1+1を計算すると2になる事を証明せよ

>>759
それだと、+1と+2や+3は何ら関連性を持たないのだがそれで良い？

>>762
１＋１が ２となることの証明中で
＋２ や ＋３ が関連性を持つことを説明する必要があるのか？

>>761
自分=756=758だが、「普通は」と書いたのはまずかったね。
「>>751の流儀では」に訂正するよ。
>>751は、
>1を足したら
つまり「+1」と「次の数」を同じ言葉として使っていて、
それによって、「1の次は2、1の次の次は3、、、」という風に
自然数1,2,3,,,を定義してるんだと思う。
そして、加法としての「+」はその後で定義するんだと思うよ。
0が入るか入らないかの違いと言葉の使い方の違いだけで、ペアノの公理と
同じだと思うが、どう？
もちろん0を入れておいた方が何かと便利だとは思うが。

>>764
>つまり「+1」と「次の数」を同じ言葉として使っていて、
>それによって、「1の次は2、1の次の次は3、、、」という風に
>自然数1,2,3,,,を定義してるんだと思う。
>そして、加法としての「+」はその後で定義するんだと思うよ。

「次の数」を表す「＋1」と、加法の「＋」は違うものということだよね？
なぜ違うものに同じ記号を？混乱することが判りきっているのに？

その二つが違うことを認識できていない以外に理由は考えられないよね。

まぁ、数学基礎論を学習したのでなければ、後者写像から再帰的に加法を定義する・・・
なんて知らなくても無理はないけど、自分の無知さ加減を知らずに間違ったことを断言しちゃうのは恥ずかしいよね。

あ、ちなみに(元々の)ペアノの公理では、自然数に0は含まれていないよ。
自分は自然数に0は含める派だから、そこはちょっと不満に感じるかな。

>>764
君の定義がペアノの公理と（おそらく一般的な）加法の定義に基づくことは、
認めるよ。しかし、>>751の話をしているんだと訂正したよね？

>>「次の数」を表す「＋1」と、加法の「＋」は違うものということだよね？
うんそうだよ。
>なぜ違うものに同じ記号を？混乱することが判りきっているのに？
>>751の流儀にしたがっっている。不便な記号であることは認める。

>>その二つが違うことを認識できていない以外に理由は考えられないよね。
認識しているよ。
>加法としての「+」はその後で定義する
って書いたじゃん。

ところで、>>756は0を自然数に含めずに、加法を再帰的に定義するには
どうしたら良いと考える？
通常の（0が含まれる場合の）加法の定義の一部である
「任意の自然数aに対してa+0=a」
に対応するものとして、(0が含まれない場合の)加法「+」の定義の一部は
「任意の自然数aに対してa+1=aの次の数」
とすると良いと私は思うのだが。

>>766
宛先は>>765だと思っていいのかな？

すまん。

>>その二つが違うことを認識できていない以外に理由は考えられないよね。

の主語は>>751だ。>>751の元発言を見る限り、>>751は違いを認識できているとは考えられない。
(認識できていたら、こんな記号の混乱は起こさない)

>ところで、>>756は0を自然数に含めずに、加法を再帰的に定義するには
>どうしたら良いと考える？

>一般に任意の集合M に対して，M の元a と直積集合N ×M からM への写像f: N ×M→Mが与えられているとき，N からM への写像 で，
> i） (1)=a;
>ii） (x')=f(x, (x)) (x∈N)
>となるものがただ1 つ存在する．i），ii）によって を定義することを， の数学的帰納法による定義（definition by
>mathematical induction）という．特に自然数a を与えたとき，
>i） (1)=a'，
>ii） (x')= (x)'
>で定義される写像 : N→N を (b) =a+b と書き，加法という．これから，x'=x+1となる．
(岩波数学辞典 第4版 198 B 自然数)

ということで、「任意の自然数aに対してa+1=aの次の数」はやはり加法の定義から導かれるものであってそれ自身は定義ではないね。

７５１が＋とか＋１とかいう記号をどこかで使ったのか？

>>767
(b)という記号を用いずに書けば、つまり、任意の自然数aに対して写像b\in N \to a+b \in Nを
(i)「a+1=a'」
(ii)は「a+b'=(a+b)'」
によって定義しているんだよね？つまり、「a+1=aの次の数」は導かれるのではなく、定義の(i)そのものだよね？
そして(ii)は不要だよね？
そうであれば、
「+1は(i)の定義より「次の数」のことであり、これまた定義より「1の次の数」を「2」と呼ぶ。だから1+1=2だ。
という説明は(0を自然数に含めない立場をとる場合には)間違いじゃないよね？

>>769
(b)って？
と思ってよく見直したら・・・度々済まない。

>>767はこうだと思ってくれ。

>一般に任意の集合M に対して，M の元a と直積集合N ×M からM への写像f: N ×M→Mが与えられているとき，N からM への写像 φで，
> i） φ(1)=a;
>ii） φ(x')=f(x, φ(x)) (x∈N)
>となるものがただ1 つ存在する．i），ii）によって を定義することを， の数学的帰納法による定義（definition by
>mathematical induction）という．特に自然数a を与えたとき，
>i） φ(1)=a'，
>ii） φ(x')= φ(x)'
>で定義される写像 : N→N を φ(b) =a+b と書き，加法という．これから，x'=x+1となる．
(岩波数学辞典 第4版 198 B 自然数)

定義はあくまで、「 i） φ(1)=a';」であって、それを(自明とは言え、)一段階考察した後に+1と後者写像の同値性が出てくる。

>一段階考察した後に
どんな考察なのか説明して欲しい。

それと、君の意見では、
0を含む自然数の加法において、「a+0=a」は定義であるのか？ないのか？
教えて欲しい。

>>768
＋（足す）、＋１（１を足す）

１を足す以外には足すは使っていないようだが

うん。
「１を足す」という言葉の中で、なぜ、一般的には加法を意味する「足す」という言葉を使っているのだ？
「（加法の意味での）１を足す」と「次」を混同しているのでは？
という突っ込みを>>765から受けているのだと思う。

実際、0を含む自然数の加法の定義に従うならば、定義に基づいて計算した結果として、
「（加法の意味での）１を足す＝次」が得られる。だから、
(*)「1+1とは1の次の数という意味であり、それがなぜ2であるかは、みかんがみかんであると同様に言葉の問題だ」
という説明には問題がある。「1+1＝1の次の数」の証明が必要であり、それは単なる言葉の問題ではないからだ。

一方、0を含まない自然数の加法の定義に従うならば、「（加法の意味での）１を足す＝次」が定義なのだから、
(*)の説明で問題ない。と私は考えている。しかし>>765には受け入れてもらえていないようだ。

1=1 2=2
だから
1-1=0 2-2=0　だよね

1+1=1+1 だから 1=1+1-1になるでしょ
そんで
1-1=2-2だから
代入してみる
1+1-1+1=2-2
なんかみえてきた
1+1=x とする
x-x=2-2
xでまとめる　2でまとめる
ｘ(1-1)=2(1-1)
・・・・ほら　見えてきた
ｘ＝２
１＋１＝２　　

>>771

「x+1」を計算することを考える。
「a+b」の定義は>>770のi)ii)で与えられている。
xに対応する写像「φ」がただ一つ定まり、「φ(1)」となる。
「φ(1)」の値は、i)から、「x'」となる。

>>775 間違ってますよ

>>774
ということは 

本来は異なる「１を足す」 → 次の数 、「足す」 → 一般の加算
のふたつを混同し同一視しているという話ではなく

次の数を表す「１を足す」に、どうして一般の加算の用語である「足す」を使うのか
という用語の問題なのか？

>>776
やはりそう考えてましたか。
>>770は上に書かれている帰納法の定義にあわせるために、
a+bという写像をφ(b)と言い換えているだけでしょ。
この写像を表す記号としてφ(b)を使うことを辞めて、初めからa+bという記号を採用すれば、
定義(i)は「a+1=a'」でしょ。
それと
>>771の後半の質問にも答えて欲しい。

>>778
質問の意味が良く分からない。

>>779
>>>770は上に書かれている帰納法の定義にあわせるために、
>a+bという写像をφ(b)と言い換えているだけでしょ。
>この写像を表す記号としてφ(b)を使うことを辞めて、初めからa+bという記号を採用すれば、
>定義(i)は「a+1=a'」でしょ。

それでは加法が任意の自然数で成立する正当性が担保されない。
加法の正当性は数学的帰納法による。
ならば、「初めからa+bという記号を採用すれば」という選択肢はない。

>>771の後半の質問・・・

φ(1) = a'

が

φ(0) = a

に変わるだけ。

a + 0 = a

など定義としては出てこない。

>>781
あなたがどのような意見なのかはよく分かりました。
（0を含む自然数の加法において）「a+0=a」は加法の定義ではない。
ということですね。そうであれば、
(0をふくまない自然数の加法において)「a+1=a'」は加法の定義ではない。
というあなたの主張にも納得がいきます。

しかし、あなたのような言葉遣いをする人は少数で、多くの人は
（0を含む自然数の加法において）「a+0=a」は加法の定義である。
と言うと思うのですがどうでしょう？

>ならば、「初めからa+bという記号を採用すれば」という選択肢はない。
写像を表す記号としてφ(b)を使うことを辞めて、g(b)という記号を採用することはもちろん可能でしょ？
なぜ、g(b)は可能で、a+bは不可能なの？

>>782
＞ 多くの人は 

何を理由に それが多くだと 判断しているの？

「次の数」が 「＋１」である必要はないんじゃないか？

いちご、にんじん、さんだる、よっと…

xの次の数 を ＋１（ｘ）と書くとすれば

＋１（いちご） ＝ にんじん
＋１（にんじん) ＝ さんだる

＋１（＋１（いちご））＝さんだる
ではあるが
＋２（いちご）＝さんだる
であるかどうかはこの段階ではまだわからない。 
（というか＋２って何よ？って段階）

＞  「＋１」である必要はないんじゃないか

ここわかりにくいな。

「 次の数 」 を 「１足した数」 と定義する必要はないって話。

>>782
>なぜ、g(b)は可能で、a+bは不可能なの？

可能か不可能か？と問い詰めれば、不可能ではない。
が、そのためには数学的帰納法の原理を、a+bという記号が使えるように書き直す必要が有る。

そして、そのように書き直した数学的帰納法の原理の上でa+bを定義すれば、
結局は「a+1=a'」は定義ではないとなる。

単純な、記号や言葉使いの問題ではなく、演算を再帰的に定義する・・・ということの本質的な問題。

>>786
訂正

誤：演算を再帰的に定義する
正：演算を帰納的に定義する

度々申し訳ない。

>>784
統計データはないので、あくまでも
>多くの人は、、、と「思う」
です。もちろんそう思うのには理由がある。しかしその理由を説明するのは面倒なので、
その代わりに以下に例をあげておく。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Addition
によると
>Let n+ be the successor of n, that is the number following n in the natural numbers, so 0+=1, 1+=2.
>Define a + 0 = a. Define the general sum recursively by a + (b+) = (a + b)+. Hence 1+1=1+0+=(1+0)+=1+=2
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/自然数
によると
>自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。
>すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
>すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)
googleで「加法の定義」を調べると色々ヒットするが、プロの書いた文章ではこんなものもある。
ttp://www.math.nagoya-u.ac.jp/~namikawa/download/GE07s-1.pdf

>>788
その話はいちごやさんだるとも関係があるのか？

>>788
それらはすべてそのような定義が可能だという話に見受けられる。
「そのような定義が可能か」と問われれば781も「そう定義することも可能だ」と答えると思う。
「そのような定義にする必然があるか」と問われれば、「そんな必要はない」ということではないだろうか。

上は>>784ではなく>>783でした。

>>786
>が、そのためには数学的帰納法の原理を、a+bという記号が使えるように書き直す必要が有る。
「数学的帰納法の原理」は写像を表す記号とは無関係である。だから書き直す必要ない。
>>770の「数学的帰納法による定義」の説明において「N からM への写像 φで，」とあるが、
この写像を表す記号はφである必要は無い。岩波数学辞典ではたまたまφという記号を使っただけ。写像gとしても良い。
さらに言えば、「数学的帰納法の原理」を記述するために、必ずしも記号を用いて写像を表す必要はない。
（だらだらとした読みにくい文章になってはしまうが。）

「数学的帰納法の原理」を用いて写像を定義する際に、その写像を表す記号は何でも良い。（さらに言えば記号を用いなくても良い。）
>>770の後半部は前半部に合わせるために、φを用いたに過ぎない。
この前半部の説明が無くて、単に加法と呼ばれる写像を数学的帰納法により定義するだけならば、
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．
とすれば良い。

>そして、そのように書き直した数学的帰納法の原理の上でa+bを定義すれば、
>結局は「a+1=a'」は定義ではないとなる。
これは何を言いたいのか分からない。もう少し説明を。

読み飛ばしていたが、>>781の
>それでは加法が任意の自然数で成立する正当性が担保されない。
>加法の正当性は数学的帰納法による。
>ならば、「初めからa+bという記号を採用すれば」という選択肢はない。
これも意味が分からないなぁ。
>>791に書いた加法の定義で何か問題あるの？

>>790
>そのような定義が可能だという話
ではなく、おそらく定義に差異を感じないのだと思う。
「φ(0) = a」を定義といっても良いし「a + 0 = a」を定義といっても良い。どちらも同じことではないか？
もし、どちらか一方の定義が辞書にのっていたとしても、そちらが正当で他方は正当な定義ではないと主張する人はいないと思う。

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内容（「BOOK」データベースより）
自分を見つけるために無人島へて旅立った恋人たちは、奇妙な岩と出会うことになる。どうやら「数がいかにして生まれ、数となるのか」が書かれているらしい…。コンピュータ時代の幕を開けた天才が若き日に書いた「数学小説」。

↑
見つけた。この本だ。数学の一番基礎的なところからの定義づけ。

>>792

＞ >そのような定義が可能だという話 
＞ ではなく、おそらく定義に差異を感じないのだと思う。 

「ではなく」 は 否定 だよね？
つまり、「そのような定義が可能」と「定義に差異を感じない」は異なるという主張なのか？

わたしとしては、その２者は同じ事を言っているように見える。


＞ もし、どちらか一方の定義が辞書にのっていたとしても、
＞ そちらが正当で他方は正当な定義ではないと主張する人はいないと思う。  

つまり、「そのような定義が可能」 なのであって、どちらかではなくてはダメだという
ものではないということでしょう。 

何を公理とし、何をそこから得られる定理とするかは、流儀の問題であって
結果全く差異のないものは用意できるでしょう。
（ 差異のないのは結果であって、何が公理なのかはもちろん異なる）

>>791
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．

これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
写像の帰納的定義として、>>770の前半を使うならば>>776を避けては通れない。

>>776を避けるならば、数学的に妥当な別の表現で写像の帰納的定義を規定しなければならない。
まずそれを見せてくれ。

それを与えてくれてかつ、その上での加法の定義を見せてくれたなら、

>>そして、そのように書き直した数学的帰納法の原理の上でa+bを定義すれば、
>>結局は「a+1=a'」は定義ではないとなる。
>これは何を言いたいのか分からない。もう少し説明を。

こちらを見せてあげよう。

>>770の前半を使いながら、>>776を避けても正しく証明できるというなら、そちらでも良い。

>>795
>これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
この質問は
>これによって定義される写像が帰納的に定義されているという証明はどうする？
という質問と同じと思ってよい？

「これによって定義される写像が帰納的に定義されている」ということに同意したうえで証明を質問しているの？
それとも同意していない？

>>795
それともう一つ。君の考えでは
「「a+0=a」は加法の定義ではない」
だよね。
この考えは今までに何かで読んだり聞いたりしたものなの？それとも自分で考え出したことなの？

>>796
>>これによって定義される加法が帰納的に定義されているという証明はどうする？
>この質問は
>>これによって定義される写像が帰納的に定義されているという証明はどうする？
>という質問と同じと思ってよい？

ある写像に加法という名前をつける・・・ということであれば、同じ質問と言っていいだろう。

>「これによって定義される写像が帰納的に定義されている」ということに同意したうえで証明を質問しているの？
>それとも同意していない？

同意するもしないも、見せてほしいだけなんだが。
私がどう思おうと、今の議論に関係はないと思うけど。

a+1=a'が定義であるような加法の定義ができる・・・と主張しているのは君なのだから、
それを具体的に見せてほしい・・・ってだけなんだけど。

>>797
>この考えは今までに何かで読んだり聞いたりしたものなの？それとも自分で考え出したことなの？

それにどういった意味が？
まぁ、質問返しは反則だから回答すると、
ソースを探すことができないから、読んだり聞いたりしたとしても、メジャーなものじゃないと思う。

独自に考えついたのか？と言われるとそうだと断言できる自信はないな。

>私がどう思おうと、今の議論に関係はないと思うけど。
意見の相違がどこにあるのか分かれば、そこを詳しく説明できるし、説明の省略も出来るから聞いた。
君が私にした質問は以下の質問Ａである。

質問Ａ
>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N
この写像a+bが帰納的に定義されているという証明はどうする？

質問Ｂ
>自然数a を与えたとき，
>i） φ(1)=a'，
>ii） φ(x')= φ(x)'
>で定義される写像 : b\in N→φ(b) \in N
この写像φ(b)が帰納的に定義されているという証明はどうする？

「質問Ａと質問Ｂの違いは写像を表す記号のみであり本質的な違いは無い。」
この意見に同意しますか？そして、あなたなら質問Ｂに対して何と答えますか？

>>798
>それにどういった意味が？

立場Ａ「(0を含む)自然数の加法においてa+0=aは加法の定義（の一部）である。」
立場Ｂ「(0を含む)自然数の加法においてa+0=aは加法の定義（の一部）でない。」

立場Ａを認めれば、
(0を含まない)自然数の加法においa+1=a'は定義である。
よって1+1=1'は定義である。
（つまり「なぜ1+1=1'なの？」という質問は「なぜみかんをみかんと言うの？」と同様言葉の問題。）
また、1'=2は自然数の定義である。（つまりこれも言葉の問題。）
よって、>>751からの流れにおける>>753のレス。
>「次の数」と「＋1」が同一視出きることは証明が必要。
や>>761はおかしい。

立場Ｂを認めれば、
1+1=1'は定義でない。よって説明が必要であり、>>753のレスは正しい。

私が立場Ａで君が立場Ｂであることが、われわれの意見の相違の原因である。
同意する？
もしこれが正しければ、実は、私はこれ以上議論することに価値を感じていない。
なぜなら「a+0=aが定義であるか否か？」という議論に興味が無いから。

もし私が君の立場なら、
「なぜ、>>788にあげられているリンク先やその他多くの文章で、
「a+0=aが定義である」と述べられているのか？」と自問自答する。
なぜ君はそんなに自信があるのかな？
ソースでもあるのかな？と思ったので>>797の質問をした。

なるほど 立場Aと 立場Bの どちらか一方が正しく
もう一方は正しくないと考えているのか
話が通じないわけだ。

私=800は、そんな風に考えていないよ。
>>751から読んでみな。

立場ABのどちらも正しいということがありえるなら
>>800の主張は頓珍漢だと思うがどうか

定義の仕方なんていくらでもありうる。
立場AB両方有りうる。
しかし、立場Aに対して、Bの立場の人間が反論するのがおかしい。

一般論として、
「定義より、、、」と話している人Aに対して、
別の流儀の定義の人Bが、
「それは定義ではない。その議論は正しくない。」
と反論するのはおかしい。Bは
「君の定義上ではその議論は正しいが、私の流儀の定義ではそれはその議論は間違いだ」
と指摘するべきだろ。
もし、Aの定義が一般的に用いられているものと異なるなら、
「君の定義上ではその議論は正しいが、その定義は一般的に用いられているもの
では無い。」
と指摘するのも良かろう。
しかし、Aが一般的な定義で、Bの定義が特殊な場合に、Bが自分の定義に基づいて
Aに対して反論するのは非常に滑稽だ。

なるほどあなたにはそのように見えたんですね。
ならば滑稽ということでいいじゃないですか。

＞ しかし、立場Aに対して、Bの立場の人間が反論するのがおかしい。 

つまり、相手は立場Bじゃないんじゃないのか？
あなたがそう思っているだけで。

俺がわからんのは、 

＞ 立場AB両方有りうる。
といいながら
＞  私が立場Ａで君が立場Ｂ
というあたり。

両方がありうるなら、どちらか一方のみで考えるのはおかしいと思う。

>>806
>>798が>>800における立場Ｂであることは明らかだろ。
そして私は、立場Ａだ。

>>807
だから、>>800で両方の立場の場合を考えているじゃん。

さらに詳しく説明すれば、今回の議論は>>804の一般論で述べたような、
定義の流儀の違いによる立場の違いでもない。

>自然数a を与えたとき，
>i） a+1=a'，
>ii） a+b'= (a+b)'
>で定義される写像 : b\inN→a+b\in N を加法という．
と
>>767による定義
>自然数a を与えたとき，
>i） φ(1)=a'，
>ii） φ(x')= φ(x)'
>で定義される写像 : N→N を φ(b) =a+b と書き，加法という
というように、記号や言葉使いが違うだけの定義を>>767は別の定義と考え、
a+1=a'は定義ではないと主張している。
つまり流儀の違いではなく、>>767の言葉使いが特殊なだけ。

ん？
>>751-753の話じゃないのか。 それは失礼した。

age

802