【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】

大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５

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log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)