☆★初等幾何スレッド★☆

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証1)
　ABCDは凸4角形とする(*)。
　まず点Eを ∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ACD となるようにとれば
　△ABE ∝ △ACD となるから, AB/BE = AC/CD, すなわち
　　　AB･CD = AC･BE.　　…… (3)
　また、AD/AE = AC/AB, ∠DAE = ∠CAB であるから, △ADE ∝ △ACB, よって
　AD/ED = AC/BC, すなわち
　　　AD･BC = AC･ED.　　…… (4)
　こうして得られた (3) と (4) を辺々加えれば
　　　AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.
　ここで等号が成り立つのは, 点Eが対角線BD上にある場合である。
　ところがその場合には ∠ABD = ∠ACD となるから4角形ABCDは円に内接することがわかる。

(*)　点Dが△ABCの内部にあるとき: 点Dを直線ACのまわりの180ﾟ回転により、(ACに関してBと反対側の)点D'に移す。
　　ABCD'は凸4角形で、AD'=AD, BD'>BD, CD'=CD.

矢野健太郎: ｢幾何のおもしろい定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981) p.47-48

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証2)
　複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
　という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)

｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊 (1983.10) p.16
　栗田 稔: ｢ﾄﾚﾐｰの定理｣