1 ：
１３２人目の素数さん：
2 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:32:30
２ゲット
待つ圏３場
4 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:33:48
１０スレ目の1000が、見事にこのスレの本質を言い当てているところは見事
5 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:35:45
キタ、キター！
994 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 01:29:17
>>992 「そう」とは?
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
という意味不明な主張をし、それを数学と言い張り、
人一人にそれを理解してもらう事も出来ないという状況の事?
997 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/01/02(月) 01:31:40
>>994 そうその通り。
そう思いたきゃ、そう思ってて下さいってこと。
-------
って事は
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
ってのは、その人がそう思うかどうかって事だよね。
まだやんのそれ
8 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:43:04
小数の定義
「aを整数、a_1, a_2, ...を0, ..., 9のいずれかとする時、無限級数
a + a_1 / 10 + a_2 / 10^2 + …
の値(それは収束する)の事を
a. a_1 a_2 …
と書く」
についても、採用するかどうかとか「真実」であるかどうかなんてのは、
信念とか多数決とか、極めて数学的でない事によってのみ決められる事だよね。
10 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:46:23
12 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:49:41
13 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:50:30
>>11 同意はしないが、そう思いたい気持ちは理解できる。
>>13 同意しないのなら、どの箇所に同意しない?
そしてそれは何故?
ギャラリーとしては「そう思いたきゃどうぞ」は両陣営に言いたい
16 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 01:55:09
いや、数学の証明やら概念の定義やらならともかく、
あんな哲ぽいものだらだら書かれても読んでるほうはわからんって。
18 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:01:57
簡潔に言えば、
・定義は慎重にしましょう
・安易に分かった振りをするな
・数学に関して、真実は一つ
>>16 「真実」とか「依拠する」ってのが数学用語でないってのは
前スレの
>>984で
>>16も同意している事。
数学用語即ち数学的に意味ある用語ではないと。
って事は
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
が数学の話ではないってのは
>>16も同意している事だよね。
20 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:05:19
数学用語を使わない「数学の話」ってのもある。
たとえば、この文のようにね。
21 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:05:47
メタ数学はいいよ。
数学の話しようよ。
22 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:06:29
しかし今さら1＝0.999・・・とかの話をされてもなあ
24 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:07:05
>>23 そういわれても、ここはそういうスレなんで
25 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:07:45
じゃ証明するよ。
Ｘ＝０．９９９．．．
１０Ｘ＝９．９９．．．
９Ｘ＝９
Ｘ＝１
ＱＥＤ
26 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:09:10
えっと、今回のループは長さ150くらい？
28 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:10:07
29 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:13:16
√２＝１．４．．．
>>20 他人に通じない話が数学の話なんですか?
例えばトンデモの人は自分にしか分からない事を主張しますよね。
それと
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
はどう違うのですか?
31 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:16:21
相手にしないほうが良い
32 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:18:18
>>30 論理のすり替え。
数学用語を使わない話でも数学の話になりうると言ったのに、
「他人に通じない話が数学の話なんですか」と言われてもね。
後段もそう。
分かる気がないとしか、言いようがないね。
>>30 「数学の話」にも2種類あって、
公理からの証明みたいに「数学の中での話」と
哲学みたいな「数学についての話」があるよ。
数学のできん人でも後者の話ならできる。
数学のできる人でも後者が上手いとは限らんし。
35 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:21:24
メリット厨にしても、ゼノン厨にしても、その取り巻きにしても、
肝心の０．９９９・・・＝１に関しては全くふれようとせずに、
その周りの人の言った言わないばかり気にするのは、
やっぱり結論は先延ばしにしたいという意思の現れなのかね
36 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:22:14
>>32 「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
は
>>32の主張であり、また他人にその意味が伝わっていない。
即ち
「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
は
>>32にしか分からない
>>32の主張である。
一方自分にしか分からない事を事実として主張する人はトンデモである。
故に
>>32はトンデモである。
この論法のどこに論理のすり替えがあるのですか?
あるいはトンデモとまでは言わなくとも、
「
>>32にしか分からない話であって数学の話であるものが存在する」
ってのは一般に認められている事実ではない。
>>37 32は
>>33の後者の意味で「数学の話」って言ってたんじゃ
ないのかなあ、たぶん。
39 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:31:18
>>37 まず
>「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
の部分は、引用の仕方がおかしい。
「真実」の言い換えとして「１００％依拠できる」という表現を
使ったのに対し、正確な言い換えができていないからわかりにくい。
次に
>「実数の公理は「真実」である、即ち実数の定義として依拠できる」
>は
>>32にしか分からない
>>32の主張である。
は
>>37個人の主張であって、客観性に欠ける。
あと
>一方自分にしか分からない事を事実として主張する人はトンデモである。
これを認めると、ちょっと難しいことを言う人は全部トンデモになる。
>「
>>32にしか分からない話であって数学の話であるものが存在する」
>ってのは一般に認められている事実ではない。
一般に認められるもなにも、一般に問を発していないので確かめようがない。
ここらへんかな、とりあえず。
40 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:31:51
日本語は難しい
>>39も無理してそんなこと言ってるから
どんどん変な方向に行ってるよ
>>39 ならば
「実数の公理は100%依拠できる」
という文章で
>>39の意図している内容を理解できている人が
どのぐらいいるのか、このスレで聞いてみますか。
この文章で
>>39が意図している内容を理解できている人はいますか?
そしてそれが何なのか説明できますか?
44 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:37:17
>>42 >>37が問いを発したから答えただけの話で、
スレタイ通りの話をしようと思えば、準備はできてますよ。
実数の公理は認めて良いってことでしょ。
そんなにむずかしいことではない。
46 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:40:38
てか、０．９９９・・・＝１について分からない人って、
今この場にいるんですかね？
もしいないなら、ここであえて議論を積み上げる必要性を感じないのですが。
>>45 前スレの
>>953で
>>39は
> 「妥当」かじゃどうかではなく、「真実」かどうかなの。
と言っている。
>>39の意図するところは「認めて良い」程度ではないようだ。
>>47 なら、「正しい」って言い換えてみたら？
別に言質取って議論するほどのことじゃないかと・・・
>>44 別にスレ違いというわけじゃなくてさ。
39に書いてあること自体がところどころちょっとおかしい。
相手のすべての論点について反論してやろうと踏ん張って
無理して揚げ足とるからぽつぽつ間違いを犯すことになる。
> あと
> >一方自分にしか分からない事を事実として主張する人はトンデモである。
> これを認めると、ちょっと難しいことを言う人は全部トンデモになる。
これは実際にトンデモの側がよく使う詭弁だから
よしたほうがいいんじゃないかな。
原理的に自分にしか分からないトンデモ主張を、
高度で難しいがきちんと訓練を受けた人になら
わかるはずの（まっとうな科学の）主張と
ごた混ぜにしてる。
「自分にしか分からない」の多義性を利用した詭弁。
50 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:46:53
>>49 仮に詭弁なら詭弁で、有用性がないと思えば流せば良いだけのこと。
他に議論すべきことがあるなら、そっちに移ろうよ。
>>50 いや、だから、こっちこそ「流したら？」って言いたかったんだけどね・・・。
まあ流す必要に気付いてくれたならそれでいいや。
52 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:51:01
>>51 んじゃ、次に移ろう。
とりあえず０．９９９・・・＝１についてはＯＫ？
また
>>39は、前スレ
>>953で「１００％論理」だとか、同
>>958で
> 定義がしっかり定義されていることを厳密に証明して、基礎をしっかり作る。
> でないと、理論が発展していかないんだよ。だってその定義が、理論の命綱になっていく
> んだから。
などと言っている。
とりあえずここまでのレスで「
>>39の意図が(ある程度でも)理解できる」と言い、
それを説明した人は
>>45=
>>48の一人だけ。
その内容は「実数の公理は漠然と正しく感じる、という意味」と言って良いと思う。
で
>>39の意図はこれと一致していますか?
>>51 ごめんね俺こういうの相手にするのが大好きなんだ。
54 ：
45：2006/01/02(月) 02:54:41
漠然となんて、言ってないんだが・・・
55 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:56:12
>>53 実数の公理は正しいっていう部分は同意。
てか、どこに引っかかってるの？
俺としては、特に必要性を感じない。
>>54 なら「認めて良い」とか「正しい」ってどういう意味?
俺は漠然とした意味だと解釈したが。
「『100％正しい』と漠然と感じる」みたいな？
58 ：
45：2006/01/02(月) 02:59:23
>>56 そんなところに意味を求められても困る。
そんなに突っ込まれるならもっと言葉を選んだけどさ。
正しいって、そんなに変な言葉か？ 引っかかったらすまん。
59 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:02:12
>>53 俺が言いたかったのは、実数の公理は１００％依拠できるということ。
なぜなら、それが実数の定義になっているから。
こだわる理由がわからないんだが・・・
ふつう「定義」ってさ、「漠然と」守るものか？
「漠然と」「感じる」ものが定義だと思っているなら、ちょっと数学に関して
考えを改めた方が良いと思うぞ。
>>58,59
いやまあ、「正しい」以上にふさわしい言葉もないと思うから、
58のせいじゃあないと思うよ。たぶん、
「『正しい』といっても具体的に何を言っているのかよくわからない」
とか議論したいんでしょ？56は。
「1＝0.999・・・のほうが1≠0.999・・・よりも正しい、とは
どういう基準で言えるのか」
「1＝0.999・・・のほうが1≠0.999・・・よりも正しいのは
定義から導かれるからだ、というならその定義のほうを
（1≠0.999・・・を許すような定義でなくて）選ぶのは
どういう基準によるのか」
とかそういう疑問点を抱いているんじゃないの？
ということでメリット・デメリットの話と絡んでくると見た。
61 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:07:18
>>60 メリットの話と絡めるの好きみたいだけど、
実数の定義と０．９９９・・・＝１と言う命題は、直結するものであって
新たに定義するものではないの。
逆に言えば、実数の定義と０．９９９・・・≠１は、両立しない。
そんなもの定義しても仕方がない。どんなに「メリット」があろうともね。
まさか、まだメリットが出てくるとは思わなかったが・・・
誤解だよう俺自身が絡めたいわけじゃなくて
どっから今みたいな話になったんだっけ、と回想しただけ
63 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:10:02
>>62 ま、どっちにしてもメリットデメリットの話はなしな。
ナンセンスだから。
>>60 そうだね。
更に言えば、実数の公理(として完備アルキメデス順序体)を採用する「基準」とは
信念、多数決、メリットなどの非論理的なものだろう。
然るに
>>59は
>>13で「
>>6,
>>9に同意しない」と言っている。
実数の公理を採用するかどうかは信念でも多数決でもないと。
加えて「１００％論理」とも言っている。
ならばその論理を説明して頂こうと思ったわけだ。
65 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:12:36
>>64 その実数の行為を採用する、信念的・多数決的・メリット的基準ってなんだ？
66 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:13:07
67 ：
60：2006/01/02(月) 03:17:33
えっと、補足で、
>>61 > 逆に言えば、実数の定義と０．９９９・・・≠１は、両立しない。
そんなのは今議論してる人達はみんな知ってると思うけど、
でもそんなことを言ってるんじゃなくて、
「なんで実数の定義を受け入れるわけ？」
とかそういう次元の話をしてるんじゃないの？56は。
例えばさ、（今誰かがそう言ってるとかじゃないけど）
「なぜ実数をこれこれと定義するんですか」
→「それが正しい定義だからだよ」
「なぜ実数の定義が正しい実数の定義だと言えるんですか？」
→「定義に正しいかどうか言っても仕方ないよ、そのように
定義されるもののことを実数と呼ぶんだから」
っていう説明を同時に行うのは何かおかしいんだし、
少なくともどちらかは別の仕方で説明しなくちゃ
いけないよね？
68 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:17:58
>>64 あと「１００％論理」って言葉、どこから引用した？
どんどん言葉がねじ曲がってるんだが。
69 ：
60：2006/01/02(月) 03:19:31
70 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:19:54
>>67 >> 逆に言えば、実数の定義と０．９９９・・・≠１は、両立しない。
>そんなのは今議論してる人達はみんな知ってると思うけど、
あ、なんだ。
これがわかってるなら、メリットデメリットなんてどうでもいいじゃん。
議論自体終わってるんだから。終了じゃん。
「何を議論してるのかが1人だけわかってなかった」
って言って欲しいな。
72 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:21:55
>>67 >「なぜ実数をこれこれと定義するんですか」
>→「それが正しい定義だからだよ」
>「なぜ実数の定義が正しい実数の定義だと言えるんですか？」
>→「定義に正しいかどうか言っても仕方ないよ、そのように
> 定義されるもののことを実数と呼ぶんだから」
・・・これ、どこから引用した？
話を作り出す天才だな。
73 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:22:28
>>71 てか、メリット論の意味がないことが完全にみとめられたわけだ。ｗ
>>72 > 例えばさ、（今誰かがそう言ってるとかじゃないけど）
って
>>67に書いてあるのも読めないのかな？
レスはもちついて読もうね
76 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:24:18
>>74 読めるよ。そしてその例示の間違いを指摘してる。
77 ：
67：2006/01/02(月) 03:26:00
間違いもへったくれもないよ。
どういう次元の議論をしているかを示す例で、
誰かがこう主張しているという例じゃないもの。
78 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:26:49
>>77 どちらにしても
>>67の言うような次元の議論をしていないから、
この例示は誤り。
79 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:27:45
もし
>>67の例示が正しいと思うなら、とりあえず、その根拠が必要だな
80 ：
67：2006/01/02(月) 03:28:56
いや別に、俺がしてるとも言ってないけど。
> とかそういう次元の話をしてるんじゃないの？56は。
って書いたんで、ちゃんと読んでね。
>>65 「多数決」とは、数学をするほとんどの人が実際に採用しているという事実。
また、実数の全体が順序体であるメリットは
四則算法や順序を用いた議論が自由に出来るという点。
(順序に関して)完備でアルキメデス的であるメリットは、
解析学の至る所で表れるCauchy列を収束列として扱い、
Cauchy列の収束先を用いて強力な議論を展開する事が出来るようになる事など。
>>68 引用元は前スレ
>>953である、というのは前述
>>53の通り。
>>69 その通り。
で、実数の公理を採用するかどうかは信念でも多数決でもない、という
>>13の主張を元に、実数の公理を採用する「論理」を聞きましょうか。
82 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:30:24
>>80 ま、どちらにしても根拠のない憶測だ。流そう。
83 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:32:00
>>81 論理は、ただ一つ。
実際に、これが採用されていること自体だな。
定義ってのは公理が最初に来るわけで、概念はその後だから。
84 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:32:57
>>81 引用元に関しては、その指摘によって完全に誤りだと判明したな。
間違った引用をしている。これで一つすっきりした。
85 ：
67：2006/01/02(月) 03:33:36
>>82 俺と56＝64＝81とはそれなりに話がかみあってる気がするので
「根拠のな」くはないと思うけどなあ。
というわけで、
>>81、どうなの？俺は君の議論したいことの
筋はだいたい追えてるのかな？
86 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:35:42
>>85 前段：妄想
後段：まったく追えていなかったことが判明
87 ：
67：2006/01/02(月) 03:36:34
君には訊いてないよ。レス番も読めない？
88 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:38:20
89 ：
67：2006/01/02(月) 03:39:07
それってトンデモの常套句だね！
90 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:40:21
91 ：
67：2006/01/02(月) 03:41:28
まあそれだけ素直ならまだ芽はあるよ。
92 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:42:11
>>83 > 論理は、ただ一つ。
> 実際に、これが採用されていること自体だな。
それならば同意だな。
実際に「多くの数学をする人達に」採用されている事と。
俺はそれを「多数決」と表現した。
「多数の人の総意によって(実数の公理の)選択が決まる」という意味で正に「多数決」。
>>83はこれを「多数決」でないと言い、
「真実」や「100%依拠」や「論理」と表現するらしい。
ただそれは(極めて常識的でない)言い回しの違いに過ぎないようなので
(言葉の定義の違いが分かった今なら)問題無いだろう。
更に聞こうか。
何故実数の公理が多くの数学をする人達に採用されているのか?
それは信念でもメリットでも無いと?
>>85 問題無いと思います。
94 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 03:57:19
>>93 多数決と言うことは、少数意見もあったと言うことか？
あとその多数決というのはどこでどんな風に行われたんだ？
そしてその意見は今どこにあるか聞かせて欲しいね。
あと、重なるかもしれないが、その公理が「採用された」とするならば
「どこで」「いつ」「どのように」「どのような形で」採用されたんだ？
そしてその「信念」や「メリット」ってのはなんだ？
そこまで言い切るなら、少しは答えられるでしょ。
95 ：
85：2006/01/02(月) 03:59:08
>>94 > 「どこで」「いつ」「どのように」「どのような形で」採用されたんだ？
「いつの間にか」多くの人達、多くの数学書がこの定義を採用するようになった。
決定的な瞬間など無いだろう。
そして個々人にとって、この定義を採用した理由・メリットは、
「漠然とそれが自然に感じた」だとか「特に問題無さそうに思った」だとか
「疑問にさえ思わなかった」だとか、あるいは
>>81などだろう。
こういった信念やメリット故に
実数の公理が多くの数学をする人達に採用されている。
>>94は違うと?
少数意見については(少数意見故に)多くは知らない。
超準解析はその少数意見の一つだろう。
あるいは理論の体を成していないものなら
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/ などのトンデモ達の「理論」。
97 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:18:08
>>96 「漠然と」「特に問題なさそうで」「疑問にさえ思わなかった」ことが
「信念」であり「メリット」なわけか。
で、こうした「信念」「メリット」ゆえに、「多数決で」採用されたと。
なるほど、よーくわかった。
では、実数に関して実数の公理をもってその定義とすることは
定義として反駁する余地無いだろう。
それとも、それを覆すようなデメリットは何かあるか？
いっとくけど、あくまで実数としてね。
理解したうえで理解してないふりしてるんじゃないのかなこの子
99 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:23:17
>>97 前半については理解されたようで何よりで
ただ
>>81を忘れずに。
>>96でのメリットとは主に
>>81を指す。
後半については俺は同意する。
例えば超準実数体を採用する気など起こらない。
それで
> 何故実数の公理が多くの数学をする人達に採用されているのか?
> それは信念でもメリットでも無いと?
に対する
>>96の意見は?
>>100の最後の1行の
>>96は
>>97の間違い。
>>97は「実数の公理を採用する理由」は
「実際に、これが採用されていること自体」と解答している(
>>83)。
では何故実数の公理が多くの数学をする人達に採用されているのか?
それは信念でもメリットでも無いと?
これに対する
>>97の意見を聞きたい。
103 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:44:21
>>100 その意味での公理は、実数の概念ができあがった後で発見されたものだろ？
たとえば四則演算ができるというのは数の概念としては当然のことであるし
完備性についても、コーシー列についても、本来ある実数の概念から導かれ
てきた基本性質なはず。
たしかにその性質から実数の定義は構成されているが、実際に実数の概念が
そのようなものでなかったら、それを曲げてまで公理を突っ込む必要もなか
ったのでは？
まぁ公理の構成法に関しては俺が発明したわけではないから何とも言えないが、
ことに実数の定義をするに当たってメリット優先みたいな考え方をすると、本来ある
数の性質を無視することになる。
104 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:47:37
>>101 実数に内在する性質として見逃せないからだろ。
べつに、実数を定義する上で新たに付け加えたわけではない。
本来あった性質に着目したまでのこと。
>>103-104 「実数の概念はこういうものである」というのは正に信念だな。
その信念に基づいて実数の公理が置かれている。
逆に言えばその信念を共有しない人(例えばogawa)にとっては
何ら説得力はない。
その信念には、多数の人が何となく支持するという以外の論理性は無い。
これを認めるという事ですか。
更に言えば、前スレの
>>686 > でも、万能型現実シミュレートの道具である「実数」は、現在の定義が最も素直で
> 最も利用価値があり、仮に現実に時間・空間あるいは他の単位が離散的であった
> としても、ちょっとの変更で活用できるからなあ。そのために、あのような定義なんだろうね。
のように、実数とは現実の何か(例えば直線、空間、時間など)の近似のためのもの、
という考えもある。
現在発見されているものの中で最も近似の精度の良く使い勝手の良いものとして
現在の実数の定義があると。
こういう人にとっては「実数とはこうあるべき」という信念があるとは言い難い。
>>105でogawaを挙げた。
ogawaに限らず、1=0.999…を否定する人達の多くは
実数の公理に要約される実数概念を持っていない。
この状況を見るに、「実数の公理に要約される実数概念」が
「本来の実数概念」であるというのは余りに大胆過ぎるな。
ましてや「1≠0.999…は本来の実数の性質に反している」なんて主張は
多数の人に受け容れられるという以上の論理性は無い。
108 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 06:55:19
のびるの～
109 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 07:04:10
わしはメリット論を支持します。
110 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 07:07:38
１＝０．９９９．．．でＦＡ？
111 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 09:03:43
>>105 >>105 じゃ、自然数は整数と同じであると主張する人間については自然数＝整数とし、
実数も自然数だという人間についてはそれも認めるということか。
メリットは・・・「実数も自然界にたくさんあるから使いやすい」？
そういうものも認めるなら、「信念」としてもいい。
数学の本質はその自由性にありとはよく言うしな。
俺はそれをトンデモと呼ぶが。
112 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 09:10:52
>>105 >>105 じゃ、自然数は整数と同じであると主張する人間については自然数＝整数とし、
実数も自然数だという人間についてはそれも認めるということか。
メリットは・・・「実数も自然界にたくさんあるから使いやすい」？
そういうものも認めるなら、「信念」としてもいい。
数学の本質はその自由性にありとはよく言うしな。
俺はそれをトンデモと呼ぶが。
113 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 09:11:40
>>112だぶった・・・
>>107 「現在の実数の定義」とは、なんだ？
現在の実数の定義がなにを指し示すかはしらんが、それを認める以上
>>107は世の中にある、決まった実数の共通認識があるということだ。
あの人はこの実数の定義、この人はあの実数の定義という風には考えないと言うことだな。
それが、定義というものよ。
時と場所を選ばず、「実数」の概念を固定させるアイデアこそが、定義なの。
でないと、人によって０．９９９・・・が１だったり、そうじゃなかったりする。
それで良いと１０７が言うなら、もう俺は何も言うことがない。
俺は精神科医じゃないからな。
114 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 09:15:03
115 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 09:22:41
116 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 10:05:23
名前は変えたほうがいい。
117 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 10:33:35
1≠0.999…9
1＝0.999…
メリットというか信念というか１≠０．９９９・・・の意義は、
等号への畏敬なんだな。等しいということを厳格に守るということ。
等しいということへの信仰でもある。すっごく純粋なんですよ。
等号って数学のシンボルじゃん。等号の意味を守る姿勢なんだよ。
利便に捉われて森を切ってしまう私たち人類。森を守りたいよな。
俺は等号を守りたいんだ。
0.999…＝1でも等号は守られているわけだがｗ 通常、無限小数の定義は(1未満の場合)
0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i
だから0.999…＝1。
120 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:22:44
たしかに「1.999…は素数」とか言われると、
ちと困る。合ってるんだけど。
>>111-113 概念に対する名前の付け方は、
その概念が当事者間で共有されている限り原理的に自由だな。
完備アルキメデス順序体という概念に「実数体」という名前を付けても
(Hilbertではないが)「椅子」という名前を付けても、
完備アルキメデス順序体を意味するという約束の下では同じ事。
従って、「0.999…」を見て、これを
「完備アルキメデス順序体におけるΣ9/10^nの事」
と思うかどうかは信念や決まり事以上のものではない。
例えば「0.999…」を、列
(9/10, 9/10+9/10^2, ...)
の超準実数体における同値類であるとするなら、
これは1(即ち(1, 1, ...)の同値類)とは異なる事がすぐ分かる。
信念や決まり事の共有されていない人の間では、
0.999…が人により1だったり1でなかったりする訳だ。
>>107で書いた「現在の実数の定義」とは完備アルキメデス順序体の事。
これは現在数学をする多くの人が「実数体」という単語の意味として採用している。
だがogawaを始めとするトンデモや「1≠0.999…」派のように採用していない人もいる。
「多くの人の共通認識」程度でしかない。
> あの人はこの実数の定義、この人はあの実数の定義という風に
正にそう考える他にない。
その下で
>>105の最後の一行の質問にお答え頂きたい。
122 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:46:25
>>118 じゃ、なんで分数の ２／２＝３／３ では守らなかったんだ？
123 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:47:01
>>121 決まり事という表現については、同意。
信念という部分も、定義をした段階で付随してくるのは避けようがない。
ただ、その信念によって、定義がコロコロかわるのはいただけない。
定義は、いわばただの「必要十分条件」だから、記述が変わろうとも
概念自体が変更されなければ認められる。
でもそれ自体が変更されてしまうような定義は、どうかね。
信念はともかく、妄想はいかんよ。
124 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:50:55
>>123 数学の場合、微妙な定義の変更でも実質その定義の対象は無茶変化するじゃないか。
変化しないってのはおかしい。
125 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:54:00
>>121 あと
>>105についてだけど
すなわち、「多数が認める」「少数が認める」ということに関係なく、
その定義が必要十分条件として正しく機能するなら、ＯＫ。
それ以外のものは、ただの妄想。
名前を変えるか何かして、別個のものと扱わないとね。
126 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:55:12
>>124 そうしたら、一般に数学をやっている人間は、
その中のどの定義を信じて証明を行えばいいの？
対象が変わるなら、証明方法も変わってくるが。
127 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:56:13
>>125 定義しないと必要十分かどうかわからないじゃないか。
従って、その言い方は無意味。
128 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:57:13
129 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:58:10
>>127 すでに存在する定義について、別個の定義を与えようとするなら、
「証明」してみないと必要十分かどうかわからない。
「定義」するだけじゃなんにもならないよ。
130 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 12:59:50
>>128 ケースバイケースというと、自分の好きな定義をとっていいということ？
定義が８通りあれば、８通りの結果が得られてしまうけど、その中の
どの結果をとる？
メリットの話はなしね。そんなのただの自己都合だからさ。
131 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:01:33
区別すれば良い
132 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:02:23
133 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:03:46
>>129 既に存在する定義を「変える」だけ。
>>130 数学者の直観主義とか形式主義とかのヒトの戦いの時だって、君の言うような状況に
なっていたじゃないか。それぞれが、それぞれの定義で証明を行い、どちらがよりメリット
があり豊かであるか覇を競ったんだよ。それぞれの定義でね。
したがって、メリット等でＯＫ！ それぞれの自己都合で競い合うってことだね。
134 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:06:51
>>133 前段：
たとえば？
後段：
ずいぶん次元の違う話をしているけど、それらはすべて実数の性質を
保つ形でおこなわれているだろ。それは俺もＯＫだよ。
ここで行われている無責任なものとはレベルが違うからね。
135 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:14:49
>>134 例えばといわれてもね。
後段： なんだってー。
つまり、実数以外のモノを変えることはどんな根本を変えてもＯＫだが…
実数だけは変えちゃいかーーーんってコトｗ
同じ数学だろうにｗ 統一性に無茶欠けるぞ。
136 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:16:12
>>135 後段：
「実数だけは変えちゃいかーん」の引用元よろしく
137 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/02(月) 13:16:32
What is 0.999…?
Is it lim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))?
138 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:16:38
>>134 で、数学の根本を変える場合に、「形式主義と直観主義」の様な場合は容認して
「実数」の場合は容認しないんだろ？
線引きはどこだ？何がダメで何がいいんだ？きちんと明確にしないといけないん
じゃないのか？
139 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:17:36
>>136 >ずいぶん次元の違う話をしているけど、それらはすべて実数の性質を
>保つ形でおこなわれているだろ。それは俺もＯＫだよ。
>ここで行われている無責任なものとはレベルが違うからね。
実数の性質が保たれなきゃダメなんだろ？
140 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:20:08
>>138-139 実数という言葉を入れたのは、俺の書き間違い。
各定義が定義として必要十分な関係にあればＯＫということ。
もしないなら、前の定義が誤りであることをきちんと証明しないとね。
141 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:25:31
>>140 定義が誤りだなんて証明できるかよｗ 定義ってそもそも絶対真として扱われるだろ？
不可能なこと言うな。
「形式主義対直観主義」の戦いでも、それぞれの論理の定義を勝手に変えて、数学者
たちは覇を競っただろ？教え子の引き抜きもやったしな。そのとき、相手側の論理の
誤りなんてきちんと指摘したか？
142 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:28:42
>>141 覇を競うというのは、そういうことだろ。
どっちにしても、定義そのものがあやふやではっきりしていない時代だったわけだ。
そんな数学の草創段階の議論をここでされてもね。
哲学板出身？
143 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:31:26
>>142 それを言ったら、今は「１＝０．９９９９…」で決定じゃないかｗ 多くの数学者がそう思っているのを
認めないひとはいくなんでもいないだろｗ 対角線論法もこれを前提として使っているしな。
で、ここはその定義にいちゃもんをつけるスレなんだろ？定義があやふやだからなんとかしよう
と思っている人たちがさ。だったら、「定義があやふやだった時代」の話をしないでどうする。
144 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:32:41
>>143 ずばり、0.999・・・＝１で決定です。
145 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:34:23
146 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:37:35
>>145 もともとはいちゃもんをつけるスレなのではなく、
１＝０．９９９・・・が分からない人間のためのスレの１１個目なの。
それが、昨日のゴタゴタで
>>1が血迷って、あんな形にしてしまった。
というわけで、スレの本旨はいちゃもんすれじゃないってこと。
147 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:40:10
>>146 納得できないヒトの為に色々考えるってのも大切だろうに。納得できない
ヒトの目線に立って色々考えるのは基本だと思うけどね。
148 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:40:56
>>147 相手の目線に立って話をするのは大事だけど、
だからって自分まで混乱することはないだろ
149 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:41:53
150 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:43:59
>>149 ずいぶん、ね。
まずスレの本旨からおかしかったじゃん。
151 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:44:56
>>150 別にいいんじゃないの？「１＝０．９９９９…」は結局は定義次第なんだしさー。
152 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:46:49
>>151 どのような定義によると、１と０．９９９・・・は異なった値をとるの？
実数の連続性を抜くとか？
153 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:50:40
0.999...を実数でなくすればいいのさ。
154 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:54:45
実数体上でないならば、どこで０．９９９・・・を定義するの？
あくまで全順序集合上でさ。
まぁあんまり込み入った議論はしたくないんだが。
なにしろ０．３３３・・・×３＝０．９９９・・・とか
普通にしちゃう連中の中で話すわけだから。
(1) 単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体Rを採用し、
小数の定義として例えば「0.999…=Σ9/10^n」が成り立つものを採る。
(2) 単語「実数体」の定義として超準実数体R^*を採用し、
小数の定義として例えば「0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ...]」が成り立つものを採る。
前者の定義の下では1=0.999…は正しい。
後者では1≠0.999…は正しい。
・両者は相反するだけで、どちらも独立に正しく機能する
・前者を採るのも後者を採るのも全くの自由
・事前に了解があれば、ケースバイケースでどちらかを採用する事で問題は生じない
・どちらが「実数の概念」に相応しいかは信念やメリットの問題で、証明できるものではない
・多数の人が受け容れるものが一般に流布し易い
・(1)での「実数体」は自然な性質を持っていると思う人もいれば、
(2)での「実数体」の方が自然だと思う人もいる
従って(1), (2)のどちらを選ぶかという基準には
信念、メリット、決まり事以上の論理は無い。
156 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 13:58:52
>>154 別に…
０．３３３・・・×３＝０．９９９・・・
でいいじゃないかｗ いろいろつっこむヒトがいるだけの話で。
157 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:01:19
>>155 すくなくとも、「１＝０．９９９９…」には計算が容易になるというメリットあるじゃないか。
どっちをとっても自由なのは確かだけどね。
158 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:04:00
>>155 それはあくまで、超準実数体を実数体と名付ければの話であって、
異なった２つの概念を１つの単語にまとめたことによる矛盾であり、混乱なわけだろ。
メリットどころか、ただの混乱を生み出してるわけだ。
159 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:06:20
警察官が、警察法を「法」と言ったり、刑事訴訟法や警察官職務執行法を
「法」と言ったりするのと変わらないな。
それは定義と言うより、ただの「名付け」に過ぎない。
160 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:07:51
>>158 君の「実数」の定義ってデテキントやらコーシーやらで定義されるふつーのヤツだよね。
で、何故それが実数の定義と思っている訳だ？
学校で習ったから？ エライセンセーが定義したから？ 皆が定義と考えているから？
161 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:09:01
162 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:10:07
>>161 意味不明。しかも、主語が抜けているｗ
誰が、前提として論議しているんだ？君？数学を学んだヒト？エライ数学者？
163 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:11:17
>>162 このスレがってところかな。
もしそれを前提としないなら、実数の定義を確定してくれ。
そうするなら、それを前提とした議論を行うよ。
>>158 事前の了解の下では、ある概念にどのような名前を付けるかは自由であり、
それにより矛盾や混乱は生じない。
(1)と(2)を同時に採用すれば(前提とすれば)矛盾する。
(1)と(2)を同時には採用しなければ(前提としなければ)矛盾しない。
前提は使い分ければ良いだけだな。
もし違うというなら、つまり(1)と(2)を同時には採用していなくとも
矛盾や混乱が生じると主張するなら、
その矛盾や混乱を具体的に示してくれ。
165 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:12:49
>>164 その通り。
使い分ければ混乱は生じないね。
166 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:17:58
ついでに聞きたいんだけど、超準実数体において連続性はどうなってるの？
連続性を保ったままで１と0.999・・・が異なった値をとることは不可能だと思うんだが。
167 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:20:13
>>163 逃げているな。「君」がなぜ普通の実数の定義を「実数の定義」と考えているのか
って聞いているのにねｗ まるで政治家の答弁だ。
168 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:21:26
169 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:23:15
>>167 実数体の定義を新たに確定する気がないなら、今まで通り
「完備アルキメデス順序体」とやらでいくよ。いい？
（正直、この呼び名は知らなかった）
170 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:26:55
>>168 答える気がないってことだね。都合がわるいと。
>>169 いつそんなこと問題にしたｗ 「君」がなぜ「普通の実数の定義」を認めたかってのを
問題にしているのにね。
171 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:27:46
>>170 前者：そう取ってもらってもいいよ。
後者：俺は、問題にしてない。
172 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:29:45
173 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:29:45
それを答えることは過去の発言と矛盾するからなｗ
ま、これ以上答えるはずもないから、これで追求は止めるけどねｗ
174 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:31:05
>>173 んで、超準実数体のことなんだけど、そこでは実数の連続性は保たれるの？
175 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:32:48
176 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:33:48
>>175 なんだ、知りもしないのに実数体の定義に使おうと思ったのか？
>>165 ならばどちらを前提とするかという判断基準は?
信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
>>166 [1, 2, ...]∈R^*はNの上界なので、Nは上に有界。
然るにNの任意の上界xについてx/2はxより真に小さいNの上界なので、
Nは上限を持たない。
故にR^*は連続性を満たさない。
178 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:34:38
何人も書き込んでいるようだから、惑わされちゃいかんよ
本人が書くまで待つべし
179 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:36:35
超準実数体はちゃんと名前変えてあるよ。
>>177の補足。
もちろんR^*は超準実数体、[a_1, a_2, ...]は列(a_1, a_2, ...)のR^*での同値類、
Nは有限な自然数[n, n, ...]の全体。
181 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:38:07
>>177 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
後段：すると、超準実数体ってのは数と数の間に飛びがあるわけか。
任意の実数a,bに対してその平均が取れなくなるわけだろ？
けっこうな欠陥じゃないのか？
182 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:39:26
>>181 つまり、学校で習った事項だから、それを前提にして良いと…
ふーん。なにか受け身ですね。結局、前の人のやったことを単純に受け入れているわけだからね。
183 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:40:40
つまりこういうことか…
「１＝０．９９９９…」の理由→学校で習ったから。
単純でいいですね。
184 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:42:37
>>182 このスレの趣旨を考えれば当然だろ。
大学や大学院で数学をやってる人間が持つべき疑問じゃないし、
仮にその上を言った学問をやっている人間だとしても、高校レベルには
議論のレベルを落とさないとスレが混乱する。
>>183 １＝０．９９９・・・の証明自体は、厳密な形では学校で習ってないよ。
185 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:46:21
変なのは一人？
186 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:47:30
187 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:48:22
>大学や大学院で数学をやってる人間が持つべき疑問じゃないし
そんなもん、あるもんかｗ
勝手に決めるなよｗ
厳密な証明なんて言ったら、数学基礎論にまではまりこんでしまう。
さっきの論議を見てると、基礎論それほど知らないようじゃないかｗ
（オレも知らないけどね）
君は、自分自身の勝手な決めつけが異様に多いぞ。自覚せよ！
188 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:50:51
>>187 なら、前提を作ってくれ。俺では不十分というならね。
数学基礎論までいかなくても、実数の連続性が保証されている世界なら
１＝０．９９９・・・の証明はそう難しいもんじゃない。
もしそれ以上のものを求めて議論しようと言うなら、まず自分が提示すべし。
人に甘えてると、良い社会人になれないぞ。
189 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:50:56
区別しないと数学はできないよ。
190 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:52:08
>>189 ずいぶん前に「区別」という言葉を使った一行レスがもう一つあったな。
どういうことだ？ 主語も目的語もない「区別」だけ言っても社会では通用しないよ。
191 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:54:29
>>188 ふーん。少なくとも「前提がどうであってもＯＫ」って態度にはなったわけだ。
オレが求めているのは単にそれだよ。（オレ自身の前提は普通の前提だしな。）
君が以前の定義を勝手に変えちゃいかんって態度から変わったから、オレは退散する。
192 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:56:00
>>191 与えられた定義は勝手に変えてはイカンよ。ｗ
193 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:56:05
>>191 与えられた定義は勝手に変えてはイカンよ。ｗ
194 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:56:34
F5を２回押したらしい
195 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:57:02
>>193 主語が抜けているよ。社会では通用しないなｗ
「誰が」与えたんだ？
196 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:57:34
主語じゃないかｗ まあいい。
197 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:59:17
>>195 その場が与えた、と言えば満足かな？
英語でやったろ、受動態を。
一般を示すような主語は、必要ない場合もある。この場合がそれだな。
198 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 14:59:51
199 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:00:11
んで
>>189よ、区別するってのはどういうことだ？
200 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:00:26
>>197 満足するかｗ そんなもん。きちんと答えろよ。
201 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:00:45
202 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:01:19
>>200 あとは個人の頭脳の問題。
ごめん、俺甘やかさない主義でさ。
203 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:02:11
甘やかさないから「誰が」定義を与えたんだ？
きちんと答えてもらおうか。
204 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:02:48
205 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:03:15
ひょっとして自演か？
206 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:03:41
このスレ、なかなか面白いなｗ
207 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:03:53
>>204 その場なんて「意志」があるかよｗ とんち問題、禅問答しているんじゃないんだよな。
208 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:05:23
>>207 意志なんて必要ない場合もあるんだよ。
誰が雨を降らせる？神様か？
209 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:07:53
>>208 数学の定義は気象現象かｗ 話にならんな。徹底的にとぼけるし。
結局、数学者達がよってたかって、最もメリットがあり最も素直な形での定義の
すり合わせを行い、それが今に伝わっただけだろ。
したがって、その定義に文句を言うのも自由。
210 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:09:45
>>209 もっともメリットがなきゃ行けないのか。
んじゃ、自然数が０からでなく、１から始まるメリットはなんだ？
211 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:10:38
>>210 その件についてはだから論争になっているだろ？違うか？
どっちの定義でも別にＯＫだろ。
212 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:11:28
>>209 定義に文句を言っても良いけど、勝手な定義をつくるなよ？
前スレなんて０．９９９・・・≠１を「定義」しようとしたバカがいたっけな。
なんでも決まり事にしちゃえば定義になるとおもってるアホが多くて困る。
213 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:12:00
じゃ、なぜ自然数が１から始まってる？
最もメリットがあるから採用されてるんじゃなかったのか？
214 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:12:52
>>212 それを定義に入れても良いじゃないかｗ
何から定義にするにしてもさ。
>>181 つまり今まで慣習として完備アルキメデス順序体を「実数体」と名付けてきたから、
通常その慣習に従う、と。
要するに
>>177で書いた「みんなが決めたお約束」だとか
>>9で書いた「多数決」だな。
然るに
>>13では
>>9に同意していないという
>>181内部の矛盾。
また前スレ946
> 「認めても全く不都合ない」かどうかを確認するのが、まさに証明なの。
> 証明されない間は、認めても全く不都合ない「ように見える」だけ。
同950
> 人が決めるのではなく、論理が決めるもの。
同953
> 「妥当」かじゃどうかではなく、「真実」かどうかなの。
同958
> あたらしい世界を作っていくに当たって、定義のすりあわせはそりゃ行われるでしょ。
> そのかわり、定義がしっかり定義されていることを厳密に証明して、基礎をしっかり作る。
> でないと、理論が発展していかないんだよ。だってその定義が、理論の命綱になっていく
> んだから。
の発言をしている。
>>181の考えでは「お約束=多数決=厳密な証明=論理=真実=100%依拠」か。
大層変わった日本語感覚をお持ちのようで。
216 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:14:11
>>213 メリットが個人で違うから、その件については熱い論争になっているんだろ。
１＝０．９９９９…の方はメリットの方が多いから、普通これが当たり前だとするんだよ。
217 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:14:46
>>214 それを定義に入れると、実数の連続性が崩壊しますが何か？
218 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:16:29
>>217 超準実数の場合はね。でも、連続性が崩壊しても構わないという人が「いるかも知れない」
219 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:17:17
220 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:18:01
>>215 いつの間にか「多数決」を俺の考えに入れて下さったみたいで。
多数だろうと少数だろうと、正しいものが採用される。
>>216 メリットが多いからというからには、メリットを挙げられるんだろうな。
「普通当たり前とする」からには、例外的なものも是非挙げて下さい。
221 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:19:30
>>220 後半は…それこそ、「過去ログあされ！」
じゃ、買い物行ってくる
222 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:19:33
>>218 では、実数体上では「平均」を当たり前にできなくなりますな。
構わないと言う人がいることは構わない。
無視すれば良いだけだからね。
223 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:19:56
> 例外的なものも是非挙げて下さい。
過去ろぐ嫁
225 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:21:01
>>224 そういうせりふは、自分が見つけられない者が吐く台詞。
どうせ、ないんだろ。
226 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:21:12
数学的には1≠0.99.......?
煽って教えて君ご苦労様
228 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:24:01
既出かもしれんが
>>1の
「1≠0.999…であることを認めたくない人たちのスレです。」
って「1=0.999…であることを認める人たちのスレです。」
ということ？？？
229 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:27:56
>>228 いたずらだから、気にすんな。
本来は1=0.999…について議論するスレ。
>>220 >>177の
> ならば(
>>155の)どちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
に対し
>>181で
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
と答え、
>>220で
> 多数だろうと少数だろうと、正しいものが採用される。
とも言っている。
すると「前提とすべきもの=正しいもの=高校までの基礎教養における前提」か。
だが実数の連続性は「高校までの基礎教養における前提」では無い。
高校数学までの実数概念はもっと漠然としたものだ。
従って実数の連続性は「正しいもの」や「前提とすべきもの」では無いという事になる。
あるいは高校数学での素朴な集合概念はRusselのパラドックスを導く。
>>220にとっての「正しいもの」の中には矛盾も含まれているという事か。
231 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:32:45
>>230 たとえば平均の存在を保証しないと(x+y)/2とかできないんですが。
連続性を保証されてる定義でないと、矛盾しないか？
だから、大学生の解析学においてもε-δ論法がすんなり導入できるんだろ。
後段：
たしかに、矛盾するものもあるね。
また
>>181の後半の
> すると、超準実数体ってのは数と数の間に飛びがあるわけか。
> 任意の実数a,bに対してその平均が取れなくなるわけだろ？
> けっこうな欠陥じゃないのか？
飛びは無い、即ち切断の両組共に端がある事はない(a, b∈R^*に対しa<(a+b)/2<b)。
ただ途切れがある、即ち切断の両組に端がない事がある。
それは
>>177より明らか。
233 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:37:10
>>232 飛びがないけど、途切れがあるっていうのはどういうことだ？
途切れの間には何もないのか？
>>233 R^*の切断(A, B)とはφ≠A, B⊂R^*であって
任意のa∈A, b∈Bについてa≦bなるものの事。
「飛びがある」とは、ある切断(A, B)について、
Aに最大値があり、かつBにも最小値がある事。
「途切れがある」とは、ある切断(A, B)について、
Aに最大値が無く、かつBにも最小値が無い事。
この意味でR^*においては飛びはなく、途切れがある。
何故なら、a<(a+b)/2<bより飛びが無い事は明らか。
またあるn∈Nについてa<nであるようなa∈R^*の全体をAとし、
その補集合をBとすれば、(A, B)は切断で、
Aに最大値は無く、
>>177よりBにも最小値は無い。
>>234 切断の定義でA∪B=R^*を入れるのを忘れた。
またアルキメデス順序体において、
連続性や完備性は飛びも途切れもない事と同値。
236 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 15:55:04
a≦b
でいいの？
>>236 確かにまずいな。a<bやA∩B=φとする必要があるな。
>>231 > たしかに、矛盾するものもあるね。
矛盾が「論理」であり「真実」であり「100%依拠」か。
数学においては矛盾は存在しない(と信じられている)から、
>>231の話はやはり数学の話ではなかったという事だな。
239 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 16:30:35
>>238 うわあ、素朴な信者だなあ。数学において矛盾は存在しないと信じられているって？
どっちかというと、矛盾がとりあえずみつかっていないから、それで良しとして進めているって感じじゃない？
矛盾が出たら、その時修正して、うまくいく限りそれで進めていこうっていう。
数学に信仰は似合わないよ。
>>231 更に
>>177の
> ならば(
>>155の)どちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
に対する
>>181の解答
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は、
>>230で指摘したように的外れ。
これにより
>>231の主張
「実数概念としては連続性は前提とすべきものである」
「実数概念としては完備アルキメデス順序体が当然」
は根拠を失う。
改めて問う。
実数概念として完備アルキメデス順序体を採用する根拠は?
それは信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
>>239 数学の無矛盾性は信じるものなのか問題になるまで放置しておくものなのか、
それは人に依るだろうし、ここでの議題ではない。
問題なのは、矛盾に「100%依拠」して話を進めようとする
>>239の論。
少なくとも、矛盾に「100%依拠」した議論は全く不合理で、
数学でないどころかまともな議論ですらない。
242 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 16:41:27
約束なんでしょ？それでうまく説明できればそれで良し。うまくいかなければ修正する。
もっと良い説明があれば、のりかえる。自然科学って、そういうものでしょ？
今はもっと良い説明なんて無いし、問題も特に起きてないからこのモデルを採用してるだけ。
いやなら誰もが採用したいと納得するモデルを用意すればいいじゃん。
243 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 16:45:44
数学の話しようよ。
244 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 16:48:53
>>241 俺は矛盾に100%依拠して議論なんざしてないよ。ここで書いたのは、
239,242とこれだけ。誰かと勘違いしてない？だいたい、そんな考え方してたら学生に
何も教えられないよ（笑）ちなみに、
>>242は、
>>240への返事ね。
245 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 16:56:33
ま、実数論を習う前だったら釈然としない感じを持つほうが
筋がいいかもね。
>>244 そうか。「真実=100%依拠」の例の方と勘違いした。
>>240の問の答えは例の方以外はごく普通のものだろうから、
やはり答えるべきは一人。
247 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 17:06:01
無批判に受け入れるのは困るか。頭から批判して受け付けないよりは筋がいいと思うが。
教える側は標準を淡々と教えるべき。本当に使えるやつは自分で考え疑問を持ち調べるよ。そうして納得していかないと技術屋止まり。
技術屋にすらなれないよりはいいんだけど
矛盾を抱えたまま逃げられてしまったか。残念だ。
1日も経たずにおもちゃを壊してしまった。
249 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 18:42:51
ちょっとした祭りか。
・・んで、何に答えればいいって？
250 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 18:49:30
先に言っておくけど、「真実」という言葉を使用したことでずいぶん俺の言うことを
曲解してくれる人がいるみたいだね。「曲解したい」という感じだと思うけど。
論理があったらそれを１００％の前提としなかったら証明にならないだろ。
それを説明するために「真実」という言葉を使った。
たしかに不適切だったかもしれないが、さすがにここまで揚げ足を取りたい人間と
話をしているとはね。
真実という言葉はここで訂正するよ。これでいいかな？
251 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 18:50:40
あと、質問するならちゃんとまとめてくれ。
252 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:01:00
先に答えておくかな・・・
>>238 >矛盾が「論理」であり「真実」であり「100%依拠」か。
>数学においては矛盾は存在しない(と信じられている)から、
>
>>231の話はやはり数学の話ではなかったという事だな。
矛盾が「論理」であり「真実」であり「100依拠」だといった部分を
しっかり提示してくれ。俺はそんな話はしていない。
253 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:02:35
>>239 >うわあ、素朴な信者だなあ。数学において矛盾は存在しないと信じられているって？
>どっちかというと、矛盾がとりあえずみつかっていないから、それで良しとして進めているって感じじゃない？
>矛盾が出たら、その時修正して、うまくいく限りそれで進めていこうっていう。
>数学に信仰は似合わないよ。
もしそうなら、例えば解決されていない矛盾を一つ教えてくれ。
俺は、論理は絶対だと思ってる。それが誤解なら、ぜひなぜ誤解か教えてくれ。
254 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:03:23
あと、俺に質問したい奴はいるか？
今日はとりあえず10時までね。明日は仕事だから。
255 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:10:15
>>240 実数の連続性を実数の定義に入れた理由を高校数学においたという根拠が
誤っているというなら、それはなぜかを教えてくれ。
>>230が違うというなら、それはなぜかという部分も含めてね。
でないと、質問になってないよ。 そこらへんをはっきりさせてから質問すること。
256 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:27:22
>>253 はあ？オレは数学に矛盾があるなんてこれっぽっちも言ってないんだけど？何でそんなものを教えなきゃいけないんだ？論理的思考力のないヤツだな（笑）
論理が絶対と思いたければ思っていたら？それを否定はしない。今のところできないからね。でも、信仰する気はない。
うまくいく間は不便もないし、便利な道具だから使えばいい。それは絶対正しいかどうかとは関係ない。オレも今のところ便利だし問題がないようだから使うが、それは君と違って信仰しているからではない。
257 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:28:23
>>256 俺も信仰してるわけじゃないよ。
んじゃ、問題解決だな。ＯＫ？
258 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 19:31:05
トリップつけてみた。
これからもよろしく。
259 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:35:39
>>257 なら絶対という言葉は使わない方が賢明と思うがな。それに、矛盾がないと信じられているなんて事も言わない方がいい。
一応立場は了解。
1≠0.999…だと連続性がなくなるつーのが分からん。
つーか、連続性がそもそもわからん。
よーし、解析入門Ⅰのｐ７を読むぞ。
連続の公理
実数体Ｒの、上に有界な任意の部分集合Ａ≠φに対して、Ａの上限（最小上界）
ｓ=supA がRの中に存在する。
例えば、数直線を、ｘ≦１と１＜ｘとにわけて、前者を部分集合Ａとすると、
後者がＡの上界の集合となるわけだが、後者の最小元って何だよ？
それがＡの上限だろ。ないじゃん。
と思ったけど、１もＡの上界なのか。上界の定義で＜でなくて≦なのが
くさい。
と思ったけど、なんだかよくわからなくなってきた。
まぁ、連続性ってのは、ある点があって、その点にたいして、いくらでも
近い点があるってことだろ？
1≠0.999…でも、１の左隣の0.999…という値は１に対していくらでも
近い値だから連続じゃし。
問題ない。
261 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 19:45:59
>>259 絶対と言う言葉は、多分使っていないし、
矛盾がない・・・という部分も俺は使っていないと思う。
最近俺の言うことを曲げて引用している連中がいるから
その辺は俺の言うことを直接解釈してほしい。
なにしろ、俺が言ったとされていることに対して俺自身が驚く事態に発展してるんだ。
262 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 19:57:14
>>253に絶対と書いてあるんだが。まあ、思ってるだけだと言われれば仕方がないかな（笑）
矛盾がない・・・は、
>>238の中にある。コレが君の発言で無いというなら了解。
ただ、
>>239でああいった発言になるのは納得して欲しい。
263 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:01:31
>>260 Ａの上界というのは、集合Ａのどの点よりも下にならない点の集合のことだろ。
つまり、ｘ≦１の上界は、Ｂではなく１≦ｘ。
そして、上限とは最小上界のことだから、この場合は１になるね。
264 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:03:07
つまり、π＝３ってことだろ？
265 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:05:20
>>262 ホントだ。253に「絶対」と書いてあったね。
でも実際、論理だけは俺絶対だと思ってるんだ。またトンデモと言われるかなｗ
238の中の人は、おそらく俺の発言を一番曲げて解釈してる人なんだよね。
曲げて解釈する上に、それを何度も何度も書くから、いつのまにか俺の発言
として定着してしまうという、困った事態になってる。
266 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:06:17
あ、トリップつけるの忘れた。
>>265は俺の発言ね。
>>252 前スレ972で
> 実数の公理自体は、１００％真実だね。なぜなら、それが実数の定義になっているから。
と。また前スレ
>>980で
> (真実とは)ここでは「100%依拠できる」という意味で使ってる。
と。また
>>230で見たように
> 実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
> 多数だろうと少数だろうと、正しいものが採用される。
と。そして
> あるいは高校数学での素朴な集合概念はRusselのパラドックスを導く。
>
>>220にとっての「正しいもの」の中には矛盾も含まれているという事か。
に対し
>>231で
> たしかに、矛盾するものもあるね。
と。ここで実数の公理とは完備アルキメデス順序体の事であり、
連続性を満たす(アルキメデス)順序体と同じ事だった。
即ち
>>252は
「実数の公理は100%真実=100,%依拠できるもの。
その理由は、高校数学までの前提であって正しいものだから。
正しいものには矛盾もある」
と考えていると。
矛盾を含むものを正しいもの・前提として100%依拠すると。
発言内容をそのまま抜き出しているだけだな。
以上がもし誤っているなら、何が誤解なのか指摘してくれ。
268 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:18:18
>>267 そうだね。
たしかに俺は誤りを犯した。
矛盾したものを正しいものとして100％依拠するという文になってしまっている。
矛盾するものに、依拠してはいけないよね。
ここで訂正するよ。
ただし、高校数学における集合の扱い方に矛盾があるとしても、
それがすなわち実数の連続性の矛盾にはつながらない。
だから、実数の定義について矛盾は生じないんじゃないかな。
１００％依拠してもいいだろ？
269 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:19:06
>>265 人に押しつけなければ大丈夫でしょ。まあ、絶対と言いたくなる気持ちはわからんでもない（笑）
270 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:21:14
>>269 了解。人に押しつけたつもりはないが、そう取られようこれからも努力するよ。
271 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:21:54
>>270自己レス
「取られよう」×→「取られないよう」○
>>268 訂正しますか。
ならば
>>177での俺の質問
> ならばどちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
に対する回答
>>181 > 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は自ら取り下げという事になる。
高校数学の全てが依拠できるものではないと
>>268で意見を翻したのだから。
「高校までの基礎教養における前提だから」は
実数の連続性を採用する理由になっていないと。
ならばもう一度答えてもらわなければならない。
実数概念として完備アルキメデス(即ち連続な)順序体を採用する根拠は?
それは信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
273 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:37:30
>>272 実数の連続性による定義を、高校までの基礎教養における前提として
採用することについては、取り下げたつもりはないんだが。
取り下げたと思った根拠はなんだ？
274 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:43:46
あとさ、「信念」「メリット」「みんなが決めたお約束」という部分にも
なぜこだわるのかわからない。
定義を採用する理由が「信念」ってなんだ？
理由を聞かれたら、「それが俺の信念だからっす」とか
「メリットがあるじゃないすか」とか「お約束だからっす」とか言うのか？
おかげで無限小数の四則演算についても「メリット」を理由に無条件で
採用したがる厨房がこのごろ増えて困ってる。
アナタじゃないんだろうけど、定義すればなんでもＯＫ、なぜならそれには
メリットがあるから、なんておかしいと思わないか？
その点については、ぜひメリット論者としての貴方の意見を聞いておきたい。
・・・いいのか、あんなんで？
>>273 「高校までの基礎教養における前提」には、
集合に関するRussellのパラドックスという矛盾がある。
また
>>268には
> 矛盾するものに、依拠してはいけないよね。
とある。
即ち「高校までの基礎教養における前提」には依拠できない部分があると。
「高校までの基礎教養における前提」は全てが依拠できるものではないと。
とすれば
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は理由になっていない。
何故実数の連続性は、Russellのパラドックスのような依拠できないものではないのか?
これに答えていない限りは
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は取り下げざるを得ないだろう。
276 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:48:00
>>275 俺が聞いてるのは、なぜ集合論の扱い方に矛盾があるからと言って、
実数の連続性そのものにも波及するんだ？ってこと。
たとえばさ、０．９９９・・・＝１の証明法として
０．３３３・・・×３＝０．９９９・・・を使ったりしてるよね。
それを理由に、高校数学における四則演算そのものを否定したりするか？
しないだろ？ 俺はしないと思ってるんだが、ちがうのか？
277 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:48:47
278 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:52:01
あと、ついでに言うけど、
>>275は１＝０．９９９・・・の是非についてはどう思う？
賛成派？ 反対派？
それによって、俺と275の立場が大きく左右されるので是非確認しておきたい。
ちなみに俺は賛成派なんだが。
279 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 20:52:47
自己レス
>>278 これも俺の発言ね。
トリップってのは面倒だな・・・
280 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:53:04
>>274 いいんだよ、そんなんでｗ
矛盾があったらまずいけどな。
281 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 20:59:23
>>280 そこがさ、俺と280の立場を大きく変えてる部分なんだよな。
正しいと思ったものは、矛盾が見つかるまでは無批判で使用する280と、
正しいと思ったものも、証明されるまでは使用しない俺。
もし四則演算に矛盾がないなら、
１／３＝０．３３３・・・を両辺三倍するだけで、証明が完結する。
非常に簡単な問題なわけだ。
しかし「超準実数体」における定義では
１≠０．９９９・・・は一致しないことになる。
すなわち、超準実数体を実数の定義とした場合は
四則演算は矛盾することになるわけだ。
そのへんは、どうするの？
>>276 あなたの発言がもし無ければ波及しないな。
問題となっているのは
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は理由になっていない事。
「高校までの基礎教養における前提」を理由として挙げるのは自身の発言に矛盾する。
「高校までの基礎教養における前提」には素朴な集合論があり、
そこにはRussellのパラドックスという依拠できない矛盾がある。
「高校までの基礎教養における前提」には依拠出来ないものがあるにも関わらず
実数の連続性についてはこれを依拠するという不整合。
>>278 完備アルキメデス順序体においては、
1=0.999…はわずかな定義と推論により証明可能な正しい命題。
そもそも実数概念として完備アルキメデス順序体を採用すべきか、という問には
今のところそれが最も使い勝手が良いのでそうしておこうという程度。
283 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:02:51
>>282 なぜそうなる？
「実数の連続性」が高校数学に対応できない理由として
集合論の教え方の矛盾を挙げてるわけだが、
その辺の理由を、もう少しちゃんと教えてくれ。
後段：
んで、賛成派？反対派？
俺はここを聞いてるんだが。
284 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:04:43
>>281 そいつは、確かにそうだな。それぞれの前提の元に証明したらいいだろ。
証明できるものはな。
メリット云々ってのは「定義」の事項だよ。定義ってのは証明できんだろ？
絶対真だとして扱うわけだ。それは、メリットがあるように定義したらいい
だろうに。
285 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:07:59
>>284 メリットがあるように定義した結果、その定義の中で矛盾が生じた場合はどうする？
実際四則演算で矛盾が生じたわけだが。
俺が「証明が必要」と言ったのは、まさにこの部分なんだが。
well-definedっていうのを習ったことない？
たとえ定義にだって、その定義が正しく機能するかどうかを確かめる必要が生じる
ことがあるんだよ。
286 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:11:09
矛盾があったら別の定義を求めるだけ。それだけだよｗ
287 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:11:13
>>all
あとさっきも書いたけど、俺１０時ぐらいまでしかここに居れないからさ。
明日仕事が早いから。
俺に何か言いたかったら、その辺気をつけてくれな。
288 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:15:37
>>286 定義って、そういうもんじゃないんだけどな・・・
ある命題を証明するのにまず定義を行い、そこからステップ１から９までの証明が
必要だとするじゃん。
んで、ステップ９まで証明が完了した段階で、不都合が生じたとする。
そうしたら、そこまでの証明の間違いを遡及的に追っていくよな。
どうする？ 定義の誤りと分かるまでには結構な時間や手間がいるし、
そうならないためにも、少なくとも定義にはしっかりしたものを採用しようとしないか？
大学に入ったらそこらへんのことを厳しく指導されると思うから、たぶん286は
高校数学までしか扱ってない人間なんだと思って、あえてここまで説明するんだけどな。
知らない部分はしかたがない。でもわかったら、その部分は是非しっかりして欲しい。
>>283 記号を使った方が分かり易いのだろうか。
俺には日本語で
>>282以上に分かり易く説明する能力は無い。
Aを「依拠できるもの」の全体、Bを「高校までの基礎教養における前提」、
xを「実数の連続性」、yを「Russellのパラドックス」とする。
「Russellのパラドックス」は「高校までの基礎教養における前提」であり、
かつ「依拠できるもの」ではないから、
y∈B-A.
従ってB⊂Aは成り立たない。
一方
>>177,
>>181には
> ならばどちらを前提とするかという判断基準は?
> 信念・メリット・みんなが決めたお約束以外にあると?
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
とある。即ち
>>181は
(1) x∈B, 故に x∈A
という推論を行っている訳だ。
しかし先に見たようにB⊂Aは成り立たないのだから、
(1)は誤った推論である。つまり
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
は何ら理由になっていない。
290 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:26:27
>>288 その証明が必要だと思う人はそうすべきだろうな。それを思わない人もいるわけで…。
１０時ぐらいまでって制限あるんだったら、煽りはしないほうが良いのでは？
紛糾する元だよ。
291 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:27:31
>>289 >Aを「依拠できるもの」の全体、Bを「高校までの基礎教養における前提」、
>xを「実数の連続性」、yを「Russellのパラドックス」とする。
>「Russellのパラドックス」は「高校までの基礎教養における前提」であり、
>かつ「依拠できるもの」ではないから、
> y∈B-A.
>従ってB⊂Aは成り立たない。
「高校数学における前提の全体」と「Russellのパラドックス」を同一視してしまっているな
いわば、これが289の主張の「穴」と言えるな。
ラッセルのパラドックスは、高校数学においてわかりやすく説明するために陥ってしまった
「教育法の穴」に過ぎない。それを言ってしまったら先ほども主張したように
四則演算自体を否定してしまわないといけなくなる。
実数の連続性を、たかが教育法の誤りだけで否定されてもね。
そこらへんも含めて、もうちょっと考えてくれ。
あと、289は１＝０．９９９・・・については賛成派？反対派？
292 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:28:01
>>290 自分が煽っている自覚がないんだろ。天性の性格なんじゃないのか？
293 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:29:01
>>290 数学の証明において、「俺は証明する必要ないと思うから証明しない」で済んだら
あらゆる数学の論文が無に帰すると思うが。
294 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:30:15
>>292 煽ってる自覚はないね。本当に時間がないんだ。
俺の主張ごときで焦るタマじゃないだろ。
でも焦ってしまってたらごめんな。
295 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:30:20
>>293 違うだろ。この前提からはこういった証明ができる、って話だけだろ。
前提が違ったら当然証明される内容が違うだけだな。単純な話だ。
296 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:31:57
>>295 前提が違ったら当然証明される内容が違う。まさにその通り。
だから、厳密に定義する必要があるんだよ。わかってくれ。
297 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:33:09
その定理を必要としない人には、君が証明を期待している事項は無意味ｗ
298 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:34:40
>>297 つまり、問題となるのは「定理を必要とする人」の方だよな。
どうする？彼らにどう説明するんだ？
299 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:35:37
ごめんなさいと謝るしかないｗ
>>291 > 「高校数学における前提の全体」と「Russellのパラドックス」を同一視してしまっているな
それは
>>289の記号で言うところの「B=y」という事か?
それは
>>289で用いていない。
従って「289の主張の「穴」」ではないな。
ただ「y∈B」、即ち
「Russellのパラドックスは高校数学における前提から導かれるものの一つ」
という事実は用いている。
> あと、289は１＝０．９９９・・・については賛成派？反対派？
「賛成」だな。詳しくは
>>282を参照。
301 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:39:54
>>299 説明を乞うた人間にトンデモな説明されて、間違って理解させられた上に
矛盾が生じたらごめんなさいで終わりか・・・なかなかの大物だなｗ
>>300 高校数学における前提から導かれたものではなく、
その教育法から導かれた者なのだが。勘違いもここまで来るとな。
１＝０．９９９・・・に賛成するなら、
超準実数体による実数体の定義は否定しなきゃまずいよな。
その根拠はどこから持ってきた？
高校数学における前提でないとしたら、それはどこだ？
302 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:43:33
>>301 矛盾は起きていないだろｗ
誰かが「必要だ」と勝手に思っている特定の定理が証明できなかっただけだ。
この場合どこにも、矛盾はない。
303 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:45:05
>>302 なぜある特定の定理が証明できなかったか。
その定理の証明の過程で矛盾が生じたからだろ。
でなかったら何だ？
304 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 21:46:03
>>303 その場合、その定理が正しいとする仮定が誤りだった…ってだけで、定義そのものが
誤りじゃないだろｗ
305 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:48:14
>>304 定義が誤りだった場合の話をしてたんだがね。
矛盾ある定義のせいで定理に矛盾が生じた場合の話をしてなかったか？
「忘れたふり」というのはやっかいだが、2chにおいては有用らしいなｗ
>>301 「集合」も「自然数」もどちらも高校数学における前提である、という事実を否定するのか。
307 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:49:00
>>307 高校数学における「集合」から直ちにRussellのパラドックスが従う。
つまり「高校数学における前提」は矛盾を含む。
後は
>>282なり
>>289により
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
が何ら理由になっていない事が従う。
>>305 定義が謝りだったら当然そうなるね。
でも、定義に特に誤りがなく、また、特定の定理が必要ないなら、問題なし。
310 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:52:31
>>308 集合そのものが矛盾を生むのでなく、その教育法が矛盾を生んでいるんだろ。
集合そのものが矛盾を生むとしたら、どのようにしてそうなっているのか
説明してからにして欲しいね。
312 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:53:42
>>309 そう。
そして、その「誤りのなさ」を担保するために、
well-defined性をはじめとした証明が必要なわけだ。おわかり？
313 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:54:11
>>310 集合そのものが矛盾を生む。
X = { x | ￢x∈x }
とする(￢は否定の意味)と
X∈X ⇔ ￢X∈X
なる矛盾(Russell)を得る。
教育法の問題ではない。
集合概念そのものが矛盾している。
>>312 別に構わないよ。でも、誤りのなさってペアノ公理系入れちゃったら既に証明出来なく
なるんだろ？
316 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:57:29
>>314 そうなるとしたら、集合概念を使わない実数体ってのはどうやって定義するの？
317 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 21:58:55
>>315 ペアノ公理系ってのを俺は知らないんだが、
証明できなくなるってのは、どのように証明できなくなるんだ？
>>316 通常は高校までの素朴な集合論ではなく、
(公理的にやるなら)ZFCという全く別の体系を使う。
319 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 22:00:05
>>318 なら、その体系によって、いちど証明を行ってみてくれ。
話はそれからだ。
320 ：
トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn. ：2006/01/02(月) 22:00:47
あ、１０時過ぎた。
続きは明日な。仕事が長引かなかったら来れると思うから。
>>317 え？コレ知らないで論議してたのｗ まあいいかｗ
ペアノ公理系とは自然数を定義する公理系のこと。ペアノさんが最初に考えたわけだ。
でも、これを入れた公理系が矛盾があるか矛盾がないか証明できないんだよ。（ちょっと
間違いあるかも知れないがご勘弁ｗ）
つまり実数を定義する際には自然数を定義しなきゃいかんわけで…その自然数自身が
矛盾あるかないか証明できんのだ。
323 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:04:10
証明できないのか・・・
なら、このスレどうなんの？
>>321 矛盾があるか無いか分からない公理系か・・・
ペアノさんって人も、証明してから死ねよな。
矛盾があるかもしれない公理系をつかわないと、実数って定義できないもんなの？
おしえてエロイ人
>>319 図書館に行って適当な公理的集合論の本を読め。
ネットでは
http://mathworld.wolfram.com/Zermelo-FraenkelAxioms.html (日本語で適当なサイトがすぐには見当たらなかった)などで公理だけは見られる。
基本的には0=φ, 1={φ}, 2={φ, {φ}}, ...
として自然数N={0, 1, 2, ...}を構成し、
それから通常の方法で整数Z、有理数Q、実数Rを構成する。
あるいは構成しなくとも、「完備アルキメデス順序体」という条件は
ZFC内で記述できるので、
「実数体RとはZFCにおける完備アルキメデス順序体である」
と言うだけでも良い(存在と一意性を抜きにすれば)。
326 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:12:38
>>321 より正確には、「矛盾がなければ、そのことを自身の体系では証明できない」
だな。
矛盾があれば無矛盾であることは証明できる（笑）また、ペアノの体系を真に含むような、より大きいある体系でなら証明できる。
いずれにせよ、素朴な意味での無矛盾性の絶対的な証明なんか無理。だから、ダメなら方向転換で満足するしかないって言ってるんだよ、みんな。
トンデモ侍君は、そこのところが理解できたかな？
なんか、詭弁っぽいな。
328 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:19:10
とりあえず、さわりだけでも知りたいな。
けっきょく１＝０．９９９・・・ってのはまちがいでＯＫ？
>>325について、ZFCにおける実数体の構成は数十ページに及ぶ
とてつもなく手間の掛かる作業である事を付言しておく(自然数の構成が長い)。
この話題について議論が出来る程度の知識があるなら、
それは既知もしくはすぐ推察できる事だ。
無ければ今から勉強しても良い。
もう一度言う。
高校数学における「集合」は矛盾を含む概念。
その矛盾は教育法とは関係がない。
後は
>>282なり
>>289により
> 前段：実数の連続性は、少なくとも高校までの基礎教養における前提だから。
が何ら理由になっていない事が従う。
数学事典では「自然数は無矛盾であるか否かの証明は出来ないが、実数は無矛盾の証明済み」
って書いてあったよ。前者の証明は読んだが後者は見てないので数学辞典から孫引き。
331 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:30:49
>>329 そこまでいくとなぁ・・・
１＝０．９９９・・・を説明するスレとして、どうよ？
329自身は、このスレの住人にどうやって教えるんだ？
332 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:32:10
>>330 読み間違いか、「～を前提として」と言った意味かだな。実数論の無矛盾性証明と呼ばれるものはあるが、素朴な意味でのものではない。
333 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:37:05
>>317，
>>329 あと、集合によらない、「一階の算術」と呼ばれる自然数論もある。この場合、実数論は「二階の算術」として構成する。
いずれにせよ、素朴な意味での無矛盾性の証明はできない。
334 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:38:26
ここまで行くと、１＝０．９９９・・・を証明するどころじゃなくなってくるな。
どうする、このスレ？
>>301 > １＝０．９９９・・・に賛成するなら、
> 超準実数体による実数体の定義は否定しなきゃまずいよな。
> その根拠はどこから持ってきた？
> 高校数学における前提でないとしたら、それはどこだ？
超準実数体の定義及び議論は通常の実数体のそれと比べ
遥かに手間が掛かる。
その割に得る物は少ない。
そもそも超準解析については基本的な知識しか持っていない。
既に通常の実数体という扱いやすく(
>>81参照)良く知っているものがある以上、
超準実数体を採用する動機は無い。
ただ、超準解析を否定などしない。
それを使うという前提の下で議論する事もある(
>>177など)。
「賛成」というのは、「そうでないという状況を考える時はあまり無い」という程度の意味。
通常の実数体を採用するのも「高校数学における前提だから」などではない(
>>81)。
また通常の実数体に代わる(トンデモでない)ものとしては超準実数体しか知らず、
消去法により通常の実数体を採用する事となる、というのもある。
336 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:43:45
っていうか。超実数体でも１＝０．９９９９……は成立するぞ。
337 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:44:29
>>335 とにかく、通常の実数体を採用するしかなさそうだね。
338 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:44:49
超現実数のこと言っているのかな？あれなら、１≠０．９９９９……
になったと思った。
339 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 22:45:33
>>336 どうやるの？ さっきから諸説紛々でわけわからん。
>>331 1=0.999…を納得してもらうために議論してる訳じゃないしね(
>>53)。
>>336 もし仮に超準実数体において0.999…を
>>121のように定義するなら、それは1と異なる。
ただこの定義は超準実数体においても普通でないものであるという事は分かっている。
超準実数体でも普通の定義では1=0.999…だな。
1≠0.999… の証明だよ。
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/fk1n09s.html 解析入門Ⅰのｐ３０、３１を見てみると、実数ｘに収束する有理数列
と言っておきながら、ｘ＝[x].x_1x_2x_3・・・、として
収束先のｘと有理数列を展開したもの（すなわち、有理数列そのもの）を
等号で結んでいる。これでは、ある値aがある値ｂに限りなく近づくとき、
a=bであると言っているに等しい。限りなく近い値は等しいと言ってしまって
いる。ｘが０に限りなく近いときｘが０ならば、種々の極限が成り立たない。
ひどいな。
まぁ、実際は、
ｘ＝[x].x_1x_2x_3・・・ という表示において、
ｘと[x].x_1x_2x_3・・・と＝の３つの表示からなってるわけだけど、
このうちの、[x].x_1x_2x_3・・・に極限の意味が入っているわけなん
だけど、[x].x_1x_2x_3・・・って数値だからな、これに極限の意味を
入れるのはひどいな。
まぁ、この定義でも、１=0.999… の意味は0.999…が１に収束すると
いうことしか言ってないわけで、やっぱり、１=0.999…ではないな。
いやはや、やっと、ことの真相が分かった。十進表示って、[x].x_1x_2x_3・・・に
極限の意味を入れてるんだなぁ。
極限の意味付きで、１=0.999… だけれども、
極限の意味付きでなければ、１=0.999… ではない。
謎がすべて解けた。にしても、[x].x_1x_2x_3・・・に極限の意味を
入れるのはひどいな。
スレ終了
だな。
>>340 なんていうか・・・内輪もめ？
どっちにしてもスレの方向性に影響を与えそうだから、責任持ってやれよな。
345 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:05:31
>>342 安心してくれ。数学で語ることができる同士には、内輪もめなんか無い。
前提と結論が伝われば、理解しあえるからな。トンデモ君にはわからないことだろうが。
>>345 理解し合えてないように見えるねお互いに。
相手を理解しないと、向こうも理解してくれないよ？
347 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:12:14
見えるのは君の理解力がないからでしょ（笑）
まあ、トンデモ板ではあるが、一応は数学スレなんだし。
数学を語ろうね。
こう、怨恨の情みたいなのが渦巻いてるのか？
粘着し合い、され合い。醜いけど、面白い。
いつからこんなに香ばしくて楽しい流れになったの？ すごくいい。
350 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:13:57
まぁ、もともと反論のための反論しかしてないしな350は
352 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:23:03
香ばすい。
353 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:29:08
どんどん方向はそれていくけど、構成的実数論みたいな、より安全っぽい実数論も無いわけじゃあない。
かつて思われていたほどは、現代数学の成果が失われないこともわかっているし。ただ、めちゃくちゃ面倒で、非実用的ではあるが（笑）
ＺＦＣで言うところの外延性の公理が成立しなかったりするし、排中律も成り立たない。コンピュータとの相性はいいが。
いやいや、構成的な無限小解析
（シンセティック微分幾何）では
無限小量がそのまま使えて
ある面では実用的らしいよ
355 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 23:57:25
まぁ結局、1＝0.999…だろうが1≠0.999…だろうが、
クズのおまいらが知ったところでどうなるわけでもないし。
356 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 00:59:29
はい終了
>>341 ＞極限の意味付きで、１=0.999… だけれども、
そもそも0.999…という記号の一般的な定義が
0.999…＝(数列an＝1－1/10^nの極限値)＝1
だからな。要するに、無限小数＝有理数列の極限値 ってこと。つまりは無限小数＝極限値 ってこと。
＞謎がすべて解けた。にしても、[x].x_1x_2x_3・・・に極限の意味を入れるのはひどいな。
そんなことさえ知らなかったのかｗ勉強不足だな。
358 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 09:33:25
＞謎がすべて解けた。
たのみますよ。
犯人は、、、
杉浦光夫だ。
普通の等号では１=0.999… ではないことは私が証明した通りだ。
にもかかわらず、同じ表記によって、１=0.999… であると定義して
しまっている実数の小数展開がwell-definedではない！
かくして、等号が守られた。
ふっ(^-^)y-｡oＯ○
>>359 「１＝０．９９９９…」みたいに定義する実数が、well-defined でないことをきちんと
証明してくれくれｗ
361 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 15:11:13
ogatyanてなに？
362 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 15:42:10
ハミルトニアンやヤコビアンみたいなものかな？
おがっとやん？おがてぃーやん？ミキティーみたいなもの？
ローマ字読みしておがてゃん？
訓令式だとおがちゃん？
普通に考えれば最後のが正解な気がするが、引っかけという気もしないでもない。
ＭＡＴＹＡＮでマットヤンと読ませた人もいるしな。
>>239 矛盾が出たら、その時修正して、うまくいく限りそれで進めていこうって言うけどさ、
もしペアノ算術に矛盾が見つかったら具体的にどう対処するんすか？
ペアノ算術には制限しても大丈夫な公理なんてぶっちゃけないっしょ。
もしかして帰納法禁止令でも出すの？んな事したら数学者は怒るよ？
変人天才数学家ゲーデルとか、原爆を設計し最初のコンピュータを作ったと言われる超天才「火星人」
ノイマン（物心ついた以来の出来事を全て暗記していたとか）とかがよってたかって確かめたんだから
矛盾が見つかる可能性は極めて少ないだろうなあ。
それでも、見つかったら？直観主義の様に排中律を排除する？また、集合の定義を変える？いずれに
せよ工夫して何とか対処するしかないっしょ。
それだけだ。
ペアの算術と集合論って直接関係ないっしょ。
でも排中立はなんかなぁ…。
矛盾見っかったんで排中律禁止！排中立使った論文は却下！、とか号令かけても
どっかに『排中立を守る会』とかできて整数論の人とか平気で入信して
何食わぬ顔で論文書き続けそうだなぁ。
>>366 ペアノ公理系が「怪しい」のはもろに集合論からなんですが…。
368 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 23:03:08
排中律だけじゃダメでしょ。でも、ＮＫって、否定に関するものの他はみんなもっともらしいからなあ。
帰納法を制限するか、算術を変えるか。手を付けるなら加法なり乗法なりにだが、そんな数学やりたくない気がするな。
369 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 23:04:47
>>367 ペアノの公理系とペアノ算術って、普通は区別するでしょ？
公理系は集合前提。算術は１階の述語論理上の理論で、集合無しの話し。
＞にもかかわらず、同じ表記によって、１=0.999… であると定義して
馬鹿かこいつは？逆だよ。オマエが同じ表記によって1≠0.999…であると定義してるんだよカス！
集合論の無矛盾性はペアノ算術に帰着するってこと？
逆はともかくこれ成り立つの？
>>368 排中立ありで矛盾するなら排中立除いてもやっぱり矛盾するってこと？
てか排中立禁止とか帰納法禁止とか言われたら
「基礎論屋はこの100年何やってたんだよ！かわりの使える体系よこせよ！」とか言いたい。
372 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/03(火) 23:49:13
>>371 >集合論の無矛盾性はペアノ算術に帰着するってこと？
そりゃあ無理でしょ。誰もそんなこと言ってないと思うし。
>>369のことなら、
ペアノの公理系
集合論＋論理の世界で自然数を構築
ペアノ算術
論理の世界に公理を導入して自然数を構築
ってことでしょ。ペアノ算術自体は集合が無くても作れる。
ペアノの公理系は、帰納法の部分で集合を使ってる。
当然集合なんて言う信頼性は遙かに劣るものを前提とするペアノの公理系よりは
ペアノ算術の方がこと論理の面では扱いやすい雰囲気はあるのだが、結局無矛盾であるとすれば、無矛盾性証明は自分ではできない。
>>372 そーなんだ。
いや、無限公理なしだったら集合論の無矛盾性はペアノ算術に帰着するとかなんとか
聞いた覚えがあるから
>>367見てもしかしてと思った。
確かに適当に考えてもペアの算術に集合論のモデル作るとかなんか無茶っぽいね。
スコーレム・レーベンハイムとはわけが違うだろうし。
374 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 00:31:35
ここは異質だ。
375 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 00:51:27
俺、ついていけん・・・orz
376 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 01:05:25
無限公理無しってことは、有限集合しか保証できないってことだから、
ペアノ算術に無矛盾性が帰着する可能性はある罠。また、数学のほと
んどの定理は自然数論の定理と解釈できるという結果もあるんで、意
外にペアノ算術の表現力は侮れないとは思う。
無限公理抜きの、有限集合だけの集合論って、うまく有限の立場を表
現できるのかな？面倒そうな気はするがw。、、、、、、、、、、
>>369 > ペアノの公理系とペアノ算術って、普通は区別するでしょ？
>>372 > ペアノの公理系
> 集合論＋論理の世界で自然数を構築
へー初耳。基礎論の学生を何年もやってるのにorz
区別してる教科書とかあったら教えてください。
378 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 03:30:33
>>377 たまたま今手元にある本だよw
培風館 数学のロジックと集合論 田中一之・鈴木登志雄 共著
ISBN4-563-00337-9
該当部分を引用すると（改行、句読点等一部引用者による変更有り）
P170
（ペアノの公理を考察したとの記述の後、この公理を書いて）
第２章でも述べたように、これは集合論内でのＮの定義であって、
本当の公理系ではない。１階理論として扱うためには、まず用いる記号（言語）
を定め、その言語内の論理式だけですべてを議論しなければならない。今日、
ペアノ算術といえば、次のような体系を挿すことが多い。
とし、P171でＰＡの公理を書いている。
379 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 11:46:05
１／３＝０．３３３．．．
両辺を３倍して
１＝０．９９９．．．
ＱＥＤ
380 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 11:55:39
定期的に表れるな。
このタイプの厨房。
381 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/04(水) 17:59:34
ただのurelementsつきのcumulative hierarchyですね。
かなりスタンダードな集合論ですよ。
そもそも無制限の内包公理のない集合論を
素朴とは呼ばないんじゃないかと思いますが。
>>383 いやいや、時点というのがミソですよ。
t_nにおいて、階数ｎ以下の要素が混在できるんです。何も手をつけない
でいても時間がたつと、次の時点に存在しているという、ごく自然な
状態であるわけです。
英語わかんないよぅヽ(°◇° )ノ
僕が素朴、なんちて（*´ー`)
>>384 だからですね、その「時点」とまったく同じものが
普通の集合論で「ランク」と呼ばれるんですよ。
ogachanボロボロだなｗ 偉そうなこと言うわりに勉強が全然足りてない。トンデモによくある傾向。
＞僕が素朴、なんちて（*´ー`)
馬鹿の間違いだろ？
387 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/05(木) 13:49:35
今回の年末から正月にかけての論議で、この問題について結構なトコまで論議したと思う。
色々な立場の人がいるがほとんど「共通認識」といえるようなモノができるまで論議が煮詰
まったんじゃないかな？その証拠に本論の結果に反対しようとしている人も一応きちんと論
議の内容を踏まえて「なんとか反対しよう」と試みているのだから。
今後このスレを放置すれば、また素人じみた書き込みが続くだろうし、逆にスレが消え去れば、
また誰かが類似スレを作ることは明白だと思う。
で、今回の件を踏まえて誰かこの問題への回答テンプレートみたいなのを作らないか？まあ…
Wikipediaでやっても良いけどね。
んじゃ…
Ｑ１： １＝０．９９９９… か？
Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。
Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。
Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
しらがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。
389 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 11:26:07
１＝１だっつーの
390 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 11:33:35
1は1だっつーのｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
391 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 11:52:34
何この愚地独歩スレ
392 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 12:24:59
ogachanぼろぼろ
0.4999999.......を四捨五入するとどうなる？
０なのか１なのか？
394 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 13:31:29
１００分の１の位以下で四捨五入すると０．５
１０分の１の位で四捨五入すると１
それ以外の位で四捨五入すると０
395 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 18:46:22
ogachanは中学生？
396 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 19:23:14
回答テンプレ
０．９９９・・・ を小数点以下９が無限に続く無限小数とする。
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/fk1n09s.html での証明によって、
１＝０．９９９・・・ は成り立たない。
実数の定義によると、上で定めた０．９９９・・・＝実数の１
であるという。実数の１は当然、自然数の１であるから、
０．９９９・・・＝１であるという。
これは矛盾する。
よって、実数の定義はwell-definedではない。
いやぁ、フィールズ賞だな＼（°o°；）/
398 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 19:54:54
ogachanﾃﾗｷﾓｽｗｗ
399 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 21:34:44
俺が不思議に思うのは、なぜ答えがイコールになったりノットイコールになるのかってこと。
要するに定義や実数観の問題なんだとは思うんだけど、なぜそれを定めておかない
のかなって。もっと言えば、「実数」という言葉を簡単に使いすぎ。
一口に実数と言っても、もとになるアイデアが全く違うモノを同じ言葉で定義しよう
とするから混乱するんだと思うんだけど、なぜあえて同じ言葉にするのか疑問。
１＝０．９９９・・・のスレを作った趣旨は高校生とかぐらいの学力の人間の疑問を
解決するためだったと思うけど、教える側の意見が左右しちゃって、目も当てられない。
>>399 無理矢理一つに意見をまとめる必要そもそもあるのか？数学はその自由度が魅力でも
あるのにね。
ちなみに、「実数」ってのは「数が連続している状態」ってイメージなんだけど、そのまま
じゃYesかNoかではっきりとした表現にしにくいから、色々な形でそれを実現しようとして
るわけだ。だから、一つのコトにいろんな表現の仕方が出てきたわけだな。
というわけで
>>388 でおしまいね。
「定める」ったって、「誰が」定めるんだ？数学には「社長の鶴の一声」みたいなモンはないぞ。
401 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 23:10:33
>>399 > １＝０．９９９・・・のスレを作った趣旨は高校生とかぐらいの学力の人間の疑問を
> 解決するためだったと思うけど、教える側の意見が左右しちゃって、目も当てられない。
そうじゃなくて、1=0.999・・・をネタにしたボケとツッコミの応酬で遊んでるだけですから
402 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 23:39:27
>>400 自由度が魅力というのはわかります。ある物の見方が自由、というだけなら。
ただ、ある一つの概念についてその結論が正否まっぷたつというのは問題では
ないでしょうか。
たとえば実数というのは「数が連続している状態」と考えるとします。
しかしその連続性の部分で、すでに定義がまっぷたつです。
もしそうなら、「連続した実数」「連続していない実数」の部分で定義を
呼び変えるとか、そうしないから混乱しているのではないかという印象が
あるのです。
定義を「ある概念をたたき台として一つの仮想の体系を作り上げること」
と考えるなら、その仮想の体系が２つ３つ４つとできていくのは仕方のな
いことです。
しかしその体系が混同されているため、こんな一つの概念ですら確定でき
ないというのは大きなマイナスではないでしょうか。
このスレの厨房の言い方をすれば「メリットがない」ということです。
べつに「社長の鶴の一声」なんて必要ありません。
概念の多様性をみとめ、その多様性に合った数学のあり方が、
「数学の自由性」を口実にまったく考えられていない現状が野放しに
なっているのを問題としているだけです。
ま、ふつーの実数は連続しているけどね。仮に、連続していない何か実数もどきを別の名で
呼んだとしても、「１≠０．９９９９…」派の人が、おれが採用しているのはその「実数もどき」だ
と宣言した場合には…現状はそんなに変わらないかもなー。
結局この手の論争で、相手がどんな数を前提にして論議しているのか、その行為は変わら
ない訳だし。（まあ、少しは手間が省けるとは思うけどね）
そ。結局は「メリット論」に落ち着くんだよ、何事もね。
404 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 02:19:42
>>403 各々が手前勝手に主張する「メリット論」によって、かえって定義が混乱している件
まぁここで言うメリットってのは実質「俺の都合」ってことだから
406 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 05:01:20
もし≠なら解析学の大前提は崩れて、
数学は終了となります。
ありがとうございました。
>>404 うまく作られた定義は（デテキントの切断とかね）他の人の定義と（コーシー列での定義とかね）
共存しながら最後まで生き延びる…それだけだと思うけどね。
>>406 まあ、超準解析ってのがあるからなあ。
>>397 氏ねよクズ！
＞０．９９９・・・ を小数点以下９が無限に続く無限小数とする。
無限小数の定義から、小数点以下が順にa1，a2，a3，…である無限小数0.a1a2a3…の値は
0.a1a2a3…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]ai/10^i
である。さて、「小数点以下９が無限に続く無限小数」＝「小数点以下が順に9，9，9，…である無限小数」であるから、
0.999…＝sup[n∈N]Σ[i＝1～n]9/10^i＝1
すなわち0.999…＝1である。
>>402 「1=0.999…について混乱する高校生が生じる理由は、
実数の体系が混同されて教えられているから」
という主張の根拠は?
高校まででは実数について
(1) 実数とは有限小数または無限小数の事
(2) 無限小数の定義はしないし、無限小数の四則演算の計算も扱わない
(3) 実数の連続性は言及しない
と教えていたはず。
もし「混同されているから」という上の主張をするなら、
この(1)-(3)は何と何を混同していると?
そしてそれが混乱の理由である根拠は?
混乱する高校生が生じる理由としては、
俺は「混同されているから」ではなく「無限小数の扱いが極めて曖昧だから」だと思う。
既に日常で無限小数に何度か触れており、かつ「無限小数とは何なのか」を教わっていない以上、
日常的感覚とのずれから「0.999…」について混乱する高校生がいても不思議ではない。
ただ無限小数や実数を厳密に扱うのは高校生には難しいので、
高校の段階では曖昧に教える他無いのだろうな。
>>408 ＞０．９９９・・・ を小数点以下９が無限に続く無限小数とする。
ポイントはこの定義を受け入れるかどうかだろ
>>410 ogachanの場合は、そもそも「無限小数」を定義してない。それなのに勝手に「無限小数」という用語を用い、
さらには杉浦の本を「間違い」と断言している。ogachanは馬鹿なんだよ。
412 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 20:04:19
413 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 20:06:05
>>409 普通に読んで「高校生が混乱する」とは読めないだろ
415 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 20:14:32
>>414 普通わかるだろ。
どうしてもわからないってんなら、４日後に教えてやるから
考えながら気長に待ってなさい。
>>415 >>399にある「教える側」の事か?
多くの「教える側」の人は、「実数」を通常の意味
(つまり完備アルキメデス順序体もしくはそれと同等な意味)で捉えていて、
混乱はしていないだろう。
中にはより精密に
>>388のように考えている人もいる。
混乱しているのは「教わる側」の一部や
>>399=
>>402だけだろう。
417 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 20:34:48
１１スレ目で「焦らずに」もないもんだｗ
419 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 22:16:05
このスレって、読解力のない厨のたまり場だなｗ
420 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 22:30:16
>>416 それをある人は「多数決」と呼び、「少数派」ほど盛んに反論するから
客観的に見ると、結局スレは混乱しているわけだ。
実際、教えられる側と目される人間の発言が極端に減っている。
「完備アルキメデス順序体もしくはそれと同等の意味」ってのも
かなりアイマイな表現。
結局は合意を得られていないという現実を、全力でぼかしている
ような印象を与える。
>>420 順序体(順序と両立する四則演算を持つ体)であって
アルキメデスの公理(任意のa, b>0に対しある自然数nを取ればa < n b)を満たすものについて、
次は全て同値:
1. デテキントの切断による連続性
2. 上に有界な集合の上限の存在(これを単に「連続性」と呼ぶ事が若干多いようだ)
3. 縮小区間列(区間縮小法)の原理
4. 有界数列は収束部分列を持つ
5. 完備性(任意のCauchy列は収束する)
6. 有界単調数列は収束する
(前スレ
>>644を修正して引用)
この同値条件のどれか一つ、従って全てを満たすものを、通常は実数体と呼ぶ。
ある程度の厚さの微積の教科書には、この条件のどれか一つは大抵書いてある。
>>416での「通常の意味」とはこの事。
つまり多くの「教える側」の人は、
「実数」を上の同値条件のどれか一つを満たすものとして捉えていて、
混乱はしていないだろう、という意味。
ただ「教える側」の人の中に
「上の条件をどれ一つとして理解していないにも関わらず『教える側』に立とうとし、
知識不足や理解の甘さから混乱して自滅する人」
がいる事は失念していた。申し訳ない。
だがこういった人達を含めて考えても、上の意味での実数体と、
他の公理系による何か(超準実数体など)を混同してしまって混乱している人を見た事がない。
混同せずに使い分けているか、上の意味での実数体しか知らないか、
そもそも実数の定義をきちんと理解していないかのいずれかと思われる。
>>399及び
>>402が問題としているような「混同して混乱している教える側の人」などいるのか?
なお
> 結局スレは混乱しているわけだ。
混乱していたのは約一名のようだったが。
423 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/07(土) 23:54:38
>>421 ノートの肉筆コピーっていう部分も合わせて、
なかなか笑わせてもらった＾＾
424 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 00:01:23
>>422 その「微積の教科書云々」の部分で、実数の定義を与える上でメリットがどうの、
デメリットとか言って暴れていた厨がいたでしょ。そいつのこと？
あとトンデモなんとかっていう奴は逆に順序体による定義に固執しすぎていた印象。
そいつに無駄に食らいついてた長文引用の厨房もいたよね。
上のogawaもいるし、それ以外にも、混乱してそうなのはけっこういたよ。
一人では決してなかったと思うが。どこを読んでそう言っているのかはしらんけど。
>>424 俺が意図していた「一名」というのは
途中から「トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn.」というコテを付け始めた彼の事。
> 実数の定義を与える上でメリットがどうの、
> デメリットとか言って暴れていた厨
は具体的にどのレス番の人か?
一つ前のスレを見る限り暴れていた人は特にいないようだったが。
>>102に一つ前の過去ログがあるので、レス番を示して欲しい。
> 無駄に食らいついてた長文引用の厨房
は俺だな。
どういったところを見て、この二名(?)が「混同して混乱していた」と感じた?
>>424がそのトンデモ侍なんじゃないの？どうでも良いことだが…。
ogawa氏は彼なりに分かっていて、何とか「１＝０．９９９９…」を否定しようと
頑張っているだけだな。失敗続きだけど…。誰にもそして何事にもチャレンジ
する権利はあるんだけど、一般と違う意見を言うときには厳しいチェックが入
るのはまあ当然といえば当然。
あとogawaは「混同して混乱」はしていないだろう。
実数の定義として
>>422で挙げたものを拒否し、
独自のものを絶対と見なしているのと、論理力が無いだけだろうね。
ただもちろん全スレの全レスをチェックした訳ではないし、
リアルも含む2ch以外の場もチェックし切れないので、
>>399及び
>>402が問題としているような「混同して混乱している人」がいたら
詳しく教えて欲しい。
428 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 01:43:13
松本君と小川君は名コンビ
>>426 失敗の仕方が あ り え な い 。素人の馬鹿。
>>427 同じ意味での「混同して混乱」とは違うかもしれないが、ogachanは確実に「混同して混乱」している。
>>421のリンク先を見れば分かるが、まず、彼自身の「0.999…」の定義では、どうやら(1－1/x)^x～(0.999…)(0.999…)…が
成り立つらしい。次に、普通の実数の定義がwell-definedでないことの証明として、0.999…＝1を仮定し、
(1－1/x)^x～(0.999…)(0.999…)…＝1*1*1…＝1，(1－1/x)^x→1/eから矛盾、としている。ここには明らかな
「混同して混乱」が見受けられる。後半の「0.999…」の定義は、前半の彼の定義による「0.999…」とは違うものなのだから、
(1－1/x)^x～(0.999…)(0.999…)…が成り立つとは 言 え な い 。それにも関わらず、「0.999…」という記号を「混同して混乱」
して(1－1/x)^x～(0.999…)(0.999…)…が成り立つと主張し、(0.999…)(0.999…)…＝1*1*1…＝1，(1－1/x)^x→1/eから矛盾、
などと馬鹿げたことを言っている。
431 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 03:57:39
論理力のない奴が混乱と混同を起こさないとは思えない。
432 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 06:20:02
要するに、スレは大混乱ってことだな
>>430 あなたは
(1) 単語「実数体」の定義としては、普通は完備アルキメデス順序体(
>>422の事)を採用する
(2) これを採用する基準は、信念やメリットやお約束や多数決などの非論理的なもの
(3) それ以外のものを「実数体」と名付ける事は、事前の了解の下では自由
という態度の事を「メリット論」と呼んでいるのだろう。
そして
>>399,402で問題としている型の「混同して混乱」とは、
この「メリット論」が単語「実数体」の定義の混同を招き、混乱を引き起こす、という事だろう。
ogachanは上の(1)-(3)を理解していない。
そもそも
>>422の条件のいずれも正しく理解していない。
>>399,402が問題とする型の「混同して混乱」以前の論理力の問題だな。
改めて問う。
>>399,402が問題とする型で「混同して混乱している人」、
即ち上の(1)-(3)を理解した上で(理解した事で)単語「実数体」の定義を混同してしまい、
混乱している人などいるのか?
もしいないようなら
>>399,402での「メリット論」への批判は的外れだな。
>>434 オレはogachanはそいつは理解しているけど、わざとごねている…と思うんだけどなｗ
よくある話。ま、他人の頭の中がどうなっているかは分からないけどね。
>>435 ogachanのサイト見てみな。真性の馬鹿だということが分かるからｗ
438 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 20:13:01
「メリット論」(
>>388や
>>434)を理解した上で異議を唱える人はまだいるのか?
少なくとも現時点でのこのスレにはもういないように思う。
>>424=「トンデモ侍 ◆zYQ/uWRKn.」の返信に期待する。
彼が議論を途中放棄するような極めて不誠実な人間でない事を祈る。
フィールズ賞は賞金少ないからアーベル賞だったけかなんかの
銭が多い方がいいな。それで、隠居生活するんだ。それで、
リーマン予想でも解いて、また、なんかの賞をもらえればいいや。
440 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 20:38:38
ヤケにトンデモ侍に絡むな・・・
メリット論って数学で全然使われてないぞ。
どこで使ってる言葉だ?
>>440 「メリット論」などと名付けられているのは俺もこのスレと前スレ以外では見た事が無い。
初出は前スレ
>>794か?
だが名前はともかくその意味するところは、
数学をある程度理解している人にとっては当たり前で何の変哲もない考え方・態度だと思う。
その当たり前に思っている事を批判されれば
議論したくなるのは(少なくとも俺にとっては)自然。
>>440 そうだな。あまりに「当たり前」すぎる思考形態だからあえて表面に出ないのかもな。
しかし、「メリット論」の根拠ってのは根底に数学基礎論の成果があるわけで…この
学問があまり一般的でないってのも…まあ言えるかもしれない。
443 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:00:04
441=442は考え方が偏り杉
445 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:07:37
>>442 メリット論が数学基礎論の成果だという根拠は？
446 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:23:39
>>445 well-fedined かどうかの証明を放棄せざるを得ないのは、数学基礎論の成果である
自然数が入っている論理の正しさは証明できないってコトから来ているんだろ？
そうじゃなかったら、とことん突き詰めるのが数学。
448 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:34:12
つまりメリット論は
ヤケッパチの理論ってことか
449 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:36:46
やけのやんぱち
>>448 じゃやけっぱちじゃなくて「冷静」だったとしたら、どー対処せよと言うんだｗ
451 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:42:54
つまりヤケッパチであることは認めるわけだなw
「1=0.999…」に関して限界まで突き詰めて議論するなら、
「メリット論」(
>>388や
>>434)は自然に行き着く考えと思われる。
それ以外にあるなら興味深いので是非お聞かせ願う。
>>446 「あなたが」偏りすぎと感じたと発言したのだから、
「あなたに」その理由を聞くのは道理。
>>447 well-defined? 完備アルキメデス順序体が同型を除いて一意に存在する事の事か?
それならば数学基礎論と関係無く証明可能だな。
また論理体系の無矛盾性は「1=0.999…」と直接の関係はないだろう。
453 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:48:00
>452
突き詰めないのが基礎論の成果と言ったのはあなたでは？
>>453 「突き詰めない」? 何を突き詰めない事か?
また「突き詰めないのが基礎論の成果」なる趣旨の発言をした覚えは無い。
その発言のレス番を示して欲しい。
455 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:52:37
>>452 「あなたに」聞く理由があったとしても、それは関係のないこと。
まずその依存体質を改めるべし
456 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:57:13
>454
457 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 21:57:55
>454
447
459 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 22:10:05
ちょっとせきはずす
後で話すから待ってて
補足しておくと、
>>388のA4にあるような無矛盾性の話は
「メリット論」や「1=0.999…」と直接関係無いな。
>>460 じゃ、君なりに修正して。
ちなみに、「完備アルキメデス順序体が同型を除いて一意に存在する事の事」とは違うぞ。
「１≠０．９９９９…」派全てが普通の実数でこれが成立する話だとは思っていないだろう。
実数がどのような定義であっても、そこに矛盾が発生しない限り、その定義が正しいか
正しくないかってのは数学基礎論の結果により証明できない…ってのがＡ４
>>461 「どの(ペアノ算術を再帰的に含み無矛盾な)実数論の形式的体系も
その無矛盾性(Consis)を証明不可能」
という話は、「メリット論」、即ち
「実数の定義に絶対は無く、非論理的な理由でその定義ないしは公理が選ばれる事」
の根拠ではないな。
無矛盾性如何に関わらず、更には自然数論を含んでいるかに関わらず、
定義や公理の取り方に絶対は無い。
それは実数論に限らない。
どの理論にどのような名前を付けるかは自由というだけだ。
ただ
>>388のA4は「論理は絶対ではない」という別の話の一つの根拠なので、
別に残しておいても構わないと思う(修正しても構わない)。
今年のフィールズ賞はどうかな。かなりセンセーショナルだから、可能性は
なきにしもあらず。でも、果報は寝て待てというから、待つしかないなぁ。
ちまちまと他の研究を続けてるしかないな。今はね、簡単な超準解析の構築
をしてる。このずーーーっと先にリーマン予想の鍵があるわけだな。
あとはね、５次方程式だな。１価ｎ乗根という鍵は作ったから、あとは鍵穴を
探せばいいんだが、いまんとこ見当がついていない。
あとはね、あんまないな。思いつきでなんかだな。３元数体を作るとか、
行列を体として構成するとか、賞金問題に取り組むとかかな。ブレークスルー
するには、とにかく、まず、鍵を作らなきゃならんので、なんにしろ、鍵作りを
することになるのかなぁ。
みんなは、どんな鍵作ってる？持ってる？
> 「どの(ペアノ算術を再帰的に含み無矛盾な)実数論の形式的体系も
> その無矛盾性(Consis)を証明不可能」
そもそも実数の理論で無矛盾性述語書けないよ。
ていうか実数の理論は完全性持ってます。
算術の不完全性とごっちゃにしてないか？
> そもそも実数の理論で無矛盾性述語書けないよ。
訂正。「述語」じゃなくて「文」ね。
469 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 05:30:16
>>466 実数の理論の完全性って、実閉体の初等理論のことだろ？
>>463の言ってることにそれで反論してどうなる？
「メリット論」の本質は
「概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される」
というごく当たり前の事。
「完備アルキメデス順序体」という概念に「実数体」という名前を付けようが
「椅子」という名前を付けようが(紛らわしいが)「複素数体」という名前を付けようが、
事前の了解の下では論理的には自由。
同じく単語「実数体」で意味する概念として「完備アルキメデス順序体」を取ろうが
「朝起きてコーヒーを飲む事」を取ろうが(紛らわしいが)「超準実数体」を取ろうが
事前の了解の下では論理的には自由。
これらは全て信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される事。
「1=0.999…」はこういった非論理的な前提に「100%依拠」して成り立つ式。
この事に対する数学的に意味深い反対意見があるなら是非聞きたい。
この「メリット論」を理解した事で実数の定義を混同し混乱した人がいるなら是非詳しく聞きたい。
だが
>>443や
>>448のように根拠を示さない意見に意味があるとは思えない。
>>466 実閉体の理論では「nは自然数である」という意味の述語すら書けないから
ペアノ算術は含んでないな。
>>463で意図していたのはZFCや二階算術の事。
実閉体の理論の完全性と「メリット論」はやはり関係無いだろう。
471 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 11:15:30
>470
ソース
> 実閉体の理論では「nは自然数である」という意味の述語すら書けない
の事なら、俺はまず書けそうにないと思っただけで証明した訳ではない。
474 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 11:25:33
>472
メリット論
すなわちその概念が手前勝手でないことの確たる証拠
>>474 「本当に多くの人が
>>470に賛同するのかどうかの証拠を示せ」という事か。
それは「実際に多くの人に聞いてみる」以外の論証方法は無いと思われる。
そして俺は実際に多くの人に聞いてみた訳ではない。
故に確たる証拠は無い。
従って「『メリット論』は多くの人が『実際に』抱いている考えである」とまでは主張しない。
ただそうだろうとは思う。
もし「メリット論」に対する反対意見があれば聞きたい。
477 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 11:55:46
定義の妥当性をメリットに求めると、このスレのように意見のみが百出して結論が出ない
>>477 その通り。定義の妥当性を疑う人まで含めて万人が納得する「1=0.999…」の説明は無いな。
この意味で結論は出ない。
ただ高校教育においてどうすべきかなど、限定された状況ではまた別の話。
479 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 12:03:45
>478
つまり、メリット論にはメリットがないわけだな
>>479 俺は定義の妥当性を疑う人に対する「1=0.999…」の説明としては
「メリット論」以外に選択肢を思い付かない。
他に選択肢が無いという状況に「メリット」という相対的な概念は当てはまらない。
「メリット論にはメリットがない」という発言が詭弁でない事を示すには、
定義の妥当性を疑う人に対する「1=0.999…」の説明として
「メリット論」以外の選択肢を用意する必要がある。
481 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 12:09:58
証明
>>481 ならば定義の妥当性を疑う人に対して説得力のある「1=0.999…」の証明を見せてくれ。
例えば
>>379は小数の(通常の)定義を疑う人にとって説得力は無い。
1/3=0.333…の右辺が意味不明となるからだ。
また3×0.333…=0.999…も疑わしい。
更には3×1/3=1も分数の定義や四則演算の定義を認めない人にとっては謎の式でしかない。
もっと言えば「両辺を3倍する」という行為、即ちa=b⇒ac=bcすら怪しい。
また「0.999…=Σ9/10^n=1」も無意味。
小数の(通常の)定義を認めなければ0.999…=Σ9/10^nは疑わしい。
またそもそも実数の定義を認めなければΣ9/10^nも意味不明。
少なくとも上記の2証明は
定義の妥当性を疑う人に対して説得力のある「1=0.999…」の証明ではないな。
他にあると?
484 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 12:49:32
>>482 >>483 実数の定義は、認めるべき。証明ってのは、定義あってのものだから。
すなわち、定義の妥当性を疑う人に対して、説得力のある証明は無理。
485 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 12:50:14
>>470 > 「メリット論」の本質は
> 「概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
> 非論理的な事情により決定される」
> というごく当たり前の事。
そんな話じゃなかったと思うぞ。
「1=0.999…」と定義した数学はつくれるし
「1≠0.999…」（見た目は違うが実数値は同じ）と定義した数学もつくれる。
そのどっちを選ぶかで「メリットのある前者」を選ぶという話だったはず。
名前がなんでもいいって話とは違うだろ。
486 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 12:53:58
>>485 ここで問題なんだが、
「1＝0.999…と定義する」とは何か？
「1≠0.999…と定義する」とは何か？
たとえば実数が連続である中で、「1≠0.999…と定義する」
ことはできるのか？
メリットを云々する人もいるが、そのメリット論において
この問いを解決できるのか？
できるなら、ぜひここでやってくれ。
名前を変えればいいんだよ。
488 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 13:02:29
>>484 二行目は全く同意。実数の定義の妥当性を認めない人にとっては
>>483にあるような「証明」は無意味。
それ故に実数の定義の妥当性を認めない人を考慮する時
「メリット論」に行き着く。
実数の定義(として完備アルキメデス順序体)を認めるべきというのは非論理的な信念だな。
この非論理的な信念には俺も同意する(
>>81>>335)。
「証明ってのは、定義あってのもの」にも同意する。
ただ単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取らなければ
証明が行えないという事は無い。
例えば
>>121の定義を採用する事により
命題「1≠0.999…」の数学的に厳密な証明が可能。
>>485 完備アルキメデス順序体に「実数体」という名前を付け、
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
この完備アルキメデス順序体の元a+Σa_i/10^nに「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるのが
>>485曰くの前者「1=0.999…と定義した数学」。
後者の例としては、超準実数体に「実数体」という名前を付け、
この超準実数体の元[a, a, ... ]+[a_1/10, a_1/10+a_2/10^2, ... ]に
「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるものが挙げられる。
他にも(適当な集合論内の)ペアノ公理系による自然数全体に「実数体」という名前を付け、
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けても良い。
この時「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
単語「実数体」や単語「a . a_1 a_2 …」にどのような概念を対応させるかは論理的には自由。
上の前者を選ぶか後者を選ぶかは
信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される。
これが「メリット論」。その本質は
>>470の通り。
490 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 13:25:12
491 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 13:27:42
>>489 あと、完備アルキメデス順序体に0.999…≠1と定義することは可能？
メリット論によると、多数決などの非論理的な事情があれば可能と
なるんだろうけど、489自身もそう思う？
>>486 完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
だがこの定義にメリットは無い。
今までの慣習とはかけ離れており、不便なだけだ。
メリットなどの非論理的事情を考慮して始めて
1＝0.999…であるべきという発言が出来る。
>>490 「それ」とはどれか?
超準実数体の例における「1≠0.999…」の事か?
それならば以下のようにして示せる:
極大フィルターによる超準モデルで考える。
定義により0.999…=[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]であるから、
0.999…は列(a_i), a_i=9/10^iの同値類である。
{ i | a_i=1 }は空集合であり、フィルターは空集合を含まないから、
従って{ i | a_i=1 }は超準実数体を定めている極大フィルターに入らない。
故に[9/10, 9/10+9/10^2, ... ]≠[1, 1, ... ]、従って0.999…≠1. 証明終了。
定義さえ知っていれば自明極まる事だが。
メリット論ていうのは
良くないのは自然に廃れるってことだろ。
>>492を修正。
> 「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
の頭に「この時」や「するとこの定義の下」などの接続詞が必要。
495 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 13:48:32
>>492 ０に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けた場合、
その順序関係はどうなるんだ？
０＜a＜a . a_1 a_2 …という順序がありながら
０＝a . a_1 a_2 …を定義すると矛盾が生じないか？
それでも証明といえるのか？
>>493 そう考えるなら、定義ではなく「仮説」という言葉がふさわしい。
>>495 >>492の例では「a＜a . a_1 a_2 …」が任意のaについて成り立つとは言えない。
この命題は「a<0」を意味する。
単に偽の命題であるというだけだ。
もちろん通常の小数の定義では「a＜a . a_1 a_2 …」は正しい。
しかし
>>492の例では通常の小数の定義を採用していないのだから、
「a＜a . a_1 a_2 …」が正しくない事があっても矛盾しない。
定義も廃れるよ。
498 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:09:18
>>496 偽の命題をつかったら、証明にならないだろw
>>498 使う? どこで使ったと?
>>492の前半の例における「0=0.999…」の証明を以下に明記する:
定義より0.999…=0である。証明終了。
この証明文のどこに偽の命題、特に「a＜a . a_1 a_2 …」を使ったと?
500 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:16:33
>>499 定義により証明終了？ｗ
メリット論はどこに行った？ｗ
>>500 もう一度しっかりと書く。
完備アルキメデス順序体においても、
適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
この定義の下ではa . a_1 a_2 …=0である。
特に0.999…=1である。
以上のどの部分に矛盾があるというのか?
指摘を願う。
上のような定義をする事は論理的には何ら問題無い。
上の定義を拒否するためには非論理的な事情が必要。
これが「メリット論」。
>>501 > 特に0.999…=1である。
は「特に0.999…=0である。」に修正。
503 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:23:26
>>492は言ってることがバラバラだな。
今度は「証明できるがメリット無いからダメ」ってか。
証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
何のための証明だと思ってんだ。本末転倒だなｗ
504 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:24:59
>完備アルキメデス順序体においても、
>適当な定義の下で1≠0.999…は証明可能。
>例えば整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
>0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付ければ良い。
>「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
すげぇｗ
神ｗ
メリットが全くない定義って一杯あるだろうに…。
>>503 前スレから一貫して同じ事を主張し続けている。
即ち、概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される。
例えば
>>489の3段落目の3つの例はどれも論理的に問題は無い。
どの例においてもそこにおいて(そこにおいてのみ)正しい命題が
そこにおいて(そこにおいてのみ)正しい推論により証明される。
1つ目の例では「1=0.999…」、2つ目と3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
ただし非論理的な理由により2つ目と3つ目の例での定義が採用される事はあまり無い。
故に非論理的な事情により通常は「1=0.999…」となる。
> 証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
証明の『前に』定義が必要。
その定義の選び方に関する態度が「メリット論」。
誤解しないで頂きたい。
507 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:42:55
508 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 14:48:56
>>506 1≠0.999…と定義するって、どういうこと？
あと、そのメリットって、具体的にはどういうこと？
>>507 >>492と
>>506は同じ事を言っている。
なお、完備アルキメデス順序体という概念の中に
単語「小数」や「a . a_1 a_2 …」の定義は含まれていない。
従って完備アルキメデス順序体においてこれらをどう定義しようと論理的には自由。
1つ目の例での定義の下では「1=0.999…」が、3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
これは何らおかしな事では無い。
>>508 「1≠0.999…と定義する」とは言っていない。
単語「実数体」や「小数」の定義の取り方により
「1=0.999…」が証明されたり反証されたりする、という趣旨の発言は何度もしたが。
なお、
>>501の定義におけるメリットは、
このような議論の場における分かり易く極端な例となっている事、が挙げられる。
510 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:23:04
>>510 そのままだな。
完備アルキメデス順序体において「小数」を次のように定義する:
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して、
0の事を「a . a_1 a_2 …」と書き、これを0の小数展開と定義する。
つまり「a . a_1 a_2 …=0」と(左辺を右辺で)定義する。
この定義の下でa . a_1 a_2 …=0が成り立つのは、正に定義そのもの。
512 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:28:40
>>511 その定義において、例えば１はどうなるの？
>>512 「1の小数展開」は定義されていない。
体においては1≠0だから、
従って
>>511の定義の下では0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1は正しい。
514 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:32:49
>>513 定義できていないものと定義できているものを、どうやって比較するの？
515 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:38:28
>>513 > 「1の小数展開」は定義されていない。
それはデメリットだ
さあ、早くメリットのある1の小数展開を定義するんだ！
516 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:41:17
>>513 あと、その小数展開の中で、本来の０．９９９・・・はどう展開されるの？
>>514 ああ、
>>512では「1の小数展開の定義」では無く「1の定義」を聞いたのか。
「1」は体において唯一つ存在する単位元として定義されている。
この定義はアルキメデス順序体の概念の中に含まれている。
>>515 それをデメリットと感じる人は多いだろう。
故に「メリット論」から
>>511の定義は普通採用されない。
恐らく最もメリットのある「小数」の定義は
>>489の3段落目の1つ目の例だろう。
>>516 「本来の」?
>>489の3段落目の1つ目の例における「0.999…」の事か?
それならば、
>>489の3段落目の1つ目の例と
>>511では異なる定義を採用しているため、
その質問は無意味だな。
ある定義の下に成り立つ命題と他の定義の下に成り立つ命題は比較しようがない。
518 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:55:02
>>517 俺が言いたいのは、
定義の中で０は０．９９９９・・・と定義された。
１はまだ定義されていない。
こんな状態で、０．９９９・・・と１を比較できるわけがないってこと。
519 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 15:59:53
>>517 前段：
単位元としての１の定義はともかくとして、それを証明にどう生かしているの？
中段：
メリット無くとも証明できるってんならきっちり証明してみな
下段：
これは完全に論理を逸脱してる
520 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 16:00:04
>>470 >>473 今手元にはないんでチョットぁゃιぃが、裳華房の田中一之先生の『数の体系と超準モデル』（タイトル違ってたらごめん）にあった気がする。
>>518 > 定義の中で０は０．９９９９・・・と定義された。
逆だな。
> つまり「a . a_1 a_2 …=0」と(左辺を右辺で)定義する。
と書いた通り、
>>511では0.999…を0と定義した。
右と左がどちら向きか分からなければそばにいる人に聞くと良い。
完備アルキメデス順序体(以前に体)では、
0は零元、1は単位元として既に定義されている。
その定義を踏まえ、
>>511では
その時点ではまだ未定義だった記号a . a_1 a_2を定義済みの記号0で定義した。
定義済みの記号を用いて未定義の記号を定義しただけ。
>>519 体の定義の中に「1≠0」がある。
一方
>>511の定義の下では0=0.999…である。
故に1≠0.999….
> ある定義の下に成り立つ命題と他の定義の下に成り立つ命題は比較しようがない。
が良く理解できなかったか。他の具体例を挙げる。
体において記号Aを
(1) 1として定義する、
(2) 1+1として定義する。
(1)の定義の下では「A=1」は真であり、「A=1+1」は真でない。
(2)の定義の下では「A=1+1」は真であり、「A=1」は真でない。
(1)の定義の下に成り立つ命題「A=1」と
(2)の定義の下に成り立つ命題{「A=1+1」は比較できない。
(1)の定義によるAと(2)の定義によるAは関係が無い。
これのどこが論理を逸脱していると?
523 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 16:24:48
>>521 記号的に定義するなら、単位元とゼロ元が一致することもあるでしょ。
>>523 俺は体の定義の中に「零元と異なる単位元を持つ」を持つものを念頭に置いていた。
{0}を体として認めるより一般的だと思い、特に断らなかった。
混乱させてしまったら申し訳ない。
525 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 16:30:20
あまり、証明としては適さないと思うが
＞従って
>>511の定義の下では0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1は正しい。
0.5とか0.95とか0.99999999999999999999999995
とかは、どう扱われるんだ？
大小関係を比較できる？
527 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 16:42:07
>>526 >>511では有限小数は定義されていない。
もし定義したければご自由に。論理的には自由だ。
例えば次のような定義が考えられる:
整数aと0から9までの有限個の自然数a_1, a_2, ... a_nに対して、
0の事を「a . a_1 a_2 …a_n」と書き、これを0の小数展開と定義する。
つまり「a . a_1 a_2 …a_n=0」と(左辺を右辺で)定義する。
この定義の下では0.5や0.95や0.99999999999999999999999995はどれも0に等しく、
0は0.5や0.95や0.99999999999999999999999995といった小数展開を持つ。
0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
530 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:06:39
>>528 論理的には自由だが、実数的には不自由だな
>>530 全く同意。その「不自由」という非論理的な事情により
「実数体」や「小数」という単語の定義が選択されている。
「1=0.999…は当然正しい」という主張は、
こういった非論理的な事情に「100%依拠」した上で正当化される。
もう何度も何度も言った事だが。
532 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:15:55
こじつけ
533 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:18:48
コピペみたいな文はやめれ
自分の言葉でさ、もっと自信を持って。
「メリット論」への反論(のようなもの):
>>479 > メリット論にはメリットがないわけだな
>>481 > (定義の妥当性を疑う人に対する「メリット論」以外の「1=0.999…」の説明として) 証明
に対する反論としては以上で十分だろう。
他に「メリット論」への反論はあるのか?
>>532 >>470で書いた
> この事に対する数学的に意味深い反対意見があるなら是非聞きたい。
> この「メリット論」を理解した事で実数の定義を混同し混乱した人がいるなら是非詳しく聞きたい。
> だが
>>443や
>>448のように根拠を示さない意見に意味があるとは思えない。
の「根拠を示さない意見」に
>>532を追加するか。
535 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:30:25
とりあえず、何度書いても受け入れてもらえない理由を考えるべし
536 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:33:22
>>531 > 全く同意。その「不自由」という非論理的な事情により
不自由ってのは、今ここで書かれてる証明みたいなのについてだけだろ？
この例だけで、1≠0.999…は不自由（＝メリットがない）って言えるのか？
537 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:34:46
>>536 この人は反論になれば何でもいい人だから
>>536 1≠0.999…が導かれるような定義にメリットが一切無いとは主張していない。
例えば
>>121の定義では1と0.999…は「無限に近い」ので、
一部の人には受けが良いかも知れない。
ただ俺個人としては「1=0.999…」が導かれるような定義の方が
「比較的」メリットがあると感じる。
もちろん何をメリット・デメリットと思うかなど人に押しつける事が出来るものではない。
そしてこれは「メリット論」を何ら否定するものではない。
539 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 17:48:29
>>539 まず「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取る信念・メリットとしては、
>>81>>335、また皆がこの定義を実際に採用している事(了解無しで話が通じ易い)など。
また「小数」の定義として通常の(即ち
>>9)を採用する信念・メリットとしては、
これが俺は自然に感じる事、a. a_1 a_2 …=sup{a, a+a_1/10, a+a_1/10+a_2/10^2, ... }といった
俺にとって自然に見える式が成り立つ事、皆が実際にこの定義を実際に採用している事など。
これに同意できない人がいても構わない。
541 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:01:18
>>541 「皆」は言い過ぎたな。「多くの人」に訂正する。
何を以て「多く」と言うのかは俺の主観。
543 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:03:54
>>538 メリット論って結局「いいと思う」とかそんな感じでしょ？
>>543 その通り。加えて言えばその内価値観が変わって
>>540は俺の信念・メリットではなくなる可能性もある。
545 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:07:26
コンピュータプログラム的に書くなら
if real(1) == real(0.999・・・)
って評価を
if 1==0.999・・・
って書けるくらいのメリットだろ
546 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:12:40
つまり、540がこのスレ初心者に説明を求められたら
「そんな気がするから、でいいんだよ」と答えるのと一緒か。
簡単かつ安易だな。
547 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:26:59
>>546 人に教える時は(順序は)別だな。
まず
>>379や
>>25などを丁寧に解説し、
それで分からなければ、無限級数の計算方法の知識が無いなら諦める。
そうでないなら「0.999…Σ9/10^nは定義」と言い、右辺が1に等しい事を計算させる。
大学以降での微積の知識があれば、前スレ
>>323の
> 0.999…という記号が、次の3つの条件を満たすならば0.999…＝1となる。
> 証明は、ε－δっぽい議論で矛盾を示す。
> 1)0.999…∈R (←実数)
> 2)任意のn∈Nに対して0.999…＞Σ[i＝1～n]9/10^i
> 3)0.999…≦1
などを使い、証明させる。
アルキメデスの公理や小数の定義、実数の連続性を疑い出すようなら、
これが如何に自然かを説得する。
これらの公理を完全に否定するようなら、最終的に「メリット論」を持ち出す。
別に正論を頭から持ち出す必要は無い。
ただこれでうまくいくかどうかは分からんな。
549 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 18:49:01
努力型電波君の小川がいなくても
もりあがるんだな、ここｗ
551 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 19:42:07
粘着質の厨房が２人いれば十分盛り上がる
ぼく松本真吾みんなもりあがってね
( ；＾ω＾)
554 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 21:11:15
なあ、0.999999…と１の間ってなにか数字あるの？
555 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 21:17:20
ない
556 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 22:14:55
言ってはいけないことかもしれないが、そもそもやりようによっては
1=0.999…
は実数論は必要なく、有理数論の範囲で証明できるな。まあ、一階の
有理数論の無矛盾性は前提にしなければいけないがなw
言ってはいけないことかもしれないが、
ガクガクブルブル
ヒルベルトの第２問題が否定的に解決されたという余韻はさておき、
また、ひとつ、面白いことを思いついてしまったので、報告してお
こう。ゲーデルの不完全性定理があやしい。あれは定理じゃなくて、
パラドックスだな。題して、ゲーデルのパラドックス（不完全性定理を読み直す）
を近日アップする予定だ。楽しみにしといてくれ。結論としては、
ＺＦ、ＰＭ、これらに有限個の公理を追加した体系においても、
排中律が守られていないということになる。
ゲーデルはなんでこんなことに気づかなかったんだろう？パラドックスよりも
定理の方がかっこいいから、わざと、パラドックスであることを隠したの
かな？！
>>556 確かに1=0.999…だけならそうだな。
ただその時は、「小数」を一般には定義しないか、
「a+Σa_n/10^nが有理数内で収束した時に限りその値を」
云々と注意書きを付ける必要が生じる。
また「有理数」や「小数」の定義の選択に当たって、
やはり「メリット論」に頼らざるを得ない。
矛盾を仮定すれば1=0.999…と1≠0.999…が同時に証明可能。
560 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 23:09:39
>>559 まあ一般論としては同感。ただし、実数に不安を持っているヤツは多くても、
有理数に文句を言うヤツは少ない。実際、有理数論は実数論よりは安全でもあ
る。だから、納得させ易いというメリットもあるからね。まあ、理解する能力
がないヤツにはどの方法をとっても無理といえるがw
有理数論で0.999…ってどう定義するの？
562 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 23:22:54
563 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 23:25:56
有理数でやる場合は、小数は循環小数と有限小数だけ扱えれば十分。
それらは、よくやるペアの同値類別や、縦書きの割り算の形式化で
定義すればよい。この形式化の仕方で２つの小数表示が生まれるが、
それらが同じ有理数に対応することで証明される。できる高校生なら
自作できると思う。もちろんwell-definedであることを調べる必要は
ある。面倒だからヤダって言うメリット論により採用はされないが、
できると言うことはやはり大事。牛刀は必要ないことはことわってて
おくべきじゃないかな？
>>563 > よくやるペアの同値類別や、縦書きの割り算の形式化で
> 定義すればよい
すみません。それらの方法で0.999…を定義してみて下さい。
565 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/09(月) 23:42:28
>>564 面倒くさいから、筋道だけ。
（１）有限小数を定義。これは、自然数nと整数mのペアで定義。
これがm÷（10^n）を意味するように、同値関係を入れる。
演算や順序も同様。
（２）循環小数は、n/mを計算する縦書きの割り算のアルゴリズムで
定義する。有限回で除算が終わるときは、有限小数と有理数が
一致する。
終わらないときも剰余の比較でアルゴリズムを停止させるこ
とができ、このときは循環小数（ただし、９の続く形を除く）
になる。この値はn/mに近づく。εを10^(-k)にして行えば、有
理数の範囲内でこのことが言える。
（３）（２）で、除算の剰余rの範囲を1≦r≦mにすれば、今度は整数
や有限小数が現れず、全て循環小数で表される。この値がn/mに
近づくことも有理数論の範囲で言える。そして、有理数とこれ
らの２つの小数表示の同型対応により、1=0.999……等が言える。
面倒だが、演習レベルでできる。
566 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 15:05:55
メリット論って何？
567 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 15:43:57
結局、０．９９９・・・は１と等しいのか、等しくないのかはっきりしてくれ
568 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 15:52:28
=
569 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:08:18
証明するの難しそうだよね。
その意味じゃ、難しくないっていうメリット論もあるな
570 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:08:44
571 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:15:28
572 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:19:00
同一律を認めるか、認めないかしだい。
573 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:21:06
同一律って・・・？
それって認めたり、認めなかったりできるの？
574 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:43:30
a≠a もある。
575 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 16:46:57
576 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 17:39:51
違う公理を使えば、成り立つ。
577 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18:08:14
公理によって、YesかNoかが変わるってことでオケ？
それだけの話なら、実数の定義によってＹｅｓかＮｏかのまとめを行って、
それらに対する証明と説明を付けていけば決着だな。
そういう定義は「無数」に作れる悪寒…。
「普通の実数の定義」と「特殊な１≠０．９９９９…となる具体的定義」ぐらいなんじゃないのか？
579 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 21:22:56
>>578 無数に作ろうと思えば、作れるのが定義というもの。
ただ、やはり実数として扱うに足る性質を備えていて、
かつその定義の中で矛盾しないものでないと、扱っていて苦しくなる
そんなの、通常の等号の範囲では形が全く同じじゃなきゃ「≠」として扱い、
大小関係を比較するときには、実数に変換して比較する…ってダメｗ？
581 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:21:40
未定義の特異点でも、苦しくない。
完全性を求めれば、フラクタル性も持つ。
582 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:28:58
指数も連続、加法も連続、無限の中に無限がある。
も一つ無限なら、フェルマーの定理が解けそう。ｗ
583 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:29:09
ﾊﾟﾝﾊﾟﾝﾊﾟｰﾝ
∧＿∧ ∩
（ ・∀・）彡☆
⊂彡☆))゜Д。)←
>>103 ☆
584 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:32:42
そこで黄金律の登場。
585 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:42:58
発散も収束もさせないってか？
586 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 22:55:39
永遠に展開シル。
587 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 23:25:53
加法の連続性 指数の連続性 フラクタル性で
実数という近似のできあがり。
これはマンデルブロー集合と黄金律どう関係するのか、
その向こうに、リーマン予想は見えるか？
589 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 09:43:41
公理以前の未定義語を認めるか？
未定義語以前のゼロを認めるか？ Φは認めるか？
ゼロとΦと未定義語と公理の順序関係は？
590 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15:29:42
ﾊﾟﾝﾊﾟﾝﾊﾟｰﾝ
∧＿∧ ∩
（ ・∀・）彡☆
⊂彡☆))゜Д。)←
>>591 ☆
592 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 21:09:49
未定義語の組み合わせと確率の関係
フラクタルとトポロジーの関係性
４元数と８元数とスピンと捻度
593 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 21:18:47
加法が成り立たないのは、何元数？
その理由は？
594 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/13(金) 20:45:10
8元数 理由 ニート数で関わり合いをもちたくないから。
595 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/13(金) 21:46:47
ニート数は確率の独立事象
598 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 02:59:33
ogacyanきたー！
じゃあ、僕のチンチンの長さも
14cmじゃなくて13.9999・・・cmとした方が
希望が持てるって訳ですね ＞＜
601 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 19:38:36
ＶＩＰから来ますた
602 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 20:36:08
603 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 20:48:02
604 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 20:50:09
ＶＩＰから来ますた
てかマジで気になるのですが、数学板としては、
1≠0.999…
が正解ってことになってるの？
606 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/14(土) 21:05:15
簡単に答えられないから、皆躊躇しているんだろ。
「普通の数学の規則」なら、文句なく １＝０．９９９９…だよ。
だけど、強硬に １≠０．９９９９… を主張している人はなかなか説得できないな。
608 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 10:50:06
VIPからきますた
研究者の卵です、よろしくおねがいします
609 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 10:53:08
1＝0.999･･･
が成り立つと言うのは代入値＝極限値と言う考えて方で良いのですか？
610 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 11:10:46
また香ばしいのがここに一人
>>608 とりあえず、過去ログみてくれ。何度も引用されている文とかあるから
それがまとめみたいなモノになっている。
612 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 16:57:35
613 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 16:59:59
小川、VIPで宣伝してきたらどうだ？
616 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 20:31:36
>>614 そうだったのか！同じ考え方で、1.00000…≠1も証明できるな！
目から鱗だ。ありがとう、僕らのogachan！君こそひいろおだ！
>>614 すみません、そのリンク先の証明で、
ちょっとわからない事があるのですが、
lim(x→無限){ (1 - (1/x))^x }
の展開式で、先に1 - (1/x)を1へ収束させていますが、
無限って、こういう操作を許していましたっけ？
これって、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }
という操作なのでは？
>>616 ちょっと違うよ。
1.00000…001≠1 だよ。
1.00000…001 は間の0が無限に続くよ。
>>615 VIPって何なの？
619 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 21:30:43
>>618 ？無限個の0が間に入る小数表現なんか無いよ。だから
>>616で正解。
ダメだよ、ひいろおが勘違いなんかしちゃあ！
>>617 数値で表しているだけで収束はさせてませんよ。
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } } を数値的に表すると、
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
となりますよ。
>>618 > VIPって何なの？
VIP形式の宣伝方法
今読み書きしてる板の無作為に抽出されたスレッドに、URLアドレスを宣伝することが出来ます。
（注意！）全て半角で入力してください！！
１．書き込みの名前の欄に「vip.fusianasan.2ch.net」と入力します。
２．E-mail欄に、20歳以下なら「low」、21～30歳は「middle」、31歳以上は「hight」と入力します（年齢別調査)。
３．本文の１行目にＩＤとパスワード（とりあえず「guest guest」で可）を入れて、
２行目に宣伝したいURLを書き込みます。
４．書込みボタンを押します。メッセージが「確認終了いたしました。ありがとうございます」に変わればばＯＫ
５．サーバーが重いと２chに戻ってくるけど、まあ30分以内であれば何回かやれば大丈夫。
６．家庭の電話回線よりも、企業や学校の専用回線からの方がサーバートラフィックの
都合上つながる確立が高いです。
623 ：
617：2006/01/15(日) 21:51:52
>>620 (0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
は問題なく理解できます
しかし、1=0.999…という置き換えはつまり、
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
という無限の展開式のうち、
括弧の内部のみを解決した事になるのではないのでしょうか？
624 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/15(日) 21:57:59
>>621 ありがとう、ogachan!自覚してくれてうれしいよ。ちゃんと反省もできる君は、
やっぱり僕らのひいろおさ！
>>623 lim(1-(1/x))^x を数値的に表すと (0.999…)(0.999…)(0.999…)… であり、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }とは異なるものです。
1=0.999… とすると、
数値的表現が(1)(1)(1)…
となります。
括弧の内部のみを解決した事という意味がいまいち分かりません。
>>625 x=1.00000…001として、xの逆数y=1/xは何よ?
もし1.00000…001≠1と言うならx≠1なんだからy≠1だし、y=0.999…とでも言うつもり?
ならx+yは?もしかしてx+y=1とか?
そしたらy=1-xをxy=1に代入してx^2-x+1=0でx=(1±√(-3))/2って事になって
x=1.00000…001は複素数かよｗｗｗ
しかも(1±√(-3))/2の6乗は計算すると1だから、
x=1.00000…001は6乗すると1になるのかｗｗｗｗ
ogachanに限らず「1.00000…001は間の0が無限に続くよ」とかの類は
大抵四則演算が崩壊してる。
まーogachanはこういう都合の悪いレスは
無視して聞こえない振りするみたいだから別にいいけどねｗｗｗｗ
>>626 おっと間違えた。x+y=1はさすがにありえないか。
でもx+y=2とか言うのかな。
x+y=2ならやっぱりy=2-xをxy=1に代入してx^2-2x+1=0でx=1になって
1.00000…001≠1に矛盾するし。
628 ：
617：2006/01/15(日) 22:45:41
>>625 >>623で書いた、
> 括弧の内部のみを解決した事になるのではないのでしょうか？
とは、まさしく
lim(1-(1/x))^x)
ではなく、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }
ではないか？という事です。
629 ：
617：2006/01/15(日) 23:05:21
もう少し言うと、
lim(1-(1/x))^x
の極限値を考える場合、
x回累乗を行う値もxによって変化するので、
収束の様子について、述べなければなりません
つまり、
lim(1-(1/x))^x
を
(1)(1)(1)…
として極限値を求めるのではなく、
xを具体的な実数値から初めて、次第に増加させた時の値について、
その変化の様子を具体的な式を用いて示さなければ、
それは極限値ではないと思います
そこでε-δ論法
>>627 数値的に表してるだけだから、そういう計算はできない。
計算できるようにするには無限小の定義からはじめないと。
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/h0hi.htmlを理解できれば、その手の計算が
できるようになる。xy=1でないことも分かるだろう。
>>628 よく分かりません。
本来、元の式と分離しないんですが、簡単のため、
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
において、1=0.999…とすると、
(1→1)(1→1)(1→1)… となり、
(0.999…)(0.999…)(0.999…)… において、1=0.999… とすると、
(1)(1)(1)… となりますから、両者の数値的表現は異なるものです。
>>629 数値的表現として表された１が、1/eに収束しないことは明らかでしょう。
ノートでは収束先として、１としていますが、これは、定数関数の収束先を
考えると、問題ないでしょう。
そもそもeの定義って、lim(1-(1/x))^xか？
lim(1+(1/x))^xじゃない？
間違えた、eじゃなくて、1/eか
ということは、lim(1-(1/x))^xでいいのか
635 ：
617：2006/01/15(日) 23:47:18
>>632 では、なぜ
lim(1-(1/x))^x =
636 ：
617：2006/01/15(日) 23:47:59
すみません、↑は間違えました、ちょっと待ってください
637 ：
617：2006/01/15(日) 23:52:49
>>632 証明で定義されている記号を、
仮に「?=」と表させて頂きます
では、
> lim(1-(1/x))^x ?= (0.999…)(0.999…)(0.999…)…
> → 1/e
の部分ですが、
この1/eはどのように求められたのでしょうか？
これが示されれば、次の行が理解できそうです。
638 ：
617：2006/01/16(月) 00:02:00
lim(1-(1/x))^x = 1/e
である事を証明する定理や定義、公理を用いると、
どうしても
1=0.999…
になってしまうのですが？
どうやら私とは数学記号の用い方が違ってらっしゃるようですので、
もしかしたら、私の方に勘違いがあるのかもしれませんが…
639 ：
617：2006/01/16(月) 00:22:28
そうですね…
数学記号の用い方については、他にも、
> x→無限のとき 1 - (1/x) ?= 0.999… → 1
から、次のページで
> ここで、1=0.999… とすると、
のようにされてらっしゃる部分も、よくわかりません
640 ：
617：2006/01/16(月) 00:31:55
やはり、私がまだ「?=」の定義について、
よくわかっていないのかもしれません。
ですので、そのまま続けるのは、ogachanさんに失礼ですね。
もう少し、よく考えてみます。
>>６１７さん
誤解の原因は、0.999… → 1 つまり、lim(1-(1/x))=1 と
1=0.999… を混同していることと思われます。
ノートの２ページの３行めが、lim(1-(1/x))=1だから、あるいは、0.999… → 1に
よって、と書かれていたら、おっしゃるとり、いわゆる、式の内部収束で操作的に
誤りですが、実際そこでは、あくまでも、1=0.999…とすると、と書いてあります
から、この等式による式の代入を行っているだけですから、いわゆる、式の内部収束を
させているという批判はあたりません。
642 ：
617：2006/01/16(月) 09:25:20
>>641 なるほど！
よくわかりました.。
という事は、この証明を仮に命題で表すとすると、
「?=」を述語とし、
P ≡ 1≠0.999…である
という命題定数を定めると、
?=( P )は真
でよいですか？
>>642 命題定数とか述語とかぜんぜん知らないです。
644 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 22:30:18
∧＿∧
( ´･ω･) みなさん、お茶が入りましたよ・・・・。
( つ旦O
と＿)＿) 旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦
645 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 22:33:01
お茶0.9999・・・杯いただきます
646 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/19(木) 22:34:47
talk:
>>645 本当は一杯に満たないかもしれない。
647 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 22:41:30
どうもしっくりこなくなってきたので、近日書き直します。
649 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 08:03:08
talk:
>>647 お前は入れ物に一杯の水を入れるのか？
650 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 09:34:41
1≠0.9…と1＝0.9…は同等の公理式である。
651 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 09:41:29
公理と公理の比較は新しい公理作業である。
652 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:18:08
653 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:39:59
kingってのは、自分の手に負えない話題はごまかすんだな。
654 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 12:19:11
talk:
>>652 お前は湯飲み茶碗に一杯の茶を入れるのか？
talk:
>>653 お前に何が分かるというのか？
655 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 12:30:40
656 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 12:55:19
kingってのが、数学の話が出来ないことはよく分かった
657 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 17:39:49
talk:
>>656 お前に何が分かるというのか？
>>658 その“無限小”とやらを数学的に明確に定義してみな。
それに尽きるな。”無限小”を定義してくれ。
661 ：
617：2006/01/21(土) 09:35:57
デデキントカットまで行って欲しかった
極限に関わる公理と定理はガチガチの論理展開なので、
不用意には入れない気がするよ
662 ：
617：2006/01/21(土) 09:44:02
というのが感想だけど、新しいのが出てるな
663 ：
ogachan：2006/01/21(土) 18:51:43
無限小の定義は、
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/h0hi.html だよ。最初の３行に尽きる。新しい極限を理解してね。
それはそうと、循環しない無限小数と連続の公理によって存在してい
るとされている収束先の無理数を分離すると、どうにも、従来の無理数は
存在していないことが分かる。循環していない無限小数は無限に続くそのもの
としてしか捉えられないことが分かる。２乗して２になる数は存在しないな。
２乗して２に限りなく近づく数はあるな。べき根の定義を見直さなければならない。
方程式も一般には、＝０ という形では解はないな。こりゃ大変なことになった。
従来の無理数は存在していなかった。連続の公理、堕つ。
ＺＦＣってのは誤った体系だから、
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/gepara.html それに依拠している超準解析も誤りだな。
とすると、残ったのは、俺の無限小しかないじゃん。かなりてきとーに
やってるけど、俺ってすごいんだなぁ。きゃは。しかし、従来の無理数が
存在してないとは、いやはや、大変だ大変だ。同志が欲しいなぁ。一緒に
新しい数学を構築していく気のある香具師はいないか？
あー、やべー、俺って何世紀先を行ってるんだろう？所詮アマチュアのアマチュア
だから、日の目を見ることはなく、歴史にはならず埋もれていくのだけど、
でも、俺ってすげーなぁ。何世紀先なんだろう。ひひひ。
なんだ超準解析の劣化コピーか。
理科大あたりの数ヲタが書いてそうなレポートｗ
εδは大学一年で習うだろうから
ただの工房だと思う。
リンク先を ogawa/で切って見ればどんな人かわかるよ
>>663 その方法は過去に人類が歩んできた道。超準解析の手前の段階。テメェはまず
ε－δ論法を理解しろクズ！
669 ：
ogachan：2006/01/22(日) 09:04:17
琴線に触れるレスがないショボーン（´ω｀）
じゃあレスしてやるよ。
数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}を
an＝1/n
bn＝1/2^n
cn＝0 (nが偶数のとき)，1/n (nが奇数のとき)
dn＝1/n (nが偶数のとき)，1/2^n (nが奇数のとき)
とおく。lim[n→∞]an＝a，…，lim[n→∞]dn＝dとおく。無限小a，b，c，dの
大小関係を求めてくれ。あと、無限小a，b，c，dの(積に関する)逆元を求めてくれ。
671 ：
ogachan：2006/01/22(日) 14:47:45
>>670 しかし、従来の無理数が存在しないとピタゴラスの定理が成り立たない。
ピタゴラスの定理は従来の無理数の存在を前提していた。困った。
もちろん、h_0、h_i極限で扱うぞ。
無限大h_iは１０＾ｋなので、これは、有理数ではないので無理数なんだけど、
瞬間瞬間は自然数だから、自然無理数かな。これは偶数かどうかであるが、
自然数ではないので偶数ではないのだが、瞬間瞬間は偶数なので、自然無理偶数かな。
a=1/h_i , b=1/2^h_i , c=0 , d=a
c<b<a
a^-1 = h_i , b^-1 = 2^h_i
だよ。
＞a=1/h_i
何でそういう式が成り立つわけ？
＞c＝0
定義から「cはn→∞のときの数列cn『そのもの』」なんだから、c＝0は有り得ない。
これでは「0はn→∞のときの数列cn『そのもの』」ということになる。0は数列「そのもの」なのか？
＞c<b<a
dが抜けてる。あと、どうしてこういう大小関係になるのかも教えてよ。
＞a^-1 = h_i , b^-1 = 2^h_i
これもそう。何でこういう式が成り立つわけ？
ああ、dも書いてあったね。
＞d＝a
おかしいね。定義から「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」だから、d＝aになるわけが無い。
a＝dになるのは、定義から「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」＝「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」と
なるとき、つまり数列anと数列dnが全く同じ数列になっているときのみ。nが奇数のときはan≠dnだから、これは
有り得ない。感覚的にも、dnはanとbnが交互に現れるような数列だからa＝dはおかしい。それならb＝dでも良いはず。
連投スマソ。訂正。
【誤】定義から「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」＝「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」
【正】定義から「aは、n→∞としたときの数列dnそのもの」＝「dは、n→∞としたときの数列dnそのもの」
1文字目はdじゃなくてaに。
>>671 cn＝0 (nが偶数のとき)，1/n (nが奇数のとき)、lim[n→∞]cn＝c
とするとc=0となると言うなら、
en＝1/n (nが偶数のとき)，0 (nが奇数のとき)、lim[n→∞]en＝e
とすると同様にe=0でしょ。
そうするとcn+en=1/n=anだからc+e=aなので
c=e=0よりa=0になってしまい、a=1/h_iは嘘になるじゃん。
(偶数全体を含んで奇数全体を含まないように
超フィルターを取ってるという事にすれば間違ってないから、
意外とogachanはいい線いってるかもｗ)
676 ：
ogachan：2006/01/22(日) 16:50:30
h_iは自然無理偶数だから奇数にはならないよ。書いてあるのに。
>>676 あーなるほどね。
もっと一般にmを自然数として
fn＝1/n (nがmの倍数のとき)，0 (nがmの倍数でないとき)、lim[n→∞]fn＝f
とするとfはh_iを使ってどう書けるの？
678 ：
ogachan：2006/01/22(日) 18:13:54
>>677 mを決めてくれないと分からない。
にしても、従来の無理数が存在してないとすると、割り切れない分数も存在してないなぁ。
整数と割り切れる分数と無限小数によって、１から考え直さなければならなくなった。
ｘｙ平面において任意に三角形は描けないし、円なんて一切描けない。h_0,h_i極限においても、
基本的には最近までは、通常の実数とh_0とh_iによって表される数とを合わせたものを想定していた
から、結局、ＨＰのノートはほとんど白紙状態になってしまったに等しい。この等しいは正しい等しいなんだろうか？
ともかく、俺は今、数学が根底から分からなくなってしまった。目下、ノートのいくつかの修正やh_0シリーズの進
行を手がけているところであったが、数学というものが根底から分からなくなってしまった今、それらの作業は
中断せざるを得ない。ここでの対話も意味をなさなくなるので、最低限の返答の他は自粛することとする。
いやはや、１から出直しだ。
ogachanから「ぼくすうがくわかんなくなっちゃった」発言が聞けるとはｗ
＞ぼくすうがくわかんなくなっちゃった
「実数とは何か？とか無限小・無限大とか考えようとしてるのに、実数の構成法も
超準解析も知らないんだから 当然の結末だなｗ
>>666 工房なんてトンデモない、小川君は凄い勉強家だよ。
単に努力が実を結んでないだけｗ
へえ、勉強家がε－δ論法さえ知らないんだ。それで極限が何だの無限小が何だの ほざいてるんだ。
ただの馬鹿じゃん。
683 ：
ogachan：2006/01/23(月) 00:03:01
684 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 15:14:39
ちょっと通るクマよ・・・
∧ ∧
(´･(ｪ)･｀) くまぽっぽ
( )
v v
ぼいんっ
川
( ( ) )
ε－δ論法なんぞ知ってても
このスレの話題には歯がたたんぞこら
687 ：
277：2006/01/28(土) 20:50:45
ヘタレ メリット論者(兼「アキレスと亀」の詭弁論者)，ogachan，vipper，この次に来るのは誰だろうなｗ
おっと、某スレの277が残ってたわ。まいいや。
689 ：
ogachan：2006/01/29(日) 00:51:19
近日、新しい数学の１ページ目が公開されます。楽しみにしといて。
無限大、無限小の定義を変えました。指数にプランク時間を使うことにした。
まさしく動く数になるんだ。
有限の時間の中に無限はない。無限の時間こそが無限なのだ。実無限なんて
いう無限の未来の世界というフィクションとは決別しよう。無限という現在に
数学を構築したい。
僕はまだいるぞ。
うひょー。
しかしこの連中の発想のありきたりっぷりには、
毎度の事ながら笑えるなｗ
691 ：
ogachan：2006/01/29(日) 19:57:32
一人でやってろ。
>>692 こういう市井の数ヲタがいなくなるのも寂しいもんだぞw
いなくならないから大丈夫だろ。
695 ：
ogachan：2006/01/31(火) 00:59:00
あー、他のスレッド、あれ、４色問題のhadのスレッド読んで触発された。
証明つーか、簡単な方法を考え付いたので、近いうちにアップするや。
ムーアの地図も手塗りで小３時間で塗れるぜ。ひっひ。
696 ：
１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 22:31:40
小川、お前hadに声かけてみろよ。小川学派に入って
くれるかも知れないぞ？それとも逆に、お前が
had学派に入るのがオチか？
697 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/02(木) 20:54:01
698 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/02(木) 21:47:00
1=0.9... から思ったんだけど
1/∞=0.000...=0 じゃないの？
1を無限で割ったやつは無限小っていうみたいだけど。
数学的に0.99999............って実数なの?
極限は1になるけど = にはならない。
なんつって＾＾；
おおざっぱに言って、小数点の後ろに数字が延々とならんでいるのは数学的には実数です
701 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/05(日) 00:09:50
ﾀﾞﾚﾓｲﾅｲ･･
| ｵｯﾊﾟｲｽﾙﾅﾗ ｲﾏﾉｳﾁ
|Ａﾟ)
|⊂
|
_ ∩ おっぱい!
( ﾟ∀ﾟ)彡 おっぱい!
( ⊂彡
.| |
.し⌒Ｊ
|, ,_
|∀ﾟ)
|⊂ノ
|, ,_ ∩
|∀ﾟ) 彡 ＜ えー…
|
|
| ミ やっぱやめた
| ﾋﾟｬｯ
∥(a,b)を通るので
∥b=(^2おっぱ-い3
∥2っぱat^おっぱい！
∥おっぱい！
∥ おっぱい！
∥[□]＿＿＿＿＿＿＿
￣￣ _ _ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡
⊂ ⊂彡
（ ⌒)
c し'
704 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/06(月) 20:56:52
age
|ハ,_,ハ
|´∀｀';/^l
|u'''^u;' |
|∀ ｀ ミ ダレモイナイ・・・
| ⊂ :, モサモサ スルナラ イマノウチ
| ミ
| 彡
| ,:'
|''~''''∪
l^丶
もさもさ | '゛''"'''゛ y-―,
ミ ´ ∀ ｀ ,:'
(丶 (丶 ミ
（（ ミ ;': ハ,_,ハ
;: ミ ';´∀｀';,
`:; ,:' ｃ ｃ.ミ
U"゛'''~"＾'丶) u''゛"J
/^l
,―-y'"'~"゛´ | もさもさ
ヽ ´ ∀ ｀ ゛':
ミ .,/) 、/)
゛, "' ´''ミ ハ,_,ハ
（（ ミ ;:' ,:' ´∀｀';
'; 彡 :: っ ,っ
(/~"゛''´~"U ι''"゛''u
ハ,_,ハ,
n' ´∀｀,n,
ミ,;:. ,ッ
もさ ｀'u゛-u'
707 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/08(水) 22:32:48
あらよっと
708 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/09(木) 01:06:38
1:整数
0.9999...:循環少数
ちがうくね？
じゃあ、
1.0000・・・
は何だ？
710 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/09(木) 15:57:32
だんごと串
論理が一つ(完全とか正しさの意かな)だとしても、
それを受容する人間は、完全に「論理」的であるとはいえない。
カントが到達したした結論を持って終了する話しじゃないの？このスレって。
斜め読みなので、誤解だったら批判は甘んじて受けますが、
直感的には、数学を「理性」への近似と取るか数学自体が「理性」とするかの話なのかなあと。
あ、あとは数学も一つの公理系でしかない。この自覚の有無かな
713 ：
yuu：2006/02/11(土) 16:05:09
1=0.999...の理論が正しいのは認めてもこの式の存在を認めたくない...
この過疎っぷりじゃ次スレはいらねえな
715 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/11(土) 21:09:41
>>714 過疎っているのは、結論らしきものが出たから。
仮に、このスレが消えたら、当然何ヶ月かすると誰かが同じようなスレを立ち上げ
元の黙阿弥になるから、まあこのスレを残す意義はあるとは思う。
なんで勝手に結論出たことになってるの
小川と松本に乗っ取られて寂れたもんだとてっきり
そう思うのなら、過去ログで結論みたいな扱いされているモノに
反論しろよ。
過去スレでも7.999・・・か8.999・・・スレあたりでは過疎って停滞してたぞ
結論：小川はカス。
√3=1.73205080
3=2.99999999...
√2=1.41421356...
2=1.99999999....
√1=1
1=0.99999999...
722 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/16(木) 22:01:31
1/9
2/9
3/9
4/9
5/9
6/9
7/9
8/9
9/9
....
723 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/17(金) 04:13:53
問１「・・・」の読み方と意味を求めなさい。
724 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/17(金) 17:40:56
1=0.99999・・・
を認めるやつらは
その次に
1.00・・・っていう数字があるってことだよな？
725 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/17(金) 17:51:23
726 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/17(金) 18:01:43
どこに食いつくかで、そいつの数学のセンスがわかるね
0.99999…=Σ[k=1→∞](9*0.1^k)
これは 初項 a=0.9 , 公比 r=0.1 (r＜1) の無限等比級数なので
Σ[k=1→∞](9*0.1^k)
=a/(1-r)
=0.9/(1-0.1)
=1
∴0.99999…=1
この証明ってどっかに矛盾あるの？
728 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/17(金) 18:31:26
1≠0.99999…の証明を誰かできないのか？
1 割る 3 は 0.33333333......
0.999... 割る 3 は 0.33333333......
同じだな。
729 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/17(金) 18:46:20
talk:
>>726 Am I sensitive?
>>724 ある実数の「次」の実数とか
ある有理数の「次」の有理数なんて無い、っていうのが普通の考え方だけどね
731 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 01:38:20
深く考えずとりあえず、1 から0.99999…を引いてみる。
1 - 0.99999… = 0.00000…
差 が ０ なら 同じっす。
論理的に考えると当然同じなんだけどさ
正 直 な と こ 0 . 9 9 9 ・ ・ ・ の ほ う が
ち ょ っ と だ け 小 さ い 気 す る べ ？
その結果は0なのか？という問題にすり変わっただけだな
734 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 01:49:01
>>731 >
>1 - 0.99999… = 0.00000…
>
>差 が ０ なら 同じっす。
そんなこと学生の前で学校の先生がやったら不信感増幅して終わりだろ。
もともと信用されてないし。
735 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 02:01:23
>>733 > その結果は0なのか？という問題にすり変わっただけだな
本当は 0 ではないのかな？！
じゃ、一体いくつなんだろう？？？？？
736 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 02:09:50
0=0.000・・・
は正しいか？ってこと
737 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 08:05:14
おまいらよく考えてみろ
１●●と２△△はどっちが大きい？２△△だろ？
つまり一番でかい位が大きい方は絶対大きい
なにがいいたいかというと
1.0000...と0.9999..の最大の位は一の位そして一の位で大きいのは当然１
よって
1.0000...>0.999..
なにか？（長＆駄文スマソ）
738 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 11:51:23
>>736 > 0=0.000・・・
>は正しいか？ってこと
そうそう。それ知りたいです。
>>737 まったく同じ論法で 0=0.000・・・ が説明できるです。
「1=0.999…」が納得できない人が、同じ頭で「0=0.000・・・」は納得できるです。
結局、見た目の問題でしょうか？
739 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:05:18
>>737 お前の理論だと
1.999…=1.000…
ということだな
740 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:12:27
たとえば1/3＝1÷3=0.3333...になるよね？
でもよくかんがえてみ、そもそもモノを現実にきっちり1/3にするのは不可能だ。
つまりモノを三等分するってのは頭の中だけの出来事なわけ。
でも「そうできたと仮定してみるね」という前提で1/3という「記号」を用いる訳。
それを現実のものとして考えるから1≠0.99999と考えちゃう訳。
741 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:15:07
そんなことを言うと２等分だって不可能だ。
742 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:19:24
>>741 不可能じゃないよ
ただそこまでの技術がないだけ
でも1/3は不可能
743 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:22:36
哲学スレでやってくれ
744 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 12:28:09
元々、この問題は数学哲学みたいな分野なんじゃないのか？
日本人ってそーゆーの避けて小手先の計算論みたいなのに走るから結局いつまでも
論議が深まらない気がする…。
>>742 根拠を家。
745 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 14:38:53
>>744 君は馬鹿かね？
二分の一は割り切れるが、
三分の一は割り切れないからだろうが。
このスットコドッコイ。
746 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 14:46:48
2>1.99999･･･と0=0.00000･･･は違う問題だろ
747 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 15:00:36
>>738 >「1=0.999…」が納得できない人が、同じ頭で「0=0.000・・・」は納得できるです
これが同じに見える奴はもともと1=0.999...だとわかるだろうに
阿呆か？
748 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 16:35:54
>>747 > これが同じに見える奴はもともと1=0.999...だとわかるだろうに
「これが同じ」って、 「0=0.000・・・」の事？
全国の小学生６年生に聞いてみたらどうだろう。
ほぼ全員「0=0.000・・・」を速攻で承認すると思うど。
同じメンバーに「1=0.999...」を問う。
かなり多くの割合が速攻で否認するぞ、絶対。
0と0.000・・・が同じに見える奴が、1=0.999...だとわかってない。。。。
749 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 16:37:53
>>748 >0と0.000・・・が同じに見える奴が、1=0.999...だとわかってない。。。。
ばかだろ？
「1=0.999…」と「0=0.000・・・」
じゃねえか。。
しかも面白くもねえ。。
751 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 19:20:45
>>740,742,745
これは醜い。。
同一の阿呆か？
752 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 19:23:16
>>742 >でも1/3は不可能
1/3も1/2も概念なんだから。
うだうだ言うなぼけ。
753 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 21:50:30
1/2はどうやるの？折り紙？作図？どっちでも出来るね。
じゃあ1/3は？
1/3は’作図可能’だよ。ついでに折り紙でも1/3折れる。
754 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 21:54:17
折り紙キター！！！！！！！！！！！！！！
755 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 21:56:10
>>753 数学において1/3も1/2も1でも2でも。
それは現実とリンクできるかなんてことは関係ないんだけどね。
1/3kgを再現するのも1kgを再現するのもそう変わらない。
折り紙とか言うな情けなくなるから。
うだうだ言うなぼけ。
そもそも0.9999…なんて数字使用しねえじゃん、なんで考えてるの？馬鹿じゃないの？日常に関係しない事を議論して何の意味があんの？そんなことより明日を生きることを考えろよ！
オマエモナー
759 ：
757：2006/02/18(土) 22:13:07
うっせー！！こちとら厨房で明後日期末テストあんだよ！！そろそろ勉強しなきゃまずいのに真面目にこのスレに心ひかれたんだよ…
期末テストごときで何を言っている
こっちなんか厨3で水曜日受験があんだよ！！もう勉強しなきゃまずいのに真面目にこのスレに心ひかれたんだよ…
761 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 22:16:19
ﾂﾏﾝﾈ..本式の馬鹿
762 ：
757：2006/02/18(土) 22:17:58
心ひかれたから読んでたのに…ガッカリだよ！全然結果でねえじゃねえか！いや、正確には結果がでてるのにウジウジ言ってるだけか…じゃあもう1＝0.9999…だって言うやつは1って数字を一生使うな！！
763 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 22:19:51
>>762 >るのにウジウジ言ってるだけか…じゃあもう1＝0.9999…だって言うやつは1って数字を一生使うな！！
馬鹿。。。。w
>>762 5723985748923/5723985748923
を1だと思うなら１って数字を一生使うな！！
765 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/18(土) 22:20:57
考えてる奴と考えない奴とどっちが馬鹿かな
>>762 結果らしきものは過去ログにあるぞ。
いくら提示しても、次から次へと人が来るから、面倒で誰も出さないだけ。
多分次のスレではテンプレートになっているだろうな。
過去ログあさって、何度も結果みたいに引用されている文章を探してくれ。
768 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 00:22:58
思うに1=0.999…を認めるのならある方程式の漸近線が接線になってもいいってことにならないか…？
>>768 ならねーとおもうが・・・何でそう思うんだよ。
770 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 00:42:53
>>768 >思うに1=0.999…を認めるのならある方程式の漸近線が接線になってもいいってことにならないか…？
いつまでたっても接しないけど
無限大では同化すると。。
771 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 02:01:05
>>769 例えばy=1の方程式があるとして
漸近線が限りなくy=１に近付くとすると
漸近線の存在意義は？
772 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 02:02:20
cos π/4 って √2/2 ですか？それとも 1/√2 ですか？
774 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 02:05:41
>>773 >を…折り紙をバカにしやがったな…！
うっひゃはやいおいえあqwせdrftgyふじこlp；
0.999…＋0.000…＝
1.000…＋0.000…＝
1＋0.000…＝
の答えはどう表記するべきでしょうか？
上の方で言われてるアルキメデスの公理がなければ、
無限小とかを認めてもいいんだよな。
(1) Kは順序体である(従って有理数体Qを含む)
(2) Kはアルキメデスの公理を満たさない、つまり無限小元を含む、
つまりあるX∈Kは任意の正の有理数rについて0<X<rを満たす
この(1)(2)を満たすKは存在する。
例えば有理数体Qと無関係な記号Xを取ってきて、Xの有理数係数の有理式の全体Q(X)をKとし、
Xと正の有理数の間の順序を(2)で入れて、
この順序を体の算法と両立するようにK全体に拡張すればOK。
厳密には、多項式環Q[X]=Q+QX+QX^2+…をQ×Q×Q×…と見なして
Q[X]に辞書式順序を入れると、Q[X]は(2)を満たす順序環になる。
順序環は整域であって、その商体は自然に順序体になるから、K=Q(X)は順序体。
しかも(1)(2)を満たすKはこのQ(X)を部分順序体として含む。
つまり(1)(2)を満たすKの中でQ(X)は最小。
1≠0.999…派が「1-0.999…は無限小だ」と主張してきたら、
X=1-0.999…とおけば、そいつの考える実数体Rは上のQ(X)を含んでるとみていいと思う。
小川の「0.999…=1-h0でh0は無限小」とかいうのも同じように扱える。
無理があるし、こんなものを考えて何になるんだと思うけど、
以上1≠0.999…派を相手にする人達へ参考までに。
777 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 14:41:14
>>776 >以上1≠0.999…派を相手にする人達へ参考までに。
おまえ馬鹿？
1≠0.999…派なんていないだろ？
1.0000000・・・
0.9999999・・・
似て非なる数字じゃないのか？
なんで？
780 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 15:20:36
>>778 >似て非なる数字じゃないのか？
似て非なる数字だけど同じ値
そもそも似てないと思うが。
見た目からして全く違う数字だが、数としては同じｊ。
782 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 15:25:51
あそっか
似ず非なる数字でも同じ値
784 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 16:08:37
1+1=1.999･･･と書いても、正解になるんでしょうか？
1.0000000・・・・・・
と
0.9999999・・・・・・
って
数量はこれ以上無い位に近いけど、
同じではないと思うんだけどなぁ
786 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 16:19:51
>>785 >同じではないと思うんだけどなぁ
その感覚を大事にしよう。
787 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 16:25:50
いこうぜ！ピリオドの向うへ
788 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 16:48:03
ピリオド？？「．」はポイントじゃないのか？
789 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 16:56:45
コンマだろ？
790 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 19:04:59
3分の1=0.3333････ 両辺に3をかけると
1=0.9999････
792 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 19:56:31
9分の1＝0.11111・・・
両辺に9を掛ける
1＝0.99999・・・
793 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 20:06:58
792
おまいマジで天才だな。
794 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 20:31:27
0.999…＝1 はおかしい感じがするが、もし0.999…＜1だとすると、x＝(1＋0.999…)/2と置くことで
0.999…＜x＜1が成り立ってしまい、これまたおかしい感じがする。
y=(x+1)/2
0.999....<x<y<1
796 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 20:41:03
変にイジルな！
処女の様に扱え
797 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 20:46:40
0.9999････=0.9+0.09+0.009+0.0009+････
これを、初項0.9、公比0.1の無限級数と考えて
公式 Ｓ=＿ａ＿
１―ｒ
(初項ａ、公比ｒ)に代入すると
Ｓ=＿0.9＿
１―0.1
＝＿0.9＿
0.9
＝１
【はじめの項を初項、上の倍々していくｒを公比という。】
798 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/19(日) 21:02:26
1≠0.999999だろ？
1÷3が割りきれない時点で≠0.333333だからって考え方は駄目？
１－１÷∞＝0.999…
ってのは間違ってますか？
>>799 1分の∞＝1.999999・・・ になったりする？
≠派の人に聞きたいんですが
1+0.999999.........を2で割るとどうなるんですか？
0.999…無限個…5 だろ、たぶん (w
>>800 > 1分の∞＝1.999999・・・ になったりする？
意味が分からないのですが・・・。
１÷∞の答えは、
0.000…
0.000…1
のどちらかではないのでしょうか？
∞は実数ではないし
R∪{∞}は体にならないので
きちんと演算の法則を定めないとなんとも言えないかと
806 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 10:43:19
807 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 09:43:51
∞は記号またいなもんだろ？
808 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 14:47:59
809 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 16:20:58
このスレ
～～～終了～～～
810 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 16:49:24
俺の担任（国立大出の高校教師）は1＝0.99999・・・は成り立たないって言ってたよ
非数学科の人ならそういう人もいるかもね。
812 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 20:27:18
その先生はなぜ成り立たないって説明してたの？
成り立たないから成り立たない、でおしまい？
教育委員会に通報したほうがキミのためじゃない？
815 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 22:14:00
数学科出身じゃないならそんなもんだろ？w
816 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 23:04:30
まず、数学の教師なのかよ？
数学科出身で高校の数学教師で、か…
自分数学科じゃないからその辺りの事情はよく知らないんだけど、
大学の数学系学科でεδとか実数の構成とかをやらないところもあるの？
習ったかどうかってレベルじゃなくて教師としてこれはダメだろ
819 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 10:32:26
>>812をよく嫁。数学科なんて書いてないだろ？w
820 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 12:24:00
１／３＝０．３３３．．．
両辺を３倍して
１＝０．９９９．．．
---終了---
821 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 12:26:14
中学の頃カッコいいと思って
怪我もして無いのに腕に包帯巻いて、突然腕を押さえて
「っぐわ！・・・くそ！・・・また暴れだしやがった・・・」とか言いながら息をを荒げて
「奴等がまた近づいて来たみたいだな・・・」なんて言ってた
クラスメイトに「何してんの？」と聞かれると
「っふ・・・・邪気眼（自分で作った設定で俺の持ってる第三の目）を持たぬ者にはわからんだろう・・・」
と言いながら人気の無いところに消えていく
テスト中、静まり返った教室の中で「うっ・・・こんな時にまで・・・しつこい奴等だ」
と言って教室飛び出した時のこと思い返すと死にたくなる
柔道の授業で試合してて腕を痛そうに押さえ相手に
「が・・・あ・・・離れろ・・・死にたくなかったら早く俺から離れろ！！」
とかもやった体育の先生も俺がどういう生徒が知ってたらしくその試合はノーコンテストで終了
毎日こんな感じだった
でもやっぱりそんな痛いキャラだとヤンキーグループに
「邪気眼見せろよ！邪気眼！」とか言われても
「・・・ふん・・・小うるさい奴等だ・・・失せな」とか言ってヤンキー逆上させて
スリーパーホールドくらったりしてた、そういう時は何時も腕を痛がる動作で
「貴様ら・・・許さん・・・」って一瞬何かが取り付いたふりして
「っは・・・し、静まれ・・・俺の腕よ・・・怒りを静めろ！！」と言って腕を思いっきり押さえてた
そうやって時間稼ぎして休み時間が終わるのを待った
授業と授業の間の短い休み時間ならともかく、昼休みに絡まれると悪夢だった
822 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/22(水) 15:48:35
talk:
>>821 まさか、てんかんではないだろうな？
0.999… と 0.999…9 は違うのでしょうか？
1＝0.999…＞0.999…9 なのでしょうか？
0.999…9って何っていうね
違うんです、最後の9の前には無限個の数があるんです
って絶対言うと思うなあ。。
無限ヤバイ！
829 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 11:26:26
>>826 >って絶対言うと思うなあ。。
lim[{Σf(n)}+{1/10^n}]
830 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 13:33:00
831 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/23(木) 15:02:16
talk:
>>830 てんかんはもっと厄介な病気だ。
832 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 15:46:08
よくいるよな反論できなくなるとｗと書く奴
834 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/23(木) 15:49:36
talk:
>>833 そのレスの存在理由が分からないのだが。
talk:
>>834 kingののレスのraison d'etreが分からないのだが。
836 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/02/23(木) 19:03:01
talk:
>>833 お前の存在理由が分からないのだが。
>>836 それはお前の理解力が無いからと思われる
838 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/02/23(木) 19:13:53
talk:
>>837 832を理解できないのなら死ぬ事も選択肢の一部ではある
おなじひと？
>>835 関係ないけど、"raison"のフランス人による美しい発音を久々に聞きたくなった
あれを美しいと感じるかどうかは人さまざまかと
842 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/24(金) 06:34:51
talk:
>>835 お前に何が分かるというのか？
talk:
>>838 ｗｗ から何が分かるというのか？
843 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/24(金) 06:35:25
ところで、フランス語を習っている人は世界にはどれくらい居るの？
7億人ぐらいじゃね？
845 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 16:42:39
7億1人。俺を数え忘れるな。
846 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 16:53:07
>>845 >7億1人。俺を数え忘れるな。
そんなこというと14億になっちまうじゃねえか？
阿呆たれ
847 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/02/26(日) 16:53:41
848 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 17:49:27
>>845 ちょっと待て。俺はフランス語習ってないんだから勝手に数えないでくれ。
これでいい？
>>846
849 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 18:10:59
混乱してるな。すまんがフランス語習ってるヤツは一列に並んでくれないかな？俺が今から数えるから。
850 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 19:10:04
>>849 フランス語で言ってくれないとわからないかもしれんぞ
851 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 19:28:44
習いたてなら逆にわからんと思うぞ
853 ：
１３２人目の素数さん：2006/02/26(日) 19:52:56
昔は習ったし、使った。
今は習っていないが、結構イケル。
オレも数える？
un deux trois …
1=0.999999…ってことは0.999999…は数直線上に存在しないってこと?
じゃあ、それと「＝」である1もまた数直線上に存在しないことになるな。
書きかた悪かったかな
1と同じ点に0.9999…が存在するってことよね?
1も0.9999…も2/2も同じ点
859 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 12:16:29
でもさ0.99999999…8は一つの点としてあるのにへんな感じ
>>859 なんで無限の彼方にさらに８という数字があるんだ？
864 ：
864：2006/03/01(水) 21:01:47
8=√(64)
>>859 こういう「0.999…は0.99…(間に9が無限個)…9(←止まる)」とかの類を言う奴は、
円周率3.141592…は最後に何の数字で止まるって言うんだろうな
円周率の最後の数字は0って読んだことある
868 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 21:13:23
age
869 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 21:19:56
0.999999…+0.999999…=1.999999…8
になるのはどうなの？
1.999999…8+0.999999…=2.999999…7
どうなの？
0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999………
1でよくね？
ﾑﾑﾑ←ｺﾚ逆さにするとｽﾘｰｾﾌﾞﾝに見えね？
>>869 1.999999…8←この8は『何桁目』？
871 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 21:28:27
>870
だからこそ0.999…=1だろうという話
872 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/03/03(金) 02:00:14
>>866 そういうときはこう質問するんだ。
「じゃあ、最後の一個手前の数字は何？」
>>873 想定し得る謎回答としては
「直前の数は無い（ωとかの極限順序数みたいな）」
あるいは
「3.141592…(間に無限個)…000000」
くらいか。
875 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/03/04(土) 09:27:54
>>873 こんな回答もあるかもね。
割り切れる数字なんだけど。
まだ計算しきれてない。
これなら割り切れないことを示してあげればいいだけ。
19世紀ぐらいだっけ？
割り切れないてことわかったの？
876 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/04(土) 09:45:47
>>864 そういうときは、「0.999…9(←止まる)」という数についての考察は一旦やめさせて、かわりに「0.999…0(←止まる)」
という数について考察させる。この数なら、1になることを認めざるを得ない。なぜなら、相手が前者のような変な数に
こだわる理由は「1－0.999…9＝0.000…1≠0」という計算をやってるから。しかし後者の数の場合は「1－0.999…0＝
0.000…0＝0」となって完璧に1になる。
マテよ、今度は「1－0.999…0は計算できない」とか言われそうだな('A`)
「直前の数は無い」という考え方の理不尽さを指摘した方がいいかも。
直前の数が無いのであれば、「0.000…1＋0.000…9」はどうやって計算するのか？
とか。
880 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/04(土) 15:39:53
今、新しい数学の誕生が始まっているなんて、本当に奇跡ですね…
1.23...
883 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/07(火) 18:16:36
結局、簡単な説明は出来なかったってことか。
3*0.333…みたいな納得する人しない人がいる簡単な説明ならあるけど、
いろんな人に対応できる簡単な説明なんて存在しねーべ。
1=0.99999…はそんぐらい深い話ってこった。
886 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/07(火) 20:00:36
なんで納得できない人がいるんだろう。
初項0.9公比0.1の無限等比級数の和だから
0.999…=1であることは理屈の上では明らかだし、
0.9999999999999<1だが、
9が無限にどこまでもとどまることなく続くと
=1になるということが、感覚的にピンと来ないか？
9がどこかで止まったら
<1だけど、どこまでも止まらずに続くんだから。
1=0.99999…の簡単な説明を作るスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139405332/982 982
>>969 sage 2006/03/06(月) 23:28:15
>>973 >xを1に限りなく近づける≠1に限りなく近いxってことね
すこし考えてみたのですが、1 に限りなく近い x は存在するのでしょうか？
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
１） x を 1 に限りなく近づければ、いつかは 1 に限りなく近い x に辿り着くような気がする。
２） x と 1 の間に、まだ数字が挟まっているような気がする。
３） 1 に限りなく近い x は存在するの？ <--- 今ここ
>>984 >xと1の等分点(x+1)/2を考えると、これはxよりも1に近い
それなら、x を 1 に限りなく近づけるとは、 x と 1 の間に等分点が存在する状態
と言っても良いのでしょうか？
一方で、1 に限りなく近い x とは、 x と 1 の間に等分点が存在しない状態
と言っても良いのでしょうか？
1/3=0.333…
0.333…×3=(0.3+0.03+0.003+…)×3
=0.9+0.09+0.009+…
=0.999…
したがって、1=0.999…
>>887 >y=1/xが与えられているとき、
>x=0 のとき、不能
>x→0のとき、y→∞
これ間違い。
x→0のときは発散。
x→+0のときは、y→∞
x→-0のときは、y→-∞
>>973 >xを1に限りなく近づける≠1に限りなく近いxってことね
これを、もう少し考えてみました。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
x と 1 の間に等分点が存在する状態とは、x と 1 の間に距離がある状態、
x と 1 の差をとったとき、大きさがゼロではない状態、すなわち
｜1-x｜>0
x と 1 の間に等分点が存在しない状態とは、x と 1 の間に距離がない状態、
x と 1 の差をとったとき、大きさがゼロの状態、すなわち
｜1-x｜=0
つまり、1 に限りなく近い数 0.999･･･ とは、1 との間に等分点を持たない数、
すなわち ｜1-x｜=0 が成り立つような数 x ということでしょうか？
>>894 絶対値記号 | a | の定義（aの正負で場合分け）を思い出せ。
| 1 - x | = 0 ⇔ 1 - x = 0 ⇔ x = 1
>>891 x→0のとき
x/2 を考えると ｘ より 0 に近いけどそれはOKなの？
1 に限りなく近い数 0.999･･･ を x とおく。
x = 0.999･･･ (1)
1 に限りなく近い数 x とは、1 との間に等分点を持たない数、
すなわち、1 との距離がゼロである数である。
｜1-x｜= 0 (2)
(1)、(2)により、
1 = 0.999･･･
が成り立つ。
「1 に限りなく近い数 0.999･･･ を」って前提で、話の99.9999999％位は終わってるな。
899 ：
ChildLeaves ◆6FNJsOwhDg ：2006/03/09(木) 20:46:24
1 に限りなく近い数 0.999･･･ を x とおく。
あそっかx=1だ！
900 ：
水チップ☆：2006/03/09(木) 21:36:15
１２進法で１＝０、９９９９９・・を証明してみる。
１／３＝１、２／３＝０、４
１２進法に変えれば割りきれる。
ダメ出しされたので、もう少し考えてみました。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
n = 1 のとき、1 との差を 1/10 とすると、0.9
n = 2 のとき、1 との差を 1/100 とすると、0.99
n = 3 のとき、1 との差を 1/1000 とすると、0.999
･･･
n = N のとき、1 との差を 1/10^N とすると、小数点以下 N 桁まで 9 が並ぶ。
･･･
n = ∞とき、 1 との差を 1/10^∞ とすると、小数点以下限りなく 9 が並ぶ。
1 との差が 0 に十分近い数とすると、1 に十分近い数が得られる。
1 との差が 0 に限りなく近い数とすると、1 に限りなく近い数が得られる。
1 との差が 0 とすると、1 が得られる。 <--- 今ここ
> n = ∞とき、 1 との差を 1/10^∞ とすると、小数点以下限りなく 9 が並ぶ。
∞って記号をそんなに軽々しく使うんじゃない
903 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/09(木) 22:12:56
>>900 >１２進法に変えれば割りきれる。
じゃ。
12進法で12進法のときの0.99999999....=1を証明しておくれ
>>903 900じゃないが、12進法だったら0.99999...≠1なので証明不可能だろ
10進法の10と11を、12進法でAとBと表すとき、
1=0.BBBB・・・
を示せ、だな。
>>901 なんかそれって全部、記号＝絵の話じゃね？
「小数点以下限りなく 9 が並ぶ」ってのは「すげー長い紙の上に、
9という文字がずらずら無限に続いている絵（記号）」についての話だろう？
数の話じゃないじゃん。
907 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/09(木) 22:21:39
>>904 >900じゃないが、12進法だったら0.99999...≠1なので証明不可能だろ
あそっか
0.AAAAAAAAAAAA.....=1
をだね。。
908 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/09(木) 22:23:09
0.BBBBBBBBBB..だった。。。
１２進法で無理やり書いてみました
0.⑪⑪⑪⑪⑪⑪⑪⑪...
>>901 あなたはまずε－δ論法の勉強から始めて、実数の構成法をイチから(自然数の構成から)
理解する必要がある。あと論理学とかも。これをせずに、0.999…なんかをこれ以上「自分で」
考えても時間の無駄。
911 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/10(金) 00:07:18
実数なんか持ち出す必要無い。
有理数を小数表記する時に循環小数を導入する。小学校でやったはず。
これを認めるなら、1=0.999…は必然。
913 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/10(金) 00:23:26
>>912 あんた正しいし
>>910ほど馬鹿じゃない。
でもこんな糞スレに出てきた時点で
みんな糞。
>>913 悪口にほかの人間は出来るだけ巻き込まない方向で行こうじゃないか。
＞有理数を小数表記する時に循環小数を導入する。小学校でやったはず。
だから「分数から縦書きの割り算で作った循環小数」については問題なし。
けど0.999…はどんな分数を縦書き割り算しても出てこない。
>>565みたいな指導要領を超えるテクニカルな事をしない限り。
だからそのままでは小中学生にとって0.999…は正体不明。
916 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/10(金) 14:27:57
>>915 え？
1/3+1/3+1/3=1
そんなにテクニカル？
さらにダメ出しされたので、考え方を変えてみました。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
n = 1 のとき、1 との差を 1/10 とすると、0.9
n = 2 のとき、1 との差を 1/100 とすると、0.99
n = 3 のとき、1 との差を 1/1000 とすると、0.999
･･･
n = N のとき、1 との差を 1/10^N とすると、
小数点以下 N 桁まで 9 が並ぶ数 0.999･･･9
n が大きくなればなるほど、差は小さくなる。
どんなに大きな N を考えても、差はある。
どんなに小さな差に対しても、有限の桁で表される数がある。
差があるならば、有限の桁である。
どんなに小さな差に対しても、有限の桁で表される数がある。
差があるならば、有限の桁である。
|1-x| > 0 ===> x = 0.999･･･9
このとき対偶を取ると、次のことが言える。
有限の桁でなければ、差はない。
x = 0.999･･･ ===> |1-x| = 0
差が無ければ同じ数であるから、
1 = 0.999･･･
電波の素質を感知しましたAA略
長年このスレを見た限りでは、説明方法として
3倍
方程式
無限級数
3進数
くらいで手詰まりな気がす
922 ：
912：2006/03/10(金) 23:38:30
>>915 1/1で出せる。
（俺は循環部分に傍点を打つ表記を習った気がするが、以下では[]でくくることにする）
1/3=0.[3]、1/7=0.[142857]を認めるならば、1/1=0.[9]も認めなければならない。
923 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 05:09:42
1=0.88888888888888888888...........
925 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 13:12:41
1/1=1
1/1の縦書き割り算で1桁目に0を書くド低脳のいるスレはここですか
ここです。
そして、低能な奴ほど人を低能呼ばわりする現象が多発してるのもこのスレです
928 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 15:31:27
>>923 小数表記について「テクニカル」って言ってるのに
分数の計算式だけ書いてどうするんだよ？
929 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 16:10:38
930 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 16:24:02
> 0.999…はどんな分数を縦書き割り算しても出てこない。
>
>>565みたいな指導要領を超えるテクニカルな事をしない限り。
で、
> 1/3+1/3+1/3=1
> そんなにテクニカル？
で、これで0.999・・・が出てくるのか？
>>926 うおぉ。
それだと分かりやすく説明できるな。
1/1の縦書きで一桁目に０書いたら０．９９９・・・になるな
>>930 >で、これで0.999・・・が出てくるのか？
1/3=0.3333....
>>930 >> 1/3+1/3+1/3=1
>> そんなにテクニカル？
>
>で、これで0.999・・・が出てくるのか？
有理数と循環小数の定義からいうとそれでいいんじゃないの
934 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 16:55:36
「分数を縦書き割り算して」ってレベルの話してるんだから、
分数だけ書いても小数の説明にはならないだろ
935 ：
水チップ☆：2006/03/11(土) 17:17:17
1/3×3=(0.3+0.03+0.003+・・・)×3
1=0.9999999・・・
↑の式について、循環小数に自然数をかけても
成立するのだろうかという疑問がでてきます。
↑の式で成立すると思っている方は、
循環小数と自然数を一緒にしているのではないでしょうか？
みなさまの意見をお待ちしております。
>>935 だからあ…。
無限小数の各種の演算は、無限小数を「都合良く」定義する際に、同時に演算も
「都合良く」定義するだけの話だよ。
こんなの、数学では常套手段だろ？
937 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/11(土) 18:21:46
>>639 もっと落ち着いて、正しい日本語または
正しい２ちゃんねる語で書き込みましょう。
数学の味方としては
本来は初等教育に携わる教師達を味方に付けないといけない。
数学の定義は、現実をよくシミュレートできるとか、他の現象を説明・解析できるとか、
より一般的で抽象的なモノを扱えるとかの目的で「都合良く」行われる。そこに、矛盾
がなければどのような定義も自由。（過去の定義とかと混乱するようだとチトまずい？）
０．９９９９…の問題でも、無限小数や無限小数の演算を「都合良く」定義し、そしてそこに
矛盾がなければ全てＯＫ。
1/3=0.3333333333..........
2/3=0.6666666666..........
3/3=1
1/3+1/3=0.3333333333..........+0.3333333333..........=2/3
1/3+1/3+1/3=0.3333333333..........+0.3333333333..........+0.3333333333..........=1
2/3+1/3=0.6666666666..........+0.3333333333..........=1
0.9999999999..........=0.9999999999..........
0.000･･･ = ■ ÷ 9
0.111･･･ = 1 ÷ 9
0.222･･･ = 2 ÷ 9
0.333･･･ = 3 ÷ 9
0.444･･･ = 4 ÷ 9
0.555･･･ = 5 ÷ 9
0.666･･･ = 6 ÷ 9
0.777･･･ = 7 ÷ 9
0.888･･･ = 8 ÷ 9
0.999･･･ = ■ ÷ 9
1.111･･･ = 10 ÷ 9
1.222･･･ = 11 ÷ 9
1.333･･･ = 12 ÷ 9
とりあえず
>>936と
>>938は「0.999…≠1じゃないの？」と言う人が何を疑問に思っているのか理解していない。
>>941 別に数学は「１≠０．９９９９…」でも良いのさ。でも普通は「１＝０．９９９９…」となるように
各種の定義を行う。なぜなら、その方が「都合がよい」からだ。どのように「都合が良い」
のか具体的に列挙するかい？
で、都合が良いからそのように定義するし、その後は
>>936,938の話に繋がる。
>>941 じゃ
おまえがそれを説明してみろてすっとこどっこい
>>943 それで納得するんなら、それでもいいかもな。反対はしない。
>>942 その説明じゃダメ。都合の良し悪しの前に、0.999…≠1だと思っている人は0.999…＝1が成り立つような定義に
納得しない。たとえば、普通は「0.a1a2a3…」という記号の定義はΣ[i＝1～∞]ai/10^iだから、この定義のもと
0.999…＝1になるわけだけど、0.999…≠1だと思っている人は「左辺の0.999…は右辺の1とは違う数であって、
イコールでは結べない」と言って来る。こういう人は、「1」とか「33」のような記号を「数そのものだ」と
認識しちゃってるわけで、その認識を直してやらないうちに「これは定義だ」とか「都合がよいから」とか言っても
理解されない。
>>946 そういうヒトには、「じゃなんで君は 分数の ２／２＝３／３ を納得したんだ？それとも
違う数だと主張するのか？」と聞くな。表記が違っても同じ数ってのは小学校からずっと
取り扱って来たはずだと認識させるだけ。
>>947 そこがちゃんと理解されるかが問題。「2/2とか3/3は1と同じだけど0.999…とは違う」なんて回答が返ってくる。
たとえば、「犬」という記号を見て、これを「犬そのものだ」と思う人はいない。「犬」は犬を意味する記号で
あって、「犬そのもの」ではない。でも数字になると話は変わる。数学に無縁な人のほとんどは、「1」とか「2」を
「数そのものだ」と思っているはず。「犬」の場合は、本物の犬(＝実体)を誰でも見たことがあるから、記号と
その記号が表す実体を混同することは無いけど、数字の場合は、集合とその同値類を使って実数を構成していく
サマを見ない限りは、実体にお目にかかることが出来ない。そして、そうやって実体を知らない人にとっては、
1とかn/nとか0.999…という記号そのものが数であり、小学校時代の刷り込みによって、「n/n」という分数は
(表記は違うのだけど)1と同じ数であり、でも0.999…は1とは違う数だと思ってしまっている。
>>947 あと、0.999…≠1派を納得させるには、
「いかに0.999…＝1という定義がキレイで都合が良い定義か」よりも
「いかに0.999…≠1という定義がギクシャクして使いモノにならない定義か」を
言った方が効果的だと思う。
>>948 ＞「2/2とか3/3は1と同じだけど0.999…とは違う」
こいつを主張するようなら、その根拠を聞いて対応するなあ。確かに手間はかかるが、いずれ
にせよ、この問題は一気に誰にも分かるような説明はできんのだしね。
>1とかn/nとか0.999…という記号そのものが数であり、小学校時代の刷り込みによって、
>「n/n」という分数は(表記は違うのだけど)1と同じ数であり、でも0.999…は1とは違う数だ
>と思ってしまっている。
その小学校の「刷り込み」とやらの「根拠」をしっかり聞いて対応するだけだなあ。「小学校で
習ったから」なんて答えは、ふつーしないだろ？だったら相手も考えるはずだ。
>>949 「１≠０．９９９９…」という定義が使い物にならないってコト？うーん。そんな具体例あったら、
教えて欲しいな。なかなか難しいと思うぞ。
951 ：
１３２人目の素数さん：2006/03/12(日) 01:29:24
それこそ、(1/3)×3の計算結果が２通りあって困るだろ
>>951 そうだよなｗ でも、「無限小数などあり得ない」とか「小数では近似値でしか計算できない」
なんて言い出す輩が無限増殖しそうだ。
>>952 知ろうとする人間と
考えようとする人間と
反発しようとする人間と
からかおうとする人間と
いろいろいるからね。
>>946 ならば、ダメじゃない説明など存在しないだろうな。
およそどんな上手い説明をしても、間違ったことを頑なに信じ込み続ける奴は存在するだろう。
955 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/12(日) 08:52:42
0.999… をlim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))と言うと、
そのようにする根拠はどこにあるのかという問題が残る。
956 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/12(日) 08:55:30
別に、0.9, 0.998, 0.997, 0.9996, … という数列の極限にしてもいいのだ。
0.999…の意味を考え直さないといけないだろう。
957 ：
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/12(日) 08:57:52
数列をちょっと変化させても、極限はlim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))となるわけだが。
0.999…という表記の仕方は意外に厄介なものだ。
>>950 相手が自発的に考えてくれて「そうか！1とか2は、数を表す記号にすぎなくて、数そのものじゃ
ないんだ」という境地に達してくれればいいんだけどね。数の実体を見たことが無い人がこの境地に
辿り着くのは至難の技。彼らにとっては、「本物の犬」を指差されて「これは本物の犬でなく、犬を表す
記号にすぎない」と指摘されるようなものだから。そんなこと言われたら「嘘つけ。誰がどう見ても、これは
本物の犬だろうが」と考え、それ以上の思考ができない。
n/nと1と0.999…の関係についても同様。彼らにとっては、1や0.999…は2匹の本物の犬A，Bであり、n/nは本物の
犬Aの「あだ名」に過ぎない。n/nはAのあだ名であって、Bのあだ名ではない。実は「あだ名」と言った時点で、
少なくともn/nという記号は「数を表す記号にすぎない」と(無意識のうちに)認識してることになるのだが、n/nに
対してこの認識ができているのは、1とか2を「実体」として見ていて、実体⇔それを表す記号 という構図が頭の
中に出来ているから。我々の目標は「実は1や2も数を表す記号にすぎない」と認識の幅を広げてやることだが、
難しい。なぜなら、彼らにとっては1や2が実体であり、これらも「それは記号にすぎない」などと言われてしまうと、
彼らは実体を失う。実体⇔それを表す記号 という構図が崩れる。すると「嘘つけ。どう見てもこれ(1とか2とか)は
本物の犬だろうが」と考えてしまい、思考がストップする。あるいは、1や2が記号にすぎないことを認めた上で「じゃあ
数って何よ？」という新たな議論(もう実数を構成するしかないｗ)が始まってしまう。
>>950 一例)0.999…≠1とすると0.999…＜1となるから、x＝(1＋0.999…)/2とおくと0.999…＜x＜1となる。
そこで、xを無限小数展開してやると、xもまた0.999…と表されてしまい、もはや0.999…という記号の
定める数は一意に定まらなくなる。相手が1＋0.999…＝1.999…という計算を認めている場合は(1.999…)÷2
を計算させてもよい。これへの反論としては「0.999…9(←止まる)」が挙げられるが、こういう、∞桁目を
仮定して表記することもまたギクシャクしていることが説明できる。
>>958 んー。２／２や３／３を提示して、それらと完全に一致する別の表記の数が存在することと、
０．９９９９…もその類の数ではないかってコトを臭わせると良いと思うんだけどね。
>>959 そういうヒトは、「そもそも無限小数が存在しない」とか「存在しても演算が終了しないから、
演算できない」なんて言い出すんだよ。「小数は近似値しか表せない」とかね。（経験済み）
だからこの点で、オレは「無限小数を採用するメリット」で攻めた方が良いと思っている。
＞０．９９９９…もその類の数ではないかってコトを臭わせる
うん。つまり「実は1や2も数を表す記号にすぎない」と認識の幅を広げてやることになるわけだけど、
彼らにとって「0.999…」は本物の犬であって、それを指差されて「これは本物の犬ではない」と言わ
れても釈然としない。まず、そんなことを認めてしまうと、彼らは実体を失ってしまう。たとえ認めて
くれたとしても、実体を失った彼らが真っ先に行うのは「失った実体の埋め合わせをする」こと。
すなわち「じゃあ数って何なのよ？」という疑問を投げかけてくる。こうなると実数の構成から説明
しなくちゃならない。
＞そもそも無限小数が存在しない
そういう人はまた別の話になるなあ。このスレは「0.999…という数の存在は認めるけど1とは違う」と
いう人への説明を考えていると思ってたのだが。
＞存在しても演算が終了しないから、演算できない
そういう人にはε－δ論法で0.999…の値を評価して1≦0.999…を示すとか。0.999…そのものには手を
加えないから、計算云々の反論は出来ない。まあ、今度は「無限小が～」とか言ってくるんだろうけど。
でも、こういう類の人に「メリットがあるから採用する」とか言っても納得してもらえないと思うんだけど。
結局、気持ち悪がって無限小数を使いたがらないはず。メリットで攻めることの限界は、数学の歴史で見ても
分かる。負の数しかり、虚数iしかり。虚数の場合は、3次方程式の解の公式に絶対に出て来ちゃったり、計算に
用いるとかなり便利だったりして「メリット満載」なわけだが、でも みんな使いたがらなかった。ガウスが登場
して、虚数iの「実体」を明示して初めて、認められていった。
>>961 ０．９９９９…の実体がない＝存在しないってヒトもいるって話です。「実体がない」状態でも別に困らないか
ら当然埋め合わせの必要性もないですね。
実数の構成も良いんだけど、それこそ素人には取って付けた説明な気がますますすると思うんだけどね。
実際、あれは実数＝連続ってコトをデテキント切断とかコーシー列とかの手練手管を使って説明する手法
でしょ？しかも、それらの「前提」は疑っちゃいかん…と。 そもそもその必要性を感じないヒトには全く受け
入れられないんじゃないのかな？ε－δ論法もそれら前提がないと使えないんじゃないの？
ま、ガウスの話は総合的にメリットあるって認識されたってコトで。
＞０．９９９９…の実体がない＝存在しないってヒトもいるって話です。
そういう人は、そもそもこのスレ的に論外。このスレは「0.999…という数の存在は認めるけど、
でも1とは違う」という人が対象だと思うが。まあ、「0.999…は存在しない」という人についても
考えてもいいけど、そういう類の人は、今回の議論と一緒にしてはいけない。今回の話から切り離して、
別の議論をしなければならない。とりあえず今は、「0.999…という数の存在は認めている」人を
対象とした議論をしているんだよ。
＞ま、ガウスの話は総合的にメリットあるって認識されたってコトで。
合ってるけど間違ってる。ガウスよりずっと前から、既に「メリットがある」と認識されている。
だが、気持ち悪がってみんな使いたがらなかった。これがメリットによる論法の限界。それに
対し、ガウスがやったのはメリットの論法ではない。更なるメリットを提示したわけでは無い。
ガウスがやったのは、みんなの抱く「気持ち悪さ」を排除したということ。つまり、虚数の
「実体」を明示したことにより、「ああ、このiという概念は使っても大丈夫なんだな」と
みんなに納得させた。メリットの論法では、無限小数を使うことによる「便利さ」について
話すことはできても、「無限小数という概念を使っても平気なのか？」という抵抗感は除けない。
「気持ち悪さ」の排除ができない。そして、0.999…≠1派が求めている根本的な部分はこっちのはず。
つまり、メリットの論法は根本的な解決にならない。
>>963 現実に存在するヒトを論外と言って切り捨てるのはいかがなものかｗ
だからこそ、メリットを論じようって話なんだけどね。
ガウスの時も、表面的にはそう見えるやもしれないけど、オレは数学者たちが
よってたかってなにやら哲学的論争して有効性と必要性を確認したんだと思うぞ。
で、昔はメリットで定義することへの躊躇があったんだけど、メリットあったら定義
として採用してよし！となった…で良いのでは？
>>964 いや、そういう人を対象にしてもいいけど、でも今回の議論とは切り離して別の議論が必要だ、
と言ってるんだけど。書き方が悪かったな。
[1]「0.999…という数の存在は認めるけど、でも1とは違う」という人を対象にした場合
[2]「0.999…なんて数は存在しない」という人を対象にした場合
この2種類の人々について、どう説明を果たせばよいのかを考えているわけだな。
[1]の人の場合：
メリット(＝そう定義した方が都合が良い)の説明は後回し。なぜなら、この説明は「定義の
問題にすぎないんだぞ」という説明だから。この説明を納得するには、まず「1や2は数そのもの
ではなく、数を表す記号にすぎない」ということを理解しなければならない。従って、こっちを
説明するのが先。だが、これを突き詰めていくと「数って何よ？」という議論になってくる(そう
ならずに納得しちゃう人もいるだろうけど)。
[2]の人の場合：
やはりメリットの説明は後回し。存在そのものを否定する人間に、「存在を仮定するとホラ、こんなに
便利！」と言ったところで納得してもらえないから。「なるほど、存在を仮定すれば確かに便利かも。でもさ、
それは存在を仮定したときの話であって、実際はどうなの？存在するの？存在しなかったら意味ないじゃん」と
反論される。気持ち悪がられて、無限小数を使ってもらえない。ガウスのように、無限小数の「実体」を明示
する必要がある。つまり、実数を構成して見せなければならない。だが、素人にそんなの見せてもたぶん理解
されない。
ま、確かにメリットは後回しでも良いかもね。根本にそれが厳然として存在することは事実だけど。
[1]は２／２や３／３の例を「小学校で習ったから」ではなく、なぜ同じ数として扱えるかとことん
論議すればＯＫなんじゃないのか？いずれにせよ、時間はかかる。
[2]はオレはガウスのヤツも総合的メリットだと思っているからなあ。数学で「存在する」っての
をこれまた哲学的にとことん論議するしかないんじゃないのか？冷やかしなら途中で脱落す
るだろうしね。ガウスはガウス平面で存在を示したけど、「その数に対応したトコを視覚で捕ら
えられる＝存在する」なのか？ってね。
>>966 ＞根本にそれが厳然として存在することは事実だけど。
うん、俺もメリットの塊だと思う。でも、そういうメリットの議論をするには「1や2は数を
表す記号にすぎない」という、数に関する「実体⇔それを表す記号」の枠組みをちゃんと
把握しておかなければならない。数学者同士ではそんなの既に把握してるからいいけど、
素人は「記号＝実体」になっちゃってるから、メリットの話も通じなくなってくる。
＞[1]は２／２や３／３の例を「小学校で習ったから」ではなく、なぜ同じ数として扱えるかとことん 論議すれば
ＯＫなんじゃないのか？いずれにせよ、時間はかかる。
そうだな。それでいいと思う。
＞「その数に対応したトコを視覚で捕らえられる＝存在する」なのか？ってね。
その体系を実現するモデルが存在すれば(＝無矛盾であれば)「存在する」と呼ぶんじゃないかな。
虚数が気持ち悪がられたのは、虚数を使った計算に矛盾が無いのか不明だったことと、あまりにも
「仮想的すぎる」感じがしたことじゃないかな。ガウス平面だと、まず、この平面は(みんなにとって)
ちっとも仮想的ではない。次に、ガウス平面上の2点間に演算を定義することで、点同士の演算が可能に
なる。ここまでは、何も矛盾が無い。そして、初めに「仮想的に」導入した虚数i＝√(-1)を使った計算と、
このガウス平面上の2点間の計算が1対1に対応している。すると、「仮想的すぎる」と思っていた複素数の
計算は、ガウス平面上の2点間の計算をしていると思うことで何ら仮想的ではなくなるし、計算に矛盾も無い。
これを以って「存在する」と呼んでると思う。
>>967 矛盾なし＝存在する…って今の数学の考え方も、色々やってきた上での後付けの考えなんじゃ
ないかなあ。自然にわき出てくるような考えじゃないよね。更に言うと、ガウス平面でさえ、仮想的
だと感じるヒトもいるかもね。
で、さらに０．９９９９…をあまりに仮想的すぎる…と思っているヒトも居るわけで…。
これを根本から説明するのは骨が折れそうｗ
「新たな概念は既知のものから構成する事で初めて受け容れられる」
とまでは言えないんじゃないかな。
複素数は確かにそうだったのかもしれないし、詳しく知らない。
けど例えば、√2とかπとかが受け容れられたのは紀元前だろうけど、
この頃に有理数から実数を構成するなんて思いもよらなかったはず。
関数概念もそう。
Eulerは「変数と定数とから組み立てられた解析的な式」を「関数」としていて、
この頃は初等関数程度しか「関数」では有り得なかった。
けどDirichletが「関数とは対応の事であり、
その対応の仕方は数学的算法で与えられる必要はない」として、
有理数で1、無理数で0を取るいわゆるDirichlet関数を挙げ、関数概念を革新した。
この新しい関数概念はその構成(直積の部分集合)を抜きにして受け容れられた。
そもそもこの頃(19世紀初頭辺り)はまだ集合概念が無かった。
構成とは限らないんなら、じゃあ上に上げたものは
どうして受け容れられたの？っていうと…何だろうね。
人がある概念を認めるという行為は極めて複雑だとしか俺には言えない。
>>969 √2もπも、既知のものから構成されている。紀元前における「既知のもの」に相当するのは’図形’だ。
√2は、一辺が1の正方形の斜辺との同一視によって「ああ、確かにそういう数(2乗すると2になる数)は
存在してるんだな」と存在を認め、πは円周と同一視することで存在を認めている。逆に、こうやって
図示されたことにより、そういう数を「認めざるを得なかった」とも言える。無理数なんて、気持ち悪くて
認めたくない人ばかりだったろうし。もし、図形に対応させるという方法を取らずに、イキナリ「√2は、
2乗して2になる数である」なんて言っていれば、「そんな数は存在しない」と誰もが否定したはず。虚数iの
ときはまさにそうだった。√2の場合は、既知のもの(正方形の斜辺)に対応させることで、そういう数が「存在
している」と誰もが認めることになった。虚数の場合も、ガウスの時代になって、ガウス平面という既知のもの
に対応させることで、「ああ、虚数は存在してるんだ」と認められていった。
でも関数は話が別だな。確かに、構成を抜きにして受け入れられている…
ああ、関数の場合は「ルール」と同一視したのかな。「ルール」とは、この場合はこう対処して、
この場合はこう対処して、…という、各場合における対処を箇条書きにしたようなもの。サッカーの
「ルール」とか、野球の「ルール」とか。’対応’として捉えた新しい関数概念は、「サッカーのルール
みたいなもんか」と思われたのかもしれない。それなら馴染みがあるし。
まあ、よく分からん。
>>970 複素数は図形から存在を認識された派かあ…。オレはメリット派だから、３次方程式の解
を求めるときに、必ず複素数を通過しなければならない場合がある…ってのが分かった
ってコトを推すな。
>>972 ヨーロッパ人は、俺らよりずっとずっと「存在」という言葉に拘るし、
特に虚数が出てきた頃は哲学と科学は未分化だったわけだから、そう
簡単に「図形と対応するから存在」とか「方程式解くと出てくるから存在」
とかいうプロセスで理解されていったわけではないと思うぞ。
>>973 なるほど。で、具体的にはどうだったの？
>>972 推すのは構わないけど、こういう「存在」に関する議論でメリットを使っても効果は無いはずだが。
それは歴史が証明してる。3次方程式の解の公式に複素数が出てくるのは随分昔から知られていたけど、
でも皆納得しなかった。ガウスが、ガウス平面上の2点間の演算と複素数を同一視する考え方を示して
初めて、複素数は市民権を得ている。
だいたい、複素数に対して釈然としない人は
>>965の[2]と同類の人であって、そういう人に「複素数の
存在を仮定するとホラ、こんなに便利！」と言っても、「なるほど、存在を仮定すれば確かに便利かも。
でもさ、 それは存在を仮定したときの話であって、実際はどうなの？存在するの？存在しなかったら
意味ないじゃん」と反論されるだけ。気持ち悪がられて、複素数を使ってもらえない。複素数の歴史は
まさにコレだった。しかし、ガウスが実体を示すことで初めて皆納得した。メリットの議論は、まず対象が
存在することを確認した上で初めて説得力を持つ。対象の存在を示さずに、「存在すると仮定すると～」と
いう仮定のもとでメリットを示しても、誰も納得しない。
>>974 諸派があって、それぞれいろいろ数の本質を考えて（もちろん今と違って
形式的な定義は無い）あれこれ神学論議してたぽ。
例えばユークリッド的立場にたてば、実数ってのは線分の長さなわけで
そういう立場からだと虚数とか認められないとかね（つまり虚数に関する
命題はユークリッド幾何学に還元できない）そういう人らにとってガウス
平面は幾何学的に捉えられるから理解の助けになっただろうね。
関数は「グラフ」っていう図示ができるよね。