分からない問題はここに書いてね２４０

>>225,337
S[n](0)=0, S[n](x)-S[n](x-1)=x^n (x≧1) を示せばよい
S[n](0)=0 は明らか

数学的帰納法により S[n](x)-S[n](x-1)=x^n (x≧1) を示す
n=0 のとき明らか
n-1 (≧0) まで成立しているとする
S[n-1](x) の原始関数をひとつ取り、F(x) と書く
c = (1/n) - ∫[0,1]S[n-1](y)dy = (1/n) - F(1) + F(0)
S[n](x)-S[n](x-1) = n∫[x-1,x]{S[n-1](t)+c}dt
= n{F(x)-F(x-1)+c} = n{F(x)-F(x-1)-F(1)+F(0)} + 1
= n∫[1,x]{S[n-1](t)-S[n-1](t-1)}dt + 1
(帰納法の仮定より)
= n∫[1,x]t^(n-1)dt + 1 = (x^n - 1) + 1 = x^n

以上により示された