【みなさまの】数学セミナー vol.6【ごひいきに】
〔問題〕
一辺が１の正四面体Ｔが、壁に開いた半径ｒの円形の穴を通過する。
半径ｒの最小値をもとむ。
よろしくおながいします。
一辺が１の正四面体Ｔが、壁に開いた半径ｒの円形の穴を通過する。
半径ｒの最小値をもとむ。
よろしくおながいします。
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285 ：１３２人目の素数さん：2009/02/14(土) 22:57:24
>>284
1つの頂点をとおる切り口の外接円の半径が最小となるのは、二等辺三角形の場合だから
216x^6 -9x^4 +38x^2 -9 = 0,
いま
y = 6x^2 - (1/12),
とおくと
216x^6 -9x^4 +38x^2 -9 = y^3 + (101/16)y -2{7321/(12^3)},
これを解いて
y = {(7321+32√79507)^(1/3) - (-7321+32√79507)^(1/3)}/12,
r^2 = {1 + (7321+32√79507)^(1/3) - (-7321+32√79507)^(1/3)}/72
= 0.20052994195512186790132061091501
よって
r = 0.44780569665327156030029247262839
1つの頂点をとおる切り口の外接円の半径が最小となるのは、二等辺三角形の場合だから
216x^6 -9x^4 +38x^2 -9 = 0,
いま
y = 6x^2 - (1/12),
とおくと
216x^6 -9x^4 +38x^2 -9 = y^3 + (101/16)y -2{7321/(12^3)},
これを解いて
y = {(7321+32√79507)^(1/3) - (-7321+32√79507)^(1/3)}/12,
r^2 = {1 + (7321+32√79507)^(1/3) - (-7321+32√79507)^(1/3)}/72
= 0.20052994195512186790132061091501
よって
r = 0.44780569665327156030029247262839
286 ：１３２人目の素数さん：2009/02/15(日) 21:08:23