☆★初等幾何スレッド★☆

〔問題〕
BC=a, CA=b, AB=c とするとき、△ABCの
　重心 G
　内心 I
　傍心 Ia,Ib,Ic
　外心 O
　垂心 H
　外接3角形の重心 (de Longchamp点) L
　Gergonne点 Go
　9点円の中心 K
について、
それを ΛA↑ + μB↑ + νC↑ と表わしたときの係数 Λ,μ,ν を求めよ.

　HK:KG:GO:OL=3:1:2:6 (ｵｲﾗｰ線)
　Go-I-L も1直線上

>54
係数のみ示す。
　重心 G:　(1/3, 1/3, 1/3)
　内心 I:　(a/(a+b+c), b/(a+b+c), c/(a+b+c))
　傍心 Ia:　(-a/(-a+b+c), b/(-a+b+c), c/(-a+b+c))
　　　 Ib:　(a/(a-b+c), -b/(a-b+c), c/(a-b+c))
　　　 Ic:　(a/(a+b-c), b/(a+b-c), -c/(a+b-c))
　外心 O :　(L･sin(2A), L･sin(2B), L･sin(2C))　　　　L=(R^2)/(2S).
　　　　 = ((1/2)[1 -1/{tan(B)tan(C)}], (1/2)[1 -1/{tan(C)tan(A)}], (1/2)[1 -1/{tan(A)tan(B)}] ).
　垂心 H :　(1/{tan(B)tan(C)}, 1/{tan(C)tan(A)}, 1/{tan(A)tan(B)})
　　　　 = (h･tan(A), h･tan(B), h･tan(C)),　　　　　　h=1/{tan(A)tan(B)tan(C)}.
　外接3角形の重心 L :　(1-2/{tan(B)tan(C)}, 1-2/{tan(C)tan(A)}, 1-2/{tan(A)tan(B)} ).
　Gergonne点 Go:　( g･tan(A/2), g･tan(B/2), g･tan(C/2)),　　　g=4S/{2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c-2).
　　　　　　= (2rg/(-a+b+c), 2rg/(a-b+c), 2rg/(a+b-c)),　　　　r=2S/(a+b+c).
　9点円の中心K:　((1/4)[1 +1/{tan(B)tan(C)}], ((1/4)[1 +1/{tan(C)tan(A)}], ((1/4)[1 +1/{tan(A)tan(B)}] )