くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(38桁略)6939
>>150
まちごうた。π^4/180だった。
まずlog(1-t)=-(t+t^2/2+t^3/3+･･･)と1/(1-t)=(1+t+t^2+･･･)をつかって
-log(1-t)/(1-t)=t+(1+1/2)t^2+(1+1/2+1/3)t^3+･･･。ただし-1<t<1。これつかってx=e^(-y)と置換して
-∫[0～1]log(1-x)(log(x))^2/(1-x) dx
=∫[∞～0](y^2)(e^(-y)+(1+1/2)e^(-2y)+(1+1/2+1/3)e^(-3y)+･･･)(-e^(-y))dy
=∫[0～∞](y^2)(e^(-2y)+(1+1/2)e^(-3y)+(1+1/2+1/3)e^(-4y)+･･･)dy
各項は全部＋、つまり単調収束なので単調収束定理で順番いれかえて
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)∫[0,∞](y^2)e^(-(k+1)y)dy
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)∫[0,∞](z^2)e^(-z)dz
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)Γ(3)
=2∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)
=2∑[k=1,∞]∑[i=1,k](1/i)(1/(k+1)^3)
=2∑[i=1,∞]∑[k=i,∞](1/i)(1/(k+1)^3) （←絶対収束するから順番入れ替えられる。）
=2∑[i=1,∞]∑[j=1,∞]1/(i(i+j)^3) （←j=k-i+1とおいた。）
で1/(i(i+j))=(1/j)(1/i-1/(i+j))をつかって1/(i(i+j)^3)=1/(ij(i+j)^2-1/(j(i+j)^3)。けっきょく
∑1/(i(i+j)^3)=(1/2)∑1/(ij(i+j)^2)
ただし∑は∑[i=1,∞]∑[j=1,∞]。以下全部そう。同様にして
∑1/(ij(i+j)^2=∑1/(ij^2(i+j)-∑1/(j^2(i+j)^2)
今度は1/(j(i+j))=(1/i)(1/j-1/(i+j))をつかって
∑1/(ij^2(i+j)=∑1/(i^2j^2)-∑1/(i^2j(i+j))
結局∑1/(ij^2(i+j)=(1/2)∑1/(i^2j^2)。これらから
∑1/(i(i+j)^3)=(1/2)∑1/(ij(i+j)^2)=(1/2)(∑1/(ij^2(i+j)-∑1/(j^2(i+j)^2))=(1/2)((1/2)∑1/(i^2j^2)-∑1/(i^2(i+j)^2))
ここで∑1/(i^2j^2)=ζ(2)、∑1/(i^2(i+j)^2)=(1/2)(ζ(2)^2-ζ(4))をつかって
∑1/(i(i+j)^3)=(1/4)ζ(4)=π^4/360
結局-∫[0～1]log(1-x)(log(x))^2/(1-x) dx=π^4/180。
まちごうた。π^4/180だった。
まずlog(1-t)=-(t+t^2/2+t^3/3+･･･)と1/(1-t)=(1+t+t^2+･･･)をつかって
-log(1-t)/(1-t)=t+(1+1/2)t^2+(1+1/2+1/3)t^3+･･･。ただし-1<t<1。これつかってx=e^(-y)と置換して
-∫[0～1]log(1-x)(log(x))^2/(1-x) dx
=∫[∞～0](y^2)(e^(-y)+(1+1/2)e^(-2y)+(1+1/2+1/3)e^(-3y)+･･･)(-e^(-y))dy
=∫[0～∞](y^2)(e^(-2y)+(1+1/2)e^(-3y)+(1+1/2+1/3)e^(-4y)+･･･)dy
各項は全部＋、つまり単調収束なので単調収束定理で順番いれかえて
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)∫[0,∞](y^2)e^(-(k+1)y)dy
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)∫[0,∞](z^2)e^(-z)dz
=∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)Γ(3)
=2∑[k=1,∞](1+1/2+･･･+1/k)(1/(k+1)^3)
=2∑[k=1,∞]∑[i=1,k](1/i)(1/(k+1)^3)
=2∑[i=1,∞]∑[k=i,∞](1/i)(1/(k+1)^3) （←絶対収束するから順番入れ替えられる。）
=2∑[i=1,∞]∑[j=1,∞]1/(i(i+j)^3) （←j=k-i+1とおいた。）
で1/(i(i+j))=(1/j)(1/i-1/(i+j))をつかって1/(i(i+j)^3)=1/(ij(i+j)^2-1/(j(i+j)^3)。けっきょく
∑1/(i(i+j)^3)=(1/2)∑1/(ij(i+j)^2)
ただし∑は∑[i=1,∞]∑[j=1,∞]。以下全部そう。同様にして
∑1/(ij(i+j)^2=∑1/(ij^2(i+j)-∑1/(j^2(i+j)^2)
今度は1/(j(i+j))=(1/i)(1/j-1/(i+j))をつかって
∑1/(ij^2(i+j)=∑1/(i^2j^2)-∑1/(i^2j(i+j))
結局∑1/(ij^2(i+j)=(1/2)∑1/(i^2j^2)。これらから
∑1/(i(i+j)^3)=(1/2)∑1/(ij(i+j)^2)=(1/2)(∑1/(ij^2(i+j)-∑1/(j^2(i+j)^2))=(1/2)((1/2)∑1/(i^2j^2)-∑1/(i^2(i+j)^2))
ここで∑1/(i^2j^2)=ζ(2)、∑1/(i^2(i+j)^2)=(1/2)(ζ(2)^2-ζ(4))をつかって
∑1/(i(i+j)^3)=(1/4)ζ(4)=π^4/360
結局-∫[0～1]log(1-x)(log(x))^2/(1-x) dx=π^4/180。
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