【　数学　】　難問　奇問　【　�V　Ｃ　】

いろんな問題を立ててください。

x　軸上を動く２点　Ｐ　,　Ｑ　が、同時に原点を出発して、　t　秒後の速度は
それぞれ　sin　π　ｔ　,　２　sin　π　t　(　/　秒　)　である。
�@　t　=　3　における　Ｐ　の座標を求めよ。
�A　t　=　0　から　t　=　3　までに　Ｐ　が動いた道のりを求めよ。
�B　出発後、初めて　２点　Ｐ　,　Ｑ　が重なるのは何秒後か　　？
また、このときまでの　Ｑ　の道のりを求めよ

点　Ｆ　（　　１ , １ ） までの距離と直線　y　＝　−　x　までの距離が等しい点　Ｐ
（　x　,　y　）　の描く曲線を　Ｃ　とする。
�@　曲線　Ｃ　の方程式を求めよ。
�A　曲線　Ｃ　と　x　軸　,　ｙ　軸で囲まれる部分を、直線　y　＝　x　の周りに１回転
して得られる立体の体積を求めよ。　

次の曲線の弧の長さを求めよ。
x　＝　２　t　-　１　,　ｙ　＝　1　-　cos　t　（　０　≦　t　≦　１　）

>>2
点P,Qはそれぞれ半径１と半径２の円の円周上をπ/2からスタートして,速度１で時計回りに動く
点のx軸への投影と見ました。

よって
�@0
�A3
�B1秒後、4

で、どうでしょ。

素数って何ですか??
詳しく教えて��さぃ。

素数とは、1とその数自身でしか割り切れないもの。
2・3・5・7・11・13・・・1927など。2は含めない。

間違えた、1は含めない。

今年の早稲田理工の５が難いよ

>>2>>5
ぜんぜん違う。
答えは順番に、
�@　　２ / Π
�A　　６ / Π
�B　　２秒後　　　　　道のり　８ / Π

今後は、もう少し、簡単なのを出しますわ。

解説できるように、自分が解けるレベルにした方がいいぞ。

私は大学の数学コースの２年のレベルの数学をやっているから、
数　�V　Ｃ　なんか終わってるだろ。

終わってるだろと言われても、そんなん知らんかったしw

それは　>>１４　の無知。

さいでっか、すんまへんえ。

>>11
それでは　むちゃくちゃ簡単な問題。

関数　s　i　n　２　θ　c　o　s　３　θ　の不定積分を求めよ。

中川が本当に好きなのは、数学じゃなくて算術なんじゃね？

>>15
あんたの学力では大学数学科に入学することすら無理。
粋がって大学数学やっても身につかないよ。
数学辞典読んで勉強した気になってるくらいだからな。

文句を言う前に、今までの問題すべてを解いてくれ。

数学を好きでやってるのに、水をさすような事を言うのはよくない！

>>20
質問は質問スレに。

１　/　s　i　n　　x　の　不定積分を求めよ。

>>17
・・俺でもできる
ちなみに現行課程では「道のり」とか「速度」が削除されてる県。

ちょっとごちゃごちゃしてるけど誰かといてください。ｍ(＿＿)ｍ
lim((x<(1/m)−a<(1/m))/(x<(1/n)−x<(1/n)))
のxをaに近づけたときの極限です。
どうしても解けません。

>>17
集合　｛　１　，　２　，　３　｝　から集合
｛　１　，　２　，　３　，　４　｝　への写
像は全部で何個あるか　　？

どうして間に空白入れて書くの？
そんなことして相手をてこずらせようとする気？
そんなのは数学の学力と何の関係もないと思うが

癖ですね。

ロピタルの定理について述べよ。

>>26
１個

＞＞２９
あ　　　ほ　　　！！
６４個やんけ　　！！

格子点とは何か　　？
(だんだんと問題が簡単になってきたでしょう）

中川泰秀様、お願いです。
やり方を教えて下さい。

>>31
格子点は、交点の数。

>>31
格子状に一定間隔に並んだ点。

>>32
おめこの　　？

アステロイドとは何か　　？

lim[x→0](log(cosx))/x　を求めよ。

>>36
アステロイドは大きな円の中を
小さな円が円周に沿って回転したときの点の動きです。

>>37
１です。

>>23
tan(x/2)=tとおくと
sin(x)=2t/(1+t^2) dx=dt/(2(1+t^2))
∴∫cosec(x)dx=∫dt/t=log|t|+C=log|tan(x/2)|+C

α＝180ﾟ÷5ﾟ＝36ﾟのとき、
�@、sin３α＝sin２αが成り立つことを証明して。

�A、cos36ﾟの値は？三角関数表は使わないで答えて。

>>41
ここは難問奇問スレのはずだが？

スレタイの�VＣって何？
中川は高校数学までしかわからないから高校数学までにしとけってこと？

>>39
いいえ、０です。

>>41
ここは宿題をやってもらうスレでは無いぞアホ

問　各世代ごとに、各個体が、他の個体とは独立に、確率pで１個、確率１−pで
　　２個の新しい個体を次の世代に残し、それ自身は消滅する細胞が存在する。
　　いま、第０世代に１個であった細胞が、第ｎ世代にｍ個となる確率をPn(ｍ)
　　と書くことにしよう。
　　ｎを自然数とするとき、Pn(1),Pn(2),Pn(3)を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和59年　東大理系）

ここまで難問も奇問もほとんどない件について。特に中川の出題。

IIICとか書いてる時点で期待できるはずもないわけで

>>46
Pn(1)=p^n
Pn(2)=(p^n-1)p^(n-1)
Pn(3)=[(p^n-1){p^(n-1)-1}p^(n-1)]/(p+1)

http://symy.jp/?qis

なかなか面白い問題だった。やっぱ昔の東大はムズイね

解説しなくて良いなら一問。

a＞0に対して次の2つの放物線を考える。

Ｃ1：y=X~2+1/a~2
Ｃ2：y=-(x-a)~2

（1）　Ｃ1、Ｃ2の両方に接するような直線が常に2本存在することを示せ。
（2）　（1）で定まる4つの接点がつくる四角形の面積Ｓ（a）の最小値を求めよ。

>>50
(1)略
(2)5√6/2 (a=2^(1/4),つまり a^2=√2 の時)

>>50
(1)C2上の点(t,-(t-a)^2)における接線の方程式
y=-2(t-a)x+2t(t-a)-(t-a)^2をC1の式に代入してD/4=0とすると
2t^2-2at-a^(-2)=0　　この判別式D´=a^2+2a^(-2)>0(∵相加相乗)よりC1,C2の両方に接する直線が常に2本在る。
(2)S(a)=√(a^2+2a^(-2))^3≧8
∴最小値8

あれ、５２間違えたっぽいなｏｒｚ

しかも≧8ってのも普通におかしいじゃんorz

お疲れさま〜☆もう答えいる？

46の問、正解です49san

問題　S={1,2,3,・・・,n} ただしn≧2とする。2つの要素から成るSの部分集合をk個取り出し
　　　そのうちのどの2つも交わりが空集合であるようにする方法は何通りあるか。
　　　次に、この数（つまり何通りあるかを表す数）をf(n,k)で表したとき、f(n,k)=f(n,1)
　　　を満たすようなnとｋ(ただしｋ≧2)をすべて求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(昭和56年　東大理系)
古いですが・・　昔はこんな問題もあったみたいです。

夏の前の時期、今頃から約１ｶ月間ぐらいが夜、勉強しやすい時期ですよね・・
夜の深夜便なんか聞いて
受験時代が懐かしい・・

>>56
f(n,k)=(n!)/[(2^k)(k!){(n-2k)!}] (1≦k≦n/2), 0 (n/2＜k)
後半はワカラナス(´･ω･`)

http://symy.jp/?CBK

昔の東大は抽象的な集合を扱ったものや、立体の幾何に関するものなど、今よりも数学的センスが必要で且つ計算量の多い問題が豊富な印象だな。
さっきの問題もこの問題も、今の東大なら前期の難問で４０〜１時間程度か。後期だと標準だろうが。

>56
k=3
n=6

>>59
それは見つけたんだがなぁ……

>60
其れしかない

ｎこのなかからｋペアをつくってかぞえる

(nC2k)P2k

(nC2k)P2k/k!2^n

>>61
それしかないことを示せなかったのよ。階乗と指数の扱いに困って……

>65
結構明らかだぞ
方程式は
2^(k-1)*k！=(n-2)(n-3)・・・(n-2k+1)
だから一般的には左辺と右辺で因数の個数は同じ
つまり(n-2k+1)＞1の時は明らかに右辺の方がでかくなるので
・・・・・
以下略

円周率 π は、3.05より大きいことを証明せよ。

まあ有名な問題かもしれないけど、これは？

>>67
円に内接する正多角形を考える。

ゆとり教育世代「えっ？円周率って3だろ？」

ざわ・・・

22/7

どうでもいいが、最近オレより本質的に賢いヤツは周りにいないんじゃないかって思うんだが。

>>68
それじゃあ普通すぎるよ　東大だって真顔で聞いてるわけじゃないだろ
もっと面白い別解キボンヌ

>>67
どうでもいいが、
別の解法を考えてみないか？

くそ。オレと同じ発想の持ち主がいたな。

>71
俺

まあまず思いつくのが、

円に外接する正多角形を考える。

>>75
でもip（インテリジェンスポイント）
3やん。オレ3.01だし。

>>74
しかも、問題を出している>>67にレスするのもおかしいぞ。

ζ(2)=pi^2 / 6であることを利用するとか

>>78
問題出す方が悪いと思った

>>72
0<x<pi/2　のとき, sin^(2n+1)x<sin^(2n)x　であるから
∫[0,pi/2]sin^(2n+1)xdx<∫[0,pi/2]sin^(2n)xdx
よく知られた公式（？）
　　∫[0,pi/2]sin^nxdx=((n-1)/n)((n-3)/(n-2)・・・(3/4)(1/2)(pi/2) (nが偶数)
　　　　　　　　　　　　　　 ((n-1)/n)((n-3)/(n-2))・・・(4/5)(2/3) (nが奇数)
から、
(1・3・・・(2n-1)/2・4・・・(2n))(pi/2)>2・4・・・(2n)/1・3・・・(2n+1)
ゆえ、
pi>2((2・4・・・(2n)/1・3・・・(2n-1))^2)/(2n+1)
n=10で
pi>3,06・・・

>>56
58san,59sanありがとうございます。答正解です！
（計算後半は・・）

f(n,k)=f(n,1) (n≧2)から
n!/{(2^k)・(n-2k)!・k!}=n!/{2(n-2)!} ∴{2^(k-1)}・(n-2k)!・k!=(n-2)!
ここで両辺を(n-2k)!で割れば
(n-2)(n-3)(n-4)・・・｛(n-(2k-2)}{n-(2k-1)}={2^(k-1)}・k!
上式の左辺は2(k-1)個の因数の積なので
{(n-2)(n-3)/2}・{(n-4)(n-5)/2}・・・{(n-2k+2)(n-2k+1)/2}=k! −�@ともできる
さらに�@左辺の(k-1)個の因数はすべて正の整数で、左から順に小さくなるから
最後の因数は3以上になることはない。（続）

>>82
(続きﾃﾞｽ）

つまり　{(n-2k+2)(n-2k+1)/2}=1 または　２
　　　　　（n-2k+2)(n-2k+1)=2 または　４
これを満たすのは　n-2k+1=1, n-2k+2=2 となるから
∴ 　n=2k (k≧2)

このとき�@は
(k-1)(2k-3)(k-2)(2k-5)(k-3)(2k-7)・・・1・1=k!
　∴ (2k-3)(2k-5)・・・3・1=k　−�A
　2k-3≦k より　k≦3 つまり　k=2,3

k=2のとき、�Aは成り立たない。k=3のとき成り立つ。
　　　　　　　　　　　　したがって　n=6, k=3 (答）

>>66>>82-83
因数を考えるのか!
左辺＜右辺を直接証明することばかり考えてて気付かなかった(´･ω･`)
整数問題では基本なのになぁ。

>>72
東大も内接or外接多角形を想定したと思うけどね。
実際の入試じゃ手付かずや、｢π≒3.14……だから明らか｣みたいな面白回答が出たみたいだがｗｗ

>>81
(・∀・)ｲｲ!!

円周率piが無理数であることの証明は？

>>85
級数和で評価する方針で、大学入試に出題されたことあるような。

割と最近の阪大でも出題されなかったか。

出たよ
だから書いてるんじゃんｗ

>>84
実際試験問題だったら思いつかないだろうなぁ。

円周率の問題、ζ(2)=pi^2/6より
適当な項まで級数とって、それよりはζ(2)の方が確実に大なりだからって論法はどうかな。
もちろん6で割ってpi^2で議論することになるが。

あ、でもζ(2)=pi^2/6も証明しないと完答とはならないか。

eの超越性を証明せよ

>>85
普通は積分で、級数和は最近の阪大後期だったね。

>>89-90
ζ(2)=pi^2/6を前提とするのは色々無理があるだろう……

>>91
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

問　1+1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+・・・+1/(2^(n-1))＞1.999をみたす最小の自然数ｎを求めよ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(昭和56 電気通信大）
　　気分直しに・・
　　

2＾（ｎ-1）＞1000 を解くだけじゃないのか？

すいません、題意に沿わず
そのとうりです

さすがに易しすぎな気が……

ショボ〜ン・・
また明日

すいません。数学は全く苦手なのですが。
人の心理状態とそれから発生する行動を
数式化することは可能なのですか？

ω=3⇒Ωは無限に振動するとか？

>>98
数式化は無理だが対応化は出来るかも。アルゴリズムの分野だろうが。

The vertices of a 10-dimensional cube are represented by the set of
1024 binary sequences of length 10 (each digit is either 0 or 1).
Let S be any subset of at least 205 binary sequences (vertices).
Show that S will always contain an equilateral triangle.

sinX^sinXの微分は？
教えてください

>>102
スレ違いだから教えない

すみませんガウス積分で質問です。

∫(−∞から∞までの)exp[-ax^2]dxと
∫(−∞から∞までの)x^(2n)exp[-ax^2]dxと
∫(0から∞までの)exp[-ax^2]dxと
∫(0から∞までの)exp[-ax^2]dxの積分は解くことができるのですが

∫(0から∞までの)x^(2n+1)exp[-ax^2]dxの積分がどうしても解けません。
どのようにといたらよろしいでしょうか。
ちなみに∫(−∞から∞までの)x^(2n+1)exp[-ax^2]dxは被積分関数が奇関数
だから0だということはわかります
どなたかお願いします

>>104
ここは質問スレじゃないよ

じゃちがうとこいくよごめんね

問題
nを自然数とする。数直線上で 点1/(2^(n+2)) と点1/(n(n+1))を両端とする線分をAnとする。

(1) どんなnに対してもAnとAn+1は交わることを証明せよ
(2) 線分An∩An+1の長さをDnとするとき��(n=1〜∞）Dnを求めよ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和56年　北大）

>>107
Xn=1/(2^(n+2)), Yn=1/(n(n+1)) と置く.
(1) Xn, Yn は単調減少だから, Y(n+1)>Xn ⇔ 2^(n+2)>(n+1)(n+2) を示せばおｋだが, n≧4　のときは左辺=(1+1)^(n+2) と見て展開してn+2Ｃ2とn+2Ｃnに着目すれば明らか. n=1, 2, 3 での成立は自明 (q.e.d.)
(2) Dn=Y(n+1)-Xn であり, Y(n+1), Xn を差分の形にして和を取ればいい. ��(n=1〜∞）Dn=1/4

>>108
簡潔な解答ありがとうございます。
正解です

AnとAn+1が交わるためには、Anの左端1/(2^(2+n))＜An+1の右端1/((n+1)(n+2))
が言えればよい。２項定理から2^(n+1)=1+(n+1)+n(n+1)/2!+・・＞n(n+1)/2!
　∴ 　2^(n+2)＞n(n+1) つまり　1/2^(n+2)＜1/(n(n+1))

いまnのかわりにn+1とすれば　1/2^(n+3)＜1/((n+1)(n+2))　とも言える
更に2^(n+1)=1+(n+1)+n(n+1)/2!＞(n+1)+n(n+1)/2=(n+1)(n+2)/2
∴2^(n+2)＞(n+1)(n+2)　従って1/2^(n+2)＜1/((n+1)(n+2))
よってＡnとＡn+1は交わる。
（２）略

問題　
nを自然数とする。半径1/nの円を互いに重なり合わないように半径１の円に外接させる
このとき外接する円の最大個数をＡnとする。lim(n→∞）Ａn/ｎを求めよ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和57年　東工大）

>>110
２π？

惜しい、かすってます
詳細明日・・ゴメン

最大個数を表すためにガウス数になるから・・・
ずれがあるだろうけど、無限のかなたでは無視できると
思ったんだが・・・・
あとsinθ≒θも無限で近似できると思って使った。
まぁ、これは問題ないかな・・・？

>>110
πなのは予想付いたが証明デキナス(´･ω･`)

大雑把に、半径1の円の円周長=2π, の周りには直径1/nの円は An ≒ 2π/(2/n) 個⇔ An/n = π

>>113
ガウス記号でやってみたが、どうもそれじゃぁ荒すぎるらしく計算出来ねーｗｗｗ
もっと厳しく評価しなきゃなんだが……もうちょっと考えてみるか

昨日　ブック　＝　オフ　に行ってきたが、数学　�V　C　の良い参考書は
なかった。開放倉庫にもなかった。みんなはどうせ高校３年生で今　現在
数学　�V　C　を学校　（　高校　）　で習っている最中だろうが、参考書
は有名書店で買うのだろう。実際、このようなスレッドに入ると言うことは
かなり数学の成績が良く、将来は数学関係のコース　（　少なくとも工学部
）　に進学を希望している者たちであろうから参考書代をケチると言うこと
はしないだろう。私自身、大学は経済学部・法学部・芸術学部と３学部も卒
業しているが、本題だけで　（　金利を入れれば　）　１２００,００００円
も、つかっている。数学　�V　C　だけでは参考書代はいくらかかっても
３,００００円と言ったところだろう。数学　�V　C　を極めるには、まず最
初は高校での授業、次は参考書、次は問題集だろう。余力があれば、放課後
塾や予備校に行ってもいい。Z　会もいいだろう。『　大学への数学　』　を読むのは
当然のことである。

コンマの位置がおかしくない？本代1200万？

>>115-116
なんかウザいのが来たな

あ、悪かった。邪魔しないよ。
中川くんは一応スレ主らしいけど。

>>110
．．．（略）を 2θn とすると tanθn ＝1/(n+1)

πのπ乗は無理数であることを証明せよ。
（97'　ラーメン大学）

>>110
半径1の円の中心をA、 それに外接する半径1/nの円の中心をB、 前の2円に外接する円の中心をCとし、
∠BAC=θとする。明らかに0<θ<π。
さて、cosθ=((1+(1/n))^2+(1+(1/n))^2-4/n^2)/(2(1+(1/n))^2)=1-2/(n+1)^2・・・★
n→∞のときθ→+0である。
一方A_nの作り方から
(A_n-1)θ≦2π<A_nθ・・・☆
ここからも　A_n→∞ (n→∞)　がわかる。
☆を変形して
2π/(θn)<A_n/n≦2π/(θn(1-(1/A_n)))
1-(1/A_n)→1 (n→∞)　より結局
lim A_n/n=2π/(θn)
ここで、★よりn>0に注意して
n=√(2/(1-cosθ))-1
よって
lim A_n/n=2πlim[θ→+0]1/(θ(√(2/(1-cosθ)-1)))
=2πlim[θ/2→+0]1/(2(θ/2)/sin(θ/2)-θ)
=π
括弧多すぎてすみませぬ。

A_nθ≦2π<(A_n+1)θ
でした。

じーく

http://p.pic.to/4zc7r

けっこうイケ麺。

>>121
50点

talk:>>123何やってんだよ？

>>125
やっぱだめかーｏｒｚ=3

やっぱりπになった。以下、証明

まず、外接した半径1/ｎの円を一つ考えて、半径一の円（以下、円（1）とする）
の中心と円（1/n）の中心を通る直線と、同じく円（1）の中心を通り、
円（1/n）に接する直線を考え、その角度をθとする。ここで、（図を描いたら分かるだろうけど）
sinθ＝(1/n)/(1-(1/n))　ここで、lim[n→∞]sinθ/θ＝１より、
ｎが無限に発散するとき、sinθ＝θと置けるので、θ＝(1/n)/(1-(1/n))・・・�@　となる。
（これも図で書くと分かりやすいが）半分の円の角度が�@のように置けるので、
実際に入れることができる円の最大の個数は、[２π/（２(1/n)/(1-(1/n))）]
＝[π(n-1)]　また、lim[n→∞][n]/n＝１　　　　であることはなんとなく分かると思うから・・・・
よって、lim[n→∞][π(n-1)]/n＝π　　となる。　証明終わり。。

まぁ、ガウス数のとこは勘弁。。

>123
ゆんゆんしか知らないけど結構可愛いな
本物？

>>123
ちょ。。。PCでもう見れないからと思って
普通にあげたら、ケータイでまだ見れるのかよ。
さっさと消せよ。

>>110
答　半径１の円の中心をＯ、この円に外接する半径1/nの円の中心をＰとする。
　　Ｏから半径１/nの円に接線を引けば２本の接線が引けるが、この片方の接線の接点をＱとおく。
　　ここで∠ＰＯＱ＝θnとし、Ａnを半径１の円に重なり合わないように外接する半径1/nの円の
　　最大個数とすると、各円の位置関係から

　　2π/2θn−１＜Ａn≦2π/θn　が成り立つ。　これをnで割って
　　π/(n・θn)−1/n＜Aｎ≦π/(n・θn) ・・・�@

　さらにlim(n→∞)sinθn/θｎ＝１であることを利用し
　lim(n→∞）π/(n・θｎ)=lim(n→∞）π・sinθn/θ=π
　これから
　lim(n→∞)(π/n・θn−1/n)=π　であることがわかる
　この事実と�@から
　lim(n→∞)=π

そうか、ガウス数は挟み撃ちか。にゃーるほどね。
他は大体模範解答と同じようだ。

>Geek ◆8MQVxjnUkg
ガウス数→ガウス記号じゃね？
てかガウス記号は挟み撃ちってのは定石だぜ(`･ω･´)

どうも俺は難しく考えすぎたようだな。
>>114の｢ガウス記号でやってみたが〜｣は俺の勘違いだったのか。
まぁガウス記号で上手くいかない極限は受験じゃあんま見ないしね

問題　nを3以上の自然数とし、絶対値付き関数　f(x)=|x(x−n)/(x^2+1)|　のx≧0
における最大値をＡnとする。lim(n→∞）An/n を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和56年　名大）
　　　

>>134
g(x)≡x(x−n)/(x^2+1) として, g'(x)=0 の大きい方の解を α( =-1/n+√(1+1/n^2) ) とすると, lim(n→∞）α=1
また増減表より An=f(α)=|g(α)|となる ; |g(α) > 1(=lim(n→∞)f(x))も確認できる.
これらより, An/n={(1+1/n^2)α-1/n}/(1-2α/n)→{(1+0)*1-0}/(1-2*1*0)=1
∴ lim(n→∞）An/n = 1

あれー自分は1/2になたよ。またミスったかな。

>>116
金利を入れれば、と言っているだろ。
コンマは私は　4　桁ごとに打つ。

なんで金利を入れるんだよｗｗｗｗｗ

私は経済学部出身だからだ。

>>139
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148270265/188

>>134
前略　中川さん使わせてもらってます（アンビシャス教育/数学科）
答　1/2です
　　y=g(x)=x(x−n)/(x^2+1)とおく　g'(x)=(nx^2+2x−n)/(x^2+1)^2
g'(x)=0となるxの値をαn,βn(αn＜βn)とおけば　αn＜0＜βn
　　βn=−1/n+√(1+1/n^2)・・・�@
　　増減を考えればx=βnで最小かつ極小をとるが
　　y=f(x)=|g(x)|の最大値を与えるxがβnであることを確認する意味で
　　lim(n→∞)f(x)=lim(n→∞)g(x)=1　であることを考慮し
　　βn(βn-ｎ)/(βn^2+1)＜−1 であることを示す

　　式x(x−n)/(x^2+1)=−1 つまり　2x^2−nx+1=0　が判別式Ｄ=n^2-8＞0 (∵n≧3)
　　また2つの解の和と積が正より、2つの異なる正の実解が存在　（続）

>>141
(続）その1つをγnとするとそもそもβnで最小値をとるから
　　βn(βn-ｎ)/(β^2+1)＜γn(γn-ｎ)/(γn^2+1)=−1
以上から　最大値ａn=βn(n−βn)
　　一方　lim(n→∞）βn=1 から
　　lim(n→∞）ａn/ｎ＝lim(n→∞)βn(1−βn/n)/(βn^2+1)=1/2

ps. 135,136san いつもありがとうございます　（アンビ/玉沢)

>>142
修正　最大値ａn=βn(n−βn) →　最大値ａn=βn(ｎ−βn)/(βn^2+1)

>>140
多少は例外もある。
そう固いコチコチのことを言わんと。

>アンビシャス
どうも計算間違いしてたようだな(´･ω･`)

めんｄくて検算しなかった罰だｗｗｗ

気を取り直して・・
問
　　f(x)において２つの条件
　　　(ｲ）f(x)は微分可能
　　　(ﾛ）x≦0のときf(x)=0,x≧1のときf(x)=1　をみたすものがある。

　(�@) 微分可能な関数g(x)と正数aが与えられたとき、上の関数f(x)を用いて
　　　 つぎの条件(ﾊ),(ﾆ)をみたす微分可能な関数h(x)を作れ。
　　 (ﾊ) h(0)=0
(ﾆ) |x|＞aのときh(x)=g(x)
(�A) 関数f(x)の例を1つ作り、その関数が(ｲ)をみたしていることを確かめよ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(昭和51年　京大）

　＜ﾋﾝﾄ＞　g(x)にどのような関数をかければh(x)に・・

>>146
あぁ、その問題昔やったなぁ。
見た目より簡単に解けた気がする。

昭和51年・・・・・・。
私が中学2ねんのとき。

精通したときだね

精通　？
オナニーの初体験やろ　　？
私が白鳳中学校のときの　2　年のときや。

だれがせんずりのことを・・・

精通

初めて何か出た時のこと

初精通がオナニー

自演乙

初精通がセックス

初精通という言葉はおかしい

>>152
それまでは、こすっても何も出ませんか？

>>146
答(�@）h(0)=0 →　h(0)=0・g(o)
　　h(x)=g(x)→　h(x)=1・g(x) などと想定してみる。|x|＞a から　
　　　　Ｘ=|x|/a (X＞1)と置けるから
　　X≧1のときにf(X)=1 　X≦0のときに(X)=0 とできることにも着目すれば
　　　　　　　　h(x)=f(|x|/a)・g(x) ・・・�@　を導くことが可能。
　　　実際�@式は題意の条件をみたす。　つまり答は�@式

　（�A）0≦x≦1の範囲でf(x)=ax^3+bx^2+cx+d を考える。
　　　　条件はf(0)=0,f(1)=1 f'(0)=0,f'(1)=0 であり
　　　　計算から
　　　　f(x)=0 : x≦0
f(x)=3x~2−2x^3 : 0≦x≦1
f(x)=1 : x≧1 以上（答）
　
　　明日はゆっくり休むつもり・・　では
　　　

修正　(X)=0 →　f(X)=0
　　　明日は・・　じゃなく今日ﾃﾞｽ　

数学に精通したときだねといったのに中川先生がオナニーなどというセクハラ発言をしてきて、
精神的しょっくを受けたのでどうにかしてほしいです。

中川泰秀 ◆5xTePd6LKM ＝ β ◆aelgVCJ1hU

＞精神的しょっくを受けた

肉体的しょっくだろ？

別にショックを受けてはいない。
なんとも思わない。
私のように大学院出身者がくだらないことを気にしないのは当然。
だから太る　　！？！

$＼int_{-＼infty }^{＼infty } e^{-x^2} dx = ＼sqrt{＼pi } $ を Wallis の公式を用いて導け。

http://kagakuhodan.blogspot.com

全然難問じゃないんだが、うちの学校のテストで
log_x(y)=2のグラフを描けって問題、正答率50%未満だったそうだ。

条件にいく前の式変形で沈没してたら悲しいなw

>>163
いや、中川も普通の人間だ。
ショックを受けるときには受ける。

受けるか　　！！
ショックを受ける人間が、部落問題に実名で書き込むかよ　　！！

>>168
ショックを受けるときには受けるの証明。

背理法を用いる。
中川はショックを受けるときに受けないと仮定する。
明らかに、ショックを受けないならば、背理法の仮定「ショックを受けるとき」に反する。
従って、矛盾が生じるため中川はショックを受けるときには受ける。

Q.E.D.

人の心は数学じゃ解けません

>170
数学というのに範囲などない
考えうる全ての因果律に従う現象は数学で説明がつくはず

>>170
人の心が数学では解けないことの証明。
というか、数学では人の心を解くという概念がないことの証明。

明らかに、人の心という言葉が数学的に定義されていないため、
それを解くという事も定義されていない。
そのため、人の心は数学じゃ解けません。
　　Q.E.D.

>>170
いずれ心(意識)は計算できるようになる、に清き一票。

こころ,難しいね今更ながら・・
>>171も>>172も参考にしときます

心が計算で分かるようならば、俺たちの未来はもう
決まっているといっても過言ではないな。

まぁ、数学が発展して物理、化学が完成したら、
理論的にはできそうだけど、例えばある曲をいいと感じたり、
ある人を好きだと思ったりするのは、光や音が単体として物質に作用する
（光はエネルギーとしてとか、音は波としてとか）と言う影響以外に、
その「全体」が総合的にどういう影響を及ぼすのか、
（少なくとも俺には）見当もつかないし、もしそれが分かるようになっても、
すべてを計算するのは現実的に無理だね。

一秒後を考えるにしても、光が一秒で進む長さを半径とした球の内部の
すべての粒子の動きを総合的に見て判断しなきゃダメだろうから、
計算スピードがとてもじゃないが追いつかないと思う。

決まってても分からなければ決まってないも同然。
間違いなく（先手）必勝があると思われる将棋や
チェスを我々は楽しんでいる。それで良いと思う。

まあ、物理現象は量子効果とかもあり、単純に
決定論は使えないと思うけど。

チェスは双方最善手だとステイルメイトになる可能性も
充分あると思うけどね
将棋は先手必勝かもしれないが

チェスは引き分け率も高いから、その可能性は無いとは言えないね。

>>173
カオス理論の予測不可能性から不可能じゃないか？

問
　　f(x)=x^2・(x−1)とおき、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))において引いた接線が
　　x軸と交わる点を(b,0)とする。ただしf'(a)=0となるaの値は除いて考える

　　このとき、不等式|b−1|≦1/2|a−1|の成り立つようなaの範囲を求めよ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和56年　千葉大)
ﾋﾝﾄ　|A|≦|B|⇔A^2≦B^2

>>179
オチは読めない、だったんだけど
どのスレに書いたか忘れました＾＾

>>180
6/7≦a≦2

＞＞１６９
こいつはアホかな　？
>>169

>>180
答　6/7≦a≦2 です
　　解答の注意点は絶対値の２乗消去を上手く使う
　　ex: |x|≦|x−y| ⇔x^2≦(x−y)^2からy^2−2xy≧0などと
　　うまく真っ向勝負避ける

過去に解いた問題を参考に作ってみた。

C:y=tanx, l_n:y=(π-2x)/(2n) (0≦x<π/2)　とする。
曲線Cと直線l_nの交点のx座標をx_nとする。
Cとl_nとy軸で囲まれる図形をA_nとする。
A_nの面積をS_n, A_nをx軸の回りに一回転してできる立体の体積をV_nとするとき、
lim[n→∞]S_n/x_n , lim[n→∞]V_n/x_n
を求めよ。
難問でも奇問でもないけど。

しまった、どうやらV_nのほうはよろしくない・・・。
V_n/(x_n)^3なら0以外に収束するっぽいけど高校の範囲じゃ無理かも。

角度aで傾いた壁に長さLの棒を立ててある、床にずり落ちるまでに
棒が描く曲線の方程式はなに？

くろそいど

おいｗ

うそうそ、普通にまちがえた
あすてろいど
ttp://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/envelope/

>>187
クロノクルセイド

問題
　　数列C1,C2,C3,・・・,Cn,・・・（1≦Cn＜2,n=1,2,3,・・・）は
　　∫[x=Cn,2]logxdx=1/n∫[x=1,2]logxdx を満足するものとする。
　　このときlim[n→∞]ｎ(2−Cn)が存在するとして、その値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(昭和56年　名古屋工大)

>>192
存在を仮定しなければいけないところがスマートでない

83

>>192
答　2−1/log2

>>192
与式で両辺ｎ→∞とすると、(右辺)＝0より、Cn→2(ｎ→∞)
実際に与式を計算すると、
n(2-Cn)(log2-1)+Cn*log{(2/Cn)^n}=2log2-1
lim[n→∞]ｎ(2−Cn)=αと置いて、両辺n→∞で
(log2-1)α=2log2-1⇔α=(2log2-1)/(log2-1)

>>192
解答　問題文中の「存在する」という言葉に乗って
　　　lim[n→∞]ｎ(2−Cn)=αとおく。
　　　lim[n→∞](2−Cn)=lim[n→∞]1/n・(2−Cn)=0・α=0
つまり　Cn→2(n→∞)
　また与えられた積分等式はlogxの部分積分から
　　　2nlog2−ｎCnlogCn−n(2−Cn)=2log2−１・・・�@　とできる。
　　　できるのだが、これだけを眺めていても問題は進展しないので
　　　天下り的だが　−ｎCnlog2+ｎCnlog2(=0)を�@式にまぎれこませ

　　　2nlog2−ｎCnlogCn−n(2−Cn)−ｎCnlog2+ｎCnlog2=2log2−1
これはｎ(2−Cn）→αを使えるようにする意図(続）

>>197
　単に都合よくまとめていく・・
ｎ(2−Cn)log2−ｎ(2−Cn)+ｎCn(log2−logCn)
=ｎ(2−Cn)(log2−1)+ｎCn(log2−logCn)
=2log2−1

上式の最後の２行から
　ｎ(2−Cn)(log2−1)+ｎCn(2−Cn)(log2−logCn)/(2−Cn)
=2log2−１
この場面でn→∞とれば
　α（log2−1)+α・1/2=2log2−1
よって α=2−1/log2(答)

>>197-198
あぁ……凡ミス(´･ω･`)
無理矢理直観的に収束する形に持ってった(Cn*log{(2/Cn)^n})のが敗因か

最近注意力が散漫してきたな……

a^3 + b^3 + c^3 = 4abc（ただし≠0）を満たす整数解a, b, cは存在しないことを証明せよ。

どの二つをとっても互いに素な整数の間違い

a^3 + b^3 + c^3 = 4abc　mod4
0=0

0+1+3=4(0*1*3)=4(4n)(4m+1)(4s+3)=4^4nms+4^3n(3m+s)+4^2n3
=4^3n^3+(4m+1)^3+(4s+3)^3
=4^3(n^3+m^3+s^3)+

>>200
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/po3pl.htm

問　
　(1) 任意の実数u,vについて|sinu−sinv|≦|u−v|となることを証明せよ
　(2) tの方程式t−1/2・sint−x=0　(0≦x≦π）は区間[0,π]において、ただ１つの
　　　解をもつことを示せ
　(3) 区間[0,π]に存在する実数xに、(2)で定まる解を対応させる関数をf(x)とおく
　　　このとき区間[0,π]にある任意の実数u,vについて
　　　　　|f(u)−f(v)|≦2|u−v| が成り立つことを示せ

　(4) 区間[0,π]で連続な関数の列f1(x),f2(x),・・・,fn(x),fn+1(x),・・・を
　　　f1(x)=x, fn＋1(x)=x+1/2・sin{fn(x)} (n≧1) により定義する
　　　[0,π]における連続関数|fn(x)−f(x)|の最大値をAnとするとき
　　　lim[n→∞]An　求めよ。ただしf(x)は(3)で定義された関数とする

　　以上は昭和58年静岡大学　理・工学部の問題３です。以後色々な問題集で使いまわされ
　　たんじゃ？って気もしますが当時としては秀問だったのでは・・

私が立てたスレッドなのに、どうも私以外で盛り上がってるようで・・・・・・。

>>205
解(1) 問いの雰囲気がy=sinxと平均値の定理を漂わせる。y=sinxはv≦x≦uで連続
　　　v＜x＜uで微分可能。とすれば
　　　(sinu−sinv)/(u−v)=cosc(v＜c＜u)が成立。|cosc|≦1であることから　
　　｜(sinu−sinv)/(u−v)|≦1 ∴|sinu−sinv|≦|u−v|
(以上はu≦x≦vで連続、u＜x,c＜vで微分可能　/　u=v でも成立）

(2) g(t)=t−1/2・sint−x (0≦x≦π)などと置いてみる。
　　　g'(t)=1−1/2・cost＞0 つまりg(t)の傾きはいつも正で単調に増加中。
　　　g(0)=−x≦0, g(π)=π−x≧0 でもあり、単調にしか増加しないg(x)が
　　　x軸でただ１つの解しか持たぬのは明らか（終）

(3) (2)で定まる解を対応させる関数をf(x)とおく。つまり
　　　t-1/2・sint−x=0 ⇒ f(x)−1/2・sinf(x)−x=0 と対応。
　　　単独な方のf(x)をﾒｲﾝにf(x)=1/2・sinf(x)+xとし、題意にすり合わせていけば　
　　　

>>207
　|f(u)−f(v)|=|1/2・sinf(u)+u−(1/2・sinf(v)+v)|
=|1/2{sinf(u)−sinf(v)}+u−v|
≦1/2|sinf(u)−sinf(V)|+|u−v|
常套的に(1)の結果を使い・
　　　　　　　＝1/2｜f(u)−f(v)|+|u−v| ∴|f(u)−f(v)|≦2|u−v|

(4) fn+1(x)=x+1/2・sinfn(x) と　(3)の
　　　　 f(x)=x+1/2・sinf(x) とを並べると引き算しかなく
　　　|fn+1(x)−f(x)|＝1/2|sinfn+1(x)−sinf(x)|
　　　　　　　　　　≦1/2|fn(x)−f(x)| (（１）から）

>>208
　　　つまり
　　　|fn+1(x)−f(x)|≦1/2・|fn(x)−f(x)|
　これから＜数列＞対応させ
　　0≦|fn+1(x)−f(x)|≦(1/2)^(n−1)|f1(x)−f(x)|
=(1/2)^(n−1)|x−(x+1/2・sinx)|
=(1/2)^n・sinx≦(1/2)^n
　　　　　　 ∴　0≦|fn+1(x)−fn(x)|≦(1/2)^n
よって　0≦An≦(1/2)^n n→∞のときAn→0 (答）

>>206
去れ

205をいまからやろうと思ったら答えかかれちゃった。

趣向の変わった問です・・
問題
　　座標平面においてx,yがともに整数であるような点(x,y)を格子点とよぶことにする
　　この平面上で、
　　(1) 辺の長さが１で、辺が座標軸に平行な正方形（周をこめる）は少なくとも１つの
　　　　格子点を含むことを証明せよ。
　　(2) 辺の長さが√２の正方形(周をこめる）はどんな位置にあっても、少なくとも１つの
　　　　格子点を含むことを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和40年代　京大）

>>212
(1)
正方形の周及び内部は(a, b) を任意実数として
 a ≦ x ≦ a + 1,    b ≦ y ≦ b + 1
と表される。このとき([a+1], [b+1])なる点を考えると
a < [a+1] ≦ a+1, b < [b+1] ≦ b+1
よりこの点はこの領域内に必ずふくまれる。よって題意は示された。
(2)
一辺の長さが√2 の正方形の内接円を考える。
さらにこの内接円に内接する各辺が座標軸に平行な正方形を考える。
この正方形の半径は1となるが(1)よりこの正方形は必ず格子点を含む。
よって題意は示された。

難問って作るものなの？　それとも偶然出来ちゃったもの？

難問をどう定義するかだな
作業量の多い、多段階の思考を要求するだけの難問なら、作るもんだけど
思考力そのものを要求する問題（そしてこちらのほうが意外とシンプルだったりする）は、ある程度センスがいるんじゃね？

>>205はいちお解けたんだが最後の問題があっけなくて自分を疑ってしまった(´･ω･`)

>>214
両方だろ。
問題を発展・改変(逆を考えたり、条件を増やしたり減らしたり)させていくと出来たりもするし。

この頃はあまり見かけない問いですが・・
問題
　次の(1),(2)を証明せよ
　(1) sinxはxの整式として表せない。
　(2) f(x)は実数全体を定義域とする微分できる関数で、f(1)=0である。このとき
　　　g(x)=f(x)/(x−1) (x≠0のとき)
g(x)=f'(1) (x=1のとき) とおけば、g(x)は連続関数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（昭和40年代　名古屋大）

（1）は、極値を無限に持つ整式の関数を作るためには
二次式で極値一つ、三次式で二つ・・・・となって、
字数が無限になるから無理。って感じでいいのかな？
あと、（2）のg(x)=f(x)/(x−1) (x≠0のとき)
ってのは（ｘ≠1のとき）の間違い？

>>217
修正
（２）（x≠０のとき）というのは（x≠１のとき）の間違いです！

xは0でない実数とする。x-1/xが0以外の整数ならば、x^2-1/x^2は整数でないことを示せ。(一橋大)


♯ちょっと変わった問題じゃない？

f(x)がある区間で微分可能なことと連続なことって同値だっけ？
教科書学校においてあるからなぁ・・・・同値だったら
そのまま自明って言っちゃいそうだけど。
それとも
f(x)がある区間で連続⇒f(x)がその区間で微分可能
だっけ？？

ｆがある区間で微分可能なら連続。
逆は一般に成り立たない。

連続、の前に、「その区間で」を付け足しておこう。

>>222,223
ありがとう。
・・・・・ってことは、ほとんど自明の問題では？
x≠1であれば微分可能な関数の積だから微分可能だし、
1のときも条件より可能だから・・・・・

>>224
連続の定義覚えてないのか？

>>225
受験の関係上急いで数�VC終わらせたかったから、
細かいところは覚えてないです・・・・・

>>217
(1) sin x = (高々xのn次式)とする.
ここで, sin x = 0 の解は無限に存在.しかし(高々xのn次式)=0⇔解は高々n個⇒矛盾　q.e.d.
(2) g(x)=(f(x)-f(1))/(x-1)より, lim[x→±0]g(x)=f '(1)　(微分可能性より)
したがって, x=1でも連続(f '(x)は微分可能⇒連続より, x=1以外の連続性はおｋ) q.e.d.

>>220
スマートな解答が思いつかないよぅ。
x-1/x=l∈Z とする。
xについて解くと、x=(l±√(l^2+4))/2
x+1/x=√(l^2+4) であり、
x^2-1/x^2=(x-1/x)(x+1/x)
=l√(l^2+4)
l^2+4=n^2(n∈N)とおくと、
4=(n-l)(n+l)
明らかにn>|l|であり、ゆえ、このようなl は0以外にありえない。
しかしl≠0であり、よってこのようなnはない。
従って√(l^2+4)は整数でない。　　　□

>>226
f(x)がx=aで連続⇔lim[x→a]f(x)=f(a)

なんか意味不明なことしてた・・・。まぁいいや。

書き込みを募っています。
諸悪の根源を絶やしましょう。

ゆんゆん氏ね集合
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1149728739/


1:ひろゆき＠どうやら管 理人 :2006/06/08(木) 10:05:39
数学に素養のある住人の数学板離れの防止、
そして数学好きの新参者が寄りつきやすい環境を整備するために
数学板の諸悪の根源を排除しましょう。

最近大量に発生している数学と関係のない雑談を繰り返すコテハン、
これを減らしていかなければ今後数学板の存亡に影響が出てくることは間違いないでしょう。

そしてこれらのコテハンを発生・定着させている根源がスレタイにあるコテハンの人物であることがはっきりと分かりました。

数学とは無縁のこのコテハンを数学板から排除することが数学板の正しい活性化のための早道です。
数学好きの真面目な住人の皆様、どんどん訴えて参りましょう。

>>217
問　(1) sinxはｘの整式では示せない
　（解）示せないと言われると、もしかしたら示せるんじゃないか？と思いたくもなるが
　　　　ひとまず
　　　　sinx=ａn・x^n+ａn−1・x^(n−1)+・・・+ａ1・x+ａ0(ａn≠0)・・�@　と表せたとする。
　　　　ところがsinxは何度微分してもsinxかcosxだが、右辺はいずれ０になる。
　　　　よって矛盾。示せない。
　（別）�@の変数xのかわりにx+πとおいてみる。
　　　　sin(x+π)=ａn・(ｘ＋π)^n+ａn−1・(x+π)^(n−1)+・・・＋ａ1・(x+π)+ａ0・・�A
　　　　�@＋�Aとすると
　　　　左辺＝sinx+sin(x+π)=0 しかし 右辺≠0 これも矛盾、よって示せない。
　　(別) �@から　sinx=0, ａn・x^n+ａn−1・x^(n−1)+・・・＋ａ1・x+ａ0=0 の方程式を考えると
　　　　sinx=0の解は x=kπ(kは整数)と無限個ある。だが後者には有限n個しか存在しない。
　　　　これもまた矛盾。いずれにせよ示せない。
　　(2) 連続、微分可能の定義より明らか。　

kingは童貞・包茎・短小・早漏であることを証明せよ

age

talk:>>232 私を呼んだだろう？

y = √3 x

を極方程式で表せ。

>>235
人に物を頼む態度を覚えようぜ。と思ったらこのスレって問題投下スレなのか。
ま、ヒントを言うと偏角が・・・だな

y=x^2を極方程式で表せ。
x^2+xy+y^2-10=0を極方程式で表せ。
いずれも簡単な問題だがな。

このスレ見てて無性に問題作りたくなってきた…


受験間に合うかな…

こんなのどうよ？当たり前のことだが

関数f(x)は単調増加で逆関数f^-1(x)が存在する。
曲線C1:y=f(x) と
曲線C2:y=f^-1(x)
の交点は全て直線y=x　上にあることを示せ

極方程式で表せって
y=r sinθ
x=r cosθ
代入すれば終わりじゃん。

宿題厨は掘っておこうぜ

>>239
b=f(a)，a=f(b)が成り立っていてa≠bとすると
(f(a)-f(b))/(a-b)=-1となって区間(a,b)での単調増加性に反するのでダメだからa=b

a　を任意の定数とする放物線群　y ^ 2 = 4 a x

のすべての曲線と直交する曲線(交点で接線が直交する曲線)

のうちで、点　( 0, 1 )を通るものを求めよ。

2x^2+y^2=1

過程を書かないと、ここのやつらに不親切ですよ。

はい、正解。

y^2=4ax 微分して
y'=4a/(2y) (y≠0)
　=y/(2x)
よって求める曲線の方程式は、
y'(y/(2x))=-1　を初期条件x=0のときy=1　で解いて、
2x^2+y^2=1。

では、数�Vの問題ということで、微分方程式の計算

を、しましょう。まずは　ウォーミングアップの問題です。


y + dy/dx = 1 + x^2

を解きなさい。

y=x^2-2x+3+Ce^(-x)

正解

きみー、公式集の答えの丸写しは、いけないよ。


って、俺が　問題を丸写ししているだけだ　けどねっ。


てへ

さて、ここで問題です。

いままでの問題が載せられていた公式集の書名を言いなさい。

>>250
「中川泰秀と愉快な仲間たち」

科学新興社　　モノグラフ　24　　公式集

なんです。

これを丸暗記しないと、数学なんて　できません。

自演？

xy平面上の点O(0,0), A(1,0), B(0,1)からの距離の和OP+AP+BPを最小にする点Pの座標を求めよ。

>>254
（p,q)=(1/3,1/3)のときMin4/3

まちがえた、ＭＩＮ(2√5+√2)/3

∫[-∞→∞]f(x) dx = 1となり、有限個の局地を持つ関数f(x)を1つあげよ。

δ

>>257
f(x)=1/(π+πx^2) など。

円C:x^2+y^2=1がある。
点A(-1,0)から動点Pがx軸と成す角θ(-π/2<θ<π/2)で飛び出し、
円Cにぶつかるまで直進する。
ぶつかった時、動点Pは、ぶつかった点での円の接線に対し、入射角=反射角で反射する。
ぶつかった後も動点Pは再び円Cにぶつかるまで直進する。
このとき、有限回反射して元の位置Aに戻ってくるθの条件は？

何か4行目（つか全体的にorz）うまい日本語思いつかんかったけど、普通に反射すると思ってくだされ。

>>260
普通に考えたら、正多角形のルートを通って戻ってくるだろうから、
θ＝±(n-2)180÷2n＝±90(n-2/n)　（ｎ＝2,3、・・・・・・・）って感じかな？
他にも変な風に跳ね返って戻ってくることあるのかな？

質問です。
食品製造をしているのですが、どうやって次の答えを出したらいいかわからないので、
誰かお願いします。
30キロの野菜を塩でつけます。
その時塩は、10キロ使います。
で、それを1年間寝かしてから、塩分はを計ると0.8%とでました。
で、それを元に、野菜100gあたりに含まれる塩は何グラムになりますか？
野菜の部分によって違うとかじゃなくて、数学的に。
どなたかお願いします。

普通に書いたら叩かれそうな問題やなｗ

100*(0.8/100) = 0.8g

普通に30000ｸﾞﾗﾑの0。08パーは、240ｸﾞﾗﾑで
100ｸﾞﾗﾑ当たり含有量は2.4ｸﾞﾗﾑじゃないの。

あれ、どっちが正解？

どちらが正しいのでしょうか・・・

0.8%は（おそらく）30キロあたりなんだから264なんじゃないの。

0.8%は（おそらく）30キロ、としても240グラムを30キログラムで割って1グラムあたりの値を100グラムに、
つまり100倍するんだから263なんじゃないの。

30ｷﾛ当たりに0.08%なんだから
30000*0.0008
100ｸﾞﾗﾑあたりは100で割る。

>>255-256
間違いです。

θ = (1/2 + a)π
(a は有理数, -1 < a < 1)かな。

間違ったorz

>>260
点XからOXと角度θをなす方向に発射された動点が円C上の点Yに最初に達するとすると、△OXYは二等辺三角形より∠XOY = π - 2|θ|
よって求める条件は
n(π-2|θ|) = 2mπ
を満たす整数 n, m ( 2 ≦ n,  1 ≦ m)が存在することである。
これより
|θ| = (1/2 - m/n)π

0 ≦ |θ| < π/2 より
0 ≦ 1/2 - m/n < 1/2 ⇔ 0 < m/n ≦ 1/2

よって求めるθの条件は
|θ| = (1/2 - a)π  (aは有理数, 0 < a ≦ 1/2)

>>273
正解です。
纏めてθ=qπ(-1/2<q<1/2は有理数)でもいい・・・かな？
>>Geek
もう少しじっくり考えたらできたかもね。

世の中には知り合いの数が奇数人である人と偶数人である人しかいない。
さて、知り合いの数が奇数人である人の数は奇数か？偶数か？理由をつけて答えよ。

>>274
書いた後に、ふと何週して戻ってきても良いと言うことに気がつき、
じゃあ、有理数倍なら全部いいのかな〜と考えていたのですが、
サッカー見てたら忘れてましたｗ

a_1=a, a_(n+1)=a^a_n
という漸化式で表される数列{a_n}がある。
（aのa乗のa乗の・・・というようにaの右肩に
どんどんaが乗っかっていくような数列）
(1)a=√2のとき、{a_n}の極限値を求めよ。
(2){a_n}が収束するようなaの値の範囲を求めよ。

>>277
(1)くらいは分かれ

>>275
帰納法？

x^x = 1(x≠0)となる複素数xは1のほかにあるか？
ある場合はxを全て求めよ。
ない場合はその事を証明せよ。

>>279
帰納法使わなくても示せますよ〜

>>275
例えばAさんがBさんのの知り合いなら、BさんもAさんの知り合いだから、
「知り合いの関係」の数をすべて足すと偶数になる。
よって、知り合いが偶数人いる人は何人いてもその関係の和は
偶数になるので、知り合いが奇数人の人の関係の和が偶数にならなければならない。
知り合いが奇数人の人が奇数人だとすると、関係の数が奇数になるので矛盾。
よって、偶数人いる。

正解です！

数�V・C−準公式
「はさみうちの原理」
数列｛ａn},{ｂn},｛ｃn}があった。あるいは一見そう見えなくとも問題をよく読むと
実はしっかり３つの数列関係が見て取れる場合（ａn≦ｂn≦ｃn　などと）
「はさみうちの原理」を使え・・と告白してるようなもの。

lim[n→∞]ａn=lim[n→∞]ｂn=α（収束！）⇒　lim[n→∞]ｃn=α なのだと・・

問　ａ、bは0＜ａ＜ｂをみたす定数、ｎは自然数とする。このとき
　　不等式　n・log{2}(b)＜log{2}(a^n+b^n)＜n・lob{2}(b)＋１　を示せ

（ﾋﾝﾄ）0＜ａ＜ｂ　なら　0＜ａ＾n＜ｂ＾n　は当たり前。　受験問題はとかく「連想ゲーム」
　　　問中にa^n+b^nがある。なら 0+b^n＜a^n+b^n＜２b^n を作る！利用！

>>284
馬鹿ですか？

>>284
修正　数列の配置
　　　ａn≦ｂn≦ｃn →　ａn≦ｃn≦ｂn 　判読お願い

サッカーがらみで作ってみた問題。

一辺の長さが a の切頂20面体(サッカーボールの形)の体積を求めよ。

>>284
それﾋﾝﾄって言うか答え。

一辺の長さが a の切頂20面体(サッカーボールの形)に内接する球の体積を求めよ

大中小三つのさいころを同時に投げ、出た目をそれぞれa_0, b_0, c_0とし、
x_0 = a_0/2π、y_0 = b_0/2π、z_0 = c_0/2πとする。
今、半径1の円C_0がある。
この円を内接円とし、頂点がA_0 B_0 C_0の正三角形（面積をS_0とする）の内角をそれぞれ二分（にぶん）する線を考え、円C_0とぶつかる点をそれぞれA_1, B_1, C_1とする。
またこの二分線と三角形がなす大きいほうの角度をそれぞれx_0, y_0, z_0とする。
A_1, B_1, C_1を結び、出来た三角形に内接する円をC_1とする。

その後さいころを振り、出ためにより同様に角度x_1, y_1, z_1を定め、二分線を引く。
以後同様の操作を行い、三角形と内接円を作っていく。


Snが最大、最小になる確率を求めよ。
なおさいころの出る目は同様に確からしい。

ごめんCがかぶってるな
円をOとでもしてくれ

>>277
(1)2
(2)0<a<=e^(1/e)

>>284
問（続）さらに極限値 lim[n→∞](ａn+ｂn)^(1/n) を求めよ

「連想」・・ある一つの物事を見聞きしたり考えたりした時、その事に何らかの点で
　　　　　　関連する他の物事や考えが思い浮かぶこと。また、その物事や考え（金田一編）

>>293
293の不等式をn(>0)で割って
log_{2}b<log_{2}(a^n+b^n)^(1/n)<log_{2}b+1/n→log_{2}b
∴(a^n+b^n)^(1/n)→b

ってan,bnか。a^n,b^nの間違い？

293の不等式じゃなくて284の不等式だった。

>>293
an,bnは積なの？それともどこかでそんな数列出てきた？

>>293
ａn,ｂはa^n,b^nの間違いです　ほんとごめんなさい。
やばすぎ・・

数�VＣ (不等式など・・)
Ａ≧Ｂ，f(x)≧g(x),　x≧y　 etcなどと巷に不等式は氾濫しがち。
時と場合によっては受験生の人心を惑わすこともあったりして・・
何気なくその証明あたり出たらどうする??

〜不等式の証明〜
不等式　f(x)≧g(x)を示すときは　f(x)−g(x)≧0 を証明すればよい。
この場合
　　　F(x)=f(x)−g(x) としておいて　F(x)の増減調べ、確かにF(x)≧0だな
　　　などと証明するのが無難。
応用例として数年前の入試にこんな問いが・・

問　(1) t＞0のとき不等式 logt≦t−1 が成り立つこと証明せよ
　　(2) t＞0のとき不等式 logt≧1−1/t が成り立つこと証明せよ
　　(3) x,y＞0のとき不等式　xlogx≧xlogy+x−yが成り立つこと証明せよ
　　　　　　ﾋﾝﾄ(2)　 (1)でt=1/uとでもおく

微分方程式　y^2 + 1 = dy/dx　を解いてください。

x=arctany+c(c:積分定数）

y=taｎx　でよくね？
あと積分定数はつけちゃだめだろ。

初期値が無いから不定性が残る

>>299
(1)f(t)=t-1-logt (t>0)とおく
　 f'(t)=1-1/t
　t=1でf(t)はMin.0
　よってf(t)≧0　即ち
　 logt≦t-1
(2)(1)よりt=1/uと置けば u>0のとき
　 -logu≦1/u-1
　ゆえ、uを改めてt(>0)と書き換えて
　logt≧1-1/t
(3)t=x/yとおけ。(2)より
　 logx-logy≧1-y/x 　整理して
　xlogx≧xlogy+x-y

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

うちの学校のテストではｎ次正方行列のn→∞の話が出た
さすがにマニアックだったな

>>306
なんじゃそりゃ？n乗なら（マニアックではないが）わかるが。

つヒルベルト空間

いや、高校でどんな問題を出したのかって聞いているんだが？

まあ学校としか書いてないところがすごい怪しいがｗ

あたりまえだが物事にはヤマがある。旬なサッカーでいえば今夜の日本Ｖｓクロアチアが
ヤマ中のヤマ。数�VＣでいえば　f(x)≧g(x) （Ｆ（ｘ）＝f(x)−g(x)とし増減≧０)
の不等式証明のほか　方程式ｆ(ｘ)＝ａ（ａは定数）　から実数解の個数、ａの範囲
を求めよというのがやはりヤマ。
たとえば　ｆ(x)＝ａの問題の処理で
y=f(x)
y=a と２分け置きし（はじめからうまくこう置けず、変形結果としてこれを求める
　　　　　　2段構え問もあるので要注意）
y=a(ｘ軸と平行定数グラフ）をy=f(x)に対しスライド、移り変わる交点数・範囲を睨んじゃう。
過去の入試問にこんなのが
問）(1) x＞0, logx≦2/e・√x の成り立つこと示し、これを利用して
　　　　lim[x→∞]logx/x=0 を示せ
　　(2)　cが0＜c＜1/e の定数なら、方程式logx/x=c　の相異なる実数解の個数は２であること
　　　　　示し、この解がα、2αであるときαとｃを求めよ
どうでもいいが
サッカーにおける変形・展開・スピード・パワー・リズム・テクニック・集中力・攻撃力・爆発力・ひらめき
強さ・変幻・華麗・自在・ありえなさ・奇跡・・
意外と数学とつながるのでは??　ダメかな
　　　　

√xは分母にかかってるの？分子にかかってるの？

>>312
分子です、logx≦(2/e)・√x

（1）　f(x)=(2/e)√x-logx　とすると、
　f´(x)=1/(e√x)-1/x=1/ex(√x-e)　となり、
　f´(x)=0 の解は　x=e^2 のみであり、
　x＞e^2の時はf(x)は単調に増加、x＜e^2の時はf(x)は単調に減少する。
　ここで、f(0)=∞、f(e^2)=0 より、f(x)は　(e^2,0)で極小値を取り、
　x＞0の範囲でf(x)≧0　である。よって、logx≦(2/e)√x・・・�@は示された。

　ここで、�@より、xが無限に発散する時、logxと(2/e)√xの
　差が無限に広がるので、lim[x→∞]elogx/2√x＝0　である（これが一概にいえるかが自信ない････）。
　x=√t　とおくと、t＞1の時、0＜logx/x=logt/2√t＜elogt/2√t
　よって、挟み撃ちの原理よりlim[x→∞]logx/x=0　となる。

（2）
　f(x)=logx/x　とすると、
　f´(x)=(1-logx)/x^2 となり、f(x)=0 の解はx=e　のみであり、
　x＜eの時、f(x)は単調に増加、x＞eの時、f(x)は単調に減少するので、
　y=f(x)　のグラフは(e,1/e)を極大値として、そこから左右に向かって
　単調に減少していくようなグラフなので、y=c(0＜c＜1/e)の解は
　常に二つある。

　また、その解がα、2α(0＜α＜e)の時、
　logα/α＝ｃ、log2α/2α＝ｃより　logα/α＝log2α/2α
　∴2logα＝log2α ∴α^2＝2α　∴α＝0,2　ここで、(0＜α＜e)より
　α＝2　よって、ｃ＝log2/2 となる。また、このｃは
　c＝log2α/2α＝log4/4＝2log2/4＝log2/2　も満たしている。
　よって、α＝2、ｃ＝log2/2　となる。

f(0)=∞？
あと、極小値を(e^2,0)でとることから�@は示されまい。
lim[x→∞]logx/x=0は、
不等式を両辺x>0で割って、x→∞なのでx>1として十分で、
このときlogx/x>0なので
0<logx/x≦2/(e√x)→0

さらに(2)もちと説明不足かなぁ。
(1)によりlim[x→+0]f(x)=-∞と、lim[x→∞]f(x)=0も言うべきであろう。たぶん。

>>315-316
f(0)=0-(-∞)=∞　だと思いますけど･･････？

極小値の部分については、以下のように、

極小値が(e^2,0)であることから、十分に小さい区間[a,b](a＜e^2＜b)において、
f(x)≧０であることが言えて、0＜x＜aの区間では、（もっといい表現があるかもしれないが・・・）
左に向かって単調に増加していて、x＞bでは右に向かって単調に増加するので、
x＞0の時、f(x)≧0　となる。　とした方がよかったですね。

＞＞不等式を両辺x>0で割って
・・・・・その通りですね。なんかうまくまとまらないと思ってたんですけど、
思いつきませんでした。

（2）は、グラフの概形が書ければよかったのですが、言葉足らずでしたね。
まぁ、実際に紙に書いて解く時は（1）の極小値の表現も含めあまり問題ないかと・・・・

>>Ｇｅｅｋ
極小値じゃなくて最小値じゃないかなって意味で書いたんだけど、
単調増加、単調減少のことが書いてあったから問題なかったかも。
ごめん。

お前ら、参考書を丸写ししているんじゃいけないよ。

１．中心角２θの扇形の重心Ｇと中心点Ｏとの距離ｄを求めよ。
２．ｌｉｍ［θ→0］ｄを求めよ。

>>319
オリジナルの問題作っても、誰も解いてくれないじゃん

(y/x) + (z/y) + (x/z) = 3
を満たす整数x,y,zを全て求めよ。

んじゃ、オリジナル問題。
面白い問題スレにも投下したけど、誰も解いてくれない。。。
質問じゃないんで、マルチでもいいだろ？

答えは持ってるし

>320
半径がわからんとできないじゃん？
半径がrだとすると

１．2rsinθ/3θ
２．2/3

s　i　n　θ　 / 　3　θ　　のグラフは、どうしてあんな変な形のなるのですか　　？？

○　変な形になるのですか

グラフの形がなぜそうなるのか、知りたければ数を代入して言ってグラフを描くのが一番いい

>322
x=y=z　じゃねーの？　見るからにつまんない問題だから誰も解かないと思うんだが。　

自明なx=y=z以外にあるか、って問題じゃないの？
面白いと思うけど。

一応……
x = 1, y = 4, z = -2
(4/1) + ((-2)/4) + (1/(-2)) = 3
なんかが答えだったりして


もちろん、他にもある。全て求めてちょ

>>322
ｘｙｚ＜0

p,qは自然数で(7p-q^2)/(pq^2+q+7)は整数となるとき(p,q)をすべて求めよ。

>>331
(p,q)=(11,1),(49,1),(7k^2,7k) (k=1,2,・・・)
しかし良く練られている問題でつね・・。どうやって作ったのでしょうか？

>>322
解答ｷﾎﾞﾝ

フト思う、日本が決勝ﾄｰﾅﾒﾝﾄ進出を果たすためには
どこでどうしていればよかったのか・・・（ﾌﾞﾗｼﾞﾙ戦を２−０で勝ち抜けるというのは
今のﾎﾟﾙﾄｶﾞﾙでもムリっぽい）
翻って数�VＣである
「どこでどうしていれば・・・」　この場面は受験の数学でも当然姿を変え現れてくる。
ex
　・なぜ不等式の見え隠れする決定的シーンで挟み撃ちを使わなかったor使えなかったのか
　・結局�VＣ極限ではlim[θ→0]sinθ/θ＝１を逸脱出来ぬのに、何故それを気づかないのか
　・関数の大小比較で微分処理まで行きつつも、次問でその変数など変換応用できないのか
　・変数式ﾌﾟﾗｽ定数の方程式から　変数式＝定数　と何気なく定数を別個に何故出せないのか

挙げればきりがなくもないが、決めるところで決めないと勝ち残りが難しいのは
何もサッカーに限った話ではない。　残るチームはその場面、場面でシュート一閃、スパーク
しまくっている。あるいは網の目を通すようなパスを重ねいつのまにかゴール目前にしのび寄る。
それはトリックでも何でもなく、まぎれもない現実だが・・・
　　

何気なく？

縦と横の長さがn,mの正方形のカードが無数に並んでいる。
今あるカードの端を原点O(0,0)とし、そのカードの一辺と平行にx軸、垂直にy軸を設定してx,y平面を考える。
x>=0の範囲でx軸上を動く点Aと、第一象限上を動く点Bがあり、△OABの面積をSとする。
△OABと一部でも重なるカードの枚数が最大になる時のA、Bの座標をそれぞれ、α、βとする。
ただし、カードの端のみが触れている場合は、重ならないと数えるものとする。

(n,m)=(1,1)、S=100のときのα、βを求めよ。
(n.m)=(2,1)、S=150のときのα、βを求めよ。

正方形のを消してくれ、すまん。

(10^(-100),0),(0,2x10^102).

(y/x) + (z/y) + (x/z) = 3
a+b+c=3
abc=1

axbxcの立方体からsxtxuの立方体を切り出すとき、何通りの方法があるか

p,qは自然数で(7p-q^2)/(pq^2+q+7)は整数となるとき(p,q)をすべて求めよ。
GCD((7p-q^2),(pq^2+q+7))=(pq^2+q+7)

(7p-q^2)=m(pq^2+q+7) modp
-q^2=m(q+7) modp
(7p-q^2)=m(pq^2+q+7) modq
7p=7m modq
p=m modq

いま　f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)、a＜b＜c　とする。方程式f'(x)=0は
a＜x＜b,b＜x＜cの範囲に、それぞれ実数解を持つことを示せ
（やばい、やばすぎる・・ＢＳがこわれた　
　関係ないですが）

>>343
f(a)=f(b)=f(c)=0および平均値の定理

ワールド・カップ・・　縦にも強い、横にも強い、空中戦にも強い、そしてスピードのある
ブラジルをどこが止めるのか。クリスチアーノ、デコ、コスティーニャを欠いたポルトガルが
イングランドにやはり敗れるのか・・　興味の尽きないワールド・カップもいよいよ佳境に

話は変わるが７０〜８０年代、受験界を席巻した数学予備校講師に土師政雄という先生がいた。
どことなく哀愁を漂わせ、偽名で出講する大学教師も一目置く先生は利己的と思えるほど自身
の事は語らなかったが、だだ先生の微積の最終講義で東大は共通一次を（1984年当時）二次の
足切りのためにしか使わないから、本当に自分のやりたい事があるなら何があるかわからない、
初志を貫けといったニュアンスのことを言われ、当時の受講生みんなが励まされた想い出がある
とあんまり数�VＣに関係ないお話・・

掃除してたらプリント出てきたから暇だったら解いて
【問題文】
　n個の異なる無理数　a1,a2,･･･,an がある。a1,a2,･･･,anから、
　重複を許すことなく適当なn-1個を選べば、それらの和が無理数に
　なることを示せ。ただし、nは２以上の自然数とする。

よく車のナンバーを足して１０にするゲームってあるじゃないですか
それで前４４４４ってあって
それをどうしても１０にすることができません
誰か教えてください

>>347
無理と思う

どのような式を使っても駄目でしょうか？

>>349
四則演算と括弧だけでなくても良いのであれば可

おぉできますか
四則演算と括弧も可だったらどんな式になるんですか？

読解力30

四則演算と括弧だけじゃなくても可の間違いです
すいません

4+4+√（2*2)

4+4+√（√(4*4))

３５５さんありがとうございます

(44-4)/4

悲しく敗れたポルトガル・・
ワールドカップが終わってゆく

その前に、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

　相対的に見れば時間が止まり空間が歪むように思えるが、絶対的神から見れ
ば時間は不変で空間は歪まない。なぜ原子は同じく振動して同じ時を刻むのか。
それは神の胎動に基づくからである。物質の粒子・反発力は物体の性質であり、
物質の波動・引力は霊体の性質なのである。
　科学はフリーメーソンが神を否定するために考え出した妄説（大嘘）　
　最初に狂牛病になった牛は病原体プリオンとはまったく関係がない。狂牛病は、
牛をと殺して食い物にし、そのうえ、草食動物の牛に牛の死体を共食いさせた事が
原因で発生した病気です。なぜ、同種の共食いで狂牛病になるのか、科学で解明で
きますか。
　鶏は約３ヶ月、豚は半年、牛は１年。皆さんこれは何の年か分かりますか。人間
の食に給するためのこれらの生物の寿命です。これらの生物がと殺される時に、い
くら泣き叫んでも無駄です。人間の力には勝てません。すべての生物が人間の横暴
によって、地獄の苦しみにあえいでいるのです。神がこの世に存在するのなら、神
はけっしてこの状況を見過ごす筈がありません。抗がん剤が効かないがん、狂牛病、
薬の効かないエイズやインフルエンザの出現、地震などの天変地異が頻発するのは、
神の裁きが近い事の現れであり、神は警告から実行の段階に入ってきているのです。
　ボウフラは蚊の卵からかえるのではなくて、汚水からわくのです。梅雨時、玄米
に蛾の幼虫がわくのは胚芽が虫に変化したのであり、蛾の産卵口は籾殻を貫通する
事が不可能です。がん細胞は穢れた血液（成分が豚や牛などの死体）が細胞に変化
する時に、殺された動物たちの怨念がそこに宿り、仇を討つために人間を取り殺そ
うとしてがん細胞として働くのです。戦争はこれらの怨霊が戦争指導者に憑依して
行わせるもので、弱肉強食の悪法を行っている限り戦争は永久に無くならない。
　この世の森羅万象は神の意志（心）によって働いているのです。幽霊、超能力、
輪廻転生は真実であり、科学が嘘である事の証拠です。怪我した場合傷口が元通り
修復できるのは、神の修復命令に細胞が従うからであり、統制の取れた各細胞の連
携動作はどんな連絡方法によって可能となるのか。科学では説明出来ません。

　神智学のすすめ
　私は若い頃から、教科書に書かれている事柄に疑問を持ち、色々悩んできました。
　１たす１がどうして２になるのか。真剣に考え込みました。すると、数が不変な
物理的な事象でしか成り立たないことに気づきました。
　１個のりんごの存在する状態の中にもう１個のりんごを加えた結果が、２個のり
んごになると言う事です。
　掛け算の逆の演算が割り算になるということの証明は、２列に並んだサイコロの
３組の総数は６個であり、６個を３組に等分するすると２個になるということで証
明できます。数学とは物理的事象を記号化して、論理的に築き上げられた学問だと
分かりました。
　しかし、負の数の概念が理解できないのです。１個のりんごにマイナス１個のり
んごを加えると０（ゼロ）となる。このマイナス１個のりんごとは何なのか。１個
のりんごの存在を消すマイナス１個のりんごは物理的に存在するのか。この世の物
理的現象では、物質は姿を変えることがあっても、決して存在が無くなる事は無い
のです(エネルギーに変わっても)。だから、負の数など存在しないのです。
　アインシュタイン博士は、光の速度が観測者の運動とは関係なしに、たえず、一
定であるという仮説の基に、特殊相対性理論を打ち立てました。しかし、私は疑問
とせざるを得ない。光の速度が一定なら、光速度で運動している物質を光速度で逆
方向に運動している観測者が見れば、２倍の光速度になる筈です。そのようになら
ないのは、光が物質の動きに反応して速度を変えるから、観測すると一定の光速度
になるのです。ちょうど、物質が動こうとすれば、それに逆らって空間から慣性力
が働くように。フレミングの右手の法則も物質の動きに逆らうように電流が流れる。
　まるで、意志を持っているかのように物質の動きに反応する。
　怪我などで生体に傷が出来た時に、それが元どおりに修復出来るのはなぜなのか。
修復作業の命令を出しているものは何なのか。その命令がどのようにして各細胞に
伝わるのか。
　この世の森羅万象は神の意志（心）によって動いているのです。超能力現象はこ
の原理によって人の意志でも発揮出来る事があるのです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿　 　 　　 　 　　 　 　　 ＿＿ ＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠＿_∠＿_∠＿_∠＿.∠＿..／ |　　　　　　　　＿＿∠＿_∠＿_∠l＿_
　　　　　　　　　　　　　　　∠＿_∠＿_∠＿_∠＿_∠＿_／|　 |　　　 　 　 ∠＿_∠＿_∠＿_∠＿_／.|＿
.　　　　　　　 　 　 　 　 ∠＿_∠＿_∠＿_∠＿.∠＿.／|　 |／| 　 　 　 ∠＿_∠＿_∠＿_／ 　 ／|　 |／|
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　　　　　　　　＿＿ _|　 　 |＿＿|＿＿|＿＿|＿＿|／|￣￣|　 |　 　 ∠＿_|＿＿|＿＿l／ 　 ／|　 |／|　 |
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　　　　　　|￣￣|￣ .|　 　 |／|　 | 　|　　　　|＿＿|／|　 　 |　 |　　　|＿＿|＿＿|＿＿|＿＿|／|　 |／|
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　　|＿＿|＿＿|＿＿|＿＿|／　　　　　　　　|＿＿|／　　　　 　 　 　 　 　 |＿＿|＿＿|／
　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B
この立体の体積、表面積を求めよ
この立体をABを軸として回転させた場合の体積を求めよ

すまん大事な条件をひとつ忘れていた
ひとつの辺の長さは3^(1/3)　（3の三乗根）で

計算量が鬼だｗ

物事には流れがあり、成るものは成るし成らないものは成らないとは言われる。
空前の混戦を極めたワールド・カップ。予選リーグ、エンジンのかからなかったフランスが
あのスペイン、ブラジル、ポルトガルの強烈な攻撃をかいくぐり、ドイツを劇的な展開で退けた
イタリアと決勝へという流れへ。　奇跡の筋書きの結末は・・

強引だが数�VＣ的には、流れを引き寄せるために必要なのは超攻撃力でも天才的なひらめきでもなく
日頃の真摯な地味な基本・・なのか

体積は暗算でもできるが、表面積が面倒だ

特定できない気ガス

中学生の家庭教師をしています。私大文系１年女子です。どなたか下記の問題を
解ける方がいたらご教示ください。

Ａ、Ｂ両地間を往復するのに、行きは毎時６キロ、帰りは毎時４キロの速さで歩
き、往復するのに５０分かかった。Ａ、Ｂ両地間の道のりをxキロとして方程式
と道のりをそれぞれ求めよ。

鶴亀算

取りあえず暗算でx=2

x/6 + x/4 = 50/60
x = 2

一応説明すると
ｘの距離を時速４キロでかかる時間＋ｘの距離を時速６キロでかかる時間＝５０分
てこと。

こんな問題できなくてよく家庭教師できるなｗｗｗｗｗｗｗ

てか女子と書く意味ってあるのか？

それかけばﾚｽ返って来やすいとでも思ったんじゃねえの？

生徒がかわいそうでならないな
こんな先生に教えられちゃ、育つものも育たなくなる
教育者ではなく破壊者だ

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

このときばかりはkingを許す

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

x=2Πr
ax/6+(1-a)x/4=50/60

つうか正直に自分は数学は出来ないと言ったほうが良いと思われ
二次方程式とかそれで解けるわけ無いから

あるグラフが、解をある範囲に持つ時の条件、範囲を求める問題で、
数直線上でいっぱい範囲考えなあかんヤツ出してくれーー

>>382
希望する出題範囲は？

融合問題でいい。
ただ、この系統の問題は数�T辺りだが。

>>384
じゃあ，一応，文科の範囲で解けるものにします。
僕が厨房時代に作った遺物だけどね・・。


[問題]

aを実数の定数とし，x+y+z=a，x^2+yz=2a を共に満たす実数x，y，z
を考える．xy+yz+zx の最大値をM(a)とするとき，M(a)を求めよ．

>解をある範囲に持つ時の条件、範囲を求める問題
>数直線上でいっぱい範囲考えなあかんヤツ

出題に関して、希望するこの２条件は共に満たしていると思う。
答が必要ならあとでうｐしときますよ。今はちょっとオチます。
まあ勉強ガンガレ。

sage進行でやったほうがみんなに
迷惑がかからんのでsage進行でね。

ゴメソ。何か自分が思ってるのと微妙に違う上に解いてみたけどわからん。ｗ
x^2+yz=2aの使い方がわからない。

トリップのない偽者だわ

ごめん。本人です。

おーい

早く解けやカス

>>388-390
この問題は色々な知識の確認に使えるので，ぜひ復習してみなされ。
実を言うと偶然うまく作れた問題でした。
今解けなくてもおｋ。入試前に解ければいいんだから・・。
じゃあ今からうｐしていきます。

>>393
いや、まじでこのまま受験するしオレｗ答え教えてｗ

>>394
ちょっと待ち。すぐうｐします。

y+z=a-x，yz=2a-x^2 であるから，
y，zは，tに関する2次方程式 t^2+(x-a)t+2a-x^2=0・・・ア の2解である．
したがって，アの判別式をDとおくと，D≧0 ⇔ 5x^2-2ax+a^2-8a≧0 が成立する．
ここで，f(x)=5x^2-2ax+a^2-8a とし，2次方程式 f(x)=0 の判別式をD'とおく．
また，
xy+yz+zx
=(y+z)x+yz
=(a-x)x+2a-x^2
=-2x^2+ax+2a
=-2{x-(a/4)}^2+(1/8)a^2+2a
であるから，g(x)=-2{x-(a/4)}^2+(1/8)a^2+2a とおく．

続く

続き


不等式 f(x)≧0 を満たす実数xに対し，g(x)の取りうる値の最大値がM(a)であるから，
はじめに，不等式 f(x)≧0 について考える．

[1] 任意の実数xに対して，f(x)≧0 が成立するとき (D'≦0 のとき)

D'≦0 ⇔ a≦0，10≦a．
このとき，xは任意の実数値をとることができるので，
g(x)は x=a/4 のとき，最大値 g(a/4)=(1/8)a^2+2a をとる．

[2] ある実数xに対して，f(x)≧0 が成立するとき (D'＞0 のとき)

D'＞0 ⇔ 0＜a＜10．
このとき，f(x)=0 の2解をα，β(α＜β)とおくと，
f(x)≧0 ⇔ x≦α，β≦x となる．したがって，この範囲におけるg(x)の最大値を考える．


続く

続き


xy平面上において，放物線 y=g(x) の軸は x=a/4 であり，f(a/4)=(13/16)a^2-8a であるから，
次の2通りに分けて考える．
　
[A] f(a/4)≦0，すなわち，0＜a≦128/13 のとき

放物線 y=f(x) の軸は x=a/5 であり，このとき，α＜a/5＜a/4≦β となるので，
x=β のとき，g(x)は最大値をとる．よって，g(β)を求める．
-2x^2+ax+2a=(5x^2-2ax+a^2-8a)(-2/5)+(a/5)x+(1/5)(2a^2-6a)
であるから，この式に，β=〔a+2√{a(10-a)}〕/5 を代入して，
g(β)=(a/5)β+(1/5)(2a^2-6a)=(a/25)〔11a-30+2√{a(10-a)}〕となる．

[B] f(a/4)＞0，すなわち，128/13＜a＜10 のとき

このとき，a/5＜β＜a/4 となるので，g(x)は x=a/4 のとき，最大値 g(a/4)=(1/8)a^2+2a
をとる．


以上より，
0≦a≦128/13 のとき，M(a)=(a/25)〔11a-30+2√{a(10-a)}〕
a≦0，128/13≦a のとき，M(a)=(1/8)a^2+2a
・・・答

うｐ完了。
ぜひ復習してみなされ。2次関数の総まとめ的な問題。

>>394
受験がんがりなされ。ではまた問題の希望があればいつか。

長…具体的に何をやってるの…？

f(x)とg(x)の共有点を見つけてるのか・・・？

>>400
ある2次不等式によって定義域が定まるとき，
その定義域における別の2次関数の最大値を求める問題です。

階層的に複雑化しただけの問題なので段階を踏めば(ゆっくり上の解答を一つ一つ読めば)
必ず理解できると思います。
ただ，意図的に文字係数を導入して複雑化したので，やや作為的というか
人工的な問題だけど・・

>>401
f(x)=5x^2-2ax+a^2-8a，g(x)=-2{x-(a/4)}^2+(1/8)a^2+2a
がありますよね。つまりこの問題は

「f(x)≧0 を満たす実数xに対して，g(x)の最大値をM(a)とする。M(a)を求めよ」
という問題と同じです。

この問題の最大の要はaの範囲が 0＜a＜10 のときです。

aが 0＜a＜10 の範囲にあるとき，
f(x)≧0 ⇔ x≦α，β≦x・・・★
となります。(α，βは f(x)=0 の相異なる2実数解でα＜β)
xが★の範囲を動くとき，g(x)の最大値を求めます。
そのために，x=a/4 がx=a/4 が★で定まるxの範囲に含まれるかどうかを
調べる必要があります。つまり，βとa/4の大小を調べなければなりません。
そのために、x=a/4 をf(x)に代入し，f(a/4)の正負を調べているのです。

>>404の文章の一部訂正。

誤　そのために，x=a/4 がx=a/4 が

　　　　↓
正　そのために，x=a/4 が

この問題を解く際に，多重構造的な場合分けが生じる理由は，
偶然ではなく，意図的にそうなるように係数をいじって作題したためです。

そういう意味ではあんまり「教育的」な問題じゃないことは確か。
文字係数の数値をいじって作った人工的な問題。ただ，2次関数の
総まとめとしては使えると思います。

>>406
良問であることは認める
しかしβの相手はしないことをお勧めする

>>407
βさんの受験成功を祈りつつ去りますね。

なるほど…
複雑だなぁ。。

ところで積分の基礎的な難問ない？？
∫1→0sinxを積分せよ　みたいな、系統で。

難問かどうか知らないけど

∫[0,2π] √(1-(cosx)^2)dx

なんてのどうよ？

０≦ｆ（ａ／４）が成り立つかどうかで分けたほうが簡単。

>>410
それて単純にsinxの∫だよな？

>>412
なら、答えはいくつになる？

単純に、
半径π/2の半円の面積じゃダメかな・・・？

>>414
どうやって計算したよ？
過程書いてみ

>>415
単純にsinのグラフを想像して、
で、πまでだから半円じゃないかなーと。
計算はしてない。

f(x)=x^xとする
問一　x>0の時、増減凹凸を調べグラフの概形を書け
問二　f(i)を求めよ　ただしiは虚数単位である

>>416
思いっきり間違ってるぞ。普通に計算してみろ。

>>416
侈多多

416の頭が単純

4∫[0,π/2]sintdt

>>418
なんで？理論的には合ってない？

>>420
だってこの問題解いた時全く考えてないし。

いいわけはいい。はや勉強せい

なんで間違ってんの？

自分の間違いを素直に認められないから。

いや、どう見ても理由聞いてんだろバカ。

∫0→2π√(1-(cosx)^2)dx
∫0→π(sinx)dx∫+π→2π(-sinx)dx
0→π(-cosx)+π→2π(cosx)
-cosπ+cos0+cos2π-cosπ
=4

なんでダメなの？半円では。

sin xの波のグラフの、y座標負の部分を折り返しただけじゃん
円にならないじゃん

ふぁ

真性の猿だな

ふぁらでーのでんじゆーどー

つまんねーよカス

βきめぇからもう消えろよ

>>433 434
めがどれいん

>>417
i^i=√(exp((4n-1)π))

追加

n∈Z(整数)

i^iって�VＣ越えてね？

高校数学じゃ無理
定義されてないから

０＜α＜２π をみたす定数αと
関数ｆ(ｘ)＝ａsinｘ ＋ｂcosｘ ＋ ｃcos2ｘ に対して
Ｉ＝∫[0→α]ｆ(ｘ) dx とおく。実数ａ,ｂ,ｃ が
０≦ｆ(０)≦１
０≦ｆ(π/2)≦１
０≦ｆ(3π/2)≦１ を満たすように
変化するとき、Ｉの最大値、最小値を求めよ。

問) 座標空間において、x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ≦1，ｙ≧０，ｚ≧０
を満たす点( ｘ,ｙ,ｚ )の全体をＤとする。また、ｚ軸と平行な
中心軸をもち、ｙｚ平面に関して対称な楕円柱をＫとする。
ここに、楕円柱の中心軸とは、底面の楕円の中心を通り底面に
垂直な直線のことである。このときＤに含まれる楕円柱Ｋの
最大値をもとめよ。

『�B一辺の長さが３である２つの正三角形ＡＢＣ，Ａ1Ｂ1Ｃ1を
それぞれ底面、上面とし、高さＡＡ1＝ＢＢ1＝ＣＣ1＝１の
三角柱 ＡＢＣ−Ａ1Ｂ1Ｃ1 がある。
この三角柱の側面の３つの長方形(周および内部)を、
三角柱の内側に折り曲げていくことを考える。
ただし、側面領域は互いにすりぬけるものとする。

すなわち、まず長方形ＡＡ1Ｂ1Ｂを、
辺ＡＢを軸にして頂点Ｃの側に
底面ＡＢＣと同一平面に来るまで９０°回転させる。
このとき、長方形ＡＡ1Ｂ1Ｂが
通過してできる領域をＤ(AB)とする。

同様に、長方形ＢＢ1Ｃ1Ｃ，ＣＣ1Ａ1Ａを、
それぞれ辺ＢＣ，辺ＣＡを軸にして、
頂点Ａ,Ｂの側に９０°回転させたときの通過領域を、
それぞれＤ(BC)，Ｄ(CA)とする。

(1)３つ領域の共通部分の体積
Ｄ1＝Ｄ(AB) ∩ Ｄ(BC) ∩ Ｄ(CA) の体積Ｖを求めよ。

(2)領域Ｄ(AB)，Ｄ(BC)，Ｄ(CA)の和集合
Ｄ2＝Ｄ(AB) ∪ Ｄ(BC) ∪ Ｄ(CA) の体積Ｖを求めよ

問)半径１の円Ｃと、周の長さが円Ｃの周の長さに等しい
正三角形ＡＢＣがある。円Ｃの円周上に点Ｐがあり、
最初は三角形の内部に円の一部が含まれないように点Ａと点Ｐ
が接している。正三角形ＡＢＣを固定したまま、
円Ｃをこの正三角形の周に沿ってすべらずに回転させ、
この正三角形の外側を一周させて元の位置に戻すとする。

(1) この軌跡の曲線の長さを求めよ。
(2) この軌跡で囲まれる面積を求めよ。
(3) 辺ＢＣの中点を点Ｍとする。この軌跡を直線ＡＭを軸として
回転させて出来る立体の体積Ｖを求めよ。

ｘｙ平面で ｙ＝(√x)cosｘ　と ｙ＝(√x)sinｘ
とで囲まれる図形のうち
π/4≦ｘ≦5π/4　の範囲にある部分を
ｘ軸にまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。

以下xyz空間内の立体を考えてください。
x^2+y=xを満たす曲面のうちで
x^2+y^2+z^2≦1
を満たす部分の面積を求めよ。

書き込めたか不安なのでもう一度投稿します。

以下xyz空間内の立体を考えてください。
x^2+y=xを満たす曲面のうちで
x^2+y^2+z^2≦1
を満たす部分の面積を求めよ。

>>445-446
宿題は自分でやろうねｗ

数学の世界があるとしたら、そこはどんな景色をしてるんだろう
数�VＣを習う高校生にとってみれば、森川美穂「教室」（85年7月ﾘﾘｰｽ)似の世界なのかも・・
昔、ガロアという天才がいたけれど、どうして中学生の数学で足りる群論の登場が19世紀の
彼まで待たされたのか。なんとなく積分に感づいたアルキメデスがうすうす解かってても
よかったような気も
天才はその扉を神が開けるけど、それ以外の人は自分の情熱で開けるって事なのか
新学期、連休、Ｗカップ、そして夏休み
早すぎる、時の流れは・・

雑談はここでどうぞ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1150074000/l50

宿題、大変かもしれないけどひとまず頑張ろう
for ｲｯﾍﾟ

申し訳ないﾃﾞｽ