超準解析　Nonstandard Analysis　超準解析

について語るスレ

とりあえず、リンク
http://members.tripod.com/PhilipApps/nonstandard.html

キースラーさんの本。
無料で全体をダウンロードできます。

http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html

姉妹スレ

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148694153/l50

非標準なアナルの研究？
アブノーマルの方が。

超準解析。
面白そうなのに、姉妹スレ（>>3）ともども、スレが伸びないのはなぜ？

これって斉藤の訳がある奴じゃなくて
数学の基礎をめぐる論争にちょっと紹介してあった大部の奴のほうだっけ

以前ちょっとだけ読んでみたけど
選択公理が超実数の構成にどうしても必要な理由をいまいち理解してなかったな

で、何が面白いの？

ちょっとこれについて誰か詳しく頼む。

635 名前：１３２人目の素数さん　[]　投稿日：2006/05/26(金) 02:25:00 　　　New!!
ここの皆様にはとても基本的なことだと思うのですがひとつ質問させてください。
「無作為に選んだ自然数が○○である確率（例えばnの倍数である確率）」
というのは確率論的に問題ないのでしょうか？
この場合どのような確率測度が考えられているのかがよく分かりません。
標本空間が可算無限だとすべての元を等確率で選べるようにはできないような気がするのです。
でも直観的にはnの倍数が選ばれる確率は1/nですよね。
このあたり確率論ではどのように説明されているのでしょうか？

（私は確率論についてはほとんど知識がありません。
ルベーグ測度などは数年前に学びましたがだいぶ忘れています。）

636 名前：１３２人目の素数さん　[sage]　投稿日：2006/05/26(金) 04:21:20 　　　New!!
「なんか無作為に選んだ自然数が3である確率」
とかが無限小になって、
その総和を取るとちゃんと1になるような定式化があるんだとか
（non-standard analysisの本に書いてあったんだけど）

>>8
N上に有限加法的測度があるって事を超準解析使って
証明してるだけなんすよ、ホントに

斉藤正彦さんの超準解析の本って評判どうなんだろ？
今じゃ手に入らないけど。

超準解析によると、次の論理は正当化できるんだろうか？
誰か知ってる人がいましたら、教えてください。

２変数関数 f(x,y) の等高線 ｛ (x,y) : f(x,y)＝c ｝,　(c:constant)
の傾きを考えたい。

ｆ を全微分して

　df＝△f/△x・dx＋△f/△y・dy

をえる。（偏微分記号の出し方がわからないので、△で代用してます。）

等高線を考えるので、df＝0 と置く。

　df＝△f/△x・dx＋△f/△y・dy＝0

両辺を dy で割り算して（ dy を一つの数とみなす）、整理すると、

　dy/dx＝―(△f/△x)／(△f/△y)

陰関数定理を使うのが、正攻法だろうが、dy を一つの数とみなしてかまわないなら、
この説明がわかりやすくていいと思うのだが。。。

>>11
その程度だったら、わざわざ超準解析使わなくてもランダウの記号を省略していると思えばいいんでない？
それに超準解析だってどうせ
＞df＝△f/△x・dx＋△f/△y・dy
のところは
＞df≒△f/△x・dx＋△f/△y・dy
みたくなっちゃうんだよね確か。（≒は無限小の差を除いて等しいの意）

んーー、でも超準解析やったのかなり昔だから、ちょっと自信なくなってきた。

ATOKだと「すうがく」で∂が出るよ

age

超実数体って確か選択公理か何かを仮定すれば構造は一意なんだよね
超実数体って任意のCauchy列が収束しますか？

age

実数体Rにおいて任意のCauchy列が収束するという命題を記号で表すと
∀f:N→R
(∀ε∈R∃n∈N ( i,j>n → |f(i)-f(j)|<ε) )
↓
(∃x∈R∀ε∈R∃n∈N ( i>n → |f(i)-x|<ε) )
となる。
ここに出て来るN,Rをそれぞれ超自然数体N'、超実数体R'と考えても
命題は真である。
だから「超実数体においても任意のCauchy列が収束する」と言ってもいいかもしれないけど
この場合Cauchy列は普通のCauchy列ではない事に注意。
（まず数列の各要素が超実数となるし、また数列に1番目の要素・2番目の要素…だけでなく
　c番目の要素（cは超自然数）・c+1番目の要素・2c番目の要素…などもある）

>>15
超実数体の構造が一意なんてことをいっているのは何を考えていってるの?
って感じ。一意なら、ω_1-saturated のものを考えるなんてことが起こらない。

age

915

>>18
GTMから最近出たLectures on hyperrealsにそういうことが書いてあったと思いましたが

>>21
「そういうこと」というのはどういうことですか？
超実数体は、いくらでも濃度の高いものがあるのだから、一意に決まらない
に決まっている。

age

>>21
hyperreals≠超実数体

636

「超積と超準解析」(齋藤正彦)を読んでいるのですが、I＝N (自然数全体の集合)の
とき、I上の超フィルターを、選択公理を使って構成できないでしょうか？ツォルンの
補題では、理解した気になりません。

>>26
選択公理を使ってZornの補題が証明されるのだからそのままで良いではないか。
Zornの補題を使った証明が読み難いようでは、通常数学の証明でも不自由する
ことになるぞ。

>>27
存在だけを問題にした場合はツォルンの補題で構いません。しかし、それだと存在が
保証されるだけで、出来上がったモノがどんな構造をしているのか見えません。この
意味において「理解した気にならない」と言っているのです。そこで、選択公理を使い、
超フィルターの中身が目に見えるような、素朴な構成が出来ないのか質問しています。

>>28
こういう超越的手法でしか存在が保障されないような存在は
どうあがいても具体的な形で「見る」ことはできないと思うぞ。
たとえば、実数直線Rは有理数体Q上の線形空間と見ることができて、
Q-線形空間としての基底の存在がZornの補題よりいえる。しかし、
RのQ-線形空間としての基底を具体的に構成した人（見た人）は
誰もいない。選択公理を直接に使って証明しても同様だ。

もし、選択公理を使ってI上の超フィルターが具体的に作れるのなら、
RのQ-基底も同様だろう。作るのに成功したら是非見せて欲しいものだ。

>>28
>>28
整列可能定理を使った構成法は？
Nの部分集合を整列させて
ひとつひとつフィルターに付け加えるかどうかを決めていく方法。
ちょっとは中身は見えるような気分がするかも知れない。

>>29
うーん、何と言ったらいいかな。私の言う「具体的」とは、そういう、真の意味での
具体性のことを言ってるわけじゃないんです。どうあがいても、どこかの段階で神様に
頼る(＝選択公理か、それと同等な命題を使う)しか無いことは理解しています。しかし、
問題なのは、証明の「全般」を神様に任せるのか、あるいは、途中までは人間が努力して、
最後の最後の、人間の力ではどうにも出来ない「仕上げ」の部分だけを任せるのかで、
見通しは変わると思います。ツォルンの補題のように、証明の「全般」を神様に任せると、
存在が保証されるだけで、他のことは何も分からないわけです。なんたって、大切な仕事を
全て神様に任せているわけですから。これに対し、途中までは人間の力で頑張って、最後の
最後の「仕上げ」の部分だけに選択公理を使えば、ツォルンの補題よりは「具体的」であり、
また、「構造が分かった気になる」と思いませんか？

例を挙げると、私の持っている「集合と位相」(内田伏一)には、Rのハメル基が存在することの
証明として、ツォルンの補題を使うもの、整列可能定理を使うものの2種類があります。ツォルンの
補題を使う証明では、存在が保証されるだけで、その基底がどのように取れるのか ほとんど何も
分かりません。一方で、整列可能定理を使うと、(R-{0},≦')を整列集合として、これについて
超限帰納法を使うことで、ハメル基を”具体的に”(真の意味での具体性は無いが)構成しています。
この場合、少なくともツォルンの補題を使ったときよりは、具体的であり、また、基底の構造が
少しは分かったことになりませんか？私の言う「具体的に」とか、「超フィルターの中身が目に
見えるような」とは、こんな感じの意味です。

>>31
実はその証明に使う整列順序そのものが具体性のかけらも無い代物。
選択公理とかツォルンとかの超越的論法で少なくとも一つあるよといえる
だけの。逆に言うと必要な整列順序が構成的に定義できるなら、その系
については構成的証明ができるかもしれない。

>>31
>>30 の言う通りツォルンの補題をつかった証明は、原理的に超限帰納法+
整列定理を使った証明に書き換えることができるはずだから、演習として
超フィルターの存在証明を書き換えてみたらどうですか。いい練習と思いますよ。

>>33
∠(ﾟДﾟ)やってみます。

実数全体に整列順序を入れるって段階で具体性の欠片もないじゃん
寧ろ非合理な感じさえするが

まあ、どちらも具体性が無いとはいえ、
俺も、ツォルンの補題による証明は、どうもイメージが沸きにくくて苦手

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