1=0.999… その10.999…

>>923
小数表記について「テクニカル」って言ってるのに
分数の計算式だけ書いてどうするんだよ？

>>928
馬鹿？

>>916
>そんなにテクニカル？

> 0.999…はどんな分数を縦書き割り算しても出てこない。
> >>565みたいな指導要領を超えるテクニカルな事をしない限り。

で、

> 1/3+1/3+1/3=1
> そんなにテクニカル？

で、これで0.999・・・が出てくるのか？

>>926
うおぉ。
それだと分かりやすく説明できるな。

1/1の縦書きで一桁目に０書いたら０．９９９・・・になるな

>>930
>で、これで0.999・・・が出てくるのか？

1/3=0.3333....

>>930
>> 1/3+1/3+1/3=1
>> そんなにテクニカル？
>
>で、これで0.999・・・が出てくるのか？

有理数と循環小数の定義からいうとそれでいいんじゃないの

「分数を縦書き割り算して」ってレベルの話してるんだから、
分数だけ書いても小数の説明にはならないだろ

1/3×3=(0.3+0.03+0.003+・・・)×3
1=0.9999999・・・

↑の式について、循環小数に自然数をかけても
成立するのだろうかという疑問がでてきます。
↑の式で成立すると思っている方は、
循環小数と自然数を一緒にしているのではないでしょうか？
みなさまの意見をお待ちしております。

>>935
だからあ…。

無限小数の各種の演算は、無限小数を「都合良く」定義する際に、同時に演算も
「都合良く」定義するだけの話だよ。

こんなの、数学では常套手段だろ？

>>639
もっと落ち着いて、正しい日本語または
正しい２ちゃんねる語で書き込みましょう。
数学の味方としては
本来は初等教育に携わる教師達を味方に付けないといけない。

数学の定義は、現実をよくシミュレートできるとか、他の現象を説明・解析できるとか、
より一般的で抽象的なモノを扱えるとかの目的で「都合良く」行われる。そこに、矛盾
がなければどのような定義も自由。（過去の定義とかと混乱するようだとチトまずい？）

０．９９９９…の問題でも、無限小数や無限小数の演算を「都合良く」定義し、そしてそこに
矛盾がなければ全てＯＫ。

1/3=0.3333333333..........
2/3=0.6666666666..........
3/3=1
1/3+1/3=0.3333333333..........+0.3333333333..........=2/3
1/3+1/3+1/3=0.3333333333..........+0.3333333333..........+0.3333333333..........=1
2/3+1/3=0.6666666666..........+0.3333333333..........=1
0.9999999999..........=0.9999999999..........

0.000･･･ = ■ ÷ 9

0.111･･･ =　1 ÷ 9
0.222･･･ =　2 ÷ 9
0.333･･･ =　3 ÷ 9

0.444･･･ =　4 ÷ 9
0.555･･･ =　5 ÷ 9
0.666･･･ =　6 ÷ 9

0.777･･･ =　7 ÷ 9
0.888･･･ =　8 ÷ 9
0.999･･･ = ■ ÷ 9

1.111･･･ = 10 ÷ 9
1.222･･･ = 11 ÷ 9
1.333･･･ = 12 ÷ 9

とりあえず>>936と>>938は「0.999…≠1じゃないの？」と言う人が何を疑問に思っているのか理解していない。

>>941
別に数学は「１≠０．９９９９…」でも良いのさ。でも普通は「１＝０．９９９９…」となるように
各種の定義を行う。なぜなら、その方が「都合がよい」からだ。どのように「都合が良い」
のか具体的に列挙するかい？
で、都合が良いからそのように定義するし、その後は>>936,938の話に繋がる。

>>942
馬鹿
>>912から始まった話。
理解してるのか低能。

>>941
じゃ
おまえがそれを説明してみろてすっとこどっこい

>>943
それで納得するんなら、それでもいいかもな。反対はしない。

>>942
その説明じゃダメ。都合の良し悪しの前に、0.999…≠1だと思っている人は0.999…＝1が成り立つような定義に
納得しない。たとえば、普通は「0.a1a2a3…」という記号の定義はΣ[i＝1〜∞]ai/10^iだから、この定義のもと
0.999…＝1になるわけだけど、0.999…≠1だと思っている人は「左辺の0.999…は右辺の1とは違う数であって、
イコールでは結べない」と言って来る。こういう人は、「1」とか「33」のような記号を「数そのものだ」と
認識しちゃってるわけで、その認識を直してやらないうちに「これは定義だ」とか「都合がよいから」とか言っても
理解されない。

>>946
そういうヒトには、「じゃなんで君は　分数の　２／２＝３／３　を納得したんだ？それとも
違う数だと主張するのか？」と聞くな。表記が違っても同じ数ってのは小学校からずっと
取り扱って来たはずだと認識させるだけ。

>>947
そこがちゃんと理解されるかが問題。「2/2とか3/3は1と同じだけど0.999…とは違う」なんて回答が返ってくる。

たとえば、「犬」という記号を見て、これを「犬そのものだ」と思う人はいない。「犬」は犬を意味する記号で
あって、「犬そのもの」ではない。でも数字になると話は変わる。数学に無縁な人のほとんどは、「1」とか「2」を
「数そのものだ」と思っているはず。「犬」の場合は、本物の犬(＝実体)を誰でも見たことがあるから、記号と
その記号が表す実体を混同することは無いけど、数字の場合は、集合とその同値類を使って実数を構成していく
サマを見ない限りは、実体にお目にかかることが出来ない。そして、そうやって実体を知らない人にとっては、
1とかn/nとか0.999…という記号そのものが数であり、小学校時代の刷り込みによって、「n/n」という分数は
(表記は違うのだけど)1と同じ数であり、でも0.999…は1とは違う数だと思ってしまっている。

>>947
あと、0.999…≠1派を納得させるには、
「いかに0.999…＝1という定義がキレイで都合が良い定義か」よりも
「いかに0.999…≠1という定義がギクシャクして使いモノにならない定義か」を
言った方が効果的だと思う。

>>948

＞「2/2とか3/3は1と同じだけど0.999…とは違う」
こいつを主張するようなら、その根拠を聞いて対応するなあ。確かに手間はかかるが、いずれ
にせよ、この問題は一気に誰にも分かるような説明はできんのだしね。

>1とかn/nとか0.999…という記号そのものが数であり、小学校時代の刷り込みによって、
>「n/n」という分数は(表記は違うのだけど)1と同じ数であり、でも0.999…は1とは違う数だ
>と思ってしまっている。

その小学校の「刷り込み」とやらの「根拠」をしっかり聞いて対応するだけだなあ。「小学校で
習ったから」なんて答えは、ふつーしないだろ？だったら相手も考えるはずだ。

>>949
「１≠０．９９９９…」という定義が使い物にならないってコト？うーん。そんな具体例あったら、
教えて欲しいな。なかなか難しいと思うぞ。

それこそ、(1/3)×3の計算結果が２通りあって困るだろ

>>951
そうだよなｗ　でも、「無限小数などあり得ない」とか「小数では近似値でしか計算できない」
なんて言い出す輩が無限増殖しそうだ。

>>952
知ろうとする人間と
考えようとする人間と
反発しようとする人間と
からかおうとする人間と

いろいろいるからね。

>>946
ならば、ダメじゃない説明など存在しないだろうな。
およそどんな上手い説明をしても、間違ったことを頑なに信じ込み続ける奴は存在するだろう。

0.999… をlim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))と言うと、
そのようにする根拠はどこにあるのかという問題が残る。

別に、0.9, 0.998, 0.997, 0.9996, … という数列の極限にしてもいいのだ。
0.999…の意味を考え直さないといけないだろう。

数列をちょっと変化させても、極限はlim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))となるわけだが。
0.999…という表記の仕方は意外に厄介なものだ。

>>950
相手が自発的に考えてくれて「そうか！1とか2は、数を表す記号にすぎなくて、数そのものじゃ
ないんだ」という境地に達してくれればいいんだけどね。数の実体を見たことが無い人がこの境地に
辿り着くのは至難の技。彼らにとっては、「本物の犬」を指差されて「これは本物の犬でなく、犬を表す
記号にすぎない」と指摘されるようなものだから。そんなこと言われたら「嘘つけ。誰がどう見ても、これは
本物の犬だろうが」と考え、それ以上の思考ができない。

n/nと1と0.999…の関係についても同様。彼らにとっては、1や0.999…は2匹の本物の犬A，Bであり、n/nは本物の
犬Aの「あだ名」に過ぎない。n/nはAのあだ名であって、Bのあだ名ではない。実は「あだ名」と言った時点で、
少なくともn/nという記号は「数を表す記号にすぎない」と(無意識のうちに)認識してることになるのだが、n/nに
対してこの認識ができているのは、1とか2を「実体」として見ていて、実体⇔それを表す記号　という構図が頭の
中に出来ているから。我々の目標は「実は1や2も数を表す記号にすぎない」と認識の幅を広げてやることだが、
難しい。なぜなら、彼らにとっては1や2が実体であり、これらも「それは記号にすぎない」などと言われてしまうと、
彼らは実体を失う。実体⇔それを表す記号　という構図が崩れる。すると「嘘つけ。どう見てもこれ(1とか2とか)は
本物の犬だろうが」と考えてしまい、思考がストップする。あるいは、1や2が記号にすぎないことを認めた上で「じゃあ
数って何よ？」という新たな議論(もう実数を構成するしかないｗ)が始まってしまう。

>>950
一例)0.999…≠1とすると0.999…＜1となるから、x＝(1＋0.999…)/2とおくと0.999…＜x＜1となる。
そこで、xを無限小数展開してやると、xもまた0.999…と表されてしまい、もはや0.999…という記号の
定める数は一意に定まらなくなる。相手が1＋0.999…＝1.999…という計算を認めている場合は(1.999…)÷2
を計算させてもよい。これへの反論としては「0.999…9(←止まる)」が挙げられるが、こういう、∞桁目を
仮定して表記することもまたギクシャクしていることが説明できる。

>>958
んー。２／２や３／３を提示して、それらと完全に一致する別の表記の数が存在することと、
０．９９９９…もその類の数ではないかってコトを臭わせると良いと思うんだけどね。

>>959
そういうヒトは、「そもそも無限小数が存在しない」とか「存在しても演算が終了しないから、
演算できない」なんて言い出すんだよ。「小数は近似値しか表せない」とかね。（経験済み）
だからこの点で、オレは「無限小数を採用するメリット」で攻めた方が良いと思っている。

＞０．９９９９…もその類の数ではないかってコトを臭わせる
うん。つまり「実は1や2も数を表す記号にすぎない」と認識の幅を広げてやることになるわけだけど、
彼らにとって「0.999…」は本物の犬であって、それを指差されて「これは本物の犬ではない」と言わ
れても釈然としない。まず、そんなことを認めてしまうと、彼らは実体を失ってしまう。たとえ認めて
くれたとしても、実体を失った彼らが真っ先に行うのは「失った実体の埋め合わせをする」こと。
すなわち「じゃあ数って何なのよ？」という疑問を投げかけてくる。こうなると実数の構成から説明
しなくちゃならない。

＞そもそも無限小数が存在しない
そういう人はまた別の話になるなあ。このスレは「0.999…という数の存在は認めるけど1とは違う」と
いう人への説明を考えていると思ってたのだが。
＞存在しても演算が終了しないから、演算できない
そういう人にはε−δ論法で0.999…の値を評価して1≦0.999…を示すとか。0.999…そのものには手を
加えないから、計算云々の反論は出来ない。まあ、今度は「無限小が〜」とか言ってくるんだろうけど。
でも、こういう類の人に「メリットがあるから採用する」とか言っても納得してもらえないと思うんだけど。
結局、気持ち悪がって無限小数を使いたがらないはず。メリットで攻めることの限界は、数学の歴史で見ても
分かる。負の数しかり、虚数iしかり。虚数の場合は、3次方程式の解の公式に絶対に出て来ちゃったり、計算に
用いるとかなり便利だったりして「メリット満載」なわけだが、でも みんな使いたがらなかった。ガウスが登場
して、虚数iの「実体」を明示して初めて、認められていった。

>>961
０．９９９９…の実体がない＝存在しないってヒトもいるって話です。「実体がない」状態でも別に困らないか
ら当然埋め合わせの必要性もないですね。

実数の構成も良いんだけど、それこそ素人には取って付けた説明な気がますますすると思うんだけどね。
実際、あれは実数＝連続ってコトをデテキント切断とかコーシー列とかの手練手管を使って説明する手法
でしょ？しかも、それらの「前提」は疑っちゃいかん…と。　そもそもその必要性を感じないヒトには全く受け
入れられないんじゃないのかな？ε−δ論法もそれら前提がないと使えないんじゃないの？

ま、ガウスの話は総合的にメリットあるって認識されたってコトで。

＞０．９９９９…の実体がない＝存在しないってヒトもいるって話です。
そういう人は、そもそもこのスレ的に論外。このスレは「0.999…という数の存在は認めるけど、
でも1とは違う」という人が対象だと思うが。まあ、「0.999…は存在しない」という人についても
考えてもいいけど、そういう類の人は、今回の議論と一緒にしてはいけない。今回の話から切り離して、
別の議論をしなければならない。とりあえず今は、「0.999…という数の存在は認めている」人を
対象とした議論をしているんだよ。

＞ま、ガウスの話は総合的にメリットあるって認識されたってコトで。
合ってるけど間違ってる。ガウスよりずっと前から、既に「メリットがある」と認識されている。
だが、気持ち悪がってみんな使いたがらなかった。これがメリットによる論法の限界。それに
対し、ガウスがやったのはメリットの論法ではない。更なるメリットを提示したわけでは無い。
ガウスがやったのは、みんなの抱く「気持ち悪さ」を排除したということ。つまり、虚数の
「実体」を明示したことにより、「ああ、このiという概念は使っても大丈夫なんだな」と
みんなに納得させた。メリットの論法では、無限小数を使うことによる「便利さ」について
話すことはできても、「無限小数という概念を使っても平気なのか？」という抵抗感は除けない。
「気持ち悪さ」の排除ができない。そして、0.999…≠1派が求めている根本的な部分はこっちのはず。
つまり、メリットの論法は根本的な解決にならない。

>>963
現実に存在するヒトを論外と言って切り捨てるのはいかがなものかｗ
だからこそ、メリットを論じようって話なんだけどね。

ガウスの時も、表面的にはそう見えるやもしれないけど、オレは数学者たちが
よってたかってなにやら哲学的論争して有効性と必要性を確認したんだと思うぞ。

で、昔はメリットで定義することへの躊躇があったんだけど、メリットあったら定義
として採用してよし！となった…で良いのでは？

>>964
いや、そういう人を対象にしてもいいけど、でも今回の議論とは切り離して別の議論が必要だ、
と言ってるんだけど。書き方が悪かったな。

[1]「0.999…という数の存在は認めるけど、でも1とは違う」という人を対象にした場合
[2]「0.999…なんて数は存在しない」という人を対象にした場合

この2種類の人々について、どう説明を果たせばよいのかを考えているわけだな。
[1]の人の場合：
メリット(＝そう定義した方が都合が良い)の説明は後回し。なぜなら、この説明は「定義の
問題にすぎないんだぞ」という説明だから。この説明を納得するには、まず「1や2は数そのもの
ではなく、数を表す記号にすぎない」ということを理解しなければならない。従って、こっちを
説明するのが先。だが、これを突き詰めていくと「数って何よ？」という議論になってくる(そう
ならずに納得しちゃう人もいるだろうけど)。

[2]の人の場合：
やはりメリットの説明は後回し。存在そのものを否定する人間に、「存在を仮定するとホラ、こんなに
便利！」と言ったところで納得してもらえないから。「なるほど、存在を仮定すれば確かに便利かも。でもさ、
それは存在を仮定したときの話であって、実際はどうなの？存在するの？存在しなかったら意味ないじゃん」と
反論される。気持ち悪がられて、無限小数を使ってもらえない。ガウスのように、無限小数の「実体」を明示
する必要がある。つまり、実数を構成して見せなければならない。だが、素人にそんなの見せてもたぶん理解
されない。

ま、確かにメリットは後回しでも良いかもね。根本にそれが厳然として存在することは事実だけど。

[1]は２／２や３／３の例を「小学校で習ったから」ではなく、なぜ同じ数として扱えるかとことん
論議すればＯＫなんじゃないのか？いずれにせよ、時間はかかる。

[2]はオレはガウスのヤツも総合的メリットだと思っているからなあ。数学で「存在する」っての
をこれまた哲学的にとことん論議するしかないんじゃないのか？冷やかしなら途中で脱落す
るだろうしね。ガウスはガウス平面で存在を示したけど、「その数に対応したトコを視覚で捕ら
えられる＝存在する」なのか？ってね。

>>966
＞根本にそれが厳然として存在することは事実だけど。
うん、俺もメリットの塊だと思う。でも、そういうメリットの議論をするには「1や2は数を
表す記号にすぎない」という、数に関する「実体⇔それを表す記号」の枠組みをちゃんと
把握しておかなければならない。数学者同士ではそんなの既に把握してるからいいけど、
素人は「記号＝実体」になっちゃってるから、メリットの話も通じなくなってくる。

＞[1]は２／２や３／３の例を「小学校で習ったから」ではなく、なぜ同じ数として扱えるかとことん 論議すれば
ＯＫなんじゃないのか？いずれにせよ、時間はかかる。
そうだな。それでいいと思う。

＞「その数に対応したトコを視覚で捕らえられる＝存在する」なのか？ってね。
その体系を実現するモデルが存在すれば(＝無矛盾であれば)「存在する」と呼ぶんじゃないかな。
虚数が気持ち悪がられたのは、虚数を使った計算に矛盾が無いのか不明だったことと、あまりにも
「仮想的すぎる」感じがしたことじゃないかな。ガウス平面だと、まず、この平面は(みんなにとって)
ちっとも仮想的ではない。次に、ガウス平面上の2点間に演算を定義することで、点同士の演算が可能に
なる。ここまでは、何も矛盾が無い。そして、初めに「仮想的に」導入した虚数i＝√(-1)を使った計算と、
このガウス平面上の2点間の計算が1対1に対応している。すると、「仮想的すぎる」と思っていた複素数の
計算は、ガウス平面上の2点間の計算をしていると思うことで何ら仮想的ではなくなるし、計算に矛盾も無い。
これを以って「存在する」と呼んでると思う。

>>967
矛盾なし＝存在する…って今の数学の考え方も、色々やってきた上での後付けの考えなんじゃ
ないかなあ。自然にわき出てくるような考えじゃないよね。更に言うと、ガウス平面でさえ、仮想的
だと感じるヒトもいるかもね。

で、さらに０．９９９９…をあまりに仮想的すぎる…と思っているヒトも居るわけで…。
これを根本から説明するのは骨が折れそうｗ

「新たな概念は既知のものから構成する事で初めて受け容れられる」
とまでは言えないんじゃないかな。

複素数は確かにそうだったのかもしれないし、詳しく知らない。
けど例えば、√2とかπとかが受け容れられたのは紀元前だろうけど、
この頃に有理数から実数を構成するなんて思いもよらなかったはず。

関数概念もそう。
Eulerは「変数と定数とから組み立てられた解析的な式」を「関数」としていて、
この頃は初等関数程度しか「関数」では有り得なかった。
けどDirichletが「関数とは対応の事であり、
その対応の仕方は数学的算法で与えられる必要はない」として、
有理数で1、無理数で0を取るいわゆるDirichlet関数を挙げ、関数概念を革新した。
この新しい関数概念はその構成(直積の部分集合)を抜きにして受け容れられた。
そもそもこの頃(19世紀初頭辺り)はまだ集合概念が無かった。

構成とは限らないんなら、じゃあ上に上げたものは
どうして受け容れられたの？っていうと…何だろうね。
人がある概念を認めるという行為は極めて複雑だとしか俺には言えない。

>>969
√2もπも、既知のものから構成されている。紀元前における「既知のもの」に相当するのは’図形’だ。
√2は、一辺が1の正方形の斜辺との同一視によって「ああ、確かにそういう数(2乗すると2になる数)は
存在してるんだな」と存在を認め、πは円周と同一視することで存在を認めている。逆に、こうやって
図示されたことにより、そういう数を「認めざるを得なかった」とも言える。無理数なんて、気持ち悪くて
認めたくない人ばかりだったろうし。もし、図形に対応させるという方法を取らずに、イキナリ「√2は、
2乗して2になる数である」なんて言っていれば、「そんな数は存在しない」と誰もが否定したはず。虚数iの
ときはまさにそうだった。√2の場合は、既知のもの(正方形の斜辺)に対応させることで、そういう数が「存在
している」と誰もが認めることになった。虚数の場合も、ガウスの時代になって、ガウス平面という既知のもの
に対応させることで、「ああ、虚数は存在してるんだ」と認められていった。

でも関数は話が別だな。確かに、構成を抜きにして受け入れられている…

ああ、関数の場合は「ルール」と同一視したのかな。「ルール」とは、この場合はこう対処して、
この場合はこう対処して、…という、各場合における対処を箇条書きにしたようなもの。サッカーの
「ルール」とか、野球の「ルール」とか。’対応’として捉えた新しい関数概念は、「サッカーのルール
みたいなもんか」と思われたのかもしれない。それなら馴染みがあるし。
まあ、よく分からん。

>>970
複素数は図形から存在を認識された派かあ…。オレはメリット派だから、３次方程式の解
を求めるときに、必ず複素数を通過しなければならない場合がある…ってのが分かった
ってコトを推すな。

>>972

ヨーロッパ人は、俺らよりずっとずっと「存在」という言葉に拘るし、
特に虚数が出てきた頃は哲学と科学は未分化だったわけだから、そう
簡単に「図形と対応するから存在」とか「方程式解くと出てくるから存在」
とかいうプロセスで理解されていったわけではないと思うぞ。

>>973
なるほど。で、具体的にはどうだったの？

>>972
推すのは構わないけど、こういう「存在」に関する議論でメリットを使っても効果は無いはずだが。
それは歴史が証明してる。3次方程式の解の公式に複素数が出てくるのは随分昔から知られていたけど、
でも皆納得しなかった。ガウスが、ガウス平面上の2点間の演算と複素数を同一視する考え方を示して
初めて、複素数は市民権を得ている。

だいたい、複素数に対して釈然としない人は>>965の[2]と同類の人であって、そういう人に「複素数の
存在を仮定するとホラ、こんなに便利！」と言っても、「なるほど、存在を仮定すれば確かに便利かも。
でもさ、 それは存在を仮定したときの話であって、実際はどうなの？存在するの？存在しなかったら
意味ないじゃん」と反論されるだけ。気持ち悪がられて、複素数を使ってもらえない。複素数の歴史は
まさにコレだった。しかし、ガウスが実体を示すことで初めて皆納得した。メリットの議論は、まず対象が
存在することを確認した上で初めて説得力を持つ。対象の存在を示さずに、「存在すると仮定すると〜」と
いう仮定のもとでメリットを示しても、誰も納得しない。

>>974

諸派があって、それぞれいろいろ数の本質を考えて（もちろん今と違って
形式的な定義は無い）あれこれ神学論議してたぽ。

例えばユークリッド的立場にたてば、実数ってのは線分の長さなわけで
そういう立場からだと虚数とか認められないとかね（つまり虚数に関する
命題はユークリッド幾何学に還元できない）そういう人らにとってガウス
平面は幾何学的に捉えられるから理解の助けになっただろうね。

関数は「グラフ」っていう図示ができるよね。