【sin】高校生のための数学の質問スレPART54【cos】
>>801
① 1<1+x<(1+x)^2
② ①から 1<√(1+k/n^2)<1+k/n^2
辺辺の和を取って
Σ[k=1,n] 1 < Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) < Σ[k=1,n](1+k/n^2)
Σ[k=1,n] 1 = n , Σ[k=1,n](1+k/n^2) = n + (1/2)n(n+1)/n^2 = n + 1/2 + 1/(2n)
だから
1 < (1/n)Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) < 1 + 1/(2n) + 1/(2n^2)
はさみうちの原理から
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) = 1
① 1<1+x<(1+x)^2
② ①から 1<√(1+k/n^2)<1+k/n^2
辺辺の和を取って
Σ[k=1,n] 1 < Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) < Σ[k=1,n](1+k/n^2)
Σ[k=1,n] 1 = n , Σ[k=1,n](1+k/n^2) = n + (1/2)n(n+1)/n^2 = n + 1/2 + 1/(2n)
だから
1 < (1/n)Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) < 1 + 1/(2n) + 1/(2n^2)
はさみうちの原理から
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]√(1+k/n^2) = 1
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