★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
正2n+1角形において三点を選んでできた三角形が鋭角三角形になる確率P(n)を求めよ
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352 ：１３２人目の素数さん：2006/10/28(土) 07:25:38
>349 (2)
f(x) = sin(x)/(x^2) - cos(x)/x = (d/dx){-sin(x)/x} とおく.
(1) より (-1)k･cos(α[k]) >0.
S[k] = | ∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx |
= (-1)^k･∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx
= (-1)^k･{ sin(α[k])/α[k] - sin(α[k+1])/α[k+1] }
= (-1)^k･{ cos(α[k]) - cos(α[k+1]) }
= 1/√(1+α[k]^2) + 1/√(1+α[k+1]^2).
f(x) = sin(x)/(x^2) - cos(x)/x = (d/dx){-sin(x)/x} とおく.
(1) より (-1)k･cos(α[k]) >0.
S[k] = | ∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx |
= (-1)^k･∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx
= (-1)^k･{ sin(α[k])/α[k] - sin(α[k+1])/α[k+1] }
= (-1)^k･{ cos(α[k]) - cos(α[k+1]) }
= 1/√(1+α[k]^2) + 1/√(1+α[k+1]^2).
353 ：１３２人目の素数さん：2006/10/29(日) 19:21:40
>349 (3)
(1)より kπ < √(1+α[k]^2) < (k+1)π だから
1/((k+1)π) + 1/((k+2)π) < S[k] < 1/(kπ) + 1/((k+1)π),
(2/π)∫[k+1,k+2] (1/x)dx < S[k] < (1/π)∫[k-1,k+1] (1/x)dx,
ここで ∑[k=n+1,2n] の和をとると
(2/π)∫[n+2,2n+2] (1/x)dx < ∑ S[k] < (1/π)∫[n,2n] (1/x)dx + (1/π)∫[n+1,2n+1] (1/x)dx,
(2/π)log|2(n+1)/(n+2)| < ∑ S[k] < (1/π)log(2) + (1/π)log|(2n+1)/(n+1)|,
∴ lim[n→∞] ∑[k=n+1,2n] S[k] = (2/π)log(2).
(1)より kπ < √(1+α[k]^2) < (k+1)π だから
1/((k+1)π) + 1/((k+2)π) < S[k] < 1/(kπ) + 1/((k+1)π),
(2/π)∫[k+1,k+2] (1/x)dx < S[k] < (1/π)∫[k-1,k+1] (1/x)dx,
ここで ∑[k=n+1,2n] の和をとると
(2/π)∫[n+2,2n+2] (1/x)dx < ∑ S[k] < (1/π)∫[n,2n] (1/x)dx + (1/π)∫[n+1,2n+1] (1/x)dx,
(2/π)log|2(n+1)/(n+2)| < ∑ S[k] < (1/π)log(2) + (1/π)log|(2n+1)/(n+1)|,
∴ lim[n→∞] ∑[k=n+1,2n] S[k] = (2/π)log(2).
354 ：１３２人目の素数さん：2006/10/29(日) 19:39:17
>351
全体では C[2n+1,3] = (2n+1)(2n)(2n-1)/6 とおりある。
鈍角三角形は、中心角 {2n/(2n+1)}π の範囲に収まる。
中心から見て右端の頂点Aは 2n+1 とおり、他の2頂点はAの左側1～nの中にあるから、C[n,2]とおり。
∴ C[n,2] * (2n+1) = (2n+1)n(n-1)/2 とおり。
直角三角形はできない。
鋭角三角形は残りの (2n+1)n(n+1)/6 とおり。
∴ P(n) = (n+1)/{2(2n-1)}
全体では C[2n+1,3] = (2n+1)(2n)(2n-1)/6 とおりある。
鈍角三角形は、中心角 {2n/(2n+1)}π の範囲に収まる。
中心から見て右端の頂点Aは 2n+1 とおり、他の2頂点はAの左側1～nの中にあるから、C[n,2]とおり。
∴ C[n,2] * (2n+1) = (2n+1)n(n-1)/2 とおり。
直角三角形はできない。
鋭角三角形は残りの (2n+1)n(n+1)/6 とおり。
∴ P(n) = (n+1)/{2(2n-1)}