代数的整数論　＃003

>>927 の続き。

p を有理素数として、p の Z[ω] における素因子分解を考える。
ω の Q 上のモニックな最小多項式を f(X) とする。
>>926 より f(X) を mod p で既約多項式に分解すれば p の素因子分解が
得られる。
このため、補題を用意する。

補題
K を標数が２でない体とする。
f(X) = X^2 + bX + c を K の元を係数にもつ２次の多項式とする。
この判別式を D とする
つまり D = b^2 - 4c である。

1) D = 0 のとき f(X) は K において重根をもつ。

2) D ≠ 0 かつ方程式 X^2 = D が K において根をもつとき、
f(X) は K において異なる２根をもつ。

3) D ≠ 0 かつ方程式 X^2 = D が K において根をもたないとき、
f(X) も K において根をもたない。

証明
中学校で習った２次方程式の根の公式より明らか。

補題
K = Z/2Z = {0, 1} を２元体とする。
f(X) = X^2 + bX + c を K の元を係数にもつ２次の多項式とする。
この判別式を D とする
つまり D = b^2 - 4c = b^2 = b である。

1) D = 0 のとき f(X) は K において重根をもつ。

2) D ≠ 0 かつ c = 0 のとき
f(X) は K において異なる２根をもつ。

2) D ≠ 0 かつ c ≠ 0 のとき
f(X) は K において根をもたない。

証明
自明である。

-8

>950
> まあ、なくても誰も困らないスレだからどうでもいいけど。
それを言うなら、２ちゃんねる自体「なくても誰も困らない」。
それに前にも書いたが、雑音が入ると読み難いんだな。

>>952 の続き。

ω の Q 上のモニックな最小多項式を f(X) とする。
f(X) の判別式を D とする。

p を奇素数とする。

>>926 と >>953 より

1) p が D の約数 のとき pZ[ω] = P^2 となる。
ここで P は Z[ω] の素イデアルで |Z[ω]/P| = p である。

2) D が p と素で mod p の平方剰余のとき
pZ[ω] = (P_0)(P_1) となる。
ここで P_0, P_1 は Z[ω] の相異なる素イデアルで
|Z[ω]/P_0| = |Z[ω]/P_0| = p である。

3) D が p と素で mod p の平方非剰余のとき
pZ[ω] は素イデアルである。

次に p = 2 の場合を考える。
>>926 と >>927 と >>954 より

1) 2 が D の約数 のとき 2Z[ω] = P^2 となる。
ここで P は Z[ω] の素イデアルで |Z[ω]/P| = 2 である。

2) D が 2 と素(従って m ≡ 1 (mod 4))で
(1 - m)/4 ≡ 0 (mod 2)
つまり、m ≡ 1 (mod 8) のとき

2Z[ω] = (P_0)(P_1) となる。
ここで P_0, P_1 は Z[ω] の相異なる素イデアルで
|Z[ω]/P_0| = |Z[ω]/P_0| = 2 である。

3) D が 2 と素(従って m ≡ 1 (mod 4))で (1 - m)/4 ≡ 1 (mod 2)
つまり、m ≡ 5 (mod 8) のとき
2Z[ω] は素イデアルである。

>>957 と >>958の 1) より >>748 で述べたことが証明された。

>>956
＞それを言うなら、２ちゃんねる自体「なくても誰も困らない」。

世間知らずだな。２ちゃんなくなったら自殺者でるぞｗ

>>946
なんの話？

横レスだが、俺は結構このスレが好きだな。
実は俺も学部生でこの領域に興味がある。
特に、岩澤理論やらElliptic Curveやら、そしてその先にある
Birch and Swinnerton-Dyerの予想やら。
とりあえず、Ireland & Rosenの数論を読んで基礎を勉強している。
いずれ、Kummerのここでやろうとしてることがわかればいい。

>>962
今のうちにやめといたほうがいいよ

>960
> ２ちゃんなくなったら自殺
する奴等って一体如何いう神経構造なんだ？

>963
> >>962
> 今のうちにやめといたほうがいいよ
専攻したら問題だろうが、趣味でやる分には問題なかろう。

Birch&Sminnerton-Dyler Conjecture にチャレンジしようと
試みているのなら、趣味の域で止めといたほうが無難だよ。
（Ireland&Rosen をお茶の子サイサイにあげちゃう位の
力量があれば話は別だが）

>>960
２ｃｈが無くなったら自殺するようなヤツラなら、
２ｃｈが健在の内に、そのうちに自殺するよ。

Birch&Sminnerton-Dyler Conjecture

なるほど。確かに止めといたほうが無難そうだなｗ

>>938 人に死ねとか言うな

talk:>>969 お前に何が分かるというのか？

>>963 >>965
いや、この領域が一番興味あるので多分この領域について卒論を書くと思うよ。

>>966
Ireland&Rosenはお茶の子とは言わなくても、難しいのは確かだけど理解する分には
問題がないです。章の後の問題も全部解くようにしてます。
Ireland&Rosenを半年で問題を終えた後に、
同じGTM出版のProblems in Algebraic Number Theoryを買って代数的数論を
勉強するつもり。ついでに、代数幾何もね。
そしたらこの分野の論文を読むくらいの力量は着いてくるのかと想定しているが。

>>957 の 1) 2) 3) の各素イデアルの生成元を求めよう。

>>805 がその方法となる。>>805 は 判別式が p で割れないときも
そのまま適用できる。

まず 1) の場合を考える。
つまり p が f(X) の判別式 D の約数 のときを調べる。

>>927 より m ≡ 1 (mod 4) のとき ω = (1 + √m)/2 であり、
f(X) = X^2 - X + (1 - m)/4 である。
この判別式 D は m である。
仮定より m ≡ 0 (mod p) だから、
２次合同方程式 X^2 - X + (1 - m)/4 ≡ 0 (mod p) の根の公式より
X^2 - X + (1 - m)/4 ≡ (X - k)^2 (mod p) となる。
ここで k は 2k ≡ 1 (mod p) を満たす整数である。
m ≡ 1 (mod 4) だから k として (1 - m)/2 が取れる。

>>805 より P = (p, ω - k) である。

ω - k = (1 + √m)/2 - (1 - m)/2 = (m + √m)/2
よって、P = (p, (m + √m)/2) である。

P はイデアルだから (m + √m)/2 + (m + √m)/2 = m + √m を含む。
m は p で割れるから m ∈ P である。
よって、√m ∈ P である。よって (p, √m) ⊂ P となる。
一方、ω√m = (m + √m)/2 = ω - k となる。
よって、ω - k ∈ (p, √m) とる。
よって P = (p, √m) である。

訂正

>>805
>Z[θ]/P_0 は Z/pZ の m_0 次の拡大体である。
>つまり、p^(m_0) 個の元からなる有限体である。

Z[θ]/P_0 は Z/pZ の f_0 次の拡大体である。
つまり、p^(f_0) 個の元からなる有限体である。
ここで、 f_0 は g_0(X) の次数。

m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら ω = √m である。
f(X) = X^2 - m である。
この判別式 D は 4m である。

p は奇素数で D を割るから m を割る。
よって f(X) ≡ X^2 (mod p) となる
>>805 より P = (p, ω) = (p, √m) である。

だれかこのスレの前のdat落ちしてる二つのスレを保存した人いる？
Kummerさん記録に残してるのかな？
最初から読みたいので。

>>975
http://makimo.to/2ch/
にくちゃんねるも今年で閉鎖になるみたいだけどね〜

＞にくちゃんねるも今年で閉鎖
ソース教えてくれ

>>977
【●】「にくちゃんねる」休止のお知らせ･･････ 過去ログ倉庫【買うか？】
http://news20.2ch.net/test/read.cgi/news/1164162822/

このスレもそろそろ終わりなので後で見たい人は保存して
おいたほうがいいよ。

ｔｈｘ

このスレで終わりにして欲しい

次スレに期待

>>974 の続きを書いたとしてもこのスレじゃちょっと終わりそうもない。
イデアルの自由アーベル群としての基底の話もするつもりなので。

ということで雑談。
類体論における高木の位置は日本ではもちろん高いけど外国、特に米国
ではそうでもないみたいだね。Artin の方が高いようだ。
そもそも、類体論において高木が決定的なブレークスルーを行ったという
認識があまりない。さすがにHasseは認識しているが。

誰だったか名前は忘れたが高木はWeberの予想を証明したと書いていた。
つまり高木の結果はWeberにより予想されていたと。
それが本当だとすると高木は問題解決者ということになる。
Weberは確かに一般イデアル類群を考えていたが
これは虚数乗法との関連で見出されたもの。

高木は、彼の結果は意外だったと書いている。
とても本当のこととは思えなかったので、どこかに間違いがあるはず
だと一生懸命探したが見つからなかったと。

talk:>>982 お前に何が分かるというのか？

所でクムメルさんってどう云う立場の人なの？
本ばかりでなく論文まで読んでるなんて。
論文は大学関係者か、それに繋がりのある人じゃないと手に入らないでしょ。
AMSに入っているとか。
学会には出席したことあるの？
発表はしなくても聞くだけでも。
もっとも最近の学会発表はトンデモが結構多いけど。

二百六十九日。

>>985

こいつは数学に関する知識はあるけど、Latexとか基本的なtypesettingとか
知らないから、多分年を取ったどっかの大学の先生か、趣味で数学をやってる
人かなんかでしょ。

別に大学関係者じゃなくても論文は読めるっしょ。ArXiveとかあるんだから。
AMSなんて大げさだな。

命題
M を x_1, ..., x_n を基底とする自由アーベル群とする。
N を M の部分群で M/N が有限群となるものとする。
このとき、N は n 次の自由アーベル群で

y_1 = a_(1, 1) x_1
y_2 = a_(2, 1) x_1 + a_(2, 2) x_2
.
.
y_i = a_(i, 1) x_1 + a_(i, 2) x_2 + ... + a_(i, i) x_i
.
.
y_n = a_(n, 1) x_1 + a_(n, 2) x_2 + ................ + a_(n, n) x_n

の形の基底を持つ。
ここで a_(1, 1)a_(2, 2)...a_(n, n) ≠ 0 である。

証明は後述。

>>988 の証明
M/N の位数を g とする。
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは命題の主張は明らか。
よって n ＞ 1 とする。

M から有理整数環の加法群 Z へのアーベル群としての射 φ を
φ(b_1 x_1 + b_2 x_2 + ... + b_n x_n) = b_n で定義する。
g x_n ∈ N だから g ∈ φ(N) である。
よって φ(N) = Za となる a ＞ 0 がある。
この a を a_(n, n) とおく。
φ(y_n) = a_(n, n) となる y_n がある。
y_n は
y_n = a_(n, 1) x_1 + a_(n, 2) x_2 + ... + a_(n, n) x_n との形に書ける。

z を N の任意の元とする。
φ(z) = a_(n, n)q と書ける。
φ(z - q(y_n)) = 0 だから
z - q(y_n) ∈ Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N である。
よって
N = Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N + Z(y_n)
となる。

ここで
L = Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) とおくと、
L/(L ∩ N) は (L + N)/N と同型で (L + N)/N は M/N の部分群だから
有限群である。

よって、L と L ∩ N に対して帰納法の仮定を適用すればよい。
証明終

>>989 の補足。

N = Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N + Z(y_n)
が Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N と　Z(y_n) の直和であることは
Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ Z(y_n) = 0 から分かる。

したがって帰納法の仮定より y_1, ..., y_ n は Z 上 一次独立となる。

命題
>>988において M/N の位数は a_(1, 1)a_(2, 2)...a_(n, n) である。

証明
M の任意の元 w = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n をとる。

c_n = a_(n, n)q_n + r_n, 0 ≦ r_n ＜ a_(n, n) とすると。
w - q_n(y_n) = d_1 x_1 + d_2 x_2 + ... + d_(n-1) x_(n-1) + r_n x_n
となる。

これを繰り返して

w - q_1 y_1 - q_2 y_2 - ... - q_n y_n
= r_1 x_1 + r_2 x_2 + ... + r_n x_n

ここで 0 ≦ r_i ＜ a_(i, i) である。

r_1 x_1 + r_2 x_2 + ... + r_n x_n ∈ N なら
r_1 = r_2 = ... = r_n = 0 となることは y_1, ..., y_n の作り方から分かる。

よって M/N の代表元として r_1 x_1 + r_2 x_2 + ... + r_n x_n の形の元が
とれる。
証明終

１０００ならking氏ね

>>988 の 訂正
>ここで a_(1, 1)a_(2, 2)...a_(n, n) ≠ 0 である。

ここで 各 a_(i, i) ＞ 0 である。

１０００ならking氏ね

クンマー拡大！

>>988 の a_(1, 1), ..., a_(n, n) は x_1, ..., x_n と N により
一意に決まる。

例えば a_(n, n) は
b_1 x_1 + b_2 x_2 + ... + b_n x_n ∈ N となる最小の
有理整数 b_n ＞ 0 である。
証明は読者に任す。

次スレたてますた(`･ω･´)

代数的整数論　004
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/

talk:>>992,>>994 お前に何が分かるというのか？

998

何かと思ったらkingか。
あぼーんしてたから
一瞬わけわからんかったｗ

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。