解析学って地味

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105132人目の素数さん
〔問題〕
 x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 = 1 の条件の下で
 f(x) = x1x2 + x2x3 + …… + x(n-1)xn + xnx1 の最大・最小を求めよ.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/16
東大入試作問者スレ13
106132人目の素数さん:2008/01/13(日) 18:30:16
>105

ラグランジュ乗数法による。
本問は束縛条件があるため、そのまま ∂f/∂xk =0 とはできない。そこで
 I(x,λ) = f(x) - λ(x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 -S)
とおき、n+1次元で考える。そうすれば
 ∂I/∂xk = x(k-1) + x(k+1) -2λxk = 0,
 ∂I/∂λ = -(x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 -S) = 0,
とできる。 簡単のため、x0=xn, x(n+1)=x1 とおいた。
次にこれを解くんだが、長くなるので、結果だけ書く。
最大値は λ=1, xk = 1/√n のとき.
最小値は
 nが偶数のとき λ=-1, xk = (-1)^k /√n または (-1)^(k-1) /√n,
 nが奇数のとき λ=-cos(π/n), xk = (-1)^k √(2/n)*cos(α + kπ/n),

http://mathworld.wolfram.com/LagrangeMultiplier.html