1=0.999… その11.999…

前スレ:1=0.999… その9.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/

一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　しらがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

>>2
急いでいたので…「しらがって」＞「したがって」ですね。

前スレ>>999
>>>996
>隙間があっても良いと認めるか、超準解析みたいな超実数みたいなのを容認するか…
>だろうね。

じゃあ隙間があっても良いなら
連続した時間軸や、物の長さ、量、位置などの概念には使用できない数学の新しい大系になるんだ。
無限の概念を拡張することは理解できるけど。
1と0.999...の間に隙間をもうける意味が分からない。
そのモデルは何の役に立つのか。
そのモデルを定義しても排他的に成立しなくなる定義が多すぎやしないか？

今までは私は1=3/3=0.333‥×3=0.999‥という簡単な証明より
1=0.999‥だと思っていましたが、「誰かがどんなくだらないにもマジするスレ」
にある自分の意見を踏まえて再度考えると、0.999‥は加速度が負であり、
永久に1に近づき続ける数ということになり、1≠0.999‥になってしまう。。
そもそも有限の世界に住んでいる俺たちに無限の概念など
理解できるのだろうかと思ってきた今日この頃

A3は、「記号の背後には実体があって、それは数に関しても同じことである」(つまり、1とか2は数を表す記号であって、
数そのものではない)という認識ができてないと理解されないと思う。数学に無縁の人は、数に関して　記号＝実体　と
いう認識をしてるケースが多いはず。「2/2とか3/3は、1のあだ名であって、0.999…のあだ名では無い。1と0.999…は
違う数だ」とか反論される。尤も、そういう議論を重ねていけば　記号≠実体　という認識をいずれ理解してくれるかも
しれないが、今度は「じゃあ数の実体って何だ？」という議論になってくる。今までは記号そのものが実体だったのに、
記号≠実体　という風にそれを否定されて、実体を失ってしまうので。

>>4は>>2のA1と本質的に同じ事を言ってるだけだな

>>4
数直線を移動するさいにも、極めて微少な単位毎に量子飛躍するようなモデルを作ったら
実用上問題なし。量子力学のプランク距離より無茶小さい距離は物理学的には意味をもた
なくなるからね。

>>6
回答テンプレートは、全てのヒトの理解を求めている訳ではない。それなりに知識など理解などを
必要とするだろう。また、論議は君が言うとおりに進めれば全く問題無しだとおもうけどね。

前スレ995
＞今はそんな時代じゃないだろ
それは数学者同士で議論をする場合に限った話。テンプレ>>2みたいに、数学の素人に説明する際には、
どんな手が有効かは使ってみなければ分からないので、時代云々は関係ない。このスレは0.999…と1の
話だけど、もし複素数の話だったら、当然、ガウス平面による説明も手段の1つとして数えられる。

>>10
ガウス平面は確かに有効だと思う。ただ、個人的感覚なのかも知れないが、オレはそれで
納得できなかったから、なにやら引っかかっているだけｗ
真に納得したのはもっと数学の哲学的内容のコトを書いていた本を読んでからだった。

>>9
記号≠実体　という認識が既にできている人間なら、Q3みたいに「形が違うから別の数」なんて考えないはず。
つまり、Q3のような疑問を持つ人間って、記号＝実体　という認識をしてる人に 限 ら れ る と思うんだ。
そういう人に対してA3を提示しても、理解されないだろうと思ったので…

>>12
なるほどね。でも、後は個々人に合わせてとことん論議するしかない気がするんだけどね。

でも、Ａ３の良い改良案でもあったら提示して欲しい。

>>13
改良案か…指摘しておいてなんだが、俺には思いつかないなｗ
というか、A1，A2，A3，…みたいに「回答の例」を載せるのも大事だけど、「回答の方針」も載せた方が
いいんじゃないかな？Q3だと、

回答の方針：こういう人は、1とか2という記号を「数そのものだ」と認識してる(記号＝実体だと認識してる)ので、
この認識を頑張って改めさせる(記号≠実体という認識に変えてやる)。

とか。

>>14
そういうヒトもいるし、そうじゃないヒトもいるような気がヒシヒシとして
くるのですが…。

>>15
そうじゃないヒト＝「記号≠実体」という認識が出来ているヒト　が
「１と０．９９９９…は形が全く違うから別の数だ」と言うだろうか？

初めてこのスレに来たのですが、眠れなくなりそうなので
質問させて下さい。

1=0.9999999....の、0.999999....って分数で表すと
どんな感じになるんですか？

0.111…＝1/9
0.222…＝2/9
0.333…＝3/9
：
：
0.999…＝9/9＝1

バカ丸出しで申し訳ないっすｗ
ありがとうございました

>>16
単純に記号が違えば違う数だと思いこんでいたヒトもいたぞ。

>>20
そういう人が、いわゆる　記号＝実体　という認識をしてる人。だからこそ、別々の記号は
別々の実体を表していて、記号が違えば違う数だと思っている。

記号＝数≠実体
記号≠数＝実体

・・・きりがないな・・・

おれ馬鹿？

よくわからんけど。
現実のいろいろな条件に適応しないモデルでもそれは一つの数学として存在していいよっていうこと？
亀がアルキメデスを追い抜けないモデルでも、ワープの概念をいれると成立するとか？

実数の連続性を破棄したモデルでもそれは一つの数学だって事？？

よくわからん

高校までの数学じゃさっぱりだ、

普通に
1≠0.9999....くらいは理解してるつもりだったんだけど。
なんとなく。。
有理数のこと、循環小数のこと、実数の連続性のことくらいは知ってるつもり。。
A1A2A3はよくわかる。
じつは


Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　しらがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

Q4の意味が分からないかも。
日本語を補足してほしい。
A4は
「１＝０．９９９９…」としても「１≠０．９９９９…」としても良いが
それはルールの違うゲームのような物で。
両方ともゲームとしてはあり得るという事？

もし俺が馬鹿すぎたらしかとして。

> 現実のいろいろな条件に適応しないモデルでもそれは一つの数学として存在していいよっていうこと？

そうです。

> それはルールの違うゲームのような物で。
> 両方ともゲームとしてはあり得るという事？

そうです。
ただ、実際の数学者がいろいろな結果を生み出せる土台としては
なんというか「常識的な」定義が広く使われているということです。

>>25
>なんというか「常識的な」定義が広く使われているということです。

ほ？
それが
1=0.9999....
ってこと？

それならよくわかる！！

ありがとさんです！！！！！

こういう一般的な数学のことと、いろんな風変わりな定義の上に存在する数学のことを
区別する言葉とか有るんでしょうか？

一般数学と異常数学とかw

でも
矛盾の無い勝手な定義と
矛盾の無い有用な定義と
矛盾のある定義

の三種類が有るような気がする。
1≠0.9999....はいろいろ矛盾が有って1≠0.9999....を第一にした時、四則演算も成立しなくなるの？
1/3+1/3+1/3も1じゃなくなるのかな？
どうなるんだろう。

矛盾のある定義も認めて良いんだ。。
異常世界の数学みたい。

矛盾のある定義はイカン。
矛盾といっても、現実世界に矛盾しても数学的に矛盾がなければＯＫ。
例えば、1≠0.9999...と定義して、かつ、1と0.9999...の間には他の数が存在しない
って定義も出来るだろうけど、
そういう数学の世界から数学者が興味を持つような定理とかが生まれるかどうかが重要になる。

え？
じゃA4は四則演算は成立しないけど良いの？

>>28
四則演算の成立しないことのどこが矛盾なの？行列の積だって、交換法則は
成り立たないけど、それで矛盾だなんて言われない。外積に至っては、積を
交換すると符号が逆転する。でも矛盾では無い。

数学で言う矛盾ってのは、決められたルールに従って議論をしていくとAと¬Aが
両方言えてしまうときを言う(Aは何かしらの命題)。Aを「四則演算が成り立つ」と
するとき、たとえ¬Aが成り立ってしまっても(＝四則演算が成立しない)、Aは成り
立っていないのであれば矛盾ではない。

Ａ１の「前提条件」の具体的なものってどんなのかな？

矛盾でなかったとしても、Rが順序体でなくなっちゃうような規則は困るだろう。
尤も、理解してる奴は質問などしないが....

阿呆か。
1+1=2でなくなるからもう阿呆臭いて事だよ。

テンプレに「有理数論の範囲でも説明が出来るが煩雑になるので通常はより簡単に説明できる(通常の)実数論を前提にするのが普通。」ってことは書いておいた方が良いと思う。本来は実数論まで踏み込む必要はないことは触れておいた方が良い。

>>5
0.9 0.99 0.999 0.9999 0.9999…9
近付けようとしている時点ではまだ有限。加速度の話は1に到達する前プロセスだ。
1 に到達してしまったときの小数点以下の9の数が無限なのである。

例えば、N=M+1な二整数MとNにおいて、f(N)をN進数の0.MMM…の値とする。
小数点以下の桁数が有限のとき、Nの値が異なればf(N)の値も異なるが、
桁数が無限のときはNに関わらずf(N)=1である。

>>33

そういうのって意味無い気がするぞ。歴史的に考えても。
1+1=2を証明するのに、自然数全体を考える必要は無い。1と2と+と=だけ定義されてればOK
とか言っても仕方が無いのと同じで。

>>35
有理数論までは一階の理論で展開できるが、実数論は二階の理論だからねえ。流石に一緒には出来ないでしょ？その例えは的をはずしすぎだね

>>36

そりゃ基礎論的には大切だろうけどさ。
そんなところは問題の本質ではないだろう。回りくどいやり方で
有理数の範囲で問題を納得することに何か意味あるわけ？

ぴったり１ｾﾝﾁﾒｰﾄﾙというものはこの世に存在するのですか？

＞回りくどいやり方で有理数の範囲で問題を納得することに何か意味あるわけ？
その「意味」ってのが「基礎論的には大切」ってことなんじゃないの？>>33も
そういうニュアンスになってるぞ。

じゃあ、こうか？テンプレ追加。

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

＊＊＊＊
　違うなら手直ししてください。

長らく続いた「１＝０．９９９９…」スレも…

１は有理数
0.9999…は無限に続き、分数で表せられないので、無理数
有理数≠無理数
よって
１≠0.9999…
というのはどうでしょう。

:.:.:.:.:.:.:.:.／ ／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丶､
:.:.:.:.:.:／,／　　　　　　　　　＼　　　　　　ヽ　､　　　　　　＼
:.:.:.:/ ／　　　　　　　　　　　　＼　　　___　ヽ　＼ 　 　 　 　 i　　　　　　　　／￣/ ヽヽ
:.:./／　　　l　　　　　 ,　　　　 　 ヽ-弋　 ヽ ヽ　 ＼　　　　　l　　　　　　 ／＼／
V/　　 l　 l　　　　　,-Ａ-､　　　　 ﾊ　lヽ 　 　 l　　 l　　　　 l　　　　　　　　／
/　　　 l　l　　　,r Ti　l　ヽ　　　　 l ヽl　ヽ　　 l　　/　　 　 /　　　　　　　　　　/
　　　　 l l　　／　/ l ｌ　　 ヽ　　　ｌ　　　　l　 /　 /　　 ,l　/　　　　　　　　 ＼/
　　　　 ! l､　 　 /　 l!　　　　l　 ／　,rー ､l/|　れ　 ／l／　　　　　　　　　　/＼
　　　　　| '、　 /　　 ,ｨ‐-､　l／　　'´　　　　k´/ ／:.:|　　　　　　　　　　　　＿＿
､_　　　　＼', /　　／　　　　　　　　　　　/// 'i　＼:.:|　　　　　　　　　　　／ 　 / ヽヽ
:.:l' - ､＿　＼　　/　　　　　　　　　　　　 　 　 }　　ヽ|　　　　　　　　　　　 ＼／
:.:|: :|　(　(￣´　　　///　　　　_ , -ｧ　　　　 ノｌ 　　 ||　　　　　　　　　　　　／
､.|: :ゝ､__ -ヽ、　　　　　　　　l´　　ﾉ　　　／l　l.　　 ||　　　　　　　　　　　　──┐
. ||　　 l: :'ｰ '　' - ､　　　　　　'ー '　　, イ : : l　l.　　||　　　　　　　　　　　　──┤
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: || l: : ,ｨ':.:.:.:.:.:.:.:.:.:..:.:.:.:.:.:ヽ/　　 l　l　 /:.:.:.:.:.:. _ ／', ||ヽヽ　　　　　　 　 　 ⊂|
: ||l: : : >､_:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.ヽ､　 l　l /, -ー 'i ´._,ノ' ||: :|ヽゝ
: ||: : : :ﾄ､　/ ｰ ｔ---y--ーi‐‐‐i＼／ヽ,-'ー ' ´　　/ lヽ、

＞0.9999…は無限に続き、分数で表せられないので、無理数
ならば、任意の循環小数でさえも「無限に続く」ので、無理数ということになるな。

>>44
>>42はこう切り返すと見た：

「その通りで、他にも0.333…は無理数で1/3と異なるし、
0.000…も無理数で0と異なる。
3*0.333…と0.999…とか、1-0.999…と0.000…とかは、
どちらも無限に続く無理数なので比較不能。」

こんな風に来られたら>>2のテンプレは役立たずだな。
てかテンプレは明らかに不十分。
修正する気は起きないけど。

>>45
そうなると「無理数・有理数」の定義が通常と異なって
単に「無限小数・有限小数（または整数）」のことみたいだから
ツッコミどころはあるだろう

結論が先にあるんだよな。だから「論理」で説得されても納得しない。
なんつうか絶対的、超越的真実として「0.999… != 1」と思ってる。

＞なんつうか絶対的、超越的真実として「0.999… != 1」と思ってる
その考え方もまた「結論が先にある」ということになってるけどな。

そっかその前に無理数の定義を変えるべきか

０、９９９９９９９・・・
のどれかの値を四捨五入したら・・・

>>43
　　　　〃〃∩
　　　　　⊂⌒（　´∀｀）　＜　萌え〜
　　　　　　 ｀ヽ_つ＿_つ
　　　　　　　　　　　　　　ジタバタ
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/suuen.html
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/mugenhih0.html
これが解答テンプレだ。

>>50
位

今考えた！！
0.999999999‥=10×0.999999999‥　−9×0.999999999‥という式をたてる。�@
0.999999999‥を�Iとおく。
�@に当てはめる。
�I＝10�I−9�I
つまり�I＝1
ゆえに0.999999999‥＝１　　　　　　完

　 　∩＿＿＿∩　　 　　　　　　｜
　　 | ノ＼　　　　 ヽ　 　　　　　　|
　　/　　●゛　　● |　　　　 　　　|
　 |　∪　　( _●_)　ミ　 　　　　 Ｊ
　彡､　　　|∪|　　 |　　　 　　　
/　　　　 ∩ノ ⊃　 ヽ　　
(　 ＼　／ ＿ノ　|　 |
.＼　“　　／＿＿|　 |
　　＼ ／＿＿＿ ／

すみません。

2=10×2‥　−9×2‥という式をたてる。�@
2を�Iとおく。
�@に当てはめる。
�I＝10�I−9�I
つまり�I＝1
ゆえに2＝１　　　　　　完

↑こんな場合もあてはまります。

>>53
X＝10X-9X　のどこから
X=1　が出てくるのか、理解に苦しみます。
それを言うなら、
0.999・・・＝X　とおいて、
9X＝10X-X＝9.999・・・-0.999・・・＝9
∴9X=9　∴X=1　　　完
でしょう。

↑２でもあります。

>>55　2‥が表す意味がわかりません。それに、その式では2=2‥になってますよ　
>>56　確かに。ただの一般式でした↓要するに10=２＋８＝10と言ってるだけだった

age

>>53-56
だいぶ前からその解答あったよ。

あげ

つーか、ここなんか受験生少ないそうだから知らないかもしれないと
思っていってみるが、
今の高校の数学の教科書には、極限のところのコラムとして
１＝0.9999・・・・の証明が載っている。

0.9999・・・・を初項0.9、公比0.1の無限等比級数の和として
計算すると、１になると載っている。

もちろん「正しい」と言っているだけで、「そうではない」と言う
見解はまったく示されていない。

>>56の答え、数学科の人間が書いたら0点だな…。

>>62
中学校の教科書にも載っているものもある。

>>63
何故。

66び

ろくろ首　　にゅ〜

>>65
無限小数の減算はどう定義するのか？
9.999…-0.999…=9として良いのか？どうやって計算したのか？
10分の1の位から引き算するのか？
0.000…=0として良いのか？ 0がずっと続くから0か？
それなら「1-0.999…=0.000…=0だから1=0.999…」と言ってるのと
同じじゃないのか？
さらに0.999…は(>>62の言う通り)無限等比級数の和なのに、
それをいきなりXと置いちゃっていいのか？
…とまあ、それぐらい記号的に解いたに過ぎないので、数学科だと0点。
(それ以外だと、マルをあげなきゃならないだろう)

数学科だと、>>62の続きをきちんと収束の定義に基いてやってほしいところ。

数学科だったら「自明」で○になる（なってほしい）

絶対収束する級数を並び替えていいとかを毎回証明しないと０点なのか

無限小数の減算ってふつーに定義できるんじゃないのか？

>>69
級数の収束を理解してるんだったら、直接
0.999・・・=1
を証明するはずで、
9.999・・・-0.999・・・
などと「まわりくどい方法」はやらないはず。

0.999999・・・は1になれないからこそ
0.999999・・・なんじゃないかなあ。
どれだけ桁を増やしたって絶対に1になれない宿命を背負わされた
無理数や有理数を超越した非業の数なんじゃないかな。

等比数列の和を求めるときにそのまわりくどい方法でやったが

0.9999・・・・と無限に続く数は、
1よりは必ず小さいけど、1から限りなく小さい数を引いた数よりも
大きいはずだ。

しかし、そもそも無限ってのは、どこかで値が定まったらその時点で
無限ではなくなるから、常に変動し続ける数なんだよ。
だから0.999・・・の場合はこれは常に1を超えずに1に近づき続ける数で、
このような「速度を持った数」（正確には加速度も持っている）を、
普通の数直線状の「位置」を表す1という数に表すのが間違っているかもしれない。
次元が違う物同士を比べてるようなもんだと思うよ。

>>73
有限ならそれでいいけど、無限級数でいきなり使えるのか？

>>74
0.333・・・なんかも普通の数直線上の位置を表すのに使うのは間違ってるのか？

>>76
俺の考えではそうなるな。

・・・あ、問題発生。
ここで無理数をどう定義するか・・・
長さとして目に見える形で決まっているのに
値として定まることが無く永遠に小数点以下
続いていくという困ったことに・・・

1/3=0.33333・・・
ってのが間違いなんじゃなかろうか。
0.33333・・・ってのは1/3を終着駅にして走行中の電車であって
決して終点の駅ではないと思うんだよ、うん。
なんかたとえがへたくそでｽﾝﾏｾﾝ

>>78
終点の駅です＾＾；

１２進法の数直線上では、1/3　が表せます。

- - - - - - - - - - - -
　　　↑
　　　1/3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

無理数がホントわかんなくなってきた・・・
ちゃんと位置として表せるのに、どんなに細かく
数直線を区切っても、永遠にぴったりとした位置に来ないって何よ？

PleAsE HeLP mE.......

ピタゴラスがそう考えて悩んだらしいが。

紀元前から進歩してないスレはここですか？

>>78
＞0.33333・・・ってのは1/3を終着駅にして走行中の電車であって 決して終点の駅ではないと思うんだよ
「0.333…は走行中の電車」と言いたいのね？じゃあ、それを認めることにしよう。0.333…は走行中で
あって、常に変動している。さて、次の記号

【 】

にご登場願おう。この【 】という記号は「電車が行き着く終着駅を出力する記号」である。たとえば、
電車Aが1という終着駅に向かって走行中であるとき、【A】＝1となる。これを用いると、【0.333…】＝1/3
となる。なぜなら、0.333…は「1/3に向かって走行中の電車」であるから。あるいは【0.999…】＝1とか、
【1.4142…】＝√2とか。また、既に止まっている電車については、その地点がそのまま終着駅となっている
ので、それ自身を出力する。たとえば【2】＝2　(2は2という終着駅に既に止まっている電車)である。

これなら問題ないかな？

アキレスと亀の話と本質的に同じなんだな

>>83
で、終着駅＝始発駅ってことでＦＡ？

【A】=【B】⇒A=Bかが問題

>>86
そこでまたメリット信者の登場ですよ

>>83
なんとなく分かった気がするぞ！

運動エネルギーと位置エネルギーみたいな関係とも言えそうだ。

12×1/3=4

12×0.333・・・=4

>>84

本質的には、アキレスと亀の話は物理の話で、こっちは数学の話だから別じゃね？

いっしょじゃね？

凄い事に気づきました！！！

12×1/3=4

12×0.333・・・=4

12×0.3=4

何かおかしいきがします・・・

1/3=0.3
両辺に３をかける。
1=0.9

1=0.9 ？？？

すみません。
四則計算を間違えました。

12×1÷3=4
12×(1÷3)=12×0.333・・・=0.444・・・

talk:>>>92-94 何考えてんだよ？

>>92-94 で
分かると思いますが、
1=0.999・・・
がなりたたないのは、四則演算がなりたっていないからである。
四則演算の中には、循環小数は分数にして計算するとあったはずです。
つまり、 0.333・・・=1/3
であり、四則演算では、循環小数は分数に直して計算するとありますから
0.333・・・+0.333・・・+0.333・・・
=1/3+1/3+1/3
=1
である。
何か質問がある方は、僕のブログに書き込みをお願いします。
http://geocities.yahoo.co.jp/gl/kigenkiin

>>92-93 解説
12×1/3 と 12×0.333・・・ は
計算してみると
12×1/3=4
12×0.333・・・=0.444・・・
となるのは、
四則演算によって、
12×1/3=4×1 となる、　よって、 4
しかし、
12×0.333・・・ は、
四則演算によって、12×(1/3)
となります。

四則演算を、ちゃんと考えましょう。

>水チップ
どうやったら
12*0.3333…=0.4444…になるんだよ。
12*0.3333…=4だよ。

>>92
> 12×0.333・・・=4
> 12×0.3=4
> 何かおかしいきがします・・・

おかしい方の結果を使い続けてるってば！

3.9999999……じゃないのか？

12×3/1＝４
また、12×0.333333……＝3.99999……

よって、4=3.9999999……終

>>99
すみません。間違えました。

1=0.9999…がしっくりこない人の考えが、>>74, >>78を読んで分かった気がする。

>1に近づき続ける数

>「速度を持った数」（正確には加速度も持っている）を
>普通の数直線状の「位置」を表す1という数に表すのが間違っているかもしれない。

>0.33333・・・ってのは1/3を終着駅にして走行中の電車であって
>決して終点の駅ではないと思うんだよ、うん。

なるほど、無限小数をそうとらえているわけかと。

「速度を持った数」という概念は「数」としてはありえない。
「運動」を数学で表現するには、「関数」を使う。x=x(t)という関数は、それ自体は
単なる「対応」（写像）にすぎない。ただ、「変数」tが「勝手に」変化すると考える
と（時間は勝手にたつ）、それに応じて位置xも変化することになる。
　だから、0.9999…が「変化しつづける」というのは、この記号が、0.9, 0.99,
0.999, …という「数列」を表していると考えているのだろう。数列a[n]は、変数が
自然数のみしかとらないというだけで、「関数」の特別な場合である。
（列 a[1],a[2],…というのは関数a[n]を表現するのに、とる値を並べてみせただけで、
「グラフ」にあたる）

　したがって、>>74, >>78 は、
「0.999…という記号は、関数（数列）a[n]=0.999…9(n桁)の略記と定義するべきである」
という主張とも解釈できる。

　通常、0.999…という記号は、lim[n→∞]a[n]を表すと考えるが、これは記号の定義、
すなわち単なる約束にすぎない。a[n]自身を表す、と「約束」しても別にかまわない。
“定義”に「正しい」も「誤り」もない。

0.999…という記号の約束が不自然で、誤解を招きやすいというなら、そんな記号は使わ
ず、a[n]=0.999…9(n桁) とか、lim[n→∞]a[n] = 1 のように、数学的主張をきちん
と書けばそれですむ。（通常、後者の略記が0.999…=1だが、前者の略記を0.9999…と約
束することにするなら、後者を略記するためにはlim[n→∞]の略記としてたとえば【 】
を導入すればいいじゃん、というのが>>83だ。）

ところで、数学者も実は“級数”の略記については、前者も利用している。つまりこ
の2つの異なる定義を混用して使っている。たとえば、
(A)「級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + … は1に収束する」
などという文章を平気で書く。ここでもし、用語“級数”とか記号「1/2+1/4+1/8+…」
とかが「極限値」を表している、と解釈すると、上の文章は変である。一方、
(B)「1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1」
とも書く。このときは記号「1/2+1/4+1/8+…」で極限値を表している。

記号「0.999…」は“級数”「0.9+0.09+0.009+…」の略記だから、「0.999…は1に
収束する」という文章は(A)と同様に許されるはずである。この場合「0.999…」は
極限値でなく数列（変化する数！）を表していることになる。

何が言いたかったかというと、「1=0.999…」を認めている普通の数学人でも、定義
のあいまいな用語“級数”や、数列自体なのか極限値なのかあいまいな記号「1/2+1/4+1/8+…」
を平気で使って文章を書いているわけで、>>74, >>78の考えてることと同じじゃん？と。

連続の公理がすべてだ。
２の平方根が存在する！
1.41421356・・・　を２乗すると　1.999・・・
２の平方根が存在する！
だ・か・ら　２の平方根は　1.41421356・・・
よつて　２は1.999・・・
であーる。
存在が先！おー神よ！あなたはおいでになられられるのですね。
存在を信じるのです。
信ずれば　1=0.999・・・
信ずれば、、、
信じれば、、、
信じれば、、、
現代数学は正しい。
信心が現代数学を支えている。
俺は信じられない。
信じるか、信じないか、それだけのこと、、、。
現代数学は原理主義だな。
まぁ、今、目の前にあるパソコンは有限数学で動いてるし、自動車も有限数学で動いてるし、、、。現代数学ってｗｗｗ

でも、俺は、何で動いているんだ？
・・・・・
俺は有限数学で動いていると信じる。

教皇様…

超準解析学は異端審問にでもかけるべきでしょうか。

エイメン。

x=0.9999.....9
x*x=0.999999999...8

81で終えて欲しかった

>>109
なぜ？

気分。九九八十一だし。

0.999*0.999
0.99999*0.99999
とか計算してみれ

ひょっとして、マジになってんのか？w

age

>>111
釣りにしても寒い

　　　_　_ ∩　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　_　_ ∩
　　( ﾟ∀ﾟ )ﾉ )))　　　　　　　 　　　　　⊂ヽ　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( ﾟ∀ﾟ )/　
　　(　二つ　　　　おっぱい！　　　 ((( (_　_　)､　　　おっぱい！　 　　　⊂　　 ﾉ　　　おっぱいぱい！
　　ﾉ　彡ヽ　　　　　　　　　　　　 　　 γ　⊂ノ, 彡　　　　　　　　 .　　　　　(つ ﾉ 　
　 (_ノ ⌒ﾞJ　　　　　　　　　　　　.　　　し'⌒ヽJ　　　　　　　　　　.　　　　彡(ノ

1/3＝0.333・・・
両辺に3掛けて
1＝0.999･･･


一行目の「1/3＝0.333」ここで既に納得がいかん

野球やりたくなった。
１勝９９分け
１００勝
どっちでもよか。

引き分けを勝率計算に組み込まないから悪い。
引き分けは0.5敗にすれば、敢えて賭けに出る
インセンティヴが生まれ、面白くなる。

802

あげ

1 = 0.9999……… + 0.00000………01
∴1≠0.9999………？

1=0.999・・・
0.333・・・という循環小数は、１つのものを、等しく３つに割った時の値で、
それを３つ加えると３になります。
そして、0.333・・・を３つ加えると、0.999・・・になります。
よって、1＝0,999・・・

ｘ＝０．９９９．。。　　　（１）
１０ｘ＝９．９９９．。。　（２）
（２）−（１）より
９X=9
ゆえに
X=1　　　　Q.E.D.

素人相手にはこういう説明しかないだろうなあ

数直線でこうならない？
０．９９９…の場合
――――――○-------------
　　　　　　１

１の場合　　　　　
――――――●-------------
　　　　　　１　

ｘ＝１＋２＋４＋８＋．．．（１）
２ｘ=２＋４＋８＋．．．
　　＝ｘ−１　　　　　　　　　（２）
∴ｘ＝−１？？

収束を確かめないで x とおくとそうなる。

十進表記の無限小数は上限が存在する。従って、必ず収束する。

終了！！！！

なんか、こう。突っこんでくれと言わんばかりの微妙な香りに心打たれるな。

数学死ねよ！

＞＞１２６
集合論の無限和と無限級数を混同するとそんな感じになるね。また、超準解析で０．９＋０．９９＋・・・の超有限和を考えると
１より真に小さくなる。こういう実無限的な理論を使って初めて０．９９９９・・・≠１という気分が正確に表現できる。

哲学板の野矢茂樹スレも参照のこと。

>>132
１より真に小さい、か………orz

まあ1よりは大きいよなw

＞＞１３２，１３３

どこが・・・・って、あれ、そりゃそうだｗ・・・・orz

>>119
0.5勝制度を導入するとゲーム差の表記が小数点第二位まで必要になるからやらない。

>>136
細かいことだが
×0.5勝
○0.5敗

勝率で語るからダメなんだよ
勝ち数と負け数の差(いわゆる貯金)
で順位つければよい

>>138
それだと、プレーオフやらなきゃならない可能性が高かったから採用しなかったんじゃないのか？
でも、今はプレーオフマンセーだからそれを採用しても良いかもね。

0.333・・・＋0.333・・・＋0.333・・・＝１　？

x=0.999…
10x=9.999…
っておかしくね？

99*10=990
なんだから
0.999…*10=0.999…0
　　　　　　　　　　　　~~　
になるじゃない

>>141
お前が思っているよりはるかに長い道のりなんだよ

絶対１＝0.9999…ではない

上の式が成り立つと仮定
両辺に０．０００００・・・１を加えると
１＝１．００００・・・１
これが続くと結局２＝１ってことになっちゃわないか？

ちなみにこの１＝０．９９９９９・・問題は
１０進数を使っているから起こるということを聞いたことがある

>>143
1=1.0000....1
これが間違ってるから2=1なんてことにはならないから心配しなくていいよ。

0.9999...の9は無限個続くのに対して
0.00...01の0は有限個ってのもある

>>141 99.00…*10=990.00…

こんなもんΔε程度になぞらえて議論してもしょうがねえだろ。
ケンロンやれケンロン。

１- 0.9999… = δ

∞δ=0 ... ?


ばかほいほい。

>>143
続いたとしても形式的には
1.00・・・004=1.00・・・005
と「0.00・・・001」の差しかないから、２＝１にはならないと思う。

・・・1111=-1/9

これはある意味正しい。
そして、

・・・9999=-1

も、ある意味正しい。

>>150
初めて知って、スゴイと思ったのかな？

>>151
加藤文元先生のスレが立ったので、誰かなと思って、検索して、
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/Data/p-adic02.pdf
を読んでみました。
なにか他におもしろい話題はないですか？

比較検討してみました。

実数の世界　：　p進数体の世界

１０進数　：　１０進数体

１＝0.9999…　：　・・・9999=-1

0.3333・・・＝有理数　：　・・・3333＝負の数

素因数分解　：　？？？

ところで、左の世界と右の世界を合体させた、たとえば、

・・・9999.9999・・・

とか、

・・・3333.3333・・・

ってあるのですか？

1/3=0.333・・・
ということは1/3と0.333・・・が等しいということです。
だから、
0.333・・・＋0.333・・・＋0.333・・・＝1
0.333・・・×3＝1
です。

>>153
は、だいぶ間違ってかいてしまいました。

いまいちA3が飲み込めない･･･
屁理屈っぽく聞こえる。

A1も前提条件が何を示すのか分からないし。

1=0.999…⇔(-1)(-1)=1
（⇒の証明、略記）
1=0.999…より、x+x^2+x^3…=x/1-xを認め、…9999=-1
よって、(-1)(-1)=(…9999)(…9999)
=…99991+…999910+…9999100+…
=…00001
=1
（←の証明、略記）
逆に見ていけばよい

『∞には加減乗除なにやっても∞』
こって正しいのでしょうか？
文系か理系かで話が分かれそうです。

これの発端となったのが、

●１÷３×３＝？
1 :VIP774 :06/05/04(木) 01:34:09.26 ID:B6+236z10

１でいいのか？ それとも限りなく１に近い0.9？

12 :VIP774 :06/05/04(木) 01:44:30.50 ID:Q1exB0zK0

高校１年の問題ですよ・・・

1÷3=0,3333…
0、3333…×3=0,9999…

x=0,9999…
10x=9,9999…

　10x=9,9999…
−) x=0,9999…
　――――――
　　9x=9
　　 x=１

となってるのですが、
(続く･･･↓)

自分は

x=0.9999･･･　は
10x=9.999･･･　と一桁繰り上がり、小数点が少なくなる。

だから例えば、x=0.99の時は、10x=9.9になる。
引くと9x=8.91、x=0.99になる。
よって>1の方が正解で>12はおかしい。
>12では最後の桁が一つ増えてる。

と考えました。
1/3*3=1なら分かるんですが、1÷3×3=1にはどうも納得できません。
(…)に納得できない。
理論的に1÷3×3=1を証明する公式が知りたいです。

こういう人間には理論的に考えられる知性が必要だな

せめて高校生レベルの知識と理解でいいから身につけて来てくれ

無限小数なのになんで勝手に最後の桁とか作ってるの

>161
代入とかそういうのは分かります。
ただ無限に関しての演算定義が良く分からないのです。

>162
すいません。
無限をひとつの単位として扱っていいものかどうかで悩んでます。

背理法？みたいなのでとけばいいんだお？

0.999･･･と1を異なる二つの実数であると仮定する
実数の性質により、区間(0.999･･･, 1)には無数の実数が存在する
しかし、実際そのような実数は存在しない
仮定は偽であることが分かる。故に、0.999･･･と1は等しい

無限に続くのに実数にしちゃっていいの？
無知な質問ですまそ。

ああ、上のは無しです。すいません。

>164
それだと0.333･･･も1と等しくなるの？

>>166
0.340
とか
0.50
とか

いっぱいあるじゃないかぁ！

と必死に反論してみるﾃｽﾂ

だって・・・・だって・・・・数学の先生に聞いたら答えてくれて紙に書いてくれたんだぁ！

ｼﾗﾈ

もう

ｼﾗﾈ

寝る

>>166
真面目に聞いていいか、年いくつだ？
すまないが日本語も理解できない奴に教えるのは無理だ

もうこれでいいじゃん

0.999･･･=9/10+9/100+9/1000+･･･
=-9+9/1+9/10+9/100+9/1000+･･･
=-9+9*{∞�婆=0}(1/10)^k
=-9+9*1/(1-1/10)
=1

だからΣとかkとかの意味が分からないっつってんだろ！

>168
164の0.999…の部分に0.333…を当てはめてみたんだけど
日本語が分からないというより、実数と無限の定理　ココがよく分かりません。

0.333･･･と1の間には0.4とか0.5とか0.6があるよな？
でも
0.999･･･と1の間には？何かあるか？
何がある？
いってみろ

無限等比級数の和を求める公式
0.999 · · · = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + · · ·
は初項a = 0.9、公比r = 0.1 の無限等比級数。その和S は
S = a/1 − r
で与えられるので、この式よりS = 1 が得られる

>172
0.333…と続くのだからその間に無数の実数が存在する
じゃ駄目？
無限の定理がよく分からん。増えるのか続くのか終わりが無いのか。

だから存在するなら、仮定が真だから１と等しくならないじゃないか

ごめん、俺国語苦手だから言ってる意味わかんない・・・・

>>171　定数でもないのに何で勝手に数字変えてるの？どうしても変えても大丈夫だと思ったの？
中学生でももう少しまともに算数できると思うんだけど、１＋１＝２って教えてじゃあ１＋２＝２なの？とか言われても困る
まず自分の考えをちゃんと日本語にして説明できるようになろう、それとスレ違いだ

1/3=0.333・・・
1/3は0.333・・・と等しいから、
1/3＋1/3＋1/3=1
0.333・・・＋0.333・・・＋0.333・・・=1
0.333・・・＋0.333・・・＋0.333・・・=0.999・・・
よって、1=0.999・・・

＞１＋１＝２って教えてじゃあ１＋２＝２なの？
と164で証明してることはぜんぜん違う。
164で説明してるのは二つの実数とした場合にその間に無限の解があるから
それはおかしいって事じゃないの？
これと"１＋１＝２って教えてじゃあ１＋２＝２"が同じ説明だと言えるの？

自分は無限に続く0.999…に同じく無限に続く0.333…を当てはめてみても文章的に矛盾は無い
ってことを提唱しただけです。

1/3=0.333・・・
1/3は0.333・・・と等しいから、
1/3*3=0.999･･･�@
また、
1/3*3=1・・・�A
�@�Aより1=0.999・・・

0.999･･･≠1（どちらも実数とする）と仮定する
実数の性質により、区間(0.999･･･, 1)には無数の実数が存在する
しかし、実際そのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
故に、0.999=1

分かりやすくしてみたの

＞実際そのような実数は存在しない
なぜ？

0.999･･･と1の間にどんな実数があるというんだ？

0.000･･･1とかいうなよ

「あるかもしれないじゃないか」

と言われるとどう答えたら良いか分からないの

誰かにパス

>>183
例を示せ
じゃだめなの？

>>184
それだ・・・

>>156
Ａ１の「前提条件」の具体例は、ここの過去ログにあるよ。
Ｑ５とＡ５ね。文句が出なかったら、テンプレに入れる予定だ。

>>156
それから　Ｑ３、Ａ３　に納得できない点があるのなら、何がどのように納得できないか
明記して欲しい。（それが出来れば苦労がないってｗ？）
なぜなら、これのどこが納得できないってのは一人一人違うのだから。

>自分は無限に続く0.999…に同じく無限に続く0.333…を当てはめてみても文章的に矛盾は無い
>ってことを提唱しただけです。

うん、やっぱりお前馬鹿だ

１と０．９９９・・・の間に存在する実数を挙げられない二つは等しいって話なのになんで０．３３３・・・が出て来るんだ？
０．３３３・・・はあくまで３が無限に続くってだけで普通に０．３よりは大きいし０．４よりは小さい
１と０．３３３・・・の間には無数に実数が存在する、よって１と０．３３３・・・は違う
こんな事をわざわざ説明しなきゃいけないのか？

足し算覚えたばかりで九九もできない小学生に三角関数教えようってのは無理な話だ
まず段階踏んで勉強していった方がいいと思うよ

無限小数

で、お聞きしたいのですが・・・・

＜証明＞
0.999･･･≠1と仮定する（共に実数とする）
実数の性質により、0.999･･･と1との間には無数の実数が存在する
しかし、実際そのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
故に、0.999･･･=1
＜証明終わり＞（一部変更あり）

は合ってるんでしょうか・・・
全力を尽くしてこの証明を考えたんですが・・・

レス読んでないからこういうのがあったら・・・・orz

「実際そのような実数は存在しない」の証明しないとな。
>>182みたいなのは数学的じゃない。

一番分かりやすい証明

x=0.999･･･（１）とおくと
10x=9.999･･･（２）と表す事が出来る
ここで、（２）−（１）をすると、
9x=9となり、よって
x=1となる
故に0.999･･･=1

一番分かりにくい証明は

0.999･･･=9/10+9/100+9/1000+･･･
=-9+9/1+9/10+9/100+9/1000+･･･
=-9+9*{∞�婆=0}(1/10)^k
=-9+9*1/(1-1/10)
=1

これか

昨日からわからないって書いてる人は
0.999･･･を具体的にどう定義された数だと思ってるのかな。
そこを自分ではっきりさせとかないと、他の人の説明をいくら聞いても納得できないだろう。

あれだ

もういいじゃん

0.999･･･と1の隙間がない

で

指摘しようと思っても出来ないだけだが

先生曰く「0.999･･･と1はただ表記の仕方の違いだけ」らしい

0.999・・・<x<1 となる実数xが存在すると仮定する。
xは実数だから無限小数で表すことが出来る。
すると、x=0.999・・・とならざるを得ない。
これは最初の仮定に矛盾する。

1/3=0.333…
両辺に3をかけると
3/3=1=0.999…
小学生でも非高学歴でもわかります

０．１１１１…＝１/９
０．２２２２…＝２/９

０．９９９９…＝９/９＝１

>>178
>164で説明してるのは二つの実数とした場合にその間に無限の解があるから
>それはおかしいって事じゃないの？
これがカンチガイ。

X=0.999...　　（１）
２X=1.999...　　（２）
（２）−（１）より
X=1　　　QED

>>1-200
これを証明したからって何になるわけ？

と、バカがほざいております。

非高学歴歴がフィールズ賞を取る方法

著者：今井
監修：山口人生

実数はトーラス上にある点である。
で解決するんじゃねーの？

>>197
これ以上無いというくらい納得した

1/3は10進数では表現できない数だから、1/3 = 0.333... とみなしてるんだろ。
「1/3って、小数で書くととどれくらい？」を表現したもの。
1/3には0.333...が一番近い。 つまりそもそも1/3 ≠ 0.333...
1/3 = 0.333... の時点で誤差があるんだから、その式の両辺を3倍しても誤差は残るだろうが。
数字で遊んでいるだけ。

3進数で表せば、1/3 = 0.1 とすっきり。
両辺を3倍すると、1/3 * 3 = 0.1 * 3 = 1

> 3進数で表せば、1/3 = 0.1 とすっきり。
> 両辺を3倍すると、1/3 * 3 = 0.1 * 3 = 1

ああ、この式も厳密には正しくないんだがな。
3進数だと3(10) = 10(3)だから、上の式の3は本当は全部10と書くべきなんだけども・・・
10で書いちゃうと雰囲気が伝わらないかと思って。

>188
すいません。
文章ひとつ飛ばして勘違いしてました。すんません。理解しました。

納得してるやつと納得してないやつの論点が合ってなくない？
納得してないやつは
1=0.999...も1/3= 0.333...もなっとくいかないんだから...な数字をつかって
数式で証明したって無駄。
1/3を少数で0.333...て表現するのは数学上の定義じゃなかったっけ？
だから数学の定義上
1=0.999...なんじゃないの？

数式上そうなっても違和感があるんだよね。
だって0.999…は1より少し小さい数ってのは事実だから。
それが＝にされるのに違和感がある。

もうこうしたら？
1/3≒0.333･･･

まじかｗｗｗｗｗｗｗ

餌に釣られるのがここでのたしなみ

1/0.9999.......=1.000000000000000...............000000...00.....00000....00000001

なぜか最後の位置が欲しくなるのが人情だろ！

>>214
>位置

位置は1の間違い.......

これだ

0.999･･･を頭の中で想像したとする
貴方は1秒ほどでこの想像ができるはずだ
ここで一つの疑問が浮かび上がる
何故「無限」に続く数字を「有限」の時間で想像できるのだろう

こういうことだ

どういうことだ？

人間の頭には推測という機能があってな

実は無限の本質は、無限個あることじゃないからだな。

無限無限・・・
といい続けると
ゲンムに聞こえてくるよ

そしてそれがゲノムに見えてくる

ここって結構あちこちからリンク貼られているようだね…。

どうして

x＝0.999999…

10x＝9.99999999…
10x-x＝9.9999…-0.9999…
9x＝9
　x＝1
即ち
１＝０．９９９９…

この証明のどこがおかしいのか教えてください。中学生に説明するかんじで。

どこもおかしくない。
中学生の範囲なら、それで正解だ。

もし万が一次スレが出来るようなら、>>223のような、いわゆる典型的な答えもテンプレ化しておいた方がいいと思う。

>>225
問題は>>223のような「典型的答え」の扱いだろう。
　俺は、このような「証明」は間違いではないが、より根本から証明しようとすると、結局は手間かかる
方法だと思う。このような認識でＯＫ？でも、わかりやすさに積極的評価を与える表現でも良いかな？
とは思う。

>わかりやすさに積極的評価を与える表現

こっちの方が需要はありそう。可能ならば、細部を詰めた証明は別に書くと良いと思うが、キッチリ書くのは大変そうだな。

>223
∞ = ∞*10

これが成り立つならそれで合ってると思う。
でもこれが成り立つんなら∞は数じゃないのかもね。

∞ = ∞*10 が成り立つと∞は数じゃないことになるの？
∞=0ってなる気がするけど。
しかも、なんで ∞ = ∞*10 って式が出てきたのか分からない。

x＝0.999999…

10x＝9.99999999…

これね。無限に続いてるものに10を掛けたから。

無限に続いてるものに有限をかけてどうなるかを気にしてるのか？
疑問としてはアリだけど、それを表すのに
∞ = ∞*10
は違うだろ

少なくとも
0.99999999......<2<∞

　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　　鯖復旧しまして
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　 おめでとうございます
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

こうか？

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。確かに、前提条件を認めた段階でより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
�@　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

�A　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ−ｘ＝９．９９９９…　−　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

�B　…　エトセトラ

　こんなもんでどうだ？適当に修正・変更・追加してくれ。

10x-x
ってのは一見初等的だけど、
0.999・・・
で等比級数の計算する時も同じ方法つかってるんだよね。

>>234
乙

1/9=0.11111……
2/9=0.22222……
……………………
8/9=0.88888……
9/9=0.99999……

とかも入れたいかな？

無限等比級数は高校生レベルで受け入れやすい解答だし、入れても良く
ないかな？

初項A1，公比rの等比数列Anにおいて,-1<r<1のとき
∞
�� (An)=A1/1-r
n=1

公理なんだってば。
公理＝仮定だぞ。
それが〜げんだいすうがくさ〜、わいわい。
１＝０．９９９９…
これは公理である。
数学を見下せ。でも、数学しる。
俺の公理
１≠０．９９９９…
たのしいな〜
数学といえども、所詮、仮定の上に成り立っているわけで、そこで、正しさの主張をしても意味がないぽ。
と、ふと思った。
だから、信じる、信じないの話になるわけで、数学は宗教だなー。がくっ。
いや、五感とて、感覚を信じることによって成り立っている、、、のだから、世界は宗教的に存在している。
俺、宗教って嫌いなんだけどな〜。
やっぱ、俺教かぁ。つまり、個々の人間というのは、本来、神である。自分という最も身近な神を置き去りにして、
他を拝むのはアホらしい。そういう宗教が嫌いだ。なるほど。
わたしは神である。
戦争というのは神々の戦いであるのだ。神話ではない。僕らが生きているこの世界こそ、現実神話の世界なのだ。
にしても、デスノート、チープな終わり方だったな。
月の完全勝利で終わって欲しかった。
正しい、、、、
、、、、、、
、、、、、
、、、、、
、、、、、、、、虚しいな。
イマジンはいい歌だ。
わからない。結論がでない。
ネルフの、あの、マギとかなんとかいう知能に相談するべきか、、、。
世界はどうあるべきか？
正しくあるべきか？面白くあるべきか？愛であるべきか？弱肉強食であるべきか？自由であるべきか？
なぁ、教えてくれ！１＝０．９９９９…を問うてる君よ、世界はどうあるべきか、教えてくれ！

1と0.99999……の間の数がない、異なるなら足して2で割るといくつ？なんてのも入れときたいかな？

1 - 0.999… =ε とおくと
(1 + 0.999…)/2 = 1 -ε/2

>>240
実数は十進小数表示（任意有限桁までの近似）が出来ることはことわりが必要って言いたいの？
なら、後でフォローしとくといいかな？

　　０．９９９・・・
　　−−−−−−−−
９ノ９
　　８　１
　　−−−−−−−−
　　　　９
　　　　８１
　　−−−−−−−−
　　　　　９
　　　　　８１

この答えも好きだな。

理数系の方に１＝０.９９９・・・だと思いますか？
とアンケートしてみてはいかがでしょうか？
１＝０.９９９・・・だと思っている人と１＝０.９９９・・・だと思っていない人、
そうと思っている人はどれだけいるのだろうか。
また、その人の成績は高いのだろうか、低いのだろうか。
という色々なデータが出ると思います。
一度してみてはいかがでしょう？

>>242は賛成。有理数内での証明も本質的にこれを使っているわけだし。

とりあえず、テンプレのまとめ。

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
�@　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

�A　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ−ｘ＝９．９９９９…　−　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

�B　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

�C　０．９９９９…　は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
　０．９９９９…　＝　０．９／（１−０．１）　＝　１

�D　９÷９　を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
　１　＝　９÷９　＝　０．９９９９…

＊＊＊＊
自由に添削してください。

>>247
乙。�Dは別に１÷１でも構わないね。

�E１と０．９９９９…が異なるとしても、間の数を小数で書くことが出来ない。
�F１と０．９９９９…を足して２で割った数は
　１．９９９９…／２＝０．９９９９…となり、ｘ＝０．９９９９…とおくと、
　（１＋ｘ）／２＝ｘ　よって、ｘ＝１となる。

良ければ追加して欲しい。

>>248
6は他のに比べて、具体的な手順・アルゴリズムが明確でないから微妙なとこだな。

>>249
なんでだ？
お前のけつと道ばたのうんこの間に空気も何も存在しない場合
三次元的にけつの表面とうんこの表面は同じ位置にあるという事と同じじゃないのか？？

>>249
一番直感的に捕らえられる説明だと思うけど

直感的っていうなら、1と0.999・・・は違うって感じる方が直感的だろ

�E修正

０．９９９９…と１が異なるとなるとすると、その間の数がある。
１の位は比較して０
小数第１位は比較して９
小数第２位は比較して９
小数第３位は比較して９
…………
と、以下繰り返していくと、結局この数は
０．９９９９…
となってしまい、間の数にならないので矛盾。　

添削よろ

＜証明＞
0.999…≠1と仮定する（共に実数とする）
実数の性質により、0.999…と1との間には無数の実数が存在する
しかし、実際にはそのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
故に、0.999…=1
＜証明終わり＞

>>253
1の位を0にするのはなぜだ？
初等的に説明できる？

>>255
1の位が1で、1より小さい数があったら教えてくれ

>>256
数学の話をしてくれ

>>257
初等的だし>>256で問題ないだろ？

初等的とは文学的ってことか

存在しないってのを初等的にって案外難しい気がするなあ。
「もしかしたら存在するかも…」って声が延々残る気がする。

>>259
何に拘っているのかわからん。

1=0.999…と仮定する。
しかし、各位を比較していくと 1.000… > 0.999…である。
よって仮定は矛盾。

で？

a≠bでaの全ての桁の数字とbの全ての桁の数字が異なるとき、
a<c<bを満たすcについて、[a]≦[c]≦[b]ぐらいは使って良い
んじゃない？小数点以下は10倍を順次していけばいい。この
場合は上のイコールが成り立たないことは、各段階毎に示す
ってことになるけど、それも明らかでいいんじゃ無いかと思
う。

>>264
んー。何か微妙。なんでそんな決まりあるんだー。

>>265
決まりというか、厳密に証明できるからね。

　　０．９９９・・・
　　−−−−−−−−
８ノ８
　　７　２
　　−−−−−−−−
　　　　８
　　　　７２
　　−−−−−−−−
　　　　　８
　　　　　７２

別に９÷９でなくても・・・。

>>267
そそっ、>>248で指摘されてるね。

てか、何で1で割らないの？って尋かれたらどうすんだ

>>269は間違い。
何で商を1にしないの？って尋かれたら
だった

別に良いじゃんって答えるw
余り0にしたくないからとか。
割り切って終わりにしたくない、いつまでも続けたい。君は嫌かい？とかw

>>266
実数は必ず（無限）小数で表記できるの？
無限小数で表記できない実数があって、１と０．９９９９…の間にあるって可能性は？

>>272
無い。もちろん通常の実数を前提にしているが。

任意の実数に対して、それに収束する有理数列を作れる。
つまり実数は全て(無限)小数で表記できる。

(0以上1未満の)実数xに対してan＝[x*10^m]−10[x*10^(n−1)] ([　]はガウス記号)とおけば
0.a1a2a3…がxの無限小数による表記だな。

p＜q⇔p＜r＜qってなかったか？
で
r＝(p+q)/2
ってすることもできるよな？

あとはこれに当てはめて計算すれば良い

＜証明＞
0.999…≠1と仮定する（共に実数とする）
実数の性質により、0.999…と1との間には無数の実数が存在する
しかし、実際にはそのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
故に、0.999…=1
＜証明終わり＞

だから、それいうなら
「しかし、実際にはそのような実数は存在しない」
もきちんと説明しろよ

「0.999…=1」の証明が必要な相手に
「0.999…と1の間に実数が存在しない」の証明はいらないと思ってるのか？

小数表示で確かめればおｋ

>>277
その証明にはアルキメデスの公理がいるような気がする。
まあ色んな形があるけど、
∀ε＞０∃n∈N 10^(-n)＜ε が一番分かりやすいかな。

>>279
アルキメデスの原理なんか使えると、「初等的説明」じゃなくなる気が…。

まあ、根底にそれがあるのは絶対否定できないんだけどね。

その公理も、言ってることは簡単なんだけどな

>>280
てか、「実数」という概念自体がそもそも 人 類 が 苦 戦 し て き た 難 し い 概 念 だから、
真に初等的な説明をするのは不可能。

小学校で有理数までを習い、中学3年あたりでようやく無理数を習うにも関わらず、高校に
入ると当たり前のように実数が出てくる(←中学までの数学では実数の思想・性質について
ほとんど何の訓練も受けていないにも関わらず)。こういう中途半端な状態でさらに虚数や
limを教わる。これらについての厳密な定義を教わるのは大学に入った後。しかも数学科のみ。

だからあ…逆に言えばいいじゃん。

実数とは「１＝０．９９９９…」が言える数だとかね。
これだと、モロ初等的に直感的に把握できるだろ。

だから
p＜q⇔p＜r＜q
rc（rの真ん中）＝(p+q)/2
これ

(1+0.999・・・)/2=?

>>284
そりゃ有理数でも言えるだろ。

0.999・・・＋1/(10の∞乗)

これはどうなるの？

>>283
そんな説明では、「じゃあその式が成り立つ実数の定義の仕方って何よ？」と
聞かれることになり、結局突っ込んだ議論を行うハメになる。初等的でも
直感的でも何でも無い。
あるいは、既に自分の中に(変な)実数感を作り上げてしまった人間からは
「いやいや、そんなのは実数とは呼ばない」と否定されてオシマイ。

>>287
1/(10の∞乗) とは何だ？
lim[n→∞] 1/10^n の事なら、これは0だから足しても変わらない。
0.0…01は…の部分がいくら長くなっても0ではないから
1/(10の∞乗) は0とは違うと感じてるのなら、
0.999…が1じゃないと感じてる人の場合と同じような議論になる。

0.999…と書いた時点で、0.000…001 (←無限桁目で止まる)みたいな「無限小(モドキ)」を
自然に連想しちゃうからな。すると、その人の頭の中で実数に無限小の公理(？)が勝手に
加えられ、その結果アルキメデスの原理が否定され、しかもその実数は「超実数(モドキ)」
なので なまじ間違ってるわけでもないし…

>>288 >>290
１＝０．９９９９…となるように、理屈を構成しちゃったのが現在の実数で
０．０００…１　みたいな無限小の存在を認めてあれこれ論理的にやっちゃったのが超準解析だ

で良いのでは？
これらが嫌なら、頑張って別の方法で論理的に実数を構成してくれ…ってことで。

量の概念と、個数の概念とを、ごちゃ混ぜに扱っている結果としか思えない。

>>292
というと？

2進数だとどうなるんだ？

0.999999・・・=1
っていうのは、
「10個ならんだ扉の一番右を無限回開け続けた場合、最後の扉を開けたところに1がある」
ってことだよね。
でもそれって、一番最後の扉というモノが存在するという前提がなくては
たどりつけない場所なんじゃないかな？
無限なのに最後があるというのもおかしな話で。

ﾝｰ、梅雨のようにすっきりしない問題だわぁ

>>190の証明が自分なりにすっきりした

＞「10個ならんだ扉の一番右を無限回開け続けた場合、最後の扉を開けたところに1がある」
＞ってことだよね。
違います。

>>196の間違い

1を10等分して一番右の扉を開く→0.9
残りの0.1を10等分して一番右の扉を開く→0.99
（ｒ

っていう考え方じゃないのん？

p＜q⇔p＜r＜q
rc（rの真ん中）＝(p+q)/2

pとqにそれぞれ1と0.999…を入れて計算するが良い

どこから突っ込めばいいか

5桁のこの2つの数はどっちが大きい？
23486
12345

って時普通は、5桁目の2と1だけ比べて23486が大きいってするよね。
0.99999
1.00000
の場合はどうしてそれやっちゃだめなの？

0.99999と1.00000だったらそりゃ1.00000のほうが大きいわな
有限数で表したら当然そうなる

0と9が無限に続く場合でもそれでいいんじゃね？

よくない

大きさが１の実数の無限小数による表し方はただ一つだけだ，と誰が言った？
２通りあるんだよ。
1.00000... 　　と　　0.99999...　とね。

>>306
うまいっ！

0に無限に近い数。
って表現される事あるじゃん。
近いだけであって0じゃない数。

同じように1より小さい側の1に無限に近い数は？
1.00000...と0.99999...が同じだとしたら0.99999...8？

>>308
文学の話か？ここは数学板だぞ。

同じだとしたら0.99999...8？
0.99999...9？じゃね？

10進法を使うからトラブルが起こる
0.33333・・・と0.9999・・・を扱うときは3進法を使うという国際ルールを定めるべき

1=0.999999･･･であるというお約束のもとで
無矛盾な論理系が構築されて良かった良かった････、
ということではダメなんでしょうか？

>>2を見るかぎり、そういう結論で良さげですが。
初心者ですので、どうでもよければスルーしてください。

根源となる公理の正しさは神がお与えになった。

>>308
無限に近い数って無限に大きい数
とかと一緒で決定できんだろ。

0.9999（ｒ=1
っていうのは、　一番最後の桁まで計算しきった　という仮定があって初めて成り立つだろ
無限桁の小数へ　一番最後の桁　という概念を当てはめることの是非がそもそも？だ

最後の桁云々なんて仮定があったら、イコールにならんだろアホが。

＞0に無限に近い数。 って表現される事あるじゃん。
無い。少なくとも実数論においては。単にあんたがトンデモ数学の議論を見かけただけだろ。

>>311
0.999・・・を3進法にしたら、0.222・・・になるだけだが

量子力学の世界では、机に手を置いて、手が机を透過する確率は0ではなく、
0に限りなく近いなんだそうだ
夢が広がったお＾＾

>>190の

＜証明＞
0.999･･･≠1と仮定する（共に実数とする）
実数の性質により、0.999･･･と1との間には無数の実数が存在する
しかし、実際そのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
故に、0.999･･･=1

･･････というのは、これでいいんですか？
>実数の性質
というのが、どこからきたのか考えると、同義反復になっていて、
Ａ＝Ａは常に真である、といっているようにしか思えないのですが。

とんちんかんな疑問だったらスルーしてください････

>>320
いや、実際に作れない。実数は小数表示できるが、どのような小数表示された数も
この２数の間にはない。

実数の性質に稠密ってなかったか？

>>322
ずいぶんと難しいことを知ってるね。

で、190の証明を持って来るんだよ

実数の性質って何？って聞かれたら→稠密
間にあるかもしれないよ？って言われたら→p＜q⇔p＜r＜q 　rc（rの真ん中）＝(p+q)/2

これでいいでしょもう

>0に無限に近い数
ttp://66.102.7.104/search?q=cache:zame05ouytMJ:www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/nsa3.pdf+%EF%BC%90%E3%81%AB%E7%84%A1%E9%99%90%E3%81%AB%E8%BF%91%E3%81%84&hl=ja&gl=jp&ct=clnk&cd=4
例えばこことか。
微分の授業の時にもこんな感じの表現が使われてた。
aが0に無限に近づくと…とか。
0に無限に近づいた結果、0に無限に近い数になるんじゃないの？

>>325
それ「実数」じゃなくて「超実数」なのだが。

>>320
他の初等的証明もつっこまれると結局その手の暗黙の了解というか前提条件は
根本に厳然として存在するから…まあ良いのでは？

このスレタイの数式が、実数の場合とどこに書いてあるのか教えてくれ。
あと、０．９９９９・・・・が循環少数であるって言うことも。
1／3＝０．３３３３・・・はそのように表現してよいというだけで、
循環小数と定義されていない０．３３３３・・・は、1／3と同値であることを証明しなければいけない。

>>328

回答テンプレ　>>245-247　の ＱＡ１,ＱＡ５　あたり

テンプレでは実数であることを前提にしているが、スレ全体では何も言ってない。
>>328は自分の好きなようにしてくれ

>>190は
0.9999...<x<0 というxを定義すると矛盾が生じるって事だよね。
実際には存在しない、じゃなくて具体的にはどうやって証明するの？

そのxを無限小数展開するとx＝0.999…になっちゃう。

◎0.999・・・は実数ではない
◎0.999・・・は実数だが稠密性が成り立たない実数だ
って結論も言えるな

>>333
有限小数と9が循環する小数のみ隣り合う実数を持つという実数像ね。
確かにそういう者が作れないわけではない。が、かなり致命的な欠点
がある。それは、「n進法による小数表示」のnの値に依存してしまう
という点だ。隣り合う実数を持つような数は、10進法表示と3進法表示
では異なってしまう。我々の指の数が実数の性質を決めるのに本質的
な意味を持つなんて考えられるだろうか？

だから、例え無矛盾であっても、このような実数像を採用することは
ないだろう。

でも、小数の場合10進数で実数であるが、
２進数では無理数になる場合があるというのも矛盾があるのでは。

何のこと言ってるのかわからんが、書いてあるとおりのことが起きてるなら矛盾だろう。

>>335が言いたいことがわからん

無理数って実数じゃないん？

数┬実数
　 ｜├有理数
　 ｜└無理数
　 └虚数
こんな感じじゃなかった？

>306
>大きさが１の実数の無限小数による表し方はただ一つだけだ，と誰が言った？
>２通りあるんだよ。
>1.00000... 　　と　　0.99999...　とね。
とかいたものだが，追加。

高木貞治「解析概論」1ページ目に
「有限位数の十進数を循環小数の形に表すこともできる。
例えば，0.6＝0.5999...。」
とあるぞ。
有限小数の無限小数展開による表し方は一意的じゃないんだよ。

>>335
わからん

>335
0.999...は立派な実数だよ。だって1と同じだからね。

訂正
>335　でなく　>333

510

３４５

あ

結局>>335はなんだったのか

0.999…=1を否定する人って、これの証明を受け入れないことには全力を尽くすけど、
0.999…≠1を証明することには全くエネルギーを使おうとしないね。

0.999…≠1と老いてみる

稠密性云々

矛盾が起きる

正銘完了

背理法といったかなこれ

まあそうなんだが、彼らは稠密性云々が成り立つ方が間違いとか言い出すからねw
実数がどんなに無茶苦茶になっても良いから自分の主張を通そうとする様子は、
今井実数を彷彿とさせる。

でも超実数で考えるとあながち嘘とも言えない。無限小の1つをεとおいて
0.999…＝1−εと定義するわけ。もっとも、この場合は問題点があり、
1−ε' (ε'はεとは別の無限小)に対する無限小数展開が定義出来ない。
解決法は2つ。
(1)定義しない。
(2)0.999…(ε)＝1−ε みたいに、表記法を少し改良する。


…と、ここまで書いて、(2)の表記法における「0.999…(0)」は1を
表していることに気づいた俺。意味ネェ！！

円周上の点Ｐが無理数の角度で移動して行くと一周しても元の点Ｐには
戻らない。この軌跡がＰを超える度に周回数をカウントすると、
周回数が無限大になればＰに限りなく近づく点がある。しかしこの点をＱ
と定義してもＰ＝Ｑとはならない。

πずつ移動

　　　　　　　　　　　　　　　。　　　　　 　。　　*。,　+　。.　o　゜,　。*,　o　。.
　　゜　　o　　　.　　。　　　.　　.　　　,　　.　,　ｏ　。゜.　,゜　。　＋　。　。,゜.。
　゜　,　　　,　。　.　　　＋　　゜　　　。　　。゜　.　゜。,　☆　*　。゜.　o.゜　　。　.　。
。　.　　．。　　　　o　　　．.　。　゜　 ゜　,　。.　o　。*　。　.　o．　。　．　.
　　　　　　　　。　　　.　　　。　　．　.゜o　。　*．　。　．.　☆　.　＋.　.　　.
　。　.　　．　.　　　.　　　．　　。　゜。,　☆　゜.　＋　。　゜　,。　.　。　　,　.。
　　　　゜　　。　　　゜　　.　　+。　゜　*　。.　,　。゜　+.　。*。　゜.　　　.　.　．　　.
　。　　.　　　.　。　。゜.　。*　。,　´。.　　☆。。.　゜。+　。　.。　　.　　。　　　.
　　.　　　。　　゜　゜。　。,　.。o　☆　+　,゜。　*。.　。　。　.　　　　。　　　　.
　゜　.゜　゜　　。゜　+　。.　+。　*　。゜。゜.,　,+　。゜.　。　.　.　　　,　　　　,　　　.
゜。゜+゜`,　o。。.゜*。゜　。.゜　。　☆＋。。゜.　°　。　.　　　,　　　　　　゜　　　　゜
　。,　.゜。　+　☆。,゜.　o。 。+　。゜.,　　.　゜　　　,　　　。　　　　　。　　　.　　　.
　゜.　ｏ　*　。゜。゜.。゜。+゜　。　。　゜。 ゜　。　　゜
゜`　.゜　.゜.　゜.　.　゜　　.　　゜　　.　　　,　　.　　　　　.　　.　　　。　　　　　　゜　.
　.　　.　　　　　.　,　　　　　。　　　　　　　.　　　　　　　　　　　.　　,　　　　.
　　　　　　。　　　　　　　　　　　　　　　　　゜　　　.　　　　　　　　　　　。
　,　.　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　,　　　　　　　.　　　　　.
　　　　　。　　　　　　　　　　　　　.　　　　
　　　　　　　　　　　　 　∧∧　∧N∧ 　＜わからない‥‥。　
　.　　　.　　。　　　　　(,,,　　）,(　　 ,) 　　　　　　.　　　　　.　　　　。
　　　　　　　　　　　〜(,_＿_ノ 　(,,_＠） 　　　　　　　　.　　　　　　　　　　.
　　　　‐''"´'''"""''"｀''""｀"""''''''"´'''"""''"

>>352
「一週したら元に戻るんじゃないのか？」って一蹴されるぞ。

>>352
まず無理数の角度の意味が分からんす

>>352
> 周回数が無限大になればＰに限りなく近づく点がある。しかしこの点をＱ
> と定義してもＰ＝Ｑとはならない。

無限大になればP＝Qという点が出てくる

例えばＰが√２πづつ移動するとする。そうするとこれらの軌跡は
同じ点には２度と戻らない。その証明は自分でして。
>>357
周回数をnとして、lim ｎ→∞　この中でＰに近い点はいくらでも
あり得る。ではそれは収束する数列として表現できるのか。
無理だろ。それは通常「発散」する、と定義される。

この理論だと、0.9=0.899999…になるの？

なるよ。当然。

＞ではそれは収束する数列として表現できるのか。
R^2のユークリッド距離に関する収束列じゃん。バカなこと言ってんじゃねぇよ低脳！

「Ｐに限りなく近づく点」って表現が、理解してないか勘違いしてることを表してるな。
座標の決まった点QとPとの関係に「限りなく近い」って概念は無い。

・・と、一致してる場合は除いてね

>>358
2πは無理数

>>358
P＝(1，0)とする。発散する自然数列{xn}でlim[n→∞]cos(√2πxn)＝1，lim[n→∞]sin(√2πxn)＝0を
満たすものがある。Pn＝(cos(√2πxn)，sin(√2πxn))とおけば、n→∞のときPnはPに収束する。ただし
xnは発散する。おまいさんはこのxnに対して「発散する」と言ってるだけなんじゃないのか？Pn自身は
発散してない。Pに収束してる。


発散する実数列anに対してlim[n→∞]1/an＝0だから、1/anは0に収束する。lim[n→∞][3an]/an＝3
( [　]はガウス記号 )だから、[3an]/anは3に収束する。これを「いや違う。anは発散するから、
両方とも『発散する』が正解だ」と言ってるようなもんだ。

>>358
＞自分でして
じゃなくて、お前が示すべき事だろ。
誰もそうなるって言ってないんだから。

証明するまでもなく自明だろ。
もしP=Qとなる点が存在するとすると、無理数が有理数で表されることになるので矛盾。
この場合の角が有理数というのは、一周したら有理数でなければならないから、
[0,2π)を[0,1)にでも写せばいいだろ。

>>364

0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999≠1

そうですね

なるわけないだろ。バカじゃねえの。
同じだったら時間がすすまねえだろ。

�@　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…
てにのがまずバカだろ
０．３３３３…×３＝０．９９９９…が違うし

0.999…が実数として存在してるってバカだろ。
存在してたら0.999…の定義が矛盾するじゃん。

0.a1a2a3…の定義は

0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]ai/10^i

だから、0.999…＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]9/10^i＝1となって何も矛盾しない。

>>371-373
>>352を見習って、もっと食いつきどころのある餌にしろよ。

そんな文字列言われてもわかんねえんだよ。
l記号を文章化して説明しろよ。
俺は頭悪いんだぞこのやろう。

この程度も分からないバカが実数について語ってんじゃねぇよ。

>>372
そういう計算になるように、無限小数の演算を定義するんだよ。

>>378
「そういう計算になる」ってのは、＝派なのか？≠派なのか？

＝派だが何か？　

＝になると色々都合が良いから、＝になるように各種の数の定義や演算の定義を
行うってこった。

>>380の意味なのか、
「０．３３３３…×３＝０．９９９９…が違うっていうなら、
　そういう計算になるように（自分で）無限小数の演算を定義しろ」
って意味なのか、どっちにもとれる文だったからさ。

0.333・・・×3＝1だが
0.333・・・×3＝0.999・・・は無理っぽい
0.333・・・は「3をかけると1になっちゃう数」だから
俺に断りも無く各桁に3かけるのはどうかと思う

X=0.999...
10x=9.999...
9x=9
x=1
QED

>>383
m9（＾Д＾）プギャー

塩分濃度1％の塩水に無限に水を足していく場合、
塩分濃度は0％になるの？

>>385
塩の量をa、もともとある食塩水の量を100aとして

lim{a/（n+100a)}
n→∞

を考えてみなっせ。

1/3=0.333...
1=(1/3)*3=(0.333...)*3=0.999...
QED

〉385
分子がなくなるときが、濃度０になるときだな。
単に水を継ぎ足して行けば永遠にその時は来ないけど。

「無限に」って書いてるんだから「0になる」でいいんじゃね？

コップの中に水をつぎ足して行く場合、有限でもいつかは濃度は０になるな。

>>389
無限のH2Oの中に一つのNaClがある場合それは存在しないものとして扱うのか？

無限の水なんて存在しない仮定してる分際で
その後に存在しないことが出てきたくらいで文句言うな！

無限のH2Oの中に一つのNaClがある場合、
それを「食塩水」と呼べるのかどうか甚だ疑問。

化学だか料理だかの言葉の定義は他でやってくれ

Ｑ．それは純水ですか？
Ａ．NaClがあるため純水とは呼べません。

Ｑ．それは塩水ですか？
Ａ．そうなりますかね。

濃度0の塩水

降雨確率0%でも雨は降るかもしれない
的の中心に当たる確率が0でも当たるかもしれない
勝手に選んだ実数が有理数である確率は0だが、有理数を選ぶこともあり得る。

＞勝手に選んだ実数が有理数である確率は0だが、有理数を選ぶこともあり得る。
個数が非可算無限の場合の確率を実数の範囲で考えることには無理があるのかもしれないな。

a_nの極限値 a=lim(n→∞)a_n は 必ずしもa_n の仲間であるとは
限らない。
a_1→a_2→a_3→… →　（別世界）a
って感じね。

だから，
>>389
>「無限に」って書いてるんだから「0になる」でいいんじゃね？

は正しい。食塩水を薄めていった極限は食塩水である必要は
ないんだ。

NaClが1しかなかったら混ざってないだろ。
それは食塩水じゃなく食塩と水だ。

よく、例えば水の性質で「融点が0度、沸点が100度」っていうけど、
水分子１個だけだったら融点も沸点もないよね。

0.999･･･≠1と仮定する（共に実数とする）
実数の性質（稠密）により、0.999･･･と1との間には無数の実数が存在する
しかし、実際そのような実数は存在しない
よって、仮定と矛盾する
∴0.999…=1

今は「実際そのような実数は存在しない」を考え中

考え中・・・？

あるかもしれないじゃないか！

を跳ね除けるような理論を考え中

a<x<bと置いてみる

ある実数a,bに囲まれた実数xの中間の数字（なんていうの？）をCxと置いてみる

Cx=(a+b)/2

a=0.999…
b=1
を代入すると
奇跡は起こる

>>402 の証明につきあうと

Σ[i=1→∞](9/10^i) < 1　…　(*)
と仮定すると，
nがどんなに大きい自然数であっても
Σ[i=1→n](9/10^i) < c < 1　…　(**)
であるようなnに依存しない実数cが存在する。

ここで，s(n) = 1 - Σ[i=1→n](9/10^i) とすると
nがどんなに大きい自然数であっても
1 - c < 1 - s(n)　…　(1)

ところで，1 - s(n) = 1/10^n　であるから，
N > log_10(1/(1-c)) であるような自然数をとれば
1 - s(N） < 1 - c
となり，これは(1)と矛盾する。

したがって(*)は成り立たない。　（終）


cがnに依存してよいなら，どんなnに対しても
(**)を満たすcは存在するけど，そうするのは間違い。

0.999…＜c＜1ならば、cを無限小数展開するとc＝0.999…にならざるを得ない。
すると0.999…＜0.999…＜1となって矛盾する。

1-0.999…=0.000…
0.000…に末尾はないから、0.000…1というふうにはならない
つまり、0.000…=0
よって、1-0.999…=0
移項すると、1=0.999…

1=0.999…が理解できない人には0.000…1=0も理解できないんじゃね？

どう見ても0.000…1≠0です。本当に（ｒｙ

有限と無限を理解しろ

なんか理解しろ。

それより先に、「イコール」を理解する必要があると思う

0.999……≠1と言い張る人、
1-0.999……が何になるのか教えてくれ。

超実数で考えれば0.000…1≠0はおかしくない。nを
ある超自然数として0.000…1＝1/10^n≠0と解釈できる。

これ俺が小6の時証明したよ
1/3＝0.3333・・・・
0.33333*3＝0.9999・・・・
よって1＝0.9999・・・・

>>414
0.000・・・だろうな

>>409
> 1=0.999…が理解できない人には0.000…1=0も理解できないんじゃね？

"0.000…1"はあまりよく見る形じゃないな。
だからその定義を教えてくれ。できればlimを使った形で。
そうしないと始まらない。

>>416
1/3=0.3333…じゃない 1/3=0.3333… 余り0.1の∞乗だ つまり
3/3=0.9999…＋0.1の∞乗て事だから 1≠0.9999…

<証明>
0.999…≠1と仮定する（共に実数とする）
ここで、0.999…=a,1=bと置く
実数の性質（稠密）により、aとbとの間には無数の実数xが存在する
a<x<b　…�@
aとbに囲まれた実数xの真ん中の数をCxとおくと
a<Cx<b…�A
Cx=(a+b)/2　…�B
ここでa,bにそれぞれ0.999…,1を代入すると
Cx=(0.999…+1)/2=1.999…/2=1.999…
�Aより、0.999…<0.999…<1となり、不等式が成立しなくなる
よって、このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない
よって、仮定と矛盾する
∴0.999…=1
<証明終わり>

0.999…<0.999…<1となり、不等式が成立しなくなる
よって、このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない

ここの文章が微妙
誰か直して

a≠bと仮定する（a,bは実数)
実数の性質（稠密）により、aとbとの間には無数の実数xが存在する
a<x<b
aとbに囲まれた実数xの真ん中の数をCxとおくと
a<Cx<b
Cx=(a+b)/2
ここでa,bにそれぞれ0.999…,1を代入すると
Cx=(0.999…+1)/2=1.999…/2=1.999…
0.999…<0.999…<1となり、不等式が成立しなくなる
よって、このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない
よって仮定と矛盾する
∴0.999…=1

にしたほうがいいか

あー違う
国語的におかしい
・・・・・どうしよう？

>>365
永久に単振動軌道を周回する数列に対して収束値が存在するなど初めて聞いたわ。
もっかい高校からやり直せ。

＞もっかい高校からやり直せ。
高校？何で高校なの？　大　学　の間違いだろ？収束・発散の厳密な定義は大学に入って
初めて習うのだから。そして、それらをキチンと理解していればオマエのような間違いは
しない。要するにオマエは高校の幼稚な知識しかねぇってことよ。だから「高校からやり
直せ」とズレた発言しかしない。せめて「ε−δ論法からやり直せ」と言ってほしかったねぇ。

＞永久に単振動軌道を周回する数列に対して収束値が存在するなど初めて聞いたわ。
数列じゃなくて　点　列　だよ。単位円上を周回する点Pに対して「数列」という用語を
使う奴は大学にはいない。どんどんボロが出ますね(笑)。「数列」という用語は値が
実数(または複素数)のときに使うもの。単位円上を周回する点Pのように、値が実数で
ないものに対しては一般に点列という言葉を使う。

そうだね、まずはオマエが使っている「収束・発散」の定義から聞こうか。
質問1：R^2の点列PnがR^2の点Pに(ユークリッド距離に関して)収束することの定義を述べよ。
質問2：R^2の点列Pnが(ユークリッド距離に関して)発散することの定義を述べよ。
質問3：R^2の点列Pn＝(cos(n)，sin(n))は、ユークリッド距離に関して、
「ある点Pに収束する」「発散する」「どちらでもない」の3つのうちどれを満たすか？

>>424
寝言はいいから、本筋を言ってもらいたいね。
実数値の周期を持ち閉鎖空間内部を構成するような点列の
「終点」は何所ですか？　３？　誰がそんな答えで納得する
っちゅーのｗ

＞寝言はいいから、本筋を言ってもらいたいね
>>424が寝言に見えるってことは、オマエ本当に何も知らないんだな？

＞実数値の周期を持ち閉鎖空間内部を構成するような点列の「終点」は何所ですか
「閉鎖空間内部」って何？どこの世界の数学用語ですか？その閉鎖空間内部とやらを
「構成するような点列」って何？何を以って「構成」と言ってるの？どこの世界の
数学用語ですか？
質問4：「閉鎖空間内部」という用語の意味は何？
質問5：その閉鎖空間内部とやらを「構成するような点列」というコトバの意味は何？

収束：無限数列a1,a2,…,an,…においてnが限りなく大きくなるにつれて対応する末項anが
一定の数xに限りなく近づくならば、この数列は極限値xに収束するという

発散：数列や級数が収束しないこと。
極限において、正または負の無限大になる場合とある有限値のまわりを振動する場合がある

…高校生の私にもうちょっと分かりやすく
ってか振動って意味不明

寝言はいい

ユークリッド空間：n次元の2点(x1,x2,…,xn)と(y1,y2,…,yn)との距離が、
√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+…+(xn+yn)^2}で定義される空間。
この距離をユークリッド距離という

わかんね

√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+…+(xn-yn)^2}
だった

寝言はいい

ε-δ論法：解析学において、「限りなく近づく」という極限の概念を定量的に定式化する方法の総称

もう謎だ
ここまでくると意味不明だ

ここまで来てしまうと数学はＳＦの世界に突入してしまう

さらに奥に行くとファンタジーだ

数学はファンタジーさえも凌駕する

数学はファンタジーだ！

ε-δ論法：エプロンに覆われたデルタの神秘
BDP:バター犬問題

>>426
閉鎖空間知らないの？
涼宮ハルヒ読めよ。

talk:>>436 お前の価値観ってなんだよ？

>>437
空気嫁。

>>436
スレ違い。

>>436
お前、責任取れよ

>>420 >>421

突っ込みどころとしては，

> Cx=(0.999…+1)/2=1.999…/2=0.999…

のところで，得体の知れない0.999…とか1.999…とかに
加減乗除の演算法則を適用してよいのかどうか，という点
だろうな。（0.333…×3 = 0.999…など他の証明にも言える）

>>419
> 1/3=0.3333… 余り0.1の∞乗

この式はだめだ。左辺は実数だか，右辺は実数ではない。
実数と実数でないものはイコールでは結べないわな。
（小学校では使っているけど，数学的には間違った使い方）

>>441
「0.999…は実数である」という前提があれば、少なくともc＝(0.999…＋1)/2という実数は
存在する。そして、このcさえあればその後の1.999…/2やら0.999…への変形は必要ない。
c＝(0.999…＋1)/2＜(1＋1)/2＝1，c＝(0.999…＋1)/2＞(0.999…＋0.999…)/2＝0.999…
だから0.999…＜c＜1となる。よって、cを無限小数展開するとc＝0.999…にならざるを得ない。

>>442
なるほど，いい工夫だと思う。
そうすると0.999…が実数であることを言う必要があるな。

>>420　で
> 0.999…≠1と仮定する（共に実数とする）

となってるが，証明の最初でこうすると，背理法による
証明の結論は，
「よって，
　0.999…＝１　または　少なくとも一方は実数ではない」
になってしまうぞ。

>>443
＞そうすると0.999…が実数であることを言う必要があるな。
それは証明できない。最後の最後には、「0.999…」という記号列、あるいは
一般に「0.a1a2a3…」という記号列が何を表しているのかを　定　義　す　る
しか無いから。通常は0.a1a2a3…という記号列に実数をうまく(四則演算が
成り立つようにうまく)定義しているだけ。

1=0.9999…+0.1の∞乗
ってのはあってんの？

>>445
∞を数として扱うなとあれほど言っただろ。
limを使ってくれ。

>>444
じゃあ定義すればいいじゃないか。

0.999…＝lim(n→無限大）Σ(k=1→n)(9/10^k)
で問題ないだろう。
>>374　の定義でも同等だろう。

>>447
そういうこと。だが0.999…≠1派の中にはlimという
操作を認めない輩もいるわけでな…

1=0.999…
をこう書けば両派ともに同意してもらえるだろうか。

0.9, 0.99, 0.999と
9をどんどん増やしていくと1にどんどん近づいていく。

とすると今度は，

0.999…（すなわちlim(n→∞）Σ(k=1→n)(9/10^k) ）が
実数であることを証明せよ。

ということになるな。

>>450
limの定義から明らか。

limの定義っちゅうより実数の定義じゃね？

じゃあ,もうちょっと広げて，
Σ(n=1→∞)(a_n/10^n)　　（a_nは0から9までの整数）
はつねに実数を表すとしていいわけか？

そう

>>453
それを保証するのが連続の公理

talk:>>437 お前誰だよ？
talk:>>453 実数空間では区間縮小法の原理が成り立つ。

いや、0.999…無限小数で無限小数は実数なわけだが
それを証明せよといわれても定義だから
0.999…が無限小数だということを証明しろとかいわれても・・・・ねぇ
無限小数が実数であることを証明しろとか・・・・・ねぇ

>>457
確かに実数は無限小数で表すことができるが，
逆に，どんな無限小数も実数だとしていいんだな。
（デデキントとかカントールとかの実数の構成などまで深入り
する必要はなさそうだし。もっとも，俺はよく知らんが。）

つまり，実数全体の集合をRとすると
0.999…≡lim(n→∞）Σ(k=1→n)(9/10^k) ∈ R
ということか。

そうすると，0.999… = 1　である，ということで終了だな。
0.999… ≠ 1 だという主張で数学的に納得できるものは
ひとつもなかったしな。

無理すれば作れるが、やはり無理してるだけあって不自然なんだよね。
普通にやれば等しくせざるを得ない。

ﾎﾟｶｰﾝ( ﾟдﾟ)

<証明>
0.999…≠1と仮定する
実数の性質（稠密）により、0.999…と1との間には無数の実数xが存在することになるから
0.999…<x<1
ここで、0.999…と1に囲まれた実数xの真ん中の数をCxとおくと
0.999…<Cx<1
また
Cx=(0.999…+1)/2
とおけるので、これを計算すると
1.999…/2=1.999…
これを不等式に代入すると
0.999…<0.999…<1
となり、不等式が成立しなくなる
よって、このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない
したがって、仮定と矛盾する
∴0.999…=1
<証明終わり>

少し改造した
これでいけるか
小学生でも納得できる証明

※定義より無限小数は実数
　実数ならば四則演算は適用できる

とおけるので、これを計算すると
1.999…/2=1.999…

0.999…じゃね？

> このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない

ここ、小学生でも納得できるのか？

>>462
ごめん

>>463
ごめん

小学生を中学生に変更

ってか今って集合って中学生で習うよね？

実数 x, y に対して、(x+y)/2 が存在しないならば xとyの間に実数は存在しない

これを x=yを使わずに証明するのはどうするんだ？

「真ん中」がない
ということは…
だめだ、哲学的思考しか思いつかない

真ん中が無かったらその様な実数xは存在しないことは分かってるんだ
う・・・証明ができない
哲学的思考しか思いつかないぞ
「真ん中（中心）が無い円」
だめだ、これも無いことは分かっているけど証明ができない
やばいぞこれは
「中心が無い図形」
やばい
面積が無いじゃないか

頭が混乱してきましたママ
死にます

>>467
久しぶりにこの言葉を言う。
逝ってよし

>>468
まだその言葉生きてたのか
>>467
逝ってよし

>>461
>※定義より無限小数は実数
>　実数ならば四則演算は適用できる

実数どうしなら確かに四則演算は適用できるが，無限に続く
桁数の中の数字にそう安易に筆算の法則を適用してしまって
いいの？（そもそも「ある実数を表記している位の数字」
って実数に属するのか？）

いいというのなら例えば，0.532532532...÷0.21212121...
なんかはどうやって分数を使わずに筆算するんだ？

さらに，いいというのなら
0.333...　= 1/3
両辺を3倍して
0.999... = 1
とやれば済むことじゃないか。

>>470
a=lim[n→∞]a_n 、b=lim[n→∞]b_n の時

a±b = lim[n→∞] (a_n±b_n)　　（複号同順）
a*b = lim[n→∞] (a_n*b_n)
a/b = lim[n→∞] (a_n/b_n)　　　（ただし、b, b_nは0ではない）

が成立する。
つまり無限小数の四則演算は、小数第n位まで計算して
それの極限をとればよい。

極限の議論をしないで無限小数の話をしようとすると
結局どこかを誤魔化さざるを得ないんだよね。

>>467
おもろいっ！

これはひどい自演ですね

>>409
>1=0.999…が理解できない人には0.000…1=0も理解できないんじゃね？
なぜそこで1を最後に書くのか。それが混乱の原因だろうが。
寧ろ0.000…＝0は認められるか否かというところでもめている


…んだよな？

0.000…

最後に1を書きたいんだけど、書いたときにはそこは0
もう1回試してみてもまた0になっちゃった
いつまでたっても最後の数字が見えない
これが無限小数

【著作権】「ローマの休日」など2作品について保護期間満了と認定　パラマウント請求却下　東京地裁
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1152605474/
この問題って正にこれじゃね？

VIPに突撃してやれ
「0.999999999999…=1ってさ」
ttp://ex16.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1152865328

age

数学板の結論

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

Ｑ７：Ｑ６の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか？
Ａ７：
�@　　１／３＝０．３３３３…　
　　　　　　両辺を３倍して
　　　　１　　＝０．９９９９…

�A　ｘ＝０．９９９９…　とおいて
　　１０ｘ−ｘ＝９．９９９９…　−　０．９９９９…
　　　９ｘ　　＝９
　　　　ｘ　　＝１
　　したがって　１＝０．９９９９…　である。

�B　１／９＝０．１１１１…
　　２／９＝０．２２２２…
　　　　　…
　　８／９＝０．８８８８…
　　９／９＝０．９９９９…　＝　１

�C　０．９９９９…　は初項０．９公比０．１の無限等比級数だから、その値は
　０．９９９９…　＝　０．９／（１−０．１）　＝　１

�D　ｎ÷ｎ　を計算する際に商の一の位に０をたてると、０．９９９９…が得られるから
　１　＝　ｎ÷ｎ　＝　０．９９９９…

予想していたが、vipって馬鹿ばっかだな

…6667=1/3
　　両辺を３倍して
…00001=1

　…6666666667×3を筆算でやってみ

＞…6667=1/3
いろんな意味で意味不明なんだが……
オーム真理教の呪文か？

だから、…6666666667×3を筆算でやってみ

それは666…6667*3と言いたいのか？

>>483
イコールの意味知ってるか？

えっ？　まだ，不明な点があるの？
結論としては
　　0.999…　の定義は　lim(n→∞)Σ(k=1→n)9/10^k
　　実数の無限小展開は一意的であるとは限らない
ということを考慮に入れれば
　　0.999… = 1
であることに疑問の余地はないと思うけどな。


ところで，a_n = 1/n　で表される数列は，nがどんな自然数で
あっても正だけど，n→∞とした極限は正ではないよな（0だから）。
0.999…=1 に疑問を感じる人は，この問題にも納得できないのかな？

0.9999……=1に納得できない人間は、10進数表記に毒されすぎているだけ。

>>488
今更そんな書き込みするお前自身の存在が疑問だよ

>>483はp-adic number の話とか好きなの？

>>489
0.999… = 1　に納得できない人は，極限の概念をきちんと理解して
ないんじゃないかな。ε-δ論法を勉強することを勧めたいね。

如何せん０．３３３３３３３・・・＝１/３と思っているor考えているor理解しているにもかかわらず

０．９９９９９９・・・＝１と疑問を抱くのは不思議だ。

１＝３/３だから，君らが０．３３３３３・・・＝１/３と仮定しているのならば，その延長線上にある事実を疑うことはおかしいのではないの？


ちなみに，無限小数の演算は定義されてるの？


それがやだから分数の演算にしてるのかな？

>>492
だからあ極限の概念ってのは、要するに「１＝０．９９９９…」ってのを厳密に表現しようとしたモンだろうに。
それを持ち出されても、最初から拒絶している人には何の役にもたたない。

>>493
無限小数の演算に疑問だって言う人はいるなあ。

>>494
そんなことは無い。0.999…≠1を認めない人でも、アルキメデスの原理は
認めていることがある。そういう人には有効。
アルキメデスの原理さえ認めず、無限小とか無限大までをも実数に含めている人には役に立たない。

>>495
アルキメデスの原理は認めても、「０．９９９９…は極限値ではない」という輩が過去にいたぞ。
どうすんの？

じゃあ，０．３３３３・・・×３＝０．９９９９９９・・・の説明を，書いてる知識豊富な人たちに求める。

>>496
0.999…＜1だとすると、x＝1−0.999…とおけばx＞0だから、1/x＞0である。
アルキメデスの原理より、1/x＜nを満たす自然数nが存在する。また、n＜5^nは
明らか。従って1/x＜5^nが成り立つ。0.999…＞0.99…99＝1−1/10^n (右辺の0.99…99は
9がちょうどn個だけ並んでいる)だから、x＝1−0.999…＜1/10^nが成り立つ。よって
1/x＞10^nである。これと1/x＜5^nから10^n＜5^nとなり矛盾する。よって0.999…≧1である。
また、0.999…＞1は明らかに成り立たない。以上より0.999…＝1である。

>>498 での 0.999… の定義は何なんだ？

そもそも 0.999… とは何かというのが一番の問題じゃないのかな？
1/3 = 0.333…　が正しい式だと認めるならば、その意味は
「右辺で 3 を増やしていくと 1/3 にどんどん近づいていく」
ということに他ならない。そうだとするならば
1 = 0.999…　も同じ意味で正しい式になる。
1/3 = 0.333…　を認めたくないなら、
0.333…　という｢数」の意味を考えてみることをお勧めする。

>>497
無限小数の演算は近似値でしかできんってヤツいたな。

>>498
なるほどね。極限値と定義しなくても大小関係から同じ値だと証明できるのか。

>>500
普通なら極限値だろうな。でも、それを言わなくても同じ数っていえるみたい。
実数の性質を認めればさ。

> その意味は
> 「右辺で 3 を増やしていくと 1/3 にどんどん近づいていく」
> ということに他ならない

いや〜、他の意味で考えてる人の方が多いと思うぞ

一番の問題は、0.9999……がどんな数値だろうと、ほとんどの人は知る必要が無いという点だろうな。
そこらの主婦に聞いても、この問題がどうかなんて、スーパーの特売より重要度が低い。

もし、この問題が分からなければ生活できないっていうぐらいまで切羽詰ってくると
誰だってまともな解答をするんじゃないだろうか。

>>501
> なるほどね。極限値と定義しなくても大小関係から同じ値だと証明できるのか。

だから、そこで 0.999… の定義は何なんだって聞いてるの

>>504
ふつーは極限値なんだろ？ つーか　＝１だな。

>>502
もちろんそうなんだけど、1≠0.999…　と思っている人のほとんどは
「9をいくら並べても1より小さい」という直感に基づいていると思う。
でもそれならば 0.333…　だって 3 をいくら並べても 1/3 より小さい。
だから無限個書いているということなんだけど、その意味することを考えると、
結局は極限の話として説明するのが一番いいかな、と思う。

>>500
> そもそも 0.999… とは何かというのが一番の問題じゃないのかな？

確かにそのとおりだが，

> 1/3 = 0.333…　が正しい式だと認めるならば、その意味は
>「右辺で 3 を増やしていくと 1/3 にどんどん近づいていく」
> ということに他ならない。

ここが少し弱いかな。
右辺で3を増やしていくと，0.35にだってどんどん近づいていくぞ。
（3を増やすたびに0.35との差は小さくなっていく，という意味で）

でも極限値は1/3であって，0.35ではない。

ここをちゃんとつかめば，
・食塩水を水で「無限に」薄めていけば純水になる。（極限は純水）
・正の数 1/n の極限は正の数ではない。
といった意味が明確になるよな。

507=488

>>493
> ０．３３３３３３３・・・＝１/３と思っているor考えているor理解しているにもかかわらず
> ０．９９９９９９・・・＝１と疑問を抱くのは不思議だ。

これには理由がある。
1/3の無限小数展開は 0.333... でたった1つしかないが
1の無限小数展開は2種類あるからだ。0.999...と1.000...だ。

一般に，p進数では，
整数q（有限小数でもいいが）の無限小数展開には
q.000... と　(q-1).(p-1)(p-1)(p-1)...　がある。
そしてこのタイプ以外の無限小数展開は一意的なんだ。

たけしがピーターフランクルにこの質問してたな。

＞・食塩水を水で「無限に」薄めていけば純水になる。（極限は純水）
　　↑
これダウトね。（Na、Clイオンの数はゼロにはならない。）
数（個数）の概念に無限を持ち込んじゃだめね。

無限量の水が存在しないのはあたりまえだから、真偽は食塩水、純水の定義しだいだと思う。

>>511
マジになるなら、
０．９９９９９・・・・・は、
循環小数０．９９９９・・・＝１と言わなきゃいけないんじゃないか？
マァ、言わないからネタに出来るって言うところだけれどね。

「薄めていけば純水になる」って言い方は微妙だけど「極限は純水」はＯＫだろ。

>>513
＞極限は純水
ε-Δで考えようと言っているのに、極限を持ち出すのは何故。
数（個数）の世界にε-Δは使えない。

え？？

例えば、0.9に対応する整数が9、0.99に対応する整数が99、
0.999に対応する整数が999と対応させたときに、
１に対応する整数はなに？ってなるんだけど。

1についても0.999…についても
そういう整数は存在しない

>>516
日本語でおｋ

>>517-518
頭悪すぎ。

個数って言ってるヤツは、食塩水を薄めると食塩の分子の個数が減ると考えてるのか？

>>520
全体としては減らない
ある体積内で見ると減る

>>516
a_1=9, a_2=99, a_3=999, …という数列の場合には
どんな実数 r に対しても r ＜ a_n となる a_n が存在する。
こういう数列は「上に有界ではない」と言い、極限値を持たない。
0.9, 0.99, 0.999, …という数列の場合は「上に有界」なので、
「連続の公理」より極限値を持つ事が保証されている。

つまり、「上に有界」という条件がない場合では
同じ議論は適用できないわけ。

>>514
「極限は純粋」と書いたのでわかっていると思ったが，「食塩水を無限
に水で薄めていけば純粋になる」は次のような意味だ。

aグラムの食塩を含むm0グラムの食塩水があるとする。その濃度はa/m0。
これに水mグラムを加えると濃度は a/(m0+m) となる。
このとき，どんなに小さい正の数εに対しても，
　　　M = a/ε-m0
とすると，
　　　m > M　ならば　| a/(m0+m) - 0 | < ε
となる。よって
　　　lim(m→∞)（食塩水の濃度）= 0
　　　
・これはε-N論法というべきかも知れないが，用語が定着してない
ようなので使わなかった。いずれにせよε-δと考え方は同じだ。

・ここでは物理ではなく数学の話をしているので，「水の量には限り
がある」などとは言わないこと。

・Na+, Cl-の粒は少なくとも1個あるので濃度の極限は0にならない，
と言う人は「極限」の意味が分かっていない。いくら水で薄めても
Na+,Cl-は存在する。でも濃度の極限値は0なんだ。

極限を論ずるスレではないということを認識していないことが痛い。

>>524
極限という意味が分からなければ証明は不可能

いや、一応可能

では、日々生産される牛乳瓶に、
今日から第一瓶目を０．９、第二番目を０．９９と、
次々にナンバリングしたときに、１とナンバリングされる牛乳瓶はあるのか？

>>524
いや、極限を論ずるスレだろ。

数字の形にとらわれるんじゃない！本質を考えるんだ！

>>527
０．９９９９…は極限じゃないって人もいるぞ。
どうやら実数の性質だけで、表題は証明できるようだが。

>>526

それは「名前」だろ？
「名前」ならつける人の思考によって「１」とつけられることもあるんじゃないか？

>>529
＞どうやら実数の性質だけで、表題は証明できるようだが。
>>498の証明は背理法の形を採っているだけで、ε−δ論法そのもの。そして、
極限値の定義＝「ε−δ論法」自体、実数の大小関係しか用いられていない。

>>526
いつまでたっても1と書かれる牛乳はない。

だったら　0.999...≠1 だろ，と思う人は極限の意味が
わかっていない。

実数が定義されている時点で完備化の概念が使われているのだが。

>>526に>>530のような答えをしているから、このスレはおもしろいのだろう。

500以降で，極限の意味がわかってない，または0.999…の…のところを
あいまいにしか考えてないやつは，
510，514，524，526，529　だ。

このスレとアキレス亀の違いはナンですか？

まあテンプレにあるように、テクニカルにはなるが、実数どころか有理数で十分説明できるわけだが。

で、実数の定義に当てはめてみると0.999…は有理数なわけだが
「循環する無限小数は有理数」
「循環しない無限小数は無理数」

>>537
うまいっ！

だから実数の性質を使った証明で十分
四則演算も適用できる

中学〜高校の範囲で十分に解ける

変な理論を持ってこなくても良い

アルキメデスの原理って風呂がどうのってやつ？

>>540
ユリイカッ！

水中の物体は、その物体がおしのけた水の重量だけ軽くなるってやつか？

うん、お風呂で実験だね

０．９９９．．．を１の中に沈めてみる。
すると、０．９９９．．．はおしのけた分だけ
軽くなるので．．．

おいおいｗ０．９９９・・・ってどんな数とかｗ

さらに，その数がどんな数でも主婦には関係ないなどというやつが数学やってるんだｗ

有理数は既約分数であらわされるものね。

極限なしで考えることはできないのかね？

>>544
日本語で(ry

>>544
はぁあ？

>>544
あらわされるだろうが。何を言いたい。

>>544はポエムだろ

ねえ、1.00…1 = 1？
0が無限に続くとする。

自己レス
1+(1-0.999…) と変換できるので成り立つのかな

>>549
1.000…1＝1＋ε (ε∈R^*は無限小，R^*は超実数体)

>>551
んじゃ 0.999…= 1 - ε？
それとも 0.999…9 = 1 - ε？

>>550
変換できんぞ。

>>549
＞ねえ、1.00…1 = 1？0が無限に続くとする。
何で最後に1がついてるの？それ何桁目？0が無限に続くってことは、無限桁目？(笑)
√2の無限桁目はいくつ？πの無限桁目はいくつ？

ちょー実数体だから、そのコトを示すひつよーナイのでは？

Π=�蚤ne^i2Πn

無限一桁目から999999にしても無問題

無限無限と言っているが、無限という数は存在するのか？
１／∞＝０と無条件で出来るのか？
（高校数学では深くは考えずにそうしていたけれど。）

>>536-537
「循環する無限小数は有理数」
「循環しない無限小数は無理数」
中学までの定義ならこれでよいかも試練が。

無限小数を考えている時点で、実数の中の有理数と考えているだろう？
したがって、有理数の枠組みだけでは無理と思う。

>>558←高校数学でも意味は教えられていたな。分かってないのは極限馬鹿か。

０−９までの数字のシャッフルだから無限に同じ配列がないことはありえない。
エッシャーのように基本パーツがフラクタルに散らばっているのが超越数

＞無限小数を考えている時点で、実数の中の有理数と考えているだろう？
＞したがって、有理数の枠組みだけでは無理と思う。

文章繋がってな逸す

小中学生向けの公開講座のアンケートで
今度何をやってほしいかという問いに
小学４年生が「とっても小さい小数」と答えていた
面白いと思った

>>558
だからそういう風に扱うなと。

0.999…と1は表記の違いダケ

もうこれで良いジャン

1+1と1-(-1)は同ジャン

もうこれでいいジャン

ちょっと表記が違うだけジャン

もう深く考えなくていいジャン

不細工とブスは一緒ジャン

ちょっとブスの方が悪く聞こえるだけジャン

そんなことマジに考えるのはマジシャン

極限は極限であって実数じゃないだろ。定義の違いなだけで。
0.999…を数字で表すこと自体矛盾してない？
0.999…＝эならいいが
0.999…＝１−эで表すのは無理じゃないの？

実数ではなくてちょー実数ね。

いやいや・・・・・
0.999…は数字だロ
表すとかじゃなくて数字だロ
実数だロ
有理数だロ
循環無限小数だロ

ロと口は似てるだロ
エと工は似てるだロ

任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。

>>559
やりようはあって有理数論で証明できるという話は前スレ辺りに書いてあった。
実数の方が楽ではあるが。

>>570
しかしそれの証明には実数の完備性を使わなければならない。

>>558
> 無限無限と言っているが、無限という数は存在するのか？
> １／∞＝０と無条件で出来るのか？

無限大は実数には属さない。（無限という数は存在しない。）
しかし，lim（〜）は極限が実数（有限確定値）ならば，実数に属する。

>> 567
> 極限は極限であって実数じゃないだろ。定義の違いなだけで。
>0.999…を数字で表すこと自体矛盾してない？

また，極限というものをわかってないやつがでてきたな。
有限確定値に収束する場合，極限値は実数だ。
たとえば，
　　lim(n→∞）(1/n) ∈　実数の集合
だよ。lim(n→∞）(1/n)=0 だから。

>>549
> ねえ、1.00…1 = 1？
> 0が無限に続くとする。

この表記は誤解を招くので普通は使われないと思うが，
…のところをちゃんと定義すれば，この疑問に答えられる。

　　　1.00…1 ≡ 1 + lim(n→∞)(1/10^n)
という定義でいいだろう。

そうすると，疑問の余地なく
　　　1.00…1 = 1
だ。

>>574
問題ないはずなんだが、表記に引きずられて誤解してしまいそうだ。
0.99999…=1を理解できない人間の気持ちが少し分かった気がする。

次の中から実数に属するものを選べ。
ア　5　　イ　lim[x→∞]sinx　　ウ　lim[x→0](1/x^2)
エ　lim[x→0]sinx　　オ　0.101001000100001…（1と1の間の0が1つずつ増えていく）

答えは　ア，エ，オ　だ。
ここにきているやつらは，これくらいちゃんとわかってるんだろうな。
（そうじゃないやつもいるようなので）

>>576
オがわからない高校生の俺

すまん。無理数か

>>576
ア　明らかに実数。
イ　収束しないため、数ではない。
ウ　収束しないため、数ではない。
エ　０に収束し、0は実数である。
オ　単なる無理数であるため実数。

>>574
> ねえ、1.00…1 = 1？
> 0が無限に続くとする。

マジレスすると、こんな数（1.00…1）は存在し得ないから心配するな、となる。
（099999…＝0を認める世界では）
∞＋１＝∞よって０が無限に続くということは、右側の１と書かれた部分も０でなければならない。

>>569
＞0.999…は数字だロ
＞表すとかじゃなくて数字だロ
＞実数だロ
＞有理数だロ
＞循環無限小数だロ

スレタイ及び>>1のどこに循環小数と書いてあんだ？
循環小数の表記の仕方も知らんのか。
ジャー書いてみろといわれても、ここじゃめんどくさいから書かないけれど。

>>580
×099999…＝0
○099999…＝1

１≠０．９９９９…となる前提条件ってどんなのですか？

>>583
数字の並びが違う。見た目がすべて。

>>581
循環っていうか
連続してるだけだけど
0.9の9の上に「・」を付ければ完
循環する無限小数（循環小数）は有理数
円周率は循環しない無限小数だから無理数

有限小数は全て循環小数で表すことが出来るのyo

a0+(∞�馬=1)an*10^-n

y=�蚤n10^-n
an+1=an+an-1 mod7、a0=1,a2=1
この数列の値を求めなさい（３０分以内に)。

>>585
循環小数を知らないの？

循環する有限小数。ｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>1
この証明問題が大学の中間試験で出たんだが

>>589
大学でやるんだったら、当然実数の連続性が前提だな。

旬刊少数…ある部分を無間に繰り帰す少数

0.111…
0.121212…
0.123123123…
0.999…

とかじゃね

＞旬刊少数
月の上旬中旬下旬に発刊される小数。

有限小数と循環する無限小数は分数で表すことが出来る（整数も分母が１の分数と考えて）
循環しない無限小数は分数で表すことが出来ない（例えば円周率など）

と中学生の時に習いますた。

0.999・・・を分数で表すと

9/9よって1

なんでわざわざ9なのねん。

0.142857142857142857……=142857/999999=1/7

「純循環小数は、その分子が循環節で、その分母が循環節の長さと同じ個数の9が並んでいる分数に等しい」
（英：Robertson,J.,1712〜1776)
1768年に発表された定理なんだと。こんなに新しい結果とは思わなかった。

小数の普及は17世紀終わり頃から始まったからな。

17じゃなくて16だった。16世紀後半ね。

0.3333…＝3/9か。面白いな数学

>>595
1/1でいいだろ。

>>596,602
話の流れが読めてないな

↑なにを今更、このスレ頭の悪い馬＊ばっかじゃない。

>>602
2/2でもいいよね。

π/πだとちょっとイヤかな

e/eはどうだ

二番煎じはつまらんよ

∞/∞

∞/∞は1にならないお前あほか！小学校からやり直したほうがいいぞ

いや、0.9999...=1とは限らないという主張なのでは？

>>610-611
どアホ！

( ﾟдﾟ)

>>609,>>611じゃねぇの？

それはそれで

俺の書いたネタレスにこんなにマジレスが来ると思ってなかった
正直すまんかった

１/１は１だよ。0.99999999になるはずない

１が有限桁の小数にならないのは当然だな。

1って不思議だよな。
どんな数に1をかけてもその数にしかならないし
1を何回かけても1にしかならない

[0.99･･･]　　　　　　[ ]はガウス記号
って何になんの？

[0.99･･･]＝１

>>619
それが１の定義じゃないの？

いや、さすがにそれは違うだろ

環の要素としての1はそれが定義。

その場合は、１と呼ばれることになる「その要素」が既に別の定義によって存在してるんだろ？

どっちにしても、全然不思議ではないな。

じゃ　「１＝２／２」　を１の定義として良いの？

1/xみたいな反比例のグラフってxの値を限りなく0に近くすることはできても
完全にx=0とはできなかったよね？（x=+0、x=-0という表記だったっけ？）
それと同じで限りなく１に近い数値は厳密には同じとはいえないんじゃないかなあと。

>>628
0.999…は1そのものだから関係ない。

>>628
限りなく0に近づく数列のあるn項目の数と、その数列の極限値としての0を区別するんだ

「n項目の数」って言い方はしないか。「n番目の項」。

1/3=0.333...
1=(1/3)*3=0.999...
QED

1/3=0.333... を示せてない。

これって∞という概念をちゃんと理解しているかが重要なんじゃないか？

>>633
単純に１÷３を筆算でやるとＯＫだろ。

0.333...×3=0.999... の計算の根拠は？

>>636
そのような計算が出来ると「便利」だし、現実問題と数値が不一致に
なることもないので、そう計算できると「定義」するわけだ。

だめだこりゃ

0.999…=1-lim((1/10)^n)
n→∞
0.999…=1-0=1

「そのような計算」とは？
「そのような計算」を使って直接 1=0.999... を証明することは出来ないの？

limと乗法の交換可能性

>>629
それが循環小数であれば、１と言えるが、どのような小数か定義しなければ、
何とも言えない。

0.999…は循環小数

そして循環小数は有理数

>>638
数学の「定義」ってそういうもんだよ。誰が数学の定義を決めるんだ？神様か？
自然に決まっているのか？違うだろ。人間が決めるんだよ。計算結果が都合良く自然現象と
適合するようにね。

>>640
そのような計算ってのは、「無限小数×整数」ってのを繰り上がりが無かったらとりあえず
各桁毎にかけ算やって全部合わせた計算をやるってこと。
そのような計算以前に、実数の定義をキチンとやった瞬間に証明はできるな。だが、
わかりやすさが違う。

じゃなくて、そんなのは当たり前で
定義の内容を聞かれてるんだと思うが。

白髪って

>>643
数学の表記方法にそれはない。

>>644
『そういうもんだよ。』ってどういうもんなの？

>>645
定義の中身は書いたぞ。

>>648
数学の定義は都合良く「人間が決める」ってコト。

>>649
マァ、モ一回数学を勉強して出直してください。

>>650
本気か？

>>637
＞そう計算できると「定義」するわけだ。
その定義がwell-definedであることの証明はどこ？
>>644
＞そのような計算以前に、実数の定義をキチンとやった瞬間に証明はできるな。だが、わかりやすさが違う。
低脳乙。分かりやすい・分かりやすくない以前に、>>637のような乱暴な定義の仕方は数学では認められない。
その定義がwell-definedであることの証明がいる。
>>649
＞定義の中身は書いたぞ
その「定義」とやらがwell-definedになってることの証明はどこ？

>>649
＞数学の定義は都合良く「人間が決める」ってコト。
都合よく定義を決めたところで、その定義に矛盾が含まれていたら意味がない。
定義に矛盾がないことをwell-definedであるという。数学では「人間が勝手に都合
よく定義を決める」という行為を行っているように見えて、本当はキチンとその定義に
矛盾がないこと、つまりその定義がwell-definedであることの証明も行っている。この
意味で、真に「都合よく定義を決めている」場面は1つも無い。無理な要求をすれば、
定義したところで矛盾が生じ、使い物にならない。かつて別の掲示板で「0で割り算が
できないのはおかしい！」と叫んでいたバカがいたが、0による割り算を許せば、Rは体で
なくなる。そのかわり、Rが体でなくても良いのであれば、0による割り算は定義できる。
ところがそのバカは「Rが体であって、しかも0で割り算ができること」を要求していた。
これは無理な要求である。どんなに工夫を凝らした定義をしても、この要求は絶対に
満たされない。このように、世の中には「どんなに頑張っても絶対に定義できない
(定義しても矛盾が起きる)」事柄が存在する。この意味で、真に都合よく勝手に定義を
決めることは出来ないし、また、何かを定義するたびに、その定義がwell-definedで
あることの証明がいる。これに言及せずに、「定義は都合良く決めればよい」と主張
するのは単なる詭弁。

自明ですが 0 しか要素のない体なら体でありながら 0 による割り算も定義できますがね。

ここでいうRは実数のことだろ。

>>652-653
well-defined?だってｗ
そんなもんの証明は、極めて困難だろ。というか、原理的に不可能である場合すら多い。
普通は、とりあえず「矛盾が発見されていない状態」であるってコトだけで満足するしかないわな。
例の不完全性定理があるんだからな。

だいたいこのことはテンプレ>>2のQ4,A4にも書いているんじゃないのか？

0.999…<1は小数の定義から明らかである
よって0.999…≠１

しかし0.999…＜1とするとx＝(1＋0.999…)/2とおけば0.999…＜x＜1となるので
このxを無限小数展開するとx＝0.999…となってしまい矛盾。

1÷1を筆算するにあたって1の位に0を置き小数点以下を9999････とする計算に
どのような矛盾があるのか教えてくれ

うんうん、10÷1＝9あまり1　で矛盾は無いね。良かったね

ある数を∞で除算すると0になるんだったよね？
それなら1-0.999…は0.1,0.01,…と無限に10で割った結果と同じなので
1-0.999…=(1/10)^∞=1/∞=0
となるので等しい。

>>654
体の定義には0≠1が含まれるよ。2ちゃんでは0しか要素がない体みたいなものを考えて「自明な体」と言っているようだが、自明な体は体ではない。

実数に∞は存在しないんだけど。
∞が数として存在する世界は、
０．９９９９・・・が循環小数であるという世界でしかないんだけれど。
要は無限の定義又は在り方をどのように考えるかって事。

「0.999・・・」の、まず最初の意味が（数学的な定義はおいといて）
「『0.』の後に9が永遠に並んだ数字」じゃなければ、何を表してる文字列なんだ？

永遠に並んだ、の数学的な定義は？

ｎ桁目が９なら、ｎ＋１桁目も９

なんで不自然な定義にするんだろう？

>>666
小数点以下に9が１個もない小数とかねｗ

0.999・・・という得体の知れないものに勝手に掛け算で答えが出ると仮定してるバカ証明はもういいよ。

分かってないな、仮定するんじゃなくて、そう計算できると
定義するんだよ。

矛盾は見つかってないし無問題。

それじゃ1≠0.999・・・と定義して証明できたっていうのと変わらんな

1-lim[n→∞](1/10^n)でいいじゃないか

そんな定義なのに証明に
0.333・・・×3＝0.999・・・
を持ち出してくるのがバカ証明って言われてるんだろ？

>>671
そう定義すると矛盾が生ずるのでその定義は間違っている
終わり

0.999…は有理数（循環小数→有理数）
有理数は四則演算適用可能

有理数は四則演算が可能なことを証明せよ
とか
循環小数が有理数であることを証明せよ
とかはなし

>>674
通常でない実数像を前提にすれば矛盾しない体系は出来る。
そこまでして作りたくないぐらい醜くそうする意味は見い
だせないが。

>>675
学部演習レベルだが、極限なんだから
「極限操作と演算の交換可能性」
は示す必要あり。

>>672
1-lim[n→∞](1/10^n)
と
lim[n→∞](1-(1/10^n))
の区別が出来てなさそうだな

>>671
テンプレにもそんな意味のコト書いているんじゃないのか？＞２
当然そう定義したんだから証明もできるけど、分数を正確に小数にできない場合が出てくる
とか…けっこ面倒な問題でてくるよね。それでも良いというなら別にOK。

0.9999999･･･････+0.00000000･･･････1＝1って考え方は違うね？

うん

>>679
まったく意味不明

>>679
実数とは別物になるけど、それで何かしらの矛盾のない数の体系が作れるならＯＫ

X=lim[n→∞](1-1/n)=1 と仮定すると lim[n→∞](X^n)=1 …�@

ところで、
lim[n→∞]((1+z/n)^n)=e^z であることから
z=-1 ならば lim[n→∞]((1-1/n)^n)=e^(-1) …�A

ここで�@と�Aに矛盾が生じるため、ハイリホーにより
X=0.999…≠1

lim[n→∞]{lim[m→∞](1-1/m)}^n ≠ lim[n→∞]((1-1/n)^n)

lim[n→∞]((1+1/n)^n) は e だけど、
lim[n→∞]((2-0.999…)^n) は収束速度が違うため e にはならない。

lim[n→∞]((2-(lim[n→∞](1-1/10^n))^n)

四則演算適用可能なのと以下は全く違うだろ。
0.333・・・×3＝0.999・・・
なんで0.333・・・×3と0.999・・が等しくなるんだよ。
0.333・・・とか0.999…とかを計算式に入れるのはいいが、答えを勝手に決めて証明するからおかしくなんだよ。

1÷1が0.999…になる奴は割り算の仕方を小学校からやり直せ
１は1で割れるから商は1であまりは出ない
それが認められるなら1÷1は0.333・・・でもいいことになんだろ。

>>687
「おかしくなるんだよ。」とありますが、答えがそうなると決めて、おかしくなった具体的な
トコをキチンと指摘してください。

>それが認められるなら1÷1は0.333・・・でもいいことになんだろ。

どういう計算をしてこうなったかに興味がある。是非やって見せて欲しい。

1=0.999…が正しくなるように都合よく定義したらそうなるのは当たり前だから
つまり多くの証明で1=0.999…の証明に1=0.999…となる定義を使用している。

　　　　　　０．３３３
　　ノ￣￣￣￣￣￣￣￣
１ノ　　　　１
　　　　　　０
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　１０
　　　　　　　３
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　７０
　　　　　　　　３　
　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　６７０
　　　　　　　　　３
　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　６６７０
こんなかんじだろ。べつに０．３３３じゃなくてもいいけど

循環するからやってるんじゃないのか。

nで割ったときの
余りが無制限
なのと
余りの範囲が1以上n以下
なのとどこがどう同じなのだ？

>>690
その通りだが？で、何か問題点あるんか？

このスレ

〜〜〜終了〜〜〜

コンピュータでπを求めても、限りなく高精度なπが算出され続けるが
永久に正確なπの値は出てこない。しかしπを求める計算をしている以上、
値の行き着く先は間違いなくπであり、πではない値に落ち着くことはない。

同様に、1を求めるアルゴリズムとして9÷9を採用、
__0.9_9_9_9_
9）9
8 1
------
9 0
8 1
-------
9 0
8 1

とすると限りなく1に近づくが、永久に正確な1の値は出てこない。
しかし1を求める計算をしている以上値の行き着く先は間違いなく1であり、
1ではない値に落ち着くことはない。

そんなアルゴリズム採用しねえよ、という人は0.999…をどうやって算出した
のか考えてみてほしい。その方法は間違いなく1を算出するアルゴリズムなのだから。

>>687
余りが生じてるから1/1≠0.33333･･･だろ
1/1=0.9999･･･として余りはいくつになるんだ？
計算の仕方が多少おかしなことになるが矛盾はないのでは

＞1÷1が0.999…になる奴は割り算の仕方を小学校からやり直せ
1÷1＝1，0.999…＝1であるから、1÷1＝0.999…が成り立つ。

(0.999…＝1であること)
1と0.999…の大小関係は1＞0.999…，1＝0.999…，1＜0.999…の3通りが考えられる。
0.999…＞1は明らかに成り立たない。あとは0.999…＜1が成り立たないことを示せばよい。
0.999…＜1が成り立つと仮定すると、x＝1−0.999…＞0とおけば1/x＞0である。
よって1/x＜nを満たす自然数nが存在する。また、n＜5^nは明らか。よって
x＞1/5^nとなる。一方で0.9999…＞0.99…99＝1−1/10^n　(右辺は9がn個だけ
並んでいる)が成り立つから、1/10^n＞1−0.9999…＝xが成り立つ。x＞1/5^nで
あったから、1/10^n＞x＞1/5^nとなる。すなわち10^n＜5^nが成り立つ。
これは矛盾である。よって0.999…＜1は成り立たない。

↑どこが間違っているか分からんわけじゃないだろう。

>>698
自分が理解してないことをコピペしてしったかするのはやめとけ。

”無限桁目”の概念がうまく導入されていて、「任意の正の無限小εに対して、ある無限大ωが存在して、
ε＜0.00…001 (ω桁目が1で、その前の桁は全て0)」が成り立つような数の体系があったとする。
a＝0.999…999 (無限大ω＝ω0桁目まで全て9)，ε＝0.00…001 (ω0桁目だけ1で、その前の桁は全て0)に対して
a＋ε＝1が成り立っている。では、b＝0.999…000 (有限桁目は全て9，無限桁目は全て0)という数に対しては
どうなるのか？簡単のためε(ω)＝0.000…01 (ω桁目だけ1でその前の桁は全て0)とおく。、明らかにb＜aだから、
b＋ε(ω0)＜1である。よって特にb＜1である。つまり1−b＞0である。bの作り方から、1−bは正の無限小となる。
よって、ある無限大ωが存在して1−b＜ε(ω)が成り立っている。ところが、b＋ε(ω)＝0.999…001＜1であるから
1−b＞ε(ω)である。矛盾。

>>700
両方とも俺が書いたのだが。

こんなのでもいいかも。ω0を無限大として、
c＝0.000…999 (有限桁目は全て0。無限桁目については、ω0桁目まで9)
ε＝0.000…001 (ω0桁目のみ1)
とおくと、cもεも無限小となる。よってc＋εも無限小となる。特にc＋εの有限桁目は全て0である。
一方で、c＋εの無限桁目は(繰り上がりが起きるので)全て0になる。するとc＋ε＝0.00…000＝0と
なってしまう。

>>701
可能無限が成立していないことの証明に、最初から無限有りきとはどういう事だ？

そいや、テンプレに「可能無限」と「実無限」あたりの反論が載ってないなあ。
そこいらへん詳しい人、「きちんと」書き込んで欲しい。きちんとしたモノなら
テンプレに追加するから。

可能無限は現代数学のスタンダードからは外れるからねえ。
必要ないよ。

可能無限だと
・nが自然数ならばn^2≧nである
なんていう定理も示せないんじゃないの？

>>697
1/1を０余り1にしてるだろ。
余りが1になってることが矛盾

余りが割る数になったら駄目なのは小学校で習うはずなのにな。
割り切れるのに割らないから矛盾が生じる。
0.999・・・=1にしたい人はどうもこじつけが多い。
そんなら最初から0.999・・・=1と定義するって書けばいいだろうに。

>>706
＞可能無限は現代数学のスタンダードからは外れるからねえ。
＞必要ないよ。

このスレは、まさしく、可能無限か実無縁かという議論のすれなんだけれども。

>>710
釣り？

>>709
剰余rの範囲で0≦r≦n-1か1≦r≦nかは選択の問題。本質的な問題ではない。

>>709
なんでダメなの？理由は？証明は？所詮は　小　学　校　で習ったことだろ？
高校で習う数学でさえもデタラメやってる(極限値とか)のに、小学校とか
言われても何の説得力もないよ。

>>706
でもカンツールの対角線論法は可能無限だよ。

>>711
このスレで、実無限が分かって議論している奴がどれだけいるか。

>>714
対角線論法は実無限だろ。対角線論法によって新たな無限小数を作り出す作業は、可能無限では不可能。
なぜなら、可能無限では「全ての(＝任意の)自然数nに対して小数第n位を決める」ことが出来ないから。
「いっぺんに全ての位の数を決定する」＝「全ての自然数nに対して小数第n位を決める」という操作が
許されるのは実無限のみ。可能無限では、ある自然数sに対して、小数第s位まで決定しても、そのあとの
s＋1位以降がまだ決まってない。2s位まで決めても、s^2位まで決めても、10^s位まで決めても、そのあとが
まだ決まってない。「小数第s位まで決定する、という操作を、s＝1，2，3，…について行えばいいじゃないか」と
思うかもしれないが、可能無限では、その「s＝1，2，3，…に対して」＝「任意のsに対して」という操作が出来ない。

>>715
カンツールの対角線論法をモ一回読み直してみたほうがいいよ。

>>714>>716
多分読み直す必要があるのは君の方。あと、実無限が本当に理解できるヤツなんざあいない。
でも、数学科なら実無限をそれなりに操ることはできる。出来ないヤツが対角線論法は可能
無限などといったDQN発言をする。

>>716
ここでも読んでみな。
ttp://www6.plala.or.jp/swansong/0113000taikakusen.html
ttp://www6.plala.or.jp/swansong/002400kanntorunojitumugenn.html

>>707
帰納法が使えるから言えるでしょ。もちろん、意味合いは変わってしまうが。

>>714みたいなのが出てしまうのが野矢本の悪い面だな。

矢野本って…うろおぼえだけど、可能無限を支持している主人公が、カントールの対角線
論法の手法を批判していた本だったと思ったんだけど…。

野矢ね。その通り。素朴集合論一通りやって、その後にこういう考え方を知り、数学史の本とか
読むのならいいんだけど、最初にこの手の本を読むと、可能無限についてすらまともに理解でき
ず、変なことを言うのが出てくる。

>>720-722
実無限は無限というレベルにて値が決まる。で、いいのかな。
無限というレベルで決まった値が、＋１することによって、
また新たな値が与えられると言って良いのだろうか？

↑
×＋１することによって
○＋１桁することによって

>>723
なんで無限に＋１ができるんだ？つり？

釣りにご用心

対角線論法がキチガイの釣りだと見抜けないやつは
数学科やめた方がいいよ

>>696
つまり0.999…と計算をしている間は永久に1にはならないけれど、
もしもこの終わるはずのない計算が終了したならばそれが1なわけだな。
確かに、Σ[k=0〜∞] (1/k!)を計算している間は永久にeにはならん。

実数は有理数と無理数に分けれて
有理数は整数と有限小数と循環小数に分けられる
無理数は循環しない無限小数
実数に関しては計算法則は成り立つ
って数学�Tで覚えた気がする

0.999…は循環小数だから実数で有理数
よって計算法則が通用する？

あとは実数の性質で証明していったらＯＫ？
limとか解らん
まだ高2だから

0.999…が循環小数だと思い込んでる高校生は、
理系（建築学のぞく）進学するのやめれ。

定義にもよるが、循環小数という解釈はもちろん出来る。

0.999…
これだけの表記では、循環小数としか思えない。

>>732
小学校からやり直せ。

0.999…が循環小数だと思い込んでる高校生ですけど、
循環小数じゃないならいったい何なんですか

実数論を確立したのは
神学者にしてキチガイのカントルであった。

いまの数学者は全員、キチガイの弟子であるwww

１９世紀まで続いた常識をひっくり返すには狂気じみた発想が必要だったんだな。

>>730
それは「循環小数ではあるがその中でも特別な数」というわけではなくて循環小数という事も否定するんですか？
建築科志望の自分に分かりやすく説明ぷりーず

釣りだから、そんなにムキになるなｗ

下手な餌のほうが意外と食いつきがいいのか・・

質問に全く答えてないからな

全ての有理数は循環小数。

1.414…
1.414213562…
1.414141414…
1.414144444…
それぞれ、「…」は何を意味しますか？
説明が無いとわからんわな。
0.999…も説明しないとだめでしょ。
だから0.999…≠1の場合もある。

つまり>>742はこの期に及んで「0.999…は0.999213562…かもしれないじゃないか」って言いたいわけ？

まったくもってその通り。

me=cosuji… その11.999…

おまいら、
�@∀n∈自然数　について，1-(1/10)^n ≠1
だろ？
一方、
�Alim[n→∞](1-(1/10)^n)＝1
なんだろ？

この時、極限操作のnは自然数について行われるんじゃないのけ？

そうすると矛盾しない？

>>746
何が矛盾？
極限値っていうのは、数列のある項が実際にその極限値をとるかどうかは関係ないんだけど。

>>747
> 極限値っていうのは、数列のある項が実際にその極限値をとるかどうかは関係ないんだけど。

っていうことは１という値はとらないって事だよね？
という事は ≠1 だけど　＝1 って書いてるって事だよね？

歩こう1-(1/10)^n ≠1
極限値lim[n→∞](1-(1/10)^n)＝1

>>748
教科書嫁

> 教科書嫁
持ってない(w

0.999…=a
∀b∈Rに対し、ab=bが成り立つを示せば
aは単位元であるからa=1となる。
ただ俺では　ab=b　を示すことができない。
なんかいい方法ある？

>>746
極限操作の定義は知ってる？

>>746
もっと単純に
lim[n→∞]1/n=0
あたりの意味から勉強したほうがいいよ

>極限操作の定義は知ってる？

わかってるつもりだけど・・・

lim[n→∞]1/n=0

これが0に収束するのはわかるけど、
一方で数直線上の0にはプロットされない。

定義だといわれればどうしようもないけど
プロットされないんじゃ ≠0 って事でしょ？

ε-Nとかで0との差がないでしょ、だから＝0だと背理法的に言われても
しっくりこないんです。

感情は自分で処理するんだな

>>755
・xn＝1/nという数列でn＝1，2，3，…と代入していき、数列の値の変化を見ていくとき、その「ゴール地点」は0である。
・ただし、この数列そのものは決してゴール地点には辿り着かない。
まず、この2つは理解してる？砕けた表現になっているのは まあ了解してくれ。

> まず、この2つは理解してる？砕けた表現になっているのは まあ了解してくれ。

理解してる。

lim[n→∞]1/n=a

aは、0ではなく、0との差が0の数、に収束する。
ε-Nとかはこれを証明してるんじゃないの？

いや極限をそれで定義したんだよ。

> いや極限をそれで定義したんだよ。

あっ、なるほどね。

「0ではなく、0との差が0の数」＝0

っていうのは、みんな納得いくの？

>>758
なんか違うような・・・
「これが0に収束するのはわかる」んでしょ？

1/nの収束する先=0

っていうことを記号で

lim[n→∞]1/n=0

と書いてるだけなんだけど

>>758
そこまで分かっていてなぜ理解できないのかな？
lim[n→∞]xnという一連の記号列は、「xnのゴール地点を表す記号列」なの。だから、xn＝1/nという数列に
対してはlim[n→∞]xn＝0が成り立つ。この式の両辺が表しているのは、ともに「ゴール地点」なの。つまり
「ゴール地点」＝「ゴール地点」という等式になっているわけ。
＞「0ではなく、0との差が0の数」＝0 っていうのは、みんな納得いくの？
lim[n→∞]xn＝0という式は「ゴール地点」＝「ゴール地点」という式であり、xnの「ゴール地点」は0だから、左辺は0。右辺も0。

それは違うな。

>>763
どう違うの？そして正しい定義は？

＞aは、0ではなく、0との差が0の数、に収束する。
この文章の主語は「aは」であり、述語は「収束する」である。aは
数列じゃないのに、どうして「収束」という言葉が出てくるのか？

∀εに対し∃m,m≦n　|an-a|<εとなるとき
{an}はaに収束するという

>>758
> aは、0ではなく、0との差が0の数、に収束する。

って考えてるなら、
1≠0.999・・・が正しくて、
1-0.999・・・＝（0ではなく、0との差が0の数）
となりそうだな

幸い住むと人のいう

>>766
同じじゃん。

微妙に間違いだがな

要するに、収束するって数列の行き先を「数」と見なして、無限に近い数を「同じ数」と見なすんだよ。
こう考えると、とりあえず矛盾はないし、色々なコトが言えるし便利だー、ってんで数学では必須な
考えになっているわけだ。

ところが、最初から収束ありきで、天下り的に説明しちゃうと…そりゃ納得できん人も多々発生する
と俺は思うんだけどね…。

x∈R^*を有限超実数とするとき、その標準部分をst(x)と表す
ことにすれば、galaxy(0)＝{有限超実数全体}⊂R^*に対して
st：galaxy(0)→Rは体の全射準同型であり、Ker(st)＝monad(0)
だからgalaxy(0)/monad(0)〜R

1=0.9999･･･
と言ってもいいと思うね別に
なぜなら
9は永遠に続くわけだから0.9でもなければ0.999でもないし0.9999999999でもない
ずっと考えていくと「0.」の次に「9」がいくつ続いた有限小数も0.9999･･･ではない事になるから
やはり1だ

言っていることは非論理的で論外だが結論は正しい

いや、実際
「「9」がいくつ続いた有限小数」の性質と「「9」が永遠に続く無限小数」の
区別が付かない人も多いみたいだから、言ってることは論争の中心のひとつだ。

でも論理のカケラも感じさせないのは事実

「論理のカケラも感じさせない」と言うのは論理的ではない

そうだな。単に非論理的だから数板で書くなと言うべきだったか

>>733
循環小数もしらんとは、
幼稚園からやり直せ。

0.333・・・も数直線上の1/3にプロットされないよ。
0.111・･･も数直線上の1/9にプロットされないよ。

0.333…は循環小数なのになんで0.999…は循環小数じゃないの

だからどっちも循環小数だよ　ハゲ

0.333…は循環小数
幼稚園では教えてもらえないかもしれん。

>>733にいわれたくないわ。

循環小数知らないって結構ヤバイだろ

>>764
それって、高校数学の基本的な範疇だよ。
ただし、高等数学になったときには、実無限があるから、
ｎは∞と言う値を取れる、と考えてもいいのかも。

∞を値と考えるとはまる。
∞は状態。代数的な計算がてきようできない。

無限小(+0)が定義される場合、0<+0<任意の正の実数 が成り立つ。
すなわち 1-(+0) ≠ 1 である。

一方、√2などの無理数を数値で表現する場合、表現することは不可能なので、
1.414…と省略して表現せざるを得ない。

1-(+0)を式ではなく数値で表現する場合、同じく表現することは不可能なので、
0.999…と省略して表現せざるを得ない。

これは「…」には明確な定義がなく便宜的な表現に過ぎないことによる。
ここでは1から無限小を引いた値を0.999…と表現とする。
よって、0.999…≠1である。

では、逆にまず最初に 0.999… とだけ書いた場合、どう解釈されるべきか。

数学的には、上記レスの通りまず説明が無いと意味を成さない。
例えば「極限の収束する値は」であれば、結果は1だから0.999…が
現れることはない。
つまり0.999…=1を証明するどころか、問題自体が発生しない。

では一般的にはどうかというと、「…」という記号１つに
「極限の収束する値は」という意味が込められているとは
とても想像できないあろう。
9がどこまでも続いて決して繰り上がることに至らないと
解釈するのが普通と思われる。
これは1から無限小を引いた値と同義と思われる。

よって、どの方向から解釈しても、0.999…≠1しかあり得ないことが証明される。

「0.999…か。例えば0.999999999だな」
「例えばじゃねえよぼけ」

って話だろ？

循環小数を表すルールには「循環節の始めと終わりの数字の頭に
"・"（ドット）を打つ」の他に「循環節を3回繰り返したのち"…"と点を3つ付け加える」
というのがあるらしい。スレタイに含まれる0.999…もそれに沿って
「1の位が0で、小数点以下は循環節が"9"の循環小数」を表していると思わざるを得ない。
ばかばかしいがこの際このスレ内でだけでも定義してしまっても良いのでは？

たとえば
1.414…　　　　　→1.414の後に何らかの数字の羅列が続く無限小数
1.414213562… →1.414213562の後に何らかの数字の羅列が続く無限小数
1.414141…　　　→小数点以下循環節が41となる循環小数
1.4141444… 　 →1.4141以下循環節が4となる循環小数
とかね

>>788
(＋0)/2もまた無限小であり、0＜(＋0)/2＜(＋0)＜(任意の正の実数)が成り立つ。
そして1＞1−(＋0)/2＞1−(＋0)＝0.999…である。この場合、1−(＋0)/2は
無限小数でどのように表されるのか？0.999…か？もし1−(＋0)/＝0.999…なら、
0.999…＜0.999…となって矛盾する。

>>791
　　・
０．９＝１を証明せよと言われたら、１でいいんじゃないでしょうか。
0.999…がまず先にあることは数学上は意味不明なだけということです。
循環節を３回と「…」という話は初めて知りましたが。

>>792
どっちも0.999…でいいんじゃないでしょうか。
0.999…は表現不可能なことに対するただの便宜的な表現です。
一意ではないので比較することに意味は無いです。

まあ、788,789は数学というより論理パズルみたいなもんですけどね。
固定概念に執着するのもつまらんでしょ。

写像f：N→{k∈N｜0≦k≦9}に対してT(f)＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]f(i)/10^iと
おくと、f(i)＝9 (∀i∈N)という写像に対してT(f)＝1

　 ////
　(Θ。Θ)　ちんぴれすぽーん
⊂(　　⊂)
　　|||||||||| =33

・使うのが書きにくいから3回ルールでやってるってことかな？
[]でも使って、
0.[9]
とか、
0.1[43]
とか書くことにでもしちゃえば

「…」がこれからずっと続きますよっていう意味じゃないのなら数列は絶対に解けな

0.999…=aとおくと
10a=9.999…
10a-a=9.999…-0.999…=9
9a=9　より　a=1

とあるが、もし
10a-a=9.999…-0.999…=9.000…だとすると
9.000…=10-0.999…=10-a
9a=10-a　10a=10　a=1

10a-a=9.999…-0.999…=8.999…とすると
8.999…=8+0.999…=8+a
9a=8+a　8a=8a　a=1

う〜ん

>>752
0.999…が単位元であることを示すのは無理だろ。

>>798
あってるじゃん。そういう計算をしてもa≠1は導けないぞ。

>>798
> 9.999…-0.999…=8.999…とすると

これはツッこまれそうだな

突っ込まれない…
あぁ

0.999…=1って言う前にそうしたのか

10a=9.999・・・
となる根拠は？
普通に掛け算できるの？

9.999…-0.999…=9
となる根拠は？
普通に引き算できるの？

>>803
過去ログぐらい見ろよ。

>>803
有理数だから出来る

9.999… - 0.999…
Σ[i=1→∞](9/10^(i-1)) - Σ[i=1→∞](9/10^i)
Σ[i=1→∞](9/10^(i-1) - 9/10^i)
Σ[i=1→∞](9 * (1/10^(i-1) - 1/10^i))
Σ[i=1→∞](9 * (10/10^i - 1/10^i))
Σ[i=1→∞](9 * (9/10^i))
Σ[i=1→∞](81/10^i)
8.999…
最後の桁があるとしたら　8.999…9991
９とは言い難い。
というか「…」と書くだけでは循環小数とも言い難い。

それじゃあ、ますますヤバイことになってるぞ

何がヤバイのか説明してくれ

>>806
”最後の桁”と言うからには、「8.999…999」という記号列において「…」の
左側は「有限桁目」を表し、右側は「無限桁目」を表していることになる。そこで、
a＝0.000…9999 (有限桁目は全て0，無限桁目は最後の桁まで9)
b＝0.000…0001 (有限桁目は全て0，無限桁目は最後の桁をのぞいて0，最後の桁は1)
とおくと、a＋b＝0.000…000＝0 (有限桁目も無限桁目も全て0)となってしまう。

3行目で、両方をi番目でそろえてるのはいかがなものかと

>>810
なにがいかがなのか。具体的に詳しく。

>>804
定義しだいでどうにでもできる。
だから、どう定義しているのか示す必要がある。

>>805
・・・が有限で終わっている場合から類推して
9.999･･･も有理数と同様の計算規則を適用したい気持ちはわかる。
しかし、aがなにものかわからないのに、有理数と決め付けるのは不適当。
それは、a=1だからa=1といってるのと同じ。

>>812
0.a1a2a3…：＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]ai/10^i　
と定義して…

0.a1a2a3…×１０：＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]ai/10^(i-1)
でいいだろ。

0.a1a2a3…−0.b1b2b3…：＝sup[n∈N]Σ[i＝1〜n]{ai-bi}/10^i
だな。

>>813
有理数は無限小数になるだろうに。

線分AB上に、ランダムに任意の点CとDを取ったとき、
CとDが一致しない確率は？

パーセント値で回答してください。

線分AB上に、ランダムに任意の点CとDを取ったとき、
線分CDの長さが有理数になる確率は？

0

任意の値が有理数になる確率は？

0

こんなおかしな数学は、もう一回１から作り直したほうがいい。

>>821
無矛盾だったら数学的にはおK。

色々な方面に「使える」数学を新たに君が作り上げてみよー

任意の値の集合は、任意の値の集合ですか？

823 ：１３２人目の素数さん ：2006/08/03(木) 11:39:04
任意の値の集合は、任意の値の集合ですか？

824 ：１３２人目の素数さん ：2006/08/03(木) 11:42:49
823 ：１３２人目の素数さん ：2006/08/03(木) 11:39:04
任意の値の集合は、任意の値の集合ですか？

0.999…≠1 論者は、1/9を小数でどう表すんだろう。
つまり、両辺を9で割った 0.111…≠1/9 と言ってるわけだよな。

0.999…を9で割ると 0.111…になることを示してごらん。

>>826
小数で必ずしも正確に分数を表すことができない…って奴が現実にいたぞ。

>>827
0.999…=Σ[k=1〜∞](9x10^(-k))=9Σ[k=1〜∞](10^(-k))
よって 0.999…/9=Σ[k=1〜∞](10^(-k))=0.111…

ふ〜ん

>>829
で、君は 0.999…≠1 論者なの？

>>831

>>829 は俺。

827=830=831でつか？？

>>796
それを言うとこのスレオ終わっちゃう。
マァ、循環小数の正式な表記を知らない人もいてるようだけれど。

>>834
掲示板で正式な表記は難しい

循環部の最後の上にドットっぽい変な記号を付けるとかﾑﾘ

iya,できるかな・・・
.
1.9

a:=0.999…とする．

いま、a<1であるとすると、有理数の稠密性により、

a<b<1となるあるbが存在する．

bは有理数であったから、b<aとなり矛盾が起こる．

∴1≦aとなるが、1<aは明らかに偽．

∴1=a=0.999…

a,bに対して、
a＜b、a＝b、a＞bのほかに、
a≒bという関係がある。
a≒bをa＝bと同一視する人とはパラレル。

ちなみに、
a≒b　とは、a-bがゼロではないが限りなくゼロに近い数であることを表す。
dxを勉強してください。

√２＝１．１４１

√２≒１．１４１

>>839
√２＞１．１４１

>>836
a<b<1となる有理数bが存在する．
といいたいの？

訂正
bは有理数であったから、b<aとすると矛盾が起こる．
∴　a≦b
∴　a=0.999… ≦1

＞＞a≒b　とは、a-bがゼロではないが限りなくゼロに近い数であることを表す。

どの程度近いかそのときの場合による。dxは関係ない

0.999…≠1と仮定する
このとき0.999…は循環小数、1は整数なのでともに有理数であり実数である
実数の性質により0.999と1の間には無数の異なる実数xが存在することになるから
0.999…<x<1

ここから難しいから交代してくれ

>>844
0.999…<x<1
となるxが存在する。

>>843
かの有名なdxを知らないのですか？

0.999…≠1と仮定する
実数の性質（稠密）により、0.999…と1との間には無数の実数xが存在することになるから
0.999…<x<1
ここで、0.999…と1に囲まれた実数xの真ん中の数をCxとおくと
0.999…<Cx<1
また
Cx=(0.999…+1)/2
とおけるので、これを計算すると
1.999…/2=1.999…
これを不等式に代入すると
0.999…<0.999…<1
となり、不等式が成立しなくなる
よって、このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない
したがって、仮定と矛盾する

これでいいんだけど・・・

このような実数Cxは存在しない⇔このような実数xは存在しない
ここがあってるのかってのがそうだよ
あってるのは分かるよ
でも・・・

>>847
実数の性質(連続)

>>847
0.999…<0.999…<1
ではなく、
0.999… < (0.999…+1)/2 < 1

>>847を少し言い換えてみるテスツ。

0.999…≠1とし、1-0.999…=δとおき、0＜δ＜c（c∈R、c＞0）とする。
0.999…∈Rならばδ∈Rなのでδ＜δとなり矛盾する。
したがって0＜δ＜cを満たす実数δは存在しない。

>>847
コピペする前に内容に間違いが無いか確認しとけよ！

>>851
その証明は俺が作ったんだが（上のほうに書き込んだのをｺﾋﾟﾍﾟだが・・・）

よっしゃ！0.999…=1に終止符を打つZEEEEEEE
って興奮しすぎて色々な間違いに気づかなかった

すま

内容はﾊｹﾞｶﾞｲだが、まあがんばれ

次コピペする人は
1.999…/2=1.999…
だけは直しといてくれ

0.999…が何なのかわからない時点で
0.999…+1=1.999…
1.999…/2を計算するのはどうなのか。

ちょっと話違うんだけど
a≒bはa-b≒0とは同値じゃないよ
a/b≒1(b≠0)又はb/a≒1(a≠0)って意味だよ
a,bにデカイ値を入れるとわかる

>>856
「≒」の定義に「≒」が入ってるから定義になってない。
「a≒b」の意味が「a/b≒1(b≠0)又はb/a≒1(a≠0)」なのであれば、
今度は「a/b≒1」及び「b/a≒1」の意味を説明しなければならない。

0.999…≦1-10^-n＜1
を満たす自然数nが存在する。
従って0.999…≠1

1/9＝0.111…
9/9＝0.999…＝1


？？

1−10^(−n)＝0.999…99 (9がちょうどn個だけ並んでいる)及び
0.999…99＜0.999… (左辺は9がちょうどn個だけ並んでいる)より、
0.999…≦1−10^(−n)は絶対に成り立たない。

>>815
有限小数にもなる

Kingコテつけろよ

>>814
×１０と、(整数部分0の)0.a1a2a3…減算だけ定義？

>>857
a/b≒1　：　a/b-1がゼロに近い

0.999… = 1−10^(−∞)

∞は自然数ではない。

0.999… = 1 の問題は，そもそも，限りなく小さくなるもの，
もしくは限りなく大きくなるものを，数として認めるかどうか
の争い。
標準的解釈では無限小および無限大を数から排斥するので，
当然に　0.999… = 1

しかし，0.999… = 1を疑う人は，この標準的解釈自体の
正当性を問題にしている。

おそらく，こういった標準的解釈はそれ自体を証明するの
は難しいので，公理のようなものとして受け入れるべきで
はなかろうか。

0.999・・・＝9*Σ[n=1〜∞](1/10)^n ＝1-(1/10)^n　[n->∞] とする。

これがどういう値になるかを考えると
「∀n∈自然数　について，1-(1/10)^n ≠1」
だから0.999・・・≠1

一方、1との差は、任意の正の実数(≠0)よりも小さい事(無限小)が証明できる。

数学的に証明できる事は
「0.999・・・は１ではなく、１との差は無限小である。」
という事である。

≠1に目をつぶって、１との差は無限小だから＝１とおいちゃえっというのが極限の導入である。
実際＝１と置く事によって、さまざまなメリットが得られるのでこれは否定しないが、
しかし、これは＝１を証明したのではなく極限を導入してゴマかしたのである。
＝１を証明したと勘違いしている人達がいるようだが＝１は証明されていない。

talk:>>861 何だよ？

>>841
いいたい

っていうか言えるでしょ。

ところで 1/3 を仕方なく 0.333… と書くように、
(1 - 無限小) を数字で表すときはどうするわけ？

無限小という実数は無いから無問題

問題かるかどうかを聞いてるんじゃなくて、
表すとしたらどうなのかを聞いてるの。

√2=1.414… だって、表すことができないのを適当に書いてますよ。

1/3や√２は、数として存在しているものをどう表すか、という問題だけど
無限小は数として存在してないから、どう表すかという問題自体が起きない。

実数として存在するかどうかなんて聞いてない。
どう表すのかを聞いている。
無限大は∞って表しますけど。

なんか議論が表記に移ってますが、n進法表記で考えた場合、
n が2以上の整数である限り必ず

(n-1)Σ[k=1〜∞](n^(-k))=1

なのかどうかがこのスレの焦点ではないでしょうか。
n=10 のときだけ成り立つってのもヘンですし。

>>874
じゃあ、1/∞ とでも勝手に決めれば

表記こそが論点の中心だと思いますけどね。
極限値が1なのは≠論者でもわかっていると思います。

勝手に決めてる表記が0.999…なんだと思いますけど。

>>875
その極限を近似すれば＝1だし近似しなければ≠1だよな。
0.999…という表記が無限級数の和と捉えていいのか？

定義だからな。

Σ[k=1〜∞]使う人は、
かってに分配の法則を拡張して
a(b+c+d+･･･)＝ab+ac+ad+･･･　が成立することを前提に議論する。

それ勝手じゃなく証明できる定理だから

>>880
それは拡張でもなんでもないのでは？

Σ[k=0〜∞](2^k)=2^0+Σ[k=1〜∞](2･2^(k-1))=1+2Σ[k=0〜∞](2^k)
とかやったらツッコミ入れるが。

0x(1+1+1+・・・）はようわからんが、
0x1 + 0x1 + 0x1 + ・・・は0だろ。

真に0なら両方0。

>>884
真に０でないときは？

1/10の代わりに(-1)を使ってみると、

a=(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+・・・とする
-1*a=-1*((-1)^1+(-1)^2+・・・)=(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+・・・
=1+ (-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+・・・
上記を引いて
(-a)-a=1
a=-1/2

∴　(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+・・・　＝ -1/2

よかったね

はいはい-1/2に収束するのね

>>886
分配則は収束するときにしか使えない

>>885
1/k*(1+1+・・・)
(項の数がn個とする)
(k→∞,n→∞)

としたとき式は
n/k (k→∞,n→∞)
あとはnとkがどのようにして無限に大きくなるか。

>>889
無限大に収束するって言うっけ？

いわん

じゃあ別に収束しなくても分配法則って使えるんじゃね？

？

a*(1+1+1+…)＝a+a+a+…
だろ？

日本語でおけ

>>890
結論としては、
n≠0であるわけだから、
両辺とも真に0にはならんってこと？

>>889

881が、証明できると書いたのは釣りだったのか

(1/k)*(1+1+1+…+1)=(1/k)+(1/k)+(1/k)+…
　　　　　k個
ここでk→∞とする
1=0+0+0+･･･
ちりも積もれば山となる

発散するときの分配則
X=2^1+2^2+2^3+…
X=2・(2^0+X)
X=2+2X
X=-2
∴使えない

収束するときの分配則
X=2^(-1)+2^(-2)+2^(-3)+
X=2^(-1)･(2^0+X)
X=1
∴使える

>>875
収束するときに分配則が使えることが証明できるならば、

X=Σ[k=1〜∞](n^(-k))
nX=n^0+Σ[k=1〜∞](n^(-k+1)
nX=1+X
X=1/(n-1)

よって、(n-1)Σ[k=1〜∞](n^(-k))=(n-1)X=1


さあ、後は収束するときに分配則が使えることを証明されるだけでスレ終了だ！

分配法則が使えるかの証明とかないだろ

１と１が足せ得るかを証明せよとかないだろ？
定義だよ定義
勝手に誰かが決めたんだよ

>>902
分配則は定義ではなくて定理かと。

>>902
ｘ,y,zが自然数のときは
x(y+z)=xy+xz　←・・・がないところに注意
の証明がある。

>>900
絶対収束でない収束でもOK?

>>904
それは証明じゃない希ガス

論点がずれてるよ

0.999… = 1 の問題は分配法則がどうとか言う前に
収束値をもって総和とみなすという一般的扱いがよいかどうかが問題
となっている

こういった基礎的なことは証明できないから
公理もしくは定理として受け入れるしかないんだよ

>>906
もちろん、自然数の定義によるんだけど、証明。

数列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという

0.9+0.09+0.009+…+0.999…
の数列があり、この数列は１に限りなく近づく
この１を数列の極限といい
この数列は１に収束する

って？

>>909
0.9+0.09+0.009+…+0.999…
規則性が？
コピペミス？

む
間違ったのか

�狽ﾅ表したほうがよかったか・・・・・

初項0.9　公比0.1　項数∞　の等比数列の総和

？

>>912
項数が∞では総和をだすのに∞の時間がかかる。
実質計算不可能。

∞とか無限小の実数は存在しないとかいいつつ、
総和を出すときの計算には∞を容認しているのは矛盾してるよね。

初項0.3 項比0.1の等比数列の総和
も∞の計算なので計算不可能。

>>914
↑ε−δ論法も知らないバカ。

バカというやつはもっとバカ
バカというやつはもっとバカというやつはもっとバカ
バカというやつはもっとバカというやつはもっとバカというやつはもっとバカ

任意のバカに対してバカが存在する。

>>900
それは分配則どうこうじゃなくてXと置くのが間違ってるんじゃないのか？

k*(a1+a2)＝k*a1+k*a2
が成り立てば帰納法で証明できるだろ。

>>917
バカって言われたやつがバカ

分配則というか極限の線形性の話だな。
lim[n→∞]a[n] と lim[n→∞]b[n] がともに収束するなら
実数 α,β に対して
lim[n→∞](αa[n] + βb[n]) = αlim[n→∞]a[n] + βlim[m→∞]b[m]

a[n] として �納k=1,n]c[k] をとれば （�納k=1,n]c[k] が収束するなら）
α�納k=1,∞]c[k]
= αlim[n→∞]�納k=1,n]c[n]
= lim[n→∞]α�納k=1,n]c[n]
= �納k=1,∞]αc[k]

収束することが言えれば＝1（≠1でもいいけどさ・・）は証明されるだろ
分配法則とか0.333・・とかは必要ない

結局
0.111…＝lim[n→∞]Σ[k=1,n]10^(-k)
でいいの？

>>921
まあ、収束する＝同じ値になる　ってのを「認める」ならそうだろうな。普通の数学
だとそうなるんだけど。

分配則とか０．３３３・・・は例の簡単な証明に意味はあるのかってのを延々やって
いるのでは？そりゃ収束認めると、それ以前の段階で直ぐに証明できちゃうけど、
簡単な証明はパンピー（死語）に対するアピール度が違い過ぎるだろ？

>>普通の数学
普通の数学ってなんだ？
平行線は無限に交わらないって言うのも数学だし、
平行線が無限遠で交わるって言うのも数学なんだけど。

>>924
普通の数学 ⇔ トンデモ数学

『∞という値には、足す事も引くことも掛ける事も割る事も出来ない。』

>>925の定義が正しいとすると、
>>923の『普通の数学』と言うのは間違いだと言うことになるな。

ふつーの数学ってのは、要するに小中高大学と延々やってきて、暗黙の了解で特に明記
しない場合に利用される前提の数学ね。

ふつー特に明記しないと…１＋１　の問題に　２×１　って解答に書くと×くらうよね。
　　　　　　　　　　　　　　　　　ふつー１０進法を使うよね。
　　　　　　　　　　　　　　　　　分配則は成り立つコトは前提だよね。
　　　　　　　　　　　　　　　　　分数は既約分数にして書くのが前提だよね。
　　　　　　　　　　　　　　　　　実数は連続性を持つことは前提だよね。

　そういうこと…。

>>921
収束することをいうために、
分配法則や、実数の定義が必要になてくる。

>>918
任意のｎで成立するといえても∞で成立するとはいいきれない。

つまり、任意の(自然数)ｎに対して、
k(a(1)+･･･+a(n))=k*a(1)+･･･+k*a(n)
を証明しても、
k(a(1)+･･･))=k*a(1)+･･･
を証明したことにはならない。

>>927
別に。
普通の数学で十分い意味が通じる。

>>929
何度も言われていることだが、この問題に関しては実数まで必要なく、有理数の範囲でいい。
もちろん実数まで用意した方が議論は簡単だが、必要というのは間違い。

>>932
極限だとか収束などというからには
有理数の範囲から逸脱している。

>>933
有理コーシー列は有理数の範囲。

>>934
まさか有理コーシー列は
常に有理数に収束すると？

>>935
＞常に有理数に収束すると？
　こ　の　問　題　に　関　し　て　は　実数まで必要なく、有理数の範囲でいい。

>>936
コーシー列をだしておいて
「実数まで必要ない」はないだろ。

>>937
こ　の　問　題　に　関　し　て　は　実数まで必要なく、自然数の範囲でいい。

>>928
も一回小学校からやり直せ。

>>939
やり直せ。

>>939
「オレの決めゼリフ」が使えてよかったね

ことこの問題に関してなら有理数だけで良いよ。この場合面倒なのは、むしろ循環小数の定義になる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

0.999…が１と等しいことの証明

>>943
全面的に書き換えた方がいいな、それ。
0.999…＝1か否かは「0.999…」という記号の定義次第でどうにでもなる。

>>944
書き換えの必要はないだろう。通常なら標準的な解釈に対する
普通の証明でいい。ここみたいに拘る場ではうるさく言うこと
も必要だろうが。

>>945
>>943では、冒頭に
＞数学において初学者は、「循環小数0.999...と1は等しくない」という誤った認識を持ちやすい。
＞以下にそれら二数が「等しい」ことを示す。
と書いてある。つまり、>>943における議論は全て「0.999…≠1だと思っている初学者」に
向けられた議論である。だが、よく考えてみろ。「0.999…≠1だと思っている初学者」は、
何ゆえに「0.999…≠1だと思っている」のか？何ゆえに「初学者」なのか？簡単だ。こういう
人間は、実数における”極限操作”の本質を理解していないのだ。だからこそ「0.999…≠1だと
思っている」のであり、だからこそ「初学者」なのだ。従って、このような人間に向けて、実数に
おける”極限操作”を当たり前のごとく使用して議論している>>943には、何の意味もない。
ここみたいにうるさく言うことが必要。