代数的整数論 II
1 ：１３２人目の素数さん：
|
|
|
2 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:14:55
＾＾；
3 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:34:34
うすら排斥！
4 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:35:29
写経可
5 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:36:48
ひとまず礼を言っておこう。有難う。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
6 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:38:12
ニートの事故感電死
7 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:39:32
8 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:42:27
>>5
類体論期待していまつ。
類体論期待していまつ。
9 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:43:41
あーあ
10 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:45:49
>次からは
ﾊﾞｶが元気にﾅｯﾁﾏｯﾀﾈ
どこまで行く気だ
このお調子者
ﾊﾞｶが元気にﾅｯﾁﾏｯﾀﾈ
どこまで行く気だ
このお調子者
11 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:46:20
案外208ファンは多いとか
12 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:46:38
じゃがいもはどうした
13 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:48:34
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
14 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:50:16
961 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 15:01:51
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
15 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:55:50
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
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ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
ブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
プルコギブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキブルバキ
16 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:14:12
大便的整数論
17 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:54:32
便微分まで行きました
18 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:12:03
ほのぼの
19 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:14:05
5 ：20B：2005/09/12(月) 17:21:31
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
20 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:16:25
51 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/21(水) 19:55:21
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の
人間が何をいきがってんだろ？
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の
人間が何をいきがってんだろ？
21 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:20:51
22 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:22:08
311 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 18:15:53
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
312 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
>>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
312 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/17(月) 18:17:21
>>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
23 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:24:23
406 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/19(水) 18:41:25
>>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
>>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
24 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:25:38
448 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/20(木) 14:00:00
ま ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
ま ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
25 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:26:38
459 ：208：2005/10/20(木) 19:44:37
>>447
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
>>447
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
26 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:27:27
468 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/21(金) 13:29:21
>>459
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
>>459
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
27 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:28:21
494 ：208：2005/10/21(金) 19:46:27
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
28 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:29:49
496 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/21(金) 21:51:29
>>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
>>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
29 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:30:53
517 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/24(月) 13:59:59
>だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
>だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
30 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:31:43
521 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/24(月) 14:37:14
>>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
>>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
31 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:32:47
536 ：１３２人目の素数さん ：2005/10/25(火) 13:54:16
>525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
>525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
32 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:34:31
773 ：208：2005/11/11(金) 16:32:28
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775 ：208：2005/11/11(金) 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775 ：208：2005/11/11(金) 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
33 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:36:04
809 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 17:21:50
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
812 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
812 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
34 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:40:55
830 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 19:46:20
この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。
>>261のような信者も中にはいるが・・・
831 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。
>>261のような信者も中にはいるが・・・
831 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
35 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:41:53
837 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 22:17:56
>>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
>>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/11(金) 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
36 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:44:21
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:20:26
なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
942 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:21:41
土足であがりこんできて、
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:20:26
なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
942 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:21:41
土足であがりこんできて、
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
37 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:45:06
946 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/22(火) 09:36:24
>立ててみればいいじゃん
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
>立ててみればいいじゃん
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
38 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 18:45:58
でも立ててもらったら嬉しくて仕方がない
39 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 19:51:55
こんなスレやめちまえ
40 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 20:36:13
algebraic number theory > analytical number theory > elementary number theory
41 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 20:49:42
>>40
Who are you ? Maybe not my wife...
Who are you ? Maybe not my wife...
42 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 21:01:53
fundamental number theory
43 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 21:07:15
Are you Japanese ?
44 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 21:22:46
continental number theory
45 ：１３２人目の素数さん：2005/11/23(水) 11:09:43
いや、「208のファンが多い」んじゃなくて、ただ単に208に
絡んでる奴らが低能すぎるだけだろ。
新スレまで来て、まだ割り算ネタ引っ張るってのが、まったく
理解不能なんだけど。
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
絡んでる奴らが低能すぎるだけだろ。
新スレまで来て、まだ割り算ネタ引っ張るってのが、まったく
理解不能なんだけど。
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
46 ：１３２人目の素数さん：2005/11/23(水) 11:12:06
この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
いや、しつこく絡んでるお馬鹿ちゃんは、オイラの言ってること
理解してくれるだろうか？ 「理解してくれないんじゃないか」
という懸念が・・・。
ちょっと頭冷やして、ジョルダンヘルダーの定理の証明、もっぺ
ん読み直してみ？ ちなみにオイラは、一応読み直してみました
です（笑
理解してくれるだろうか？ 「理解してくれないんじゃないか」
という懸念が・・・。
ちょっと頭冷やして、ジョルダンヘルダーの定理の証明、もっぺ
ん読み直してみ？ ちなみにオイラは、一応読み直してみました
です（笑
48 ：１３２人目の素数さん：2005/11/23(水) 11:44:33
ななしでもプンプン匂いマス。
割り算を使わないのならば。例えば、
「対称群S5の位数は120、交代群A5の位数は60。よってS5:A5の
位数は2なので、A5はS5の正規部分群」
なーんつう議論も、できないってことになるべ。
そんな教科書、見たことねーけどなぁ。剰余群の理論も組成列が
どうちゃらも類方程式がうんちゃらもシローの定理がかんちゃらも、
どれもみんな四則演算を前提としての話なんじゃネーノ？？
「対称群S5の位数は120、交代群A5の位数は60。よってS5:A5の
位数は2なので、A5はS5の正規部分群」
なーんつう議論も、できないってことになるべ。
そんな教科書、見たことねーけどなぁ。剰余群の理論も組成列が
どうちゃらも類方程式がうんちゃらもシローの定理がかんちゃらも、
どれもみんな四則演算を前提としての話なんじゃネーノ？？
50 ：１３２人目の素数さん：2005/11/23(水) 14:36:50
>>Are you Japanese ?
I am a pen
Oh You are takeo!!!
I am a pen
Oh You are takeo!!!
51 ：208：2005/11/24(木) 09:59:18
ここで今まで述べたことの整理をしよう。
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。
θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))
M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。
θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))
M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
52 ：208：2005/11/24(木) 10:06:15
ΛM は、Homgr(ΛM, A)-右加群となる(>>914)。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op により、
Λ(Hom(M, A))-左加群となる
>>915 と >>892 より
f_1, ..., f_p ∈ Hom(M, A)
x_1, ..., x_(p+q) ∈ M のとき、
(f_1Λ...Λf_p)→(x_1Λ...Λx_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_i(x_σ(j)))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。
なお、Bourbakiの代数３章の英語版では、この式がミスプリとなって
いる。因みに英語版はミスプリが多い。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op により、
Λ(Hom(M, A))-左加群となる
>>915 と >>892 より
f_1, ..., f_p ∈ Hom(M, A)
x_1, ..., x_(p+q) ∈ M のとき、
(f_1Λ...Λf_p)→(x_1Λ...Λx_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_i(x_σ(j)))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。
なお、Bourbakiの代数３章の英語版では、この式がミスプリとなって
いる。因みに英語版はミスプリが多い。
53 ：208：2005/11/24(木) 10:28:29
A を可換環、M を A-加群とする。
M の双対加群 Hom(M, A) を M^* と書く。
標準的な射 ρ:M → M^(**) が存在する。
ここで、M^(**) は M^* の双対を表す。
x ∈ M, f ∈ M^* のとき、
ρ(x)(f) = f(x) である。
上(>>52) より、Λ(M^*) は、Λ(M^(**))-左加群となるが、
ρ:M → M^(**) により、ΛM → Λ(M^(**)) が誘導されるので、
Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x_1, ..., x_p ∈ M
f_1, ..., f_(p+q) ∈ M^* のとき、
(x_1Λ...Λx_p)→(f_1Λ...Λf_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_σ(j)(x_(i)))(f_σ(p+1)Λ...Λf_σ(p+q))
となる。
M の双対加群 Hom(M, A) を M^* と書く。
標準的な射 ρ:M → M^(**) が存在する。
ここで、M^(**) は M^* の双対を表す。
x ∈ M, f ∈ M^* のとき、
ρ(x)(f) = f(x) である。
上(>>52) より、Λ(M^*) は、Λ(M^(**))-左加群となるが、
ρ:M → M^(**) により、ΛM → Λ(M^(**)) が誘導されるので、
Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x_1, ..., x_p ∈ M
f_1, ..., f_(p+q) ∈ M^* のとき、
(x_1Λ...Λx_p)→(f_1Λ...Λf_(p+q)) =
(-1)^(p(p-1))/2 Σε(σ)det(f_σ(j)(x_(i)))(f_σ(p+1)Λ...Λf_σ(p+q))
となる。
54 ：208：2005/11/24(木) 10:43:02
一方、前スレの >>908 より Homgr(ΛM, A)は、ΛM-右加群となる。
つまり、
x_1, ..., x_p ∈ M
f ∈ Hom((Λ^(p+q))M, A) のとき、
(f←(x_1Λ...Λx_p))(y_1Λ...Λy_q)
= f(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)
である。
よって、Homgr(ΛM, A)^op は ΛM-左加群となる。
即ち、
((x_1Λ...Λx_p)→f)(y_1Λ...Λy_q)
= f(y_1Λ...Λy_qΛx_1Λ...Λx_p)
である。
つまり、
x_1, ..., x_p ∈ M
f ∈ Hom((Λ^(p+q))M, A) のとき、
(f←(x_1Λ...Λx_p))(y_1Λ...Λy_q)
= f(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)
である。
よって、Homgr(ΛM, A)^op は ΛM-左加群となる。
即ち、
((x_1Λ...Λx_p)→f)(y_1Λ...Λy_q)
= f(y_1Λ...Λy_qΛx_1Λ...Λx_p)
である。
55 ：208：2005/11/24(木) 11:10:15
補題
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>53 より Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ (Λ^p)(M^*), g ∈ (Λ^q)(M^*) のとき、
x→(fΛg) = (x→f)Λg + (-1)^p fΛ(x→g)
となる。
証明
x ∈ M, f_1, ..., f_p ∈ M^* のとき、本スレの>>53 より
x→(f_1Λ...Λf_p) =
Σ(-1)^(i+1) f_i(x)(f_1Λ..[f_i]..Λf_p)
となる。ここで、[f_i] は f_i を除いたことを示す。
これから、前スレの>>916と同様。
証明終
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>53 より Λ(M^*) は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ (Λ^p)(M^*), g ∈ (Λ^q)(M^*) のとき、
x→(fΛg) = (x→f)Λg + (-1)^p fΛ(x→g)
となる。
証明
x ∈ M, f_1, ..., f_p ∈ M^* のとき、本スレの>>53 より
x→(f_1Λ...Λf_p) =
Σ(-1)^(i+1) f_i(x)(f_1Λ..[f_i]..Λf_p)
となる。ここで、[f_i] は f_i を除いたことを示す。
これから、前スレの>>916と同様。
証明終
56 ：208：2005/11/24(木) 11:17:29
補題
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>54 より Homgr(ΛM, A)^op は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ Hom((Λ^p)M, A), g ∈ Hom((Λ^q)M, A) のとき、
x→(fg) = (x→f)g + (-1)^p f(x→g)
となる。
証明
上の>>55と同様。
A を可換環、M を A-加群とする。
本スレの>>54 より Homgr(ΛM, A)^op は、ΛM-左加群となる。
x ∈ M, f ∈ Hom((Λ^p)M, A), g ∈ Hom((Λ^q)M, A) のとき、
x→(fg) = (x→f)g + (-1)^p f(x→g)
となる。
証明
上の>>55と同様。
57 ：208：2005/11/24(木) 12:17:16
命題
本スレの>>53, >>54より、A-代数としての標準射
θ: Λ(M^*) → Homgr(ΛM, A)^op
において、両方ともΛM-左加群であるが、
θは、ΛM-左加群としての射にもなっている。
つまり、x ∈ ΛM, f ∈ Λ(M^*) のとき、
θ(x→f) = x→θ(f) となる。
証明
ΛM は A-代数として M から生成されるから、
これを示すには、x ∈ M と仮定してよい。
f, g ∈ Λ(M^*) のとき、本スレの >>55 より
θ(x→(fΛg)) = θ(x→f)θ(g) + (-1)^p θ(f)θ(x→g)
ここで、θ(x→f) を d(f) とおくと、微分の公式に類似の、
d(fΛg) = d(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d(g)
が得られる。
同様に本スレの >>56 より
x→θ(fΛg) = x→θ(f)θ(g)
= (x→θ(f))θ(g) + (-1)^p θ(f)(x→θ(g))
ここで、 x→θ(f) を d'(f) とおくと、やはり、微分の公式に類似の、
d'(fΛg) = d'(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d'(g)
が得られる。
d - d' も同様の公式を満たす。
よって、容易に分かるように Ker(d - d') は Λ(M^*) の
A-部分代数となる。
f ∈ M のときは、x→f と x→θ(f) はともに f(x) に等しいから
Ker(d - d') は M^* を含む。
よって、 Ker(d - d') = Λ(M^*) であり、d = d' である。
証明終
本スレの>>53, >>54より、A-代数としての標準射
θ: Λ(M^*) → Homgr(ΛM, A)^op
において、両方ともΛM-左加群であるが、
θは、ΛM-左加群としての射にもなっている。
つまり、x ∈ ΛM, f ∈ Λ(M^*) のとき、
θ(x→f) = x→θ(f) となる。
証明
ΛM は A-代数として M から生成されるから、
これを示すには、x ∈ M と仮定してよい。
f, g ∈ Λ(M^*) のとき、本スレの >>55 より
θ(x→(fΛg)) = θ(x→f)θ(g) + (-1)^p θ(f)θ(x→g)
ここで、θ(x→f) を d(f) とおくと、微分の公式に類似の、
d(fΛg) = d(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d(g)
が得られる。
同様に本スレの >>56 より
x→θ(fΛg) = x→θ(f)θ(g)
= (x→θ(f))θ(g) + (-1)^p θ(f)(x→θ(g))
ここで、 x→θ(f) を d'(f) とおくと、やはり、微分の公式に類似の、
d'(fΛg) = d'(f)θ(g) + (-1)^p θ(f)d'(g)
が得られる。
d - d' も同様の公式を満たす。
よって、容易に分かるように Ker(d - d') は Λ(M^*) の
A-部分代数となる。
f ∈ M のときは、x→f と x→θ(f) はともに f(x) に等しいから
Ker(d - d') は M^* を含む。
よって、 Ker(d - d') = Λ(M^*) であり、d = d' である。
証明終
58 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 14:32:06
なにこのスレ？
59 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 14:40:16
60 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 17:08:46
61 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 17:34:27
>>49
みたいな奴が208を尊敬する。
みたいな奴が208を尊敬する。
62 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 17:40:11
63 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 18:30:04
>>62
まだあるから読んでみればいいじゃん。
オイラースレに降臨したときの、素人衆相手のお言葉
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666
お前よりは１００倍以上知ってるよ。
まだあるから読んでみればいいじゃん。
オイラースレに降臨したときの、素人衆相手のお言葉
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666
お前よりは１００倍以上知ってるよ。
64 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 18:55:50
65 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 22:08:33
・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
66 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 22:15:31
ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
67 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 22:18:41
頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
68 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 10:30:30
アフォどもに前スレを終わらされたな。奴らは数学に興味ないんだろうな。
少なくとも前スレに書いてあることに。アフォにあれを理解しろというのも
無理だが。
奴らの興味っていうのは、単に俺を挑発して俺にバカにされたいというだけ。
少なくとも前スレに書いてあることに。アフォにあれを理解しろというのも
無理だが。
奴らの興味っていうのは、単に俺を挑発して俺にバカにされたいというだけ。
69 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 10:54:42
>>68
なんか勘違いしているなｗ 2chは亜ふぉの方が圧倒的に多いよ。
君も亜ふぉをたたくのが楽しいから、ここに来てるんだろ？
結局、自分でホームページ作って、ここで釣れた信者と会員制で
運営すればいいのでは？
なんか勘違いしているなｗ 2chは亜ふぉの方が圧倒的に多いよ。
君も亜ふぉをたたくのが楽しいから、ここに来てるんだろ？
結局、自分でホームページ作って、ここで釣れた信者と会員制で
運営すればいいのでは？
70 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
71 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 11:06:35
勘違いしてないよｗ
そのとうり。
前にも書いたとうり、ホームページなんて面倒だし、それこそ
アフォを叩く楽しみが少なくなる。
そのとうり。
前にも書いたとうり、ホームページなんて面倒だし、それこそ
アフォを叩く楽しみが少なくなる。
72 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 11:07:12
73 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 11:17:17
74 ：208：2005/11/25(金) 11:18:51
外積代数のここらあたりは代数的整数論に直接関係ないけど
ついでなんでやってる。このあたりは、あまり知られてないことだし。
確かにBourbakiのコピ−なんだけど、なんせこのあたりBourbakiの
独壇場なんで、素直にまとめている。
ついでなんでやってる。このあたりは、あまり知られてないことだし。
確かにBourbakiのコピ−なんだけど、なんせこのあたりBourbakiの
独壇場なんで、素直にまとめている。
75 ：208：2005/11/25(金) 11:40:37
A を可換環、M を階数 n の A-自由加群とする。
e_1, ... , e_n をその基底とする。
I を集合 {1, ... , n} とし、J ⊂ I で、
J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
e_J = e_(j_1)Λ...Λe_(j_r) とおく。
J が空集合のときは e_J = 1 とする。
J を I の部分集合全体に動かしたとき、列 (e_J) は
ΛM の基底となる(前スレの753, 855)。
J, K を I の部分集合としたとき、
前スレの744より、
J ∩ K = φ なら
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
となる。ここで、ε(J, K) = (-1)^ν であり、
ν は j > k となる (j, k) ∈ J × K の個数である。
J ∩ K ≠ φ なら
e_JΛe_K = 0 である。
e_1, ... , e_n をその基底とする。
I を集合 {1, ... , n} とし、J ⊂ I で、
J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
e_J = e_(j_1)Λ...Λe_(j_r) とおく。
J が空集合のときは e_J = 1 とする。
J を I の部分集合全体に動かしたとき、列 (e_J) は
ΛM の基底となる(前スレの753, 855)。
J, K を I の部分集合としたとき、
前スレの744より、
J ∩ K = φ なら
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
となる。ここで、ε(J, K) = (-1)^ν であり、
ν は j > k となる (j, k) ∈ J × K の個数である。
J ∩ K ≠ φ なら
e_JΛe_K = 0 である。
76 ：208：2005/11/25(金) 12:09:42
>>75 の続き：
M^* を M の双対加群、つまり Hom(M, A) とし、
f_1, ... , f_n を e_1, ... , e_n の双対基底とする。
J ⊂ I で J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
f_J = f_(j_1)Λ...Λf_(j_r) とおく。
本スレの>>53よりΛ(M^*)は、ΛM-左加群となる。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = x→f_I により定義する。
φ(xΛy) = (xΛy)→f_I = x→(y→f_I) = x→φ(y)
であるから、φは (ΛM)-加群としての射でもある。
φの(Λ^p)M への制限をφ_p と書く。
φ_p: (Λ^p)M → (Λ^p)(M^*) である。
>>53 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
よって、φ_p: (Λ^p)M → (Λ^(n-p))(M^*) は同型である。
M^* を M の双対加群、つまり Hom(M, A) とし、
f_1, ... , f_n を e_1, ... , e_n の双対基底とする。
J ⊂ I で J = {j_1, ... , j_r}, j_1 < ... < j_r のとき
f_J = f_(j_1)Λ...Λf_(j_r) とおく。
本スレの>>53よりΛ(M^*)は、ΛM-左加群となる。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = x→f_I により定義する。
φ(xΛy) = (xΛy)→f_I = x→(y→f_I) = x→φ(y)
であるから、φは (ΛM)-加群としての射でもある。
φの(Λ^p)M への制限をφ_p と書く。
φ_p: (Λ^p)M → (Λ^p)(M^*) である。
>>53 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
よって、φ_p: (Λ^p)M → (Λ^(n-p))(M^*) は同型である。
77 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 12:18:38
>>73
> 未だに売れない在庫があったりしてｗ
最近は在庫というものはほとんど持たなくなっている。
在庫を持っていると倉庫の経費がかかるし課税されるから。
売れない本はすぐに裁断し廃棄される。だからすぐに
市場から消える。ブルバキの原論もとっくに在庫切れ。
> 未だに売れない在庫があったりしてｗ
最近は在庫というものはほとんど持たなくなっている。
在庫を持っていると倉庫の経費がかかるし課税されるから。
売れない本はすぐに裁断し廃棄される。だからすぐに
市場から消える。ブルバキの原論もとっくに在庫切れ。
78 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 12:40:37
>おやおや、亜ふぉの力を見くびってぼろぼろになるまで
>叩かれたのは誰だったかな？
寝ぼけるなよ。夢と現実をゴッチャにするんじゃない。
お前の夢(脳内)のなかで俺を叩いたって俺が知るわけ無い
>叩かれたのは誰だったかな？
寝ぼけるなよ。夢と現実をゴッチャにするんじゃない。
お前の夢(脳内)のなかで俺を叩いたって俺が知るわけ無い
79 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 14:37:29
80 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 14:47:42
お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
81 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 15:00:00
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
勉強も大切だが、心も磨けよ
82 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 15:11:40
>勉強も大切だが、心も磨けよ
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
83 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 15:36:58
84 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 15:47:13
>それとも、208と名乗ったときいじめられたトラウマか。
本気でそう思ってるとしたら笑える。
基本的に208は、数学用。
無駄話には使わない(例外もある、思いっきり叩くときとかｗ)。
検索のときに不便だからな。
本気でそう思ってるとしたら笑える。
基本的に208は、数学用。
無駄話には使わない(例外もある、思いっきり叩くときとかｗ)。
検索のときに不便だからな。
85 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 15:57:49
86 ：１３２人目の素数さん：2005/11/25(金) 16:02:22
81 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 15:00:00
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
87 ：208：2005/11/25(金) 16:20:50
>>76の続き
本スレの>>52よりΛM は、Λ(M^*)-左加群となる。
A-加群としての射 φ': Λ(M^*) → ΛM を
φ'(f) = f→e_I により定義する。
φ'(fΛg) = (fΛg)→e_I = f→(g→e_I) = f→φ'(g)
であるから、φ'は Λ(M^*)-加群としての射でもある。
φ'の(Λ^p)(M^*) への制限をφ'_p と書く。
φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M である。
>>53 より
φ'_p(f_J) = f_J→e_I
= (-1)^(p(p-1)/2) ε(J, I-J) e_(I-J)
よって、φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M は A-加群としての
同型である。
本スレの>>52よりΛM は、Λ(M^*)-左加群となる。
A-加群としての射 φ': Λ(M^*) → ΛM を
φ'(f) = f→e_I により定義する。
φ'(fΛg) = (fΛg)→e_I = f→(g→e_I) = f→φ'(g)
であるから、φ'は Λ(M^*)-加群としての射でもある。
φ'の(Λ^p)(M^*) への制限をφ'_p と書く。
φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M である。
>>53 より
φ'_p(f_J) = f_J→e_I
= (-1)^(p(p-1)/2) ε(J, I-J) e_(I-J)
よって、φ'_p: (Λ^p)(M^*) → (Λ^(n-p))M は A-加群としての
同型である。
88 ：208：2005/11/25(金) 16:43:42
命題
>>75 の仮定と記号を踏襲する。
J ∩ K = φ なら
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) となる。
ここで、p, q はそれぞれ、J, K の元の個数。
証明
>>75 より、
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
e_KΛe_J = ε(K, J)e_(J∪K)
である。
一方、前スレの744より e_JΛe_K = (-1)^(pq) (e_KΛe_J) である。
よって、
ε(J, K)e_(J∪K)
= e_JΛe_K
= (-1)^(pq) (e_KΛe_J)
= (-1)^(pq) ε(K, J)e_(J∪K)
よって、この等式の両端の一致より、
ε(J, K) = (-1)^(pq) ε(K, J) となる。
この両辺に ε(J, K) を掛けて
ε(J, K)^2 = (-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J)
ε(J, K)^2 = 1 だから、
(-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J) = 1 となる。
この等式の両辺に、(-1)^(pq) を掛ければ
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) が出る。
証明終
>>75 の仮定と記号を踏襲する。
J ∩ K = φ なら
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) となる。
ここで、p, q はそれぞれ、J, K の元の個数。
証明
>>75 より、
e_JΛe_K = ε(J, K)e_(J∪K)
e_KΛe_J = ε(K, J)e_(J∪K)
である。
一方、前スレの744より e_JΛe_K = (-1)^(pq) (e_KΛe_J) である。
よって、
ε(J, K)e_(J∪K)
= e_JΛe_K
= (-1)^(pq) (e_KΛe_J)
= (-1)^(pq) ε(K, J)e_(J∪K)
よって、この等式の両端の一致より、
ε(J, K) = (-1)^(pq) ε(K, J) となる。
この両辺に ε(J, K) を掛けて
ε(J, K)^2 = (-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J)
ε(J, K)^2 = 1 だから、
(-1)^(pq) ε(J, K)ε(K, J) = 1 となる。
この等式の両辺に、(-1)^(pq) を掛ければ
ε(J, K)ε(K, J) = (-1)^(pq) が出る。
証明終
89 ：１３２人目の素数さん：2005/11/26(土) 22:40:07
代数的整数論というか可換環論だよね
90 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 09:30:34
>>89
今は準備段階に過ぎない。それもごく初歩的な準備。
当分準備が続く。
高木の本のように準備をそれ程必要としない古典的なやり方も出来る。
ただ、このスレはもっと現代的な手法を選ぶことにしたわけ。
今は準備段階に過ぎない。それもごく初歩的な準備。
当分準備が続く。
高木の本のように準備をそれ程必要としない古典的なやり方も出来る。
ただ、このスレはもっと現代的な手法を選ぶことにしたわけ。
91 ：208：2005/11/28(月) 09:55:42
>>76
>A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
>φ(x) = x→f_I により定義する。
以下のように訂正する。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = (-1)^(n(n-1)/2 (x→f_I) により定義する。
>A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
>φ(x) = x→f_I により定義する。
以下のように訂正する。
A-加群としての射 φ: ΛM → Λ(M^*) を
φ(x) = (-1)^(n(n-1)/2 (x→f_I) により定義する。
92 ：208：2005/11/28(月) 10:20:43
>>87の続き
>>76 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
これと >>87 より
φ'_(n-p)φ_p(e_J)
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) φ'_(n-p)(f_(I-J))
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2) ε(J, I-J)ε(I-J, J) e_J
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) e_J
ここで、>>88 より
ε(J, I-J)ε(I-J, J) = (-1)^(p(n-p)) を使った。
一方、単純計算により
(-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) = (-1)^(n(n-1))
となる。n(n-1)偶数なので、結局
φ'_pφ_p(e_J) = e_J
となる。
同様に
φ_(n-p)φ'_p(f_J) = f_J
となる。
よって、φ と φ' は互いに逆写像である。
>>76 より
φ_p(e_J) = e_J→f_I
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) f_(I-J)
これと >>87 より
φ'_(n-p)φ_p(e_J)
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2) ε(J, I-J) φ'_(n-p)(f_(I-J))
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2) ε(J, I-J)ε(I-J, J) e_J
= (-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) e_J
ここで、>>88 より
ε(J, I-J)ε(I-J, J) = (-1)^(p(n-p)) を使った。
一方、単純計算により
(-1)^(n(n-1)/2 + p(p-1)/2 +(n-p)(n-p-1)/2 + p(n-p)) = (-1)^(n(n-1))
となる。n(n-1)偶数なので、結局
φ'_pφ_p(e_J) = e_J
となる。
同様に
φ_(n-p)φ'_p(f_J) = f_J
となる。
よって、φ と φ' は互いに逆写像である。
93 ：208：2005/11/28(月) 10:57:28
K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
X の１次元の部分空間の全体は射影空間となる。
では、X の p 次元の部分空間 E の全体はどうか？
これが Grassmann または Plucker の問題意識だったのではないか。
E の基底 x_1, .., x_p に対して x_1Λ...Λx_p ∈ (Λ^p)X
を考える。E の別の基底 y_1, .., y_p に対する y_1Λ...Λy_p は、
x_1Λ...Λx_p と定数倍の違いしかない。よって、これ等は (Λ^p)X
の１次元の部分空間を定める。
よって、集合としての写像 φ: G(X, p) → G((Λ^p)X, 1) が得られる。
ここで、G(X, p) は X の p 次元の部分空間全体の集合である。
G((Λ^p)X, 1) は射影空間 P((Λ^p)X) に他ならない。
容易にわかるようにφは単射である。
では、φ(E) は、P((Λ^p)X) の元としてどのように特徴付けられる
だろうか？
この問題は、次のように言い換えられる。
x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
条件は何か？
ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
一般に、(Λ^p)X の元を p-べクトルと呼び、
x ≠ 0 で、x = x_1Λ...Λx_p と書けるとき、x を 純 p-べクトルと呼ぶ。
X の基底を e_1, ..., e_n とすれば、x = Σa_J e_J と書ける。
ここで、J は 集合 I = {1, ... , n} の濃度 p の部分集合を動く。
よって、上の問題は、x が 純 p-べクトルであるために (a_J) が満たす
条件は何か？
と言い換えてもいい。
X の１次元の部分空間の全体は射影空間となる。
では、X の p 次元の部分空間 E の全体はどうか？
これが Grassmann または Plucker の問題意識だったのではないか。
E の基底 x_1, .., x_p に対して x_1Λ...Λx_p ∈ (Λ^p)X
を考える。E の別の基底 y_1, .., y_p に対する y_1Λ...Λy_p は、
x_1Λ...Λx_p と定数倍の違いしかない。よって、これ等は (Λ^p)X
の１次元の部分空間を定める。
よって、集合としての写像 φ: G(X, p) → G((Λ^p)X, 1) が得られる。
ここで、G(X, p) は X の p 次元の部分空間全体の集合である。
G((Λ^p)X, 1) は射影空間 P((Λ^p)X) に他ならない。
容易にわかるようにφは単射である。
では、φ(E) は、P((Λ^p)X) の元としてどのように特徴付けられる
だろうか？
この問題は、次のように言い換えられる。
x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
条件は何か？
ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
一般に、(Λ^p)X の元を p-べクトルと呼び、
x ≠ 0 で、x = x_1Λ...Λx_p と書けるとき、x を 純 p-べクトルと呼ぶ。
X の基底を e_1, ..., e_n とすれば、x = Σa_J e_J と書ける。
ここで、J は 集合 I = {1, ... , n} の濃度 p の部分集合を動く。
よって、上の問題は、x が 純 p-べクトルであるために (a_J) が満たす
条件は何か？
と言い換えてもいい。
94 ：208：2005/11/28(月) 11:02:00
>>93
>この問題は、次のように言い換えられる。
>x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
>条件は何か？
>ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
ここで、x_1, ..., x_p は X の元である。
>この問題は、次のように言い換えられる。
>x を (Λ^p)X の元としたとき、x = x_1Λ...Λx_p と書けるための
>条件は何か？
>ここで、x_1, ..., x_p は E の元である。
ここで、x_1, ..., x_p は X の元である。
95 ：208：2005/11/28(月) 11:14:12
>>93 において、(Λ^p)E を、(Λ^p)X の部分空間とみなしている。
これは、次の命題から正当化できる。
命題
K を可換体、E, X を K 上の(有限次とは限らない)加群とする。
φ: E → X を K-加群としての射で単射とする。
このとき、(Λ^p)φ: (Λ^p)E → (Λ^p)X も単射である。
証明
完全列 0 → E → X → X/E → 0 は分解する(前スレの648参照)。
よって、
0 → (Λ^p)E → (Λ^p)X → (Λ^p)(X/E) → 0 も分解する完全列となる。
証明終
これは、次の命題から正当化できる。
命題
K を可換体、E, X を K 上の(有限次とは限らない)加群とする。
φ: E → X を K-加群としての射で単射とする。
このとき、(Λ^p)φ: (Λ^p)E → (Λ^p)X も単射である。
証明
完全列 0 → E → X → X/E → 0 は分解する(前スレの648参照)。
よって、
0 → (Λ^p)E → (Λ^p)X → (Λ^p)(X/E) → 0 も分解する完全列となる。
証明終
96 ：208：2005/11/28(月) 12:17:21
>>93 の問題の解答の１つは、以下のようになる。
K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
x ∈ (Λ^p)X が 純 p-ベクトル であるためには、
x ≠ 0 で、
(f→x)Λx = 0 が任意の f ∈ (Λ^(p-1))(X^*) で成立つことが
必要十分である。
この証明を今してもいいけど、このスレと余り関係ないし面倒なんで
(それ程でもないが)単因子論に進むことにする。
興味のある人はBourbakiを読むなり、自分で考えるなりして下さい。
K を可換体、X を K 上の n 次元のベクトル空間とする。
x ∈ (Λ^p)X が 純 p-ベクトル であるためには、
x ≠ 0 で、
(f→x)Λx = 0 が任意の f ∈ (Λ^(p-1))(X^*) で成立つことが
必要十分である。
この証明を今してもいいけど、このスレと余り関係ないし面倒なんで
(それ程でもないが)単因子論に進むことにする。
興味のある人はBourbakiを読むなり、自分で考えるなりして下さい。
97 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 12:29:26
「ジョルダン標準形と単因子論」という本がありましたが
どうなんでしょうか？
どうなんでしょうか？
98 ：208：2005/11/28(月) 12:40:09
次の定理を証明することを当面の目標とする。
定理
A を単項イデアル整域(前スレの644のあたりを参照)とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
定理
A を単項イデアル整域(前スレの644のあたりを参照)とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
99 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 12:42:26
100 ：208：2005/11/28(月) 13:01:21
ここで記法を導入する(図を書きにくいので)。
対角行列は、[a_1, ..., a_n] などと表す。
(a, b | c, d) は １行目が (a, b) ２行目が (c, d) の(2, 2)-型の
行列を表す。３次、その他の行列も同様。
E_n で n 次の単位行列を表す。
正方行列 C と D の直和 を C (+) D で表す。
ここで、m 次の C と n次の D の直和とは、対角線上の左上に C、
対角線上の右下に D を配置し、その他の項目を 0 とした、
m+n 次の正方行列である。
対角行列は、[a_1, ..., a_n] などと表す。
(a, b | c, d) は １行目が (a, b) ２行目が (c, d) の(2, 2)-型の
行列を表す。３次、その他の行列も同様。
E_n で n 次の単位行列を表す。
正方行列 C と D の直和 を C (+) D で表す。
ここで、m 次の C と n次の D の直和とは、対角線上の左上に C、
対角線上の右下に D を配置し、その他の項目を 0 とした、
m+n 次の正方行列である。
101 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 13:07:17
>>99
失礼しました。
失礼しました。
102 ：208：2005/11/28(月) 13:12:21
A の元を成分とする (m, n)型の行列 X に対して
以下の操作を考える
1) ２つの行を入れ替える
2) ある行の定数倍を別の行に加える
3) ２つの列を入れ替える
4) ある列の定数倍を別の列に加える
5) X の各項に A のある単数(可逆元のこと)を掛ける
これ等は、X に適当な可逆行列を右または左から掛けることに
より実現されることは容易にわかる。
以下の操作を考える
1) ２つの行を入れ替える
2) ある行の定数倍を別の行に加える
3) ２つの列を入れ替える
4) ある列の定数倍を別の列に加える
5) X の各項に A のある単数(可逆元のこと)を掛ける
これ等は、X に適当な可逆行列を右または左から掛けることに
より実現されることは容易にわかる。
103 ：208：2005/11/28(月) 13:37:06
補題
A を単項イデアル整域とする。
a_1, ..., a_n を A の元で、それらで生成されるイデアル
(a_1, ..., a_n) が A と一致するとする。
このとき、a_1, ..., a_n を行または列とする可逆行列が存在する。
証明
L = A^n を A-自由加群と見なす。
L の標準基底を e_1, .. e_n とする。
仮定より、Σ(a_i)(b_i) = 1 となる元の列 b_1, ..., b_n が
存在する。
A-加群としての射 f: L → A を、
f(x_1, ... , x_n) = Σ(x_i)(b_i) で定義する。
a = (a_1, ... , a_n) とすれば f(a) = 1 となる。
s: L → A を s(1) = a で定義すれば、fs = 1 である。
よって、前スレの648より
0 → Ker(f) → L → A → 0 は分解する。
つまり、L = Aa + Ker(f) (直和) となる。
前スレの650より Ker(f) は自由だから、
a は L の基底の一部になる。
標準基底 e_1, .. e_n をこの基底に変換する行列が求めるものである。
証明終
A を単項イデアル整域とする。
a_1, ..., a_n を A の元で、それらで生成されるイデアル
(a_1, ..., a_n) が A と一致するとする。
このとき、a_1, ..., a_n を行または列とする可逆行列が存在する。
証明
L = A^n を A-自由加群と見なす。
L の標準基底を e_1, .. e_n とする。
仮定より、Σ(a_i)(b_i) = 1 となる元の列 b_1, ..., b_n が
存在する。
A-加群としての射 f: L → A を、
f(x_1, ... , x_n) = Σ(x_i)(b_i) で定義する。
a = (a_1, ... , a_n) とすれば f(a) = 1 となる。
s: L → A を s(1) = a で定義すれば、fs = 1 である。
よって、前スレの648より
0 → Ker(f) → L → A → 0 は分解する。
つまり、L = Aa + Ker(f) (直和) となる。
前スレの650より Ker(f) は自由だから、
a は L の基底の一部になる。
標準基底 e_1, .. e_n をこの基底に変換する行列が求めるものである。
証明終
104 ：208：2005/11/28(月) 13:43:51
>>103 から (a, b) = (1) のとき、2次の行列 (a, b | c, d) が
可逆となるような c, d が存在することがわかるが、これは
次のように直接にもわかる。
ax + by = 1 とすれば (a, b | -y, x) の行列式は 1 だから
(a, b | -y, x) は可逆である。
可逆となるような c, d が存在することがわかるが、これは
次のように直接にもわかる。
ax + by = 1 とすれば (a, b | -y, x) の行列式は 1 だから
(a, b | -y, x) は可逆である。
105 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
106 ：208：2005/11/28(月) 15:45:32
A がユークリッド整域、例えば有理整数環なら、>>102 の操作で、
行列 X を >>98 のような対角行列に変形出来る。
基本的な方法は X の要素のユークリッド整域としての次数の最小を
基本変形により下げていく。このとき、割り算の公式 b = aq + r
deg(r) < deg(a) が本質的である。
ところが、A が一般の単項イデアル整域ではこの公式は使えない。
ところが、以下のアイデアによって、この困難を回避できる。
A の元 a ≠ 0 を素元に分解したときに現れる素元の重複度を込めた個数
を s(a) と書く。例えば p, q を相異なる素元としたとき、
s(qp^2) = 3 である。
このとき、
補題
A の非零元 a, b があり、b は a で割れないとする。
d を a と b の最大公約数とすると、s(d) < s(a) となる。
証明は明らかだろう。
この補題がユークリッド整域の割り算の公式
b = aq + r, deg(r) < deg(a)
の代わりになるのである。
行列 X を >>98 のような対角行列に変形出来る。
基本的な方法は X の要素のユークリッド整域としての次数の最小を
基本変形により下げていく。このとき、割り算の公式 b = aq + r
deg(r) < deg(a) が本質的である。
ところが、A が一般の単項イデアル整域ではこの公式は使えない。
ところが、以下のアイデアによって、この困難を回避できる。
A の元 a ≠ 0 を素元に分解したときに現れる素元の重複度を込めた個数
を s(a) と書く。例えば p, q を相異なる素元としたとき、
s(qp^2) = 3 である。
このとき、
補題
A の非零元 a, b があり、b は a で割れないとする。
d を a と b の最大公約数とすると、s(d) < s(a) となる。
証明は明らかだろう。
この補題がユークリッド整域の割り算の公式
b = aq + r, deg(r) < deg(a)
の代わりになるのである。
107 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 16:14:52
108 ：208：2005/11/28(月) 16:44:46
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j))を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
a = x_(1,1), b = x_(1,2) とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。
a, b の最大公約元を d とする。
可逆な正方行列 U が存在して、XU の (1,1)-要素が d となる
ように出来る。
証明
a = da'
b = db'
とおく。
a' と b' の最大公約元は 1 だから、a'x + b'y = 1 となる x, y が
存在する。
W = (x, -b' | y, a')
とすれば、det(W) = 1 であるから W は可逆である(>>104 参照)。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
ここで、E_(n-2) は (n-2)次の単位行列。
証明終
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j))を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
a = x_(1,1), b = x_(1,2) とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。
a, b の最大公約元を d とする。
可逆な正方行列 U が存在して、XU の (1,1)-要素が d となる
ように出来る。
証明
a = da'
b = db'
とおく。
a' と b' の最大公約元は 1 だから、a'x + b'y = 1 となる x, y が
存在する。
W = (x, -b' | y, a')
とすれば、det(W) = 1 であるから W は可逆である(>>104 参照)。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
ここで、E_(n-2) は (n-2)次の単位行列。
証明終
109 ：208：2005/11/28(月) 16:47:29
>>108
>W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (+) E_(n-2) を U とすればよい。
>W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (+) E_(n-2) を U とすればよい。
110 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:44:24
>>107
Who are you?
Who are you?
111 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:48:24
674 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:01:08
勉強も大切だが、心も磨けよ
675 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:27:05
うすらが
勉強も大切だが、心も磨けよ
675 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:27:05
うすらが
112 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:50:47
65 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:08:33
・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
66 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:15:31
ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
67 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:18:41
頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
105 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/28(月) 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと
ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気
はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ
りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら
でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも
顕著だからナー・・・。
66 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:15:31
ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな
奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い
ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、
名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである
ことを祈るばかりですよ（失笑
67 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:18:41
頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に
頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
105 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/28(月) 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
113 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:59:33
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
46 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 11:12:06
この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
いまだにこんなことしかかけないのは
ほんとに見苦しいです
論点をまるっきり理解してないし
ライプニッツとかバカ丸出し
剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか
ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう
定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？
46 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 11:12:06
この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ
ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう
ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。
だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論
できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
いまだにこんなことしかかけないのは
ほんとに見苦しいです
論点をまるっきり理解してないし
ライプニッツとかバカ丸出し
114 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 19:02:00
ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
115 ：208：2005/11/29(火) 10:37:22
>>102 の操作 1), 2), 3), 4) と
2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を
X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。
基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で
ないとする。 >>106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。
s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。
X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して
s(Y) < s(X) に出来る。
証明
X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X)
と仮定してよい。
X の１行目に x_(1,1) で割れないものがあると、
>>106 と >>108 より X を Y に変形して、
s(Y) < s(X) と出来る。同様に、X の１列目にx_(1,1) で割れない
ものがあると、X を Y' に変形して、s(Y') < s(X) と出来る。
よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目
に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0
だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、
s(Y) < s(X) に出来る。
証明終
2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を
X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。
基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で
ないとする。 >>106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。
s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。
X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して
s(Y) < s(X) に出来る。
証明
X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X)
と仮定してよい。
X の１行目に x_(1,1) で割れないものがあると、
>>106 と >>108 より X を Y に変形して、
s(Y) < s(X) と出来る。同様に、X の１列目にx_(1,1) で割れない
ものがあると、X を Y' に変形して、s(Y') < s(X) と出来る。
よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目
に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0
だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、
s(Y) < s(X) に出来る。
証明終
116 ：208：2005/11/29(火) 10:40:41
>>102 の 5) は不要だった。別にあってもいいが。
117 ：208：2005/11/29(火) 10:48:46
>>98 の定理を再度述べる。
定理
A を単項イデアル整域とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
証明
>>115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。
定理
A を単項イデアル整域とする。
X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。
可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
証明
>>115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。
118 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 12:01:28
>>114
温故知新
温故知新
119 ：208：2005/11/29(火) 13:10:27
前にも書いたけど>>117 の証明方法はあまり知られていない
(A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。
普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の
基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、
その系として得る。
一般の単項イデアル整域では２元の最大公約元を求めるアルゴリズム
があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。
しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める
アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、
例えば、２次の代数体の整数環でその体の類数が１ならそれが
ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。
何故なら２次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが
あるから(高木の初等整数論)、類数が１なら素元分解のアルゴリズムが
あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も
求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の
アルゴリズムを与えていることになる。
(A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。
普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の
基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、
その系として得る。
一般の単項イデアル整域では２元の最大公約元を求めるアルゴリズム
があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。
しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める
アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、
例えば、２次の代数体の整数環でその体の類数が１ならそれが
ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。
何故なら２次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが
あるから(高木の初等整数論)、類数が１なら素元分解のアルゴリズムが
あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も
求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の
アルゴリズムを与えていることになる。
120 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 14:13:06
121 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 14:17:24
予備校の仕事大変そうだな
122 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:11:31
80 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 14:47:42
お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
ﾐｼﾞﾒﾃﾞｽﾈ
お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。
お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。
割り算がどうだとかこうだとかｗ
ﾐｼﾞﾒﾃﾞｽﾈ
123 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:46:14
ﾀﾀｶﾚﾃ
ﾀﾀｶﾚﾃ
ﾎﾞﾛﾎﾞﾛﾆﾅｯﾃﾓ
ｷｶﾞﾂｶﾅｲ
ｽｶｽｶﾉ脳
ﾀﾀｶﾚﾃ
ﾎﾞﾛﾎﾞﾛﾆﾅｯﾃﾓ
ｷｶﾞﾂｶﾅｲ
ｽｶｽｶﾉ脳
124 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:47:44
割り算は208のﾄﾗｳﾏにﾅﾘﾏｼﾀﾈ
125 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 22:20:19
126 ：208：2005/11/30(水) 09:30:03
>>115
>よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
>ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
>１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
>よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元
としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。
>よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
>ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
>１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
>よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元
としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。
127 ：208：2005/11/30(水) 10:31:26
>>117 の系として
命題
A を単項イデアル整域とする。
L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。
L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
および、A の非零元 a_1, ..., a_r
で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、
y_1 = a_1f_1
.
.
.
y_r = a_rf_1
となる。
命題
A を単項イデアル整域とする。
L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。
L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
および、A の非零元 a_1, ..., a_r
で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、
y_1 = a_1f_1
.
.
.
y_r = a_rf_1
となる。
128 ：208：2005/11/30(水) 10:42:26
129 ：208：2005/11/30(水) 10:43:27
>>127 の証明
L の基底を e_1, ..., e_m とする。
x1, ..., x_n を M の生成元とする。
各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して
x_j = Σx_(i,j)e_i とする。
X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。
上の式を行列記法でまとめて書くと
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。
>>117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n)
より
(e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V
となる。
UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから
(e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V
(f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1)
(y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V
とおけば
(f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n)
となる。
U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、
V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。
よって、この命題の主張が出る。
証明終
L の基底を e_1, ..., e_m とする。
x1, ..., x_n を M の生成元とする。
各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して
x_j = Σx_(i,j)e_i とする。
X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。
上の式を行列記法でまとめて書くと
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。
>>117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列
Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。
ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n)
より
(e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V
となる。
UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから
(e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V
(f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1)
(y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V
とおけば
(f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n)
となる。
U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、
V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。
よって、この命題の主張が出る。
証明終
130 ：208：2005/11/30(水) 11:20:39
命題
>>127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで
決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
の取りかたによらない。
(a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。
単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ
こともある。
証明
L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と
L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。
よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。
よって、この命題は、前スレの712から出る。
証明終
>>127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで
決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r
の取りかたによらない。
(a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。
単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ
こともある。
証明
L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と
L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。
よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。
よって、この命題は、前スレの712から出る。
証明終
131 ：208：2005/11/30(水) 11:56:49
>>130 の別証明を述べる。
以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。
次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。
補題
A を環、B を A-代数、
I を A のイデアルとする。
(A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。
ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。
証明
完全系列
0 → I → A → A/I → 0
より完全系列
I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0
が得られる。
これより明らか。
証明終
以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。
次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。
補題
A を環、B を A-代数、
I を A のイデアルとする。
(A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。
ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。
証明
完全系列
0 → I → A → A/I → 0
より完全系列
I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0
が得られる。
これより明らか。
証明終
132 ：208：2005/11/30(水) 12:03:38
補題
A を環、I, J をそのイデアルとする。
(A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。
証明
A/J = B とおけば、>>131 より
(A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J)
ここで、等号は同型を表す。
証明終
A を環、I, J をそのイデアルとする。
(A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。
証明
A/J = B とおけば、>>131 より
(A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J)
ここで、等号は同型を表す。
証明終
133 ：208：2005/11/30(水) 12:26:17
補題
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、
(Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n}
の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル
としての和を表す。
証明
前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の
歪テンソル積である。これと >>132 より明らか。
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、
(Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n}
の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル
としての和を表す。
証明
前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の
歪テンソル積である。これと >>132 より明らか。
134 ：208：2005/11/30(水) 14:53:36
補題
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。
証明
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、>>133 の記法で、I_J は I_min(J) である。
一方、一般に A のイデアル I, K に対して
直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。
よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。
よって >>133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。
証明終
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。
証明
I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、>>133 の記法で、I_J は I_min(J) である。
一方、一般に A のイデアル I, K に対して
直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。
よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。
よって >>133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。
証明終
135 ：208：2005/11/30(水) 15:18:59
136 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 17:52:22
予備校で教えるのに飽きたのかな
137 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 18:01:41
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
荒らし荒らし荒らし
138 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 18:03:56
外積の使い方がいまいちだね
139 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 21:46:58
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
140 ：208：2005/12/01(木) 12:55:25
補題
A を環、n > 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。
L の元 x は縦ベクトルとみなす。
e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。
x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。
x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n
.
.
x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n
とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。
この行列の各列が x_1, .., x_p である。
J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて
j_1 < ... < j_p としたとき、
X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。
このとき (Λ^p)L において、
x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p)
となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く
証明
外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。
A を環、n > 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。
L の元 x は縦ベクトルとみなす。
e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。
x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。
x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n
.
.
x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n
とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。
この行列の各列が x_1, .., x_p である。
J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて
j_1 < ... < j_p としたとき、
X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。
このとき (Λ^p)L において、
x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p)
となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く
証明
外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。
141 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 13:55:55
荒らしども！
ありがたく読ませてもらえ！
まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
ありがたく読ませてもらえ！
まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
142 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 14:07:26
143 ：208：2005/12/01(木) 16:21:43
補題
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_n を L の基底とする。
x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。
つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する
座標である。
他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、
x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。
このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。
証明
明らかと思うが、念のために証明しよう。
行列記法を使う。
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は
(a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。
(e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。
よって、
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
= (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)'
一方、
x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。
よって、
(b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。
証明終
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_n を L の基底とする。
x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。
つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する
座標である。
他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、
x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。
このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。
証明
明らかと思うが、念のために証明しよう。
行列記法を使う。
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は
(a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。
(e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。
よって、
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
= (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)'
一方、
x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。
よって、
(b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。
証明終
144 ：208：2005/12/01(木) 16:26:21
補題
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_m を L の基底とする。
M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。
x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。
x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。
他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、
y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。
y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、
Y = (y_(i,j)) とする。
p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。
ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素
の個数を表す。
X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った
p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。
det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。
ここで、a_(K,L) は A の元で、
和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で
|K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_m を L の基底とする。
M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。
x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。
x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。
他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、
y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。
y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、
Y = (y_(i,j)) とする。
p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。
ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素
の個数を表す。
X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った
p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。
det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。
ここで、a_(K,L) は A の元で、
和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で
|K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。
145 ：208：2005/12/01(木) 16:34:55
>>144 の証明
J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。
x_1, .., x_n は M の生成元だから、
y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p)
となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 < ... < j_p の
組を動く。
>>140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で
展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。
ここで、i_1 <...< i_p は I を構成する元である。
det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。
{f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は
それぞれ、(Λ^p)L の基底である。
よって、>>143 から >>144 の主張が得られる。
証明終
J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。
x_1, .., x_n は M の生成元だから、
y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p)
となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 < ... < j_p の
組を動く。
>>140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で
展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。
ここで、i_1 <...< i_p は I を構成する元である。
det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。
{f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は
それぞれ、(Λ^p)L の基底である。
よって、>>143 から >>144 の主張が得られる。
証明終
146 ：208：2005/12/01(木) 16:57:54
命題
A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列
U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。
Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として
表される。
証明
これは >>144 を行列の言葉で書き直したもの。
A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列
U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。
Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として
表される。
証明
これは >>144 を行列の言葉で書き直したもの。
147 ：208：2005/12/01(木) 17:04:12
>>146 の系
>>146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される
A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと
一致する。
証明
Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。
同様に、I_p(X) も定義する。
>>146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。
Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、
再び >>146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。
証明終
>>146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される
A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと
一致する。
証明
Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。
同様に、I_p(X) も定義する。
>>146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。
Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、
再び >>146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。
証明終
148 ：208：2005/12/01(木) 18:52:11
>>98 の定理において 1 ≦ p ≦ r のとき
対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の
最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p
であることがわかる。
よって、>>147 より δ_p = a_1...a_p は X の
p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。
δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。
a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。
よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて
一意に決まる。
a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。
対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の
最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p
であることがわかる。
よって、>>147 より δ_p = a_1...a_p は X の
p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。
δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。
a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。
よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて
一意に決まる。
a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。
149 ：208：2005/12/01(木) 19:06:59
150 ：208：2005/12/01(木) 19:19:44
>>148 が単因子の由来だろう。つまり、行列式因子 δ_p の因子
ということで。
ということで。
151 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 19:28:11
>>150
「単」が付いているのは？
「単」が付いているのは？
152 ：208：2005/12/02(金) 12:24:51
補題
A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。
C = A×B とおく。
C は A と B の環としての直積である。
このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。
証明
α: A → C を標準射とする。
α(x) = (x, 0) である。
β: B → C を標準射とする。
β(x) = (0, x) である。
I = α(A), J = β(B) とおく。
I, J は C のイデアルで
C = I + J
I ∩ J = 0
となる。
よって、
Spec(C) = V(I) ∪ V(J)
V(I) ∩ V(J) = φ
となる。
I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。
よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。
V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。
証明終
A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。
C = A×B とおく。
C は A と B の環としての直積である。
このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。
証明
α: A → C を標準射とする。
α(x) = (x, 0) である。
β: B → C を標準射とする。
β(x) = (0, x) である。
I = α(A), J = β(B) とおく。
I, J は C のイデアルで
C = I + J
I ∩ J = 0
となる。
よって、
Spec(C) = V(I) ∪ V(J)
V(I) ∩ V(J) = φ
となる。
I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。
よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。
V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。
証明終
153 ：208：2005/12/02(金) 12:25:38
154 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:39:48
>>153
あほ
あほ
155 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:47:21
質問者に言えよ。
つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
156 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:49:10
>つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
あほの二乗
あほの二乗
157 ：208：2005/12/02(金) 15:41:03
補題
A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら
A は 非自明な環の直積に分解されない。
つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。
証明
前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。
よって >>152 よりわかる。
A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら
A は 非自明な環の直積に分解されない。
つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。
証明
前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。
よって >>152 よりわかる。
158 ：208：2005/12/02(金) 15:53:50
定義
A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。
M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。
つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在
しないことをいう。
A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。
M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。
つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在
しないことをいう。
159 ：208：2005/12/02(金) 16:54:52
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とすると、
前スレの 709, 710 より、
M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。
ここで、p は A の素元である。
各 A/(p^k) は >>157 より A-加群として直既約である。
前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。
このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。
Krull-Remak-Schmidt の定理
A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。
M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。
さらに、この分解は同型を除いて一意的である。
証明
ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。
例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学Ｉ。
Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
前スレの 709, 710 より、
M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。
ここで、p は A の素元である。
各 A/(p^k) は >>157 より A-加群として直既約である。
前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。
このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。
Krull-Remak-Schmidt の定理
A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。
M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。
さらに、この分解は同型を除いて一意的である。
証明
ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。
例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学Ｉ。
Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
160 ：208：2005/12/02(金) 17:04:32
161 ：208：2005/12/02(金) 17:11:33
次は、可換環のPicard群や因子類群について述べる。
スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人
は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う
代数的整数論の大筋には影響ない。
スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人
は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う
代数的整数論の大筋には影響ない。
162 ：208：2005/12/02(金) 17:29:33
>>152 の逆が言えることを忘れていた。
証明には、スキーム論の初歩を仮定する。
スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。
補題
X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。
X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
証明
X は連結でないから、
X = U ∪ V
U ∩ V = φ
となる空でない開集合 U, V が存在する。
e_1 ∈ Γ(X, O_X) を
e_1|U = 1
e_1|V = 0
となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で
あることから分かる。
同様に
e_2 ∈ Γ(X, O_X) を
e_2|U = 0
e_2|V = 1
で定義する。
この e_1 と e_2 が求めるもの。
証明終
証明には、スキーム論の初歩を仮定する。
スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。
補題
X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。
X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
証明
X は連結でないから、
X = U ∪ V
U ∩ V = φ
となる空でない開集合 U, V が存在する。
e_1 ∈ Γ(X, O_X) を
e_1|U = 1
e_1|V = 0
となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で
あることから分かる。
同様に
e_2 ∈ Γ(X, O_X) を
e_2|U = 0
e_2|V = 1
で定義する。
この e_1 と e_2 が求めるもの。
証明終
163 ：208：2005/12/02(金) 17:38:04
命題
A を環で、Spec(A) は連結でないとする。
このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。
証明
>>162 より A の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。
証明終
A を環で、Spec(A) は連結でないとする。
このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。
証明
>>162 より A の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。
証明終
164 ：208：2005/12/02(金) 17:41:12
>>163のスキーム論を使わない証明って出来るのかな？
165 ：208：2005/12/02(金) 17:49:37
166 ：208：2005/12/02(金) 17:53:54
167 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:08:55
ﾅﾆをｶｷﾂﾊﾞﾀ
168 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:36:25
有限体上の楕円曲線からリーマン麺を作る棚
169 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:45:18
>>167
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
170 ：208：2005/12/05(月) 09:28:25
Hilbertは代数体の３基本定理として以下のものを挙げている。
1) 主整環がDedekind整域となる。
2) Dirichletの単数定理
3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式
これに
4)Dedekindの判別定理
を追加したいところ。
これ等を述べるのがまず当面の目標だ。
今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って
最短距離で行こうかどうかということ。
今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるｗ
1) 主整環がDedekind整域となる。
2) Dirichletの単数定理
3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式
これに
4)Dedekindの判別定理
を追加したいところ。
これ等を述べるのがまず当面の目標だ。
今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って
最短距離で行こうかどうかということ。
今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるｗ
171 ：208：2005/12/05(月) 09:42:48
話は前後するけど、前スレとこのスレの単因子論はBourbakiのコピー
ではない。
主定理(>>117)の証明は、Bourbakiにはない。
前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。
ではない。
主定理(>>117)の証明は、Bourbakiにはない。
前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。
172 ：208：2005/12/05(月) 09:49:49
173 ：208：2005/12/05(月) 10:10:40
>>161 の Picard群に関係してCartier因子の話をしようと思ったけど
これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。
EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは
pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。
これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。
EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは
pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。
174 ：208：2005/12/05(月) 10:58:47
175 ：208：2005/12/05(月) 11:07:30
176 ：206：2005/12/05(月) 13:39:48
定義
A を環、M を A-加群とする。
完全列
L_1 → L_2 → M → 0
が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
A を環、M を A-加群とする。
完全列
L_1 → L_2 → M → 0
が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
177 ：206：2005/12/05(月) 13:53:01
補題
A を環、
A-加群の完全列
0 → K → M → N → 0
において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。
証明
読者に任す。
A を環、
A-加群の完全列
0 → K → M → N → 0
において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。
証明
読者に任す。
178 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 14:21:27
>>169
いちいち反応するのがかわゆいね
いちいち反応するのがかわゆいね
179 ：206：2005/12/05(月) 14:21:43
命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
完全列
0 → K → L → M → 0
において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、
K は有限生成となる。
証明
仮定より、完全列
L_1 → L_2 → M → 0
がある。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
次の可換図式が存在する。
L_1 → L_2 → M → 0
| ｜ ｜
v v v
0 → K → L → M → 0
snake lemma より
0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0
は完全である。
Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。
完全列
L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0
において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。
証明終
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
完全列
0 → K → L → M → 0
において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、
K は有限生成となる。
証明
仮定より、完全列
L_1 → L_2 → M → 0
がある。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
次の可換図式が存在する。
L_1 → L_2 → M → 0
| ｜ ｜
v v v
0 → K → L → M → 0
snake lemma より
0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0
は完全である。
Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。
完全列
L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0
において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。
証明終
180 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 14:27:10
181 ：208：2005/12/05(月) 14:46:08
定義
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0
も完全になること。
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0
も完全になること。
182 ：208：2005/12/05(月) 15:20:51
命題
A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。
このとき、M は自由である。
証明
A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。
M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM)
とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。
M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから
M = mM + N である。
よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。
中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。
L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を
e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる
ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。
Ker(f) = K とおく。
次の可換図式において、
m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0
｜ ｜ ｜
ｖ ｖ ｖ
0 → K → L → M → 0
M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。
よって snake lemma より、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。
よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、
中山の補題より K = 0 となる。
証明終
A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。
このとき、M は自由である。
証明
A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。
M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM)
とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。
M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから
M = mM + N である。
よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。
中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。
L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を
e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる
ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。
Ker(f) = K とおく。
次の可換図式において、
m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0
｜ ｜ ｜
ｖ ｖ ｖ
0 → K → L → M → 0
M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。
よって snake lemma より、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。
よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、
中山の補題より K = 0 となる。
証明終
183 ：208：2005/12/05(月) 15:31:11
ホモロジー代数の初歩を既知とすれば、>>182 の別証が
以下のように得られる。
>>182 の完全列
0 → K → L → M → 0
より、Torのホモロジー完全列
→ Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0
が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。
よって、
0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。
つまり、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
これから後は >>182 と同じ。
以下のように得られる。
>>182 の完全列
0 → K → L → M → 0
より、Torのホモロジー完全列
→ Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0
が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。
よって、
0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。
つまり、
0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0
は完全となる。
これから後は >>182 と同じ。
184 ：208：2005/12/05(月) 15:55:55
>>181 と同様に、
定義
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0
も完全になること。
定義
A を環、M を A-加群とする。
関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。
つまり、A-加群の完全列
0 → E → F → G → 0
に対して
0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0
も完全になること。
185 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 15:58:49
>勉強も大切だが、心も磨けよ
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、
・仕事も大切だが、
・金も大切だが、
・顔がいくら良くっても...
186 ：208：2005/12/05(月) 16:00:34
命題
A を環、M を A-加群とする。
M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。
証明
よく知られているし簡単なので、読者に任す。
A を環、M を A-加群とする。
M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。
証明
よく知られているし簡単なので、読者に任す。
187 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:09:18
ねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
188 ：208：2005/12/05(月) 16:23:32
189 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:24:41
ねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
190 ：208：2005/12/05(月) 16:25:52
191 ：208：2005/12/05(月) 16:28:18
192 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:30:42
さむいね
193 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:00:17
194 ：208：2005/12/05(月) 17:02:30
ここでは、環 A 上の有限生成射影加群が Spec(A) 上の
ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。
射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。
このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。
勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。
たぶん、知らなかったのではないか。
SerreのFAC(1955年)では、言及されている。
ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。
射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。
このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。
勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。
たぶん、知らなかったのではないか。
SerreのFAC(1955年)では、言及されている。
195 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:05:19
そんなバナナ
196 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:11:07
ねえねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
197 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:12:27
(ねえ)^4とかした方がいい。
198 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:32:18
ねぇーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
バナナとリンゴどっちがイチゴ？
バナナとリンゴどっちがイチゴ？
199 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:47:12
東京タワーと富士山
どっちが東京タワー？
どっちが東京タワー？
200 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:49:13
>>194
ところでアファイン空間上のベクトル束が
自明だというのは、191でAを多項式環に
置き換えた命題になるわけですが、たしか
QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。
これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか？
ところでアファイン空間上のベクトル束が
自明だというのは、191でAを多項式環に
置き換えた命題になるわけですが、たしか
QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。
これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか？
201 ：208：2005/12/05(月) 17:56:40
202 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 18:11:29
そうですか。やはりこの辺も進歩しているのですね。
どうもありがとうございます。
どうもありがとうございます。
203 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 18:31:34
パプアニューギニアにはどうやって行ったのですか？
船ですか？
船ですか？
204 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 19:12:37
426 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/07(日) 10:24:29
>>425
お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ
な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの
かｗｗｗ
英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。
論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した
おっさんなんだからさっさと働け！
>>425
お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ
な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの
かｗｗｗ
英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。
論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した
おっさんなんだからさっさと働け！
205 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 06:05:17
Furtwangler..
206 ：208：2005/12/06(火) 09:48:45
>>114
>ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも
廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。
Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。
すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。
因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は
フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。
それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。
>ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも
廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。
Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。
すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。
因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は
フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。
それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。
207 ：208：2005/12/06(火) 11:45:04
補題
A を環、M を 射影的 A-加群とする。
B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。
証明
任意の B-加群 E に対して
Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E)
となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B
により A-加群とみなす。
仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *)
も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。
証明終
A を環、M を 射影的 A-加群とする。
B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。
証明
任意の B-加群 E に対して
Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E)
となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B
により A-加群とみなす。
仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *)
も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。
証明終
208 ：208：2005/12/06(火) 11:53:51
209 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 15:04:35
大文字焼きひとつください
210 ：209：2005/12/06(火) 16:52:56
補題
A を環、M を A 上の有限生成加群とする。
p を A の素イデアルとする。
M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。
証明
M の生成元を x_1, ..., x_n とする。
各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。
よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。
f = Πs_i とおけばよい。
証明終
A を環、M を A 上の有限生成加群とする。
p を A の素イデアルとする。
M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。
証明
M の生成元を x_1, ..., x_n とする。
各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。
よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。
f = Πs_i とおけばよい。
証明終
211 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:10:17
212 ：209：2005/12/06(火) 17:20:06
命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由である。
証明
>>208 より M_p は A_p-加群として自由である。
M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。
ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。
>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。
A-加群としての射 φ: L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。
R = Coker(φ) とおく。
完全列 L → M → R → 0 より
L_p → M_p → R_p → 0 も完全。
一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。
>>210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。
よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。
再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。
つまり、L → M → 0 は完全となる。
K = Ker(L → M) とおくと、
0 → K → L → M → 0 は完全となる。
>190 より M は有限表示を持つから、>>179 より K は有限生成となる。
0 → K_p → L_p → M_p → 0
は完全だから、K_p = 0 となる。
再び >>210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。
よって、
0 → L_f → M_f → 0
は完全となる。
証明終
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由である。
証明
>>208 より M_p は A_p-加群として自由である。
M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。
ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。
>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。
A-加群としての射 φ: L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。
R = Coker(φ) とおく。
完全列 L → M → R → 0 より
L_p → M_p → R_p → 0 も完全。
一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。
>>210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。
よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。
再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。
つまり、L → M → 0 は完全となる。
K = Ker(L → M) とおくと、
0 → K → L → M → 0 は完全となる。
>190 より M は有限表示を持つから、>>179 より K は有限生成となる。
0 → K_p → L_p → M_p → 0
は完全だから、K_p = 0 となる。
再び >>210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。
よって、
0 → L_f → M_f → 0
は完全となる。
証明終
213 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:22:28
俺は位相仏語版は全部持ってるぞ
海賊版っぽいけどな
勝ったな。圧倒的に勝った（＠藁ぷ
まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ
ほとんど停止状態だろ
絶版になってるやつもあるし
海賊版っぽいけどな
勝ったな。圧倒的に勝った（＠藁ぷ
まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ
ほとんど停止状態だろ
絶版になってるやつもあるし
214 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:32:28
215 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:18:41
>>214
はい。かしこまりました。（奥へ）大文字焼きＬひとつ入りまーす。
相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。
焼売ジュースのＬということでよろしいでしょうか？
穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。
はい。かしこまりました。（奥へ）大文字焼きＬひとつ入りまーす。
相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。
焼売ジュースのＬということでよろしいでしょうか？
穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。
216 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:29:56
ええっ餃子ジュースたのしみにしてたのに！
しょうがないな
じゃあ焼売ジュースでいいです。
それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど
サソリも午前中だけ？
しょうがないな
じゃあ焼売ジュースでいいです。
それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど
サソリも午前中だけ？
217 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:41:17
ヴェイユの講義姿は格好良かったな
もちろん京都賞じゃないよ
そのときはかなり弱ってた
もちろん京都賞じゃないよ
そのときはかなり弱ってた
218 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:56:22
すいませーーん
行者ジュースありませんか？
行者ジュースありませんか？
219 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 19:29:13
比叡山の雪景色をみながら
大文字焼きをたべ餃子ジュースを飲む至福
ヴェイユにも味あわせてやりたかった
大文字焼きをたべ餃子ジュースを飲む至福
ヴェイユにも味あわせてやりたかった
220 ：208：2005/12/07(水) 09:37:47
>>212
>>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
>A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
>>207より M_s は A_s-加群として射影的であるから、
A を A_s, M を M_s で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
>>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、
>A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
>>207より M_s は A_s-加群として射影的であるから、
A を A_s, M を M_s で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
221 ：208：2005/12/07(水) 10:52:07
222 ：208：2005/12/07(水) 10:52:51
命題
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B)
となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。
証明
任意の A-加群 P に対して
F(P) = Hom(P, N)(x)B
G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。
任意の射φ: P → N
は φ(x)1: P(x)B → P(x)B
を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。
M は有限表示を持つから完全列
L_2 → L_1 → M → 0
が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。
よって次の可換図式が得られる。
0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2)
｜ ｜ ｜ ｜
0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2)
水平の列は完全である。
F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B
G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B
だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、
F(L) → G(L) は同型である。
よって、上の可換図式の右の縦２列は同型である。
よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。
証明終
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B)
となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。
証明
任意の A-加群 P に対して
F(P) = Hom(P, N)(x)B
G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。
任意の射φ: P → N
は φ(x)1: P(x)B → P(x)B
を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。
M は有限表示を持つから完全列
L_2 → L_1 → M → 0
が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。
よって次の可換図式が得られる。
0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2)
｜ ｜ ｜ ｜
0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2)
水平の列は完全である。
F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B
G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B
だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、
F(L) → G(L) は同型である。
よって、上の可換図式の右の縦２列は同型である。
よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。
証明終
223 ：208：2005/12/07(水) 10:59:59
>>222 の系
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
S を A の積閉部分集合(前スレの63)とする。
任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)_S = Hom(M_S, N_S)
となる。ここで、等号は A_S-加群としての同型を表す。
証明
A_S は A-加群として平坦(前スレの86)だから >>222 より明らか。
A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。
S を A の積閉部分集合(前スレの63)とする。
任意の A-加群 N に対して
Hom(M, N)_S = Hom(M_S, N_S)
となる。ここで、等号は A_S-加群としての同型を表す。
証明
A_S は A-加群として平坦(前スレの86)だから >>222 より明らか。
224 ：208：2005/12/07(水) 11:25:12
補題
A を環、M を A-加群とする。
A の任意の極大イデアル m に対して標準射 M → M_m がある。
よって射 φ: M → ΠM_m が得られる。ここで、右辺は、A の全ての
極大イデアル m を動く。
このとき、Ker(φ) = 0 である。
証明
x ∈ Ker(φ) で x ≠ 0 とする。
Ann(x) ≠ A だから、Ann(x) ⊂ m となる極大イデアル m がある。
仮定より M_m において x/1 = 0 となる。
よって、s ∈ A - m があって sx = 0 となる。
よって、s ∈ Ann(x) ⊂ m となって矛盾。
証明終
A を環、M を A-加群とする。
A の任意の極大イデアル m に対して標準射 M → M_m がある。
よって射 φ: M → ΠM_m が得られる。ここで、右辺は、A の全ての
極大イデアル m を動く。
このとき、Ker(φ) = 0 である。
証明
x ∈ Ker(φ) で x ≠ 0 とする。
Ann(x) ≠ A だから、Ann(x) ⊂ m となる極大イデアル m がある。
仮定より M_m において x/1 = 0 となる。
よって、s ∈ A - m があって sx = 0 となる。
よって、s ∈ Ann(x) ⊂ m となって矛盾。
証明終
225 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:32:00
>>217
＞ヴェイユの講義姿は格好良かったな
＞もちろん京都賞じゃないよ
ああ、55年のときね。永田君も話してたな。
谷山君が欠席したのが惜しかった。
あのときにたしかヴェイユが南禅寺で
写経しながら大文字焼き食べてたよ。
当時はまだ餃子ジュースがなくて、
生八つ橋シェイク飲んでたっけ。懐かしいな〜。
＞ヴェイユの講義姿は格好良かったな
＞もちろん京都賞じゃないよ
ああ、55年のときね。永田君も話してたな。
谷山君が欠席したのが惜しかった。
あのときにたしかヴェイユが南禅寺で
写経しながら大文字焼き食べてたよ。
当時はまだ餃子ジュースがなくて、
生八つ橋シェイク飲んでたっけ。懐かしいな〜。
226 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:42:12
>>225
そうだったな。岡先生が餃子コーヒーを注文したら
店の人が「そんなもんあらしませんえ」とかいって
笑ったっけ。あれが、餃子ジュースを思いつくきっかけ
になったらしいね。後で店長から聞いたことだけど。
そうだったな。岡先生が餃子コーヒーを注文したら
店の人が「そんなもんあらしませんえ」とかいって
笑ったっけ。あれが、餃子ジュースを思いつくきっかけ
になったらしいね。後で店長から聞いたことだけど。
227 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:58:25
永田君はなにをしゃべったんだい？
228 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 13:17:44
ヒルベルト・永田の定理の原型だったかな？
志村君がいつものように意地の悪い質問していたけど、
どこか的が外れていたな。
志村君がいつものように意地の悪い質問していたけど、
どこか的が外れていたな。
229 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 13:23:15
志村君ね。嫌われ者だったな。あの当時から。
ジーゲル先生が嫌がって志村君とは口もきかなかった。
ジーゲル先生が嫌がって志村君とは口もきかなかった。
230 ：208：2005/12/07(水) 14:26:27
A を環とする。
E を A の部分集合としたとき
V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。
さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。
補題
A を環とする。
Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。
証明
Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、
E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、
∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。
よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。
何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在
するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元
g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。
証明終
E を A の部分集合としたとき
V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。
さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。
補題
A を環とする。
Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。
証明
Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、
E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、
∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。
よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。
何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在
するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元
g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。
証明終
231 ：208：2005/12/07(水) 14:53:31
補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として
有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として
有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
232 ：208：2005/12/07(水) 15:03:14
フフン
233 ：208：2005/12/07(水) 15:04:04
はっきり書くよ。
ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、
天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、
全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。
だから、日本ならば、ノーベル賞を１００個くらい、とれなければ「おかしい」。
ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、
天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、
全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。
だから、日本ならば、ノーベル賞を１００個くらい、とれなければ「おかしい」。
234 ：208：2005/12/07(水) 15:27:19
補題
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として
有限表示を持つ。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。
>>231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で
生成される。
L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする
A-自由加群とする。射 φ: L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → L → M → 0
より、各 i に対して完全列
0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0
が得られる。
L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、>>179 より K_(f_i) は
A_(f_i)-加群として有限生成である。
よって、>>231 より K は A-加群として有限生成である。
証明終
A を環、M を A-加群とする。
f_1, ..., f_n を A の元とし、
Spec(A) = ∪D(f_i) とする。
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として
有限表示を持つ。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。
>>231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で
生成される。
L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする
A-自由加群とする。射 φ: L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → L → M → 0
より、各 i に対して完全列
0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0
が得られる。
L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、>>179 より K_(f_i) は
A_(f_i)-加群として有限生成である。
よって、>>231 より K は A-加群として有限生成である。
証明終
235 ：208：2005/12/07(水) 15:47:32
命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら
M は射影的である。
証明
P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。
Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。
よって、
Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0
は完全である。
m を A の任意の極大イデアルとすると、
Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0
も完全である。
>>223 より
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0
は完全である。
一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、
完全列 P_m → Q_m → 0 より、
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。
よって、T_m = 0 である。
m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。
証明終
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら
M は射影的である。
証明
P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。
Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。
よって、
Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0
は完全である。
m を A の任意の極大イデアルとすると、
Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0
も完全である。
>>223 より
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0
は完全である。
一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、
完全列 P_m → Q_m → 0 より、
Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。
よって、T_m = 0 である。
m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。
証明終
236 ：208：2005/12/07(水) 16:07:11
命題
A を環、M を A-加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由であるとする。
このとき、M は有限生成射影加群である。
証明
>>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、
A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。
よって、>>234 より M は有限表示を持つ。
A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、
mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、
M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。
よって、M_m は A_m-加群として自由である。
よって >>235 より M は射影的である。
証明終
A を環、M を A-加群とする。
A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し
M_f は A_f-加群として自由であるとする。
このとき、M は有限生成射影加群である。
証明
>>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、
A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、
各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。
よって、>>234 より M は有限表示を持つ。
A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、
mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、
M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。
よって、M_m は A_m-加群として自由である。
よって >>235 より M は射影的である。
証明終
237 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 16:15:44
nikuudaaa!!!! sanyushiii!!!!!
okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!!
omaira suugaku bakari yattorande
yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!!
okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!!
omaira suugaku bakari yattorande
yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!!
238 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 16:20:58
>>237
靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。
靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。
239 ：208：2005/12/07(水) 16:28:36
>>236 の証明はBourbakiとは違う。
Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。
もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。
だけど、それが何か思い出せない。
Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。
もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。
だけど、それが何か思い出せない。
240 ：208：2005/12/07(水) 17:15:57
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が
存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層
になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。
(F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。
関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。
よって、X の各連結成分上では定数になる。
rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の
局所自由層という。
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が
存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層
になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。
(F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。
関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。
よって、X の各連結成分上では定数になる。
rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の
局所自由層という。
241 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 18:03:00
ヴェイユ全集もってないの？
242 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 22:26:02
持ってるわけないじゃん！
243 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 06:20:47
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
244 ：208：2005/12/08(木) 09:40:21
245 ：208：2005/12/08(木) 10:01:28
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき
(O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。
よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の)
集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には
ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、
O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で
その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と
(O_X)^S は同型ではないし(何故か？)、濃度の全体は集合ではない。
X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき
(O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。
よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の)
集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には
ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、
O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で
その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と
(O_X)^S は同型ではないし(何故か？)、濃度の全体は集合ではない。
246 ：208：2005/12/08(木) 10:35:12
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数１の局所自由層を可逆層という。
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
X 上の階数１の局所自由層を可逆層という。
247 ：208：2005/12/08(木) 10:35:41
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
(L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積
(L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。
証明
問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。
この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。
証明終
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
(L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積
(L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。
証明
問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。
この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。
証明終
248 ：208：2005/12/08(木) 10:44:08
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X)
も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。
つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X)
も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。
つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
249 ：208：2005/12/08(木) 10:59:53
命題
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を O_X-加群の層とすると、
標準射 φ: Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が
u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に
u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。
L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
L~ を O_X-加群の層とすると、
標準射 φ: Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が
u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に
u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。
L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。
証明
問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。
この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。
証明終
250 ：208：2005/12/08(木) 11:07:58
定義
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
>>245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。
>>247, >>248, >>249 より、この集合は群となる。
この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。
>>245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。
>>247, >>248, >>249 より、この集合は群となる。
この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。
251 ：208：2005/12/08(木) 11:38:20
命題
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、
M~ は階数有限の局所自由層である。
証明
>>240 の定義と>>212 より明らか。
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、
M~ は階数有限の局所自由層である。
証明
>>240 の定義と>>212 より明らか。
252 ：208：2005/12/08(木) 11:59:06
命題
A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。
Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、
F~ は M~ と標準的に同型になる。
証明
f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。
M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、
これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。
よって、標準射 M~ → F~ が得られる。
F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である
(これはスキーム論の基本定理の１つ)。
よって、>>236 より M は有限生成射影加群である。
証明終
A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。
F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。
Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、
F~ は M~ と標準的に同型になる。
証明
f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。
M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、
これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。
よって、標準射 M~ → F~ が得られる。
F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である
(これはスキーム論の基本定理の１つ)。
よって、>>236 より M は有限生成射影加群である。
証明終
253 ：208：2005/12/08(木) 12:15:51
>>240 を可換代数の言葉で述べると、次の定義になる。
定義
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
>>208 より、A の各素イデアル p に対して、
M_p は A_p-加群として自由である。
M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。
>>212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。
よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。
rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の
射影加群という。
定義
A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。
>>208 より、A の各素イデアル p に対して、
M_p は A_p-加群として自由である。
M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。
>>212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。
よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。
rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の
射影加群という。
254 ：208：2005/12/08(木) 13:49:48
定義
A を環とする。Spec(A) の Picard群(>>250) を Pic(A) と書く。
A を環とする。Spec(A) の Picard群(>>250) を Pic(A) と書く。
255 ：208：2005/12/08(木) 13:59:13
256 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 14:33:24
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
257 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:04:02
>>256
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
69 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/02(金) 19:45:18
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
69 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/02(金) 19:45:18
> 荒らしは黙ってろ！
> ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！
> お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！
> 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！
> ありがたく読ませてもらえ！
> まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
258 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:21:06
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
図星だったくせに
5 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/22(火) 16:36:48
ひとまず礼を言っておこう。有難う。
ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで
いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字
じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
ここは、俺様208が降臨した伝説のスレとして語り継がれる場所だ。
貴様のようなクズが書き込んでいいと思っているのか？
悔しかったら、俺様よりもいいネタを提供しろ、蛆虫が！
260 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:38:39
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
ヴェイユ全集もってないくせに
図星だったくせに
ヴェイユ全集もってないくせに
261 ：208：2005/12/08(木) 16:40:36
環 A 上の階数１の射影加群の同型類は、テンソル積
により可換群になることは、>>250 と >>255 より明らかだが
スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。
命題
環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。
同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。
g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。
(A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。
P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから
A_(fg)-加群として自由である。
よって、初めから f = g と仮定してよい。
(P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は
A_f-加群として自由である。
よって、>>236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明終
により可換群になることは、>>250 と >>255 より明らかだが
スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。
命題
環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積
P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。
同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。
g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。
(A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。
同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。
P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから
A_(fg)-加群として自由である。
よって、初めから f = g と仮定してよい。
(P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は
A_f-加群として自由である。
よって、>>236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明終
262 ：208：2005/12/08(木) 16:54:47
263 ：208：2005/12/08(木) 17:05:58
命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A) も階数１の射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と
同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。
Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、
>>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。
証明終
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A) も階数１の射影加群である。
証明
p を A の素イデアルとする。
>>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と
同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。
Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、
>>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。
証明終
264 ：208：2005/12/08(木) 17:41:06
補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。
証明
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → M → N
より、完全列
0 → K_m → M_m → N_m
が得られる。
M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。
よって、>>224 より K = 0 である。
証明終
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。
証明
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → M → N
より、完全列
0 → K_m → M_m → N_m
が得られる。
M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。
よって、>>224 より K = 0 である。
証明終
265 ：208：2005/12/08(木) 17:42:19
266 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 17:46:05
ヴェイユ全集もってないくせに
267 ：208：2005/12/08(木) 17:47:56
補題
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。
証明
>>264 と >>265 より。
A を環とする。
φ: M → N を A-加群の射とする。
A の各極大イデアル m に対して
φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。
証明
>>264 と >>265 より。
268 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 17:51:56
ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
269 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:00:27
お金はあったでしょ
270 ：208：2005/12/08(木) 18:04:25
命題
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。
証明
u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる
ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。
よって、A_m をテンソル積することにより
φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。
P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。
P_m = A_m だから、φ_m は同型である。
よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。
証明終
環 A 上の階数１の射影加群 P に対して
Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。
証明
u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる
ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。
よって、A_m をテンソル積することにより
φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。
P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。
よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。
P_m = A_m だから、φ_m は同型である。
よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。
証明終
271 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:13:34
志村先生すき？
272 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:34:05
五郎ちゃんって呼んで
273 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 21:39:14
208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12
>>70
やだ
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15
勉強も大切だが、心も磨けよ
72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12
>>70
やだ
274 ：208：2005/12/09(金) 11:35:17
環付空間の射 f:X → Y があるとする。
Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる
ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。
これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への
反変関手になる。
このことを、可換環の圏において翻訳しよう。
Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる
ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。
これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への
反変関手になる。
このことを、可換環の圏において翻訳しよう。
275 ：208：2005/12/09(金) 11:52:17
命題
A を環、 B を A-代数とする。
P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は
B 上の階数１の射影加群である。
証明
φ: A → B を構造射とする。
>>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。
q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q)
とする。
(P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q
= (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q
よって、P(x)B は射影加群として階数１である。
証明終
A を環、 B を A-代数とする。
P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は
B 上の階数１の射影加群である。
証明
φ: A → B を構造射とする。
>>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。
q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q)
とする。
(P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q
= (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q
よって、P(x)B は射影加群として階数１である。
証明終
276 ：208：2005/12/09(金) 11:56:22
277 ：208：2005/12/09(金) 15:25:51
可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。
例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。
同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の
Picard群も自明である。
まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。
例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。
同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の
Picard群も自明である。
まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。
278 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 15:44:33
示さなくともよろしい
279 ：208：2005/12/09(金) 16:10:54
定義
A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を
(可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の
直和になることと同値である。
A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を
(可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の
直和になることと同値である。
280 ：208：2005/12/09(金) 16:30:02
命題
A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。
M は A の極小イデアルのひとつに同型である。
証明
A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。
x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。
よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。
よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。
M の単純性より、M = (I_k)x である。
A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。
Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より
Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。
証明終
A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。
M は A の極小イデアルのひとつに同型である。
証明
A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。
x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。
よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。
よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。
M の単純性より、M = (I_k)x である。
A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。
Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より
Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。
証明終
最近めっぽう寒くなってきたね。
そんな代数幾何。
そんな代数幾何。
282 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:40:06
だからウォームアップをしてるんだろう
283 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:43:35
ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ
284 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:44:31
>>281
ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ
ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ
285 ：208：2005/12/09(金) 17:01:50
補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の和となるとする。
このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。
各 M_i は相異なると仮定してよい。
M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。
M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから
M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。
M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。
よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。
(M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、
M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。
よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。
k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の和となるとする。
このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。
各 M_i は相異なると仮定してよい。
M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。
M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから
M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。
M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。
よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。
(M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、
M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。
よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。
k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
286 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:28:26
優拳固にする必要はなかろう
287 ：208：2005/12/09(金) 17:32:28
おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。
蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
288 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:33:40
政界も財界も官界も数学界も建築界も
どこもかしこも腐りきっている
先祖を大事にしろ？！
やす国の英霊をたてまつれ？！
馬鹿いうんじゃねえ
こんな腐った日本をつくって
それを俺たちに押しつけている連中に
なんの感謝の必要がある？
どこもかしこも腐りきっている
先祖を大事にしろ？！
やす国の英霊をたてまつれ？！
馬鹿いうんじゃねえ
こんな腐った日本をつくって
それを俺たちに押しつけている連中に
なんの感謝の必要がある？
289 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:35:50
>しばらく書き込むのをやめるぞ。
ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに
しばらくどころか金輪際書かなくても
どうせ誰も惜しまない内容だよね
ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに
しばらくどころか金輪際書かなくても
どうせ誰も惜しまない内容だよね
290 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:37:14
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
291 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:53:35
695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35
崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ
ここで引き取って貰えませんか？
崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ
ここで引き取って貰えませんか？
292 ：208：2005/12/09(金) 18:00:47
補題
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。
N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。
M ≠ N と仮定してよい。
各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって
M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k
の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら
同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。
よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
A を環とし、M を A-加群とする。
M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。
N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。
証明
M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。
M ≠ N と仮定してよい。
各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって
M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k
の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら
同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。
よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。
以下、これを繰り返せばよい。
証明終
293 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:06:30
208復活おめ。
少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！
少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！
294 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:06:45
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
優拳固にする必要はなかろう
295 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:07:24
296 ：208：2005/12/09(金) 18:10:04
>>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから
N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。
N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。
297 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:12:18
ブルバキの劣化コピーか
298 ：208：2005/12/09(金) 18:12:57
299 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:13:55
ブルバキの劣化コピー！
300 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:14:53
前スレのログきぼん
そうだおれはおれじゃない
じゃあおれはだれだ
じゃあおれはだれだ
302 ：208：2005/12/09(金) 18:17:28
性格が悪いだけじゃないぞ。
303 ：208：2005/12/09(金) 18:19:00
復活して脳内大学で講義する雄姿を見よ。
304 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:24:47
サボり龍の入れ墨した森毅が啖呵を決める「どっちでもええんちゃう」
305 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:31:36
>>304
それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら〜〜。
それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら〜〜。
306 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:44:09
307 ：208：2005/12/09(金) 18:47:44
パプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。
308 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 19:00:18
劣化コピー烈火の如く怒るブルバキ
309 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 19:03:58
月曜までにこのスレがなくなったら驚くな。
310 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 19:05:30
なぜベストを尽くさないのか！
俺は king だ。
king 氏ね。
king 氏ね。
312 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/09(金) 20:15:23
talk:>>311 お前に何が分かるというのか？
そんな事より、ちょいと聞いてくれよ。問題とあんま関係ないけどさ。
このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。
で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。
１５０円だよ、１５０円。
なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。
よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、１５０円やるからその席空けろと。
吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。
お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。
吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、
ねぎだく、これだね。
大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。
ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。
で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。
しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。
このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。
で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。
１５０円だよ、１５０円。
なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。
よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、１５０円やるからその席空けろと。
吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。
お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。
吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、
ねぎだく、これだね。
大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。
ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。
で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。
しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。
314 ：208：2005/12/10(土) 03:30:28
315 ：208：2005/12/10(土) 03:59:13
>>313
そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！
そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！
316 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 10:06:53
317 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 15:20:55
今日はまだ現われませんか
本物も偽物も
本物も偽物も
318 ：208：2005/12/12(月) 16:09:57
319 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 16:11:47
320 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 16:14:15
>>316
期待しています。
期待しています。
321 ：208：2005/12/12(月) 16:20:17
このスレに貼付けるのやめてよ。別スレ立てるとかにして
322 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 16:26:28
今日の授業はどう？
323 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 16:28:01
バカ田大学をなめるなよ。
324 ：208：2005/12/12(月) 17:02:38
命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは
これら m_1, ..., m_n のみである。
証明
A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。
J を A の極大イデアルとする。
I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら
I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。
よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。
J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。
j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、
同様に A = I_j + J となる。
A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J
= 0 + 0 = 0 となって矛盾。
よって、J = m_i となる。
証明終
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは
これら m_1, ..., m_n のみである。
証明
A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。
J を A の極大イデアルとする。
I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら
I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。
よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。
J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。
j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、
同様に A = I_j + J となる。
A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J
= 0 + 0 = 0 となって矛盾。
よって、J = m_i となる。
証明終
325 ：208：2005/12/12(月) 17:10:34
命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであるが、
A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。
証明
読者に任す。
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであるが、
A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。
証明
読者に任す。
326 ：208：2005/12/12(月) 17:16:37
A_(m_i) ってなんだっけ？
327 ：208：2005/12/12(月) 17:18:55
命題
A を半単純環(>>279)とする。
任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。
証明
M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M
が存在する。Ker(φ) = N とおけば、
0 → N → L → M → 0 は完全である。
>>292 よりこの完全列は分解する。
よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。
証明終
A を半単純環(>>279)とする。
任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。
証明
M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M
が存在する。Ker(φ) = N とおけば、
0 → N → L → M → 0 は完全である。
>>292 よりこの完全列は分解する。
よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。
証明終
328 ：208：2005/12/12(月) 17:20:42
A_(m_i) の意味を教えてくれ
329 ：208：2005/12/12(月) 17:21:37
330 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 17:24:07
だんだん劣化してきてるなあ
331 ：208：2005/12/12(月) 17:26:45
talk:>>329 お前誰だよ？
332 ：208：2005/12/12(月) 17:30:44
333 ：208：2005/12/12(月) 17:36:29
命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。
各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。
証明
読者に任す。
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。
各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。
証明
読者に任す。
334 ：208：2005/12/12(月) 17:41:10
いいかここに書き込むのは208だけだ。
335 ：208：2005/12/12(月) 17:42:01
どんどん劣化してきてるなあ
336 ：208：2005/12/12(月) 17:43:08
talk:>>335 お前に何が分かるというのか？
337 ：208：2005/12/12(月) 17:49:23
ずんずん劣化してきてるなあ
338 ：208：2005/12/12(月) 17:50:27
命題
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より
A_(m_i) は I_i と同型な体である。
M_(m_i) の 体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。
このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と
になる。
証明
>>333 を使う。詳細は読者に任す。
A を半単純環(>>279)とする。
A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。
1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。
M を有限生成 A-加群とする。
m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。
>>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より
A_(m_i) は I_i と同型な体である。
M_(m_i) の 体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。
このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と
になる。
証明
>>333 を使う。詳細は読者に任す。
339 ：208：2005/12/12(月) 17:53:12
無意味な繰り返しだなあ
340 ：208：2005/12/12(月) 17:57:25
341 ：208：2005/12/12(月) 18:00:24
えー可換なのか
342 ：208：2005/12/12(月) 18:01:16
343 ：208：2005/12/12(月) 18:04:57
可換かい。
だるいことやっとるのお。
だるいことやっとるのお。
344 ：208：2005/12/12(月) 18:10:30
もっとちゃんとしたこと可換かい。
ほんまやね。
346 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 18:21:09
お前ら、俺にかまってほしいんだろ。
ひょっとして俺に惚れてるとかｗ
気持ち悪いな。
シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。
ひょっとして俺に惚れてるとかｗ
気持ち悪いな。
シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。
347 ：208：2005/12/12(月) 18:23:35
こら偽者。
348 ：208：2005/12/12(月) 18:25:37
大文字犬文字太文字
349 ：208：2005/12/12(月) 18:26:11
どれだ？
350 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 18:29:53
文字犬
351 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 19:16:03
352 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 20:58:31
/ ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ l !
'ｨ /__ ' i iﾉ
{ r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
ヽl i),ﾞ ﾞｰ─' iｰ-ｲ!
ヾi_ ' ､＿_ ' /ﾞ
| ヽ - /
,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿
ハッハッハ！ 見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ
'ｨ /__ ' i iﾉ
{ r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
ヽl i),ﾞ ﾞｰ─' iｰ-ｲ!
ヾi_ ' ､＿_ ' /ﾞ
| ヽ - /
,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿
ハッハッハ！ 見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ
353 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 22:47:37
>>316
横レスだがうｐローダ使うとか
横レスだがうｐローダ使うとか
354 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 00:49:52
>>352
あらすな、ボケェ！！！！！
あらすな、ボケェ！！！！！
355 ：208：2005/12/13(火) 09:58:48
命題
A を環とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。
B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。
証明
>>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。
φ: A → B を構造射とする。
q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。
(M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q
= (B_q)^n
よって、rank(M(x)B)_q = n
証明終
A を環とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。
B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。
証明
>>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。
φ: A → B を構造射とする。
q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。
(M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q
= (B_q)^n
よって、rank(M(x)B)_q = n
証明終
356 ：208：2005/12/13(火) 10:01:09
M(x)って何？
357 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 10:05:25
答えてほしけりゃ俺のＩＤを使うな
358 ：208：2005/12/13(火) 10:14:15
命題
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、
M は自由である。
証明
A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの
共通集合を I とする。
B = A/I は半単純環(>>279)である。
M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。
よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。
M は射影加群だから A-加群として平坦である。
よって、>>182 の証明と同様にすればよい。
証明終
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。
M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、
M は自由である。
証明
A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの
共通集合を I とする。
B = A/I は半単純環(>>279)である。
M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。
よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。
M は射影加群だから A-加群として平坦である。
よって、>>182 の証明と同様にすればよい。
証明終
359 ：208：2005/12/13(火) 10:15:19
俺は自由だ
360 ：208：2005/12/13(火) 11:25:12
環 A のPicard群 の層を使わない定義をまだしていなかった。
定義
A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積
によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。
これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。
定義
A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積
によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。
これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。
361 ：208：2005/12/13(火) 11:26:01
362 ：208：2005/12/13(火) 11:29:15
定義
A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。
A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。
A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。
A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。
363 ：208：2005/12/13(火) 11:39:13
命題
ネーター環の全商環は半局所環である。
証明
A をネーター環とする。 Ass(A) (前スレの89) に属す素イデアルの
合併は A の非零因子全体の集合と一致する(前スレの201)。
これから明らか。
証明終
ネーター環の全商環は半局所環である。
証明
A をネーター環とする。 Ass(A) (前スレの89) に属す素イデアルの
合併は A の非零因子全体の集合と一致する(前スレの201)。
これから明らか。
証明終
364 ：208：2005/12/13(火) 11:48:26
環 A の全商環 B が半局所環となるとする(例えば、A がネーター環なら
>>363よりそうなる)。
M を A 上の階数１の射影加群とする。
>>361 より M(x)B は B-加群として B と同型である。
一方、M は平坦だから
A-加群の完全列
0 → A → B
を完全列
0 → M → M(x)B
に写す。
よって、M は B の A-部分加群と同型になる。
これから、Pic(A) の構造を調べるには B の A-部分加群で階数１の
射影加群となるものを調べればよいことが分かる。
>>363よりそうなる)。
M を A 上の階数１の射影加群とする。
>>361 より M(x)B は B-加群として B と同型である。
一方、M は平坦だから
A-加群の完全列
0 → A → B
を完全列
0 → M → M(x)B
に写す。
よって、M は B の A-部分加群と同型になる。
これから、Pic(A) の構造を調べるには B の A-部分加群で階数１の
射影加群となるものを調べればよいことが分かる。
365 ：208：2005/12/13(火) 12:18:30
>>364 だから M(x) って何だよ？
366 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 14:22:47
川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
川北君に嫉妬したＩｎｖｅｎｔ．崩れが、女児を刺す殺す！
367 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 14:44:09
368 ：208：2005/12/13(火) 14:46:07
今日からみんなで208ごっこしよう。
うすらが。
うすらが。
369 ：208：2005/12/13(火) 14:47:26
Ass(208)は単鈍環。
370 ：208：2005/12/13(火) 14:48:18
Ass(単鈍感)=208
371 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 16:52:13
あらすな、ボケェ！！！！！
372 ：208：2005/12/13(火) 16:53:35
今日の授業はどうだった？
373 ：208：2005/12/13(火) 16:54:53
どうしてヴェイユ全集もってないの？
374 ：208：2005/12/13(火) 16:59:30
大文字犬文字太文字
どれ？
どれ？
ゆきやこんこ
あられやこんこ
あられやこんこ
376 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 17:11:46
お前、例のｷﾁxxだろ。
ﾏｼﾞで病院行け
ﾏｼﾞで病院行け
377 ：208：2005/12/13(火) 17:13:58
お前、例のｷﾁxxだろ。
ﾏｼﾞで病院行け
ﾏｼﾞで病院行け
378 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 17:18:41
おまえが行け
阿弥陀が池
阿弥陀が池
379 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 17:19:53
>>376
病室のパソコンから書き込んでいるのだが何か？
病室のパソコンから書き込んでいるのだが何か？
380 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 19:13:39
I藤さんやY田さんだけじゃなくて、Y永さんもInventに論文あるよ。
来年はイタリアに行くみたい。
マジでInventも就職厳しいみたいだね。
来年はイタリアに行くみたい。
マジでInventも就職厳しいみたいだね。
381 ：208：2005/12/13(火) 20:52:20
>>308 king 氏ね
382 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 21:38:39
・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、
それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
383 ：208：2005/12/13(火) 21:50:25
そろそろ引き際かな。
384 ：１３２人目の素数さん：2005/12/13(火) 22:01:49
まるで業績ある奴が優先して就職できないといけないような言い方だが？
数学者の研究成果に期待する国民はほぼ皆無。しかし、コネがある人間が
ポストに就いて先生達の忠実な後継者になることを、先生は期待している。
期待にこたえるのは良いことだ
で、その業績はあるがコネが無い奴がポストについたら、何か良いことが
あるのか？本当に業績あるといっても、実際のところ何の役にも立たない
んだろう？
有名どころの雑誌に論文を数本載せたからといってポストに就けるなどと
甘い期待は持たないことだ
数学者の研究成果に期待する国民はほぼ皆無。しかし、コネがある人間が
ポストに就いて先生達の忠実な後継者になることを、先生は期待している。
期待にこたえるのは良いことだ
で、その業績はあるがコネが無い奴がポストについたら、何か良いことが
あるのか？本当に業績あるといっても、実際のところ何の役にも立たない
んだろう？
有名どころの雑誌に論文を数本載せたからといってポストに就けるなどと
甘い期待は持たないことだ
385 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 09:23:37
俺を叩くのに俺のＩＤを使うってアフォや基地外の考えることは
わからん(当たり前とも言えるが)。俺が識別出来にくくなったら
叩きにくいだろうが。俺自身が痛いことを言っても、言い訳がきくし。
ひょっとして俺と一体化したいとかｗ
気持ち悪い〜。
わからん(当たり前とも言えるが)。俺が識別出来にくくなったら
叩きにくいだろうが。俺自身が痛いことを言っても、言い訳がきくし。
ひょっとして俺と一体化したいとかｗ
気持ち悪い〜。
386 ： ◆r5LpnmM55A ：2005/12/14(水) 10:43:12
トリップというものを使ってみるか
387 ： ◆SQ2Wyjdi7M ：2005/12/14(水) 10:46:35
数字じゃ駄目なのか？
388 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 10:50:47
トリップってどうやるの？
#名前じゃ駄目なの？
#名前じゃ駄目なの？
389 ： ◆r5LpnmM55A ：2005/12/14(水) 10:56:06
いいんじゃないか？
390 ：208：2005/12/14(水) 10:57:08
「208 #(適当な文字列)」で良いと思うぞ。
391 ：208 ◆0nkPxMcORM ：2005/12/14(水) 10:58:16
ここで今まで述べたことの整理をしよう。
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。
θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))
M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は余代数であり余結合的(>>870)で余単位を持つ(>>871)
ので、Homgr(ΛM, A) は結合的で単位元をもつ代数となる
(>>867 と >>869)。
しかも、歪可換(>>885)で交代的なので、
A-代数としての標準射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
が存在する(>>888)。
θは具体的には次の公式で与えられる(>>891, >>892)。
θ(f_1Λ...Λf_n)(x_1Λ...Λx_n) = (-1)^(n(n-1))/2 det(f_i(x_j))
M が A 上の有限生成の自由加群のとき(これが応用では多い)
θは同型となる(>>892)。
よって、(-1)^(n(n-1))/2 θ(f)(x) を (x, f) で表すと、
(x, f) は (Λ^p)M と Λ^p(Hom(M, A)) の非退化の双一次形式
(Λ^p)M×Λ^p(Hom(M, A)) → A となる。
392 ：208 #：2005/12/14(水) 10:59:43
どうだ？
393 ： ◆3wAwF5kjXk ：2005/12/14(水) 11:00:30
こうか？
394 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 11:01:32
どうやるの？
誰か教えて。
誰か教えて。
395 ：208 ◆0nkPxMcORM ：2005/12/14(水) 11:03:21
396 ：208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/14(水) 11:05:19
どうだ？
397 ：208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/14(水) 11:06:11
やっと出来た。thanks
398 ：208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/14(水) 11:16:18
分かってると思うが >>391 は俺じゃない。
399 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 12:37:42
やればできるじゃん。一つ賢くなったね。
400 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 13:32:57
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
401 ：208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/14(水) 16:02:01
402 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 16:16:05
せっかくトリップを付けるのなら、ついでに「208」も
何か適当なものに変更すればよかったのかも。
何か適当なものに変更すればよかったのかも。
403 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 16:21:23
楡岩＝ニレイワ＝208
なんかどうでしょう？
なんかどうでしょう？
404 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 16:24:42
・若手の上位層・中堅層の業績レベルは（見かけ上）向上しており、
それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
それに伴って下位層との格差が（見かけ上）拡大している。
・一方で、本来線を引かれるべき上位層・中堅層内の業績の実質的
格差は見えにくくなっている。
・そのため下位層と上位層・中堅層との（見かけの）格差の拡大に
関係者の視線がそらされる分、かえってごまかしが効きやすい。
・また、実際問題として採用の業績ラインはさほど上昇していない
ので、研究実績以外の要素の占める割合が相対的に増大している。
405 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 16:26:15
きみには「我を崇めよ」とかそっち系の名前がいいよ
406 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 16:28:35
建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り
建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り
建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り
わっしょいっ、わっしょいっ！
建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り
建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り
わっしょいっ、わっしょいっ！
407 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 17:01:36
ねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
408 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 17:02:55
409 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 17:22:04
>>408
おまえだれ？
おまえだれ？
410 ：208 ◇lJJjsLsZzw：2005/12/14(水) 17:26:13
誰？
411 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 17:27:57
>買ってないからだろ
>手に入らなかったのか知らないが
まぬけな答えだね。
>手に入らなかったのか知らないが
まぬけな答えだね。
412 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 17:54:47
674 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/14(水) 00:06:34
>>669
建部崩れは、ポス助手の駒場ゴミだけでも二人いる
675 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/14(水) 00:07:22
>>669
Invent崩れの1人は建部も取っている。
>>669
建部崩れは、ポス助手の駒場ゴミだけでも二人いる
675 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/14(水) 00:07:22
>>669
Invent崩れの1人は建部も取っている。
413 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 18:03:50
http://japanese.chosun.com/site/data/html_dir/2001/08/10/20010810000001.html
韓国ネティズンは、光復節の今月15日、
日本首相の靖国神社参拝と歴史教科書のわい曲に抗議するサイバーデモを、
日本の極右団体のインターネットサイトで行うことにした。
10日、｢日本の歴史教科書改悪阻止運動本部｣など、
歴史わい曲教科書反対運動団体のインターネットホームページの掲示板には、
サイバーデモの同参を呼びかける文章が次々と載せられ、照会も1件当たり数百件を超えている。
これらネティズンは、文部科学省と産経新聞、自民党、新しい歴史教科書をつくる会など
6団体のホームページアドレスを掲載し、同日同時に接続し、サイトをストップさせる計画だ。
また、効果的な同時接続を図るため、接続の時間を決め、
今月15日午前9時と12時、午後3時と6時、9時の5回に渡り、
これら団体のサイトを無差別訪問し「仮想の座り込みデモ」を行うことにした。
-------------------------------------------------------------------------------
朝鮮人は4年前から「サイトをストップさせる」と恥かしげもなく公言し
その行為を「サイバーデモ」と呼んでいます。
同じことをVIPPERがやったら「ハッカー攻撃されたﾆﾀﾞ」と主張しました。
韓国ネティズンは、光復節の今月15日、
日本首相の靖国神社参拝と歴史教科書のわい曲に抗議するサイバーデモを、
日本の極右団体のインターネットサイトで行うことにした。
10日、｢日本の歴史教科書改悪阻止運動本部｣など、
歴史わい曲教科書反対運動団体のインターネットホームページの掲示板には、
サイバーデモの同参を呼びかける文章が次々と載せられ、照会も1件当たり数百件を超えている。
これらネティズンは、文部科学省と産経新聞、自民党、新しい歴史教科書をつくる会など
6団体のホームページアドレスを掲載し、同日同時に接続し、サイトをストップさせる計画だ。
また、効果的な同時接続を図るため、接続の時間を決め、
今月15日午前9時と12時、午後3時と6時、9時の5回に渡り、
これら団体のサイトを無差別訪問し「仮想の座り込みデモ」を行うことにした。
-------------------------------------------------------------------------------
朝鮮人は4年前から「サイトをストップさせる」と恥かしげもなく公言し
その行為を「サイバーデモ」と呼んでいます。
同じことをVIPPERがやったら「ハッカー攻撃されたﾆﾀﾞ」と主張しました。
414 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 18:36:14
数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。
Cafe David
Cafe David
415 ：208 ◆0RbUzIT0To ：2005/12/14(水) 18:47:05
数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。
Cafe David
Cafe David
416 ：208 ◆4etoz7nPdA ：2005/12/14(水) 18:47:45
数学的な雰囲気の中で糞煮込みうどんを食べたい人、お待ちしております。
Cafe David
Cafe David
417 ：208 ◆0RbUzIT0To ：2005/12/14(水) 18:48:58
まねすんな。
418 ：208 ◆4etoz7nPdA ：2005/12/14(水) 18:49:47
おまえこそまねすんな。
419 ：208 ◆r5LpnmM55A ：2005/12/14(水) 18:50:38
だるいぞ
420 ：208 ◆6lu8FNGFaw ：2005/12/14(水) 18:52:20
じゃんじゃん劣化するね。
421 ：208 ◆15lIZBDwz6 ：2005/12/14(水) 19:01:54
じゃかじゃか劣化するね。
422 ：208 ◆ulG3oSFeig ：2005/12/14(水) 19:03:23
なにが？
423 ：208 ◆9wIaFW05XY ：2005/12/14(水) 19:09:29
ずんずん劣化するね。
424 ：１３２人目の素数さん：2005/12/14(水) 20:15:57
精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
精神的ショックと最初っから無縁の下層崩れこそ勝ち組ｗ
425 ：208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:00:23
３桁の数字はレス番号と紛らわしいので、
今後、俺のＩＤは 9208 とする。
今後、俺のＩＤは 9208 とする。
426 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:02:38
補題
A を環とし、M を A-加群で射影的とする。
このとき、Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となる。
ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
証明
M の生成元を (x_i), i ∈ I とする。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。
p は全射で、M は射影的だから、射 s: M → L で、
ps = 1 となるものが存在する。
一方、各 i ∈ I に対して f_i ∈ Hom(M, A) を
f_i(e_i) = 1, i ≠ j のとき f_i(e_j) = 0 で定義する。
s(x) = Σa_ie_i, a_i ∈ A とする。
各 i ∈ I に対して f_i(s(x)) = a_i となる。
よって、
x = ps(x) = Σa_i p(e_i) = Σf_i(s(x)) x_i
となる。
よって、g_i = (f_i)s とおけばよい。
証明終
A を環とし、M を A-加群で射影的とする。
このとき、Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となる。
ここで、f_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
証明
M の生成元を (x_i), i ∈ I とする。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。
p は全射で、M は射影的だから、射 s: M → L で、
ps = 1 となるものが存在する。
一方、各 i ∈ I に対して f_i ∈ Hom(M, A) を
f_i(e_i) = 1, i ≠ j のとき f_i(e_j) = 0 で定義する。
s(x) = Σa_ie_i, a_i ∈ A とする。
各 i ∈ I に対して f_i(s(x)) = a_i となる。
よって、
x = ps(x) = Σa_i p(e_i) = Σf_i(s(x)) x_i
となる。
よって、g_i = (f_i)s とおけばよい。
証明終
427 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:04:09
428 ：9208 ◆0nkPxMcORM ：2005/12/15(木) 10:06:37
429 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:19:11
>>426 の逆も成立つ。
補題
A を環とし、M を A-加群とする。
Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となるとする。
ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
このとき、M は射影的である。
証明
明らかに (x_i), i ∈ I は M の生成元である。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。
M の元 x に対して、s(x) = Σg_i(x)e_i により、
A-加群としての射 s: M → L を定義する。
x = Σg_i(x)x_i であるから、ps = 1 である。
よって、Ker(p) = N とおけば、
完全列 0 → N → L → M → 0 は分裂(split)する。
よって、M は L の直和因子と同型になり、射影的である(>>186)。
証明終
補題
A を環とし、M を A-加群とする。
Hom(M, A) の元の族 (g_i), i ∈ I と、
M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σg_i(x)x_i となるとする。
ここで、g_i(x) は有限個の i を除いて 0 となる。
このとき、M は射影的である。
証明
明らかに (x_i), i ∈ I は M の生成元である。
L = A^(I) を I を添字集合とする自由加群とし、
(e_i), i ∈ I をその標準基底とする。
各 i ∈ I に対して p(e_i) = x_i により、
A-加群としての射 p: L → M を定義する。
M の元 x に対して、s(x) = Σg_i(x)e_i により、
A-加群としての射 s: M → L を定義する。
x = Σg_i(x)x_i であるから、ps = 1 である。
よって、Ker(p) = N とおけば、
完全列 0 → N → L → M → 0 は分裂(split)する。
よって、M は L の直和因子と同型になり、射影的である(>>186)。
証明終
430 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:40:25
定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M に対して B の A-加群としての
部分加群 N があり、MN = A となるとき、M を可逆加群という。
ここで、MN は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ N} で生成される B の
A-部分加群である。
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M に対して B の A-加群としての
部分加群 N があり、MN = A となるとき、M を可逆加群という。
ここで、MN は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ N} で生成される B の
A-部分加群である。
431 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 10:47:27
定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が、MB = B を満たすとき、
M を非退化加群と呼ぶ。
ここで、MB は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ B} で生成される B の
A-部分加群である(よって B-部分加群つまり B のイデアルとなる)。
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が、MB = B を満たすとき、
M を非退化加群と呼ぶ。
ここで、MB は集合 {xy; x ∈ M, y ∈ B} で生成される B の
A-部分加群である(よって B-部分加群つまり B のイデアルとなる)。
432 ：9208 ◆xnP4Ob6JZQ ：2005/12/15(木) 10:48:42
おはよう、king
433 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 10:53:17
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
434 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 11:04:28
補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M ∩ S は空でない。
ここで、 S は A の非零因子全体の集合である。
証明
MB の元は Σ(x_i)(a_i/s_i), x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S
と現される。
M は非退化だから、MB = B となり、1 = Σ(x_i)(a_i/s_i) となる
x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S がある。ここで、各 s_i は共通の
元 s ∈ S と仮定してよい。よって、s = Σ(x_i)(a_i) となり、
s ∈ M ∩ S となる。
証明終
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M ∩ S は空でない。
ここで、 S は A の非零因子全体の集合である。
証明
MB の元は Σ(x_i)(a_i/s_i), x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S
と現される。
M は非退化だから、MB = B となり、1 = Σ(x_i)(a_i/s_i) となる
x_i ∈ M, a_i ∈ A, s_i ∈ S がある。ここで、各 s_i は共通の
元 s ∈ S と仮定してよい。よって、s = Σ(x_i)(a_i) となり、
s ∈ M ∩ S となる。
証明終
435 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 11:10:44
誤解してる奴がいるな。
このシリーズの目的を登山に例えると、まだ登山に取り掛かってない。
ザイルとかの道具を準備してるところ。道具なんだから自分で作る
必要はない。出来合いのものを買えばよい。ただ諸君の大勢は金を
そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
つまり、諸君の負担(予備知識)を軽くしようとしてるんだよ。
このシリーズの目的を登山に例えると、まだ登山に取り掛かってない。
ザイルとかの道具を準備してるところ。道具なんだから自分で作る
必要はない。出来合いのものを買えばよい。ただ諸君の大勢は金を
そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
つまり、諸君の負担(予備知識)を軽くしようとしてるんだよ。
436 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 11:17:42
本当はザイルすら扱えてるかどうか怪しいのに
「たかがザイルなんだけどね」と言われても説得力はないわな。
「たかがザイルなんだけどね」と言われても説得力はないわな。
437 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 11:18:19
へーへー、そいつは気を使ってもらってすまんな。
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
438 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 11:18:58
痰だらけの汚いスレでつね。
439 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 11:26:21
>597 ：208：2005/10/28(金) 10:29:38
>俺は何も諸君が俺の書いてる事柄を知らないと思ってるわけじゃない。
>自分の知ってることは読みとばしてくれていい。
>こんなことは断るまでもなく当たり前だけど、>>588みたいな
>奴もいるからね。
>俺は何も諸君が俺の書いてる事柄を知らないと思ってるわけじゃない。
>自分の知ってることは読みとばしてくれていい。
>こんなことは断るまでもなく当たり前だけど、>>588みたいな
>奴もいるからね。
440 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 11:45:41
補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M_S = B である。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。
証明
M ⊂ B だから、M_S ⊂ B_S = B とみなせる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
よって、1 = s/s ∈ M_S となって、M_S = B となる。
証明終
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
M_S = B である。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。
証明
M ⊂ B だから、M_S ⊂ B_S = B とみなせる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
よって、1 = s/s ∈ M_S となって、M_S = B となる。
証明終
441 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 11:54:44
定義
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M, N に対して
N:M = {x ∈ B; xM ⊂ N} と定義する。
N:M は B の A-加群としての部分加群である。
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M, N に対して
N:M = {x ∈ B; xM ⊂ N} と定義する。
N:M は B の A-加群としての部分加群である。
442 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 13:45:17
>ただ諸君の大勢は金を
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
バカ丸出し
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
バカ丸出し
443 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 13:54:00
愚かすぎる
444 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 14:34:50
補題
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
A:M = Hom(M, A) である。
証明
x ∈ A:M に対して φ(x) ∈ Hom(M, A) を
φ(x)(y) = xy で定義する。
x に φ(x) を対応させることにより、
射 φ: A:M → Hom(M, A) が得られる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。
よって、φ(x) = 0 なら xs = 0 より x = 0 となる。
よって、φ は単射である。
f ∈ Hom(M, A) とする。
M ⊂ B だから、x ∈ M に対して tx ∈ A となる t ∈ S がある。
f(x) = f(stx)/st = txf(s)/st = xf(s)/s
よって、f(x) = φ(f(s)/s)(x) となる。
即ち、f = φ(f(s)/s) である。
よって、φ は全射でもある。
証明終
A を環とし、その全商環を B(>>362) とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)なら
A:M = Hom(M, A) である。
証明
x ∈ A:M に対して φ(x) ∈ Hom(M, A) を
φ(x)(y) = xy で定義する。
x に φ(x) を対応させることにより、
射 φ: A:M → Hom(M, A) が得られる。
>>434 より、s ∈ M ∩ S がある。
ここで、S は A の非零因子全体の集合である。
よって、φ(x) = 0 なら xs = 0 より x = 0 となる。
よって、φ は単射である。
f ∈ Hom(M, A) とする。
M ⊂ B だから、x ∈ M に対して tx ∈ A となる t ∈ S がある。
f(x) = f(stx)/st = txf(s)/st = xf(s)/s
よって、f(x) = φ(f(s)/s)(x) となる。
即ち、f = φ(f(s)/s) である。
よって、φ は全射でもある。
証明終
445 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 14:51:59
>ただ諸君の大勢は金を
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
この場合の「金」は予備知識とかBourbakiを持っていない
ことに対する比喩であって、文字どうりの金のことと思ってる
奴は、まさかいないだろうな？ｗ
>そんなに持ってるわけではないだろうから、俺が面倒みてるわけ。
この場合の「金」は予備知識とかBourbakiを持っていない
ことに対する比喩であって、文字どうりの金のことと思ってる
奴は、まさかいないだろうな？ｗ
446 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 14:53:22
×文字どうり
447 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 14:54:31
ヴェイユ全集もってないくせに。
448 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:03:19
449 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:15:28
>ウザイ
おまえの反応がウザイ
おまえの反応がウザイ
450 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:19:20
揚げ足取りはウザイと警告しただけ。
偶に反応したからって目くじらたてんなよ。
偶に反応したからって目くじらたてんなよ。
451 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:20:05
お前等が、どんなに煽っても、俺の証明の間違いとか方法を批判しない限り、
俺は痛くもなんともないんだよ。
俺は痛くもなんともないんだよ。
452 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:21:54
でも揚げ足とられるとなんともなくもないんですやめてくださいって素直に言えよｗ
453 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:22:33
>俺の証明の間違いとか方法を批判しない限り
わはははは
アホな言い逃れしかしないくせに。言うことだけは一人前だな。
わはははは
アホな言い逃れしかしないくせに。言うことだけは一人前だな。
454 ：9208 ◆xnP4Ob6JZQ ：2005/12/15(木) 15:22:49
>>440 の M_S って何？
455 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:24:05
>ウザイと警告しただけ。
じゃ間違うなボケ！！
じゃ間違うなボケ！！
456 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:25:45
俺のＩＤ使っておきながら俺の答えを期待はしてないよな？
457 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:26:29
458 ：9208 ◆xnP4Ob6JZQ ：2005/12/15(木) 15:26:34
>>456 数学板は ID でないよ。
459 ：9208 ◆adhRKFl5jU ：2005/12/15(木) 15:27:15
おまえは小心者だな。
460 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:28:12
すっごい目くじら立ててる人がさっきからいるなあ
痛くもなんともないはずじゃなかったのかなあ
痛くもなんともないはずじゃなかったのかなあ
461 ：9208 ◆ZAgKuX9lgw ：2005/12/15(木) 15:29:03
×文字どうり
462 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:29:12
このバカ(>>458)、何言ってるの？
463 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:30:11
ちょっと退屈なんで、アフォとじゃれてるだけ。
464 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:30:14
w
これはウザイね
これはウザイね
465 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:31:19
466 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:31:49
アフォ=Ass=208
467 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:33:54
アフォ=Ass=9208
468 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:34:08
469 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:38:14
だからこそ「揚げ足とり」になるんだけどな。
いやまあお前が人の言葉遣いとは異なるマイ定義を
押し通す奴だということは既に明らかなので
お前のマイ定義では「揚げ足とり」は「お前への煽り」と
同義語なのかもしれんが。
いやまあお前が人の言葉遣いとは異なるマイ定義を
押し通す奴だということは既に明らかなので
お前のマイ定義では「揚げ足とり」は「お前への煽り」と
同義語なのかもしれんが。
470 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:40:17
文脈から明らかになってることをそのまま前提していいなら
208＝アフォ、終了、でいいんじゃね？
208＝アフォ、終了、でいいんじゃね？
471 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:40:20
だからさあ、お前等の煽りって数学、少なくともこのスレの題目と
全然関係ないじゃないの。
これは、お前等の頭のイタさを如実に表してるんだよ。
ｲﾀｲ、ｲﾀｲｗ
全然関係ないじゃないの。
これは、お前等の頭のイタさを如実に表してるんだよ。
ｲﾀｲ、ｲﾀｲｗ
472 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:41:22
>文脈から
おまえに文脈なんて言われたくないね。
おまえに文脈なんて言われたくないね。
473 ：9208 ◆xnP4Ob6JZQ ：2005/12/15(木) 15:41:45
>>468 物理板ではそれは ID とは呼ばないよ
474 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:43:04
このスレの趣旨については>>107参照。
475 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:44:01
その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが
ついたじゃないかｗ
数学と関係ない話題だと俄然張り切るんだからなｗ
ついたじゃないかｗ
数学と関係ない話題だと俄然張り切るんだからなｗ
476 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:44:42
>ｲﾀｲ、ｲﾀｲ
おまえにおまえにｲﾀｲなんて言われたくないね。
おまえにおまえにｲﾀｲなんて言われたくないね。
477 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/15(木) 15:45:45
king シネ
478 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:46:30
＞その証拠に、俺がちょっと相手したら、ほらみろ、こんなにレスが
＞ついたじゃないか
それだけおまえが嫌われてるってことの証明だよ。
＞ついたじゃないか
それだけおまえが嫌われてるってことの証明だよ。
479 ：9208 ◆16ubqHmTH2 ：2005/12/15(木) 15:47:45
>嫌われてる
悲しいね
悲しいね
480 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:51:52
>>475
だって208の醍醐味は数学じゃなくて基地外っぷりだもんな
だって208の醍醐味は数学じゃなくて基地外っぷりだもんな
481 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:58:02
482 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 15:59:48
俺等が、どんなに煽っても、9028の証明の間違いとか方法を批判しない限り、
9208は痛くもなんともないので、
俺達の煽りにいちいち反応しまくってくれてるんです。
9208は痛くもなんともないので、
俺達の煽りにいちいち反応しまくってくれてるんです。
483 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:01:04
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
これは方法への批判だけどな
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
教科書の引き写しして何が楽しいのかねえ。
これは方法への批判だけどな
484 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:03:48
485 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:14:13
486 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:21:48
487 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:23:23
まさか、嫌われてないと思ってたのかよ・・・・・・
488 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:23:41
>嫌ってる人間のスレになんで
>奴らは、のこのこ来るんだよ。
分かり切ったことを
いちいち質問するなアホ
>奴らは、のこのこ来るんだよ。
分かり切ったことを
いちいち質問するなアホ
489 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:25:40
490 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:26:46
おめーらはヘンタイかよ。嫌いなら来なきゃいいだろ。
491 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:28:45
>>490
とってもｱﾀﾏﾜﾙｲ反応です。
とってもｱﾀﾏﾜﾙｲ反応です。
492 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:32:17
嫌われてるのに何でこんなことするかな？
493 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:32:53
お遊びはこれで終わり。もう相手しないよ、悪いけどな。
当然、本題と関係ある場合は別だ。
当然、本題と関係ある場合は別だ。
494 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:35:32
よかったよかった
495 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:36:38
かかってこい弱虫
496 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:38:18
かかってこんかい弱虫ども
497 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:39:47
写経のはじまりはじまり！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
498 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:41:21
かかってこんかいヘンタイども
499 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:44:07
「ageではもう相手しない」って意味だったのかーおもしろいなー
500 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 16:58:17
へんなの
501 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:00:20
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は非退化(>>431)である。
証明
M は可逆だから、B の A-加群としての部分加群 N があり、
MN = A となる。B ⊃ NB だから MB ⊃ MNB = AB = B
他方、MB ⊂ B だから MB = B となる。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は非退化(>>431)である。
証明
M は可逆だから、B の A-加群としての部分加群 N があり、
MN = A となる。B ⊃ NB だから MB ⊃ MNB = AB = B
他方、MB ⊂ B だから MB = B となる。
証明終
502 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 17:01:50
写経のはじまりはじまり！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
503 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:18:10
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
定義より MN = A となる B の部分加群 N があるが、
このとき N = A:M となる。
証明
MN = A だから、N ⊂ A:M である。
よって、A = NM ⊂ (A:M)M ⊂ A
よって、(A:M)M = A
この両辺に N を掛けて、(A:M)MN = N
よって、(A:M)A = N
即ち、A:M = N
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
定義より MN = A となる B の部分加群 N があるが、
このとき N = A:M となる。
証明
MN = A だから、N ⊂ A:M である。
よって、A = NM ⊂ (A:M)M ⊂ A
よって、(A:M)M = A
この両辺に N を掛けて、(A:M)MN = N
よって、(A:M)A = N
即ち、A:M = N
証明終
504 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:31:48
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として有限生成である。
証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
よって、x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x となる。
(y_i)x ∈ A だから、M は、有限個の元 x_1, x_2, ... で生成される。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として有限生成である。
証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
よって、x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x となる。
(y_i)x ∈ A だから、M は、有限個の元 x_1, x_2, ... で生成される。
証明終
505 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:44:14
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として射影的である。
証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。
x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。
よって、>>429 より M は射影的である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M はA-加群として射影的である。
証明
定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。
よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。
f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。
x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。
よって、>>429 より M は射影的である。
証明終
506 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 17:46:15
デデキント環まだーーー？
507 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 18:04:58
そうあわてるな。あわてる何とかはと言うだろ。
出来るだけ一般化して論ずるのは、いろいろ利点があるのだよ。
まず証明が自然になって、小手先のテクニックが不要になる。
出来るだけ一般化して論ずるのは、いろいろ利点があるのだよ。
まず証明が自然になって、小手先のテクニックが不要になる。
508 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 19:42:48
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
509 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 10:28:16
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
証明
>>505 より M は射影加群である。
しかも、>>504 より有限生成である。
よって、p を A の素イデアルとすると、>>208 より M_p は
A_p-加群として有限階数 r の自由加群である。
S を A の非零因子全体の集合とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(M_p)_φ(S) は (A_p)_φ(S) 上の階数 r の自由加群である。
(A_p)_φ(S) = (A_S)_p = B_p
(M_p)_φ(S) = (M_S)_p
となる。
M は可逆だから非退化(>>431)である。
よって >>440 より M_S = B である。
よって (M_S)_p = B_p となる。
よって r = 1 である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
証明
>>505 より M は射影加群である。
しかも、>>504 より有限生成である。
よって、p を A の素イデアルとすると、>>208 より M_p は
A_p-加群として有限階数 r の自由加群である。
S を A の非零因子全体の集合とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(M_p)_φ(S) は (A_p)_φ(S) 上の階数 r の自由加群である。
(A_p)_φ(S) = (A_S)_p = B_p
(M_p)_φ(S) = (M_S)_p
となる。
M は可逆だから非退化(>>431)である。
よって >>440 より M_S = B である。
よって (M_S)_p = B_p となる。
よって r = 1 である。
証明終
510 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 10:30:17
たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/
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511 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 10:47:54
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら
M は可逆(>>430)である。
証明
M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族
(f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。
M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり
M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。
>>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。
s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、
Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。
(y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。
よって M は可逆である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら
M は可逆(>>430)である。
証明
M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族
(f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、
M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。
M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり
M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。
>>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。
s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、
Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。
(y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。
よって M は可逆である。
証明終
512 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 10:48:52
・教授のコネがもうないから、俺達就職できない
じゃん
・何でたけちゃんは研究しても就職できないって
言わなかったんだよ
・大学院なんて役に立つこと何も教えないじゃん
・企業への就職を世話するのも大学の義務だろが
・数学なんて税金泥棒、研究する価値なし！！！
じゃん
・何でたけちゃんは研究しても就職できないって
言わなかったんだよ
・大学院なんて役に立つこと何も教えないじゃん
・企業への就職を世話するのも大学の義務だろが
・数学なんて税金泥棒、研究する価値なし！！！
513 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 11:07:27
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M, N を B の A-加群としての部分加群とする。
M が可逆(>>430)なら、標準射 M(x)N → MN は同型である。
証明
>>509 より M は射影的だから >>188 より平坦である。
よって、完全列
0 → N → B
より完全列
0 → M(x)N → M(x)B
が得られる。
一方、M(x)B = M_S である。ここで、S は A の非零因子全体の
集合である。
M は可逆だから >>501 より非退化(>>431)である。
よって、>>440 より M_S = B である。
よって、完全列
0 → M(x)N → B
が得られる。
M(x)N の像は MN であるから M(x)N → MN は同型である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M, N を B の A-加群としての部分加群とする。
M が可逆(>>430)なら、標準射 M(x)N → MN は同型である。
証明
>>509 より M は射影的だから >>188 より平坦である。
よって、完全列
0 → N → B
より完全列
0 → M(x)N → M(x)B
が得られる。
一方、M(x)B = M_S である。ここで、S は A の非零因子全体の
集合である。
M は可逆だから >>501 より非退化(>>431)である。
よって、>>440 より M_S = B である。
よって、完全列
0 → M(x)N → B
が得られる。
M(x)N の像は MN であるから M(x)N → MN は同型である。
証明終
514 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 13:29:22
>>294
>優拳固にする必要はなかろう
優拳固＝有限個のつもりかよ。
今、気がついた。荒しだと思ったぞ。
なんでちゃんと書かないんだ？
それもしつこく何回も。
確かに有限個の単純部分加群の直和でなくてもいい。
そんなことは初めからわかってる。
だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
それが何か？
>優拳固にする必要はなかろう
優拳固＝有限個のつもりかよ。
今、気がついた。荒しだと思ったぞ。
なんでちゃんと書かないんだ？
それもしつこく何回も。
確かに有限個の単純部分加群の直和でなくてもいい。
そんなことは初めからわかってる。
だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
それが何か？
515 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 13:57:15
516 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 14:03:01
＞今、気がついた。荒しだと思ったぞ。
いちいち反応するな。
>そんなことは初めからわかってる。
>だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
はじめからそう書けアホ
いちいち反応するな。
>そんなことは初めからわかってる。
>だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
はじめからそう書けアホ
517 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 14:38:56
>いちいち反応するな。
アホ
>はじめからそう書けアホ
ドアホ
アホ
>はじめからそう書けアホ
ドアホ
518 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 16:03:41
やめれ馬鹿
519 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 16:49:35
>やめれ馬鹿
ガキはすっこんどれ
ガキはすっこんどれ
520 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 16:52:42
521 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:02:20
定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>515 より B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの
全体は、部分加群の積によりアーベル群となる。
このアーベル群を、A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く。
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>515 より B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの
全体は、部分加群の積によりアーベル群となる。
このアーベル群を、A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く。
522 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:07:00
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M を B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)とする。
>>509 より M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
よって、M の同型類 cl(M) は Pic(A) の元である。
M に cl(M) を対応させることにより、I(A)(>>521) から Pic(A) への
アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) が得られる。
証明
Pic(A) の定義(>>360) と >>513 より明らか。
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
M を B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)とする。
>>509 より M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
よって、M の同型類 cl(M) は Pic(A) の元である。
M に cl(M) を対応させることにより、I(A)(>>521) から Pic(A) への
アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) が得られる。
証明
Pic(A) の定義(>>360) と >>513 より明らか。
523 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:13:29
いい加減にやめれ馬鹿
524 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:13:39
定義
A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。
この群を U(A) または A^* と書く。
A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。
この群を U(A) または A^* と書く。
525 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:20:03
定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
x ∈ B のとき、Ax が可逆となるためには、x が可逆、
即ち x ∈ U(B)(>>524) が必要十分である。
証明
B の A-加群としての部分加群 N で (Ax)N = A となるものがある。
(Ax)N = xN だから、y ∈ N で xy = 1 となるものがある。
よって、x は可逆である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
x ∈ B のとき、Ax が可逆となるためには、x が可逆、
即ち x ∈ U(B)(>>524) が必要十分である。
証明
B の A-加群としての部分加群 N で (Ax)N = A となるものがある。
(Ax)N = xN だから、y ∈ N で xy = 1 となるものがある。
よって、x は可逆である。
証明終
526 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:22:14
かかってこい弱虫ども！！
527 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:23:42
528 ：9208 ◆6WlJFCskKc ：2005/12/16(金) 17:28:52
だらだらしすぎ。
529 ：9208 ◆0qS9/fAJ8E ：2005/12/16(金) 17:31:26
とろくせー。
530 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:33:22
かかってこんかい！！
531 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:42:35
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。
証明
M ∈ Ker(cl) とする。
cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。
これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。
よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。
逆の包含関係は明らか。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。
証明
M ∈ Ker(cl) とする。
cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。
これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。
よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。
逆の包含関係は明らか。
証明終
532 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 18:12:15
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
自然な単射 A → B によりアーベル群としての射
ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。
他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。
証明
M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。
これは M(x)B が B と同型になることを意味する。
M は平坦だから 単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。
よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから
M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。
よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。
よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。
逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。
よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。
よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
自然な単射 A → B によりアーベル群としての射
ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。
他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。
このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。
証明
M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。
これは M(x)B が B と同型になることを意味する。
M は平坦だから 単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。
よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから
M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。
よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。
よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。
逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。
よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。
よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。
証明終
533 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/17(土) 12:33:26
534 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 13:06:29
【建部 】斎藤毅先生【Invent】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/
535 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/17(土) 13:07:42
命題
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。
証明
そんなことよりキングの脳を止めるのが先だ。
証明終
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。
証明
そんなことよりキングの脳を止めるのが先だ。
証明終
536 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 13:12:20
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
537 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/17(土) 21:21:06
talk:>>535 お前に何が分かるというのか？
538 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 22:15:27
下層崩れ＝アナレン級隔年の駒場のＣＯＥ
中堅崩れ＝アナレン級１本／年の学振ＰＤ
上層崩れ＝建部、Ｉｎｖｅｎｔ．崩れかけ
中堅崩れ＝アナレン級１本／年の学振ＰＤ
上層崩れ＝建部、Ｉｎｖｅｎｔ．崩れかけ
539 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:11:52
定義
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
Im(φ) を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く。
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を
φ(x) = Ax で定義出来る。
Im(φ) を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く。
540 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:29:46
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
以下の完全列がある。
0 → U(A) → U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
証明
>>531, >>532 より
U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
は完全である。
0 → U(A) → U(B) → I(A)
が完全なのは明らかだろう。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
以下の完全列がある。
0 → U(A) → U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
証明
>>531, >>532 より
U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
は完全である。
0 → U(A) → U(B) → I(A)
が完全なのは明らかだろう。
証明終
541 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:31:55
命題
A をネーター環とする。
>>522 で定義したアーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) は
同型 I(A)/P(A) = Pic(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群(>>539) である。
証明
A の全商環を B とすると、>>363 より B は半局所環である。
よって、>>361 より Pic(B) = 0 である。
よって、>>540 より、同型 I(A)/P(A) = Pic(A) が得られる。
証明終
A をネーター環とする。
>>522 で定義したアーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) は
同型 I(A)/P(A) = Pic(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群(>>539) である。
証明
A の全商環を B とすると、>>363 より B は半局所環である。
よって、>>361 より Pic(B) = 0 である。
よって、>>540 より、同型 I(A)/P(A) = Pic(A) が得られる。
証明終
542 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 11:37:11
環 A の可逆分数イデアル群(>>521) I(A) は、アフィンスキームとしての
Spec(A) の Cartier因子群と同一視される。
だから Pic(A) にしろ I(A) にしろ幾何的に解釈したほうがいい。
しかし、残念なことに、ここでスキーム論の初歩を展開するわけには行かない。
やってもいいけど、本筋から離れすぎる。
因みに日本語で書かれたスキーム論の入門書としては
上野の代数幾何(岩波) がある。
俺としては EGA I を勧めたいとこだけどね。
EGA がフランス語で書かれていることが残念だね。
EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。
オリジナルならネットからダウンロード出来る。
Spec(A) の Cartier因子群と同一視される。
だから Pic(A) にしろ I(A) にしろ幾何的に解釈したほうがいい。
しかし、残念なことに、ここでスキーム論の初歩を展開するわけには行かない。
やってもいいけど、本筋から離れすぎる。
因みに日本語で書かれたスキーム論の入門書としては
上野の代数幾何(岩波) がある。
俺としては EGA I を勧めたいとこだけどね。
EGA がフランス語で書かれていることが残念だね。
EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。
オリジナルならネットからダウンロード出来る。
543 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 11:40:17
>EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。
英語だよね？
違ったかな。
英語だよね？
違ったかな。
544 ：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 14:20:54
>>543
違います。フランス語です。
Grothendieck et Dieudonne, Elements de geometrie algebrique 1,
Springer-Verlag, 1971
(Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd.166)
違います。フランス語です。
Grothendieck et Dieudonne, Elements de geometrie algebrique 1,
Springer-Verlag, 1971
(Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd.166)
545 ：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 15:00:40
350 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 10:00:45
>上野 代数幾何 岩波
これは、ちょっと極端に言うとお話だね。
ちゃんとした証明は、別の本にあたる必要がある。
例えば、部分スキームのところとか。
351 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 12:54:44
てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
>上野 代数幾何 岩波
これは、ちょっと極端に言うとお話だね。
ちゃんとした証明は、別の本にあたる必要がある。
例えば、部分スキームのところとか。
351 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 12:54:44
てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
546 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 15:42:50
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の２元 I, J に対して、
I ⊂ J のとき I ≧ J と定義することにより I(A) に順序が入る。
容易にわかるように、I ≧ J のとき、任意の K ∈ I(A) に対して、
IK ≧ JK となる。
よって、I(A) は順序アーベル群となる。
I ⊂ J のとき I ≧ J と定義することにより I(A) に順序が入る。
容易にわかるように、I ≧ J のとき、任意の K ∈ I(A) に対して、
IK ≧ JK となる。
よって、I(A) は順序アーベル群となる。
547 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:05:46
548 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:13:35
命題
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
証明
>>547 より、A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。
I = sM, J = As とおけばよい。
証明終
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
証明
>>547 より、A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。
I = sM, J = As とおけばよい。
証明終
549 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:29:10
命題
A を単項イデアル整域(前スレの644)とする。
Pic(A) = 0 である。
証明
前スレの650より、A 上の有限生成射影加群は自由である。
証明終
A を単項イデアル整域(前スレの644)とする。
Pic(A) = 0 である。
証明
前スレの650より、A 上の有限生成射影加群は自由である。
証明終
550 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 17:35:06
補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
A:m ≠ A となる。
ここで、A:m = {x ∈ K; xm ⊂ A} で(>>441)、K は A の商体。
証明
a を m の非零元とする。
dim(A) = 1 だから、Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
m(b/a) ⊂ A だから b/a ∈ A:m となる。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
証明終
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
A:m ≠ A となる。
ここで、A:m = {x ∈ K; xm ⊂ A} で(>>441)、K は A の商体。
証明
a を m の非零元とする。
dim(A) = 1 だから、Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
m(b/a) ⊂ A だから b/a ∈ A:m となる。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
証明終
551 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 18:32:49
補題
A を整域、I を有限生成イデアルで I ≠ 0 とする。
x を A の商体の元で xI ⊂ I とする。
このとき x は A 上整である。
証明
ω_1, ... , ω_n を I の生成元とする。
xI ⊂ I だから、
xω_i = Σa_(i,j)ω_j となる。
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
I ≠ 0 だから、det(xE - T) = 0 となる。
E は n 次の単位行列。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
A を整域、I を有限生成イデアルで I ≠ 0 とする。
x を A の商体の元で xI ⊂ I とする。
このとき x は A 上整である。
証明
ω_1, ... , ω_n を I の生成元とする。
xI ⊂ I だから、
xω_i = Σa_(i,j)ω_j となる。
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
I ≠ 0 だから、det(xE - T) = 0 となる。
E は n 次の単位行列。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
552 ：１３２人目の素数さん：2005/12/20(火) 09:44:04
>てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ
(Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。
Mumfordのもいくらかぱくってるし。
そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。
それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。
結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし
基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、
他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。
Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ
(Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。
Mumfordのもいくらかぱくってるし。
そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。
それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。
結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし
基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、
他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。
553 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:49:23
補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
A が整閉(前スレの578)なら A の 極大イデアルは単項イデアルである。
証明
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
a を m の非零元とする。
m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。
m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。
A は整閉だから、A:m = A である。
一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。
よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
証明終
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
A が整閉(前スレの578)なら A の 極大イデアルは単項イデアルである。
証明
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
a を m の非零元とする。
m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。
m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。
A は整閉だから、A:m = A である。
一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。
よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
証明終
554 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:54:10
補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
m を A の極大イデアルとする。
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をしよう。
I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環
である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。
I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。
I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。
よって 中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。
よって I = 0 となって矛盾。
証明終
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
m を A の極大イデアルとする。
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をしよう。
I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環
である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。
I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。
I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。
よって 中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。
よって I = 0 となって矛盾。
証明終
555 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:57:55
定理
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。
証明
m を A の極大イデアルとする。
I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。
>>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは
ならない整数 n > 0 がある。
>>553 より m は単項だから可逆である。
よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。
Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、
I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。
よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。
>>553 より m は単項だから I も単項である。
証明終
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。
証明
m を A の極大イデアルとする。
I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。
>>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは
ならない整数 n > 0 がある。
>>553 より m は単項だから可逆である。
よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。
Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、
I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。
よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。
>>553 より m は単項だから I も単項である。
証明終
556 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:00:11
557 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:17:35
558 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:40:29
>>550の補題の証明は簡単そうに見えるけど、随伴素イデアルの理論に
基づいている。
Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。
例えば van der Wearden。
しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど
やや強引な証明になる。
ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には
あまり変わらない。
基づいている。
Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。
例えば van der Wearden。
しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど
やや強引な証明になる。
ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には
あまり変わらない。
559 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:42:18
>van der Wearden
van der Waerden
van der Waerden
560 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/20(火) 14:38:24
また king か
561 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/20(火) 19:33:35
talk:>>560 ?
562 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/20(火) 20:19:11
>>561 お前誰だよ。
563 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/20(火) 20:21:25
talk:>>562 I'm the King of kings.
564 ：１３２人目の素数さん：2005/12/20(火) 20:24:33
>>563 訳）俺はオナニーキングだ！
565 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/21(水) 10:50:07
talk:>>564 お前もな？
566 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 11:19:59
補題
A をネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をする。
m = 0 なら、この補題は明らかである。
よって m ≠ 0 とする。
m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。
I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、
x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。
(t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1)
よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。
A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1)
となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。
y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n)
よって (1 - tu)y_n = 0 となる。
1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。
よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。
従って、I = 0 となる。
証明終
A をネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、
直接証明をする。
m = 0 なら、この補題は明らかである。
よって m ≠ 0 とする。
m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。
I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、
x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。
(t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1)
よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。
A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1)
となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。
y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n)
よって (1 - tu)y_n = 0 となる。
1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。
よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。
従って、I = 0 となる。
証明終
567 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 11:36:58
命題
A を体でないネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。
証明
A は体でないから m ≠ 0 である。
よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。
>>566 より ∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1)
とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば
u ∈ A - m だから u は可逆元である。
よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。
証明終
A を体でないネーター局所整域 とする。
A の 極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。
証明
A は体でないから m ≠ 0 である。
よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。
>>566 より ∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1)
とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば
u ∈ A - m だから u は可逆元である。
よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。
証明終
568 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 12:08:24
>>567 の仮定は弱めることが出来る。
命題
A をネーター局所環 とする。
A の 極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら
A は離散付値環である。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして
x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。
同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0
と可逆元 v がある。
xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから
t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。
よって xy ≠ 0 である。
x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。
したがって、A は整域である。
後は、>>567 と同じ。
証明終
命題
A をネーター局所環 とする。
A の 極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら
A は離散付値環である。
証明
Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。
ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして
x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。
同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0
と可逆元 v がある。
xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから
t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。
よって xy ≠ 0 である。
x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。
したがって、A は整域である。
後は、>>567 と同じ。
証明終
569 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 15:35:29
補題
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。
dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。
証明
m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。
dim(m/m^2) = n とする。
x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が
m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。
x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。
m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。
よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。
よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。
m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。
よって、n は m の生成元の個数の最小である。
証明終
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。
dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。
証明
m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。
dim(m/m^2) = n とする。
x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が
m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。
x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。
m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。
よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。
よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。
m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。
よって、n は m の生成元の個数の最小である。
証明終
570 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:08:57
571 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:12:25
定義
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = dim(m/m^2) となるとき、A を正則局所環と呼ぶ。
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = dim(m/m^2) となるとき、A を正則局所環と呼ぶ。
572 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:31:35
命題
Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。
証明
A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。
定義より dim(m/m^2) = 1 である。
よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。
t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。
p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから
m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。
よって t はベキ零でない。
>>568 よりA は離散付値環である。
証明終
Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。
証明
A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。
定義より dim(m/m^2) = 1 である。
よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。
t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。
p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから
m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。
よって t はベキ零でない。
>>568 よりA は離散付値環である。
証明終
573 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:36:12
命題
離散付値環はKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかだろう。
離散付値環はKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかだろう。
574 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 15:45:03
命題
king 氏ね。
証明
明らかだろう。
king 氏ね。
証明
明らかだろう。
575 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 16:23:19
命題
kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかではない。
kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかではない。
576 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/22(木) 17:57:18
577 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 17:58:32
>>574 「king 氏ね」は公理だ。
578 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/22(木) 18:09:50
talk:>>577 お前に何が分かるというのか？
579 ：GiantLeaves ◆Ox1b3ANLCs ：2005/12/22(木) 18:10:52
580 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 18:16:58
>>579 誰の名前だよ？
581 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:00:32
定義
A をking局所環、m をその極大イデアルとする。
yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。
A をking局所環、m をその極大イデアルとする。
yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。
582 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:06:49
命題
A を包茎局所環とする。
このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は
同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。
ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。
証明
明らかである。
A を包茎局所環とする。
このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は
同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。
ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。
証明
明らかである。
583 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:55:32
なんで
インポ／ピピ＝クリ
になるの？
インポ／ピピ＝クリ
になるの？
584 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:33:53
命題
A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。
A_S は整閉である。
証明
K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。
x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0
ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S
この等式の両辺に s^n を掛けて、
(sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0
となる。よって、sx は A 上整である。
A は整閉だから、sx ∈ A となる。
つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。
証明終
A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。
A_S は整閉である。
証明
K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。
x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0
ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S
この等式の両辺に s^n を掛けて、
(sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0
となる。よって、sx は A 上整である。
A は整閉だから、sx ∈ A となる。
つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。
証明終
585 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:40:55
586 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:57:15
587 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 22:06:47
>>586 書き込む前に良く確認しようね。
588 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 22:09:32
589 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 22:31:31
補題
A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。
a を A の元とする。
m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。
証明
>>550 と同様にして A:m ≠ A となる。
A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、
したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。
証明終
A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。
a を A の元とする。
m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。
証明
>>550 と同様にして A:m ≠ A となる。
A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、
したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。
証明終
590 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 22:47:58
591 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:33:35
びっくり
592 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:34:31
びっくり
593 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:36:47
び
594 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:41:54
びびび
595 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:45:04
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
びびび
596 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:22:35
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
597 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:23:37
598 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:34:04
1001
599 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 07:52:58
1
600 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 07:54:49
アッという間に600がすぎた
年末年始の間にはスレが消えていることだろう
年末年始の間にはスレが消えていることだろう
601 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10:47:11
定義
１次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。
１次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。
602 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10:59:10
603 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 11:00:59
命題
A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。
p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。
証明
前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。
>>589 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。
証明終
A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。
p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。
証明
前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。
>>589 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。
証明終
604 ：9208 ◆4etoz7nPdA ：2005/12/27(火) 13:12:43
>>602 良く考えて投稿したらどうか？
605 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 13:51:35
命題
A をネーター整閉整域とする。
A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明
a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の
素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。
I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA)
がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。
仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p
がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。
証明終
A をネーター整閉整域とする。
A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明
a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の
素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。
I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA)
がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。
仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p
がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。
証明終
606 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 16:10:32
／￣￣￣￣＼ ２７歳で日本数学会は下らないと悟った。
（ 人＿＿＿＿） ３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。
|ミ/ ー◎-◎-） ３３歳で下らない建部賞を贈られた。
（６ (_ _) ） ３６歳でアカポスを諦めた。
＿_| ∴ ノ ３ ﾉ ３９歳で自分自身を諦めた。
（＿_/＼＿＿＿＿_ノ だから愚痴はかみ殺してた。
/ （ )) ))） 「アカポスはコネ」が口癖。
[]＿__.| ｜ラブひな命 ヽ 自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。
｜[] .|＿|＿＿>>1＿＿＿） 言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、
＼_（＿_）三三三[□]三） ずっとかみ殺してた。
／（＿）＼:::::::::::::::::::::::| でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。
｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」
（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/
（＿＿＿[）＿[） 本当に心の底から笑えた…。
（ 人＿＿＿＿） ３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。
|ミ/ ー◎-◎-） ３３歳で下らない建部賞を贈られた。
（６ (_ _) ） ３６歳でアカポスを諦めた。
＿_| ∴ ノ ３ ﾉ ３９歳で自分自身を諦めた。
（＿_/＼＿＿＿＿_ノ だから愚痴はかみ殺してた。
/ （ )) ))） 「アカポスはコネ」が口癖。
[]＿__.| ｜ラブひな命 ヽ 自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。
｜[] .|＿|＿＿>>1＿＿＿） 言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、
＼_（＿_）三三三[□]三） ずっとかみ殺してた。
／（＿）＼:::::::::::::::::::::::| でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。
｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」
（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/
（＿＿＿[）＿[） 本当に心の底から笑えた…。
607 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 18:14:03
命題
一意分解整域は整閉である。
証明
A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。
a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。
a, b は互いに素と仮定してよい。
a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、
(a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0
となる。ここで、各 a_i ∈ A。
この等式の両辺に b^n を掛けて、
a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0
左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。
b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、
a, b は互いに素という仮定に反する。
よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。
証明終
一意分解整域は整閉である。
証明
A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。
a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。
a, b は互いに素と仮定してよい。
a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、
(a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0
となる。ここで、各 a_i ∈ A。
この等式の両辺に b^n を掛けて、
a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0
左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。
b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、
a, b は互いに素という仮定に反する。
よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。
証明終
608 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 19:14:01
>>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で
最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ
最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ
609 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 13:48:56
命題
A をネーター整域とする。
A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。
1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。
2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明
A はネーター整閉整域とする。
>>585 より 1) が成立つ。
>>605 より 2) が成立つ。
逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。
1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は
一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。
よって、2) より A も整閉である
証明終
A をネーター整域とする。
A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。
1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。
2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明
A はネーター整閉整域とする。
>>585 より 1) が成立つ。
>>605 より 2) が成立つ。
逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。
1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は
一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。
よって、2) より A も整閉である
証明終
610 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 13:54:17
138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11:44:27
多元数理研の由来は多元環からきてるの？
だとすると代数系に重点を置いてるのかな
139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44
>>138
そんなわけないだろ。
それは吉田正章が言った冗談。
本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」
多元数理研の由来は多元環からきてるの？
だとすると代数系に重点を置いてるのかな
139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44
>>138
そんなわけないだろ。
それは吉田正章が言った冗談。
本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」
611 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 14:58:27
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。
A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。
よって、>>235 より I は射影的である。
I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。
よって、>>511 より I は可逆である。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。
A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。
よって、>>235 より I は射影的である。
I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。
よって、>>511 より I は可逆である。
証明終
612 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16:07:07
補題
A を整域とする。
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
証明
x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。
I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。
x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、
s ∈ I に矛盾。
証明終
A を整域とする。
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
証明
x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。
I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。
x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、
s ∈ I に矛盾。
証明終
613 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16:13:20
命題
A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、
A はDedekind整域(>>601)である。
証明
>>504 より可逆イデアルは有限生成である。
よって、A はネーターである。
p を A の非零素イデアルとする。
p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。
よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。
つまり、pA_p は、単項イデアルである。
よって、>>567 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。
よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。
>>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、
>>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。
以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で
あることがわかった。
証明
A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、
A はDedekind整域(>>601)である。
証明
>>504 より可逆イデアルは有限生成である。
よって、A はネーターである。
p を A の非零素イデアルとする。
p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。
よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。
つまり、pA_p は、単項イデアルである。
よって、>>567 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。
よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。
>>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、
>>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。
以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で
あることがわかった。
証明
614 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 16:16:04
まだ写経してるのか。
615 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17:22:31
補題
A をネーター整域とする。
m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明
Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。
よって、m^n は準素イデアルである。
よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明終
A をネーター整域とする。
m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明
Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。
よって、m^n は準素イデアルである。
よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明終
616 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17:31:23
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
>>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
>>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
617 ：１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:40:51
381
618 ：１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 10:30:47
早く崩れろ
619 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:02:11
ここは208の独断場ではない
620 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:33:38
621 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:52:07
>>620
お前の独壇場でもない。
お前の独壇場でもない。
622 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 13:23:36
命題
kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかではない。
kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明
明らかではない。
623 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 17:32:41
Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？
624 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:22:58
talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。
625 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18:27:38
>>624
お前何もできないじゃん。
お前何もできないじゃん。
626 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:32:23
talk:>>625 お前に何が分かるというのか？
627 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18:41:07
>>626
kingがあほなこと。
kingがあほなこと。
628 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:45:59
talk:>>627 お前に何が分かるというのか？
629 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 20:15:39
630 ：GiantLeaves：2006/01/10(火) 23:33:31
talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
631 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 23:37:09
talk:>>630 お前に何が分かるというのか？
632 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 07:40:43
talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
633 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 08:47:24
talk:>>632 お前に何が分かるというのか？
634 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/11(水) 09:47:27
補題
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。
このとき、I と J は可逆(>>430)である。
証明
aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。
よって、I と J は可逆である。
証明終
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。
このとき、I と J は可逆(>>430)である。
証明
aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。
よって、I と J は可逆である。
証明終
635 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 10:56:52
talk:>>634 お前に何が分かるというのか？
636 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 11:51:07
talk:>>633 お前に何が分かるというのか？
637 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 12:28:55
talk:>>636 お前に何が分かるというのか？
638 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 12:35:48
talk:>>637 お前に何が分かるというのか？
639 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13:20:51
talk:>>638 お前に何が分かるというのか？
640 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13:30:59
talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
641 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 14:50:02
talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
642 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15:02:19
talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
643 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15:06:55
talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
644 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 16:57:39
talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？
645 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:02:01
talk:>>642 お前に何が分かるというのか？
646 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:02:36
talk:>>643 お前に何が分かるというのか？
647 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:08:43
talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
648 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:12:01
talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
649 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:16:33
talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？
650 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:46:06
talk:>>649 お前に何が分かるというのか？
651 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:51:50
>>635-650
お前らに何が分かるというのか？
お前らに何が分かるというのか？
652 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 19:00:46
talk:>>651 お前に何が分かるというのか？
653 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 20:10:44
talk:>>650 お前に何が分かるというのか？
654 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:20:58
talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
655 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:24:25
talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
656 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:34:00
>>652-655
お前らに何が分かるというのか？
お前らに何が分かるというのか？
657 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:10:19
king よ！
ここを去れ！ゴミに反応するな。
ここを去れ！ゴミに反応するな。
658 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:22:11
>>1-657
お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！
お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！
659 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:48:46
>>658 あんた誰？
660 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 07:05:45
661 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 10:28:57
補題
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明
P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。
(Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。
必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。
(P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。
P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。
よって、P_1 = Q_1 となる。
>>634より、P_1 は可逆である。
(P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1)
を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。
これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。
証明終
A を整域とする。
a ∈ A, a ≠ 0 とする。
aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明
P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。
(Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。
必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。
(P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。
P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。
よって、P_1 = Q_1 となる。
>>634より、P_1 は可逆である。
(P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1)
を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。
これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。
証明終
662 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 10:49:17
talk:>>660 お前に何が分かるというのか？
663 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 11:44:02
talk:>>662 お前に何が分かるというのか？
664 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 12:20:04
talk:>>663 お前に何が分かるというのか？
665 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 13:00:06
補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。
I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。
証明
I^2 = (P_1)...(P_r),
P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
φ: A → A/P を標準射とする。
φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、
φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。
他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、
φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。
よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。
各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。
よって P ⊂ P_i である。
各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。
よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。
>>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。
よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、
I^2 = P + (a^2)A となる。
証明終
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。
I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。
証明
I^2 = (P_1)...(P_r),
P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
φ: A → A/P を標準射とする。
φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、
φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。
他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、
φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。
よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。
各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。
よって P ⊂ P_i である。
各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。
よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。
>>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。
よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、
I^2 = P + (a^2)A となる。
証明終
666 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 14:19:35
talk:>>664 お前に何が分かるというのか？
667 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 14:23:46
>>666
あらすなよ！
あらすなよ！
668 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 15:04:49
talk:>>666 お前に何が分かるというのか？
669 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 17:47:41
補題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる
イデアルとする。このとき P = PI となる。
証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。
x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。
ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。
これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するとする。
P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる
イデアルとする。このとき P = PI となる。
証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。
x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。
ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。
これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
670 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 18:23:22
命題
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。
証明
P を A の零でない素イデアルとする。
a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。
ここで各 P_i は素イデアルである。
I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。
>>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから
I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。
(P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。
よって P = P_i となり、P は可逆である。
A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、
これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。
証明終
A を整域とする。
A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に
分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。
証明
P を A の零でない素イデアルとする。
a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。
ここで各 P_i は素イデアルである。
I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。
>>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから
I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。
(P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。
よって P = P_i となり、P は可逆である。
A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、
これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。
証明終
671 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 22:14:58
672 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 22:17:35
マジで荒らすなよ。
673 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 23:59:39
talk:>>671 お前に何が分かるというのか？
674 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:29:05
>>661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。
補題
A を環とする。
(P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明
>>661と同様。
補題
A を環とする。
(P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。
ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。
このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると
P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明
>>661と同様。
675 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:45:55
676 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:47:57
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。
証明
分解の可能なことは、>>616 で証明されている。
一意性は>>611と>>674から出る。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。
証明
分解の可能なことは、>>616 で証明されている。
一意性は>>611と>>674から出る。
証明終
677 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12:19:37
定義
A を整域とし、K をその商体とする。
K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) I ≠ 0
2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
A を整域とし、K をその商体とする。
K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) I ≠ 0
2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
678 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12:27:38
679 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 13:50:44
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。
証明
I を A の分数イデアルとする。
K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より
可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。
逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成
であるから >>678 より分数イデアルである。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。
証明
I を A の分数イデアルとする。
K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より
可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。
逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成
であるから >>678 より分数イデアルである。
証明終
680 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 09:46:37
681 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:01:19
>>634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。
補題
A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。
証明
MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。
よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。
証明終
補題
A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。
証明
MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。
よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。
証明終
682 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:07:04
>>669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。
証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。
よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。
ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。
これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
証明
PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。
I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、
a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。
>>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。
I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、
P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。
よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。
ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。
これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから
b ∈ P である。
よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。
証明終
683 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:17:44
>>670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも
Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、
秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。
ただし、この本の証明はやや分かりにくい
(本質的には我々のと同じだが)。
この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。
ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは
分からない。
Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、
秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。
ただし、この本の証明はやや分かりにくい
(本質的には我々のと同じだが)。
この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。
ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは
分からない。
684 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12:02:32
補題
A を整域とする。
I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。
IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。
証明
K を A の商体とする。
K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。
x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、
x, y は A の元と仮定してよい。
xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。
分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。
A は整域だから、IJ ≠ 0 である。
I + J ≠ 0 は明らか。
xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。
証明終
A を整域とする。
I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。
IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。
証明
K を A の商体とする。
K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。
x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、
x, y は A の元と仮定してよい。
xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。
分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。
A は整域だから、IJ ≠ 0 である。
I + J ≠ 0 は明らか。
xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。
証明終
685 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12:48:22
686 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:02:58
定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。
これを、(M : N) と書く。
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。
これを、(M : N) と書く。
687 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:03:38
補題
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。
(M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。
証明
明らか。
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。
(M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。
証明
明らか。
688 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:04:55
補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M を K の A-部分加群とする。
x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。
証明
明らか。
A を整域とし、K をその商体とする。
M を K の A-部分加群とする。
x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。
証明
明らか。
689 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:07:49
補題
A を整域とする。
M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。
N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。
証明
>>684, >>687, >>688 よりでる。
証明終
A を整域とする。
M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。
N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。
証明
>>684, >>687, >>688 よりでる。
証明終
690 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:52:12
命題
A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。
L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、
それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。
証明
完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和)
より、完全列
0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和)
が得られる。
B の平坦性により、
(L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B),
(L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
証明終
A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。
L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、
それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。
証明
完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和)
より、完全列
0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和)
が得られる。
B の平坦性により、
(L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B),
(L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、
(M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
証明終
691 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14:04:44
補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の A-部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
N が A-加群として有限生成なら、
(M : N)_S = (M_S : N_S) である。
証明
N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。
一般のときは、>>687 と >>690 より出る。
証明終
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の A-部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
N が A-加群として有限生成なら、
(M : N)_S = (M_S : N_S) である。
証明
N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。
一般のときは、>>687 と >>690 より出る。
証明終
692 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14:34:32
補題
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m = NA_m なら M = N である。
証明
A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら
N ⊂ M であることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。
N の生成元を x_1, ..., x_n とする。
NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。
s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。
よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。
m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。
よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。
証明終
A を整域とし、K をその商体とする。
M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m = NA_m なら M = N である。
証明
A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら
N ⊂ M であることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。
N の生成元を x_1, ..., x_n とする。
NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。
s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。
よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。
m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。
よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。
証明終
693 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16:00:23
次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。
命題
A をネータ整域とし、K をその商体とする。
M を A の分数イデアル(>>677)とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、
M は A-部分加群として可逆(>>430)である。
証明
m を A の任意の極大イデアルとする。
MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m
である。
一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。
よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。
よって、M(A : M)A_m = A_m である。
>>689 より (A : M) は分数イデアルである。
A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。
よって、M(A : M) も有限生成である。
よって、>>692 より M(A : M) = A となる。
証明終
命題
A をネータ整域とし、K をその商体とする。
M を A の分数イデアル(>>677)とする。
A のすべての極大イデアル m に対して
MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、
M は A-部分加群として可逆(>>430)である。
証明
m を A の任意の極大イデアルとする。
MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m
である。
一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。
よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。
よって、M(A : M)A_m = A_m である。
>>689 より (A : M) は分数イデアルである。
A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。
よって、M(A : M) も有限生成である。
よって、>>692 より M(A : M) = A となる。
証明終
694 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16:11:49
>>611 の命題の別証明
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。
>>693 より I は可逆である。
証明終
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明
p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より
A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。
>>693 より I は可逆である。
証明終
695 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 16:21:25
いつも何してるんですか。
思い切って聞いてみました。
思い切って聞いてみました。
696 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:36:36
ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。
697 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:41:44
ゆんゆんて誰？ kingみたいな人？
698 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:44:40
kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
699 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 17:48:12
talk:>>698 なんだと？
700 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:03:59
701 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:06:08
702 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:07:22
>>700
ふむ。良きに計らえ。
ふむ。良きに計らえ。
703 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 18:52:04
704 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19:49:22
talk:>>701 I'm the King of kings.
705 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 19:53:12
>>704
知らない間にボキャが増えたね。
知らない間にボキャが増えたね。
706 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19:59:27
talk:>>705 何だよ？
707 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09:30:11
>>677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には
以下のようになる。
定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) M は非退化(>>431)である。
2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
以下のようになる。
定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル
と呼ぶ。
1) M は非退化(>>431)である。
2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
708 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09:54:42
命題
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M を B の A-部分加群とする。
M が A の分数イデアル(>>707)であるためには次の条件が
必要十分である。
A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。
証明
M が A の分数イデアルであるとする。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で
sM ⊂ A となるものがある。
st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。
よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。
条件が十分なことは明らか。
証明終
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M を B の A-部分加群とする。
M が A の分数イデアル(>>707)であるためには次の条件が
必要十分である。
A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。
証明
M が A の分数イデアルであるとする。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で
sM ⊂ A となるものがある。
st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。
よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。
条件が十分なことは明らか。
証明終
709 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 10:41:02
>>676の別証
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。
証明
A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには
I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。
A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は
極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、
Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。
Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。
>>585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。
容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。
極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、
IA_p = A_p = JA_p である。
よって、>>692 より I = J である。
証明終
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて
一意的に分解される。
証明
A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには
I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。
A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は
極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、
Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。
Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。
>>585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。
容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。
極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、
IA_p = A_p = JA_p である。
よって、>>692 より I = J である。
証明終
710 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 11:38:04
A をDedekind整域(>>601)とする。
p を A の極大イデアルとする。
>>585より A_p は離散付値環である。
よって pA_p は単項イデアルである。
この生成元を t とする。t ∈ A_p だから
t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。
s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。
よって、t ∈ p と仮定してよい。
x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる 整数 n
が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。
明らかに ν(x) は t の選び方によらない。
p を A の極大イデアルとする。
>>585より A_p は離散付値環である。
よって pA_p は単項イデアルである。
この生成元を t とする。t ∈ A_p だから
t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。
s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。
よって、t ∈ p と仮定してよい。
x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる 整数 n
が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。
明らかに ν(x) は t の選び方によらない。
711 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:28:33
>>710 の ν_p(x) は x = 0 のときに ν_p(x) = ∞ と定義する。
こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。
こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。
712 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:31:07
713 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:34:06
付値論については後でやる予定。
ここでは単に用語の定義だけ。
ここでは単に用語の定義だけ。
714 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:50:42
715 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:59:21
補題
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>714)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p
つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。
証明
(p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。
よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。
証明終
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>714)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p
つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。
証明
(p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。
よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。
証明終
716 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 13:03:43
補題
A をDedekind整域(>>601)とし、p を A の極大イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>711)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
証明
>>715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とし、p を A の極大イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>711)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
証明
>>715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。
証明終
717 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 16:03:41
718 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17:27:38
命題
A をネーター整閉整域ととする。
I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で
各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
よって >>715 より本命題の主張が得られる。
証明終
A をネーター整閉整域ととする。
I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で
各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
よって >>715 より本命題の主張が得られる。
証明終
719 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17:30:40
×離散付置
○離散付値
○離散付値
720 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 19:34:16
このすれに現れたゆんゆんなるもの、実は男らしい。ウゲェー。
721 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 06:28:36
×離散付値
○離散賦値
○離散賦値
722 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/18(水) 07:59:33
723 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 09:07:16
>>722
ネカマだろ？
ネカマだろ？
724 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:14:14
Dedekind整域のもう１つの特徴付けを述べるのを忘れていた。
以下、それを述べる。
補題
A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。
ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の 体 A/m 上のベクトル空間として
の次元である。
証明
>>569より m は単項イデアルである。
よって >>568より A は離散付値環である。
証明終
以下、それを述べる。
補題
A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。
ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の 体 A/m 上のベクトル空間として
の次元である。
証明
>>569より m は単項イデアルである。
よって >>568より A は離散付値環である。
証明終
725 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:28:19
補題
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら
A は Dedekind整域である。
証明
m を A の極大イデアルとする。
A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。
これから dim(A) = 1 である。
>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
>>607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。
以上から A は １次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。
証明終
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら
A は Dedekind整域である。
証明
m を A の極大イデアルとする。
A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。
これから dim(A) = 1 である。
>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
>>607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。
以上から A は １次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。
証明終
726 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:30:47
命題(園による)
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル
がないとする。このとき、A はDedekind整域である。
証明
m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。
a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから
m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。
よって >>724 より A_m は離散付値環である。
よって >>725 より A はDedekind整域である。
証明終
A を体でないネーター整域とする。
A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル
がないとする。このとき、A はDedekind整域である。
証明
m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。
a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから
m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。
よって >>724 より A_m は離散付値環である。
よって >>725 より A はDedekind整域である。
証明終
727 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:43:33
>>726
>m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、
中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって
>m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、
中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって
728 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:57:17
レス番号が800になる前に「代数的整数論３」のスレを誰か作って
くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。
そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。
くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。
そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。
>>728
は？誰の厄にもたたんよ。
は？誰の厄にもたたんよ。
730 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:34:45
代数幾何の初歩を知っている人向けの解説を行う。
k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。
つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。
さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉
であるとする。
簡単のため X がアフィンの場合を考える。
A = Γ(X) を X の座標環とする。
仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。
>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
よって A は整閉である。
よって >>584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、
A_S も整閉である。
W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。
W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。
A_p は上で述べたことより整閉であるから>>555より離散付値環である。
よって>>714により離散付値ν_pが定義される。
K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。
f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、
f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。
ν_p(f) > 0 のときは零点の位数をあらわし、
ν_p(f) < 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。
k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。
つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。
さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉
であるとする。
簡単のため X がアフィンの場合を考える。
A = Γ(X) を X の座標環とする。
仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。
>>612より、
A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
よって A は整閉である。
よって >>584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、
A_S も整閉である。
W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。
W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。
A_p は上で述べたことより整閉であるから>>555より離散付値環である。
よって>>714により離散付値ν_pが定義される。
K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。
f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、
f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。
ν_p(f) > 0 のときは零点の位数をあらわし、
ν_p(f) < 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。
731 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:38:03
>>728
(非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。
スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下
資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。
現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。
http://makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html
で過去ログは見れるんだし。
トップはhttp://makimo.to/2ch/
(非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。
スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下
資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。
現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。
http://makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html
で過去ログは見れるんだし。
トップはhttp://makimo.to/2ch/
732 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:43:35
>>731 アホの相手するなよ。
好きなだけ写経させてやってくれ。
好きなだけ写経させてやってくれ。
733 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:47:12
過去ログがすぐ見れるなら>>728は撤回するけど、どうなの？
734 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:50:07
735 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:56:20
736 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 12:49:13
補題
A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0}
となる。
証明
>>605より明らか。
A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0}
となる。
証明
>>605より明らか。
737 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13:14:27
定義
A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。
Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。
A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。
Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。
738 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13:41:41
命題
A をネーター整閉整域とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
(n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、
各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、
有限個の p を除いて n_p = 0 とする。
I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
I は因子的イデアル(>>737)である。
逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。
証明
n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗
p^(n_p) である(前スレの348)。
前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p}
である。
よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、
I = q_p_1∩...∩q_p_r となる(>>736を考慮する) 。
これから、I が因子的なことがわかる。
逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、
>>718 と >>736 より明らか。
証明終
A をネーター整閉整域とする。
ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
(n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、
各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、
有限個の p を除いて n_p = 0 とする。
I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
I は因子的イデアル(>>737)である。
逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。
証明
n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗
p^(n_p) である(前スレの348)。
前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p}
である。
よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、
I = q_p_1∩...∩q_p_r となる(>>736を考慮する) 。
これから、I が因子的なことがわかる。
逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、
>>718 と >>736 より明らか。
証明終
739 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 13:46:53
>>731
うん、うん。もっと言ってやって。
うん、うん。もっと言ってやって。
740 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14:00:12
荒しには何も言わないで何言ってやがる。
このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。
各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。
それに丁寧に証明を付けている。
このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。
各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。
それに丁寧に証明を付けている。
741 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14:45:06
742 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 14:59:55
命題
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明
各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。
ν_p_i(t_i) = 1 である。
中国式剰余定理(前スレの341)より、
x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような
x ∈ A がある。
各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。
x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、
(t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。
よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。
よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。
以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明
各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。
ν_p_i(t_i) = 1 である。
中国式剰余定理(前スレの341)より、
x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような
x ∈ A がある。
各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。
x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、
(t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。
よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。
よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。
以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。
証明終
743 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:03:37
>>740 荒らされたくなければ sage ろ。
話はそれからだ。
話はそれからだ。
744 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:03:46
208の存在自体があらし
745 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15:23:42
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする
(同じ値があっても良い)。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明
>>742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
x/y が求めるものである。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする
(同じ値があっても良い)。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明
>>742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
x/y が求めるものである。
証明終
746 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15:31:12
747 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:32:54
>>746 だから sage ろよ。
748 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:34:29
sage方教えてくれｗ
749 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:10:41
名前欄にfusianasan
E-mail欄にtesttest
本文１行目にtesttest
E-mail欄にtesttest
本文１行目にtesttest
750 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 16:15:35
751 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:28:42
752 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:29:51
ひどい自演を見た
753 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:33:22
>>749に書いてある通りにするとどうなるの？
754 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:46:45
>>683
>浅野の代数学１(岩波)
正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。
この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章
の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。
そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。
こういうの有り？
これを知った上で前書きを読むと面白い。
>浅野の代数学１(岩波)
正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。
この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章
の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。
そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。
こういうの有り？
これを知った上で前書きを読むと面白い。
755 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17:22:54
756 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17:29:16
著者独自の工夫を凝らしたが、それがどこまで成功したかは
読者の判断にまかせるというような。
記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。
本当のところは本物を読んでもらうしかない。
読者の判断にまかせるというような。
記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。
本当のところは本物を読んでもらうしかない。
757 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 18:18:46
>>756
なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。
なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。
758 ：１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 09:07:34
759 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10:07:53
>>745
>同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
>n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。
>同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
>n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、
n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。
760 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10:12:10
>>745の命題は次のように改良出来る。
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
証明
>>742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる
ものが存在する。
n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。
>>742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i
となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。
z = z/y が求めるものである。
証明終
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。
n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
証明
>>742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる
ものが存在する。
n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。
>>742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i
となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。
z = z/y が求めるものである。
証明終
761 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 11:24:34
補題
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を A の元の列、
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。
A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが
存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明
中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。
A をDedekind整域(>>601)とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を A の元の列、
n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。
A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが
存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明
中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。
762 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 12:02:23
命題(Dedekind整域における近似定理)
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を K の元の列、
n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明
各 n_i は正と仮定してよい。
各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。
ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と
異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。
>>761より、
A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r
ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と
なるものが存在する。
各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i
各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0
p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、
ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0
よって、x = b/s が求めるものである。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、
x_1, ..., x_r を K の元の列、
n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明
各 n_i は正と仮定してよい。
各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。
ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と
異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。
>>761より、
A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r
ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と
なるものが存在する。
各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i
各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0
p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、
ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0
よって、x = b/s が求めるものである。
証明終
763 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13:37:36
>>710, >>711 の前に次の定義を述べたほうが良かった。
定義
A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。
m を A の極大イデアルとする。
x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる 整数 n
が一意に定まる。n = ν(x) と書く。
ν(0) = ∞ と定義する。
ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、
有理整数との演算は定義しない。
ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。
1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。
2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。
つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y)
3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y))
ν を A で定まる離散付置とよぶ。
定義
A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。
m を A の極大イデアルとする。
x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる 整数 n
が一意に定まる。n = ν(x) と書く。
ν(0) = ∞ と定義する。
ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、
有理整数との演算は定義しない。
ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。
1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。
2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。
つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y)
3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y))
ν を A で定まる離散付置とよぶ。
飽田。
765 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13:58:27
次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、>>763 の 2), 3)
だけからも出る。
命題
A を離散付値環とし、K をその商体とする。
ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。
K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y)
である。
証明
x ≠ 0 と仮定してよい。
>>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0
よって ν(-1) = 0
よって ν(-x) = ν(x) である。
>>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。
ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。
よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。
よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。
証明終
だけからも出る。
命題
A を離散付値環とし、K をその商体とする。
ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。
K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y)
である。
証明
x ≠ 0 と仮定してよい。
>>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0
よって ν(-1) = 0
よって ν(-x) = ν(x) である。
>>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。
ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。
よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。
よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。
証明終
766 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14:14:45
>>762から>>760が簡単にでる。
>>760の命題の別証(本質は同じだが)
記号の意味は>>760と同じとする。
各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。
>>762から K の元 x で
ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
>>765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。
証明終
>>760の命題の別証(本質は同じだが)
記号の意味は>>760と同じとする。
各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。
>>762から K の元 x で
ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、
p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0
となるものが存在する。
>>765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。
証明終
767 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14:33:21
命題
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601)
とする。A は単項イデアル整域である。
証明
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。
I を A の非零イデアルとする。
各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である
(>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による
分解を考えれば明らか)。
証明終
A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601)
とする。A は単項イデアル整域である。
証明
p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。
I を A の非零イデアルとする。
各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である
(>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による
分解を考えれば明らか)。
証明終
768 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 15:27:51
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。
x ≠ 0 を I の任意の元とする。
I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。
証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する
(J = (xA)I^(-1) とすればよい).
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。
証明終
A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。
x ≠ 0 を I の任意の元とする。
I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。
証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する
(J = (xA)I^(-1) とすればよい).
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。
証明終
Dedeking 環
770 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/19(木) 22:26:07
talk:>>769 私を呼んだか？
771 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 10:51:31
代数体(つまり有理数体の有限次拡大体)の整数論の基礎を学ぶのが
このシリ−ズの目的である。
代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、
これをいきなり直接調べるのは得策ではない。
DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、
我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、
位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。
飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を
調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的
としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。
まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、
生物一般の性質を調べるのが先だろう。
同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、
我々はまずDedekind整域を調べることにした。
Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、
ネーター整閉整域の一般論も有効である。
さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
つまり類人猿の研究も有効である。
代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
どっちがより深いとも言えないが。
このシリ−ズの目的である。
代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、
これをいきなり直接調べるのは得策ではない。
DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、
我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、
位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。
飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を
調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的
としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。
まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、
生物一般の性質を調べるのが先だろう。
同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、
我々はまずDedekind整域を調べることにした。
Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、
ネーター整閉整域の一般論も有効である。
さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
つまり類人猿の研究も有効である。
代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
どっちがより深いとも言えないが。
772 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:05:09
クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！
さぁかかってこいや！
773 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 11:47:45
>>730は代数多様体について離散付値の役割を述べたが、
これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま
成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。
このような見方は代数体の整数論でも有効である。
この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、
A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、
A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。
p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における
零点または極の位数を表すと考えられる。
これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま
成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。
このような見方は代数体の整数論でも有効である。
この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、
A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、
A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。
p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における
零点または極の位数を表すと考えられる。
774 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:50:58
775 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 12:19:46
776 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05:00:19
クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！
さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！
さぁかかってこいや！
777 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05:54:34
てゆーか、高校で芭蕉やウェルギリウスを教えてる現状は問題ありかと。
そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、
有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。
そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、
有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。
778 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/21(土) 09:19:46
779 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 09:53:25
780 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:23:51
ブルバキスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/
に書いたが、レスがないのでこちらへ。
ブルバキ可換代数第７章に
通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに
determinantal ideal としか書いてないのは何故？
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/
に書いたが、レスがないのでこちらへ。
ブルバキ可換代数第７章に
通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに
determinantal ideal としか書いてないのは何故？
781 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:41:13
782 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:50:43
>>781
無知な奴は消えろ
無知な奴は消えろ
783 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 22:09:19
784 ：１３２人目の素数さん：2006/01/22(日) 01:00:30
無知蒙昧で、役立たずな 208 と 9208 は早急に出て行け
785 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:02:41
次の命題も >>768と同じ方法で証明される。
命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
証明終
命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明
I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外
のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、
各 i において ν_p_i(y) = n_i
各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する
y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。
よって、J + L = A である。
証明終
786 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:40:02
補題
A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は
A の商体 K と一致する。
証明
x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。
ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。
仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。
よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。
証明終
A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は
A の商体 K と一致する。
証明
x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。
ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。
仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。
よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。
証明終
787 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:42:46
命題
A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と
一致しないとする。
このとき、A_S はDedekind整域である。
証明
>>584 より A_S は整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。よって、A_S の 非零素イデアルは極大である。
つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。
>>786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって
dim(A_S) = 1 である。
証明終
A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を
含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と
一致しないとする。
このとき、A_S はDedekind整域である。
証明
>>584 より A_S は整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。よって、A_S の 非零素イデアルは極大である。
つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。
>>786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって
dim(A_S) = 1 である。
証明終
788 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12:25:50
789 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12:26:41
命題
A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる
高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。
このとき、A_S は単項イデアル整域である。
証明
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、
T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。
前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、
p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または
p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。
よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。
よって dim(A_S) = 1 である。
>>584 より 整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。
よって、A_S はDedekind整域である。
>>767 より A は単項イデアル整域である。
証明終
A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる
高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。
このとき、A_S は単項イデアル整域である。
証明
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、
T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。
前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、
p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または
p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。
よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。
よって dim(A_S) = 1 である。
>>584 より 整閉整域である。
A はネーターだから A_S もネーターである。
よって、A_S はDedekind整域である。
>>767 より A は単項イデアル整域である。
証明終
790 ：１３２人目の素数さん：2006/01/23(月) 15:17:20
あ〜あ
791 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16:13:52
代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、
特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
興味ない人は無視しても問題ないだろう。
定義
A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域
であるとき A を正規環と呼ぶ。
特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
興味ない人は無視しても問題ないだろう。
定義
A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域
であるとき A を正規環と呼ぶ。
792 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16:16:20
命題
A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が
整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。
証明
前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。
前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、
p_i ⊂ m となるi がある
(前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。
p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。
よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる
ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。
I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と
なる。よって I = A であり、x = 0 となる。
よって、p_1∩...∩p_r = 0。
i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。
p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、
上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。
よって p_i + p_j = A である。
よって中国式剰余定理(前スレの341)より
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
証明終
A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が
整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。
証明
前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。
前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、
p_i ⊂ m となるi がある
(前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。
p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。
よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる
ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。
I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と
なる。よって I = A であり、x = 0 となる。
よって、p_1∩...∩p_r = 0。
i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。
p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、
上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。
よって p_i + p_j = A である。
よって中国式剰余定理(前スレの341)より
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
証明終
793 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 09:59:37
>>768の命題は、次のようにやや拡張して述べたほうが良かった。
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明は >>768 と同様なので省略する。
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明は >>768 と同様なので省略する。
794 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:09:26
>>785は、>>793 からも出る。
命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明(Van der Waredenの教科書より)
>>793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。
yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。
I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L)
よって J + L = A である。
証明終
命題
A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする
(I = J であってもよい)。
J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で
IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明(Van der Waredenの教科書より)
>>793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。
yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。
I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L)
よって J + L = A である。
証明終
795 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:19:32
逆に >>793 は >>785 から出る。
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明
J = IL となる非零イデアル L がある。
>>>785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。
よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。
証明終
命題
A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、
J ⊂ I とする。
I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明
J = IL となる非零イデアル L がある。
>>>785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。
よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。
証明終
796 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:20:51
797 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:25:57
798 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:06:10
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>792の証明より、
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。
仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。
よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。
A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。
A/p_i がネーターなのは明らか。
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>792の証明より、
A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。
任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。
仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。
よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。
A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。
A/p_i がネーターなのは明らか。
証明終
799 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:21:51
800 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:52:10
>>771
>さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
>つまり類人猿の研究も有効である。
>代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
>代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
>どっちがより深いとも言えないが。
有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は
５０年以上前にWeilにより解決されている。
よく知られているように代数体の場合は未解決。
この点で、代数体の方が深いと言える。
>さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、
>つまり類人猿の研究も有効である。
>代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。
>代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、
>どっちがより深いとも言えないが。
有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は
５０年以上前にWeilにより解決されている。
よく知られているように代数体の場合は未解決。
この点で、代数体の方が深いと言える。
801 ：１３２人目の素数さん：2006/01/24(火) 11:56:53
よく知られているように、
一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。
この点で、可換環の方が深いと言えるww
一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。
この点で、可換環の方が深いと言えるww
802 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/24(火) 13:55:49
こんにちは、9208 ◆lJJjsLsZzw くん。
>>802 私を呼んだか？
804 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/24(火) 21:35:21
talk:>>803 お前に何が分かるというのか？
805 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:23:18
補題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ
A と B の非零因子であることが必要十分である。
証明
明らか。
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ
A と B の非零因子であることが必要十分である。
証明
明らか。
806 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:28:35
命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) は それぞれ
C, A, B の全商環を表す。
証明
>>805 より明らか。
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) は それぞれ
C, A, B の全商環を表す。
証明
>>805 より明らか。
807 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:44:24
命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
>>806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。
Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506)
であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが
必要十分である。
証明
簡単なので読者にまかす。
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
>>806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。
Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506)
であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが
必要十分である。
証明
簡単なので読者にまかす。
808 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:47:35
命題
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B)
において整閉であることが必要十分である。
証明
>>807 より明らか。
A, B を環とする。
C = A x B を A と B の直積とする。
Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。
C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B)
において整閉であることが必要十分である。
証明
>>807 より明らか。
809 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:53:05
810 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 10:33:02
次の命題は >>555 をやや一般にしたものであり、その証明も
同様である。
命題
A を１次元のネーター局所環とし、
m をその極大イデアルとする。
m の元がすべて A の零因子ではないとする。
A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。
証明
a を m の非零因子とする。
p を A の素イデアルで a ∈ p とする。
p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146)
から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。
仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。
よって Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が
A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に
m(A:m) = A である。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。
証明終
同様である。
命題
A を１次元のネーター局所環とし、
m をその極大イデアルとする。
m の元がすべて A の零因子ではないとする。
A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。
証明
a を m の非零因子とする。
p を A の素イデアルで a ∈ p とする。
p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146)
から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。
仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。
よって Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が
A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に
m(A:m) = A である。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。
証明終
811 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11:17:20
812 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 11:23:51
>>802 無視されてやんのｗ
813 ：9208 ◇lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11:57:52
814 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:02:06
次の命題は >>616 をやや一般にしたもの。
命題
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。
このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。
よって、ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
命題
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。
このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。
よって、ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。
証明終
815 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:05:50
816 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:17:57
>>810
>>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
>A に同型。よって m は単項である。
m(A:m) = A だから m は可逆(>>430)である。
よって >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
>>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
>A に同型。よって m は単項である。
m(A:m) = A だから m は可逆(>>430)である。
よって >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
817 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:05:51
>>814の証明に不備があったので、それを修正するため
いくつかの補題を用意する。
補題
A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。
m が可逆(>>430)なら A は離散付値環である。
証明
今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために
証明する。
>>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから
m の生成元はべき零では有り得ない。
よって >>568 より A は離散付値環である。
証明終
いくつかの補題を用意する。
補題
A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。
m が可逆(>>430)なら A は離散付値環である。
証明
今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために
証明する。
>>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから
m の生成元はべき零では有り得ない。
よって >>568 より A は離散付値環である。
証明終
818 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:06:31
補題
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)な極大イデアルは可逆(>>430)である。
証明
>>810と同様である。
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)な極大イデアルは可逆(>>430)である。
証明
>>810と同様である。
819 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:10:28
命題
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
m を A の非退化(>>431)な極大イデアルとする。
A_m は離散付値環である。
証明
>>818 より m は可逆である。
よって mA_m も可逆である。
よって >>817 より A_m は離散付値環である。
証明終
A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
m を A の非退化(>>431)な極大イデアルとする。
A_m は離散付値環である。
証明
>>818 より m は可逆である。
よって mA_m も可逆である。
よって >>817 より A_m は離散付値環である。
証明終
820 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:11:53
821 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:21:10
命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)なイデアルは可逆(>>430)である。
証明
I を A の非退化なイデアルとする。
>>814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
>>818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。
よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。
証明終
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の非退化(>>431)なイデアルは可逆(>>430)である。
証明
I を A の非退化なイデアルとする。
>>814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
>>818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。
よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。
証明終
822 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:39:27
命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)は可逆(>>430)である。
証明
M を A の分数イデアルとする。
定義(>>707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。
よって >>821 より sM は可逆である。
M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。
証明終
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)は可逆(>>430)である。
証明
M を A の分数イデアルとする。
定義(>>707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの
がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。
よって >>821 より sM は可逆である。
M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。
証明終
823 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:49:30
命題
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A の分数イデアル(>>707)である。
証明
>>501 より M は非退化(>>431)である。
>>504 より M は有限生成である。
よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
よって M は分数イデアルである。
証明終
A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。
B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら
M は A の分数イデアル(>>707)である。
証明
>>501 より M は非退化(>>431)である。
>>504 より M は有限生成である。
よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
よって M は分数イデアルである。
証明終
824 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:53:20
命題
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)と B の A-加群としての可逆(>>430)部分加群
は同じものである。
証明
>>822 と >>823 より。
A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。
A は B において整閉とする。
A の分数イデアル(>>707)と B の A-加群としての可逆(>>430)部分加群
は同じものである。
証明
>>822 と >>823 より。
825 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17:04:01
>>791
>>代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、
>>特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
>>興味ない人は無視しても問題ないだろう。
代数的整数論に関係ないこともないな。
有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、
代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。
>>代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、
>>特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。
>>興味ない人は無視しても問題ないだろう。
代数的整数論に関係ないこともないな。
有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、
代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。
826 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17:19:58
定義
A をネーター環とする。
A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群
を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。
その元を因子(divisor)と呼ぶ。
A をネーター環とする。
A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群
を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。
その元を因子(divisor)と呼ぶ。
827 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 18:55:44
>>813
無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。
無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。
荒らされたくなければ sage ようや
829 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21:15:07
talk:>>828 お前に何が分かるというのか？
>>829 荒らすんじゃない。
いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。
いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。
831 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21:41:44
talk:>>830 お前に何が分かるというのか？
>>831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。
833 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 22:25:25
kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた
JaneStyleは最初sageになっている
つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ
JaneStyleは最初sageになっている
つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ
834 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:32:11
talk:>>832 お前に何が分かるというのか？
>834 とりあえず sage ろ。
糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？
9208 も sage ようや。
糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？
9208 も sage ようや。
836 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:51:09
talk:>>835 お前に何が分かるというのか？
837 ：9208 ◇lJJjsLsZzw：2006/01/25(水) 22:52:30
>>835
仕切るな、オチこぼれ！
仕切るな、オチこぼれ！
>>836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。
839 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:59:54
talk:>>838 お前に何が分かるというのか？
>>839 お前は sage を覚えろ
841 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 23:46:32
俺は誰だ！
842 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/25(水) 23:48:57
変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。
キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？
病気の所為か？
それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？
844 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/26(木) 07:35:15
845 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:05:23
846 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:06:06
>>845メール欄に半角で sage と入れる。
847 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:10:18
sage test
848 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 09:30:19
以下の個所を補足説明する。
>>819
>>>818 より m は可逆である。
>よって mA_m も可逆である。
>>509より m は A 上の射影加群である。
よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。
m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。
A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、
mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。
>>819
>>>818 より m は可逆である。
>よって mA_m も可逆である。
>>509より m は A 上の射影加群である。
よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。
m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。
A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、
mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。
849 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 10:56:54
補題
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
a ∈ m が A の非零因子とする。
A/aA は A-加群として長さ有限である。
証明
aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。
ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。
よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と
なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。
Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。
証明終
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
a ∈ m が A の非零因子とする。
A/aA は A-加群として長さ有限である。
証明
aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。
ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。
よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と
なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。
Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。
証明終
850 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:14:59
命題
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。
証明
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は
明らかに長さ有限である。
よって I ⊂ p とする。
>>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である
よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。
a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。
ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。
明らかに a/s は A_p の非零因子である。
IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として
長さ有限である。
証明終
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。
証明
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は
明らかに長さ有限である。
よって I ⊂ p とする。
>>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
>>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である
よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。
a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。
ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。
明らかに a/s は A_p の非零因子である。
IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として
長さ有限である。
証明終
851 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:31:31
命題
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0
である。
I ⊂ p とする。
I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。
ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、
>>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。
これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501)
有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。
前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。
証明終
A をネーター環とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0
である。
I ⊂ p とする。
I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。
ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、
>>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。
これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501)
有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。
前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。
証明終
852 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:48:25
A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
>>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
>>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
853 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12:04:16
>>852 の定義は EGA IV-4 による。
EGAとは記号が異なるが。
EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群
すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。
EGAとは記号が異なるが。
EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群
すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。
854 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12:24:41
補題
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。
このとき、次の式が成立つ。
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
証明
>>849 から上の式の各項は有限である。
A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを
示せばよい。
A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。
これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。
これは明らかに全射である。
これが単射なことは以下のことからわかる。
s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。
ここで a と b は A の元である。
証明終
A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。
このとき、次の式が成立つ。
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
証明
>>849 から上の式の各項は有限である。
A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを
示せばよい。
A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。
これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。
これは明らかに全射である。
これが単射なことは以下のことからわかる。
s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。
ここで a と b は A の元である。
証明終
855 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:30:05
>>854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。
何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、
sA = A となり、stA = tA となるから、
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
の両辺とも、leng(A/tA) となる。
何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、
sA = A となり、stA = tA となるから、
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
の両辺とも、leng(A/tA) となる。
856 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:37:19
命題
A をネーター環とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から
明らか。
A をネーター環とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から
明らか。
857 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:50:04
補題
A をネーター環とする。
I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、
div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。
ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の
逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。
証明
I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。
よって、>>856 より上記の式が出る。
証明終
A をネーター環とする。
I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、
div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。
ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の
逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。
証明
I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。
よって、>>856 より上記の式が出る。
証明終
858 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:56:41
定義
A をネーター環とする。
>>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) と定義する。
これは、>>857 により I, J の取り方によらない。
A をネーター環とする。
>>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、
I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) と定義する。
これは、>>857 により I, J の取り方によらない。
859 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 14:35:38
860 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 14:57:49
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏ーナマ杏
杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー杏マナー
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861 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16:01:20
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p}
となる。
証明
p ∈ Ass(A/I) とする。
前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。
A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル
だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正)
より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。
逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、
p ∈ Ass(A/I)
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p}
となる。
証明
p ∈ Ass(A/I) とする。
前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。
よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。
A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル
だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正)
より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。
逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、
p ∈ Ass(A/I)
証明終
862 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16:35:49
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる
A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、
I = J である。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
>>861より ht(p_i) = 1 である。
よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては
IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル
p に対する IA_p で一意に決まる。
J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる
A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、
I = J である。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
>>861より ht(p_i) = 1 である。
よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては
IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル
p に対する IA_p で一意に決まる。
J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。
証明終
863 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:11:40
補題
A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n ≧ 0 にたいして
leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての
A/m^n の長さ。
証明
A-部分加群の列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n
を考える。
任意の整数 i ≧ 0 にたいして
leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。
m の生成元を t とする。
A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、
A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。
これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、
A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。
これは明らかに全射である。
この核が tA 即ち m であることも明らか。
よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。
証明終
A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。
任意の整数 n ≧ 0 にたいして
leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての
A/m^n の長さ。
証明
A-部分加群の列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n
を考える。
任意の整数 i ≧ 0 にたいして
leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。
m の生成元を t とする。
A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、
A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。
これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、
A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。
これは明らかに全射である。
この核が tA 即ち m であることも明らか。
よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。
証明終
864 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:14:18
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(I) = div(J) なら I = J である。
証明
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で
IA_p = JA_p である。
よって >>862 より I = J である。
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
div(I) = div(J) なら I = J である。
証明
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で
IA_p = JA_p である。
よって >>862 より I = J である。
証明終
865 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:17:35
866 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:24:12
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
>>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。
証明
M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。
M = A を示せばよい。
>>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) だから、
div(I) = div(J) となる。
よって、>>864 より、I = J である。
よって、 M = A である。
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
>>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。
証明
M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。
M = A を示せばよい。
>>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、
M = I/J と表現される。
div(M) = div(I) - div(J) だから、
div(I) = div(J) となる。
よって、>>864 より、I = J である。
よって、 M = A である。
証明終
867 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:27:30
868 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18:13:44
こりないね
869 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18:35:39
>>868
だまれ！このうすらが！
だまれ！このうすらが！
870 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/26(木) 18:41:16
うすら？
871 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 19:10:14
>>868
あげるな
あげるな
872 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 09:52:08
本論とはあまり関係ないが>>792と関連して次の命題を証明しておく。
この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年)
にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解
を考えれば簡単とあるだけで省略されている。
興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。
命題
A をネーター環とする。
A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合
である。
この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年)
にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解
を考えれば簡単とあるだけで省略されている。
興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。
命題
A をネーター環とする。
A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合
である。
873 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:07:38
>>872 の証明
Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。
p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。
前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。
よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。
一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。
よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。
i = 1 と仮定して一般性を失わない。
q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p
で sq_1 = 0 となるものがある。
q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。
f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。
f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。
よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f)
= {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f}
である。
さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。
よって、q_1A_f = 0 である。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
証明終
Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。
p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。
前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。
よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。
一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。
よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。
i = 1 と仮定して一般性を失わない。
q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p
で sq_1 = 0 となるものがある。
q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。
f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。
f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。
よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f)
= {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f}
である。
さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。
よって、q_1A_f = 0 である。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
証明終
874 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:15:42
訂正
>>873
>以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
>これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
>は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
>の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q
は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
>>873
>以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
>これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
>は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
>の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q
は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
875 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:17:40
>>873 の A_f の定義については前スレの162を参照。
876 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 13:48:49
あとは転落の一途だな
877 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:12:40
定義
A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。
U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。
f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。
div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。
A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。
これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。
Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。
A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。
U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。
f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。
div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。
A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。
これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。
Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。
878 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:21:51
A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。
>>859 の div: I(A) → Div(A) は、
I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。
Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。
>>859 の div: I(A) → Div(A) は、
I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。
Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。
879 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:26:51
A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる(>>541)
から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を
誘導することになる。
から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を
誘導することになる。
880 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 15:56:07
>>876
あげるな
あげるな
881 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 16:00:49
定義
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。
ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。
D_q は A_q の因子と見なせる。
D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。
D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき
D を局所的に単項な因子と呼ぶ。
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。
ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。
D_q は A_q の因子と見なせる。
D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。
D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき
D を局所的に単項な因子と呼ぶ。
882 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 13:49:31
命題
A をネーター環とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。
p は Supp(A/I) の極小元である。
よって leng(A_p/IA_p) は有限である。
さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。
証明
>>851と同様。
A をネーター環とする。
I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。
p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。
p は Supp(A/I) の極小元である。
よって leng(A_p/IA_p) は有限である。
さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は
有限個である。
証明
>>851と同様。
883 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 14:40:08
A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。
>>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、
leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから
div(I) は明確に定義される。
884 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 14:41:39
885 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 15:01:27
>>884 崩れは消えろ
886 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 15:05:28
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p
となる整数 n ≧ 0 が定まる。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
J についても同様であるから本命題の主張は明らか。
証明終
A をネーター正規環(>>791)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>555 より A_p は離散付値環である。
I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p
となる整数 n ≧ 0 が定まる。
>>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。
J についても同様であるから本命題の主張は明らか。
証明終
887 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19:04:09
akechi mitsuhide
888 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19:06:13
shimura goro
このgoroはゴロつきのゴロ
このgoroはゴロつきのゴロ
889 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:25:14
定義
A をネーター環とする。
k ≧ 0 を 整数とする。
p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は
正則局所環(>>571) のとき A は 余次元 k 以下で正則
または性質 (R_k) を満たすという。
A をネーター環とする。
k ≧ 0 を 整数とする。
p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は
正則局所環(>>571) のとき A は 余次元 k 以下で正則
または性質 (R_k) を満たすという。
890 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:31:53
891 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:39:53
命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>572 より A_p は離散付値環である。
よって後は >>886 と同様。
証明終
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。
div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明
p を A の高さ１の素イデアルとする。
>>572 より A_p は離散付値環である。
よって後は >>886 と同様。
証明終
892 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11:34:36
定義
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M を A の分数イデアル(>>707)とする。
定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
sM = I とおけば、M = I(1/s) である。
I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。
どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。
div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。
この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M を A の分数イデアル(>>707)とする。
定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
sM = I とおけば、M = I(1/s) である。
I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。
どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。
div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。
この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。
893 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11:48:16
命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。
MN も分数イデアルであり、
div(MN) = div(M) + div(N) となる。
証明
MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。
div(MN) = div(M) + div(N) も
定義(>>892) と >>891 より明らか。
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。
MN も分数イデアルであり、
div(MN) = div(M) + div(N) となる。
証明
MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。
div(MN) = div(M) + div(N) も
定義(>>892) と >>891 より明らか。
894 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 12:05:39
定義
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき
D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき
D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合
となる。
A をネーター環とする。
D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき
D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき
D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合
となる。
895 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 12:49:25
あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ
896 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:01:53
897 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:03:44
うすらが
898 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:05:22
あとは転落の一途だ
899 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:06:55
208みたいのを崩れっていうんじゃない
900 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 02:19:15
900
901 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 02:59:17
Will you discuss local class field theory?
902 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 09:15:51
903 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:18:30
904 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:19:40
905 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:21:13
今やろうとしていることは、環の因子とイデアルの関係を調べること。
906 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:29:23
このあたりは局所環の深さ(depth)の概念と関係ある。
深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。
ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。
深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。
ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。
907 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:23:11
定義
A をネーター環とする。
D を A の因子(>>826)とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、
n_p = multi_p(D) と書く。
A をネーター環とする。
D を A の因子(>>826)とする。
D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体
を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、
n_p = multi_p(D) と書く。
908 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:26:09
909 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:37:01
定義
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、
標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。
ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。
I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を
動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、
multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。
この I を I(D) と書く。
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、
標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。
ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。
I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を
動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、
multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。
この I を I(D) と書く。
910 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:51:54
定義
A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。
Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。
Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166)
だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。
A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。
Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。
Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166)
だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを
A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。
911 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 12:07:19
命題
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。
I(D) (>>909) を I とする。
このとき、以下が成立つ。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
証明
>>909 の記号をそのまま使う。
I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル
で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。
前スレの 351 より 各 q_p は準素イデアルであり
Ass(A/q_p) = {p} である。
よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。
これから、上の 1), 2) は明らかである。
証明終
A をネーター環とする。
D を A の正因子(>>903)とする。
I(D) (>>909) を I とする。
このとき、以下が成立つ。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
証明
>>909 の記号をそのまま使う。
I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル
で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。
前スレの 351 より 各 q_p は準素イデアルであり
Ass(A/q_p) = {p} である。
よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。
これから、上の 1), 2) は明らかである。
証明終
912 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 17:48:41
助走をつける
913 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/02(木) 20:15:45
命題
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I をそのイデアルで以下が成立つとする。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、
I = I(D) (>>909) となる。
証明
Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。
各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を
q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、
I = ∩q_i である(前スレの198)。
仮定より 各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、
従って >>572 より離散付値環である。
よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が
定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。
I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。
証明終
A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。
I をそのイデアルで以下が成立つとする。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、
2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、
I = I(D) (>>909) となる。
証明
Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。
各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を
q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、
I = ∩q_i である(前スレの198)。
仮定より 各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、
従って >>572 より離散付値環である。
よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が
定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。
I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。
証明終
914 ：１３２人目の素数さん：2006/02/02(木) 22:39:06
バリバリ解析系の俺にはさっぱりだ
代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ
代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ
915 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 03:01:49
916 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/03(金) 07:29:46
talk:>>915 私を呼んだか？
917 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 09:50:11
お前の専門は何だ
微分方程式か？
微分方程式か？
918 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 11:00:30
僕の専門はε-δ論法です
919 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:39:34
命題
０次元の正則局所環(>>571)は体である。
証明
A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 0 である。
よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
０次元の正則局所環(>>571)は体である。
証明
A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(m/m^2) = 0 である。
よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
920 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:46:07
>>919 よりネーター環 A が性質 (R_0) (>>889)を持つ、
即ち余次元０以下で正則であるというのは、
A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して
A_p が体であるということと同じである。
即ち余次元０以下で正則であるというのは、
A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して
A_p が体であるということと同じである。
921 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:55:35
命題
A をネーター整域とすると、
Ass(A) = {0} である。
証明
p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より
p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。
証明終
A をネーター整域とすると、
Ass(A) = {0} である。
証明
p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より
p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。
証明終
922 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:14:47
命題
A を被約(前スレの206)なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明
前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の
べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は
0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから
0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明終
A を被約(前スレの206)なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明
前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の
べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は
0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから
0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明終
923 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:25:20
命題
A をネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、
0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。
証明
明らかだろう(>>922の証明を参照)。
A をネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、
0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。
証明
明らかだろう(>>922の証明を参照)。
924 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:44:03
命題
A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。
A が被約なら、A_S も被約である。
ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。
証明
x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。
ここで、n > 0 である。
x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。
よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。
よって、x/s = 0 である。
証明終
A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。
A が被約なら、A_S も被約である。
ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。
証明
x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。
ここで、n > 0 である。
x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。
よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。
よって、x/s = 0 である。
証明終
925 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:53:26
命題
被約な０次元のネーター局所環は体である。
証明
A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと
する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。
よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。
A は被約だから m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
被約な０次元のネーター局所環は体である。
証明
A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと
する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。
よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。
A は被約だから m = 0 である。
よって A は体である。
証明終
926 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:10:50
命題
A を被約なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
証明
>>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。
これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが
容易に分かる。
これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。
証明終
A を被約なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
証明
>>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。
これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが
容易に分かる。
これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。
証明終
927 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:27:55
命題
A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。
証明
p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。
dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。
>>920 より A は性質 (R_0) を持つ。
証明終
A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。
証明
p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。
dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。
>>920 より A は性質 (R_0) を持つ。
証明終
928 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:37:24
命題
A を被約なネーター環とする。
p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。
よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と
同一視される。
ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。
よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。
証明終
A を被約なネーター環とする。
p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。
よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と
同一視される。
ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。
よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。
証明終
929 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/06(月) 14:11:06
補題
A を環とし、p をその素イデアルする。
I を標準射 A → A_p の核とする。
A_p が体なら I = p である。
証明
x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。
当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。
よって I ⊂ p である。
逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として
0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。
よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。
証明終
A を環とし、p をその素イデアルする。
I を標準射 A → A_p の核とする。
A_p が体なら I = p である。
証明
x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。
当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。
よって I ⊂ p である。
逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として
0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。
よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。
証明終
930 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/06(月) 18:02:11
命題
A をネーター環とする。
A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。
1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。
2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。
証明
条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。
よって十分なことの証明のみを行う。
A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。
2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。
A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。
0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。
ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。
前スレの198より q_i は 標準射 A → A_(p_i) の核である。
一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。
>>929 より、q_i = p_i である。
よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。
従って、>>923 より A は被約である。
証明終
A をネーター環とする。
A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。
1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。
2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元
ではない。
証明
条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。
よって十分なことの証明のみを行う。
A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。
2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。
A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。
0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。
ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。
前スレの198より q_i は 標準射 A → A_(p_i) の核である。
一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。
>>929 より、q_i = p_i である。
よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。
従って、>>923 より A は被約である。
証明終
931 ：１３２人目の素数さん：2006/02/06(月) 18:02:15
>D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。
アホ
アホ
932 ：１３２人目の素数さん：2006/02/06(月) 18:30:53
king!@!!
933 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/06(月) 22:00:26
talk:>>932 私を呼んだか？
934 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 09:14:20
935 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/07(火) 10:12:46
talk:>>934 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
936 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 10:54:49
937 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 12:47:38
頼んでどうする
938 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 16:04:46
頼んでどうすると聞いてどうする
939 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 16:47:37
そうする
940 ：１３２人目の素数さん：2006/02/08(水) 03:08:46
kong!@!!
941 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/08(水) 13:14:41
因子論の説明の都合上、局所環の深さ(depth)について簡単に述べる。
深さの概念は代数的整数論にあまり関係ないが可換代数
において重要なので知っておいて損はないだろう。
定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r があり、
x_1 は M に関して正則(前スレの179)であり、
i ≧ 2 に対して
x_i が M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則のとき、
この列を M-正則列と呼ぶ。
深さの概念は代数的整数論にあまり関係ないが可換代数
において重要なので知っておいて損はないだろう。
定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r があり、
x_1 は M に関して正則(前スレの179)であり、
i ≧ 2 に対して
x_i が M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則のとき、
この列を M-正則列と呼ぶ。
942 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/08(水) 18:16:53
補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。
dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明
xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p
に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。
よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。
一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。
よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。
dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明
xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p
に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。
よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。
一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。
よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
943 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/09(木) 11:23:58
定義
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
dim(A/Ann(M)) を M の次元 と呼び、dim(M) と書く。
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
dim(A/Ann(M)) を M の次元 と呼び、dim(M) と書く。
944 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/09(木) 11:51:25
945 ：１３２人目の素数さん：2006/02/11(土) 12:09:58
king kong bundy....
sugoi wrestler datta.....
sugoi wrestler datta.....
946 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/11(土) 12:13:42
talk:>>945 私を呼んだか？
947 ：１３２人目の素数さん：2006/02/14(火) 14:09:59
ころ
948 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:46:22
補題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k
を考える。
このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。
証明
M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから
中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が
出る。逆は明らか。
証明終
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k
を考える。
このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。
証明
M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから
中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が
出る。逆は明らか。
証明終
949 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:47:36
補題
k を体とし、M, N を k-加群とする。
M(x)N を k 上のテンソル積とする。
M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。
証明
x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。
同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。
よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。
よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。
証明終
k を体とし、M, N を k-加群とする。
M(x)N を k 上のテンソル積とする。
M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。
証明
x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。
同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。
よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。
よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。
証明終
950 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:48:24
補題
A を環とし、M と N を A-加群とする。
B を A-代数とする。
このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。
ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。
M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。
証明
テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積
B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。
(M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B
証明終
A を環とし、M と N を A-加群とする。
B を A-代数とする。
このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。
ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。
M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。
証明
テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積
B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。
(M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B
証明終
951 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:58:59
補題
A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。
>>950 において B を k に置き換えて
(M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。
よって、>>948 と >>949 より
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明終
A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明
p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。
>>950 において B を k に置き換えて
(M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。
よって、>>948 と >>949 より
Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明終
952 ：１３２人目の素数さん：2006/02/14(火) 18:31:32
ころ
953 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 10:28:58
命題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明
M/IM = M(x)(A/I) だから、
>>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。
Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。
証明終
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明
M/IM = M(x)(A/I) だから、
>>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。
Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。
証明終
954 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 10:59:38
955 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 11:00:28
補題
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる
(rad の記号については前スレの164参照)。
証明
M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。
x ∈ Ann(M/IM) とする。
xM ⊂ IM となる。
よって、以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は I の元。
前スレの505の証明と同様にして、
モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、
その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。
よって、f(x) ∈ Ann(M) である。
よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。
これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。
証明終
A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとする。
Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる
(rad の記号については前スレの164参照)。
証明
M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。
x ∈ Ann(M/IM) とする。
xM ⊂ IM となる。
よって、以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は I の元。
前スレの505の証明と同様にして、
モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、
その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。
よって、f(x) ∈ Ann(M) である。
よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。
これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。
証明終
956 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 14:36:42
ころ
957 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 18:52:01
age
958 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 21:09:34
もう飽きたのか？
959 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/21(火) 12:27:51
>>953の別証明
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。
よって、>>955 より
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。
一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから
V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。
この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明終
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。
よって、>>955 より
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。
一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから
V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。
この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから
Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明終
960 ：１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 17:21:49
ころ
961 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:35:46
962 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:50:23
次ｽﾚ終了
963 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:52:18
ころ
964 ：１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 02:07:35
このスレ
〜〜〜終了〜〜〜
〜〜〜終了〜〜〜
965 ：１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 13:33:21
ころ
966 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/23(木) 18:06:46
命題
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとすると、
dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。
証明
>>943, >>944 と >>953 より明らか。
A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。
I を A のイデアルとすると、
dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。
証明
>>943, >>944 と >>953 より明らか。
967 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 09:44:38
定義
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。
dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、
x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence)
または M-切断列と呼ぶ。
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。
dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、
x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence)
または M-切断列と呼ぶ。
968 ：１３２人目の素数さん：2006/02/24(金) 09:50:15
話は変わるけど、代数多様体の正規点における局所環の完備化は
正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。
この定理は代数幾何では重要なんだけど。
Zariski-Samuelには当然書いてある。
正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。
この定理は代数幾何では重要なんだけど。
Zariski-Samuelには当然書いてある。
969 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 09:56:44
補題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x を rad(A) の元とすれば、
dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。
証明
I = Ann(M)、B = A/I とおく。
定義より、dim(M) = dim(B) である。
前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。
B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より
dim(B/xB) = dim(M/xM) である。
証明終
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x を rad(A) の元とすれば、
dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。
証明
I = Ann(M)、B = A/I とおく。
定義より、dim(M) = dim(B) である。
前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。
B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より
dim(B/xB) = dim(M/xM) である。
証明終
970 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:04:33
補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
I を m に含まれるイデアルとする。
dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。
証明
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない.
前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。
>>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
I を m に含まれるイデアルとする。
dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。
証明
dim(A) = n とする。
dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル
であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。
dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない.
前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。
>>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明終
971 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:06:30
補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。
証明
>>970 において I = m とすればよい。
証明終
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。
dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1
となるものが存在する。
証明
>>970 において I = m とすればよい。
証明終
972 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:09:54
>>967 の切断列の定義はBourbakiによる。
973 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:24:44
命題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、
dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。
証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは >>969 で証明されている。
r > 1 とする。
M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。
N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。
>>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。
帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。
よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r
証明終
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、
dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。
証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは >>969 で証明されている。
r > 1 とする。
M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。
N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。
>>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。
帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。
よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r
証明終
974 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:45:48
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。
列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで
定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。
x_1M + ... + x_rM を SM と書く。
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。
列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで
定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。
x_1M + ... + x_rM を SM と書く。
975 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:48:21
記法の定義
集合 S の濃度を |S| と書く。
集合 S の濃度を |S| と書く。
976 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 11:14:03
補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。
S∪T が M-切断列(>>974)になることと、
S が M-切断列 であり、かつ T が (M/SM)-切断列 となることは同値である。
証明
N = M/SM とおく。
N/TN = M/(S∪T)M となる。
よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。
dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T|
= (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|)
>>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、
右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。
さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。
よって本補題の主張が得られる。
証明
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。
S∪T が M-切断列(>>974)になることと、
S が M-切断列 であり、かつ T が (M/SM)-切断列 となることは同値である。
証明
N = M/SM とおく。
N/TN = M/(S∪T)M となる。
よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。
dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T|
= (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|)
>>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、
右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。
さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。
よって本補題の主張が得られる。
証明
977 ：１３２人目の素数さん：2006/02/24(金) 15:21:18
ころ
978 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 14:46:32
979 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 21:24:08
梅
980 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 21:24:50
ウメ
981 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 00:02:57
メシ
982 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 00:43:37
シマ
983 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 09:57:11
( ´,_ゝ｀)プッ
984 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 16:08:30
九十八日。
985 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 21:49:11
（；゜〇゜)
986 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 11:00:31
king氏ね
987 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 11:24:43
talk:>>986 お前に何が分かるというのか？
988 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 11:40:00
>>987
たまには数学の話もしてみれば？
たまには数学の話もしてみれば？
989 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 11:42:47
talk:>>988 何やってんだよ？
990 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 12:48:41
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ
（ ( ；・ω・）＝3 呼んだブヒ？
しー し─Ｊ
（ ( ；・ω・）＝3 呼んだブヒ？
しー し─Ｊ
991 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 20:37:49
kkkinggguuu
992 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 21:50:52
talk:>>991 私を呼んだか？
993 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 00:10:52
消えろ
994 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:20:59
ほらほら
995 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:22:16
もうすぐだよ、ほら
996 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:23:08
後少しで、ほら
997 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:23:54
みんな、寝てるのかな
998 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:24:56
きっとこの先何年たってもこれだけは変わらない！
999 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:25:49
そうこの数学板のみんなも！
1000 ： ◆xeS.CIM.Jk ：2006/03/02(木) 04:28:16
数学を愛するすべての人は幸せになる！
小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！
数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！
小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！
数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！
1001 ：１００１：
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。