【Motifs】グロタンディーク 8【Topos】

X 位相空間
OC(X) Xの開閉な部分集合全体の集合。包含関係で順序集合を定める。
¬:OC(X)→OC(X) 開閉集合Uに対してUの補集合を対応させる。
¬は順序を入れ替える自己同型写像。

C(X)をXの閉集合からなる順序集合とする。
C(X)が極小条件を満たすとする。すなわちC(X)の任意の部分集合は極小元を持つと仮定する。
するとOC(X)⊂C(X)たがらOC(X)も極小条件を満たす。
又OC(X)には順序を入れ替える自己同型写像が存在するので極大条件も満たす。

p∈Xに対してOC(X,p)⊂OC(X)をpを含む開閉集合の全体とする。
OC(X)が極小条件をみたすとすると　OC(X,p)には極小元U_pが存在する。
(U_pはOC(X,p)の最小元にもなっている。)この時U_pはpを含む連結な開閉集合。
Xは連結な開閉集合の非連結和になっている。
さらに、OC(X)が極大条件をみたすとすると和の個数は有限個。
なぜなら、無限個なら途中で止まらない上昇列が作れるから。

よって、C(X)が極小条件を満たすとすると、
Xは連結な開閉集合の有限個の非連結和になっている。