面白い問題おしえて〜な 十二問目

>>927
良問。
オリジナル？

>>931
Digit Sum -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/DigitSum.html

2進法展開の場合を計算したらlog4になった。計算の方針は、
f(x)＝Σ[k＝1〜∞]t(k)x^(k−1) (0≦x＜1)
とおき、これを別の計算によって簡単な形にする。その結果は
f(x)＝1/(1−x^2)＋{1/(1−x)}Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}
となる(計算は略)。この式から、
Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝∫[0,1](1−x)f(x)dx
＝∫[0,1]1/(1＋x)＋Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}dx
＝log2＋Σ[k＝1〜∞](log2)/2^k
＝log4
になる。積分とΣの順序交換についても確認が必要だが、面倒くさいのでここでは書かない。
10進法の場合も似たような計算かな？

マテよ、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝… という形で
計算するより、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝lim[y↑1]∫[0,y](1−x)f(x)dx＝…
の形で計算した方が安全だな。

自然数l,m,nに対し、m*m行列Aをa_ij=C[l+n,n+i-j]、n*n行列Bをb_ij=C[l+m,m+i-j]で定めるとき、detA=detBを示せ。

>>935
p<qに対してC[p,q]はどう定義して？

0だろ

>>936
ごめん書いてなかった
937の言うとおりでok

自作問題。

f,g：[0,＋∞) → [0,＋∞)は単調減少関数で、lim[x→＋∞]f(x)＝0,lim[x→＋∞]g(x)＝0
であるとする。このとき、次を示せ。
・任意のε≧0に対して、広義積分∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dxが存在する。
・lim[ε↓0]∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dx＝g(0)∫[0,∞]f(x)e^(ix)dxが成り立つ。

殆ど、初めて勉強した事を得意になって開陳する厨房状態ですが。ナッシュの埋め込み定理の
具体例に関して。
　2次元球面は十分に大きな空間においては好きなだけ小さな領域に等長に埋め込める。私は
めちゃくちゃおおざっぱな評価をしたのですが、このようにできる最小次元は何次元なんで
しょう？これじゃ問題と言うより質問になっちゃうが。4次元でできるかな？以上shape operator
なるものは超曲面の場合しか具体計算したことの無い人間の戯言でした。

>>940
うせろ！

1,2,3, ...n から二数　ｘ、ｙを適当に選んで消してｆ（ｘ、ｙ）を付け加える。
この操作を続け最終的に残る数が二数を選ぶ順番によらないようなｆ（ｘ、ｙ）をすべて求めよ。

定数関数

交換法則と結合法則を満たす二項演算全部か？

初等数学で。次の等式を満たす整数x，y，z (x≦y)を全て求めてください。
(1) 2^x+2^y=2^z
(2) 3^x+3^y=3^z
(3) 2^x+2^y=3^z

>>945
つ…いや、何でもない。

>>935
に挑戦してるんだが、だめだなあ。
lで帰納法かなあ。うまくいかん。

>935, >947
det(A) = Π[k=0,m-1] (l+n+k)!k!/[(l+k)!(n+k)!],
　det(B) = Π[k=0,n-1] (l+m+k)!k!/[(l+k)!(m+k)!].

>945
　(1) x=y=z-1
　(2) なし
　(3) (x,y,z)=(-1,-1,0), (0,1,1), (0,3,2)

>935, >947

>948 に
　(l+n+k)!/(n+k)! = Π[p=0,l-1] (p+n+k+1),
　k!/(l+k)! = Π[p=0,l-1] 1/(p+k+1),
　(l+m+k)!/(m+k)! = Π[q=0,l-1] (q+m+k+1),
　k!/(l+k)! = Π[q=0,l-1] 1/(q+k+1),
を代入すると いづれもl項の積の形になり
　det(A) = Π[p=0,l-1] {(p+m+n)!/(p+n)!} * {p!/(p+m)!},
　det(B) = Π[q=0,l-1] {(q+m+n)!/(q+m)!} * {q!/(q+n)!},
だから、
　det(A) = det(B).

>>948>>950
やるぅー。
ところで>>948式は俺の頭ではどうにも導けそうにないんだが 。
教えて下せえ。ところどころ端折ってもいいんで。

今、１億円の財産を持った一人と１０００万円の借金がある１０人が
輪になって座っています。　ここで、借金がある人は両隣の二人から
借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

さて、このときこのお布施を続けていくと全員が平等に無一文になってしまう
ことを証明してください。

>>952
> 両隣の二人から借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

ｎ円の借金がある人は、両隣からそれぞれn円？ それともn/2円ずつ？

借金がある人の隣の人は借金してでも隣にお布施をするの？ それとも借金のない人だけ？

>>953
両隣からそれぞれn円です。

借金がある人はそれが財産に化けるというむちゃくちゃな話ですが、、　

>>954
なるほどわかった。

できればもう一つの質問にも答えていただきたい。

>>955
借金がある人も借金を増やして隣の借金のある人にお布施をします。

ちなみにこの問題を一般的に考えると最先端の数学（表現論）ともつながっているそうです。

ちょっと試してみたが、１億とマイナス一千万が１０人では全員がゼロになるが
合計がゼロならかならず全員がゼロになるというわけではないのだな‥

>>957
すいません、問題に不備がありました。
合計が０という設定はまずかったです。

初期値の合計が０より大きいときいつかは全員の財産が
０以上になるようになるっていうふうに訂正します。

ヒントは不変量　

金のやり取りの操作が線型である以上
収束先が固有値で決まるのは自明だろう

線型かどうかは重要なのかなあ。
問題の中では明言されてないけど、それぞれが財産を出来るだけ増やそうとしていたらどうなんだろ。

これ、IMOの過去問で見た事あるぞ

>>959
必ず収束するのか？

問題。
20桁(20桁に満たない数は先頭ゼロ埋めで20桁にする)の非負整数の中で
以下の条件を満たすものはいくつあるか？
上位10桁と下位10桁をそれぞれ10桁の数とみなして
この二つを足して自乗すると、元の数になる。

>952の問題の意味がよくわからんのだけど
借金がある人はお布施を受けることができるっていうのは
借金がある人全員が一斉に受け取る操作を繰り返すの？
つまり
初期段階：
　一人が100000000　のこり十人が-10000000
時刻１：
　100000000円の人は80000000に
　その両隣の人は0
　残り八人は-10000000
・・・みたいな感じで時刻を十分に進めるとどうなるかを考えるの？

それとも「十一人のうちの誰か一人がお布施を要求する」という現象が
十分多い有限の回数起こると借金持ちが必ず消えるっていうのを示すの？

>>964
初期値の合計は０より大きくしないといけないので借金１０００万円の人数は９人にしてください。

借金持ちを任意に一人選んで、その両隣からお金を奪ってプラスにするってこと

y<0 、（ｘ、ｙ、ｚ）→（ｘ+y、-ｙ、ｚ+y）　なる変換を負の値を適当に選んで
繰り返していくといつか全部０以上になるっていうことです。

上の変換で変化するある量を計算して背理法を使うと簡単に示せます。

ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｘ（ｋ）。

Σ＿｛０≦ｉ＜ｎ，０＜ｋ＜ｎ｝（（Σ＿｛０≦ｊ＜ｎ｝（ｘ（ｉ＋ｊ）））＾２）。

lim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]kx^(k^2)＝1/2を示せ。

>963
今ちょっと考えたけど
0と1、それに99999999980000000001　があてはまるね
これは20桁以外でも常に同様のことが言える

また4桁の場合で同じ問題を考えると
まず上に挙げたように0、1、9801　が条件を満たす
もし他に条件を満たすものがなかったら
「任意の偶数桁でこの三つだけが条件を満たす」とか予想したくなるけど
実際には
2025，3025
がさらに存在していて、どうやら桁数2nのとき、nの値固有の形の解とかが色々出て来そう

10^10以下の平方数が幾つあるか、
またそれらを二数の和にする方法が何通りあるか、
ということだと思うよ。

違うね、しばらくROMるわorz

よし、俺もROMるわ

>967

極大点（鞍点?）のまわりで放物線近似する。つまり正規分布近似だな。
　log{kx^(k^2)} = -|log(x)|(k^2) + log(k) ≒ -(1/2)log(2e|log(x)|) - {k√(2|log(x)|) -1}^2,
-∞<k<∞ で和分する

三百日四時間。

>>972
正規分布近似なんて知らないお(　＾ω＾)

an＝√n (nは平方数), 0 (それ以外)
と定義すると、この数列はチェザロのC-1総和法で1/2に収束する。すなわち、
lim[n→∞](a1＋a2＋…＋an)/n＝1/2 が成り立つ。よって特に、アーベル総和法
でも1/2に収束する。すなわち、lim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]akx^k＝1/2が
成り立つ。この式はlim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]kx^(k^2)＝1/2を意味する。

>>968
(x+y)(x+y-1)=999999999x

>972

σ = μ/√2 = 1/{2√(Log|x|)} とおくと
k･x^(k^2) ≒ {√(2/e)}σ･exp{-[(k-μ)^2/(2σ^2)]}
０<k<∞ で積分して
　Σ[k=1,∞) k･x^(k^2) ≒ (2/√e)σ^2･∫[-1,∞) exp(-t^2)dt
　= (3.2661…/√e)σ^2
　= 1.9810…σ^2
　= 0.49525… / Log|x|,
　Lim[x→1-0] (1-x)Σ k･x^(k^2) → 0.49525…
微妙にズレてまつね…

>>963
なかなか面白い

x=10^10a+b (0≦a,b<10^10)とする
(a+b)^2=10^10a+b<10^20より、0≦a+b<10^10である。
(a+b){10^10-(a+b)}=(10^10-1)b、さらにちょっと変形して
(a+b){(10^10-1)-(a+b-1)}=(10^10-1)b
よって(a+b)(a+b-1)≡0 (mod. 10^10-1)
10^10-1=3^2*11*41*271*9091と素因数分解されるが、
a+b,a+b-1は互いに素なので、9,11,41,271,9091を振り分けることになる
これらを振り分けた積をそれぞれp,qとすれば、
p,q≠1のとき、中国剰余定理より
a+b≡0 (p), a+b≡1 (q) となるa+bがmod. 10^10-1で丁度1つある
このとき、a+b≠0だから、a+bは1つとなる
q=1とすればa+b=0,10^10-1であり、p=1とすればa+b=1となる
a+b≧1のとき、
(a+b){(10^10-1)-(a+b-1)}-(10^10-1)(a+b)=-(a+b)(a+b-1)≦0
であるから、実際に(a,b)をとることが可能である
a+b=0なら、a=b=0でOK
以上から、2^5+1=33(通り)

最後a+b=0分ける必要なかったな、a+b≧0で整数だから)-(a+b)(a+b-1)≦0
で良かった

5a+3b　(a,bは0以上の整数)　で表すことのできない最大の数は
なに？

最大の整数なら７