線形代数/線型代数 3

例２. 任意のn次正方行列A,Bに対し, ABとBAの固有多項式 (従って固有値)
は一致する: φ_AB(x)=φ_BA(x). ここに φ_C(x) はCの固有多項式.

という公式が佐武の線型代数にあったのですが、これってAが冪零でも成立しますか？

佐武一郎: ｢行列と行列式｣ p.136 例2. （裳華房）
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1164290704/685
分かスレ２６６

＞例２. 任意のn次正方行列A,Bに対し, ABとBAの固有多項式 (従って固有値)
＞は一致する: φ_AB(x)=φ_BA(x). ここに φ_C(x) はCの固有多項式.
が正しいんだから当然正しいんだろ

>607

n次正方行列C に対し
　φ_C(x) = |xE-C| = �納k=0,n] (-1)^k･γ_k･x^(n-k).
とおくと γ_0 =1, γ_1 =tr(C), γ_n =|C|.　
簡単のため (i_1,i_2,…,i_k) = {i}_k と略記する。
また、C の {i}_k行, {j}_k列 の要素からなるk次の小行列を C({i}_k; {j}_k) と記す。
　γ_k = �倍i}_k |C({i}_k; {i}_k)|.
右辺の {i}_k は 1≦i_1<i_2<…<i_k≦n を満たすすべての組合せを亘る。

さて、C = AB のときは
　C({i}_k; {i}_k) = A({i}_k; 1,2,…,n) B(1,2,…,n; {i}_k).
Binet-Cauchy の等式より
　|C({i}_k; {i}_k)| = �倍j}_k A({i}_k; {j}_k) B({j}_k; {i}_k)
右辺の {j}_k は 1≦j_1<j_2<…<j_k≦n を満たすすべての組合せを亘る。
∴　AとBとを交換しても γ_k は不変.
∴　φ_AB(x) = φ_BA(x).　　　(終)

佐武: ｢行列と行列式｣ p.67 定理9 (裳華房)
http://mathworld.wolfram.com/Binet-CauchyIdentity.html

つーことは、A,Bがべき零云々は関係ねぇな。p.136の方法は良くないんぢゃ(後ry.