置換してから、部分積分

∫[1,∞] log(x)/(1+x^2) dx
= -∫[0,1] log(t)/(1+t^2) dt
= -[log(t)arctan(t)]_[0,1] + ∫[0,1] arctan(t)/t dt
= ∫[0,1] arctan(t)/t dt

talk:>>782 私を呼んだだろう？

おはようking

上底＝３０ｍ　下底＝６０ｍ　高さ＝４０ｍ　斜辺＝５０ｍの台形の土地があります。
ここからちょうど２ｍ離れたところにラインを引き、そこまで土地を広げました。広がった部分の面積を求めなさい。
ただし円周率は３．１４とします。


この問題だれかお願いします。

>>927
台形の周囲が 200m
それぞれの辺に幅 2mの長方形を付けると 400m^2 広がる
長方形をつなぐように扇形をつけると、全部で4*3.14 = 12.56 m^2 だから
412.56 m^2

190mだろ。

>>928
どうもありがとう。
ちなみに周囲は１８０ｍですよね。
でも考え方はよくわかりました。

質問させてください

∫[0→π]sin^5(x)dx

の答えが求まりません

よろしくお願いします。

０

>>931
sin^5(x)=(sin^2(x))^2*sin(x)==(1-cos^2(x))^2*sin(x)
t=cos(x)と置換積分

>>855
どなたかお願いします

書き忘れました
cosz={e^(z*i)+e^(-z*i)}/2
を用い、zを代入してみたのですが…やはりxを求められません

∫[0→a](x^2/(1+x^2)^2)dx
だれかお願いします

>>936
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

∫[0→a](x^2/(1+x^2)^2)dx 、x=tan(θ) でえ、dx=dθ/cos^2(θ) より、
∫[0→a](x^2/(1+x^2)^2)dx=∫[0→arctan(a)] sin^2(θ) dθ=(1/2)∫[0→arctan(a)] 1-cos(2θ) dθ
=(1/2)*{θ-sin(2θ)/2}_[0→arctan(a)] =(1/2)*arctan(a)-{a/(1+a^2)}+C

訂正；(1/2)*{arctan(a) - a/(1+a^2)}+C

∫sin^n(x)cos^n(x)dxと∫tan^n(x)dxをどなたか解いてくださいますか？？
　　お願いします。

２秒間に３段の割合で出てくるエスカレーターを
１秒間に２段ずつかけあがると
上がりきるまでに１４秒かかりました
このエスカレーターが停止していたとすると
何段ありますか

どなたか教えてください

>>941
49と違うん？

talk:>>926 私を呼んだだろう？

y＝√xを微分の定義によって微分せよ！
これをお願いします。

まず微分の定義を書きなさい。話はそれからです。

lim（x＋h）‐（x）／hのやつです。

あ？

微分の定義：f'(x)=lim[x→0] {f(x+h)-f(x)}/h より、(√x)'=lim[x→0] {√(x+h)-√x}/h = (分子の有理化)
= lim[x→0] h/{h*(√(x+h)-√x)} = lim[x→0] 1/(√(x+h)+√x) = 1/(2√x)

ありがとうございましたm(__)m

訂正w；
微分の定義：f'(x)=lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h より、(√x)'=lim[h→0] {√(x+h)-√x}/h = (分子の有理化)
= lim[h→0] h/{h*(√(x+h)+√x)} = lim[h→0] 1/(√(x+h)+√x) = 1/(2√x)

》950
ありがとうございます！

「》」このアンカーやめれ。