数学の命題を真と偽に分かつものは何なのか

背理法では
矛盾律¬(p∧¬p)という性質を使っているが、
これさえ踏まえておけば自由に数学を組み立てることが
出来るのであろうか？

命題の真偽は理性によるとか
アプリオリなものであるとか答えたら-100点

命題の真偽は理性による
そしてアプリオリなものである

例えば
x^2=-1に解は存在するという命題は
Z上では偽だがC上では真である。

x^2＝4ならばx＝2である
というのも、負根を知らない奴にとっては正しい。

自分が合っていると思って解答を出し、
自分の解答を人に見てもらっていてそれでもまた合っていると判断された時
自分の解答がどうして合っていると言えるのだろうか、
そいつも自分と同じく論理的錯覚に陥っているのではないか
と考える事がある。

>>5
×解答
○証明

そこで論理的錯覚とはなんであるかが問題となるわけですよ。

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

論理的錯覚とは、数学を良く知る人ならそれを指摘できるが、
数学をあまり知らない人にとってはコロッと騙されてしまうようなものなど。

論理的錯覚という言い方は言いえて妙だが、
論理の間違った使用を知らずにしていることを指す。

もしくは普通の感覚？という言い方は変だが、
そこからあまりにもかけ離れているため論理的に受け入れがたい事柄
に対し、それが偽であると決めつけようと必死な人など。

すみません。
>>9の三段目は頭の中で削除して読んで下さい

>>9
>数学をあまり知らない人にとってはコロッと騙されてしまうようなものなど。
など？

例えば、証明ができなく(不可能・可能だが技術的に無理の両方の意)とも
我々にとって自明でかつ真であるとして使用している事柄もかなりある。

>>11
などと言ったのは他にも錯覚を示す事柄はありそうだけど
今の所考えがまとまってるのはそれだけだったからです

そして真であるとされる証明に対してはっきりと
「真である」と言い切れる根拠は何処にあるんだろうか。

>>12
すまんが2〜3個挙げてみてくれ。恥ずかしながら思い浮かばない

>>14
つ【公理】

例えば
1+1=2（証明されているから真であるということを意識せず使っているし
　　　　基礎論を齧ってないと証明は無理)

数学的帰納法の考え方（この考え方が正当であるかどうかを検証する
以前に使っている(別に正当じゃないわけではないが)

ユークリッド幾何の平行線以外の公理

あと、分配法則もそう。

でも真であることを
検証する際に公理から始めるひとは殆どいないし、
公理の概念が無かった時代にはその正しさを保障するものは無いし･･･
では公理から始まりさえすれば全て真だと言い切れるのだろうか

公理であると考えられていた事柄が
ある局面では成立しない事態もあるのではないか。

では4についての回答はどうなんだろうか。

>>17
とりあえず>>12の｛我々｝∋俺でないことはわかった。

>>19
>検証する際に公理から始めるひとは殆どいないし、
公理と、公理から示された定理から始める場合は公理から始めたのと同一視できない？

>公理の概念が無かった時代にはその正しさを保障するものは無いし･･･
その時代の理論を、正しいか確かめずに使ってるならそうだな。

>では公理から始まりさえすれば全て真だと言い切れるのだろうか
公理系Aを認めた理論での命題は「公理系Aが真ならば〜」と解釈すべきだから、言い切っていいんじゃないかと。


>>21
「x^2=-1に解は存在する」はxの範囲を定めていない。だから>>4の様なことを言える。

>>22
>>4の場合はCが代数的閉体であるから解の範囲がこれ以上広がることはないな
ただ言い方が変だが
xの範囲がまだあることを知らずに偽であるとしているような
これと同じような事態が現在の数学にないとは言い切れないんじゃないか？

確かに証明に自然に定理を使っているが、これに間違いがある可能性が
京に一つでもある可能性がないと言い切れるのか。
それは99.99999･･･%の人間が証明のミスを指摘できていないだけで
そういう状態にある定理を使っているかもしれないではないか。

xの範囲を拡張して考えることを知らなかったとしても、
偽であることはひるがえらないでしょ。
今だってR上ではx^2=-1に解はないよ。

>>23
>xの範囲がまだあることを知らずに〜
xの範囲がいくらでも作れるから、「C上で」とか「Z上で」を命題の仮定の部分に取り入れてるんだと思うが・・・

>>後半
それはありうる。それが後でわかったら、その定理が証明に使われた命題は証明し直しになるな。

真であるのに証明できない！

>>1は「真」「偽」の定義を知らないようだ

まさか
「数学とは、公理と推論規則を選ぶ事、
及びそれらから形式的に命題を導出する事」
とか思ってる人いる？

>>27
お前に何が分かるというのか？

>>28
そんなことしてたら
あらゆる「予想」が存在できなくなりますがな
>>26
死んである命題について
手持ちの知識では検証・証明できないけどそれを
使っているということです。

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