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ラグランジュ乗数法による。
本問は束縛条件があるため、そのまま ∂f/∂xk =0 とはできない。そこで
I(x,λ) = f(x) - λ(x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 -S)
とおき、n+1次元で考える。そうすれば
∂I/∂xk = x(k-1) + x(k+1) -2λxk = 0,
∂I/∂λ = -(x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 -S) = 0,
とできる。 簡単のため、x0=xn, x(n+1)=x1 とおいた。
次にこれを解くんだが、長くなるので、結果だけ書く。
最大値は λ=1, xk = 1/√n のとき.
最小値は
nが偶数のとき λ=-1, xk = (-1)^k /√n または (-1)^(k-1) /√n,
nが奇数のとき λ=-cos(π/n), xk = (-1)^k √(2/n)*cos(α + kπ/n),
http://mathworld.wolfram.com/LagrangeMultiplier.html